CN109884659B - 基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法，搭建激光追踪仪多站位测量系统。基于Levenberg‑Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定。参数μ_i选择。激光追踪仪站位坐标优化。转台转动轴圆心拟合。大型精密转台的定位精度标定。本发明利用Levenberg‑Marquardt算法及协方差矩阵的奇异值分解变换方法优化激光追踪仪站位坐标。通过建立优化后的激光追踪仪站位坐标与转台转动角度之间的几何关系模型标定转台的定位精度。所提出的基于激光追踪仪多站位测量系统的标定转台定位精度的方法适用于转台与三轴机床不联动的情况，特别适用于大型高精密转台。同时此方法能够为多轴机床的标定提供理论基础。

Description

基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法

技术领域

本发明涉及一种大型精密转台标定方法，特别是基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法。属于精密测试技术领域。

背景技术

多轴机床能够实现复杂零件的高精度、高效率、高可靠性、高智能化的加工，是现代机械制造中关键的设备。随着制造业的不断发展，零件加工的复杂化，诸多零件的加工都要通过转台的分度精度来满足零件不同角度的位置精度要求，转台的分度精度直接影响零件的加工精度。对于特定应用场合，转台与机床分离不联动，转台水平安装于机床的工作台上，通过与三坐标X、Y、Z轴的联合驱动，使零件在360°范围内分度旋转或分度定位，实现复杂零件的加工。标定转台的定位精度将有效提高多轴机床的加工性能。

转台的旋转轴的主要误差来源之一为误差运动，角定位精度对旋转轴会产生较大影响。为了保证转台定位精度的准确性，需要对转台定位精度进行标定。目前的转台标定方法有光电自准直仪和多面棱镜法，激光干涉转角测量法，经纬仪标定法以及激光跟踪仪标定法。其中，涉及激光干涉仪、光电自准直仪等高精度光学仪器，需要搭建光路，耗时较长，无法满足快速高效的标定要求；将多面棱镜等光学元件安装在主轴上实现转台标定的方法，不适用于大型转台，因为多面棱镜安装十分困难，难以保证安装精度；对于激光跟踪仪标定转台的方法，由于激光跟踪仪跟踪角度范围小，不能实现全圆周测量；对于电子经纬仪标定法，可以克服偏心转台回转中心确定困难以及自准直仪视场小等缺点，但是观测点难以选择，且标定精度不高。

为此有必要发明一种基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法，利用激光追踪仪提供高精度的相对干涉测长距离的特点，建立激光追踪仪站位坐标信息与转台转动角度之间的映射关系，实现转台定位精度的标定。

发明内容

本发明的目的在于提出了大型精密转台标定方法，目的是提供一种基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法，在转台与三轴机床不联动的情况下，标定大型高精密转台的定位精度，同时能够为多轴机床的标定提供理论基础。本方法具有全面合理以及准确等特点。

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的：

一种基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法，包括以下步骤：

步骤一：搭建激光追踪仪多站位测量系统。本系统搭建需要一台三坐标测量机CMM、转台以及一台激光追踪仪。激光追踪仪的猫眼反射镜固定在三坐标测量机的测头上，并作为待测点。猫眼反射镜与三坐标测量机的测头运动轨迹相同。当三坐标测量机控制测头在测量空间范围内移动时，猫眼反射镜也同时跟随多轴机床的测头移动。激光追踪仪发出的激光束入射到猫眼反射镜上，并反射回激光追踪仪的跟踪头。激光追踪仪接收到猫眼反射镜的反射光束后，实现猫眼反射镜即待测点与激光追踪仪之间相对位移的测量。

激光追踪仪多站位测量模型如图1所示。在CMM坐标系下，令CMM测量空间内待测点的坐标为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n，n为待测点个数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m，m为激光追踪仪站位个数；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪在每个站位P_j到初始待测点A₁点的距离为d_j；激光追踪仪测量得到的高精度干涉测长值为l_ij。根据三维空间中两点距离公式建立下列关系式，得到激光追踪仪在每个站位对应到待测点的距离d_ji：

步骤二：基于Levenberg-Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定。根据式(1)，令

记f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)),则有

式中，Rⁿ为n维实数集，n为待测点个数。

将目标函数F的梯度记为g(x)，得到

式中，

采用Levenberg-Marquardt算法(L-M)进行迭代，通过迭代得出激光追踪仪站位坐标以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离。设迭代的搜索方向为h_i，有

