CN106529045A - 基于旋量的多轴铣削加工刀具轴线建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于旋量的多轴铣削加工刀具轴线建模方法，采用具有13个变量的刀具轴线运动模型，同时考虑了主轴运动误差及刀柄与弹簧夹头安装误差，并利用有限位移旋量理论求解刀轴在不同时刻的位姿及刀心点运动轨迹。之后，将主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹作为铣削刀具轴线实际运动轨迹，利用PSO粒子群算法标定这些参数。最后再根据标定的结果利用旋量理论求解误差旋量，解决了刀具瞬时刀位点及瞬时刀轴位姿的快速求解问题。通过实验验证可以看到本方法所建立的模型能够清晰地描述主轴的运动，而且提出的参数标定方法具有测量过程简便，数据处理快速的特点，同时误差旋量及有限位移旋量理论的应用为快速求解基于五轴铣削加工的刀具瞬时位姿提供了方便。

Description

基于旋量的多轴铣削加工刀具轴线建模方法

技术领域

本发明属于多轴数控加工的技术领域，涉及到主轴运动误差建模及旋量误差求解问题，具体为一种基于旋量的多轴铣削加工刀具轴线建模方法。

背景技术

在五轴加工中，刀具跳动严重制约加工精度的进一步提高，由于刀具跳动导致刀具的瞬时位姿偏离理想状态，对刀具轨迹优化、包络面形成有着重要影响。因此，如何快速建立刀具轴线运动误差模型是当前研究的热点问题之一。

通常，刀具跳动被简化为包括偏心距ρ、偏心角λ、倾斜角τ和扭转角φ等参数的模型，并通过实验数据进行标定。这种方式虽然便于理解和描述刀具跳动现象，但不利于进一步阐明刀具装夹系统制造、安装误差对刀具跳动的耦合作用及物理意义，也不利于建立各误差因素与刀具跳动的定量、精确关系。同时，在CAM系统规划五轴加工刀具路径时，尚未将具有动态性的刀具跳动问题考虑在内。基于以上问题，有方法建立了包含10个参数的利用坐标变换的刀轴运动误差模型，但此方法计算繁琐，且不适用于五轴铣削过程中刀轴瞬时位姿的建立。

发明内容

为了解决现有技术存在的问题，本发明基于10参数的考虑刀具跳动的建模方法，分析了主轴运动误差与刀具安装误差对铣削刀具轴线运动的影响，并增加了3个参数，同时引入旋量的概念，然后建立刀具轴线运动模型，并提出了用于标定模型中未知参数的算法，最后引入误差旋量的概念，求解出考虑刀具跳动的刀轴误差旋量，并用两个参数表示。

通过实验验证可以看到本方法所建立的模型能够清晰地描述主轴的运动，而且提出的参数标定方法具有测量过程简便，数据处理快速的特点，同时误差旋量及有限位移旋量理论的应用为快速求解基于五轴铣削加工的刀具瞬时位姿提供了方便。

本发明的技术方案为：

提出一种具有13个变量的刀具轴线运动模型，同时考虑了主轴运动误差及刀柄与弹簧夹头安装误差，并利用有限位移旋量理论求解刀轴在不同时刻的位姿及刀心点运动轨迹。之后，将主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹作为铣削刀具轴线实际运动轨迹，利用PSO粒子群算法标定这些参数。最后再根据标定的结果利用旋量理论求解误差旋量，解决了刀具瞬时刀位点及瞬时刀轴位姿的快速求解问题。

所述一种基于旋量的多轴铣削加工刀具轴线建模方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：在多轴铣削加工中心上端轴承安装位置建立坐标系CS1，坐标系CS1原点O₁为上端轴承内孔中心点，坐标系CS1的三个坐标轴X1、Y1、Z1分别对应平行于机床坐标系CS0的X、Y、Z轴；在坐标系CS1中，上端轴承内圈中心处的主轴轴心A₁以及下端轴承内圈中心处的主轴轴心A₂的坐标表示为：

其中表示点A₁,A₂在坐标系CS1中坐标的参数为r₁、r₂、θ₁、θ₂、α、β、γ；r₁、r₂分别指上、下端轴承内圈转动半径；θ₁、θ₂分别指上、下端轴承内圈转动初始角；(cosα，cosβ，cosγ)表示回转轴线的单位向量；h为主轴上、下端轴承安装平面间距离；

