CN107966957B - 一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法，属于机床误差补偿领域，用于多轴机床空间误差解耦补偿，解决了多轴机床空间耦合误差的难以解耦和补偿的问题。区别与其他解耦方法，本发明采用简化模型之后分步解耦的方法，可直接求得各轴误差的解析表达式，大大降低了计算量。首先，基于多体系统理论与齐次坐标变换建立机床间变换矩阵，推导出由几何误差元素导致的机床空间误差模型；然后，对误差模型进行忽略高阶小量、提取独立项等系列简化；最后基于简化模型，对机床空间误差按一定顺序进行分步解耦。

Description

一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法

技术领域

本发明属于精密机械传动设计制造领域，基于误差补偿技术及相关理论，对数控蜗杆砂轮磨齿机几何误差导致的空间误差进行分析，寻找机床关键几何误差元素，对数控磨齿机进行有效的空间误差解耦补偿来提高磨齿机的加工精度。

背景技术

机床的加工精度主要取决于机床误差的大小，提高机床精度的基本方法可分为误差消除法与误差补偿法。误差消除法通过提升机床零部件的制造精度、进行机床热稳定性设计以及控制热环境变化等方法来从源头上消除机床误差。误差补偿法则是人为地制造一种新误差去削弱当前的误差，通过检测得到机床在各种不同条件下的误差，再人为制造相反的误差来对机床施加影响，达到削弱误差对机床加工影响的效果。误差补偿法由于其具有很大的成本优势，而且具有通用性，从而得到学者的广泛研究。

机床误差主要可以分为几何误差、热致误差、力致误差以及控制误差等，其中几何误差是影响机床加工精度的主要因素之一，故亟需对数控蜗杆砂轮磨齿机所有几何误差元素综合而成的空间误差进行研究。数控蜗杆砂轮磨齿机由于自身结构与运动的特点，在对其进行空间误差补偿时，其各运动轴的补偿值与机床空间误差存在一定的耦合关系，使得难以直接由空间误差模型计算得到各运动轴的误差补偿值，所以必须进行解耦以获得各轴误差补偿值，从而完善空间误差补偿数学模型，实现空间误差模型的正向与逆向求解，为机床的误差补偿提供理论基础。

误差补偿是通过驱动机床运动轴以使刀具和工件在机床空间误差的逆方向上产生抵消误差的相对运动而实现。对于五轴机床来说，误差补偿运动是非常复杂的，因为其各运动副的误差补偿运动量与刀具和工件间的误差值(位置及方向误差)间存在一定的耦合关系。因此五轴机床难以通过空间误差模型直接计算得到机床各运动轴的补偿量，需要对其进行有效的解耦之后才能实现得到机床考虑误差的运动学正解与逆解，实现空间误差有效补偿。机床误差解耦方法经过多年的研究与发展，目前基本可分为根据误差运动学模型直接求解、简化模型求解和数值迭代求解等方法，理论依旧不是很成熟，尚未形成统一有效的机床误差解耦补偿方法。

发明内容

针对上述现有技术中存在的不足之处，本发明提供了一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法。该方法根据空间误差、几何误差及多体系统结合机床的结合机构与加工运动，得到机床加工精度的几何误差元素；并推导出由几何误差元素导致的机床空间误差模型；基于模型简化的方法对机床空间误差进行分步解耦；并将空间误差对应的运动补偿量分配到响应的运动轴上。

为了解决上述技术问题，本发明采用了如下技术方案：

一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法，包括以下步骤：

1)对数控蜗杆砂轮磨齿机进行结构分析和运动分析，得到机床41项几何误差元素；基于多体系统理论分析得到机床拓扑结构，得到蜗杆砂轮磨齿机的用于描述齿轮工件相对于床身的齐次坐标变换矩阵T_wt，以及空间误差模型，包括空间位置误差模型E_p(I)和空间姿态误差模型E_R(I)，其中I＝[a b c x y z]^T表示各数控轴的指令位置，表示A轴、B轴、C轴、X轴、Y轴、Z轴的理论运动量分别为a、b、c、x、y、z；

