CN112464399A - 一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法 - Google Patents

一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，属于铣削加工制造领域，包括：将刀具的空间运动分解为刀具以固定倾角沿刀路曲线所作的进给运动和刀具的倾角变化引起的姿态变动，利用Frenet标架对进给运动和姿态变动建模；基于进给运动和姿态变动的建模结果，对刀具的运动旋量进行建模，得到刀刃微元Q在刀具坐标系(TCS)下的运动旋量[VT]；根据运动旋量[VT]计算刀刃微元Q在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面，将其离散化为包络面点簇，并转换为工件坐标系(WCS)中刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇；将WCS中刀具在各时间段内的包络面点簇集合起来，得到刀具的完整包络面。本发明在复杂曲面加工工况中也能精确生成刀具运动包络面。

Description

一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法
技术领域
本发明属于铣削加工制造领域，更具体地，涉及一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法。
背景技术
刀具运动包络面的精确求解是切削仿真理论的关键基础技术之一，可以将其应用于碰撞干涉检测、行距步距优化、刀具路径规划和工件表面更新等方面的工作。
为了对五轴加工刀具运动包络面进行求解，常用的方法主要是数值法和解析法。数值法主要包括扫掠微分方程法、隐式建模方法、包络理论法、雅可比降秩法等，这些方法需要求解复杂的微分方程，计算量很大。解析法可以快速求解刀具运动包络面，求解精度较高，但理论推导公式复杂，有学者采用双参数球族包络理论，可以快速解析得到侧铣加工刀具的运动包络面，但同样存在理论推导公式复杂的问题。
此外，在相关研究中刀具运动包络面的求解只针对特定的工况，对于刀路弯扭或刀具姿态变化程度较大工况下刀具运动包络面的求解还有待深入研究。
发明内容
针对现有技术的缺陷和改进需求，本发明提供了一种基于运动旋量的五轴加工刀具运动包络面计算方法，其目的在于，将运动旋量应用于描述五轴加工刀具的运动，并考虑刀路弯扭和刀具姿态变化，以解决现有的刀具运动包络面求解方法无法在刀路弯扭或刀具姿态变化程度较大的工况下精确计算刀具包络面的技术问题。
为实现上述目的，本发明提供了一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，包括：
将刀具的空间运动分解为刀具以固定倾角沿刀路曲线所作的进给运动和刀具的倾角变化引起的姿态变动，利用Frenet标架对进给运动和姿态变动建模，得到进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于进给运动产生的第一瞬时速度和由于姿态变动产生的第二瞬时速度，将第一瞬时速度和第二瞬时速度之和作为进给坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VF]作用下的第三瞬时速度vF；
计算进给坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VF]作用下的角速度ωF，从而得到刀具在进给坐标系中的运动旋量[VF]为[VF]＝(vF,ωF)；将运动旋量[VF]变换至刀具坐标系下，得到刀刃微元Q在刀具坐标系下的运动旋量[VT]；
在t∈[ti,ti+1]的情况下，计算刀具坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点坐标，以计算刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面，将其离散化，得到刀具坐标系中刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇
Figure BDA0002774532320000021
并将包络面点簇
Figure BDA0002774532320000022
转换至工件坐标系中，得到工件坐标系统中刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇Πi (WCS)；将工件坐标系中刀具在各时间段内的包络面点簇集合起来，得到刀具在整条道路曲线上的完整包络面。
进一步地，进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于进给运动产生的第一瞬时速度为：
Figure BDA0002774532320000031
其中，vf为刀具的进给速率；Ki和τi分别表示刀路曲线在ti时刻的曲率和挠率；θi表示ZF(i)轴绕αi旋转至γi所历经的角度，αi和γi分别表示刀路曲线在OF(i)点的切矢和副法矢，OF(i)为ti时刻的刀触点，sθi和cθi分别表示sinθi和cosθi，
Figure BDA0002774532320000032
表示的θi变化率；(xF,yF,zF,1)为刀刃微元Q在FCS(i)中的坐标，FCS(i)为OF(i)处的进给坐标系，ZF(i)表示进给坐标系FCS(i)的坐标轴。
进一步地，利用Frenet标架对进给运动建模，包括：
