CN104182631A - 一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，包括：建立一种新的未变形切屑厚度模型，采用向量法建立圆弧刀变姿态铣削加工切削力预测模型；运用等效圆柱法建立机床传动轴的柔度模型，并应用力椭球方法和坐标系变换建立了加工系统的综合柔度度模型；最后通过变姿态加工过程的切削力模型和多轴加工系统末端柔度模型，得到刀具偏离量模型。本发明公开的刀具偏离量的建模方法，通过建立新的刀具切削刃的未变形切削厚度模型和多轴加工系统的综合柔度模型，得到更准确的加工过程中的刀具偏离量变化规律，从而在多轴加工中优化刀具姿态，以及进给速度和主轴转速等加工工艺参数，控制刀具偏离量大小，提高工件加工表面质量。

Description

一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法

技术领域

本发明涉及一种多轴工系统的刀具偏离量的建模方法，特别涉及一种基于切削力模型和多轴加工系统综合刚度模型的刀具偏离量建模方法，适用于圆弧铣刀五轴铣削加工技术领域。

背景技术

五轴铣削加工中，刀具相对于工件表面具有更大的可达空间，这迎合了复杂曲面加工的需求。通过刀具姿态规划，可以避免刀具、工件与夹具等的干涉碰撞，还通过改善刀具包络曲面与工件设计曲面之间的接触特性提高了加工效率。然而，对于航空航天领域的关键零件，比如压缩机叶轮、起落架和发动机壳体，不仅具有复杂的轮廓曲面，还具有超高强度的材料。这使得零件加工过程的切削力较大；对于多轴加工系统，其运动链较长，刚度不容易保证；同时，切削刀具经常工作于异常姿态；这些都可能造成较大的刀具偏离量，进而造成较大的加工误差，并制约了加工效率的提高，甚至于对加工系统造成破坏。因此，多轴加工过程中的切削力、加工系统刚度和刀具偏离量的研究尤为重要。

但是，现有技术关于多轴加工系统的刀具量的研究及计算方法均存在明显的缺陷与不足，包括：

1、有的仅有针对“三轴加工”的刀具偏离量的研究，如：Landon,Y.,Segonds,S.,Lascoumes,P.,and Lagarrigue,P.,2004,“Tool Positioning Error(TPE)Characterisation inMilling,”Int.J.Mach.Tools Manuf.,44(5),pp.457–464，采用三轴加工实验模型，得到的偏离量的规律仅适用于三轴，无法适用更为广泛使用的多轴加系统的偏离量计算。

2、有的仅针对较为简单的球头刀铣削或平底刀铣削加工，如：Dépincé,P.,andJ.Y.,2006,“Active Integration of Tool Deflection Effects in End Milling.Part1.Prediction of Milled Surfaces,”Int.J.Mach.Tools Manuf.,46(9),pp.937–944.，仅针对平底刀加工，不适用于高强度钢加工，否则容易加剧刀具的磨损甚至崩刃；Dow,T.A.,Miller,E.L.,and Garrard,K.,2004,“Tool Force and Deflection Compensation for Small MillingTools,”Precis.Eng.,28,pp.31–45.，仅针对球头刀加工，刀具姿态改变不能优化刀具包络曲面与设计曲面的切触状态，加工效率低下。

3、未全面考虑多轴加工系统的各部分柔度。现有技术为简化建模，或者将刀具视为刚体，或者将主轴或刀柄视为刚体，特别是通常未将加工系统传动轴的柔度纳入考虑范围进行研究，使计算得到的柔度不能客观反映加工系统的真实柔度，导致计算的偏离量偏小。如：Liang,S.Y.,and Zheng,L.,1998,“Analysis of End Milling Surface ErrorConsidering Tool Compliance,”ASME J.Manuf.Sci.Eng.120(1),207–210，Dow,T.A.,Miller,E.L.,and Garrard,K.,2004,“Tool Force and Deflection Compensation for SmallMilling Tools,”Precis.Eng.,28,pp.31–45，以上文献均未考虑刀柄、机床运动轴的柔度，得到的刀具偏离量存在较大误差。

4、刀具切削刃的未变形切削厚度的计算通过将进给矢量分解成刀具轴向和径向两个方向的进给，由此得到刀刃微元进给矢量并进一步计算得到未变形切削厚度，此种计算方法存在以下缺陷：一是不适合于变姿态加工；二是与进给量等切削参数相关，计算较复杂难懂；三是与刀具姿态不直接相关，无法建立后续的偏离量与刀具姿态的关系。

发明内容

本发明的目的在于提供一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，通过建立新的刀具切削刃的未变形切削厚度模型，以及建立包括刀具端柔度、传动轴-刀柄端柔度、刀具连接部角度变化引起的传动轴-刀柄端柔度三部分柔度的综合柔度模型，得到更准确的加工过程中的刀具偏离量变化规律，从而在多轴加工中优化刀具姿态，以及进给速度和主轴转速等加工工艺参数，控制刀具偏离量大小，提高工件加工表面质量。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，包括如下步骤：

S1：建立刀具坐标系下的刀具切削刃模型，根据下述公式计算得到圆弧刀在刀具坐标系下第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(t)：

其中：χ为圆弧刀的圆角半径，D为圆弧刀的刀具直径，z为刀具切削刃上的点在刀具坐标系下的z轴坐标值，为第j个刀齿上第z个微元层上点处的径向接触角。

f_e,i、t_i、n_i分别为第i个刀触点处的单位进给矢量、单位切矢和单位法矢。

S2：建立机床坐标系下的切削刃模型，根据步骤S1得到的刀具坐标系下的第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(t)，通过下述公式计算得到机床坐标系下的第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(m)：