T_wt＝T₂₈＝T₀₂ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈＝T₁₂ ^-1T₀₁ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈＝(T_12pT_12peT_12sT_12se)^-1(T_01pT_01peT_01sT_01se)^-1T_03pT_03peT_03sT_03seT_34pT_34peT_34sT_34seT_45pT_45peT_45sT_45seT_56pT_56peT_56sT_56seT_67pT_{67p e}T_67sT_67seT_78pT_78peT_78sT_78se

其中，w表示工件，t表示刀具，T₂₈表示从体2到体8的齐次坐标变换矩阵，T₀₂表示从体0到体2的齐次坐标变换矩阵，T₀₃表示从体0到体3的齐次坐标变换矩阵，T₃₄表示从体3到体4的齐次坐标变换矩阵，T₄₅表示从体4到体5的齐次坐标变换矩阵，T₅₆表示从体5到体6的齐次坐标变换矩阵,T₆₇表示从体6到体7的齐次坐标变换矩阵,T₇₈表示从体7到体8的齐次坐标变换矩阵,T₁₂表示从体1到体2的齐次坐标变换矩阵；T₁₂＝T_12pT_12peT_12sT_12se，其中T_12p和T_12s表示体1相对体2的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_12pe和T_12se表示体1相对体2的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵,T_01p和T_01s表示从体0到体1的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_01pe和T_01se表示从体0到体1的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_03p和T_03s表示从体0到体3的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_03pe和T_03se表示从体0到体3的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_34p和T_34s表示从体3到体4的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_34pe和T_34se表示从体3到体4的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_45p和T_45s表示从体4到体5的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_45pe和T_45se表示从体4到体5的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_56p和T_56s表示从体5到体6的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_56pe和T_56se表示从体5到体6的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_67p和T_67s表示从体6到体7的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_67pe和T_67se表示从体6到体7的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_78p和T_78s表示从体7到体8的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_78pe和T_78se表示从体7到体8的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵；

E_R(I)＝R_i(I)R(I)^-1

其中，分别表示刀具相对于工件的实际位置矩阵和实际姿态矩阵，P_i(I)和R_i(I)表示刀具相对于工件的理想位置矩阵和理想姿态矩阵，其中P_xe(I)、P_ye(I)、P_ze(I)分别表示刀具相对于工件的在空间坐标系中X、Y、Z方向上的误差；R₁₁(I)、R₁₂(I)、R₁₃(I)、R₂₁(I)、R₂₂(I)、R₂₃(I)、R₃₁(I)、R₃₂(I)、R₃₃(I)为实际姿态矩阵R(I)中的矩阵元素，其值由机床的机构及误差元素决定；

2)在空间姿态误差中，从刀具相对于工件的姿态矩阵中提取三项独立矩阵元素作为简化之后的刀具相对工件的实际姿态矩阵O(I)和理想姿态矩阵O_i(I)，继而得到刀具相对工件空间姿态误差O_e(I)；

3)采用分步解耦的方法对机床各轴误差进行解耦，按照A轴-C轴-B轴-X轴-Y轴-Z轴的顺序，对A轴解耦计算完成后，依次对旋转轴C轴、B轴进行解耦，在基于旋转轴的解耦结果，同时同线性轴进行解耦计算，实现空间误差的解耦补偿，I_c＝[a_c b_c c_c x_c y_c z_c]^T为补偿后机床数控轴的指令位置，表示A轴、B轴、C轴、X轴、Y轴、Z轴的实际补偿运动量分别为a_c、b_c、c_c、x_c、y_c、z_c；

A轴解耦结果：表示补偿前后机床数控轴的指令位置的差值，式中a_c即为A轴指令的代替值，而Δa即为A轴单次补偿值；

其中，n_a＝1，m_a和n_a表达式由机床误差元素构成，为C轴与X轴之间的垂直度误差，为Y轴与X轴之间的垂直度误差，ε_x(a)表示A轴绕X坐标轴旋转方向上的误差；

C轴解耦结果：Δ_c1＝f_c-θ_c-c，Δ_c2＝(2π+f_c)-θ_c-c，Δ_c3＝(π-f_c)-θ_c-c，取Δ_c1、Δ_c2、Δ_c3中绝对值最小的一个为运动轴补偿值Δ_c，C轴指令位置的代替值c_c的计算则如下所示：c_c＝Δ_c+c，式中c_c即为C轴指令的代替值，f_c、θ_c为中间变量，其表达式如下：

