CN106015516B - 一种基于b样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，该方法为根据B样条曲线构造复杂曲线的自由性和灵活性，利用B样条构造内啮合齿轮啮合线；根据齿轮啮合原理，构造满足该啮合线的内啮合内外齿轮共轭齿廓曲线并对其啮合性能进行分析；以啮合线的光顺度和共轭齿廓啮合性能为目标，进行共轭齿廓的优化设计；构造齿廓曲线到齿根圆的齿根过渡圆弧曲线并完内啮合齿轮整齿设计。该方法设计的啮合线构造共轭齿廓之前就可求解所构造共轭齿廓的啮合性能。该方法利用B样条构造啮合线，通过改变控制顶点的位置坐标可方便的调整啮合线的形状，因此该方法在内啮合齿轮共轭齿廓的几何形状设计及啮合性能设计上具有很大的自由性。

Description

一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法

技术领域

本发明属于传动齿轮设计技术领域，涉及一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法。

背景技术

内啮合齿轮传动是一种重要的传动形式，它由内外齿轮组成，可传递同向的运动和动力，与外啮合齿轮传动相比，结构更加紧凑，承载能力更强，可降低共轭齿廓曲线相对滑动引起的动力损失，因此传动效率更高，在车辆传动、转臂关节、医疗机械等传动系统有着广泛的应用。目前，内啮合齿轮的齿形主要为渐开线齿形，它具有加工制造容易，安装精度敏感度低等优点，在工业上获得最大范围的应用，并形成了工业标准，摆线齿形作为另一种传动齿形，在钟表、高精度减速器等方面也获得了广泛的应用。

随着新型传动结构的出现及对内啮合齿轮传动性能要求的提高，对内啮合齿轮的设计提出了更高的要求。传统的渐开线齿形及摆线齿形设计齿形固定，通过改变设计参数改变齿轮的啮合性能，其适用范围受限于设计参数，为了满足不同机械结构对传动形式及传动性能的要求，需要开发出一种适应不同传动性能和传动形式的内啮合齿轮设计方法。“在齿轮传动过程中，随着接触点在啮合线上滑动时，在齿轮坐标系上划出的轨迹就是参与啮合的齿轮齿廓曲线”，该研究提示我们：通过啮合线设计，可以构造出满足不同啮合性能的传动齿轮共轭齿廓，这种齿廓的设计是自由的，共轭齿廓的几何形状及啮合性能决定于啮合线的几何特性，而渐开线齿形和摆线齿形是这种设计方法的两种特例：当设计啮合线为直线和圆弧时，构造的共轭齿廓齿形就为渐开线齿形和摆线齿形。同时随着高精度数控加工技术的发展，也为这种自由齿形的加工制造提供了可能。

发明内容

本发明针对渐开线内啮合齿轮设计中齿数、变位系数限制，重合度小等问题，提供了一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，该方法为根据B样条曲线构造复杂曲线的自由性和灵活性，利用B样条构造内啮合齿轮啮合线；根据齿轮啮合原理，构造满足该啮合线的内啮合内外齿轮共轭齿廓曲线并对其啮合性能进行分析；以啮合线的光顺度和共轭齿廓啮合性能为目标，进行共轭齿廓的优化设计；构造齿廓曲线到齿根圆的齿根过渡圆弧曲线并完内啮合齿轮整齿设计。该方法设计的啮合线不仅决定了内啮合齿轮共轭齿廓曲线的几何形状，也决定了内啮合齿轮共轭齿廓的啮合性能，并且在构造共轭齿廓之前就可求解所构造共轭齿廓的啮合性能。该方法利用B样条构造啮合线，通过改变控制顶点的位置坐标可方便的调整啮合线的形状，因此该方法在内啮合齿轮共轭齿廓的几何形状设计及啮合性能设计上具有很大的自由性。

本发明采用的技术方案为：一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，该方法利用B样条曲线构造内啮合齿轮啮合线，根据齿轮啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线之间对应关系式；构造满足B样条啮合线的共轭齿廓曲线；建立以曲线光顺度、控制顶点扰动及共轭齿廓曲线相对法曲率、相对滑动率最优的目标函数，求解得到优化后的B样条啮合线控制顶点坐标，重新构造内啮合齿轮共轭齿廓曲线；对设计的共轭齿廓曲线进行干涉检查，根据检查结果调整控制顶点；设计内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线，完成内外齿轮齿形的总体设计。鉴于B样条曲线的自由性和灵活性，通过B样条既可构造渐开线齿形的直线啮合线和摆线齿形的圆弧啮合线，也可构造其他齿形的复杂啮合线，从而使该方法对内啮合共轭齿廓曲线的构造具有很大的自由度。