${P_{\mathrm{ce},j}}^{\left(m\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β},t)=\left(R_m^t\right)\left({P_{\mathrm{ce},j}}^{\left(t\right)}\right)+P_m^t.$

其中：为从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵，为从刀具坐标系到机床坐标系的平移变换矩阵。

S3：建立切削刃的未变形切削厚度模型，根据刀具切削刃上点在先后两个刀齿周期的坐标变化和切削刃上点的单位法矢n(z)，通过向量法得到未变形切削厚度模型，所述切削刃的未变形切屑厚度h_j通过下述公式计算得到：

h_j(α,β,z)＝(P_ce,j ^(m)(α,β,t+Δt)-P_ce,j ^(m)(α,β,t))·n(z),

其中：Δt指刀具旋转一个刀齿的时间，Δt＝60/(nNf)，Nf为刀具齿数，n为主轴转速；切削刃上点的单位法矢n(z)由下式计算得到：

其中：为主轴转角。

S4：建立刀具坐标系下的切削力模型，根据刀具的切削力系数以及切削刃的未变形切屑厚度h_j，通过下述公式计算得到多轴加工系统在刀具坐标系下沿x、y、z轴的切削力：

其中：K_r，K_t，K_a分别为刀具沿径向、切向和轴向的切削力系数，通过切削力系数标定实验得到；

db(z)为切削刃微元沿切削速度方向的投影长度，由下式计算得到：

db(z)＝dz/sin(κ(z)).，κ(z)为刀具的径向接触角。

S5、建立刀具端末端柔度模型，将刀具等效为变截面梁，通过如下公式计算得到刀具端末端柔度：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{tx}}=\frac{{{3L}_s}^2{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ}-{L_s}^3+{{2L}_f}^2/{{\mathrm{\μ}}_t}^4+3{2L}_s{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ}-{L_s}^2{L}_f-\mathrm{\χ}}{6\mathrm{EI}},\\ S_{\mathrm{ty}}=\frac{{{3L}_s}^2{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ}-{L_s}^3+{{2L}_f}^2/{{\mathrm{\μ}}_t}^4+3{2L}_s{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ}-{L_s}^2{L}_f-\mathrm{\χ}}{6\mathrm{EI}},\\ S_{\mathrm{tz}}=\frac{L_s+L_f/{{\mathrm{\μ}}_t}^2}{{\mathrm{EA}}_s}.\end{array}\right.$

其中：其中L_c为夹持段长度，L_sf为非夹持段的总长度，L_s为非夹持段光杆部分的长度，L_f为刀齿部分的长度，刀位点与刀具底部中心点沿刀轴轴线方向的距离为圆弧半径χ，μ_t为刀齿部分的有效系数。

S6、建立传动轴-刀柄端末端柔度模型，将传动轴-刀柄端虚拟为一个等效圆柱棒，所述等效圆柱棒沿各个方向的刚度等于传动轴-刀柄端的实际刚度，通过刚度标定实验得到等效圆柱棒沿x、y、z轴的实测柔度，再通过下述公式得到所述等效圆柱棒沿x、y和z的等效长度：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{ex}}=\frac{\sqrt{{{9L}_f}^{\′4}-\frac{6}{{{\mathrm{\μ}}_t}^4}{L_f}^{\′3}-\frac{4}{{{\mathrm{\μ}}_t}^4}{L_f}^{\′2}+18{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cx}0}{L_f}^{\′}+12{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cx}0}}-{{3L}_f}^{\′2}}{{{3L}_f}^{\′}+2}-L_s,\\ L_{\mathrm{ey}}=\frac{\sqrt{{{9L}_f}^{\′4}-\frac{6}{{{\mathrm{\μ}}_t}^4}{L_f}^{\′3}-\frac{4}{{{\mathrm{\μ}}_t}^4}{L_f}^{\′2}+18{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cy}0}{L_f}^{\′}+12{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cy}0}}-{{3L}_f}^{\′2}}{{{3L}_f}^{\′}+2}-L_s,\\ L_{\mathrm{ez}}={\mathrm{EA}}_s{S}_{\mathrm{Cz}0}-L_f/{{\mathrm{\μ}}_t}^2+L_s,\end{array}\right.$

所述传动轴-刀柄端的末端柔度S_A通过下述公式计算得到：

$S_A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{L_{\mathrm{ex}}}^3}{3\mathrm{EI}}& & \\ & \frac{{L_{\mathrm{ey}}}^3}{3\mathrm{EI}}& \\ & & \frac{L_{\mathrm{ez}}}{{\mathrm{EA}}_s}\end{array}\right).$

其中：L_f′为中间变量，L_f′＝L_f-χ.；S_Cx0、S_Cy0、S_Cz0为刚度标定实验得到的沿x、y、z轴的实测柔度；I为刀具端刀杆部分的惯性矩；As为刀具端刀杆部分的截面积。

S7、建立由于刀具端柔度引起的传动轴-刀柄端柔度模型，传动轴-刀柄端和刀具端的连接处的角度变化引起的传动轴-刀柄端的柔度，通过如下公式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{\θAx}}=\frac{2\mathrm{EI}}{({2L}_{\mathrm{ex}}(L_{\mathrm{ex}}+L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ})-{L_{\mathrm{ex}}}^2)(L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ})},\\ S_{\mathrm{\θAy}}=\frac{2\mathrm{EI}}{({2L}_{\mathrm{ey}}(L_{\mathrm{ey}}+L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ})-{L_{\mathrm{ey}}}^2)(L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\χ})}.\end{array}\right.$