式中，m_c和n_c为中间变量，其中为Y轴与X轴和Z轴之间的垂直度误差，为A轴与Y轴和Z轴之间的垂直度误差,为C轴与X轴和Y轴之间的垂直度误差，ε_x(x)、ε_y(x)、ε_z(x)为X轴绕X、Y、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(y)、ε_z(y)为Y轴绕X、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(z)、ε_y(z)、ε_z(z)为Z轴绕X、Y、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(a)、ε_z(a)为A轴绕X、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_z(c)为C轴绕Z坐标轴旋转方向上的误差；

B轴解耦结果：Δ_b1＝f_b-θ_b-b，Δ_b2＝(2π+f_b)-θ_b-b，Δ_b3＝(π-f_b)-θ_b-b，取Δ_b1、Δ_b2、Δ_b3中绝对值最小的一个为运动轴补偿值Δ_b，B轴指令位置的代替值b_c的计算则如下所示：b_c＝Δ_b+b，式中b_c即为B轴指令的代替值；f_b、θ_b为中间变量，其表达式如下：

式中，m_b和n_b为中间变量，其中δ_xc为X轴与C轴原点的定位误差， 为Y轴与X轴和Z轴之间的垂直度误差，为Z轴与Y轴之间的垂直度误差，为A轴与Y轴和Z轴之间的垂直度误差,为C轴与Y轴之间的垂直度误差，ε_y(x)为X轴绕Y坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(y)、ε_y(y)、ε_z(y)为Y轴绕X、Y坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(z)、ε_y(z)为Z轴绕X、Y坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(a)、ε_y(a)、ε_z(a)为A轴绕X、Y、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(c)、ε_y(c)为C轴绕X、Y坐标轴旋转方向上的误差；

X、Y、Z轴解耦结果：

根据A、B、C轴解耦结果，令P(I_c)＝P_i(I)，即可得到一个三元一次方程组，联立方程组，即可得到X、Y、Z轴的解耦补偿值；其中,P(I_c)为补偿后的位置指令I_c下刀具相对于工件的实际位置矩阵，P_x(I_c)、P_y(I_c)、P_z(I_c)为P(I_c)的矩阵元素，表示刀具在工件空间坐标系中X、Y、Z方向上的实际位置；P_i(I)为原位置指令I下刀具相对于工件的理想位置矩阵，P_xi(I)、P_yi(I)、P_zi(I)为P_i(I)的矩阵元素，表示刀具在工件空间坐标系中X、Y、Z方向上的理想位置；a₁、a₂、a₃、b₁、b₂、b₃、c₁、c₂、c₃、d₁、d₂、d₃为中间变量，其表达式取决于实际位置矩阵P(I_c)和理想位置矩阵P_i(I)。

作为本发明的一种优选方案，在步骤2)中，对A轴的运动解耦过程，采用了第二次模型简化：考虑蜗杆砂轮磨齿机拓扑结构中所有位置无关误差，忽略了除A轴之外的其他拓扑各体的位置相关几何误差，并不考虑B轴和C轴的旋转运动，建立二次简化后的齿轮工件相对于床身的齐次坐标变换矩阵T_wt-a，并用于A轴的误差解耦；基于A轴误差解耦结果完成对C轴的解耦计算，再基于A轴和C轴解耦结果完成对B轴的解耦；最后基于A轴、B轴、C轴的解耦结果，联立三元一次方程组对线性轴X、Y、Z轴进行解耦；

T_wt-a＝(T_12pT_12pe)^-1(T_01pT_01pe)^-1T_03pT_03peT_34pT_34peT_45pT_45peT_45sT_45seT_56pT_56peT_67pT_67peT_{78 p}T_78pe。

本发明的有益效果是：本发明采用了基于模型简化的解耦方法，通过忽略空间误差模型中的次要影响因素来简化模型，使得空间误差模型能够直接通过解析的方法实现解耦。本发明采用分步解耦的方法，在二次简化模型的基础上可直接对A轴进行解耦计算，得到A轴误差的解析表达式；并基于A轴解耦结果对C轴运动进行解耦计算，基于A轴和C轴结果对B轴进行解耦计算；基于A轴、B轴、C轴解耦结果完成同时对X、Y、Z轴的解耦计算，与数值解耦方法相比，极大地降低了计算量。