该方法具体步骤如下：

步骤一、设计内啮合齿轮啮合线，根据B样条曲线的生成原理，以给定的啮合线上的点为控制顶点，构造以三次非均匀B样条表示的内啮合齿轮啮合线；

步骤二、根据共轭原理，建立内啮合齿轮传动的共轭方程，该方程反应了啮合线上的点与内啮合齿轮共轭齿廓曲线上共轭点之间的对应关系；在求解共轭齿廓曲线之前，根据齿轮啮合理论，分析满足设计B样条啮合线的共轭齿廓曲线的啮合性质，包括相对法曲率和相对滑动率；

步骤三、根据啮合线与共轭齿廓曲线的对应关系式，带入B样条啮合线的分段多项式，通过坐标变换和计算，得到满足设计B样条啮合线的内啮合齿轮共轭齿廓曲线上的齿形点坐标；

步骤四、以曲线光顺性、B样条曲线控制顶点扰动幅度、构造共轭齿廓曲线相对法曲率、相对滑动率最优为目标建立优化函数，通过计算得到新的控制顶点坐标，重新进行内啮合齿轮共轭齿廓曲线设计；

步骤五、利用微分几何学检查内啮合齿轮共轭齿廓曲线上是否存在奇异点，进行工作齿廓根切检查；检查内啮合齿廓共轭齿廓啮合过程是否发生齿顶干涉及径向干涉，确定干涉点发生的位置，通过调整对应的B样条曲线控制顶点消除内啮合齿轮干涉情况；

步骤六、构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧曲线，完成内啮合共轭齿轮整体设计。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明所提出的是一种自由的内啮合齿轮齿形构造方法，突出的特点是利用B样条构造内啮合齿轮的啮合线，根据齿轮啮合原理构造满足在该啮合线参与啮合的内外齿轮共轭齿廓曲线，并以啮合性能最优和啮合线光顺性进行了齿形优化。受益于B样条曲线的自由性和灵活性，该方法在内啮合齿轮设计方面具有很大的自由，根据本发明不仅能够设计出渐开线齿形和摆线齿形，也可根据齿形的性能需求设计其他齿形。随着高精度数控加工技术的发展，为本发明所设计的内啮合齿轮的加工制造提供了可能。

附图说明

图1为本发明一种新型大重合度内啮合齿轮齿形设计方法流程图；

图2为内啮合齿轮啮合线；

图3为内啮合齿轮坐标系和固定坐标系；

图4为齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧构造示意图，其中，圆O₀为与齿根齿廓Γ_f和齿廓圆相切的圆，T₀、T_f分别为切点，t为在T₀处的切向；

图5为三次非均匀B样条啮合线及共轭齿廓曲线，其中，图5(a)为初始控制顶点构造的三次非均匀B样条啮合线及共轭齿廓曲线；图5(b)优化后控制顶点构造的三次非均匀B样条啮合线及共轭齿廓曲线；

图6为优化前后共轭齿廓曲线相对法曲率曲线；

图7为优化前后共轭齿廓曲线相对滑动率曲线；

图8为内外齿轮单齿齿形，其中，1—外齿轮齿廓曲线，2—外齿轮齿根齿廓到齿根圆过渡圆弧曲线，3—内齿轮齿廓曲线，4—内齿轮齿根齿廓到齿根圆过渡圆弧曲线；

图9为内外齿轮整体齿形。

具体实施方式

下面结合附图对本发明方法的实施方式做详细说明。

本发明一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法的流程图如图1所示，包括(1)利用非均匀B样条构造内啮合齿轮啮合线；(2)满足B样条啮合线的共轭齿轮齿廓曲线与啮合线的对应关系建立及其啮合性质分析；(3)构造满足三次非均匀B样条啮合线的内啮合齿轮共轭齿廓曲线；(4)以齿廓曲线光顺性要求及共轭齿轮啮合性能最优建立目标函数，对非均匀B样条啮合线进行优化；(5)内啮合齿轮共轭齿廓曲线的干涉检查；(6)构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线，完成内啮合共轭齿轮整体设计。