步骤2：在多轴铣削加工中心刀柄下端面处建立坐标系CS3，取刀柄下端面中心为CS3的坐标原点O₃，主轴轴线作为CS3的Z₃轴，X₃轴方向沿A₁O₁与A₂A₁所组成的平面P与刀柄下端面P₁的交线方向，Y₃轴由笛卡尔坐标系规则确定，得到CS3与CS1的坐标变换矩阵为：

其中(a_3，x，b_3，x，c_3，x)，(a_3，y，b_3，y，c_3，y)和(a_3，z，b_3，z，c_3，z)分别为X₃轴、Y₃轴和Z₃轴在坐标系CS1中的方向余弦：

n_P＝O₁A₁×A₁A₂，Z₃＝(r_3，z，p_3，z，q_3，z)；X₃＝(r_3，x，p_3，x，q_3，x)

而O₃点在CS1中坐标为：

其中l₃表示刀柄长度，Δ₃表示刀柄制造误差，l₂表示下端轴承与刀柄上端面的长度；

而弹簧夹头下端中心O₄在局部坐标系CS3中的坐标为弹簧夹头上端中心O₄ ^*在局部坐标系CS3中的坐标为采用参数ρ₁、ρ₂、h₁表示弹簧夹头上下端中心点在CS3下的坐标：

其中h₁表示弹簧夹头下端面与刀柄下端面之间的距离，l_chuck表示弹簧夹头长度；

得到O₄点与O₄ ^*点在坐标系CS1下的坐标为：

铣刀轴线位于O₄ ^*O₄上，铣刀底部中心点O₅在CS1下的坐标为：

其中l_cutter表示铣刀刀具长度；

步骤3：将刀轴轴线O₄ ^*O₅看作一个绕固定轴旋转的刚体，刚体直线用旋量表示L＝(l，m，n，p，q，r)，其中

而得到的点O₅随时间变化的坐标为：

R＝I+sinθA_s+(1-cosθ)A_sA_s

θ为刚体旋转角度，I为单位矩阵；

在多轴铣削加工中心上安装主轴动态误差分析仪；建立测量坐标系CSM，取测量坐标系CSM的原点为主轴动态误差分析仪的测量零点，测量坐标系CSM各坐标轴分别对应平行与CS1的坐标轴；得到坐标系CS1与坐标系CSM的变换矩阵为：

则点O₅在测量坐标系下的坐标为：

步骤4：利用主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹计算铣刀底部中心点在测量坐标系下的坐标，并结合步骤3得到的点O₅在测量坐标系下的坐标，采用粒子群优化算法，对其中的13个参数r₁、r₂、θ₁、θ₂、α、β、γ、ρ₁、ρ₂、h₁、Δ₃进行标定；

步骤5：根据标定结果，计算得到理想主轴轴线与实际轴线的旋量误差参数θ_e，d_e，旋量误差参数表示理想刚体绕理想刚体与实际刚体的共垂线转动角度θ_e，再沿共垂线方向移动距离d_e得到实际刚体。

有益效果

本发明给出一种具有13个变量的刀具轴线运动误差模型，并利用优化算法对参数进行标定，最后利用误差旋量理论求解考虑跳动的刀具轴线运动误差，用两个参数表示。适用于五轴铣削加工中的刀具瞬时位姿快速求解。有效的解决了坐标变换求解带来的计算繁琐，过程复杂的缺陷，同时利用误差旋量及有限位移旋量理论为快速求解基于五轴铣削加工的刀具瞬时位姿提供了方便。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为主轴各坐标系及变量定义示意图。

图2为主轴、刀柄、弹簧夹头、刀具示意图。

图3为弹簧夹头位置示意图。

图4为坐标系CS3定义示意图。

图5为弹簧夹头安装误差各参数示意图。

图6为误差旋量示定义示意图。

图7为误差旋量参数θ_e、d_e的值。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

本发明基于10参数的考虑刀具跳动的建模方法，分析了主轴运动误差与刀具安装误差对铣削刀具轴线运动的影响，并增加了3个参数，同时引入旋量的概念，然后建立刀具轴线运动模型，并提出了用于标定模型中未知参数的算法，最后引入误差旋量的概念，求解出考虑刀具跳动的刀轴误差旋量，并用两个参数表示。