附图说明

图1为本发明实现蜗杆砂轮磨齿误差补偿的YW7232数控磨齿机三维模型的示意图；

图2为本发明中实现数控蜗杆砂轮磨齿机的空间误差补偿的机床的拓扑结构图；

图3为线性轴X的位置相关误差图；

图4为旋转轴C的位置无关误差图；

图5为本发明中蜗杆砂轮磨齿的基本运动图。

图中，1—机床床身；2—工作台；3—工件(齿轮)；4—机床尾座(W轴)；5—金刚滚轮；6—蜗杆砂轮主轴；7—刀具(蜗杆砂轮)；8—探测头；9—滚珠丝杠；10—滑动导轨。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细地描述。

以某厂生产的YW7232型数控蜗杆砂轮磨齿机的研究对象，结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细地描述。

如图1、2所示，一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法，对数控蜗杆砂轮磨齿机进行结构分析和运动分析，得到机床41项几何误差元素如下表所示：

机床的所有几何误差元素如下，共计41项几何误差元素，包含30项位置相关误差及11项位置无关误差。

(分别以X轴和C轴为例对位置相关误差元素和位置无关误差元素含义进行说明)

位置相关误差是描相对参考轴线的误差，由六个自由度上的误差元素来决定。以线性轴X为例，如图3所示，X轴的位置相关几何误差包括三个平移误差(定位误差δ_x(x)、Y向直线度误差δ_y(x)、Z向直线度误差δ_y(x))以及三个旋转误差(倾斜误差ε_x(x)、俯仰误差ε_y(x)、偏摆误差ε_z(x))。

位置无关误差描述运动轴参考轴线之间的位姿关系。以旋转轴C轴为例，如图4所示，C轴的位置无关误差包括C轴原点与X轴和Y轴原点的定位误差δ_xc、δ_yc，C轴与X轴和Y轴之间的垂直度误差

数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差补偿方法包括空间误差建模、空间误差模型简化、空间误差解耦及补偿方法等。其具体包括如下步骤：

1)蜗杆砂轮磨齿机空间误差建模。根据蜗杆砂轮磨齿机结构(如附图1，2)，结合机床各相邻体变换矩阵，通过矩阵运算得到用于描述刀具相对于床身的齐次坐标变换矩阵以及用于描述齿轮工件相对于床身的齐次坐标变换矩阵：

T₀₈＝T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈，T₀₂＝T₀₁T₁₂

(T₀₃表示从体0到体3的齐次坐标变换矩阵，以此类推；T₀₃＝T_03pT_03peT_03sT_03se，其中T_03p和T_03s表示体0相对体3的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_03pe和T_03se表示体0相对体3的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵,以此类推，下同。)

再次运算即可得到机床刀具相对于工件的位姿变换矩阵T_wt，然后可以通过机床指令位置计算得到相应位置的刀具相对工件的实际位姿。

T_wt＝T₂₈＝T₀₂ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈＝T₁₂ ^-1T₀₁ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈

公式中：w表示工件，t表示刀具，T_wt表示刀具相对于工件的实际位姿变换矩阵，为计算得到机床指令位置下的刀具相对工件的理想位姿T_wti，利用前述的相邻体静止位姿矩阵与运动位姿矩阵，采用同样的推导方法，可得到其具体表达式如下：

T_wti＝T_28i＝T_02i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67iT_78i＝T_12i ^-1T_01i ^-1T_03iT_34iT_45iT_56iT_67iT_78i

公式中：i表示机床处于无误差理想状态，T_wti表示刀具相对于工件的理想位姿。

任意指令位置I＝[a b c x y z]^T对应的机床刀具相对工件的实际位姿变换矩阵可由T_wt(I)表示，可设

其中，

其中：P(I)表示机床刀具相对工件的位置，R(I)表示机床刀具相对工件的方向，同样的方法，在理想状态下，机床没有误差，此任意I对应的机床刀具相对工件的实际位姿变换矩阵可由T_wti(I)表示。

因此，可通过比较机床任意指令位置或者说名义位置下的刀具相对工件的理想位姿与实际位姿，可得到机床的空间误差。指令位置I的刀具相对工件的位置误差，可通过刀具坐标系内原点的偏差来表示，即机床的空间误差的位移分量E_p(I)具体计算表达式如下：

