CN106338970A - 一种五轴联动数控机床伺服系统控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种五轴联动数控机床伺服系统控制方法，包括：五轴联动数控机床伺服系统获得五个进给轴的理想位置信号；五个进给轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得各进给轴的输入控制信号；计算A、B轴误差补偿控制信号，以及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号；计算得到A、B轴的控制信号和X、Y、Z轴的控制信号；利用计算得到的A、B轴的控制信号以及X、Y、Z轴的控制信号进行五轴联动数控机床伺服系统控制，输出实际位置信号。本发明把单轴系统的反馈控制、前馈控制以及多轴的交叉耦合控制、旋转运动对直线运动的干扰补偿控制集成在一起，达到良好的跟踪性能和轮廓性能，形成完整的多轴集成精密联动伺服控制。

Description

一种五轴联动数控机床伺服系统控制方法

技术领域

本发明属于数控技术领域，特别涉及一种五轴联动数控机床伺服系统控制方法。

背景技术

五轴联动数控机床是指在一台机床有五个进给轴，例如，大型数控龙门镗铣床。五轴联动加工在计算机数控系统的指挥下，控制多轴联动伺服控制器和伺服电机，同时协调五个进给轴的运动，能对复杂曲面的零件进行高效、高精度加工。这种五轴联动数控加工，可以高质量地加工出在一般三轴数控机床上所不能加工或很难用一次装夹完成对连续、自由曲面的零件的高精度加工。因为五轴联动的数控机床功能最全，控制最复杂，是一种高端的数控机床。五轴精密联动伺服控制器是这种高档数控机床的一个重要组成部分，研究并攻克它的核心关键技术，制造出这种高档数控机床，是国家战略利益的需要，体现了国家意志。这种五轴联动的高档数控机床在国防、军工、航空、电力、交通运输、舰船等大型高、精、尖设备中，是其零件加工必须的关键的制造设备。

五轴联动高档数控机床是一个十分复杂的机电系统，其中最主要的是要有一个功能强大的数控系统，在完成要求的数据处理运算后，向各个进给轴适时发出加工指令，要求各轴以所需要的速率完成所需要的位移，多个轴的合成运动实现刀具对工件的切削。由于数控系统完成插补计算，向进给轴发出命令，它在很大程度上决定着数控机床对零件轨迹轮廓加工速度、精度和表面质量，即是说，数控负责加工方式的规划和决策任务，这是实现五轴联动加工的首要条件。但只有数控指令联动，还远不能精密完成实际加工任务，同时，各联动进给轴还必须有与数控系统相适应的精密联动伺服控制器驱动伺服电机，带动各进给轴做精密联动运动，使刀具能加工出高精度复杂零件。进给轴的动态特性对机床的轮廓加工精度有重大影响，联动轴中的各轴特性参数不匹配是造成轮廓误差的主要原因之一。为了使多轴间真正实现联动，保证高速下轮廓加工精度，就必须深入研究高性能的多轴精密联动伺服控制器的理论与实现方法问题。

为提高加工精度，减小轮廓误差现在从两个方向上考虑解决，其一是以单轴跟踪误差最小化为控制目标。当进给速率不高、命令路径曲率变化不大，各轴的动态特性差异不特别显著，在加工精度要求又不甚高时，通过减小单轴的跟踪误差来降低多轴系统中的轮廓误差的方法尚可采用；这是目前在五坐标联动数控机床普遍采用的方法。但在高档数控机床中，要求高速进给，加工精度高，轮廓外形复杂，轨迹非线性严重，只着眼于改善单轴的跟踪误差已无法有效地降低轮廓误差。

因此，只有另辟蹊径，寻找有效的途径来改善多轴系统的轮廓误差。可以采用新型的前馈控制和反馈控制对单轴系统进行控制，从而减小单轴的跟踪误差，再建立估计轮廓误差模型，可以精确地近似理论上定义的轮廓误差，又具有实现上的可行性，基于这种认识，就可以把单轴系统所采用的前馈控制、反馈控制以及多轴的交叉耦合控制、对旋转运动引起直线运动误差的补偿控制集成在一起，进行综合设计，达到良好的跟踪性能和轮廓性能，构成一个完整的多轴集成精密联动伺服系统。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明提供一种五轴联动数控机床伺服系统控制方法，所述五轴联动数控机床伺服系统包括五个进给轴，分别是三个直线坐标轴X、Y、Z和两个旋转坐标轴A、B，A、B轴是分别围绕X、Y轴旋转的旋转坐标轴；X、Y、Z各轴的被控对象为永磁直线同步电机，A、B各轴的被控对象为永磁同步电机；各轴的输入控制信号和误差补偿控制信号共同构成控制信号，控制被控对象。

本发明的技术方案是这样实现的：

所述五轴联动数控机床伺服系统控制方法，包括：

步骤1：五轴联动数控机床伺服系统获得五个进给轴X、Y、Z、A、B的理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*、α^*、β^*；

步骤2：五个进给轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得各进给轴的输入控制信号；

步骤3：计算A、B轴误差补偿控制信号，以及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号；

步骤4：根据A、B轴的输入控制信号及A、B轴误差补偿控制信号，计算得到A、B轴的控制信号；根据X、Y、Z轴的输入控制信号及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号，计算得到X、Y、Z轴的控制信号；

步骤5：利用计算得到的A、B轴的控制信号以及X、Y、Z轴的控制信号进行五轴联动数控机床伺服系统控制，输出实际位置信号。

所述步骤2中，A、B两轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得A、B两轴的输入控制信号；

A、B两轴的前馈控制采用零幅值误差跟踪控制，依靠零极点对消的思想，抵消不稳定零点带来的相位误差，对相位和幅值误差进行补偿，得到A、B两轴的前馈控制的输出信号；

A、B两轴的反馈控制采用自适应PID滑模控制，构造一个滑模面，通过滑模面得到自适应PID控制器的控制律，同时构造滑模控制律，对自适应PID控制器进行补偿，抑制不确定性因素，使五轴联动数控机床伺服系统状态停留在滑模面上，反馈输出能跟踪理想参考输入，得到A、B轴的输入控制信号。

所述步骤2中，X、Y、Z三轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得X、Y、Z三轴的输入控制信号；

X、Y、Z三轴的前馈控制采用前馈学习控制，采用前置滤波器来补偿系统延迟，把前置滤波器的状态变量作为前馈学习控制器输入的一部分，通过构造平方差函数得到前馈学习控制器的调整律，得到前馈学习控制器的输出信号；

X、Y、Z三轴的反馈控制采用增量滑模控制，利用五轴联动数控机床伺服系统前一时刻的状态信息和控制动作作为反馈量，同时选择饱和函数作为切换函数，得到X、Y、Z各轴的输入控制信号。

所述步骤3中计算A、B轴误差补偿控制信号，具体方法是：采用A、B轴理想位置信号合成A、B轴参考轮廓曲线，根据刀具当前参考轮廓曲线上的参考位置和实际位置，得到两点的切线矢量，根据两点距离在参考位置切线方向的投影和两点切线方向的速度，近似得到参考轮廓曲线上另一个位置，轮廓误差近似为实际位置到参考轮廓曲线上的两点所经过直线的距离，建立A、B轴估计轮廓误差模型，根据A、B轴估计轮廓误差模型对A、B轴轮廓误差进行解耦控制，解耦控制采用非线性PI切线轮廓控制，定义参考轮廓曲线上距刀具实际位置最近的点处切线方向为t轴，法线方向为c轴，建立t-c坐标系，将跟踪误差分解为t、c轴方向的分量，通过非线性PI控制分别得到切线控制律和轮廓控制律，分别转换成A、B轴的误差补偿控制信号。

所述步骤3中计算X、Y、Z轴第一组误差补偿控制信号：采用X、Y、Z轴理想位置信号合成X、Y、Z轴参考轮廓曲线，建立的XYZ空间的双层估计轮廓误差模型：第一层为XY平面，将所有的位置和轮廓投射在XY平面，定义XY平面上的轮廓误差为实际位置沿参考位置法线方向上的误差，得到XY平面的轮廓误差；第二层为RZ平面，将所有轮廓和位置投射在RZ平面，R轴为一个虚拟轴，定义R轴的跟踪误差为XY平面沿参考位置切线方向上的误差，定义RZ平面上的轮廓误差为沿RZ平面的法线方向上的误差，对XYZ空间的轮廓误差进行解耦控制，XY平面的轮廓误差经过自适应PID控制得到控制律，解耦得到X、Y轴的误差补偿控制信号，RZ平面的轮廓误差经过自适应PID控制得到控制律，解耦得到R、Z轴的误差补偿控制信号，忽略R轴的误差补偿控制信号即得到Z轴的误差补偿控制信号，由此得到X、Y、Z轴的一组误差补偿控制信号；

所述步骤3中计算X、Y、Z轴第二组误差补偿控制信号：首先建立XYZ空间的估计轮廓误差模型，得到三个直线坐标轴的跟踪误差与轮廓误差的关系，然后计算由A、B轴的跟踪误差引起的三个直线坐标轴附加的跟踪误差，通过三个直线坐标轴的跟踪误差与轮廓误差的关系计算出XYZ空间附加的轮廓误差，经分解得到X、Y、Z各轴附加的轮廓误差分量，分别经过PID控制器，得到X、Y、Z轴的另一组误差补偿控制信号。

有益效果：

本发明针对五轴联动数控机床伺服系统的轮廓指令，提出了估计轮廓误差矢量的新方法。这一轮廓误差矢量是由跟踪误差矢量和归一化的切线矢量所构成。在跟踪误差很小的情况下，估计轮廓误差能精确地近似理论上定义的轮廓误差。