式中，μ_i＞0，μ_i为调整搜索方向引入的正参数，f_i为误差方程的集合，J_i为误差方程的梯度矩阵，h为搜索方向的集合。

由最优性条件，h_i满足

其中，I为n阶单位矩阵。

求解式(6)，得

h_i＝-(J_i ^TJ_i+μ_iI)^-1J_i ^Tf_i (7)

式中，

令m_i′是满足式(8)-(11)的最小非负整数m′，即

式中，σ∈(0,1)，β∈(0,1)。

为保证h_i是f_i(x)在x_i处的下降方向，迭代时先设置μ_i的初始值，通过计算h_i，不断地调整μ_i。根据激光追踪仪多站位测量系统实际需求的容许误差ε，通过迭代即可标定出激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离d_j。

步骤三：参数μ_i选择。L-M算法的关键在于参数μ_i的选择，根据当前迭代点，假定二次函数为

式中，F_i为目标函数。

用r_i表示目标函数与二次函数的增量之比，可得

当r_i接近于0或者1，都需要对此参数进行调整。通常r_i的临界值为0.25和0.75，得到参数μ_i选择规则为

迭代过程中，给定μ_i初始值，取每一次迭代步的值作为下一次迭代的初始值。根据计算得到的h_i以及r_i，选择参数μ_i。根据选择的参数μ_i，计算h_i并进行线搜索，进而完成迭代过程。

步骤四：激光追踪仪站位坐标优化。由于激光追踪仪自身重量的影响，转台的转动轴与工作台平面不垂直，导致激光追踪仪站位存在误差。为了提高激光追踪仪自标定算法得到的站位坐标精度，采用协方差矩阵的奇异值分解(Singular ValueDecomposition，简称SVD)变换进行平面拟合。将自标定算法得到的激光追踪仪m个站位坐标拟合成一个平面。拟合平面满足激光追踪仪m个站位的坐标到拟合平面距离的残差最小。将激光追踪仪m个站位坐标投影到拟合平面上，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标。

协方差矩阵的奇异值分解SVD分解原理为

A＝UΣV^T (15)

式中，U为左奇异正交向量矩阵，Σ为对角奇异值矩阵，V为右奇异正交向量矩阵。

设拟合平面为

aX+bY+cZ+e＝0 (16)

最小奇异值对应的奇异向量即为拟合后的平面方程法向量方向

通过求解SVD即可得到拟合后的平面方程系数a、b、c、e，从而得到拟合后的平面方程aX+bY+cZ+e＝0。

设优化后的激光追踪仪站位坐标为P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)。根据直线P_jP_j′与平面aX+bY+cZ+e＝0的法向量

平行，直线P_jP_j′的参数方程为

将(X_j′,Y_j′,Z_j′)代入到平面方程aX+bY+cZ+e＝0中，得到

将λ代入到式(17)中，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)。

步骤五：转台转动轴圆心拟合。激光追踪仪的站位随着转台转动轴的转动而发生改变。转台的转动轴与激光追踪仪的站位坐标之间的三维空间几何关系如图2所示。

设O(x_c,y_c,z_c)为优化后的激光追踪仪站位坐标P_j′(X_j′,Y_j′,Z_j′)拟合圆的圆心，R为拟合圆的半径，θ为转台理论转动的角度，θ′为转台实际转动的角度。

设激光追踪仪在转台上转动时所形成的平面在平面z＝z_c上的投影方程式为

(X_j′-x_c)²+(Y_j′-y_c)²＝R² (19)

式中，x_c为拟合圆的圆心在x轴方向的坐标值，y_c为拟合圆的圆心在y轴方向的坐标值。

根据非线性最小二乘法原理可以将目标函数定义为：

令g(X_j′,Y_j′)＝(X_j′-x_c)²+(Y_j′-y_c)²-R²，有

为使目标函数f最小，式(21)应满足下列条件

设

其中

则得

由式(23)解得

则有

根据式(16)得

综上得到激光追踪仪站位拟合圆的圆心坐标(x_c,y_c,z_c)。

步骤六：大型精密转台的定位精度标定。转台转动时，根据优化后的激光追踪仪站位坐标与拟合圆心(x_c,y_c,z_c)，得到转台实际转动的角度θ′_j为

式中，P_j-1′为激光追踪仪优化后的第j-1个站位坐标，P_j′为激光追踪仪优化后的第j个站位坐标。

当激光追踪仪站位坐标个数为m时，转台转动(m-1)次。根据式(28)可得转动误差Δθ_j为

Δθ_j＝θ′_j-θ_j (29)