该方法具体步骤如下：

步骤一、利用非均匀B样条构造内啮合齿轮啮合线。

在齿轮传动过程中，随着接触点在啮合线上滑动时，在齿轮坐标系上划出的轨迹就是参与啮合的齿轮齿廓曲线。内啮合齿轮的啮合线为两条，分别对应着内齿轮和外齿轮的左右齿廓，一般而言，两条啮合线是对称的。内啮合齿轮的啮合线分布在内齿轮和外齿轮齿顶圆之间，如图2所示，齿轮1和齿轮2是一对内啮合齿轮，齿轮1为外齿轮，齿轮2为内齿轮，设L₁和L₂为啮合线的两段，L₁位于第二象限，L₂位于第四象限，为保证啮合线过原点且在原点连续，分段啮合线L₁和L₂相交于原点，且在原点相切。

对于渐开线内啮合齿轮，其啮合线L₁和L₂为两条线段，相交于节点O_f，且与X轴的夹角为压力角α，它们的端点分别为与内齿轮及中心轮齿顶圆的交点，对于摆线齿内啮合齿轮，其啮合线L₁和L₂为两段相切圆弧，相切与节点O_f，其中L₁是齿轮1右齿廓齿根与齿轮2左齿廓齿顶的啮合线，L₂为齿轮1右齿廓齿顶与齿轮2左齿廓齿根的啮合线；对于一般情况，内啮合齿轮齿形不仅限于渐开线齿形和摆线齿形，只要满足共轭条件且不发生干涉均可成为内啮合齿轮齿形。B样条曲线具有灵活性和自由性，理论上，B样条曲线可以拟合和逼近任意的几何形状，因此可以利用B样条构造内啮合齿轮啮合线，从而构造满足B样条啮合线的内啮合齿轮齿形曲线。k次B样条曲线方程为：

p(u)为分段多项式，其中，d_i(i＝0,1,2,…,n)为控制顶点，N_i,k(u)(i＝0,1,2,…,n)为k次规范B样条基函数，简称B样条，它是由节点矢量U＝[u₀,u₁,…,u_n+k+1]:u₀≤u₁≤…≤u_n+k+1所决定的k次多项式。当节点矢量在可能范围内(两端节点重复度小于等于k+1，内节点重复度小于等于k)任意选取，构造的B样条曲线为非均匀B样条曲线，确定节点矢量的方法有里森费尔德方法和哈特利-贾德方法。

当k＝3时，三次B样条曲线可以表示为：

其中，样条基函数N_i,3(u)(i＝0,1,2,…,n)为三次多项式，根据B样条基函数的定义可以得到：

[N_i-3,3(u) N_i-2,3(u) N_i-1,3(u) N_i,3(u)]＝[u³ u² u 1]M_i (3)

其中，M_i是由多项式的系数矩阵，把式(3)带入式(2)得到三次B样条曲线又可以表示为：

对于非均匀三次B样条曲线，其在节点p(u_i)(i＝k+1,5,..,n)处为C²阶连续，在其他内点为C^∞阶连续，并且非均匀B样条曲线在首末端节点p(u_k)、p(u_n+1)分别与控制多边形首末边相切。

利用非均匀B样条曲线构造分段啮合线L₁、L₂，他们的控制顶点分别为：d_i ^(L1)(i＝0,1,2,…,n)、d_ij ^(L2)(j＝0,1,2,…,m)，为保证分段啮合线L₁和L₂相交于原点，且在原点相切，根据B样条曲线的端点性质，使控制顶点d₀ ^(L1)＝d₀ ^(L2)＝(0,0)，d₂ ^(L1)、d₁ ^(L1)、d₀ ^(L1)、d₁ ^(L2)、d₂ ^(L2)在同一条直线l₀上。d_n ^(L1)、d_m ^L2)分别在齿轮1和齿轮2的齿顶圆上，限制了啮合线的啮合范围。

