CN102001021B - 五轴联动数控机床回转摆动轴几何误差参数值的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了五轴联动数控机床回转摆动轴几何误差参数值的测量方法，以五轴机床RTCP刀具中心点运动控制功能提供的平动轴联动坐标为测量基准，采用球杆仪分别测量回转摆动轴不同转角下至少三个位置处X、Y、Z方向的位移误差，并根据所述位移误差作数据处理辨识计算出回转摆动轴各转角的几何误差。本发明方法对回转摆动轴进行独立测量，可获得各种结构型式的五轴联动数控机床在各回转摆动角度处的几何误差值。具有不受机床结构限制，安装方便且测量精度高的优点。

Description

五轴联动数控机床回转摆动轴几何误差参数值的测量方法

技术领域

本发明属于数控系统技术，尤其是五轴联动数控加工机床的几何误差测试技术领域。

背景技术

由于五轴联动机床在加工具有复杂曲面的零件中具有更好的曲面适应性、更少的装夹次数和夹具数量、更高的材料切除率等优点。因此五轴联动数控机床被广泛用于涡轮、螺旋桨叶片和复杂飞机结构件的加工等。

现代制造业对零件的加工精度的要求越来越高，从而对数控机床的精度要求也越来越高。由于五轴联动数控机床增加了两个回转摆动轴，和三轴联动机床相比，其刚度有所降低，同时其几何精度也有所降低。机床几何误差补偿是当前提高五轴联动数控机床加工精度的最有效措施，而机床几何误差补偿的前提是必须获得机床当前的几何误差信息。

五轴联动数控机床的几何误差包括平动轴几何误差及回转摆动轴几何误差，平动轴几何误差测量方法已经得到很好的解决，国标及ISO标准中均有标准的测量方法。此外，国内外学者还针对平动轴几何误差提出了基于激光干涉仪的二十二线、十四线、十二线、九线等辨识方法。然而，回转摆动轴几何误差的测量却一直没有得到很好的解决，国内、国际对回转摆动轴几何误差的定义及测量方法尚未形成一个统一的标准。以刀具A和摆动工作台C回转类型的五轴联动数控机床为例，图3列出了其回转摆动轴的12项几何误差通用定义。

机床几何误差的测量可分为直接测量和间接辨识，直接测量即采用合适的测量设备直接测得所要检测的几何误差项；间接辨识是先测得综合几何误差或与所要检测的几何误差项相关联的中间量，再通过精确、有效的数学模型计算出要检测的几何误差项。对五轴联动数控机床而言，由于回转摆动轴结构具有封闭性，要直接检测其回转摆动轴的几何误差是很困难的。此时，几何误差辨识就成为了首选的方法。

根据公开的文献，目前W.T. Lei发明了一种名为“3D probe-ball”的测量装置，见W.T. Lei, Y.Y. Hsu. Error measurement of five –axis CNC machines with 3D probe-ball [J]. Journal of Materials Processing Technology, 2003, 139:127-133.并提出了一套相应的测量方法。该方法可以测出五轴联动数控机床回转摆动轴回转运动时测头中心的X、Y、Z方向的综合几何误差，但没有分解成六个几何误差分量，并且需使用“3D probe-ball”专用测量装置，使用范围受限。

Masaomi Tsutsumi, Akinori Saito. Identification of angular and positional deviations inherent to 5-axis machining centers with a tilting-rotary table by simultaneous four-axis control movements [J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2004, 44:1333-1342.该方法利用球杆仪测得四轴联动情况下的球杆长度变化，通过几何误差模型关系辨识识别八项几何误差值。

K.M. Muditha Dassanayake, Masaomi Tsutsumi, Akinori Saito. A strategy for identifying static deviations in universal spindle head type multi-axis machining centers [J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2006, 46, 1097-1106.针对双刀摆结构机床，同上文献类似，对四项跳动几何误差和六项角度几何误差提出测量辨识方法。

Y. Y. Hsu, S. S. Wang.  A new compensation method for geometry errors of five-axis machine tools [J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture 47(2007) 352-360。通过检测加工后的零件精度来辨识机床几何误差，提出了七种加工模式，通过测量7种加工模式下零件的相应精度，辨识出两回转摆动轴的八项几何误差值。