S8、建立加工系统的综合柔度模型，应用坐标系变换和力椭球法，通过下述公式得到加工系统的综合柔度：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_x=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{11}+S_{\mathrm{tx}}+S_{\mathrm{\θAx}})\\ S_y=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{22}+S_{\mathrm{ty}}+S_{\mathrm{\θAy}})\\ S_z=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{33}+S_{\mathrm{tz}})\end{array}\right.$

其中：为由椭球坐标系变换到刀具坐标系的旋转变换矩阵。

S9、建立刀具坐标系下的刀具偏离量模型，由切削力模型和加工系统的综合柔度模型建立刀具坐标系下的刀具偏离量模型，通过下述公式计算得到刀位点在刀具坐标系下的偏离量：

$\left\{\begin{array}{c}{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=S_x{\stackrel{\‾}{f}}_x\\ {e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=S_y{\stackrel{\‾}{f}}_y\\ {e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=S_z{\stackrel{\‾}{f}}_z\end{array}\right.$

其中：分别为沿x、y、z轴的平均切削力，由下述公式计算得到：

S10、建立刀触点局部坐标系下的刀具偏离量模型，通过下述公式计算得到刀位点在刀触点局部坐标系下的偏离量：

$\left\{\begin{array}{c}{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\β}-{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\β},\\ {e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\α},\\ {e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\α}.\end{array}\right.$

一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，所述圆弧刀的轴向接触角、径向滞后角、径向接触角通过如下公式计算得到：

轴向接触角：

$\mathrm{\&kappa;}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\arccos ((\mathrm{\&chi;}-z)/\mathrm{\&chi;}),& \mathrm{if}& z<\mathrm{\&chi;},\\ \mathrm{\&pi;}/2,& \mathrm{if}& z\&GreaterEqual;\mathrm{\&chi;},\end{array}\right.$

径向滞后角：

径向接触角：

其中，为主轴转角；为等节距刀具的齿间角；N_f为刀具齿数。

一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，所述从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵和平移变换矩阵的计算步骤包括：

N1、建立刀具刀位点的数学模型，通过下述公式计算得到工件设计曲面上第i个刀位点在机床坐标系下对应的位置坐标P_cl,i ^(m)以及第i个刀触点处的刀具姿态v_i ^(m)：

${P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={P_{\mathrm{cc},i}}^{\left(m\right)}-\left(\begin{array}{c}\left(D\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}\right)/2\\ \left(D\sin \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}\right)/2\\ (\mathrm{\&chi;}-D/2)\sin \mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&chi;}\end{array}\right),$

v_i ^(m)(α,β)＝f_e,isinαcosβ+t_isinαsinβ+n_icosα,

其中：P_cc,i ^(m)是第i个刀触点在机床坐标系下对应的位置坐标，由加工轨迹的刀触点轨迹线离散得到，α为刀具前倾角；β为刀具侧倾角；

f_e,i、t_i、n_i分别为第i个刀触点处的单位进给矢量、单位切矢和单位法矢。

N2、所述从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵和平移变换矩阵分别由以下公式计算得到：

$R_m^t(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{x_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{x_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}& \frac{{y_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{y_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}& \frac{{z_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{z_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}\end{array}\right).$

$P_m^t(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_p){P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_p{P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)},$

其中，机床坐标系下刀刃上点的坐标由下式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{x_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=((1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v_{i+1}}^{\left(m\right)})\&times;({P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)}-{P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)})\&times;\left(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v\right){v_i}^{\left(m\right)}+{{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v}_{i+1}}^{\left(m\right)},\\ {y_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=((1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v_{i+1}}^{\left(m\right)})\&times;({P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)}-{P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}),\\ {z_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v}_{i+1}}^{\left(m\right)},\end{array}\right.$

是一个和时间相关的中间变量，计算公式：

是一个和时间相关的中间变量，计算公式：

一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，所述步骤S9或S10后还包括用于建立刀具的合成偏离量模型的步骤S11：

所述合成刀位点偏离量通过如下公式计算得到：

$e_C(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=\sqrt{{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)2}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)2}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)2}}.;$

或通过如下公式计算得到：

$e_C(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=\sqrt{{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(p\right)2}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(p\right)2}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(p\right)2}}.$

与现有技术相比，本发明的突出特点在于：

1、本发明提供的多轴加工系统的刀具偏离量建模方法，综合考虑到了多轴加工系统中各个环节对末端偏离量的影响，包括：刀具刀齿、刀杆、刀柄直至传动轴端，将影响加工系统的柔度的三部分柔度包括刀具端末端柔度、传动轴-刀柄端柔度、由刀具端柔度引起的传动轴-刀柄端柔度分别计算然后叠加，得到更符合加工系统实际运动受力状况的综合柔度模型，从而能够得到更准确的刀具偏离量变化规律。

2、运用等效圆柱法建立传动轴-刀柄端的柔度模型，将传动轴-刀柄端假设为一个虚拟的“等效圆柱棒”，并且假定其材料和直径是固定的，因此将等效圆柱棒的刚度沿不同方向的变化等效为沿不同方向的等效长度的变化，并通过标定实验得到三个坐标轴方向的实测柔度，以及通过经典力学公式得到等效圆柱棒沿任意方向的等效长度，进一步通过等效长度得到传动轴-刀柄端的柔度值。由于等效圆柱法是基于标定实验得到各方向的等效柔度值，因而能够建立传动轴-刀柄端准确的柔度模型。