步骤二、满足B样条啮合线的共轭齿轮齿廓曲线与啮合线的对应关系建立及其啮合性质分析

如图3，齿轮1和齿轮2的节圆内切于点P₀，设直角坐标系S₁:{O₁,X₁,Y₁}，S₂:{O₂,X₂,Y₂}分别与齿轮1和齿轮2固连，坐标系S_f:{O_f,X_f,Y_f}为固定坐标系，且O_f为节点，则O_f在齿轮啮合作用线上。设分别为齿轮1和齿轮2传动时的角位移，则齿轮1和齿轮2的传动内啮合齿轮的中心距E₁₂＝R₂-R₁，其中R₁、R₂设分别为齿轮1和齿轮2的节圆半径。B样条啮合线在直角坐标系S_f上的齐次坐标表达式为：

其中，x_f，y_f为B样条啮合线上的点P在直角坐标系S_f上的坐标值。在齿轮啮合过程中，接触点在啮合线上并沿着啮合线滑动，接触点在直角坐标系S₁和S₂上滑动的轨迹就是齿轮1和齿轮2的齿廓曲线。啮合线上的共轭点在直角坐标系S₁上的轨迹的向量表示为：

其中，x_f，y_f为啮合点P在直角坐标系S_f上的坐标值。在齿轮啮合过程中，接触点在啮合线上并沿着啮合线滑动，接触点在直角坐标系S₁和S₂上滑动的轨迹就是齿轮1和齿轮2的齿廓曲线。啮合线上的共轭点在直角坐标系S₁上的轨迹的向量表示为：

其中，M_1f为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵。

啮合线上的共轭点在直角坐标系S₂上的轨迹的向量表示为：

其中，M_1f为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵。

根据平面齿轮啮合理论，共轭齿形曲线在切触点处的公法线与回转中心线O₁O₂相交并将该线分为两段O₂P和O₁P，两线段之比值为齿轮传动比。得到的齿轮1的啮合方程为：

对式(10)积分得到：

得到齿轮2的角位移的表达式为：

式(11)、(12)建立起了啮合线上的点与共轭齿廓曲线上接触点的对应关系，把式(11)、(12)带入式(6)、(8)得到齿轮1和齿轮2的共轭齿廓曲线表达式。

在得到内啮合齿轮共轭齿廓曲线之前，根据啮合线与共轭齿廓曲线的对应关系(11)和(12)可以分析构造的内啮合齿轮共轭齿廓曲线的啮合性质，如相对法曲率、相对滑动率。

根据曲线的法曲率关系式得到齿轮1齿廓曲线在点P处的法曲率为：

同样，齿轮2齿廓曲线在点P处的法曲率为：

齿轮1和齿轮2共轭齿廓曲线在啮合点P处的相对法曲率为：

κ₁₂＝κ₁-κ₂ (14)

根据齿轮的齿面方程(6)和(8)得到齿轮1的弧长元素为：

齿轮2齿廓曲线的弧长元素为：

齿轮1和齿轮2在点P处接触，在dt时间内滑动的弧长分别为ds₁、ds₂，则其相对滑动率定义为：

把方程(15a)和(15b)带入方程(16)得到了齿轮1和齿轮2共轭齿廓曲线在啮合点P处的相对滑动率。

步骤三、构造满足三次非均匀B样条啮合线的内啮合齿轮共轭齿廓曲线

当啮合线为三次非均匀B样条表示时，啮合线方程为分段三次多项式(4)，设x_f(u)＝x_i(u)，y_f(u)＝y_i(u)，u∈[u_i,u_i+1]，它满足啮合方程式(10)、(11)。

由于三次B样条曲线为分段三次多项式，不同定义域区间对应不同的三次多项式表达式，需对u进行分段积分。首先确定u∈[u_i,u_i+1]区间，然后分别对[u_k,u_k+1]、[u_k+1,u_k+2]、…、[u_i-1,u_i]、[u_i,u]进行分段积分，得到的最终分段积分为：

得到的为齿轮1齿廓曲线的齿形点从初始位置到参与啮合所转过的弧度，即齿廓曲线齿形点与啮合点的对应关系，把式(17)带入式(6)得到齿轮1的齿廓曲线方程，由于 通过式(8)可以得到齿轮2的齿廓曲线方程。

同样，把式(17)带入式(13a)、(13b)、(14)和(15a)、(15b)、(16)可以得到齿轮1和齿轮2共轭齿廓曲线的相对法曲率和相对滑动率。

步骤四、内啮合齿轮共轭齿廓的的优化设计

在共轭齿轮齿廓的设计过程中，共轭齿廓曲线的光顺度及啮合特性取决于啮合线的几何性质。利用非均匀B样条曲线构造齿轮啮合线，其形状由控制多边形决定，可以通过对控制顶点位置的调整实现啮合线形状的修改。