现有技术中，在理论和实现上对单轴的跟踪误差可以做到足够小，而理论上定义的轮廓误差在实际中又难以精确实现，在这种情况下，本发明通过对五轴联动数控机床伺服系统五个进给轴的理想位置信号进行前馈控制和反馈控制后，分别获得各进给轴的输入控制信号；再计算A、B轴误差补偿控制信号，以及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号；根据A、B轴的输入控制信号及A、B轴误差补偿控制信号，计算得到A、B轴的控制信号；根据X、Y、Z轴的输入控制信号及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号，计算得到X、Y、Z轴的控制信号；利用计算得到的A、B轴的控制信号以及X、Y、Z轴的控制信号进行五轴联动数控机床伺服系统控制，输出实际位置信号。

本发明把单轴系统所采用的反馈控制、前馈控制以及多轴的交叉耦合控制、旋转运动对直线运动的干扰补偿控制集成在一起，进行综合设计，达到良好的跟踪性能和轮廓性能，形成完整的多轴集成精密联动伺服控制。

附图说明

图1是主轴摆动型五轴联动数控机床结构示意图；

图2是本发明具体实施方式中五轴联动数控机床伺服系统控制方法的控制原理示意图；

图3是本发明具体实施方式中零幅值误差跟踪控制器结构示意图；

图4是本发明具体实施方式中自适应PID滑模控制器结构示意图；

图5是本发明具体实施方式中前馈学习控制器结构示意图；

图6是本发明具体实施方式中增量滑模控制器结构示意图；

图7是本发明具体实施方式中A、B轴估计轮廓误差模型示意图；

图8是本发明具体实施方式中非线性PI切线轮廓控制器结构示意图；

图9是本发明具体实施方式中K_P的函数曲线；

图10是本发明具体实施方式中K_I的函数曲线；

图11是本发明具体实施方式中XYZ空间的双层估计轮廓误差模型示意图；

图12是本发明具体实施方式中双层交叉耦合控制器结构示意图；

图13是本发明具体实施方式中XYZ空间的估计轮廓误差模型示意图；

图14是本发明具体实施方式中A、B轴旋转运动时刀具轨迹示意图；

图15是本发明具体实施方式中绕X轴旋转e_α角度时刀具轨迹在YZ平面的投影示意图；

图16是本发明具体实施方式中绕Y轴转过e_β角度时刀具轨迹在XZ平面的投影示意图；

图17是本发明具体实施方式中五轴联动数控机床伺服系统控制方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式做详细说明。

本实施方式中采用的主轴摆动型五轴联动数控机床结构如图1所示，包括五个进给轴：三个直线坐标轴X、Y、Z以及两个旋转坐标轴A、B，两个旋转坐标轴A、B都在主轴上面，分别围绕X、Y轴旋转。

五轴联动数控机床伺服系统控制方法的控制原理示意图如图2所示，五轴联动数控机床伺服系统获得X、Y、Z、A、B轴的理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*、α^*、β^*。A、B轴的理想位置信号α^*、β^*经过前馈控制和反馈控制后，获得A、B轴的输入控制信号u_r′，对于A、B轴u_r′分别为u_α′、u_β′；同时，为了减小轮廓误差，A、B轴理想位置信号α^*、β^*合成A、B轴参考轨迹曲线，通过参考位置的切线矢量和A、B轴的跟踪误差e_α、e_β建立A、B轴估计轮廓误差模型，进行解耦控制获得A、B轴的误差补偿控制信号Δu_r，对于A、B轴Δu_r分别为Δα、Δβ；A、B轴的输入控制信号和误差补偿控制信号共同构成A、B轴的控制信号u_r，对于A、B轴u_r分别为u_α、u_β，对A、B轴的被控对象进行控制，输出实际位置信号θ，对于A、B轴θ分别为α_c、β_c。

X、Y、Z轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，获得输入控制信号u_t′，对于X、Y、Z轴u_t′分别为u_x′、u_y′、u_z′；同时，为了减小轮廓误差，X、Y、Z轴理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*合成X、Y、Z轴参考轨迹曲线，通过参考位置的切线矢量和X、Y、Z轴的跟踪误差e_x、e_y、e_z建立XYZ空间的双层估计轮廓误差模型，进行双层交叉耦合控制获得X、Y、Z轴的误差补偿控制信号Δu_t，对于X、Y、Z轴Δu_t分别为ΔX、ΔY、ΔZ；同时，A、B轴的跟踪误差引起的三个直线坐标轴附加的跟踪误差E_x′、E_y′、E_z′，根据XYZ空间的估计轮廓误差模型，计算得到X、Y、Z轴附加的轮廓误差，从而得到X、Y、Z各轴附加的轮廓误差分量，分别经过PID控制器控制，得到X、Y、Z轴的误差补偿控制信号Δu_θ，对于X、Y、Z轴Δu_θ分别为Δx_θ、Δy_θ、Δz_θ；X、Y、Z轴的输入控制信号和两组误差补偿控制信号共同构成X、Y、Z轴的控制信号u_t，对于X、Y、Z轴u_t分别为u_x、u_y、u_z，对X、Y、Z轴的被控对象进行控制，输出实际位置信号Q，对于X、Y、Z轴分别为X_c、Y_c、Z_c。

建立被控对象的数学模型：

A、B轴的被控对象为永磁同步电机，永磁同步电机三相控制电路通常采用d轴电流分量的转子磁场定向控制，d轴为永磁体基波励磁磁场轴线，超前d轴90°电角度为q轴。永磁同步电机电压方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_q=R_s{i}_q+L_q{\mathrm{pi}}_q+{\mathrm{\ω}}_r{L}_d{i}_q+{\mathrm{\ω}}_r{\mathrm{\ψ}}_f\\ u_d=R_s{i}_d+L_d{\mathrm{pi}}_d+{\mathrm{p\ψ}}_f-{\mathrm{\ω}}_r{L}_q{i}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，u_d、u_q分别为d、q轴定子电压；R_s为定子相电阻；i_d、i_q分别为d、q轴定子电流；ω_r为转子的电角速度；L_d、L_q分别为d、q轴定子电感；ψ_f为永磁体基波励磁磁场链过定子绕组的磁链；p为微分算子。

永磁同步电机的电磁转矩方程为：

T_e＝p_n[ψ_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q] (2)

式中，T_e为永磁同步电机的电磁转矩，p_n为极对数。

永磁同步电机的运动方程为：

$Jp\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=T_e-T_L-B\mathrm{\ω}---\left(3\right)$

式中，J为转子和所带负载总转动惯量；ω为机械角速度；T_e为永磁同步电机的电磁转矩；T_L为负载转矩；B为粘滞摩擦系数。

永磁同步电机的电感满足L_d＝L_q＝L，并将式(2)代入式(3)整理得：

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=\frac{p_n{\mathrm{\ψ}}_f}{J}{i}_q-\frac{B}{J}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}-\frac{T_L}{J}---\left(4\right)$

X、Y、Z轴的被控对象为永磁直线同步电机，永磁直线同步电机三相控制电路通常采用d-q轴电流控制，d轴为永磁体基波励磁磁场轴线，超前d轴90°电角度为q轴。则电磁推力F_e表示为：

$F_e=\frac{3\mathrm{\π}}{2\mathrm{\τ}}\[(L_d-L_q)i_d+{\mathrm{\ψ}}_{PM}\]i_q---\left(5\right)$

式中，i_d、i_q分别为d、q轴电流，L_d、L_q分别为d、q轴定子电感，ψ_PM为永磁体产生的励磁磁链，τ为极距。

根据磁场定向原理，取假设L_d＝L_q＝L，电磁推力F_e简化为：

$F_e=\frac{3\mathrm{\π}}{2\mathrm{\τ}}{\mathrm{\ψ}}_{PM}{i}_q=K_t{i}_q---\left(6\right)$

其中，K_t为电磁推力常数。

永磁直线同步电机的机械运动学方程表示为：

$F_e=M{\stackrel{\·}{v}}_m+{\mathrm{Bv}}_m+F_{\mathrm{\Σ}}---\left(7\right)$

式中，M为永磁直线同步电机的动子和动子所带负载的总质量，B为粘滞摩擦系数，v_m为动子线速度，F_Σ为扰动，包括系统外部扰动、内部波动力和摩擦力等。

将式(6)代入式(7)可得：

$M{\stackrel{\·}{v}}_m=K_t{i}_q-B{v}_m-F_{\mathrm{\Σ}}---\left(8\right)$

则永磁直线同步电机的机械运动学方程变形为：

$\stackrel{\·\·}{Q}\left(t_i\right)=A_m\stackrel{\·}{Q}\left(t_i\right)+B_{m}u\left(t_i\right)+C_m{F}_{\mathrm{\Σ}}---\left(9\right)$

式中，Q(t_i)为动子在t_i时刻的位置；为动子在t_i时刻的位置Q(t_i)的二阶导数，表示动子的加速度；为动子在t_i时刻的位置Q(t_i)的一阶导数，表示动子的线速度；u＝i_q，为控制率；A_m＝-B/M，B_m＝K_t/M，C_m＝-1/M。

实际五轴联动数控机床伺服系统中存在参数变化，所以式(9)可以写为：

$\stackrel{\·\·}{Q}\left(t_i\right)=(A_m+{\mathrm{\ΔA}}_m)\stackrel{\·}{Q}\left(t_i\right)+(B_m+{\mathrm{\ΔB}}_m)u\left(t_i\right)+(C_m+{\mathrm{\ΔC}}_m)F_{\mathrm{\Σ}}---\left(10\right)$