3、未变形切削厚度的计算，用相邻两个刀齿周期对应的切削刃坐标差值乘以切削刃上点的法矢计算得到，与现有技术的未变形切削厚度计算方法相比具有以下优点：一是适合于变姿态加工的计算；二是未变形切厚与进给量等切削参数不直接相关，计算思路简单易懂；三是可直接建立未变形切厚与刀具姿态的函数关系，有利于进一步建立偏离量与刀具姿态关系。

4、运用本发明提供的建模方法进行多轴加工系统的刀具偏离量的计算预测结果，与采用相同几何参数的刀具、工件材料和工艺参数铣削实验过程中刀具偏离量测量值进行对比，其预测结果与实测结果能够很好吻合，表明本发明的建模方法能够很好地用于基于多轴加工系统的刀具偏离时的预测，并进一步利用预测的刀具偏离量进行刀具姿态优化和加工参数的优化，有助于提高加工表面质量。

附图说明

图1为本发明的圆弧刀几何角度和数学模型示意图。

图2为本发明的圆弧刀环心圆示意图。

图3为本发明的圆弧刀未变形切屑厚度示意图。

图4为本发明的向量法建模示意图。

图5为本发明的多轴加工系统刚度分析数学模型示意图。

图6为本发明的力椭球和坐标系旋转变换关系示意图。

图7为本发明的刀具偏离量立方体示意图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。

本发明提供的多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法中，包括五个坐标系：刀具坐标系(t)、机床坐标系(m)、刀触点局部坐标系(p)、椭球坐标系(e)、工件坐标系(w)，不同的代数量或者物理量是分别在其相关的坐标系下建立的，但在进一步的推导中要在其他的坐标系中表达，则需要变换到其他坐标系下，因此本发明的建模方法包括多次坐标转换。

本发明提供的多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，包括如下步骤S1-S10：

S1：建立刀具坐标系下的刀具切削刃模型，根据下述公式计算得到圆弧刀在刀具坐标系下第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(t)：

其中：χ为圆弧刀的圆角半径，D为圆弧刀的刀具直径，z是刀具切削刃上的点在刀具坐标系下的z轴坐标值，为第j个刀齿上第z个微元层上点处的径向接触角，该点为切削刃上的点，即将切削刃微元化以后切削刃的微元层上的点。

f_e,i、t_i、n_i分别为第i个刀触点处的单位进给矢量、单位切矢和单位法矢。

S2：建立机床坐标系下的切削刃模型，根据步骤S1得到的刀具坐标系下的第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(t)，通过下述公式计算得到机床坐标系下的第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(m)：

${P_{\mathrm{ce},j}}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=\left(R_m^t\right)\left({P_{\mathrm{ce},j}}^{\left(t\right)}\right)+P_m^t.$

其中：为从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵，为从刀具坐标系到机床坐标系的平移变换矩阵。

S3：建立切削刃的未变形切削厚度模型，根据刀具切削刃上点在先后两个刀齿周期的坐标变化和切削刃上点的单位法矢n(z)，通过向量法得到未变形切削厚度模型，所述切削刃的未变形切屑厚度h_j通过下述公式计算得到：

h_j(α,β,z)＝(P_ce,j ^(m)(α,β,t+Δt)-P_ce,j ^(m)(α,β,t))·n(z),

其中：Δt指刀具旋转一个刀齿的时间，Δt＝60/(nNf)，Nf为刀具齿数，n为主轴转速；切削刃上点的单位法矢n(z)由下式计算得到：

其中：为主轴转角。

S4：建立刀具坐标系下的切削力模型，根据刀具的切削力系数以及切削刃的未变形切屑厚度h_j，通过下述公式计算得到多轴加工系统在切削刃坐标系下沿x、y、z轴的切削力：

其中：K_r，K_t，K_a分别为刀具沿径向、切向和轴向的切削力系数，通过切削力系数标定实验得到；

db(z)为切削刃微元沿切削速度方向的投影长度，由下式计算得到：

db(z)＝dz/sin(κ(z)).，其中，κ(z)为轴向接触角。

本步骤中所用的切削力模型为经典的机械力学模型，即将圆弧刀沿刀具轴向离散成数层，计算出每个离散层中的各刀齿微元的切削区域中的面积，并应用Z-map法确定切削区域，结合标定实验得到的切削力系数积分得到总的切削力。

以下步骤S5-S8为建立多轴加工系统的综合柔度模型。在小变形和弹性变形的假设下，当构件的变形包含多种变形时，构件末端的变形可由多种变形组合而得，即为叠加原理。多轴加工系统的综合柔度由以下三部分组成：(1)刀具端末端柔度；(2)传动轴-刀柄端柔度；(3)由于刀具端柔度引起的传动轴-刀柄端柔度，因此可将三部分柔度分别计算然后相加即可。其中传动轴-刀柄端柔度还需要进行坐标变换。