通过实验验证可以看到本方法所建立的模型能够清晰地描述主轴的运动，而且提出的参数标定方法具有测量过程简便，数据处理快速的特点，同时误差旋量及有限位移旋量理论的应用为快速求解基于五轴铣削加工的刀具瞬时位姿提供了方便。

本发明的技术方案为：

提出一种具有13个变量的刀具轴线运动模型，同时考虑了主轴运动误差及刀柄与弹簧夹头安装误差，并利用有限位移旋量理论求解刀轴在不同时刻的位姿及刀心点运动轨迹。之后，将主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹作为铣削刀具轴线实际运动轨迹，利用PSO粒子群算法标定这些参数。最后再根据标定的结果利用旋量理论求解误差旋量，解决了刀具瞬时刀位点及瞬时刀轴位姿的快速求解问题。

具体包括以下步骤：

步骤1：主轴运动误差建模，这里主要建立考虑轴承内圈径向误差及主轴的安装偏角的主轴运动模型，采用7个参数(r₁、r₂、θ₁、θ₂、α、β、γ)建模，r₁、r₂分别指上下端轴承内圈转动半径；θ₁、θ₂分别指上下端轴承内圈转动初始角；(cosα，cosβ，cosγ)表示回转轴线的单位向量。

在多轴铣削加工中心上端轴承安装位置建立坐标系CS1，坐标系CS1原点O₁为上端轴承内孔中心点，坐标系CS1的三个坐标轴X1、Y1、Z1分别对应平行于机床坐标系CS0的X、Y、Z轴；初始时刻，上端轴承的内圈中心处的主轴轴心为A₁，下端轴承的内圈中心处的主轴轴心为A₂，A₁-A₂即为主轴轴线向量表示，在坐标系CS1中，上端轴承内圈中心处的主轴轴心A₁以及下端轴承内圈中心处的主轴轴心A₂的坐标表示为：

其中表示点A₁,A₂在坐标系CS1中坐标的参数为r₁、r₂、θ₁、s₂、α、β、γ；r₁、r₂分别指上、下端轴承内圈转动半径；θ₁、θ₂分别指上、下端轴承内圈转动初始角；(cosα，cosβ，cosγ)表示回转轴线的单位向量；h为主轴上、下端轴承安装平面间距离。

步骤2：刀具安装误差建模研究，同时考虑了刀柄制造误差及弹簧夹头制造误差，采用1个变量Δ₃表示刀柄制造误差，采用5个变量ρ₁、ρ₂、h₁表示弹簧夹头安装误差。

在多轴铣削加工中心刀柄下端面D(图2)处建立坐标系CS3，取刀柄下端面中心为CS3的坐标原点O₃，主轴轴线作为CS3的Z₃轴，X₃轴方向沿A₁O₁与A₂A₁所组成的平面P与刀柄下端面P₁的交线方向，即：X₃轴方向向量为平面P的法向量n_P与Z₃轴的叉积，Y₃轴由笛卡尔坐标系规则确定，得到CS3与CS1的坐标变换矩阵为：

其中(a_3,x，b_3,x，c_3,x)，(a_3,y，b_3,y，c_3,y)和(a_3,z，b_3,z，c_3,z)分别为X₃轴、Y₃轴和Z₃轴在坐标系CS1中的方向余弦：

n_P＝O₁A₁×A₁A₂，Z₃＝(r_3，z，p_3，z，q_3，z)；X₃＝(r_3，x，p_3，x，q_3，x)

而O₃点在CS1中坐标为：

其中l₃表示刀柄长度，Δ₃表示刀柄制造误差，l₂表示下端轴承与刀柄上端面的长度。

弹簧夹头发生安装误差后，使用参数ρ₁、ρ₂、h₁来说明弹簧夹头上下端中心点在CS3下的坐标：

弹簧夹头下端中心O₄在局部坐标系CS3中的坐标为弹簧夹头上端中心O₄ ^*在局部坐标系CS3中的坐标为采用参数ρ₁、ρ₂、h₁表示弹簧夹头上下端中心点在CS3下的坐标：