$\stackrel{\·\·}{Q}\left(t_i\right)=A_m\stackrel{\·}{Q}\left(t_i\right)+B_{m}u\left(t_i\right)+D---\left(11\right)$

式中，为总的参数变化和外部扰动等不确定因素，且假设不确定性|D|≤μ，μ为一正数。

本实施方式中五轴联动数控机床伺服系统控制方法，如图17所示，包括：

步骤1：五轴联动数控机床伺服系统获得X、Y、Z、A、B轴的理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*、a^*、β^*，五个坐标轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得各轴的输入控制信号；

(1)A、B两轴的理想位置信号α^*、β^*经过前馈控制和反馈控制后，分别获得A、B两轴的输入控制信号u_r′，对于A、B轴u_r′分别表示为u_α′、u_β′；

(1.1)A、B两轴的前馈控制器采用零幅值误差跟踪控制器，依靠零极点对消的思想，抵消不稳定零点带来的相位误差，对相位和幅值误差进行补偿，保证五轴联动数控机床伺服系统快速跟踪性能的同时消除高频干扰信号对五轴联动数控机床伺服系统的影响，避免五轴联动数控机床伺服系统产生振荡，得到A、B两轴的零幅值误差跟踪控制器的输出信号；

零幅值误差跟踪控制器结构示意图如图3所示，其中零幅值误差跟踪控制器的输入为t时刻的A、B轴的理想位置信号r^*(t)，对于A、B轴r^*分别为理想位置信号α^*、β^*；零幅值误差跟踪控制器输出为对于A、B轴分别为

设A、B轴的被控对象和反馈控制器组成的闭环传递函数为：

$G_{c1}\left(z^{-1}\right)=\frac{z^{-d}{B}_c\left(z^{-1}\right)}{A_c\left(z^{-1}\right)}=\frac{z^{-d}{B}_c^a\left(z^{-1}\right)B_c^u\left(z^{-1}\right)}{A_c\left(z^{-1}\right)}---\left(12\right)$

式中，G_cl(z^-1)为闭环传递函数；z^-d为闭环控制所造成的d步延迟；为将B_c(z^-1)因式分解后具有稳定零点的部分；为不稳定零点的部分。

且有：

B_c(z^-1)＝b₀+b₁z^-1+…+b_mz^-m，b₀≠0 (13)

A_c(z^-1)＝1+a₁z^-1+…+a_nz^-n，m≤n (14)

通常对于非最小相位，闭环控制包含不可对消的零点，采用零幅值误差跟踪控制原理设计零幅值误差跟踪控制器，根据闭环传递函数，零幅值误差跟踪控制器为：

$G_{ff}\left(z^{-1}\right)=\frac{z^d{A}_c\left(z^{-1}\right)}{B_c^a\left(z^{-1}\right)B_c^u\left(z\right)}---\left(15\right)$

式中，G_ff(z^-1)为零幅值误差跟踪控制器，其输入为r^*(t)，输出为

则从输入r^*(t)到输出的传递函数为：

$\frac{w_{ff}^{*}\left(t\right)}{r^{*}\left(t\right)}=\frac{B_c^u\left(z^{-1}\right)}{B_c^u\left(z\right)}---\left(16\right)$

式中， 为将中的z^-1替换为z。

在频域中进行分析，取z＝e^jωT，根据欧拉公式e^jωT＝cos(ωT)+jsin(ωT)，则有

$B_c^u\left(e^{-j\mathrm{\ω}T}\right)=b_{c0}^u+b_{c1}^u\[cos\left(\mathrm{\ω}T\right)-jsin\left(\mathrm{\ω}T\right)\]+\mathrm{...}+b_{cs}^u\[cos\left(s\mathrm{\ω}T\right)-jsin\left(s\mathrm{\ω}T\right)\]---\left(17\right)$

$B_c^u\left(e^{j\mathrm{\ω}T}\right)=b_{c0}^u+b_{c1}^u\[cos\left(\mathrm{\ω}T\right)+jsin\left(\mathrm{\ω}T\right)\]+\mathrm{...}+b_{cs}^u\[cos\left(s\mathrm{\ω}T\right)+jsin\left(s\mathrm{\ω}T\right)\]---\left(18\right)$

从而改写式(16)为

$\frac{B_c^u\left(z^{-1}\right)}{B_c^u\left(z\right)}=\frac{B_c^u\left(e^{-j\mathrm{\ω}T}\right)}{B_c^u\left(e^{j\mathrm{\ω}T}\right)}=\frac{\mathrm{Re}\left(\mathrm{\ω}\right)-j\mathrm{Im}\left(\mathrm{\ω}\right)}{\mathrm{Re}\left(\mathrm{\ω}\right)+j\mathrm{Im}\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(19\right)$

其中，

式(19)的幅值和相位表达式分别为

式(20)表明，在ω→0时，Im(ω)→0，相位滞后为0，即在低频段，相位误差趋近于0。而在任意频段，此式的幅值恒为1。因此，零幅值误差跟踪控制可以保证系统快速跟踪性能，同时消除高频干扰信号对系统的影响。

(1.2)A、B轴的前馈控制器的输出信号与实际位置信号相减，得到A、B轴的跟踪误差，经过反馈控制后得到A、B轴的输入控制信号u_r′。A、B轴的反馈控制采用自适应PID滑模控制，构造一个滑模面，通过滑模面得到自适应PID控制器的控制律，同时通过滑模控制律对A、B两轴的控制信号进行补偿，抑制不确定性因素对五轴联动数控机床伺服系统的影响，使五轴联动数控机床伺服系统状态停留在滑模面上，反馈输出能跟踪理想参考输入，保证五轴联动数控机床伺服系统的控制精度，得到A、B轴的输入控制信号。

自适应PID滑模控制器结构示意图如图4所示，输入为A、B轴的前馈控制器的输出信号输出为A、B轴输入控制信号u_r′。控制目的是使输出能跟踪理想参考输入，所以定义反馈误差信号e_A(t)为

$e_A\left(t\right)=w_{ff}^{*}\left(t\right)-\mathrm{\θ}\left(t\right)---\left(21\right)$

考虑不确定项和内外部扰动，不考虑其他补偿信号，式(4)可变为：

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)=f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)+\mathrm{\Δ}f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)+{\mathrm{bu}}_r^{\′}\left(t\right)-d\left(t\right)---\left(22\right)$

式中， 为不确定项；u′_r(t)＝i_q；d(t)为内外部干扰的总和。假设如下界限： g、h均为正数。

自适应PID滑模控制器的控制律为：

u′_r＝u_APID+u_s (23)

式中，u_APID为自适应PID控制器的控制律；u_s为滑模控制律。

自适应PID控制器的控制律为：

$u_{APID}\left(t\right)={\hat{K}}_P{e}_A\left(t\right)+{\hat{K}}_1\underset{0}{\overset{t}{\∫}}{e}_A\left(t\right)dt+{\hat{K}}_D\frac{{\mathrm{de}}_A\left(t\right)}{dt}---\left(24\right)$

式中，为自适应PID控制器的控制参数。

为了得到合适的自适应律来调整自适应PID控制器的控制参数，设计一个二阶PD类型的滑模面为：

$s\left(t\right)={\mathrm{\κe}}_A\left(t\right)+\frac{{\mathrm{de}}_A\left(t\right)}{dt}---\left(25\right)$

式中，κ为一个正常数。

定义评价函数：

$C\left(s\right(t\left)\right)=\frac{1}{2}{s}^2\left(t\right)---\left(26\right)$

评价函数的微分为：

$\stackrel{\·}{C}\left(s\right(t\left)\right)=s\left(t\right)\stackrel{\·}{s}\left(t\right)---\left(27\right)$

根据式(21)、(22)、(25)，可得：

$\stackrel{\·}{s}\left(t\right)=\mathrm{\κ}{\stackrel{\·}{e}}_A\left(t\right)+{\stackrel{\·\·}{w}}_{ff}^{*}\left(t\right)-f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)-\mathrm{\Δ}f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)-{\mathrm{bu}}_r^{\′}\left(t\right)+d\left(t\right)---\left(28\right)$

式(28)代入式(27)得：

$\stackrel{\·}{C}\left(s\right(t\left)\right)=s\left(t\right)\[\mathrm{\κ}{\stackrel{\·}{e}}_A\left(t\right)+{\stackrel{\·\·}{w}}_{ff}^{*}\left(t\right)-f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)-\mathrm{\Δ}f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)-{\mathrm{bu}}_r^{\′}\left(t\right)+d\left(t\right)\]---\left(29\right)$

调整自适应PID控制器的控制参数的作用是为了使最小，从而实现s(t)的快速收敛，因此采用梯度下降法，得到自适应PID控制器的控制参数的自适应律：

${\stackrel{\·}{\hat{K}}}_P=-{\mathrm{\η}}_P\frac{\∂\stackrel{\·}{C}\left(s\right(t\left)\right)}{\∂{\hat{K}}_P}=-{\mathrm{\η}}_P\frac{\∂s\left(t\right)\stackrel{\·}{s}\left(t\right)}{\∂u_{APID}}\frac{\∂u_{APID}}{\∂{\hat{K}}_P}={\mathrm{\η}}_{P}bs\left(t\right)e_A\left(t\right)---\left(30\right)$