根据曲线法曲率表达式，曲线的曲率变化主要受p”(u)的影响，光顺曲线的曲率分布需分段线性的，则p"(u)在节点区间上也应趋于线性变化。根据这个特性，建立代表B样条曲线光顺性的能量函数为：

为约束待修正控制顶点d_i ⁰(i＝2,3,…,n-1)的扰动幅度，可对控制顶点的扰动幅度增加一个权重，建立的控制顶点扰动幅度目标函数为：

其中，w_2i为控制顶点扰动幅度的权重。

相对滑动率是共轭齿廓曲线的重要啮合特性之一，建立关于相对滑动率的目标函数为：

对于齿轮1齿根齿廓与齿轮2齿顶齿廓啮合，有ds₁-ds₂<0，对于齿轮1齿顶齿廓与齿轮2齿根齿廓啮合，ds₁-ds₂>0，因此，在对于啮合线L₁，|ds₁-ds₂|＝ds₁-ds₂，对于啮合线L₂，|ds₁-ds₂|＝-(ds₁-ds₂)。把式(15a)、式(15b)带入式(19)并约去得到：

共轭齿廓的相对法曲率可以由式(14)表示，则建立的相对法曲率目标函数为：

根据共轭齿廓曲线的法曲率式(13a)、(13b)，当齿轮1齿廓曲线法曲率表达式的分子、分母与齿轮2齿廓曲线法曲率表达式的分子、分母之差最小时，共轭齿廓曲线的相对法曲率会很小，约去公因子得到相对法曲率的目标函数为：

根据式(17)、(18)、(20)和(22)，得到的整体目标函数为：

F＝w₁F₁+F₂+w₃F₃′+w₄F₄′ (24)

其中，w₁、w₃、w₄分别为光顺度、相对滑动率及相对法曲率在目标函数中所占的权重。要使目标函数F最小，可令

这是2(n-2)元一次方程组，未知量为d_i,x、d_i,y(i＝2,…,n-1)共2(n-2)个，其矩阵表达式为：

Md＝C (26)

其中，M为系数矩阵，C为(n-1)×2向量，d的表达式为：

d＝[d_x d_y]^T d_x＝[d_2x d_3x … d_(n-1)x]d_y＝[d_2y d_3y … d_(n-1)y]

求解以上方程组得到经过优化后的B样条啮合线控制顶点的坐标值。

根据步骤一、步骤二和步骤三重新构造内啮合齿轮共轭齿廓。

步骤五、内啮合齿轮共轭齿廓曲线的干涉检查

若共轭齿轮齿廓曲线上出现奇异点，在该点处将产生轮齿根切。根据齿轮啮合原理，轮齿根切的判定条件为接触点在齿廓曲线上的滑动速度为零，即：

齿轮1轮齿根切的判定条件为：

x_f(u)x′_f(u)+(-R₁+y_f(u))y′_f(u)＝0 (29a)

齿轮2轮齿根切的判定条件为：

x_f(u)x′_f(u)+(-R₂+y_f(u))y′_f(u)＝0 (29b)

把式(4)代入式(29a)、(29b)可以判定满足B样条啮合线的内啮合齿轮共轭齿廓是否发生齿廓干涉。因此，以方法构造的内啮合共轭齿廓是否干涉是由啮合线的决定的，在构造共轭齿廓曲线之前就可以进行判定。鉴于内啮合齿轮的复杂性及B样条曲线的自由性，判断此方法构造的内啮合齿轮是否发生齿顶干涉和径向干涉，只有通过对构造共轭齿廓在每一个转动位置进行判定才能实现。此方法可以获得共轭齿廓上的齿形点坐标，通过在几个关键位置齿形点的转换位置计算及干涉判断可以完成构造共轭齿廓齿顶干涉及径向干涉的判定。