其中h₁表示弹簧夹头下端面E与刀柄下端面D之间的距离，l_chuck表示弹簧夹头长度。

得到O₄点与O₄ ^*点在坐标系CS1下的坐标为：

铣刀轴线位于O₄ ^*O₄上，铣刀底部中心点O₅在CS1下的坐标为：

其中l_cutter表示铣刀刀具长度。

步骤3：将刀轴轴线O₄ ^*O₅看作一个绕固定轴旋转的刚体，旋转轴线为单位向量，即s＝(-cosα,-cosβ,-cosγ)，刚体直线用旋量表示L＝(l,l₀)＝(l,m,n,p,q,r)，其中

对李群SE(3)的6x6伴随表示的有限位移旋量矩阵进行分块，表示为表示对旋量即李代数se(3)的元素先施加旋转运动后施加平移的作用。本发明中，仅仅对旋量即李代数se(3)的元素施加旋转运动，算子表示为：

式中R由Euler-Rodrigues方程构造的so(3)到SO(3)的指数映射，表示为R＝I+sinθA_s+(1-cosθ)A_sA_s，其中，A_s为向量s的反对称矩阵表示的李代数so(3)，表示为：

将线矢量L视为向量形式的李代数se(3)的元素。李群算子SE(3)作用于李代数元素的伴随作用为左作用，即刚体直线L经过旋转矩阵算子N作用后的结果为：

得到的点O₅随时间变化的坐标为：

θ为刚体旋转角度，I为单位矩阵。

在多轴铣削加工中心上安装主轴动态误差分析仪；建立测量坐标系CSM，取测量坐标系CSM的原点为主轴动态误差分析仪的测量零点，测量坐标系CSM各坐标轴分别对应平行与CS1的坐标轴；得到坐标系CS1与坐标系CSM的变换矩阵为：

则点O₅在测量坐标系下的坐标为：

步骤4：利用主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹计算铣刀底部中心点在测量坐标系下的坐标，并结合步骤3得到的点O₅在测量坐标系下的坐标，采用粒子群优化算法，对其中的13个参数r₁、r₂、θ₁、θ₂、α、β、γ、ρ₁、ρ₂、h₁、Δ₃进行标定。

步骤5：根据标定结果，计算得到理想主轴轴线与实际轴线的旋量误差参数θ_e，d_e，旋量误差参数表示理想刚体绕理想刚体与实际刚体的共垂线转动角度θ_e，再沿共垂线方向移动距离d_e得到实际刚体。

对于理想刚体S_d＝[s_d r_d×s_d]^T＝[0 0-1 0 0 0]^T，实际刚体S＝[s r×s]^T＝L′＝(l′,l₀′)＝(l′,m′,n′,p′,q′,r′)。参数θ_e，d_e可以由公式θ_e＝arccosn′，计算得到，

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (1)

1.一种基于旋量的多轴铣削加工刀具轴线建模方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：在多轴铣削加工中心上端轴承安装位置建立坐标系CS1，坐标系CS1原点O₁为上端轴承内孔中心点，坐标系CS1的三个坐标轴X1、Y1、Z1分别对应平行于机床坐标系CS0的X、Y、Z轴；在坐标系CS1中，上端轴承内圈中心处的主轴轴心A₁以及下端轴承内圈中心处的主轴轴心A₂的坐标表示为：

$A_1\left(\begin{array}{c}{r}_1\frac{cos\mathrm{\β}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{cos\θ}}_1+r_{1}cos\mathrm{\α}\frac{cos\mathrm{\γ}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{sin\θ}}_1\\ -r_1\frac{cos\mathrm{\α}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{cos\θ}}_1+r_{1}cos\mathrm{\β}\frac{cos\mathrm{\γ}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{sin\θ}}_1\\ -r_1{\mathrm{sin\γsin\θ}}_1\end{array}\right)$