${\stackrel{\·}{\hat{K}}}_1=-{\mathrm{\η}}_I\frac{\∂\stackrel{\·}{C}\left(s\right(t\left)\right)}{\∂{\hat{K}}_I}=-{\mathrm{\η}}_I\frac{\∂s\left(t\right)\stackrel{\·}{s}\left(t\right)}{\∂u_{APID}}\frac{\∂u_{APID}}{\∂{\hat{K}}_I}={\mathrm{\η}}_{I}bs\left(t\right)\underset{0}{\overset{T}{\∫}}{e}_A\left(t\right)dt---\left(31\right)$

${\stackrel{\·}{\hat{K}}}_K=-{\mathrm{\η}}_D\frac{\∂\stackrel{\·}{C}\left(s\right(t\left)\right)}{\∂{\hat{K}}_D}=-{\mathrm{\η}}_D\frac{\∂s\left(t\right)\stackrel{\·}{s}\left(t\right)}{\∂u_{APID}}\frac{\∂u_{APID}}{\∂{\hat{K}}_D}={\mathrm{\η}}_{D}bs\left(t\right)\frac{{\mathrm{de}}_A\left(t\right)}{dt}---\left(32\right)$

式中，η_P、η_I、η_D为更新速率，分别为的一阶微分。

为了提高跟踪性能，并保持稳定控制，增加滑模控制律为：

$u_s\left(t\right)=b^{-1}\[{\stackrel{\·\·}{w}}_{ff}^{*}\left(t\right)+\mathrm{\κ}{\stackrel{\·}{e}}_A\left(t\right)-f(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},t)+(g+h)\mathrm{sgn}\left(s\right(t\left)\right)\]---\left(33\right)$

式中，sgn(·)为符号函数。

为了证明稳定性，建立李雅普诺夫函数：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{s}^2\left(t\right)+\frac{1}{{\mathrm{\η}}_P}{\hat{K}}_P^2+\frac{1}{{\mathrm{\η}}_I}{\hat{K}}_I^2+\frac{1}{{\mathrm{\η}}_D}{\hat{K}}_D^2---\left(34\right)$

李雅普诺夫函数的微分为：

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=s\left(t\right)\stackrel{\·}{s}\left(t\right)+\frac{1}{{\mathrm{\η}}_P}{\stackrel{\·}{\hat{K}}}_P{\hat{K}}_P+\frac{1}{{\mathrm{\η}}_I}{\stackrel{\·}{\hat{K}}}_I{\hat{K}}_I+\frac{1}{{\mathrm{\η}}_D}{\stackrel{\·}{\hat{K}}}_D{\hat{K}}_D---\left(35\right)$

将式(23-24)、(28)、(30-33)代入式(35)得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=s\left(t\right)\&lsqb;\mathrm{\&kappa;}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_A\left(t\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{ff}^{*}\left(t\right)-f(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},t)-\mathrm{\&Delta;}f(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},t)-{\mathrm{bu}}_r^{\&prime;}\left(t\right)+d\left(t\right)\&rsqb;\\ +{\hat{K}}_{P}bs\left(t\right)e_A\left(t\right)+{\hat{K}}_{I}bs\left(t\right)\underset{0}{\overset{T}{\&Integral;}}{e}_A\left(t\right)dt+{\hat{K}}_{D}bs\left(t\right)\frac{{\mathrm{de}}_A\left(t\right)}{dt}\\ =s\left(t\right)\&lsqb;-\mathrm{\&Delta;}f(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},t)-(g+h)\mathrm{sgn}\left(s\right(t\left)\right)+d\left(t\right)\&rsqb;=s\left(t\right)\&lsqb;-\mathrm{\&Delta;}f(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},t)\&rsqb;+s\left(t\right)d\left(t\right)-\left|s\left(t\right)\right|(g+h)\\ <\left|s\left(t\right)\right|\left|\mathrm{\&Delta;}f(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},t)\right|+\left|s\left(t\right)\right|\left|d\left(t\right)\right|-\left|s\left(t\right)\right|(g+h)\\ =\left|s\left(t\right)\right|\left(\right|\mathrm{\&Delta;}f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},t\right)|-g)+\left|s\left(t\right)\right|\left(\right|d\left(t\right)|-h)<0\end{array}---\left(36\right)$

所以自适应PID控制器可以保证系统稳定，并满足滑模条件。

(2)X、Y、Z轴的理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*经过前馈控制和反馈控制后，分别获得X、Y、Z三轴的输入控制信号u_t′，对于X、Y、Z三轴u_t′分别表示为u_x′、u_y′、u_z′；

(2.1)X、Y、Z轴的理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*经过前馈控制，得到前馈控制器的输出信号u_ff，X、Y、Z轴分别为u_ffx、u_ffy、u_ff2，X、Y、Z轴的前馈控制器采用前馈学习控制器，同时使用前置滤波器来补偿系统延迟，为了消除冗余，省去前置滤波器的学习过程，把它的状态变量作为前馈控制器输入的一部分，通过构造平方差函数得到前馈学习控制器的调整律。

前馈学习控制器结构示意图如图5所示，其中，r^*为理想位置信号，对于X、Y、Z轴，r^*分别为X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*；Q_Θ(s)为前馈学习控制器，即虚线框内部分；u_ff为前馈学习控制器的输出信号；u(t_i)_ISMC为反馈控制器的输出信号；前馈学习控制器和反馈控制器的输出信号共同构成输入控制信号u_t′。

为了简便，认为X、Y、Z轴的被控对象可逆，将X、Y、Z轴的被控对象写为以下形式：

式中，P(s)为X、Y、Z轴的被控对象的传递函数；A、B、C为P(s)的最小实现，D(s)为p×p阶多项式矩阵。

前馈学习控制器的控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_t^{\&prime;}=u_{ISMC}+u_{ff}\\ u_{ff}=Q_{\mathrm{\&Theta;}}\left(s\right)r\\ u_{ISMC}=K_{fb}\left(s\right)(w-Q)\end{array}\right.---\left(38\right)$

式中，u(t_i)_ISMC为反馈控制器输出信号；Q_Θ(s)为前馈学习控制器；K_fb(s)为反馈控制器，且稳定；w＝W(s)r，为参考输入信号经过前置滤波器W(s)滤波后的信号，并且

$\left\{\begin{array}{c}W\left(s\right)=L{\left(s\right)}^{-1}\\ L\left(s\right)=diag\left(l_1\right(s),\mathrm{...},l_p(s\left)\right)\end{array}\right.---\left(39\right)$

式中，l_i(s)为Hurwitz多项式，i＝1，...，p，同D(s)的列向量维数相等。

前馈学习控制器如下：

$\begin{array}{c}{u}_{ff}\left(t\right)=\mathrm{\&Theta;}\left(t\right)\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\\ \mathrm{\&Theta;}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}F\left(t\right)& H\left(t\right)\end{array}\right)\\ \mathrm{\&xi;}\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_w\left(t\right)\\ r\left(t\right)\end{array}\right)\end{array}---\left(40\right)$

式中，ξ_w为前置滤波器的状态空间向量，且

定义误差模型如下：

式中，l(s)为Hurwitz多项式，其维数大于或等于l_i(s)(i＝1，...，p)的维数。

根据递归最小二乘法，定义平方差函数：

$J\left(\mathrm{\&Theta;}\right)={\&Integral;}_0^t\left|\right|\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)|{|}^{2}d\mathrm{\&tau;}---\left(43\right)$

为了使平方差函数最小，得到最优解为：

$\mathrm{\&Theta;}\left(t\right)=\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)\widetilde{\mathrm{\&xi;}}{\left(t\right)}^{T}Z\left(t\right)---\left(44\right)$

其中，Z(t)为变化的增益，其调整律如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{Z}\left(t\right)=\mathrm{\&zeta;}Z\left(t\right)-Z\left(t\right)\widetilde{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)\widetilde{\mathrm{\&xi;}}{\left(t\right)}^{T}Z\left(t\right)---\left(45\right)$

其中，Z(0)＝χI，χ>>1。ζ≥0，为遗忘因子。

因此，Θ(t)通过式(44)、(45)进行学习调整。

(2.2)X、Y、Z三轴的反馈控制采用增量滑模控制器，利用五轴联动数控机床伺服系统前一时刻的状态信息和控制动作作为反馈量，同时选择饱和函数作为切换函数，不仅削弱了抖振，而且提高了系统的跟踪性能，使系统具有强鲁棒性，得到X、Y、Z轴的输入控制信号。

增量滑模控制器结构示意图如图6虚线框内所示。为了削弱抖振并提高五轴联动数控机床伺服系统的跟踪性能，设计增量滑模控制器，先设计滑模切换函数，使五轴联动数控机床伺服系统状态在有限时间内趋近于滑模面，然后设计控制律，并满足滑模条件。

令参考输入信号经过前置滤波器滤波后的信号w(t)为反馈控制器的理想输入位置，定义t_i时刻误差信号为：

e(t_i)＝w(t_i)-Q(t_i) (47)

滑模面设计为：

$s\left(t_i\right)=\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t_i\right)+2\mathrm{\&lambda;}e\left(t_i\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^2{\&Integral;}_0^{t}e\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(48\right)$

其中，λ为一正的常数。

增量滑模控制器的控制律u(t_i)_ISMC为：

u(t_i)_ISMC＝u(t_i-1)_ISMC+u_eq(t_i)+u_v(t_i) (49)

t_i＝t_i-1+Δt (50)