其中，θ_j为转台的理论转动角度，j＝1...m-1。

采用多次测量取平均值方式得到激光追踪仪多站位测量方式标定转台定位精度

为

本发明的有益效果为：利用Levenberg-Marquardt算法及协方差矩阵的奇异值分解变换方法优化激光追踪仪站位坐标。通过建立优化后的激光追踪仪站位坐标与转台转动角度之间的几何关系模型标定转台的定位精度。所提出的基于激光追踪仪多站位测量系统的标定转台定位精度的方法适用于转台与三轴机床不联动的情况，特别适用于大型高精密转台。同时此方法能够为多轴机床的标定提供理论基础。

附图说明

图1是搭建的激光追踪仪多站位测量模型。

图2是激光追踪仪站位与转动轴关系示意图。

图3是测量空间内采样点路径规划示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

搭建如图1所示的激光追踪仪多站位测量系统的实验平台，通过以下步骤进行大型精密转台的定位精度标定：

步骤一：搭建激光追踪仪多站位测量系统。测量系统中三坐标测量机为海克斯康公司的LeitzInfinity，高精密转台的型号为RT400，转台的定位精度为±0.5″，激光追踪仪为Etalon公司的LaserTracer，型号为072009TRIF。规划出三坐标测量机待测点空间范围为450×600×450mm³。在此空间范围内规划待测点个数为n＝64，激光追踪仪站位个数为m＝11。待测点空间范围内采样点路径规划如图3所示。CMM测量空间内待测点的坐标为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n(n为待测点个数)；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m(m为激光追踪仪站位个数)；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪在每个站位P_j到初始待测点A₁点的距离为d_j；激光追踪仪测量得到的高精度干涉测长值为l_ij。根据三维空间中两点距离公式建立下列关系式，得到激光追踪仪在每个站位对应到待测点的距离d_ji：

标定转台定位精度过程中，考虑到激光追踪仪断光问题，将激光追踪仪固定安装在转台转角-145°位置上。记此位置为激光追踪仪的第一个站位P₁。控制三坐标测量机测头移动到待测点A₁。设置转台逆时针转动30°。激光追踪仪随转台一同转动。分别记录激光追踪仪从第一个站位P₁等角度转动至第11个站位P₁₁的干涉测长值l_1j。控制三坐标测量机测头沿待测空间范围内的规划路径从待测点A₁移动至A₂。分别记录激光追踪仪从第一个站位P₁等角度转动至第11个站位P₁₁的干涉测长值l_2j。控制三坐标测量机测头沿待测空间范围内的规划路径从待测点A₁移动至A_i。依次记录激光追踪仪从第一个站位P₁等角度转动至第11个站位P₁₁的干涉测长值l_ij。实验过程中总共记录704个激光追踪仪干涉测长值。

步骤二：基于Levenberg-Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定。激光追踪仪的精度为亚微米级，本文搭建的激光追踪仪多站位测量系统的精度需求为亚微米级，即ε＝10^-4。通过对参数一系列的试验，观察标定后的激光追踪仪站位坐标，得出参数的最优设置，即β＝0.55，σ＝0.4。

步骤三：参数μ_i选择。测量系统中，初始值μ_i设定方式为||f_i(X₀,Y₀,Z₀,d₀)||，X₀＝-64.9938，Y₀＝-6.6256，Z₀＝122.5133，d₀＝1128.5363。通过计算得出μ₀＝0.75。根据公式(14)，得知符合L-M算法参数μ_i的规则。根据激光追踪仪初始站位坐标值(X₀,Y₀,Z₀)以及激光追踪仪站位到初始待测点的初始距离值d₀的设定，以及L-M算法中参数的选择。通过迭代得出激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点距离d_j，如表1所示。

表1激光追踪仪站位坐标及其到初始待测点的距离(单位：mm)

步骤四：激光追踪仪站位坐标优化。根据SVD变换中最小奇异值对应的平面向量即为拟合后平面方程的法向向量。平面方程aX+bY+cZ+e＝0的系数分别为a＝1.9405×10^-5，b＝1.5739×10^-5，c＝0.9999，e＝-122.5119。即可得出拟合平面方程。根据式(18)以及得出的平面方程系数a，b，c，e值，计算得到λ＝-0.0013。优化后的激光追踪仪站位坐标如表格2所示。

表2优化后的激光追踪仪站位坐标(单位：mm)

步骤五：转台转动轴圆心拟合。根据式(24)，得出u_c＝-5.4023，v_c＝2.4386。根据u_c与x_c、v_c与y_c关系，得出拟合圆的圆心坐标为

根据式(32)以及所求出来的平面拟合方程，得出z_c＝122.5119。即得出拟合圆的圆心坐标(x_c,y_c,z_c)＝(-0.1434,-0.1396,122.5119)。