$A_2\left(\begin{array}{c}{r}_2\frac{cos\mathrm{\β}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{cos\θ}}_2+r_{2}cos\mathrm{\α}\frac{cos\mathrm{\γ}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{sin\θ}}_2-hcos\mathrm{\α}\\ -r_2\frac{cos\mathrm{\α}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{cos\θ}}_2+r_{2}cos\mathrm{\β}\frac{cos\mathrm{\γ}}{sin\mathrm{\γ}}{\mathrm{sin\θ}}_2-hcos\mathrm{\β}\\ -r_2{\mathrm{sin\γsin\θ}}_2-h\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right)$

其中表示点A₁,A₂在坐标系CS1中坐标的参数为r₁、r₂、θ₁、θ₂、α、β、γ；r₁、r₂分别指上、下端轴承内圈转动半径；θ₁、θ₂分别指上、下端轴承内圈转动初始角；(cosα，cosβ，cosγ)表示回转轴线的单位向量；h为主轴上、下端轴承安装平面间距离；

步骤2：在多轴铣削加工中心刀柄下端面处建立坐标系CS3，取刀柄下端面中心为CS3的坐标原点O₃，主轴轴线作为CS3的Z₃轴，X₃轴方向沿A₁O₁与A₂A₁所组成的平面P与刀柄下端面P₁的交线方向，Y₃轴由笛卡尔坐标系规则确定，得到CS3与CS1的坐标变换矩阵为：

$H_{31}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{3,x}& a_{3,y}& a_{3,z}& x_{o_3,1}\\ b_{3,x}& b_{3,y}& b_{3,z}& y_{o_3,1}\\ c_{3,x}& c_{3,y}& c_{3,z}& z_{o_3,1}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中(a_3,x，b_3,x，c_3,x)，(a_3,y，b_3,y，c_3,y)和(a_3,z，b_3,z，c_3,z)分别为X₃轴、Y₃轴和Z₃轴在坐标系CS1中的方向余弦：

$\left\{\begin{array}{ccc}{a}_{3,x}=\frac{r_{3,x}}{\sqrt{{r_{3,x}}^2+{p_{3,x}}^2+{q_{3,x}}^2}},& a_{3,y}=\frac{r_{3,y}}{\sqrt{{r_{3,y}}^2+{p_{3,y}}^2+{q_{3,y}}^2}},& a_{3,z}=\frac{r_{3,z}}{\sqrt{{r_{3,z}}^2+{p_{3,z}}^2+{q_{3,z}}^2}}\\ b_{3,x}=\frac{p_{3,x}}{\sqrt{{r_{3,x}}^2+{p_{3,x}}^2+{q_{3,x}}^2}},& b_{3,y}=\frac{p_{3,y}}{\sqrt{{r_{3,y}}^2+{p_{3,y}}^2+{q_{3,y}}^2}},& b_{3,z}=\frac{p_{3,z}}{\sqrt{{r_{3,z}}^2+{p_{3,z}}^2+{q_{3,z}}^2}}\\ c_{3,x}=\frac{q_{3,x}}{\sqrt{{r_{3,x}}^2+{p_{3,x}}^2+{q_{3,x}}^2}},& c_{3,y}=\frac{r_{3,y}}{\sqrt{{r_{3,y}}^2+{p_{3,y}}^2+{q_{3,y}}^2}},& c_{3,z}=\frac{q_{3,z}}{\sqrt{{r_{3,z}}^2+{p_{3,z}}^2+{q_{3,z}}^2}}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}(r_{3,x},p_{3,x},q_{3,x})=A_2{A}_1\×n_P\\ (r_{3,y},p_{3,y},q_{3,y})=Z_3\×X_3\\ (r_{3,z},p_{3,z},q_{3,z})=A_1-A_2\end{array}\right.$

n_P＝O₁A₁×A₁A₂，Z₃＝(r_3,z，p_3,z，q_3,z)；X₃＝(r_3,x，p_3,x，q_3,x)

而O₃点在CS1中坐标为：

$(x_{o_3,1},y_{o_3,1},z_{o_3,1})=O_1{O}_3=O_1{A}_1+A_1{O}_3$

其中l₃表示刀柄长度，Δ₃表示刀柄制造误差，l₂表示下端轴承与刀柄上端面的长度；

而弹簧夹头下端中心O₄在局部坐标系CS3中的坐标为弹簧夹头上端中心O₄ ^*在局部坐标系CS3中的坐标为采用参数ρ₁、ρ₂、h₁表示弹簧夹头上下端中心点在CS3下的坐标：