其中，u(t_i-1)_ISMC是上一时刻t_i-1的控制动作，Δt为步长，u_eq(t_i)为滑模等效控制部分，u_v(t_i)为滑模切换控制部分。

u_eq(t_i)的表达式为：

$u_{eq}\left(t_i\right)=\frac{1}{B_m}\&lsqb;\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}\left(t_i\right)-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Q}\left(t_{i-1}\right)+2\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t_i\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}e\left(t_i\right)+ks\left(t_i\right)\&rsqb;---\left(51\right)$

其中，k为一正的常数。

u_v(t_i)的表达式为

$u_v\left(t_i\right)=\frac{1}{B_m}\&lsqb;\mathrm{\&beta;}sat\left(\frac{s\left(t_i\right)}{\mathrm{\&phi;}}\right)\&rsqb;---\left(52\right)$

其中，β为一个正常数，sat(·)为饱和函数，表示为：

$sat\left(\frac{s\left(t_i\right)}{\mathrm{\&phi;}}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& s\left(t_i\right)\&GreaterEqual;\mathrm{\&phi;}\\ \frac{s\left(t_i\right)}{\mathrm{\&phi;}},& -\mathrm{\&phi;}<s<\mathrm{\&phi;}\\ -1,& s\left(t_i\right)\&le;-\mathrm{\&phi;}\end{array}\right.---\left(53\right)$

其中，φ为边界层厚度。

将式(48)、(51)、(52)代入式(11)得：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Q}\left(t_i\right)=A_m\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{Q}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}\left(t_i\right)+\mathrm{\&beta;}sat\left(\frac{s\left(t_i\right)}{\mathrm{\&phi;}}\right)+2\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t_i\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}e\left(t_i\right)+ks\left(t_i\right)+D---\left(54\right)$

其中，假设

建立李雅普诺夫函数则：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t_i\right)=s\left(t_i\right)\stackrel{\&CenterDot;}{s}\left(t_i\right)---\left(55\right)$

由式(48)得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}\left(t_i\right)=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}\left(t_i\right)+2\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t_i\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}e\left(t_i\right)---\left(56\right)$

将式(11)、(47)、(54)、(56)代入式(55)得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t_i\right)=s\left(t_i\right)\&lsqb;A_m\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{Q}-ks\left(t_i\right)-\mathrm{\&beta;}sat\left(\frac{s\left(t_i\right)}{\mathrm{\&iota;}}\right)-D\&rsqb;\\ \&le;-{\mathrm{ks}}^2\left(t_i\right)-s\left(t_i\right)\left(A_m\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{Q}\right)-\mathrm{\&beta;}\left|s\left(t_i\right)\right|-\mathrm{\&mu;}\left|s\left(t_i\right)\right|\\ \&le;-{\mathrm{ks}}^2\left(t_i\right)+\left|s\left(t_i\right)\right|\left|A_m\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{Q}\right|-\mathrm{\&beta;}\left|s\left(t_i\right)\right|-\mathrm{\&mu;}\left|s\left(t_i\right)\right|\\ \&le;-{\mathrm{ks}}^2\left(t_i\right)-\mathrm{\&rho;}\left|s\left(t_i\right)\right|\&le;0\end{array}---\left(57\right)$

其中，ρ为一正数。因为V(t_i)≥0，所以V(t_i)有界。

由式(57)可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t_i\right)\&le;-{\mathrm{ks}}^2\left(t_i\right)-\mathrm{\&rho;}\left|s\left(t_i\right)\right|\&le;-{\mathrm{ks}}^2\left(t_i\right)---\left(58\right)$

则有两边积分可得

${\&Integral;}_0^{\mathrm{\&infin;}}{\mathrm{ks}}^2\left(t_i\right)\&le;V\left(0\right)-V\left(\mathrm{\&infin;}\right)---\left(59\right)$

由于V(t_i)有界，根据Barbalat引理，可得同理有因此是全局渐进稳定的。因此得到X、Y、Z轴的输入控制信号，即为增量滑模控制器的控制律。

步骤3：计算A、B轴误差补偿控制信号，以及X、Y、Z轴误差补偿控制信号；

(1)计算A、B轴误差补偿控制信号，具体方法是：采用A、B轴理想位置信号α^*、β^*合成A、B轴参考轮廓曲线，根据刀具当前参考轮廓曲线上的参考位置和实际位置，得到两点的切线矢量，根据两点距离在参考位置切线方向的投影和两点切线方向的速度，近似得到参考轮廓曲线上的另一个位置，轮廓误差近似为实际位置到参考轮廓曲线上的两点所经过直线的距离，建立A、B轴估计轮廓误差模型，根据A、B轴估计轮廓误差模型对A、B轴轮廓误差进行解耦控制，定义在参考轮廓曲线上距刀具实际位置最近的点处切线方向为t轴，法线方向为c轴，建立t-c坐标系，将跟踪误差分解为t、c轴方向的分量，通过非线性PI控制分别得到切线控制率和轮廓控制率，分别转换成A、B轴的误差补偿控制信号Δu_r，对于A、B轴Δu_r分别表示为Δα、Δβ。

采用矢量的方法建立A、B轴估计轮廓误差模型，通过跟踪误差矢量和切线矢量得到估计轮廓误差矢量。图7为A、B轴估计轮廓误差模型示意图，图中，r₁(t)为刀具当前的参考位置，r₂(t)为刀具当前的实际位置，r₁(t′)为参考轮廓曲线上的位置。位置矢量r₁(t)、r₂(t)可表示为：

${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_1\left(t\right)=r_{1a}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{i}+r_{1b}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{j}---\left(60\right)$

${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_2\left(t\right)=r_{2a}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{i}+r_{2b}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{j}---\left(61\right)$

其中，r_1a、r_1b分别为r₁(t)在A、B轴的坐标；r_2a、r_2b分别为r₂(t)在A、B轴的坐标。

在r₁(t)、r₂(t)处的切线单位矢量分别为：

$\stackrel{\&RightArrow;}{e_{t1}}\left(t\right)\frac{d{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_1\left(t\right)}{{\mathrm{ds}}_1}=\frac{{\mathrm{dr}}_{1a}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{i}+{\mathrm{dr}}_{1b}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{j}}{{\mathrm{ds}}_1}---\left(62\right)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{e_{t2}}\left(t\right)=\frac{d{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_2\left(t\right)}{{\mathrm{ds}}_2}=\frac{{\mathrm{dr}}_{2a}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{i}+{\mathrm{dr}}_{2b}\left(t\right)\stackrel{\&RightArrow;}{j}}{{\mathrm{ds}}_2}---\left(63\right)$

其中，

在t时刻，r₁(t)、r₂(t)间的距离矢量可表示为：

$\stackrel{\&RightArrow;}{r_2{r}_1}{|}_t=(r_{1a}-r_{2a}){|}_t\stackrel{\&RightArrow;}{i}+(r_{1b}-r_{2b}){|}_t\stackrel{\&RightArrow;}{j}---\left(64\right)$

因此，在r₂(t)的切线方向上的投影长度为L：

$L=\stackrel{\&RightArrow;}{r_2{r}_1}\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{e_{t2}}=\frac{{\mathrm{dr}}_{2a}}{{\mathrm{ds}}_2}(r_{1a}-r_{2a})+\frac{{\mathrm{dr}}_{2b}}{{\mathrm{ds}}_2}(r_{1b}-r_{2b})---\left(65\right)$

假设r₁(t)、r₁(t′)之间的距离等于L，从r₁(t′)到r₁(t)的平均速率为Δt为从r₁(t′)到r₁(t)所用时间，则有

$\stackrel{\&RightArrow;}{V}=V_a\stackrel{\&RightArrow;}{i}+V_b\stackrel{\&RightArrow;}{j}---\left(66\right)$

$L=\left|\right|(V_a\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t)\stackrel{\&RightArrow;}{i}+(V_b\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t)\stackrel{\&RightArrow;}{j}\left|\right|---\left(67\right)$

其中，V_a、V_b分别为在A、B轴的分量。根据式(65)、(66)，可得：

$L=\frac{{\mathrm{dr}}_{2a}}{{\mathrm{ds}}_2}(r_{1a}-r_{2a})+\frac{{\mathrm{dr}}_{2b}}{{\mathrm{ds}}_2}(r_{1b}-r_{2b})=\sqrt{{(V_a\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t)}^2+{(V_b\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t)}^2}={({V_a}^2+{V_b}^2)}^{1/2}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t---\left(68\right)$

因此，得到：

$\mathrm{\&Delta;}t=\frac{L}{\left|\stackrel{\&RightArrow;}{V}\right|}=\frac{L}{{({V_a}^2+{V_b}^2)}^{1/2}}---\left(69\right)$

式(69)中，可以看作参考轮廓上的进给速率，通常是已知的，因此当进给速率不变或发生小的变化时，Δt可由式(69)直接计算得出。

当理想的进给速率不发生大的变化时，根据式(69)得到的Δt，可估算出r₁(t′)的坐标：

${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_1\left(t^{\&prime;}\right)={\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_1(t-\mathrm{\&Delta;}t)\&ap;{\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_1\left(t\right)-\mathrm{\&Delta;}t\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&RightArrow;}{i}& \stackrel{\&RightArrow;}{j}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{1a}\left(t\right)-V_a\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t\\ r_{1b}\left(t\right)-V_b\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&RightArrow;}{i}& \stackrel{\&RightArrow;}{j}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{1a}\left(t\right)-\left(\frac{V_{1a}\left(t\right)+V_{1a}\left(t^{\&prime;}\right)}{2}\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t\\ r_{1b}\left(t\right)-\left(\frac{V_{1b}\left(t\right)+V_{1b}\left(t^{\&prime;}\right)}{2}\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t\end{array}\right]---\left(70\right)$