S5、建立刀具端末端柔度模型，将刀具等效为变截面梁，通过如下公式计算得到刀具端末端柔度：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{tx}}=\frac{{{3L}_s}^2{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^3+{{2L}_f}^2/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4+3{2L}_s{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^2{L}_f-\mathrm{\&chi;}}{6\mathrm{EI}},\\ S_{\mathrm{ty}}=\frac{{{3L}_s}^2{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^3+{{2L}_f}^2/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4+3{2L}_s{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^2{L}_f-\mathrm{\&chi;}}{6\mathrm{EI}},\\ S_{\mathrm{tz}}=\frac{L_s+L_f/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^2}{{\mathrm{EA}}_s}.\end{array}\right.$

其中：L_c为夹持段长度，L_sf为非夹持段的总长度，L_s为非夹持段光杆部分的长度，L_f为刀齿部分的长度，刀位点与刀具底部中心点沿刀轴轴线方向的距离为圆弧半径χ，μ_t为刀齿部分的有效系数。

本步骤是将刀具端等效为一端固定的变截面梁，固定点为刀柄夹持点，沿刀具的刀杆部分和刀齿部分改变截面的直径，刀杆部分取原有直径，刀齿部分取等效直径，建立刀具端的柔度模型。

S6、建立传动轴-刀柄端柔度模型，将传动轴-刀柄端虚拟为一个等效圆柱棒，所述等效圆柱棒沿各个方向的刚度等于传动轴-刀柄端的实际刚度，所述等效圆柱棒沿x、y和z的等效长度通过下述公式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{ex}}=\frac{\sqrt{{{9L}_f}^{\&prime;4}-\frac{6}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;3}-\frac{4}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;2}+18{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cx}0}{L_f}^{\&prime;}+12{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cx}0}}-{{3L}_f}^{\&prime;2}}{{{3L}_f}^{\&prime;}+2}-L_s,\\ L_{\mathrm{ey}}=\frac{\sqrt{{{9L}_f}^{\&prime;4}-\frac{6}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;3}-\frac{4}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;2}+18{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cy}0}{L_f}^{\&prime;}+12{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cy}0}}-{{3L}_f}^{\&prime;2}}{{{3L}_f}^{\&prime;}+2}-L_s,\\ L_{\mathrm{ez}}={\mathrm{EA}}_s{S}_{\mathrm{Cz}0}-L_f/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^2+L_s,\end{array}\right.$

其中：L_f′为中间变量，L_f′＝L_f-χ.；S_Cx0、S_Cy0、S_Cz0为刚度标定实验得到的沿x、y、z轴的实测柔度；

所述传动轴-刀柄端的末端柔度S_A通过下述公式计算得到：

$S_A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{L_{\mathrm{ex}}}^3}{3\mathrm{EI}}& & \\ & \frac{{L_{\mathrm{ey}}}^3}{3\mathrm{EI}}& \\ & & \frac{L_{\mathrm{ez}}}{{\mathrm{EA}}_s}\end{array}\right).$

其中：I为刀具端刀杆部分的惯性矩；As为刀具端刀杆部分的截面积。

传动轴-刀柄端的等效圆柱棒是一个不存在的圆柱棒，是为了计算传动轴-刀柄端的刚度而虚拟出来的，虚拟的意义在于：“圆柱棒沿各个方向的刚度”等效于“传动轴-刀柄端沿各个方向的刚度”。由于“传动轴-刀柄端沿各个方向的刚度”实际上是变化的，所以“圆柱棒沿各个方向的刚度”也应是变化的。当假设“等效圆柱棒”的材料和直径是固定的，那么它的刚度沿不同方向的变化就需要它的长度的变化来实现，所以设定这个虚拟的“等效圆柱棒”的长度是变化的，即用等效圆柱棒的“等效长度”对应实际刚度。

等效长度需要等效于实际的刚度才具有意义，而实际的刚度是可以通过刚度标定实验测试得到。具体方法为：是采用刚度测试装置对加工系统末端施加一个外力，同时测量力的大小和由该力所引起的位移的大小，分别沿坐标轴的三个方向施加外力和测量刀具的偏离量，然后用力和位移计算得到沿x、y、z轴的实测柔度。限于实验条件及实验成本，一般只需测出三个坐标轴方向的刚度，然后进一步通过经典力学公式计算得到满足刀具偏离量建模需要的无限、多组等效长度，再进一步通过等效长度得到传动轴刀柄端的柔度。

S8、建立由于刀具端柔度引起的传动轴-刀柄端的柔度模型，传动轴-刀柄端和刀具端的连接处的角度变化引起的传动轴-刀柄端的柔度，通过如下公式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{\&theta;Ax}}=\frac{2\mathrm{EI}}{({2L}_{\mathrm{ex}}(L_{\mathrm{ex}}+L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})-{L_{\mathrm{ex}}}^2)(L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})},\\ S_{\mathrm{\&theta;Ay}}=\frac{2\mathrm{EI}}{({2L}_{\mathrm{ey}}(L_{\mathrm{ey}}+L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})-{L_{\mathrm{ey}}}^2)(L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})}.\end{array}\right.$

由于刀具端柔引起的传动轴-刀柄端柔度的原理在于：在外力的作用下，刀具端部分发生位移量的变形，该位移变形使得刀具端具有角度变形，由于刀具端与传动轴-刀柄端两个部分实际上是相连的，刀具端的角度变形使得传动轴刀柄端部分也发生变形偏离，这一部分偏离量是前两部分的计算都没有包含的，所以需要作为第三部分专门计算并加进去。如图5所示，“传动轴-刀柄端和刀具端的连接处”为图中的A点，角度为图中的θ_A。从图中可以看出，θ_A是引入了C点的变形，而且，由θ_A所引入的C点变形是“传动轴-刀柄端”的计算和“刀具端”的计算都没有考虑的，所以需要单独计算。(或者说：如果没有θ_A，刀具端就不会有一个初始的位置偏离，那么C点的变形会小一些，计算就不准确了。)