分别获得刀路曲线在刀触点OF(i)处的径矢ri、切矢αi、主法矢βi和副法矢γi，以及刀路曲线在刀触点OF(i+1)处的径矢ri+1、切矢αi+1、主法矢βi+1和副法矢γi+1，分别构成Frenet标架{ri；αi,βi,γi}和Frenet标架{ri+1；αi+1,βi+1,γi+1}；OF(i)和OF(i+1)是刀路曲线上相邻的点，且分别是相邻的ti时刻和ti+1时刻的刀触点；构成Frenet标架的相关矢量满足如下Frenet公式：
Figure BDA0002774532320000033
其中，r、α、β、γ、K和τ分别表示同一刀触点处的径矢、切矢、主法矢、副法矢，以及刀路曲线的曲率和挠率；
利用Frenet标架{ri；αi,βi,γi}和Frenet标架{ri+1；αi+1,βi+1,γi+1}分别构建笛卡尔坐标系Fra(i)和Fra(i+1)；
结合Frenet公式将刀路曲线在OF(i)点进行Taylor展开后表示为矩阵形式，并进行其次坐标变换，得到笛卡尔坐标系Fra(i+1)到Fra(i)的齐次坐标变换矩阵为：
Figure BDA0002774532320000041
其中，a11～a14、a21～a24、a31～a34均为含有Ki、τi和Δd的表达式，Δd表示刀刃微元Q从ti时刻到ti+1时刻的弧长；
在刀触点OF(i)和OF(i+1)处分别建立进给坐标系FCS(i)和FCS(i+1)；XF(i)、YF(i)和ZF(i)分别表示进给坐标系FCS(i)的坐标轴，XF(i)轴与αi重合，ZF(i)轴表示设计表面在OF(i)点处的刀具侧单位法矢；XF(i+1)、YF(i+1)和ZF(i+1)分别表示进给坐标系FCS(i+1)的坐标轴，XF(i+1)轴与αi+1重合，ZF(i+1)轴表示设计表面在OF(i+1)点处的刀具侧单位法矢；
根据所建立的进给坐标系FCS(i)和FCS(i+1)，计算进给坐标系从OF(i)点到OF(i+1)点的变化为：
Figure BDA0002774532320000042
其中，
Figure BDA0002774532320000043
Figure BDA0002774532320000044
θi表示ZF(i)轴绕αi旋转至γi所历经的角度，θi+1表示ZF(i+1)轴绕αi+1旋转至γi+1所历经的角度；c表示cos，s表示sin；
在进给坐标系FCS(i)中表示Qi点到Qi+1点的位移
Figure BDA0002774532320000046
得到表达式：
Figure BDA0002774532320000045
由此得到刀刃微元Q在ti时刻的第一瞬时速率为：
Figure BDA0002774532320000051
Figure BDA0002774532320000052
其中，
Figure BDA0002774532320000056
表示刀刃微元Q在进给坐标系FCS(i+1)中的坐标，
Figure BDA0002774532320000057
表示刀刃微元Q在进给坐标系FCS(i)中的坐标；Qi和Qi+1分别表示刀刃微元Q在ti时刻和ti+1时刻的位置。
进一步地，进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于姿态变动产生的第二瞬时速度为：
Figure BDA0002774532320000053
其中，
Figure BDA0002774532320000054
l和tilt分别表示ti时刀具的前倾角leadi和侧倾角tilti；c表示cos，s表示sin；ri、
Figure BDA0002774532320000055
和κi分别表示ti时刻刀触点OF(i)的切削半径、径向位置角和轴向接触角。
进一步地，利用Frenet标架对姿态变动建模，包括：
不考虑进给运动，将进给坐标系FCS(i)和FCS(i+1)统一记作FCS；
在进给坐标系中表示Qi点到Qi+1点的位移，并对时间求导，得到刀刃微元Q在Qi点的第二瞬时速度为：
Figure BDA0002774532320000061
进一步地，将运动旋量[VF]变换至刀具坐标系下，得到刀刃微元Q在刀具坐标系下的运动旋量[VT]，包括：
在刀具平动时，按照ωT＝0、
Figure BDA0002774532320000062
计算刀刃微元Q在运动旋量[VT]作用下的瞬时速度vT和角速度ωT，由此得到刀具在刀具坐标系下的运动旋量为[VT]＝(vT,0)；
在刀具旋转时，按照
Figure BDA0002774532320000063
hT＝hF、
Figure BDA0002774532320000069
计算刀刃微元Q在运动旋量[VT]作用下的瞬时速度vT和角速度ωT，由此得到刀具在刀具坐标系下的运动旋量为[VT]＝(vT,ωT)；
其中，rT为刀具坐标系中的径矢，hT为刀具坐标系中的旋距，hF为进给坐标系中的旋距，rF为进给坐标系中的正交位置向量；
Figure BDA0002774532320000064
表示进给坐标系到刀具坐标系的旋转变换矩阵，
Figure BDA0002774532320000065
表示进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵。
进一步地，计算刀具坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点坐标，包括：
按照
Figure BDA0002774532320000066