其中，V_1a(t)、V_1b(t)分别为r₁(t)处的切线方向的速度在A、B轴上的分量；V_1a(t′)、V_1b(t′)分别为r₁(t′)处的切线方向的速度在A、B轴上的分量。通常很难获得精确的V_1a(t′)、V_1b(t′)的值，除非理想的进给速率为恒值，此时V_1a(t′)＝V_1a(t)，V_1b(t′)＝V_1b(t)。若理想的进给速率随时间变化，且系统具有精确的跟踪控制，则r₁(t′)接近r₂(t)。

因此认为r₁(t′)处的切线方向的速率近似等于r₂(t)处的切线方向的速率，式(70)可变为：

${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_1\left(t^{\&prime;}\right)\&ap;\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&RightArrow;}{i}& \stackrel{\&RightArrow;}{j}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{1a}\left(t\right)-\left(\frac{V_{1a}\left(t\right)+V_{2a}\left(t\right)}{2}\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t\\ r_{1b}\left(t\right)-\left(\frac{V_{1b}\left(t\right)+V_{2b}\left(t\right)}{2}\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}t\end{array}\right]---\left(71\right)$

其中，V_2a(t)、V_2b(t)分别为r₂(t)处的切线方向的速率在A、B轴上的分量。

定义r₂(t)处轮廓误差近似等于r₂(t)到经过r₁(t)、r₁(t′)的直线的距离，φ_a为经过r₁(t)、r₁(t′)的直线与A轴的夹角，可通过下式得到：

${\mathrm{\&phi;}}_a={\tan }^{-1}\left(\frac{r_{1b}\left(t^{\&prime;}\right)-r_{1b}\left(t\right)}{r_{1a}\left(t^{\&prime;}\right)-r_{1a}\left(t\right)}\right)---\left(72\right)$

A、B轴估计轮廓误差为：

E′_c＝-e_α·sinφ_a+e_β·cosφ_a (73)

其中，e_α、e_β分别为A、B轴的跟踪误差。

为了消除A、B两轴的耦合作用，使解耦控制更加直接和简单，提高跟踪性能、鲁棒性能和轮廓精度，采用非线性PI切线轮廓控制。非线性PI切线轮廓控制器结构示意图如图8所示，非线性PI切线轮廓控制方法根据A-B坐标系和切线法向坐标系之间的转换关系，将耦合的轮廓误差进行解耦控制。定义R′为在理想路径上距r₂(t)最近的点，R′处切线方向为t轴，法线方向为c轴，建立t-c坐标系。定义坐标传递矩阵Φ为

$\mathrm{\&Phi;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{cos\&theta;}}_t& {\mathrm{sin\&theta;}}_t\\ -{\mathrm{sin\&theta;}}_t& {\mathrm{cos\&theta;}}_t\end{array}\right]---\left(74\right)$

则有

$\left[\begin{array}{c}{E}_t\\ E_c\end{array}\right]=\mathrm{\&Phi;}\left[\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{\&alpha;}}\\ e_{\mathrm{\&beta;}}\end{array}\right]---\left(75\right)$

其中，θ_t为A-B坐标系和t-c坐标系之间的夹角；E_t、E_c分别为跟踪误差在t、c轴方向的分量。

为了确定θ_t的值，可通过以下方法：

其中，为和的夹角；R_a′、R_b′分别为R′关于A、B坐标系的坐标；为轮廓误差，近似等于通过式(73)得到的估计轮廓误差E′_c；φ_a的值由式(72)得到。

θ_t为R′处的切线矢量同A轴的夹角，R′处的切线矢量通过当前值R′(T)和上一时刻的采样值R′(T-1)计算得到：

${\mathrm{\&theta;}}_t={\tan }^{-1}\left(\frac{R_b^{\&prime;}\left(T\right)-R_b^{\&prime;}(T-1)}{R_a^{\&prime;}\left(T\right)-R_a^{\&prime;}(T-1)}\right)---\left(79\right)$

其中，R_a′(T)、R_b′(T)为T时刻R′关于A-B坐标系的坐标。

E_t经过非线性PI切线控制器得到切线控制律U_t，E_c经过非线性PI轮廓控制器得到轮廓控制律U_c。

两个控制器的控制参数K_P、K_I通过函数进行调节，调节的规则如下：

1)如果轮廓误差很大，K_P选择很大的值来快速减小轮廓误差，K_I选择很小的值来避免产生振动。

2)如果轮廓误差适中，K_P和K_I选择中间值来减小轮廓误差。

3)如果轮廓误差很小，K_P选择很小的值，K_I选择很大的值来消除稳态误差。

因此，可以得到K_P、K_I的函数，图9为K_P的函数曲线，图10为K_I的函数曲线，表达式分别为：

$K_P\left(\right|E\left|\right)=\left\{\begin{array}{cc}{K}_{PS}& \left|E\right|\&le;E_S\\ K_{PS}+\frac{K_{PM}-K_{PS}}{E_M-E_S}\left(\right|E|-E_S)& E_S<\left|E\right|\&le;E_M\\ K_{PM}+\frac{K_{PB}-K_{PM}}{E_B-E_M}\left(\right|E|-E_M)& E_M<\left|E\right|\&le;E_B\\ K_{PB}& \left|E\right|>E_B\end{array}\right.---\left(80\right)$

$K_I\left(\right|E\left|\right)=\left\{\begin{array}{cc}{K}_{IB}& \left|E\right|\&le;E_S\\ K_{IB}+\frac{K_{IM}-K_{IB}}{E_M-E_S}\left(\right|E|-E_S)& E_S<\left|E\right|\&le;E_M\\ K_{IM}+\frac{K_{IS}-K_{IM}}{E_B-E_M}\left(\right|E|-E_M)& E_M<\left|E\right|\&le;E_B\\ K_{IS}& \left|E\right|>E_B\end{array}\right.---\left(81\right)$

其中，|E|为E_t或E_c的绝对值；K_P|E|、K_I|E|分别为K_P、K_I的函数；E_S、E_M、E_B为参数，且E_S＜E_M＜E_B；K_PS、K_PM、K_PB、K_IS、K_IM、K_IB为相应参数。

U_t和U_c通过如下变换转换成A、B轴的误差补偿控制信号Δα、Δβ：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&beta;}\end{array}\right]={\mathrm{\&Phi;}}^T\left[\begin{array}{c}{U}_t\\ U_c\end{array}\right]---\left(82\right)$

A、B轴的控制信号u_r直接控制永磁同步电机，得到实际位置信号θ。

(2)计算X、Y、Z轴两组误差补偿控制信号，计算第一组误差补偿信号的具体方法是：采用X、Y、Z轴理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*合成X、Y、Z轴参考轮廓曲线，建立的XYZ空间的双层估计轮廓误差模型：第一层为XY平面，将所有的位置和轮廓投射在XY平面，定义XY平面上的轮廓误差为实际位置沿参考位置法线方向上的误差，得到XY平面的轮廓误差；第二层为RZ平面，将所有轮廓和位置投射在RZ平面，R轴为一个虚拟轴，定义R轴的跟踪误差为XY平面沿参考位置切线方向上的误差，定义RZ平面上的轮廓误差为沿RZ平面的法线方向上的误差，对XYZ空间的轮廓误差进行解耦控制，XY平面的轮廓误差经过自适应PID控制器得到控制律，解耦得到X、Y轴的误差补偿控制信号，RZ平面的轮廓误差经过自适应PID控制器得到控制律，解耦得到R、Z轴的误差补偿控制信号，忽略R轴的误差补偿控制信号即得到Z轴的误差补偿控制信号，由此得到X、Y、Z轴的一组误差补偿控制信号Δu_t，对于X、Y、Z轴Δu_t分别为ΔX、ΔY、ΔZ。

为了不仅能减小轮廓误差，并且保证每个平面上都具有高的轮廓精度，本实施方式采用双层交叉耦合控制方法进行解耦控制，来提高每个平面的轮廓精度。通过矢量化的方法，建立的XYZ空间的双层估计轮廓误差模型，将三个直线坐标轴的跟踪误差e_x、e_y、e_z通过双层交叉耦合控制方法，得到补偿误差控制信号ΔX、ΔY、ΔZ。

在XYZ空间的双层轮廓误差解耦控制分为两层，第一层为XY平面，将所有的位置和轮廓投射在XY平面，对XY平面的轮廓误差进行解耦控制；第二层为RZ平面，R为一个虚拟轴，再将所有轮廓和位置投射在RZ平面，对RZ平面中的轮廓误差进行解耦控制。图11为XYZ空间的双层估计轮廓误差模型示意图，P₀和P₁分别为刀具在某一时刻的实际位置和参考位置，为参考位置的切线，平行于X轴，XY平面过P₁，RZ平面过P₀在RZ平面的投影为P₄，P₅和P₆分别为P₀和P₄在XY平面的投影，则垂直于RZ平面。

首先建立XY平面上的轮廓误差模型。因为垂直于RZ平面，所以P₁在XY平面上的法向矢量和切向矢量分别同和的方向相同，可表示为：

$\stackrel{\&RightArrow;}{t}=\left[\begin{array}{c}cos{\mathrm{\&theta;}}_r\\ {\mathrm{sin\&theta;}}_r\end{array}\right],\stackrel{\&RightArrow;}{n}=\left[\begin{array}{c}-{\mathrm{sin\&theta;}}_r\\ {\mathrm{cos\&theta;}}_r\end{array}\right]---\left(83\right)$