而刀具相对工件的姿态误差，即空间误差的旋转分量不方便直接进行描述，可通过构造下列公式进行表述：

R_i(I)＝E_R(I)R(I)，E_R(I)＝R_i(I)R(I)^-1

于是可利用E_R(I)描述刀具相对工件的姿态误差，实现空间误差的完整描述。

通过上述空间误差模型，可在已知所有几何误差元素值的情况下，可求出机床任意位置的空间误差，完成机床误差的正向运动学建模。

2)机床空间误差模型的简化。对于空间位置误差，可由上式直接计算得到，由于几何误差元素都属于微小偏差，因此，几何误差元素相乘产生的高阶小量都可以忽略，于是可以通过忽略高阶小量简化空间误差模型。

空间姿态误差难以直接计算得到，而且其矩阵表达形式也不利于直接应用于误差补偿，因此提出一种更为简便的空间姿态误差表述方法，具体如下所示：

在刀具相对工件的实际姿态矩阵和在刀具相对工件的理想姿态矩阵中，如下公式所示。

由于描述刀具相对于工件的姿态矩阵有6项约束条件，只有3项独立元素，因此可以提取3项独立矩阵元素以对姿态进行描述，从而得到空间姿态误差的表述：

取与空间位置误差的计算相似，忽略高阶小量，简化后得到的空间姿态误差。

3)空间误差分步解耦及补偿方法

3.1)A轴解耦

根据数控蜗杆砂轮磨齿机的加工原理(如附图5)，其在磨削齿轮时，X、Y、Z、B、C五轴联动实现预定轨迹，而A轴则保持锁定状态，只有在非加工状态才能对A轴进行调整。机床位置无关几何误差元素是机床的最主要几何误差元素，对机床空间误差的影响最大，因此在对A轴方向空间误差分量进行单次补偿时，必须考虑所有位置无关误差，而机床位置相关误差中对空间误差的A方向旋转分量敏感的只有A轴的转角误差ε_x(a)，在只能对A轴方向旋转误差进行单次补偿的情况下，机床其他位置相关几何误差元素都可以选择忽略。在忽略相关次要误差之后，不考虑B轴与C轴的旋转运动，对空间误差进行建模，可以得到下式：

T_wt-a＝(T_12pT_12pe)^-1(T_01pT_01pe)^-1T_03pT_03peT_34pT_34peT_45pT_45peT_45sT_45seT_56pT_56peT_67pT_67peT_{78 p}T_78peT_wti-a＝(T_12p)^-1(T_01p)^-1T_03pT_34pT_45pT_45sT_56pT_67pT_78p

R_e-ai(I)＝R_a(I)-R_ai(I)

为对空间误差的A方向分量进行单次补偿，需要改变指令位置I中的a值，得到新的指令位置I_c,使得：

R_y(I_c)-R_yi(I)＝0

其中：I＝[a b c x y z]^T，I_c＝[a_c b_c c_c x_c y_c z_c]^T

对上式引入代入相关几何误差元素，并忽略高阶小量误差项，求得：

并设n_a＝1，可得

其中，

最后得到

式中a_c即为A轴指令的代替值，而Δa即为A轴单次补偿值，考虑到Δa值很小，ε_x(a)在[a-Δa,a+Δa]范围内变化也很小，因此在式中用ε_x(a)代替了ε_x(a+a_c)，然后利用三角函数即可计算得到A轴补偿值Δa。

3.2)BC轴解耦

对于C轴补偿值的求解：

在补偿绕A轴方向误差分量后，空间误差还有五个自由度方向上的误差分量需要解耦补偿，采取分步解耦的方法对其解耦，考虑空间姿态误差只与姿态几何误差元素有关，故先补偿姿态误差分量，再补偿位置误差分量(即先解耦空间姿态矩阵O(I)，再解耦空间位置矩阵P(I)，其中O(I)＝[R₂₂(I) R₃₁(I) R₁₂(I)]^T，P(I)＝[P_x(I) P_y(I) P_z(I)]^T)。采用前述空间误差简化模型进行解耦研究，具体解耦步骤如下所示：