若发生干涉，根据干涉出现的位置可以对B样条啮合线上对应控制点进行调整，重新进行内啮合齿轮共轭齿廓曲线构造并进行干涉检查，直到不发生干涉为止。

步骤六、构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线

确定内外齿轮轮齿齿根齿廓曲线在端点T₀处的切向t，构造与齿根圆和齿根齿廓曲线在端点相切的圆弧过渡曲线T₀T_f。，如图4所示。

下面具体举例说明：

以齿数z1＝35，z2＝50，m＝4的内啮合齿轮为例，简要说明本方法的实施方式。其他参数为ha1＝4mm，hf1＝5mm，ha2＝4mm，hf2＝5mm。

步骤一、利用非均匀B样条构造内啮合齿轮啮合线。

设计的啮合线为外齿轮1右侧齿廓与内齿轮2左侧齿廓的啮合线，分为L₁、L₂两段，如表1所示，其控制顶点为d_i ^(L1)(i＝0,1,2,…,n)、d_ij ^(L2)(j＝0,1,2,…,m)，满足d₀ ^(L1)＝d₀ ^(L2)＝(0,0)，d₂ ^(L1)、d₁ ^(L1)、d₀ ^(L1)、d₁ ^(L2)、d₂ ^(L2)在同一条直线l₀上。d_n ^(L1)、d_m ^L2)分别在齿轮1和齿轮2的齿顶圆上。

把控制顶点的坐标带入式(4)，则得到了啮合线方程的三次非均匀B样条曲线表示。

表1非均匀B样条啮合线控制顶点

步骤二、满足B样条啮合线的共轭齿轮齿廓曲线与啮合线的对应关系建立及其啮合性质分析

根据共轭原理，得到共轭方程表达式式(11)，对共轭方程式(11)积分，得到啮合线上的点与共轭齿廓曲线上接触点的对应关系式(11)及式(12)。

根据齿轮1和齿轮2共轭齿廓曲线在啮合点P处的相对法曲率表达式(14)及相对滑动率表达式(16)，得到的共轭齿廓曲线的相对法曲率曲线和相对滑动率曲线如图6、图7所示。

步骤三、满足设计啮合线的共轭齿轮齿廓曲线的构造

对于三次非均匀B样条曲线，其方程表达式为分段三次多项式，需对u进行分段积分。首先确定u∈[u_i,u_i+1]区间，然后分别对[u_k,u_k+1]、[u_k+1,u_k+2]、…、[u_i-1,u_i]、[u_i,u]进行分段积分，得到的最终分段积分为：

得到的为齿轮1齿廓曲线的齿形点从初始位置到参与啮合所转过的弧度，即齿廓曲线齿形点与啮合点的对应关系，把式(30)带入式(6)得到齿轮1的齿廓曲线方程，由于 通过式(8)可以得到齿轮2的齿廓曲线方程。

以上得到的共轭齿廓曲线为中心轮1右侧齿廓与内齿圈2左侧齿廓，如图5(a)所示。

步骤四、内啮合齿轮共轭齿廓的优化设计

在内啮合齿轮共轭齿廓设计过程中，共轭齿廓曲线的光顺度及啮合特性取决于啮合线的几何性质。非均匀B样条啮合线的形状由控制顶点决定，可以通过对控制顶点位置的调整实现内啮合齿轮共轭齿廓的优化设计。

以B样条啮合线光顺性、控制顶点位置扰动、共轭齿廓相对法曲率及相对滑动率为优化目标建立目标函数式(23)，通过求解目标函数得到了优化后的B样条啮合线控制顶点的位置坐标为d_i'^(L1)(i＝0,1,2,…,n)、d_j'^(L2)(j＝0,1,2,…,m)，如表2所示。

为了满足d₀'^(L1)＝d₀'^(L2)＝(0,0)，d₂'^(L1)、d₁'^(L1)、d₀'^(L1)、d₁'^(L2)、d₂'^(L2)在同一条直线l₀上。d_n'^(L1)、d_m'^(L2)分别在齿轮1和齿轮2的齿顶圆上，在设置控制顶点扰动时，使这几个点不产生扰动，即坐标值不变。

根据步骤一、步骤二和步骤三重新构造内啮合齿轮共轭齿廓及求解其相对法曲率和相对滑动率。得到了优化后的B样条啮合线及构造的共轭齿廓曲线如图5(b)所示，其相对法曲率和相对滑动率如图6、图7所示。