其中，θ_r为和X轴的夹角，可通过下式估算θ_r：

${\mathrm{\&theta;}}_r={\tan }^{-1}\left(\frac{P_{1y}\left(n\right)-P_{1y}(n-1)}{P_{1x}\left(n\right)-P_{1x}(n-1)}\right)---\left(84\right)$

其中，n和n-1分别表示第n和n-1时刻；P_1x、P_1y分别为P₁在X、Y轴的坐标。

定义XY平面上的轮廓误差为沿方向上的误差ε_nxy，X、Y轴的跟踪误差矢量为e_x、e_y分别为X、Y轴的跟踪误差，则XY平面上的轮廓误差ε_cxy为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_{cxy}=<\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{n}>=-e_x{\mathrm{sin\&theta;}}_r+e_y{\mathrm{cos\&theta;}}_r---\left(85\right)$

然后建立RZ平面上的轮廓误差模型。将所在直线定义为R轴，R轴为一个虚拟轴，RZ平面与XY平面垂直，则R轴的跟踪误差为XY平面沿方向上的误差为：

$e_r={\mathrm{\&epsiv;}}_{txy}=<\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{t}>=e_x{\mathrm{cos\&theta;}}_r+e_y{\mathrm{sin\&theta;}}_r---\left(86\right)$

在RZ平面上，垂直于P₂为垂足，所以和分别为RZ平面上的法向矢量和切向矢量，定义RZ平面上的轮廓误差ε_crz为在方向上的误差，可得：

ε_crz＝-e_r sinγ+e_zcosγ (87)

其中，e_z为Z轴的跟踪误差；γ为和R轴的夹角，通过下式计算：

$\mathrm{\&gamma;}={\tan }^{-1}\left(\frac{P_{1z}\left(n\right)-P_{1z}(n-1)}{P_{1r}\left(n\right)-P_{1r}(n-1)}\right)---\left(88\right)$

其中，P_1r、P_1z分别为P₁在R、Z轴的坐标。

因为P₀在RZ平面的投影为P₄，所以垂直于RZ平面，则与和都垂直，又因为和垂直，则和垂直，所以为三维轮廓误差ε_cxyz，则有

${\mathrm{\&epsiv;}}_{cxyz}=\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}_{cxy}^2+{\mathrm{\&epsiv;}}_{crz}^2}---\left(89\right)$

当ε_crz和ε_cxv趋于零时，ε_cxyz也趋于零，所以可以通过减小ε_crz和ε_cxy来减小XYZ平面的轮廓误差。图12为双层交叉耦合控制器结构示意图，对每层交叉耦合控制器进行单独设计，第一层的交叉耦合控制器用来补偿XY平面的轮廓误差，第二层的交叉耦合控制器用来补偿RZ平面的轮廓误差。

第一层交叉耦合控制器：根据式(89)，X、Y轴的跟踪误差e_x、e_y通过下式得到XY平面的轮廓误差ε_cxy：

ε_cxy＝e_xC_x+e_yC_y (90)

其中

C_x＝-sinθ_r，C_y＝cosθ_r (91)

ε_cxy经过自适应PID控制得到控制律U₀，通过下式得到X、Y轴的补偿误差控制信号ΔX、ΔY：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}X=U_0{C}_x\\ \mathrm{\&Delta;}Y=Y_0{C}_y\end{array}---\left(92\right)$

然后设计第二层交叉耦合控制器，根据式(88)，R、Z轴的跟踪误差e_r、e_z通过下式得到RZ平面的轮廓误差ε_crz：

ε_crz＝e_rC_r+e_zC_z (93)

其中

C_r＝-sinγ，C_z＝cosγ (94)

ε_crz经过自适应PID控制得到控制律U₁。假设XY平面上的轮廓曲率不是特别大，则R轴上的误差补偿对整个空间的轮廓误差影响不大，所以忽略R轴上的误差补偿，得到Z轴的补偿误差控制信号ΔZ为：

ΔZ＝U₁·cosγ (95)

自适应PID控制的控制律设计为：

$U\left(t\right)={\hat{K}}_P\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)+{\hat{K}}_I\underset{0}{\overset{t}{\&Integral;}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)dt+{\hat{K}}_D\frac{d\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)}{dt})---\left(96\right)$

其中，U(t)分别为U₀和U₁；ε(t)分别为ε_cxy和ε_crz；为PID控制参数。

设计一个二阶PD类型的滑模面为：

式中，为一个正常数。

PID控制参数的自适应律如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{K}}}_P={\mathrm{\&gamma;}}_{P}s\left(t\right)\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)---\left(98\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{K}}}_I={\mathrm{\&gamma;}}_{I}s\left(t\right)\underset{0}{\overset{T}{\&Integral;}}\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)dt---\left(99\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{K}}}_D={\mathrm{\&gamma;}}_{D}s\left(t\right)\frac{d\mathrm{\&epsiv;}\left(t\right)}{dt}---\left(100\right)$

式中，γ_P、γ_I、γ_D为更新速率，分别为的一阶微分。

计算第二组误差补偿信号的具体方法是：首先建立XYZ空间的估计轮廓误差模型，得到三个直线坐标轴的跟踪误差与轮廓误差的关系，然后计算由A、B轴的跟踪误差e_α、e_β引起的三个直线坐标轴附加的跟踪误差，通过前面的得到关系可计算出XYZ空间附加的轮廓误差，经分解得到X、Y、Z各轴附加的轮廓误差分量，分别经过PID控制器，得到X、Y、Z轴的另一组误差补偿控制信号Δu_θ，对于X、Y、Z轴Δu_θ分别为Δx_θ、Δy_θ、Δz_θ。

首先，建立XYZ空间的估计轮廓误差模型，采用矢量化的建模方法，图13为XYZ空间的估计轮廓误差模型示意图，图中T为参考刀心点，即参考切触点；R₁点为需要校正到的位置；R₂点为当前的参考位置；分别为T、R₁、R₂切线方向的单位矢量。因为实际加工中，同的方向相差不大，所以在估计轮廓误差时，用来替代t时刻通过t时刻R₂(t)和t-1时刻R₂(t-1)坐标计算得到。定义附加的轮廓误差矢量附加的跟踪误差矢量附加的轮廓误差分量的计算公式为：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_x^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_y^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_z^{\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{E}_x^{\&prime;}\\ E_y^{\&prime;}\\ E_z^{\&prime;}\end{array}\right]=\left(\left[\begin{array}{c}{E}_x^{\&prime;}\\ E_y^{\&prime;}\\ E_z^{\&prime;}\end{array}\right]\&CenterDot;{\left[\begin{array}{c}{m}_{1x}\\ m_{1y}\\ m_{1z}\end{array}\right]}^T\right)\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{m}_{1x}\\ m_{1y}\\ m_{1z}\end{array}\right]\&ap;\left[\begin{array}{c}{E}_x^{\&prime;}\\ E_y^{\&prime;}\\ E_z^{\&prime;}\end{array}\right]-\left(\left[\begin{array}{c}{E}_x^{\&prime;}\\ E_y^{\&prime;}\\ E_z^{\&prime;}\end{array}\right]\&CenterDot;{\left[\begin{array}{c}{m}_{2x}\\ m_{2y}\\ m_{2z}\end{array}\right]}^T\right)\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{m}_{2x}\\ m_{2y}\\ m_{2z}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}1-m_{2x}^2& -m_{2x}{m}_{2y}& -m_{2x}{m}_{2z}\\ -m_{2x}{m}_{2y}& 1-m_{2y}^2& -m_{2y}{m}_{2z}\\ -m_{2x}{m}_{2z}& -m_{2y}{m}_{2z}& 1-m_{2z}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_x^{\&prime;}\\ E_y^{\&prime;}\\ E_z^{\&prime;}\end{array}\right]\end{array}---\left(102\right)$

其中，m_1x、m_1y、m_1z为的坐标；m_2x、m_2y、m_2z为的坐标。

然后，当A、B轴旋转运动时，A、B轴产生跟踪误差，会使X、Y、Z轴产生附加跟踪误差。图14为A、B轴旋转运动时刀具轨迹示意图，图中C为刀具安装点的位置；T为参考刀心点，即参考切触点；l为刀具的长度；S₁为绕X轴旋转时刀心点轨迹所在的平面；O₁为C点在S₁平面的投影；S₂为绕Y轴旋转时刀心点轨迹所在的平面；O₂为C点在S₂平面的投影；T_α为绕X轴转过e_α角度后的刀心点；T_β为绕X轴转过e_α角度，再绕Y轴转过e_β角度后的刀心点；为参考刀轴的单位方向矢量；e_α、e_β分别为A、B轴的转动误差。C点坐标为 已知，根据空间解析几何的计算可得到T点坐标

$\left\{\begin{array}{c}{x}_T=x_C-x_{\mathrm{Im}}\&times;l\\ y_T=y_C-y_{Im}\&times;l\\ z_T=z_C-z_{Im}\&times;l\end{array}\right.---\left(103\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{O_1{T}_{\mathrm{\&alpha;}}}=\sqrt{l^2-x_T^2}\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_2{T}_{\mathrm{\&beta;}}}=\sqrt{l^2-y_{T\mathrm{\&alpha;}}^2}\end{array}\right.---\left(104\right)$