经过对空间姿态误差分量的简化，忽略高阶小量误差项，可得到：

R_12i(I)＝cos(a)sin(c)

为实现空间姿态误差补偿，应使得：R₁₂(I_c)＝R_12i(I)

与A轴补偿值的计算类似，可得到：

其中，

则有

可以得到：Δ_c1＝f_c-θ_c-c，Δ_c2＝(2π+f_c)-θ_c-c，Δ_c3＝(π-f_c)-θ_c-c，

取Δ_c1、Δ_c2、Δ_c3中绝对值最小的一个为运动轴补偿值Δ_c，C轴指令位置的代替值c_c的计算则如下所示：c_c＝Δ_c+c；

于是得到C轴指令位置的代替值c_c与补偿值Δ_c。

对于B轴补偿值的求解：

R_31i(I)＝-cos(a)sin(b)

为使得R₃₁(I_c)＝R_31i(I)可假设：

其中：

则有

可以得到：Δ_b1＝f_b-θ_b-b，Δ_b2＝(2π+f_b)-θ_b-b，Δ_b3＝(π-f_b)-θ_b-b，

取Δ_b1、Δ_b2、Δ_b3中绝对值最小的一个为运动轴补偿值Δ_b，B轴指令位置的代替值b_c的计算则如下所示：b_c＝Δ_b+b

于是得到B轴指令位置的代替值b_c与补偿值Δ_b。

3.3)X、Y、Z轴解耦

于是实现空间误差补偿的替换指令坐标I_c中的三个旋转轴替换指令坐标都已计算得到，接下来可利用已得到的旋转轴补偿值计算线性轴的补偿值，由于线性轴的补偿值也是非常微小的，因此这里不考虑线性轴补偿后带来的几何误差元素的变化。于是根据前文计算得到的空间误差简化模型，代入(a_c,b_c,c_c)可直接计算得到线性轴的替换指令坐标与补偿值：

令P(I_c)＝P_i(I)，可得到一个三元一次方程组：

从而可通过解上述三元一次方程组可得到(x_c,y_c,z_c)，进而计算得到(Δx,Δy,Δz)，于是完整得到机床替代指令位置I_c及各运动轴补偿值ΔI。

a₁＝cos(c_c)-ε_z(c_c)sin(c_c)

a₂＝-ε_z(c_c)cos(c_c)-sin(c_c)

c₃＝1

x01、y01、z01表示体1(C轴)的坐标原点相对于体0(床身)的坐标原点的偏移；x67、y67、z67表示体7(B轴)的坐标原点相当于体6(Y轴)的坐标原点的偏移；x,y,z分别表示体3(X轴)、体6(Y轴)、体4(Z轴)的指令运动距离，即机床指令位置I＝[a b c x y z]^T中所示的x,y,z。

综上所述，根据机床指令坐标I与空间误差模型，可计算得到替换指令坐标I_c与各运动轴的补偿值ΔI，从而实现机床空间误差的有效解耦。

综上所述，机床刀具相对于工件的位姿可以通过一个简单的矩阵来描述，同样空间误差模型也通过一个简单的矩阵来描述。实际位姿描述矩阵与理想位姿矩阵描述如下：

因此简化后的机床空间误差模型如下所示：

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (2)

1.一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)对数控蜗杆砂轮磨齿机进行结构分析和运动分析，得到机床41项几何误差元素；基于多体系统理论分析得到机床拓扑结构，得到蜗杆砂轮磨齿机的用于描述齿轮工件相对于床身的齐次坐标变换矩阵T_wt，以及空间误差模型，包括空间位置误差模型E_p(I)和空间姿态误差模型E_R(I)，其中I＝[a b c x y z]^T为各数控轴的指令位置，表示A轴、B轴、C轴、X轴、Y轴、Z轴的理论运动量分别为a、b、c、x、y、z；

T_wt＝T₂₈＝T₀₂ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈＝T₁₂ ^-1T₀₁ ^-1T₀₃T₃₄T₄₅T₅₆T₆₇T₇₈＝(T_12pT_12peT_12sT_12se)^-1(T_01pT_01peT_01sT_01se)^-1T_03pT_03peT_03sT_03seT_34pT_34peT_34sT_34seT_45pT_45peT_45sT_45seT_56pT_56peT_56sT_56seT_67pT_{67p e}T_67sT_67seT_78pT_78peT_78sT_78se