S9、建立加工系统的综合柔度模型，应用坐标系变换和力椭球法，通过下述公式得到加工系统的综合柔度：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_x=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{11}+S_{\mathrm{tx}}+S_{\mathrm{\&theta;Ax}})\\ S_y=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{22}+S_{\mathrm{ty}}+S_{\mathrm{\&theta;Ay}})\\ S_z=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{33}+S_{\mathrm{tz}})\end{array}\right.$

其中：为由椭球坐标系变换到刀具坐标系的旋转变换矩阵。

S10、建立刀具坐标系下的刀具偏离量模型，由切削力模型和加工系统的综合柔度模型建立刀具坐标系下的刀具偏离量模型，通过下述公式计算得到刀位点在刀具坐标系下的偏离量：

$\left\{\begin{array}{c}{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=S_x{\stackrel{\&OverBar;}{f}}_x\\ {e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=S_y{\stackrel{\&OverBar;}{f}}_y\\ {e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=S_z{\stackrel{\&OverBar;}{f}}_z\end{array}\right.$

其中：分别为沿x、y、z轴的平均切削力，由下述公式计算得到：

如上述公式，平均切削力的计算方法为：将动态切削力对主轴转角进行积分，积分限为[0,2π]，即一个主轴旋转周期，然后将积分得到的值除以周期即为平均切削力。

S11、建立刀触点局部坐标系下的刀具偏离量模型，通过坐标变换建立刀具在刀触点局部坐标系下的三维偏离量模型，通过下述公式计算得到刀位点在刀触点局部坐标系下的偏离量：

$\left\{\begin{array}{c}{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&beta;}-{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&beta;},\\ {e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}-{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&alpha;},\\ {e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&alpha;}.\end{array}\right.$

本发明提供的多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，圆弧刀的数学模型包括轴向接触角、径向滞后角、径向接触角，分别通过如下公式计算得到：

轴向接触角：

$\mathrm{\&kappa;}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\arccos ((\mathrm{\&chi;}-z)/\mathrm{\&chi;}),& \mathrm{if}& z<\mathrm{\&chi;},\\ \mathrm{\&pi;}/2,& \mathrm{if}& z\&GreaterEqual;\mathrm{\&chi;},\end{array}\right.$

径向滞后角：

其中，β_t为圆弧刀的标称螺旋角。

径向接触角：

其中，为主轴转角；为等节距刀具的齿间角；N_f为刀具齿数。

本发明提供的多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵和平移变换矩阵的计算方法包括以下步骤：

N1：建立刀具刀位点的数学模型，通过下述公式计算得到工件设计曲面上第i个刀位点的在机床坐标系下对应的位置坐标P_cl,i ^(m)以及第i个刀触点处的刀具姿态v_i ^(m)：

${P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={P_{\mathrm{cc},i}}^{\left(m\right)}-\left(\begin{array}{c}\left(D\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}\right)/2\\ \left(D\sin \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}\right)/2\\ (\mathrm{\&chi;}-D/2)\sin \mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&chi;}\end{array}\right),$

v_i ^(m)(α,β)＝f_e,isinαcosβ+t_isinαsinβ+n_icosα,

其中：P_cc,i ^(m)是第i个刀触点在机床坐标系下对应的位置坐标，由加工轨迹的刀触点轨迹线离散得到，α为刀具前倾角；β为刀具侧倾角；

N2、从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵和平移变换矩阵分别由以下公式计算得到：

$R_m^t(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{x_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{x_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}& \frac{{y_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{y_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}& \frac{{z_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{z_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}\end{array}\right).$

$P_m^t(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_p){P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_p{P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)},$

其中，机床坐标系下刀刃上点的坐标由下式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{x_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=((1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v_{i+1}}^{\left(m\right)})\&times;({P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)}-{P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)})\&times;\left(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v\right){v_i}^{\left(m\right)}+{{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v}_{i+1}}^{\left(m\right)},\\ {y_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=((1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v_{i+1}}^{\left(m\right)})\&times;({P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)}-{P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}),\\ {z_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v}_{i+1}}^{\left(m\right)},\end{array}\right.$

是一个和时间相关的中间变量，其具体计算为：

是一个和时间相关的中间变量，其具体计算为：

本发明提供的多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，还可以进一步计算得到刀具的合成偏离量，即在步骤S9或S10后还包括步骤S11：

合成刀具偏离量通过如下公式计算得到：

$e_C(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=\sqrt{{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)2}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)2}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)2}}.;$

或通过如下公式计算得到：

$e_C(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=\sqrt{{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(p\right)2}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(p\right)2}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(p\right)2}}.$

合成刀具偏离量可以用刀具坐标系下的三轴偏离量或者刀触点坐标系下的三轴偏离合成得到，二者得到相同的结果。

Claims (4)

1.一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，其特征在于包括如下步骤：

S1：建立刀具坐标系下的刀具切削刃模型，根据下述公式计算得到圆弧刀在刀具坐标系下第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(t)：