表2优化后非均匀B样条啮合线控制顶点

步骤五、设计共轭齿廓曲线的干涉检查

对于给定的三次非均匀B样条啮合线分段多项式方程表达式(4)，带入中心轮1工作齿廓干涉的判定条件式(29a)和内齿圈2工作齿廓干涉的判定条件式(29b)，发现实例中构造的B样条啮合线满足：

则根据该啮合线构造的共轭齿廓曲线不会产生工作齿廓干涉。通过对构造的共轭齿廓转动一定角度检查发现，此方法构造的共轭齿廓不发生齿顶干涉和径向干涉。

步骤六、齿轮工作齿廓到齿根圆的过渡曲线构造

中心齿根齿廓曲线的端点为T₁₀(0.7102,-66.4380)，在端点T₁₀的切线方向t(0.1303,0.9915)，中心齿轮的齿根圆中心O₁(0,0)，半径r_f1＝65mm，通过几何求解，与中心轮齿根圆外切于点T_f1的一段圆弧T₁₀T_f1的中心O₁₀(2.3987,-66.6599)，半径r₁₀＝1.703mm，则中心轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：

内齿轮齿根齿廓曲线的端点为T₂₀(-1.4718,-103.8182)，在端点T₂₀的切线方向t(-0.4384,-0.8988)，外齿轮的齿根圆中心O₂(0,0)，半径r_f2＝105mm，通过几何求解，与内齿圈齿根圆外切于点T_f2的一段圆弧T₂₀T_f2的中心O₂₀(-3.2803，-102.9353)，半径r₂₀＝2.0125mm，得到内齿圈齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：

得到的中心轮和内齿圈轮齿如图8和图9所示，图8为中心轮和内齿圈单齿形状，分别由齿顶圆、齿廓曲线、过渡圆弧曲线及齿根圆组成，如图9所示中心轮和内齿圈整体齿形及啮合线。

本发明未详细阐述部分属于本领域的公知技术。

以上所述，仅为本发明部分具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本领域的人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在于：该方法利用B样条曲线构造内啮合齿轮啮合线，根据齿轮啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线之间对应关系式；构造满足B样条啮合线的共轭齿廓曲线；建立以曲线光顺度、控制顶点扰动及共轭齿廓曲线相对法曲率、相对滑动率整体最优的目标函数，求解得到优化后的B样条啮合线控制顶点坐标，重新构造内啮合齿轮共轭齿廓曲线；对设计的共轭齿廓曲线进行干涉检查，根据检查结果调整控制顶点；设计内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线，完成内外齿轮齿形的总体设计；鉴于B样条曲线的自由性和灵活性，通过B样条既可构造渐开线齿形的直线啮合线和摆线齿形的圆弧啮合线，也可构造其他齿形的复杂啮合线，从而使该方法对内啮合共轭齿廓曲线的构造具有很大的自由度。

2.根据权利要求1所述的一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、设计内啮合齿轮啮合线，根据B样条曲线的生成原理，以给定的啮合线上的点为控制顶点，构造以三次非均匀B样条表示的内啮合齿轮啮合线；

步骤二、根据共轭原理，建立内啮合齿轮传动的共轭方程，该方程反应了啮合线上的点与内啮合齿轮共轭齿廓曲线上共轭点之间的对应关系；在求解共轭齿廓曲线之前，根据齿轮啮合理论，分析满足设计B样条啮合线的共轭齿廓曲线的啮合性质，包括相对法曲率和相对滑动率；

步骤三、根据啮合线与共轭齿廓曲线的对应关系式，带入B样条啮合线的分段多项式，通过坐标变换和计算，得到满足设计B样条啮合线的内啮合齿轮共轭齿廓曲线上的齿形点坐标；

步骤四、以曲线光顺性、B样条曲线控制顶点扰动幅度、构造共轭齿廓曲线相对法曲率、相对滑动率整体最优为目标建立优化函数，通过计算得到新的控制顶点坐标，重新进行内啮合齿轮共轭齿廓曲线设计；

步骤五、利用微分几何学检查内啮合齿轮共轭齿廓曲线上是否存在奇异点，进行工作齿廓根切检查；检查内啮合齿廓共轭齿廓啮合过程是否发生齿顶干涉及径向干涉，确定干涉点发生的位置，通过调整对应的B样条曲线控制顶点消除内啮合齿轮干涉情况；

步骤六、构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧曲线，完成内啮合共轭齿轮整体设计。