从现有技术的情况可看出，受方法本身和测量设备的限制，缺少能全面检测五轴联动数控机床回转摆动轴的所有十二项几何误差参数的方法。

发明内容

鉴于现有技术的以上缺点，本发明的目的是提供一种五轴联动数控机床回转摆动轴几何误差参数值的测量方法，使其能全面检测五轴联动数控机床回转摆动轴的所有十二项几何误差参数。

本发明的目的是通过如下的手段实现的。

五轴联动数控机床回转摆动轴几何误差参数值的测量方法，以五轴机床RTCP刀具中心点控制功能提供的平动轴联动坐标为测量基准，采用球杆仪分别测量回转摆动轴不同转角下至少三个位置处X、Y、Z方向的位移误差，并根据所述位移误差作数据处理辨识计算出回转摆动轴各转角的几何误差。以刀具A轴摆动和工作台C轴回转类型的五轴联动数控机床为例进行说明，其回转摆动轴几何误差参数的测量方法包括以下的测量步骤：

1. 刀具A摆动轴的几何误差测量辨识计算方法

(1)              将L形检具经由刀柄固定在机床主轴上；A、C轴处于0度初始位置，如图1所示；

(2)              将球杆仪的测量球座通过夹头固定在L形检具点P处，测量并记录测量球座的球心与主轴轴线的距离H、与A轴轴线的距离L；将球杆仪的测量球头经磁力底座固定在测量球座的Z轴负向处，下降Z轴，保证测量球头与主轴轴线的距离也为H。

(3)              选择球杆仪的最短杆组件，根据其理论杆长D调整Z轴，使得测量球座与测量球头的距离为杆长D，并在测量球座与测量球头之间置入球杆仪，此时的球杆仪与Z轴平行，且测量球座坐标变化引起的球杆仪读数变化方向符合Z轴方向；

(4)              使用五轴机床的RTCP运动，根据A轴摆动范围确定测量角度序列，并在A轴每摆动一角度后停止10秒，测量过程往返3次； 

(5)              运行测量数控程序，并改变L、H的组合值，共进行三次测量，此时的球杆仪读数即为点P实际坐标与理论坐标在Z方向的位移误差，即                                                ； 

(6)              类似于Z方向的几何误差值测量方法，保证测量球座坐标变化引起的球杆仪读数变化方向符合X、Y方向，完成点P在X、Y方向的位移误差值

、

的测量。

通过X、Y、Z方向的9次测量，最终获得以下位移误差测量数据组序列：

i) 取

，，获得第一组测量值序列：

           (1)

ii) 取

，

，获得第二组测量值

序列：

           (2)

iii) 取

，

，获得第三组测量值

序列：

            (3)

联立求解方程组(1)、(2)、(3)，对点P的位移误差值进行辨识计算，获得A轴摆动的几何误差。

2. 工作台C回转轴的几何误差测量辨识计算方法

(1)              将垫块形检具经由磁力座固定在机床工作台上，如图2所示；

(2)              将A、C轴处于0度初始位置；

(3)              将球杆仪的测量球座经由刀柄固定在主轴上，将主轴移动到与C轴轴线重合，将此时的加工坐标系X、Y坐标置零，再移动X轴L距离；下降Z轴，使得测量球座吸附球头后与工作台平面接触，将此时的加工坐标系Z坐标设为测量球头的半径与工作台平面至A轴距离之和，从而在C轴轴线和A轴轴线的交点为原点建立测量坐标系；

(4)              将球杆仪的测量球头经磁力底座固定在垫块形检具上，位于测量球座的Z轴负向处；下降Z轴，保证测量球头与C轴轴线的距离也为L，此时的测量球头球心即为点P，记录此时点P至A轴轴线的距离H；

(5)              选择球杆仪的最短杆组件，根据其理论杆长D调整Z轴，使得测量球座与测量球头的距离为杆长D，并在测量球座与测量球头之间置入球杆仪，球杆仪与Z轴平行；

(6)              使用五轴机床的RTCP运动功能，根据C轴回转范围确定测量角度序列，并在C轴每回转一角度后停止10秒，测量过程往返3次； 

(7)              记录C轴回转角度序列的杆长变化值，即

。改变L、H的组合值， 至少各三次的测量，获得

位移误差测量数据组序列；

(8)              类似于Z方向的几何误差值测量方法，保证测量球头初始点坐标变化引起的球杆仪读数变化方向符合X、Y方向，完成点P在C回转切向

、径向方向

的位移误差值，如图4所示。根据

                    (4)