其中：χ为圆弧刀的圆角半径，D为圆弧刀的刀具直径，z为刀具切削刃上的点在刀具坐标系下的z轴坐标值，为第j个刀齿上第z个微元层上点处的径向接触角。

f_e,i、t_i、n_i分别为第i个刀触点处的单位进给矢量、单位切矢和单位法矢。

S2：建立机床坐标系下的切削刃模型，根据步骤S1得到的刀具坐标系下的第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(t)，通过下述公式计算得到机床坐标系下的第j个切削刃的坐标P_ce,j ^(m)：

${P_{\mathrm{ce},j}}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=\left(R_m^t\right)\left({P_{\mathrm{ce},j}}^{\left(t\right)}\right)+P_m^t.$

其中：为从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵，为从刀具坐标系到机床坐标系的平移变换矩阵。

S3：建立切削刃的未变形切削厚度模型，根据刀具切削刃上点在先后两个刀齿周期的坐标变化和切削刃上点的单位法矢n(z)，通过向量法得到未变形切削厚度模型，所述切削刃的未变形切屑厚度h_j通过下述公式计算得到：

h_j(α,β,z)＝(P_ce,j ^(m)(α,β,t+Δt)-P_ce,j ^(m)(α,β,t))·n(z),

其中：Δt指刀具旋转一个刀齿的时间，Δt＝60/(nNf)，Nf为刀具齿数，n为主轴转速；切削刃上点的单位法矢n(z)由下式计算得到：

其中：为主轴转角。

S4：建立刀具坐标系下的切削力模型，根据刀具的切削力系数以及切削刃的未变形切屑厚度h_j，通过下述公式计算得到多轴加工系统在刀具坐标系下沿x、y、z轴的切削力：

其中：K_r，K_t，K_a分别为刀具沿径向、切向和轴向的切削力系数，通过切削力系数标定实验得到；

db(z)为切削刃微元沿切削速度方向的投影长度，由下式计算得到：

db(z)＝dz/sin(κ(z)).，κ(z)为刀具的径向接触角。

S5、建立刀具端末端柔度模型，将刀具等效为变截面梁，通过如下公式计算得到刀具端末端柔度：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{tx}}=\frac{{{3L}_s}^2{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^3+{{2L}_f}^2/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4+3{2L}_s{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^2{L}_f-\mathrm{\&chi;}}{6\mathrm{EI}},\\ S_{\mathrm{ty}}=\frac{{{3L}_s}^2{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^3+{{2L}_f}^2/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4+3{2L}_s{L}_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;}-{L_s}^2{L}_f-\mathrm{\&chi;}}{6\mathrm{EI}},\\ S_{\mathrm{tz}}=\frac{L_s+L_f/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^2}{{\mathrm{EA}}_s}.\end{array}\right.$

其中：其中L_c为夹持段长度，L_sf为非夹持段的总长度，L_s为非夹持段光杆部分的长度，L_f为刀齿部分的长度，刀位点与刀具底部中心点沿刀轴轴线方向的距离为圆弧半径χ，μ_t为刀齿部分的有效系数。

S6、建立传动轴-刀柄端末端柔度模型，将传动轴-刀柄端虚拟为一个等效圆柱棒，所述等效圆柱棒沿各个方向的刚度等于传动轴-刀柄端的实际刚度，通过刚度标定实验得到等效圆柱棒沿x、y、z轴的实测柔度，再通过下述公式得到所述等效圆柱棒沿x、y和z的等效长度：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{ex}}=\frac{\sqrt{{{9L}_f}^{\&prime;4}-\frac{6}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;3}-\frac{4}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;2}+18{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cx}0}{L_f}^{\&prime;}+12{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cx}0}}-{{3L}_f}^{\&prime;2}}{{{3L}_f}^{\&prime;}+2}-L_s,\\ L_{\mathrm{ey}}=\frac{\sqrt{{{9L}_f}^{\&prime;4}-\frac{6}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;3}-\frac{4}{{{\mathrm{\&mu;}}_t}^4}{L_f}^{\&prime;2}+18{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cy}0}{L_f}^{\&prime;}+12{\mathrm{EIS}}_{\mathrm{Cy}0}}-{{3L}_f}^{\&prime;2}}{{{3L}_f}^{\&prime;}+2}-L_s,\\ L_{\mathrm{ez}}={\mathrm{EA}}_s{S}_{\mathrm{Cz}0}-L_f/{{\mathrm{\&mu;}}_t}^2+L_s,\end{array}\right.$

所述传动轴-刀柄端的末端柔度S_A通过下述公式计算得到：

$S_A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{L_{\mathrm{ex}}}^3}{3\mathrm{EI}}& & \\ & \frac{{L_{\mathrm{ey}}}^3}{3\mathrm{EI}}& \\ & & \frac{L_{\mathrm{ez}}}{{\mathrm{EA}}_s}\end{array}\right).$

其中：L_f′为中间变量，L_f′＝L_f-χ.；S_Cx0、S_Cy0、S_Cz0为刚度标定实验得到的沿x、y、z轴的实测柔度；I为刀具端刀杆部分的惯性矩；As为刀具端刀杆部分的截面积。

S7、建立由于刀具端柔度引起的传动轴-刀柄端柔度模型，传动轴-刀柄端和刀具端的连接处的角度变化引起的传动轴-刀柄端的柔度，通过如下公式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{\&theta;Ax}}=\frac{2\mathrm{EI}}{({2L}_{\mathrm{ex}}(L_{\mathrm{ex}}+L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})-{L_{\mathrm{ex}}}^2)(L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})},\\ S_{\mathrm{\&theta;Ay}}=\frac{2\mathrm{EI}}{({2L}_{\mathrm{ey}}(L_{\mathrm{ey}}+L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})-{L_{\mathrm{ey}}}^2)(L_{\mathrm{sf}}-\mathrm{\&chi;})}.\end{array}\right.$