其中h₁表示弹簧夹头下端面与刀柄下端面之间的距离，l_chuck表示弹簧夹头长度；

得到O₄点与O₄ ^*点在坐标系CS1下的坐标为：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{O_4,1},y_{O_4,1},z_{O_4,1},1)}^T=H_{3,1}{(x_{O_4,3},y_{O_4,3},z_{O_4,3},1)}^T\\ {(x_{{O_4}^{*},1},y_{{O_4}^{*},1},z_{{O_4}^{*},1},1)}^T=H_{3,1}{(x_{{O_4}^{*},3},y_{{O_4}^{*},3},z_{{O_4}^{*},3},1)}^T\end{array}\right.$

铣刀轴线位于O₄*O₄上，铣刀底部中心点O₅在CS1下的坐标为：

$\begin{array}{c}(x_{O_5,1},y_{O_5,1},z_{O_5,1})\\ =(x_{{O_4}^{*},1},y_{{O_4}^{*},1},z_{{O_4}^{*},1})\\ +\frac{l_{chuck}+l_{cutter}}{l_{chuck}}(x_{O_4,1}-x_{{O_4}^{*},1},y_{O_4,1}-y_{{O_4}^{*},1},z_{O_4,1}-z_{{O_4}^{*},1})\end{array}$

其中l_cutter表示铣刀刀具长度；

步骤3：将刀轴轴线O₄*O₅看作一个绕固定轴旋转的刚体，刚体直线用旋量表示L＝(l,m,n,p,q,r)，其中

$\left\{\begin{array}{c}l=\frac{1}{l_{chuck}}(x_{O_4,1}-x_{O_4{,}^{*}1})\\ m=\frac{1}{l_{chuck}}(y_{O_4,1}-y_{{O_4}^{*},1})\\ n=\frac{1}{l_{chuck}}(z_{O_4,1}-z_{{O_4}^{*},1})\end{array}\right.$

$(p,q,r)=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_{{O_4}^{*},1}& y_{{O_4}^{*},1}& z_{{O_4}^{*},1}\\ l& m& n\end{array}\right|$

而得到的点O₅随时间变化的坐标为：

$\left[\begin{array}{c}{x_{O_5,1}}^{\′}\\ {y_{O_5,1}}^{\′}\\ {z_{O_5,1}}^{\′}\\ {x_{O_{5-0},1}}^{\′}\\ {y_{O_{5-0},1}}^{\′}\\ {z_{O_{5-0},1}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{O_5,1}\\ y_{O_5,1}\\ z_{O_5,1}\\ x_{O_{5-0},1}\\ y_{O_{5-0},1}\\ z_{O_{5-0},1}\end{array}\right]$

R＝I+sinθA_s+(1-cosθ)A_sA_s

θ为刚体旋转角度，I为单位矩阵；

在多轴铣削加工中心上安装主轴动态误差分析仪；建立测量坐标系CSM，取测量坐标系CSM的原点为主轴动态误差分析仪的测量零点，测量坐标系CSM各坐标轴分别对应平行与CS1的坐标轴；得到坐标系CS1与坐标系CSM的变换矩阵为：

$H_{1,M}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_{O_{1m}}\\ 0& 1& 0& y_{O_{1m}}\\ 0& 0& 1& z_{O_{1m}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

则点O₅在测量坐标系下的坐标为：

$({x_{O_5,1}}^{\′}+x_{O_{1m}},{y_{O_5,1}}^{\′}+y_{O_{1m}},{z_{O_5,1}}^{\′}+z_{O_{1m}})$

步骤4：利用主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹计算铣刀底部中心点在测量坐标系下的坐标，并结合步骤3得到的点O₅在测量坐标系下的坐标，采用粒子群优化算法，对其中的13个参数r₁、r₂、θ₁、θ₂、α、β、γ、ρ₁、ρ₂、h₁、Δ₃进行标定；

步骤5：根据标定结果，计算得到理想主轴轴线与实际轴线的旋量误差参数θ_e，d_e，旋量误差参数表示理想刚体绕理想刚体与实际刚体的共垂线转动角度θ_e，再沿共垂线方向移动距离d_e得到实际刚体。