获得

、

的测量值：

通过X、Y、Z方向的9次测量，最终获得以下位移误差测量数据组序列：

i) 取

，

，获得第一组测量值

序列：

         (5)

ii) 取

，

，获得第一组测量值

序列：

          (6)

iii) 取

，，获得第一组测量值序列：

          (7)

联立求解方程组(5)、(6)、(7)，对点P的位移误差值进行辨识计算，获得C轴回转的几何误差。

附图说明

图1 刀具A摆动轴运动几何误差测量原理图

图2 工作台C回转轴运动几何误差测量方法原理图

图3 五轴机床AC摆动回转轴误差定义

图4 工作台C回转切向径向误差与Y、Z向位移误差的关系

图5 回转摆动轴误差测量方案实施过程框图

图6 刀具A摆动轴几何误差测量附件结构图

图7 某A’C’型五轴联动机床的工作台A摆动轴几何误差

具体实施方式

图1和图2分别表达了刀具A摆动轴运动与工作台C回转轴运动几何误差测量原理图。图3 表达了五轴机床AC摆动回转轴误差定义，图4 表达了工作台C回转切向径向误差与Y、Z向位移误差的关系。

由图5可看到本方法的实施过程框图。

下面就刀具A摆动和工作台C回转两运动轴几何误差的测量实施方式对本发明作进一步详细的描述。

1. 刀具A摆动几何误差测量的具体实施方式

测量刀具A摆动运动产生的6项几何误差的测量附件如图6所示。图中：1-主轴加长杆，2-调节螺钉，3-调节块，4-滑杆，5-球杆仪。为了测试A摆回转几何误差，图1中的L和H至少需要取两个值。通过调整调节块上的螺钉可以调节L和H的长度。

刀具A摆几何误差的测量和辨识可以按以下步骤进行：

(1) 测量步骤一

将球杆仪测量球座装夹在刀柄上，测量球座中心至刀柄与主轴端面结合面的距离，然后将其安装在主轴上。在工作台上安装磁力座，松动锁紧手柄，测量球头处于自由状态，缓慢下降主轴，当主轴距离球头大约2mm处时，球头会因为磁力自动吸附在主轴的磁力座上，此时锁紧球头手柄，并设定此位置为加工坐标系原点。

将主轴向X负方向移动距离

(

为球杆仪杆长)，测量主轴端球心P至A轴轴线距离

，此时

=0，在磁力座球头与主轴球座间放置球杆仪。

编写A轴回转程序，A轴初始转动角度0°，控制机床A轴摆动并作RTCP运动，每转至一定角度

后停顿10秒，并读取杆长变化值

(误差量方向满足X轴方向)，即X方向的位移误差。

以同样方法，将主轴从加工坐标系原点分别向Y负方向、Z正方向移动距离D，控制机床A轴摆动并相对球杆仪测量球座球心作RTCP运动，可测得Y、Z方向的位移误差

、

(误差量方向满足Y、Z轴方向)，则有：

                (8)

                    (9)

                   (10)

(2) 测量步骤二

在测量步骤一的基础上，改变刀柄长度，测量此时P至A轴轴线的距离

，X方向距离主轴轴线的距离

=0，进行类似于步骤一的测量，可获得X、Y、Z方向的位移误差

、

、

，则有：

              (11)

                      (12)

                      (13)

(3) 测量步骤三

在测量步骤二的基础上，在X方向距离主轴轴线的距离更改为，进行类似于步骤一的测量，可获得X、Y、Z方向的位移误差

、、

，则有：

                 (14)

                    (15)

                    (16)

(4) 几何误差参数辨识

刀具A摆动几何误差的6个分量的辨识按下式进行计算：

                          (17)

          (18)

          (19)

                  (20)

                 (21)

                 (22)

2. 工作台C回转几何误差测量

如图2的工作台C回转几何误差测量方案中，至少要改变一次L和H的值，才能测得必要的三组数据。改变L的方法为移动球座在回转工作台的位置，改变H的方法是在工作台上垫高球座。