S8、建立加工系统的综合柔度模型，应用坐标系变换和力椭球法，通过下述公式得到加工系统的综合柔度：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_x=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{11}+S_{\mathrm{tx}}+S_{\mathrm{\&theta;Ax}})\\ S_y=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{22}+S_{\mathrm{ty}}+S_{\mathrm{\&theta;Ay}})\\ S_z=({\left(\left(R_t^e\right)S_A{\left(R_t^e\right)}^{-1}\right)}_{33}+S_{\mathrm{tz}})\end{array}\right.$

其中：为由椭球坐标系变换到刀具坐标系的旋转变换矩阵。

S9、建立刀具坐标系下的刀具偏离量模型，由切削力模型和加工系统的综合柔度模型建立刀具坐标系下的刀具偏离量模型，通过下述公式计算得到刀位点在刀具坐标系下的偏离量：

$\left\{\begin{array}{c}{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=S_x{\stackrel{\&OverBar;}{f}}_x\\ {e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=S_y{\stackrel{\&OverBar;}{f}}_y\\ {e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=S_z{\stackrel{\&OverBar;}{f}}_z\end{array}\right.$

其中：分别为沿x、y、z轴的平均切削力，由下述公式计算得到：

S10、建立刀触点局部坐标系下的刀具偏离量模型，通过下述公式计算得到刀位点在刀触点局部坐标系下的偏离量：

$\left\{\begin{array}{c}{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&beta;}-{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&beta;},\\ {e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}-{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&alpha;},\\ {e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(p\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)}\sin \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)}\cos \mathrm{\&alpha;}.\end{array}\right.$

2.根据权利要求1所述的一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，其特征在于所述圆弧刀的轴向接触角、径向滞后角、径向接触角通过如下公式计算得到：

轴向接触角：

$\mathrm{\&kappa;}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\arccos ((\mathrm{\&chi;}-z)/\mathrm{\&chi;}),& \mathrm{if}& z<\mathrm{\&chi;},\\ \mathrm{\&pi;}/2,& \mathrm{if}& z\&GreaterEqual;\mathrm{\&chi;},\end{array}\right.$

径向滞后角：

径向接触角：

其中，为主轴转角；为等节距刀具的齿间角；N_f为刀具齿数。

3.根据权利要求1所述的一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，其特征在于所述从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵和平移变换矩阵的计算步骤包括：

N1、建立刀具刀位点的数学模型，通过下述公式计算得到工件设计曲面上第i个刀位点在机床坐标系下对应的位置坐标P_cl,i ^(m)以及第i个刀触点处的刀具姿态v_i ^(m)：

${P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})={P_{\mathrm{cc},i}}^{\left(m\right)}-\left(\begin{array}{c}\left(D\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}\right)/2\\ \left(D\sin \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}\right)/2\\ (\mathrm{\&chi;}-D/2)\sin \mathrm{\&alpha;}-\mathrm{\&chi;}\end{array}\right),$

v_i ^(m)(α,β)＝f_e,isinαcosβ+t_isinαsinβ+n_icosα,

其中：P_cc,i ^(m)是第i个刀触点在机床坐标系下对应的位置坐标，由加工轨迹的刀触点轨迹线离散得到，α为刀具前倾角；β为刀具侧倾角；

f_e,i、t_i、n_i分别为第i个刀触点处的单位进给矢量、单位切矢和单位法矢。

N2、所述从刀具坐标系到机床坐标系的旋转变换矩阵和平移变换矩阵m分别由以下公式计算得到：

$R_m^t(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{x_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{x_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}& \frac{{y_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{y_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}& \frac{{z_t}^{\left(m\right)}}{\left|\right|{z_t}^{\left(m\right)}\left|\right|}\end{array}\right).$

$P_m^t(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_p){P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_p{P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)},$

其中，机床坐标系下刀刃上点的坐标由下式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{x_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=((1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v_{i+1}}^{\left(m\right)})\&times;({P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)}-{P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)})\&times;\left(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v\right){v_i}^{\left(m\right)}+{{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v}_{i+1}}^{\left(m\right)},\\ {y_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=((1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v_{i+1}}^{\left(m\right)})\&times;({P_{\mathrm{cl},i+1}}^{\left(m\right)}-{P_{\mathrm{cl},i}}^{\left(m\right)}),\\ {z_t}^{\left(m\right)}(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;},t)=(1-{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v){v_i}^{\left(m\right)}+{{\stackrel{\&OverBar;}{t}}_v{v}_{i+1}}^{\left(m\right)},\end{array}\right.$

是一个和时间相关的中间变量，计算公式：

是一个和时间相关的中间变量，计算公式：

4.根据权利要求1所述的一种多轴加工系统的刀具偏离量的建模方法，其特征在于所述步骤S9或S10后还包括用于建立刀具的合成偏离量模型的步骤S11：

所述合成刀位点偏离量通过如下公式计算得到：

$e_C(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=\sqrt{{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(t\right)2}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(t\right)2}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(t\right)2}}.;$

或通过如下公式计算得到：

$e_C(\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})=\sqrt{{e_{\mathrm{Cx}}}^{\left(p\right)2}+{e_{\mathrm{Cy}}}^{\left(p\right)2}+{e_{\mathrm{Cz}}}^{\left(p\right)2}}.$