步骤六：大型精密转台的定位精度标定。根据提出的激光追踪仪多站位测量系统标定转台定位精度的方法，根据式(28)及(29)得到转台的转动误差Δθ_j数值如表3所示。

表3实验得到的转台转动误差

根据式(30)，采用多次测量取平均值方式得到激光追踪仪多站位测量方式标定转台定位精度为

设转台的转动轴与转台工作平面的法线之间的夹角为α。转台工作平面的理论平面方程法向向量为

利用自标定算法得到的激光追踪仪m个站位坐标拟合一个平面，如公式(16)所示。拟合平面方程法向向量为

则有

式中，a为拟合平面方程x轴方向的系数，b为拟合平面方程y轴方向的系数，c为拟合平面方程z轴方向的系数。

根据几何关系，激光追踪仪多站位测量系统标定转台定位精度方法的算法误差Δ可以表示为：

Δ＝θ′-θ＝actan(tanθcosα)-θ (35)

经过计算得到

Δ＝0.4″ (36)

通过搭建激光追踪仪多站位测量实验系统。三坐标测量机的待测点空间范围为450×600×450mm³，待测点个数64，激光追踪仪站位个数11，转台转角范围为[-145°,155°]，转台等间隔转动角度为30°。在上述实验条件下得出了如下结论：

(1)转台的定位精度为±0.9″。激光追踪仪多站位测量系统标定转台定位精度方法的算法误差为0.4″。实验证明了提出方法的可行性。本方法特别适用于大型高精密转台。

(2)所提出的基于激光追踪仪多站位测量系统的标定转台定位精度的方法适用于转台与三轴机床不联动的情况。

本方法的提出能够为多轴机床的标定提供理论基础。

从不确定度分析的过程来看，影响因素最大的是由CMM提供的待测点不准确所引入的。而这些分量的大小本质上受待测点空间布局所影响，即待测点的数量、分布所决定。本系统实验时选取的点尽可能覆盖整个CMM空域范围，导致计算得到的系统不确定度偏大。如果选择最优空间进行测量，系统不确定度会大大降低。所以当没有明确说明测量范围时，可以选择最优空间区域，使待测点以相同的间隔均匀分布，既可以使修正值减小，又可以降低系统不确定度，从而更好地完善系统性能。

Claims (1)

1.一种基于激光追踪仪多站位测量系统的大型精密转台标定方法，包括以下步骤：

步骤一：搭建激光追踪仪多站位测量系统；本系统搭建需要一台三坐标测量机CMM、转台以及一台激光追踪仪；激光追踪仪的猫眼反射镜固定在三坐标测量机的测头上，并作为待测点；猫眼反射镜与三坐标测量机的测头运动轨迹相同；当三坐标测量机控制测头在测量空间范围内移动时，猫眼反射镜也同时跟随多轴机床的测头移动；激光追踪仪发出的激光束入射到猫眼反射镜上，并反射回激光追踪仪的跟踪头；激光追踪仪接收到猫眼反射镜的反射光束后，实现猫眼反射镜即待测点与激光追踪仪之间相对位移的测量；

在CMM坐标系下，令CMM测量空间内待测点的坐标为A_i(x_i,y_i,z_i)，其中i＝1,2,3,…,n，n为待测点个数；激光追踪仪的站位坐标为P_j(X_j,Y_j,Z_j)，其中j＝1,2,3,…,m，m为激光追踪仪站位个数；激光追踪仪内部标准球的球心为O；激光追踪仪在每个站位P_j到初始待测点A₁点的距离为d_j；激光追踪仪测量得到的高精度干涉测长值为l_ij；根据三维空间中两点距离公式建立下列关系式，得到激光追踪仪在每个站位对应到待测点的距离d_ji：

步骤二：基于Levenberg-Marquardt算法的激光追踪仪站位自标定；根据式(1)，令

记f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)),则有

式中，Rⁿ为n维实数集，n为待测点个数；

将目标函数F的梯度记为g(x)，得到

式中，

采用Levenberg-Marquardt算法(L-M)进行迭代，通过迭代得出激光追踪仪站位坐标以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离；设迭代的搜索方向为h_i，有

式中，μ_i＞0，μ_i为调整搜索方向引入的正参数，f_i为误差方程的集合，J_i为误差方程的梯度矩阵，h为搜索方向的集合；

由最优性条件，h_i满足

其中，I为n阶单位矩阵；

求解式(6)，得

h_i＝-(J_i ^TJ_i+μ_iI)^-1J_i ^Tf_i (7)