图15为绕X轴旋转e_α角度时刀具轨迹在YZ平面的投影示意图，图中α_S1为与Y轴的夹角，且θ_S1为与Y轴的夹角，且根据解析几何计算可得T_α坐标

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{T\mathrm{\&alpha;}}=x_T\\ y_{T\mathrm{\&alpha;}}=y_T+2\&times;\sqrt{l^2-x_T^2}\&times;sin\frac{e_{\mathrm{\&alpha;}}}{2}\&times;cos\left(arctan\right|\frac{z_T-z_C}{y_T-y_C}|-\frac{e_{\mathrm{\&alpha;}}}{2})\\ z_{T\mathrm{\&alpha;}}=z_T+2\&times;\sqrt{l^2-x_T^2}\&times;sin\frac{e_{\mathrm{\&alpha;}}}{2}\&times;sin\left(arctan\right|\frac{z_T-z_C}{y_T-y_C}|-\frac{e_{\mathrm{\&alpha;}}}{2})\end{array}\right.---\left(105\right)$

图16为绕Y轴转过e_β角度时刀具轨迹在XZ平面的投影示意图，图中α_S2为与X轴的夹角，且θ_S2为与X轴的夹角，且根据解析几何计算，由T_α的坐标可得T_β坐标

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{T\mathrm{\&beta;}}=x_{T\mathrm{\&alpha;}}+2\&times;\sqrt{l^2-y_{T\mathrm{\&alpha;}}^2}\&times;sin\frac{e_{\mathrm{\&beta;}}}{2}\&times;cos\left(arctan\right|\frac{z_{T\mathrm{\&alpha;}}-z_C}{y_{T\mathrm{\&alpha;}}-y_C}|+\frac{e_{\mathrm{\&beta;}}}{2})\\ y_{T\mathrm{\&beta;}}=y_{T\mathrm{\&alpha;}}\\ z_{T\mathrm{\&beta;}}=z_{T\mathrm{\&alpha;}}+2\&times;\sqrt{l^2-y_{T\mathrm{\&alpha;}}^2}\&times;sin\frac{e_{\mathrm{\&beta;}}}{2}\&times;sin\left(arctan\right|\frac{z_{T\mathrm{\&alpha;}}-z_C}{y_{T\mathrm{\&alpha;}}-y_C}|+\frac{e_{\mathrm{\&beta;}}}{2})\end{array}\right.---\left(106\right)$

根据式(103-106)，各直线坐标轴附加的跟随误差可以由计算得到。

根据X、Y、Z三轴的跟踪误差同轮廓误差的关系，将得到的代入式(102)，可得到XYZ空间附加的轮廓误差ε′_cxyz，经分解得到X、Y、Z三轴附加的轮廓误差ε′_x、ε′_y、ε′_z，各轴附加的轮廓误差经过PID控制器控制，获得误差补偿控制信号Δx_θ、Δy_θ、Δz_θ。

步骤4：A、B轴的输入控制信号u_r′和A、B轴的误差补偿控制信号Δu_r构成被控对象的控制信号u_r，对于A、B轴u_r分别表示为u_α、u_β，得到下式：

u_r＝u′_r+Δu_r (107)

X、Y、Z轴输入控制信号u_t′，进行X、Y、Z轴解耦控制获得的误差补偿控制信号Δu_t，和通过旋转坐标轴的跟踪误差计算得到的X、Y、Z各轴的误差补偿控制信号Δu_θ共同构成该轴被控对象的控制信号u_t，得到下式：

u_t＝u′_t+Δu_t+Δu_θ (108)

步骤5：利用计算得到的A、B轴的控制信号以及X、Y、Z轴的控制信号进行五轴联动数控机床伺服系统控制，输出实际位置信号，X、Y、Z轴用Q表示，分别为X_c、Y_c、Z_c，A、B轴用θ表示，分别为α_c、β_c。

虽然以上描述了本发明的具体实施方式，但是本领域内的熟练的技术人员应当理解，这些仅是举例说明，可以对这些实施方式做出多种变更或修改，而不背离本发明的原理和实质。本发明的范围仅由所附权利要求书限定。

Claims (5)

1.一种五轴联动数控机床伺服系统控制方法，所述五轴联动数控机床伺服系统包括五个进给轴，分别是三个直线坐标轴X、Y、Z和两个旋转坐标轴A、B，A、B轴是分别围绕X、Y轴旋转的旋转坐标轴；X、Y、Z各轴的被控对象为永磁直线同步电机，A、B各轴的被控对象为永磁同步电机；各进给轴的输入控制信号和误差补偿控制信号共同构成控制信号，控制被控对象；

其特征在于，该方法包括：

步骤1：五轴联动数控机床伺服系统获得五个进给轴X、Y、Z、A、B的理想位置信号X_d ^*、Y_d ^*、Z_d ^*、α^*、β^*；

步骤2：五个进给轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得各进给轴的输入控制信号；

步骤3：计算A、B轴误差补偿控制信号，以及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号；

步骤4：根据A、B轴的输入控制信号及A、B轴误差补偿控制信号，计算得到A、B轴的控制信号；根据X、Y、Z轴的输入控制信号及X、Y、Z轴的两组误差补偿控制信号，计算得到X、Y、Z轴的控制信号；

步骤5：利用计算得到的A、B轴的控制信号以及X、Y、Z轴的控制信号进行五轴联动数控机床伺服系统控制，输出实际位置信号。

2.根据权利要求1所述的五轴联动数控机床伺服系统控制方法，其特征在于，所述步骤2中，A、B两轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得A、B两轴的输入控制信号；

A、B两轴的前馈控制采用零幅值误差跟踪控制，依靠零极点对消的思想，抵消不稳定零点带来的相位误差，对相位和幅值误差进行补偿，得到A、B两轴的前馈控制的输出信号；

A、B两轴的反馈控制采用自适应PID滑模控制，构造一个滑模面，通过滑模面得到自适应PID控制器的控制律，同时构造滑模控制律，对自适应PID控制器进行补偿，抑制不确定性因素，使五轴联动数控机床伺服系统状态停留在滑模面上，反馈输出能跟踪理想参考输入，得到A、B轴的输入控制信号。

3.根据权利要求1所述的五轴联动数控机床伺服系统控制方法，其特征在于，所述步骤2中，X、Y、Z三轴的理想位置信号经过前馈控制和反馈控制后，分别获得X、Y、Z三轴的输入控制信号；

X、Y、Z三轴的前馈控制采用前馈学习控制，采用前置滤波器来补偿系统延迟，把前置滤波器的状态变量作为前馈学习控制器输入的一部分，通过构造平方差函数得到前馈学习控制器的调整律，得到前馈学习控制器的输出信号；

X、Y、Z三轴的反馈控制采用增量滑模控制，利用五轴联动数控机床伺服系统前一时刻的状态信息和控制动作作为反馈量，同时选择饱和函数作为切换函数，得到X、Y、Z各轴的输入控制信号。

4.根据权利要求1所述的五轴联动数控机床伺服系统控制方法，其特征在于，所述步骤3中计算A、B轴误差补偿控制信号，具体方法是：采用A、B轴理想位置信号合成A、B轴参考轮廓曲线，根据刀具当前参考轮廓曲线上的参考位置和实际位置，得到两点的切线矢量，根据两点距离在参考位置切线方向的投影和两点切线方向的速度，近似得到参考轮廓曲线上另一个位置，轮廓误差近似为实际位置到参考轮廓曲线上的两点所经过直线的距离，建立A、B轴估计轮廓误差模型，根据A、B轴估计轮廓误差模型对A、B轴轮廓误差进行解耦控制，解耦控制采用非线性PI切线轮廓控制，定义参考轮廓曲线上距刀具实际位置最近的点处切线方向为t轴，法线方向为c轴，建立t-c坐标系，将跟踪误差分解为t、c轴方向的分量，通过非线性PI控制分别得到切线控制律和轮廓控制律，分别转换成A、B轴的误差补偿控制信号。

5.根据权利要求1所述的五轴联动数控机床伺服系统控制方法，其特征在于，所述步骤3中计算X、Y、Z轴第一组误差补偿控制信号：采用X、Y、Z轴理想位置信号合成X、Y、Z轴参考轮廓曲线，建立的XYZ空间的双层估计轮廓误差模型：第一层为XY平面，将所有的位置和轮廓投射在XY平面，定义XY平面上的轮廓误差为实际位置沿参考位置法线方向上的误差，得到XY平面的轮廓误差；第二层为RZ平面，将所有轮廓和位置投射在RZ平面，R轴为一个虚拟轴，定义R轴的跟踪误差为XY平面沿参考位置切线方向上的误差，定义RZ平面上的轮廓误差为沿RZ平面的法线方向上的误差，对XYZ空间的轮廓误差进行解耦控制，XY平面的轮廓误差经过自适应PID控制得到控制律，解耦得到X、Y轴的误差补偿控制信号，RZ平面的轮廓误差经过自适应PID控制得到控制律，解耦得到R、Z轴的误差补偿控制信号，忽略R轴的误差补偿控制信号即得到Z轴的误差补偿控制信号，由此得到X、Y、Z轴的一组误差补偿控制信号；

所述步骤3中计算X、Y、Z轴第二组误差补偿控制信号：首先建立XYZ空间的估计轮廓误差模型，得到三个直线坐标轴的跟踪误差与轮廓误差的关系，然后计算由A、B轴的跟踪误差引起的三个直线坐标轴附加的跟踪误差，通过三个直线坐标轴的跟踪误差与轮廓误差的关系计算出XYZ空间附加的轮廓误差，经分解得到X、Y、Z各轴附加的轮廓误差分量，分别经过PID控制器，得到X、Y、Z轴的另一组误差补偿控制信号。