其中，w表示工件，t表示刀具，T₂₈表示从体2到体8的齐次坐标变换矩阵，T₀₂表示从体0到体2的齐次坐标变换矩阵，T₀₃表示从体0到体3的齐次坐标变换矩阵，T₃₄表示从体3到体4的齐次坐标变换矩阵，T₄₅表示从体4到体5的齐次坐标变换矩阵，T₅₆表示从体5到体6的齐次坐标变换矩阵,T₆₇表示从体6到体7的齐次坐标变换矩阵,T₇₈表示从体7到体8的齐次坐标变换矩阵,T₁₂表示从体1到体2的齐次坐标变换矩阵；T₁₂＝T_12pT_12peT_12sT_12se，其中T_12p和T_12s表示体1相对体2的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_12pe和T_12se表示体1相对体2的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_01p和T_01s表示从体0到体1的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_01pe和T_01se表示从体0到体1的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_03p和T_03s表示从体0到体3的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_03pe和T_03se表示从体0到体3的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_34p和T_34s表示从体3到体4的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_34pe和T_34se表示从体3到体4的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_45p和T_45s表示从体4到体5的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_45pe和T_45se表示从体4到体5的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_56p和T_56s表示从体5到体6的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_56pe和T_56se表示从体5到体6的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_67p和T_67s表示从体6到体7的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_67pe和T_67se表示从体6到体7的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵，T_78p和T_78s表示从体7到体8的静止位姿矩阵和运动位姿矩阵，T_78pe和T_78se表示从体7到体8的静止位姿误差矩阵和运动位姿误差矩阵；

其中，分别表示刀具相对于工件的实际位置矩阵和实际姿态矩阵，其中P_x(I)、P_y(I)、P_z(I)分别表示刀具相对于工件的在空间坐标系中X、Y、Z方向上的位置，P_xe(I)、P_ye(I)、P_ze(I)分别表示刀具相对于工件的在空间坐标系中X、Y、Z方向上的位置误差；R₁₁(I)、R₁₂(I)、R₁₃(I)、R₂₁(I)、R₂₂(I)、R₂₃(I)、R₃₁(I)、R₃₂(I)、R₃₃(I)为实际姿态矩阵R(I)中的矩阵元素，其值由机床的机构及误差元素决定；P_i(I)和R_i(I)表示刀具相对于工件的理想位置矩阵和理想姿态矩阵，其表达形式为实际位置矩阵P(I)和实际姿态矩阵R(I)中各变量相应加下标i；

2)在空间姿态误差中，从刀具相对于工件的姿态矩阵中提取三项独立矩阵元素作为简化之后的刀具相对工件的实际姿态矩阵O(I)和理想姿态矩阵O_i(I)，继而得到刀具相对工件空间姿态误差O_e(I)；

其中，R_22i(I)、R_31i(I)、R_12i(I)为理论姿态矩阵R_i(I)中的矩阵元素，其值由机床的机构及误差元素决定，R_22e(I)、R_31e(I)、R_12e(I)为简化之后的刀具相对工件空间姿态误差O_e(I)中的矩阵元素；

3)采用分步解耦的方法对机床各轴误差进行解耦，按照A轴-C轴-B轴-X轴-Y轴-Z轴的顺序，对A轴解耦计算完成后，依次对旋转轴C轴、B轴进行解耦，在基于旋转轴的解耦结果，同时同线性轴进行解耦计算，实现空间误差的解耦补偿，其中I_c＝[a_c b_c c_c x_c y_c z_c]^T为补偿后机床数控轴的指令位置，表示A轴、B轴、C轴、X轴、Y轴、Z轴的实际补偿运动量分别为a_c、b_c、c_c、x_c、y_c、z_c；

A轴解耦结果：表示补偿前后机床数控轴的指令位置的差值，式中a_c即为A轴指令的代替值，而Δa即为A轴单次补偿值；

其中，n_a＝1，m_a和n_a表达式由机床误差元素构成，为C轴与X轴之间的垂直度误差，为Y轴与X轴之间的垂直度误差，ε_x(a)表示A轴绕X坐标轴旋转方向上的误差；