式中，

令m_i′是满足式(8)-(11)的最小非负整数m′，即

式中，σ∈(0,1)，β∈(0,1)；

为保证h_i是f_i(x)在x_i处的下降方向，迭代时先设置μ_i的初始值，通过计算h_i，不断地调整μ_i；根据激光追踪仪多站位测量系统实际需求的容许误差ε，通过迭代即可标定出激光追踪仪站位坐标P_j(X_j,Y_j,Z_j)以及激光追踪仪站位到初始待测点的距离d_j；

步骤三：参数μ_i选择；L-M算法的关键在于参数μ_i的选择，根据当前迭代点，假定二次函数为

式中，F_i为目标函数；

用r_i表示目标函数与二次函数的增量之比，可得

当r_i接近于0或者1，都需要对此参数进行调整；通常r_i的临界值为0.25和0.75，得到参数μ_i选择规则为

迭代过程中，给定μ_i初始值，取每一次迭代步的值作为下一次迭代的初始值；根据计算得到的h_i以及r_i，选择参数μ_i；根据选择的参数μ_i，计算h_i并进行线搜索，进而完成迭代过程；

步骤四：激光追踪仪站位坐标优化；由于激光追踪仪自身重量的影响，转台的转动轴与工作台平面不垂直，导致激光追踪仪站位存在误差；为了提高激光追踪仪自标定算法得到的站位坐标精度，采用协方差矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition，简称SVD)变换进行平面拟合；将自标定算法得到的激光追踪仪m个站位坐标拟合成一个平面；拟合平面满足激光追踪仪m个站位的坐标到拟合平面距离的残差最小；将激光追踪仪m个站位坐标投影到拟合平面上，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标；

协方差矩阵的奇异值分解SVD分解原理为

A＝UΣV^T (15)

式中，U为左奇异正交向量矩阵，Σ为对角奇异值矩阵，V为右奇异正交向量矩阵；

设拟合平面为

aX+bY+cZ+e＝0 (16)

最小奇异值对应的奇异向量即为拟合后的平面方程法向量方向

通过求解SVD即可得到拟合后的平面方程系数a、b、c、e，从而得到拟合后的平面方程aX+bY+cZ+e＝0；

设优化后的激光追踪仪站位坐标为P′_j(X′_j,Y′_j,Z′_j)；根据直线P_jP_j′与平面aX+bY+cZ+e＝0的法向量

平行，直线P_jP_j′的参数方程为

将(X′_j,Y′_j,Z′_j)代入到平面方程aX+bY+cZ+e＝0中，得到

将λ代入到式(17)中，即可得到优化后的激光追踪仪站位坐标P′_j(X′_j,Y′_j,Z′_j)；

步骤五：转台转动轴圆心拟合；激光追踪仪的站位随着转台转动轴的转动而发生改变；

设O(x_c,y_c,z_c)为优化后的激光追踪仪站位坐标P′_j(X′_j,Y′_j,Z′_j)拟合圆的圆心，R为拟合圆的半径，θ为转台理论转动的角度，θ′为转台实际转动的角度；

设激光追踪仪在转台上转动时所形成的平面在平面z＝z_c上的投影方程式为

(X′_j-x_c)²+(Y′_j-y_c)²＝R² (19)

式中，x_c为拟合圆的圆心在x轴方向的坐标值，y_c为拟合圆的圆心在y轴方向的坐标值；

根据非线性最小二乘法原理可以将目标函数定义为：

令g(X′_j,Y′_j)＝(X′_j-x_c)²+(Y′_j-y_c)²-R²，有

为使目标函数f最小，式(21)应满足下列条件

设

其中

则得

由式(23)解得

则有

根据式(16)得

综上得到激光追踪仪站位拟合圆的圆心坐标(x_c,y_c,z_c)；

步骤六：大型精密转台的定位精度标定；转台转动时，根据优化后的激光追踪仪站位坐标与拟合圆心(x_c,y_c,z_c)，得到转台实际转动的角度θ′_j为

式中，P_j-1′为激光追踪仪优化后的第j-1个站位坐标，P′_j为激光追踪仪优化后的第j个站位坐标；

当激光追踪仪站位坐标个数为m时，转台转动(m-1)次；根据式(28)可得转动误差Δθ_j为

Δθ_j＝θ′_j-θ_j (29)

其中，θ_j为转台的理论转动角度，j＝1...m-1；

采用多次测量取平均值方式得到激光追踪仪多站位测量方式标定转台定位精度

为

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