测量工作台C回转运动产生的6项几何误差可以按以下步骤进行：

(1) 测量步骤一

将球杆仪测量球座装夹在刀柄上，测量小球中心至刀柄与主轴端结合面的距离，然后将其安装在主轴上。根据机床结构参数，移动XY轴使得主轴与C回转摆动轴轴线重合。将加工坐标系XY坐标置零，通过坐标读数，移动X坐标L₁。此时将磁力座放于主轴位置下方，松动锁紧手柄，使磁力座球头处于自由状态。缓慢下降主轴，测量球座在距离球头2mm处，球头会因为磁力自动吸附在测量球座上，然后锁紧球头手柄，从而保证了磁力座球头球心至C转台轴线距离为L₁。缓慢下降Z轴，使得测量球座吸附球头后与工作台平面接触（使用塞尺），将此时的加工坐标系Z坐标设为测量球头的半径与工作台平面至A轴距离之和H₁。将主轴向Z正方向移动距离

(

为球杆仪杆长)，在磁力座球头与主轴球座间放置球杆仪。

编写C转台回转程序，使得C转台在0°～360°～0°旋转，控制机床相对(L₁,0,0)作RTCP运动，每转至一定角度

后停顿10秒，并读取杆长变化值

(误差量方向满足Z轴方向)，即Z方向的位移误差。

将主轴分别从测量球头球心向-X、-Y方向移动距离D，控制C轴回转且机床做RTCP运动，获得(L₁,0,H₁)点绕C回转产生的切向运动误差

、径向运动误差

(初始点误差量方向满足X、Y轴方向)，再根据式(4)可得到(L₁,0,H₁)点绕C回转产生的X、Y方向位移误差

、

，则有：

                 (23)

  

                 (24)                 

              (25)

(2) 测量步骤二

在测量步骤一的基础上，在工作台上移动磁力座，即磁力座球头球心与C回转台面中心的距离，使得其球心坐标调整为(L₂,0,H₁)，将机床主轴向上移动D，在磁力座球头与测量球座间放置球杆仪。控制C轴回转且机床相对(,0,H₁)坐标做RTCP运动，每转至一定角度

后停顿10秒，并读取杆长变化值

(误差量方向满足Z轴方向)。

将主轴分别从测量球头球心向-X、-Y方向移动距离D，控制C轴回转且机床做RTCP运动，获得(,0,H₁)点绕C回转产生的切向运动误差

、径向运动误差

(初始点误差量方向满足X、Y轴方向)。再根据式(4)，可得到(

,0,H₁)点绕C回转产生的的X、Y方向的位移误差

、

，则有：

                     (26)

                     (27)

 

             (28)

(3) 测量步骤三

在测量步骤二的基础上，使用垫块将磁力座测量球心垫高，即磁力座球头球心与C回转台面的距离

，使得其球心坐标调整为(L₂,0,

)，将机床主轴向上移动D，在磁力座球头与测量球座间放置球杆仪。控制C轴回转且机床做RTCP运动，每转至一定角度

后停顿10秒，并读取杆长变化值

(误差量方向满足Z轴方向)。

将主轴分别向-X、-Y方向移动距离D，控制C轴回转且机床相对(L₂,0,)作RTCP运动，获得(L₂,0,)点绕C回转产生的切向运动误差

、径向运动误差

(初始点误差量方向满足X、Y轴方向)。再根据式(22)，可得到(L₂,0,)点绕C回转产生的X、Y方向的位移误差、

。则有： 

               (29)

    

               (30)

        

             (31)

(4) 几何误差参数辨识

工作台C回转几何误差的6个分量的辨识按公式(32)、(33)、(34)、(35)、(36)和(37)进行。

                (32)

                 (33)

                            (34)

                           (35)

  

                            (36)

                    (37)。

实施例

以某A’C’型五轴高速加工中心的工作台A摆动轴为例进行误差测试实验（图6所示），实施步骤如下：

(1)             安装球杆仪和测量附件；

(2)             编制测量程序，测试范围为A 轴-32°~32°，C轴保持0°，每隔3°停留10秒读数；

(3)             测量模式一：

取

=

=80mm，

=

=55.694mm，球杆仪杆长101.5mm，分别在X、Y、Z方向进行测量，记录球杆仪杆长变化、

、

；

(4)             测量模式二：

取

==160mm，

==55.694mm，同步骤(3)，再次分别测量X、Y、Z方向的位移误差、

、

；

(5)             测量模式三：

取

==160mm，=

=155.694mm，再次分别测量X、Y、Z方向的位移误差

、

、。

    利用本发明所述方法辨识获得工作台A摆动轴的角度几何误差、跳动几何误差如图7所示。

Claims (1)