C轴解耦结果：Δ_c1＝f_c-θ_c-c，Δ_c2＝(2π+f_c)-θ_c-c，Δ_c3＝(π-f_c)-θ_c-c，取Δ_c1、Δ_c2、Δ_c3中绝对值最小的一个为运动轴补偿值Δ_c，C轴指令位置的代替值c_c的计算则如下所示：c_c＝Δ_c+c，式中c_c即为C轴指令的代替值，f_c、θ_c为中间变量，其表达式如下：

式中，m_c和n_c为中间变量，其中为Y轴与X轴和Z轴之间的垂直度误差，为A轴与Y轴和Z轴之间的垂直度误差,为C轴与X轴和Y轴之间的垂直度误差，ε_x(x)、ε_y(x)、ε_z(x)为X轴绕X、Y、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(y)、ε_z(y)为Y轴绕X、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(z)、ε_y(z)、ε_z(z)为Z轴绕X、Y、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(a)、ε_z(a)为A轴绕X、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_z(c)为C轴绕Z坐标轴旋转方向上的误差；

B轴解耦结果：Δ_b1＝f_b-θ_b-b，Δ_b2＝(2π+f_b)-θ_b-b，Δ_b3＝(π-f_b)-θ_b-b，取Δ_b1、Δ_b2、Δ_b3中绝对值最小的一个为运动轴补偿值Δ_b，B轴指令位置的代替值b_c的计算则如下所示：b_c＝Δ_b+b，式中b_c即为B轴指令的代替值；f_b、θ_b为中间变量，其表达式如下：

式中，m_b和n_b为中间变量，其中δ_xc为X轴与C轴原点的定位误差， 为Y轴与X轴和Z轴之间的垂直度误差，为Z轴与Y轴之间的垂直度误差，为A轴与Y轴和Z轴之间的垂直度误差,为C轴与Y轴之间的垂直度误差，ε_y(x)为X轴绕Y坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(y)、ε_y(y)、ε_z(y)为Y轴绕X、Y坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(z)、ε_y(z)为Z轴绕X、Y坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(a)、ε_y(a)、ε_z(a)为A轴绕X、Y、Z坐标轴旋转方向上的误差，ε_x(c)、ε_y(c)为C轴绕X、Y坐标轴旋转方向上的误差；

X、Y、Z轴解耦结果：

根据A、B、C轴解耦结果，令P(I_c)＝P_i(I)，即可得到一个三元一次方程组，联立方程组，即可得到X、Y、Z轴的解耦补偿值；其中,P(I_c)为补偿后的位置指令I_c下刀具相对于工件的实际位置矩阵，P_x(I_c)、P_y(I_c)、P_z(I_c)为P(I_c)的矩阵元素，表示刀具在工件空间坐标系中X、Y、Z方向上的实际位置；P_i(I)为原位置指令I下刀具相对于工件的理想位置矩阵，P_xi(I)、P_yi(I)、P_zi(I)为P_i(I)的矩阵元素，表示刀具在工件空间坐标系中X、Y、Z方向上的理想位置；a₁、a₂、a₃、b₁、b₂、b₃、c₁、c₂、c₃、d₁、d₂、d₃为中间变量，其表达式取决于实际位置矩阵P(I_c)和理想位置矩阵P_i(I)。

2.根据权利要求1所述一种数控蜗杆砂轮磨齿机空间误差解耦补偿方法，其特征在于，在步骤2)中，对A轴的运动解耦过程，采用了第二次模型简化：考虑蜗杆砂轮磨齿机拓扑结构中所有位置无关误差，忽略了除A轴之外的其他拓扑各体的位置相关几何误差，并不考虑B轴和C轴的旋转运动，建立二次简化后的齿轮工件相对于床身的齐次坐标变换矩阵T_wt-a，并用于A轴的误差解耦；基于A轴误差解耦结果完成对C轴的解耦计算，再基于A轴和C轴解耦结果完成对B轴的解耦；最后基于A轴、B轴、C轴的解耦结果，联立三元一次方程组对线性轴X、Y、Z轴进行解耦；

T_wt-a＝(T_12pT_12pe)^-1(T_01pT_01pe)^-1T_03pT_03peT_34pT_34peT_45pT_45peT_45sT_45seT_56pT_56peT_67pT_67peT_78pT_78pe。