1.五轴联动数控机床回转摆动轴几何误差参数值的测量方法，以五轴机床RTCP刀具中心点控制功能提供的平动轴联动坐标为测量基准，采用球杆仪分别测量回转摆动轴不同转角下至少三个位置处X、Y、Z方向的位移误差，并根据所述位移误差作数据处理辨识计算出回转摆动轴各转角的几何误差；包括以下的测量步骤：

I.刀具A摆动轴A轴的几何误差测量辨识计算

(1)将L形检具经由刀柄固定在机床主轴上；A、C轴处于0度初始位置；

(2)将球杆仪的测量球座通过夹头固定在L形检具点P处，测量并记录测量球座的球心与主轴轴线的距离H、与A轴轴线的距离L；

(3)将球杆仪的测量球头经磁力底座固定在测量球座的Z轴负向处，下降Z轴，保证测量球头与主轴轴线的距离也为H；

(4)选择球杆仪的最短杆组件，根据其理论杆长D调整Z轴，使得测量球座与测量球头的距离为杆长D，并在测量球座与测量球头之间置入球杆仪，此时的球杆仪与Z轴平行，且测量球座坐标变化引起的球杆仪读数变化方向符合Z轴方向；

(5)使用五轴机床的RTCP运动，根据A轴摆动范围确定测量角度序列，并在A轴每摆动一角度后停止10秒，测量过程往返3次；

(6)运行测量数控程序，记录A轴摆动角度序列的杆长变化值；

改变L、H的组合值，通过X、Y、Z方向分别至少各三次的测量，获得以下位移误差测量数据组序列；

i)取L＝L₁，H＝0，获得第一组测量值ΔL₁序列：

${\mathrm{\ΔL}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_1\\ \mathrm{\Δ}{Y}_1\\ {\mathrm{\ΔZ}}_1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L_1(\sin {\mathrm{\α}}_A\·{\mathrm{\Δ\γ}}_A+\cos {\mathrm{\α}}_A\·{\mathrm{\Δ\β}}_A)+\mathrm{\Δ}{x}_A\\ L_1\·{\mathrm{\Δ\α}}_A\·\cos {\mathrm{\α}}_A+{\mathrm{\Δy}}_A\\ L_1\·{\mathrm{\Δ\α}}_A\·\sin {\mathrm{\α}}_A+{\mathrm{\Δz}}_A\\ 0\end{array}\right]$

ii)取L＝L₂，H＝0，获得第二组测量值ΔL₂序列：

${\mathrm{\ΔL}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_2\\ \mathrm{\Δ}{Y}_2\\ {\mathrm{\ΔZ}}_2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L_2(\sin {\mathrm{\α}}_A\·{\mathrm{\Δ\γ}}_A+\cos {\mathrm{\α}}_A\·{\mathrm{\Δ\β}}_A)+\mathrm{\Δ}{x}_A\\ L_2\·{\mathrm{\Δ\α}}_A\·\cos {\mathrm{\α}}_A+{\mathrm{\Δy}}_A\\ L_2\·{\mathrm{\Δ\α}}_A\·\sin {\mathrm{\α}}_A+{\mathrm{\Δz}}_A\\ 0\end{array}\right]$

iii)取L＝L₂，H＝H₃，获得第三组测量值ΔL₃序列：

${\mathrm{\ΔL}}_3=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_3\\ \mathrm{\Δ}{Y}_3\\ {\mathrm{\ΔZ}}_3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L_2(\sin {\mathrm{\α}}_A\·{\mathrm{\Δ\γ}}_A+\cos {\mathrm{\α}}_A\·{\mathrm{\Δ\β}}_A)+\mathrm{\Δ}{x}_A\\ H_3\·{\mathrm{\Δ\γ}}_A+L_2\·{\mathrm{\Δ\α}}_A\·\cos {\mathrm{\α}}_A+{\mathrm{\Δy}}_A\\ -H_3\·{\mathrm{\Δ\β}}_A+L_2\·{\mathrm{\Δ\α}}_A\·\sin {\mathrm{\α}}_A+{\mathrm{\Δz}}_A\\ 0\end{array}\right]$

对点P的位移误差值进行辨识计算，获得A轴摆动的几何误差；

II.工作台回转轴C轴的几何误差测量辨识计算

(1)将垫块形检具经由磁力座固定在机床工作台上；

(2)将A、C轴处于0度初始位置；

(3)将球杆仪的测量球座经由刀柄固定在主轴上，将主轴移动到与C轴轴线重合，将此时的加工坐标系X、Y坐标置零，再移动X轴L距离；下降Z轴，使得测量球座吸附球头后与工作台平面接触，将此时的加工坐标系Z坐标设为测量球头的半径与工作台平面至A轴距离之和，从而在C轴轴线和A轴轴线的交点为原点建立测量坐标系；

(4)将球杆仪的测量球头经磁力底座固定在垫块形检具上，位于测量球座的Z轴负向处；下降Z轴，保证测量球头与C轴轴线的距离也为L，此时的测量球头球心即为点P，记录此时点P至A轴轴线的距离H；加工坐标系Z坐标；

(5)选择球杆仪的最短杆组件，根据其理论杆长D调整Z轴，使得测量球座与测量球头的距离为杆长D，并在测量球座与测量球头之间置入球杆仪，球杆仪与Z轴平行；

(6)使用五轴机床的RTCP运动功能，根据C轴回转范围确定测量角度序列，并在C轴每回转一角度后停止10秒，测量过程往返3次；

(7)记录C轴回转角度序列的杆长变化值；

(8)改变L、H的组合值，通过X、Y、Z方向分别至少各三次的测量，获得以下位移误差测量数据组序列：

i)取L＝L₁，H＝H₁，获得第一组测量值ΔL₁序列：

${\mathrm{\ΔL}}_1=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_1\\ \mathrm{\Δ}{Y}_1\\ {\mathrm{\ΔZ}}_1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{H}_1\·{\mathrm{\Δ\β}}_C-L_1\·{\mathrm{\Δ\γ}}_C\·\sin {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δx}}_C\\ -H_1\·{\mathrm{\Δ\α}}_C+L_1\·{\mathrm{\Δ\γ}}_C\·\cos {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δy}}_C\\ L_1(-{\mathrm{\Δ\β}}_C\·\cos {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δ\α}}_C\·\sin {\mathrm{\α}}_C)+\mathrm{\Δ}{z}_C\\ 0\end{array}\right]$

ii)取L＝L₂，H＝H₁，获得第一组测量值ΔL₂序列：

${\mathrm{\ΔL}}_2=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_2\\ \mathrm{\Δ}{Y}_2\\ {\mathrm{\ΔZ}}_2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{H}_1\·{\mathrm{\Δ\β}}_C-L_2\·{\mathrm{\Δ\γ}}_C\·\sin {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δx}}_C\\ -H_1\·{\mathrm{\Δ\α}}_C+L_2\·{\mathrm{\Δ\γ}}_C\·\cos {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δy}}_C\\ L_2(-{\mathrm{\Δ\β}}_C\·\cos {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δ\α}}_C\·\sin {\mathrm{\α}}_C)+\mathrm{\Δ}{z}_C\\ 0\end{array}\right]$

iii)取L＝L₂，H＝H₂，获得第一组测量值ΔL₃序列：

${\mathrm{\ΔL}}_3=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_3\\ \mathrm{\Δ}{Y}_3\\ {\mathrm{\ΔZ}}_3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{H}_2\·{\mathrm{\Δ\β}}_C-L_2\·{\mathrm{\Δ\γ}}_C\·\sin {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δx}}_C\\ -H_2\·{\mathrm{\Δ\α}}_C+L_2\·{\mathrm{\Δ\γ}}_C\·\cos {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δy}}_C\\ L_2(-{\mathrm{\Δ\β}}_C\·\cos {\mathrm{\α}}_C+{\mathrm{\Δ\α}}_C\·\sin {\mathrm{\α}}_C)+\mathrm{\Δ}{z}_C\\ 0\end{array}\right]$

其中，α_A为A轴转角，Δx_A为A轴轴向跳动误差，Δy_A为A轴沿Y轴方向的跳动误差，Δz_A为A轴沿Z轴方向的跳动误差，Δα_A为A轴绕自身轴线的转角误差，Δβ_A为A轴绕Y轴的转角误差，Δγ_A为A轴绕Z轴的转角误差，α_C为C轴转角，Δx_C为C轴沿X轴方向的跳动误差，Δy_C为C轴沿Y轴方向的跳动误差，Δz_C为C轴的轴向跳动误差，Δα_C为C轴绕X轴的转角误差，Δβ_C为C轴绕Y轴的转角误差，Δγ_C为C轴绕自身轴线的转角误差；

对点P的位移误差值进行辨识计算，获得C轴回转的几何误差。

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