计算刀刃微元Q在运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点Qs的坐标；ω1＝[ω1x ω1y ω1z]T＝ωT/|ωT|，RP＝[Rx Ry Rz]T＝Q-rT，θ＝|ωT|t；
将Qs的坐标转换为与刀具的轴向高度z、径向接触角
Figure BDA0002774532320000068
以及时间t相关的表达式如下：
Figure BDA0002774532320000067
其中，rTx、rTy、rTz分别代表旋转运动轴线上一点在刀具坐标系下的x、y、z坐标；ωTx、ωTy、ωTz分别代表旋转运动轴线在刀具坐标系下的x、y、z方向矢量；Rx、Ry、Rz分别代表刀刃微元Q到旋转运动轴线上一点在刀具坐标系下x、y、z方向的距离位置矢量；c表示cos，s表示sin。
进一步地，计算刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面，包括：
基于刀具坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点Qs的坐标，按照
Figure BDA0002774532320000071
计算刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面。
进一步地，将包络面点簇
Figure BDA0002774532320000078
转换至工件坐标系中，得到工件坐标系统中刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇Πi (WCS)，包括：
按照
Figure BDA0002774532320000072
将包络面点簇
Figure BDA0002774532320000079
转换至工件坐标系中；
其中，
Figure BDA0002774532320000073
表示在ti时刻进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵，
Figure BDA0002774532320000074
表示在ti时刻进给坐标系到工件坐标系的齐次坐标变换矩阵。
进一步地，刀具坐标系到进给坐标系的旋转变换矩阵为：
Figure BDA0002774532320000075
进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵为：
Figure BDA0002774532320000076
进给坐标系到工件坐标系的其次坐标变换矩阵为：
Figure BDA0002774532320000077
其中，lead为前倾角，tilt为侧倾角，OF (TCS)表示刀触点OF在刀具坐标系中的坐标，XF、YF和ZF分别表示以刀触点为OF原点的进给坐标系的三个坐标轴，XF (WCS)、YF (WCS)和ZF (WCS)表示进给坐标系的对应坐标轴在工件坐标系中的坐标。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案，能够取得以下有益效果：
(1)本发明将刀具空间运动分解为刀具以固定倾角沿刀路曲线所作的进给运动和刀具的倾角变化引起的姿态变动，并利用Frenet标架对进给运动和姿态变动建模，能够在计算刀具包络面的过程中考虑刀路弯扭和刀具姿态变化，从而在复杂曲面加工工况中也能精确生成刀具运动包络面；本发明在进给运动建模和姿态变动建模的基础上，解析地推导了能够精确描述刀具运动的运动旋量模型，由于旋量理论在描述刚体空间运动上具有简单清晰的表述方式且便于运动学求解，因此，本发明能够利用运动旋量在运动学描述方面的优势，精确计算刀具包络面。
(2)本发明所提供的基于运动旋量的五轴刀具包络面计算方法适用于包括球头刀、圆角刀等各种回转立铣刀，在五轴加工中碰撞干涉检测、行距步距优化、刀具路径规划和工件表面更新等方面具有较好的应用前景。
附图说明
图1为通用的立铣刀的几何模型；
图2为本发明实施例提供的刀具、工件相对位置示意图；
图3为本发明实施例提供的进给坐标系FCS到刀具坐标系TCS的旋转变换；
图4为本发明实施例提供的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法流程图；
图5为本发明实施例提供的刀路曲线Γ上的坐标系；
图6为本发明实施例提供的刀具运动包络面生成示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
在本发明中，本发明及附图中的术语“第一”、“第二”等(如果存在)是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。
针对现有的刀具包络面求解方法无法在刀路弯扭或刀具变化程度较大的工况下精确计算刀具包络面的技术问题，本发明提供了一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其整体思路在于：将刀具空间运动分解为刀具的进给运动和姿态变动，根据曲线Frenet标架并通过齐次坐标变换推导分别对两种运动形式进行建模；结合旋量理论推导出描述刀具空间运动的运动旋量解析模型，实现对考虑刀路弯扭及刀具姿态变化的复杂曲面加工中刀具瞬时运动位姿的精确表示；最后根据加工刀路的运动旋量和刀具的几何参数，生成刀具运动包络面。
为了计算刀具包络面，需要使用到刀具的几何参数，作为一种可选的实施方式，本发明采用如图1所示的通用立铣刀几何模型对刀具进行几何建模。如图1所示，在刀具坐标系(TCS)中，通用立铣刀的几何形状可由七个独立参数完全确定：{H,Nz,Mz,α,β,Rr,r}，其中刀具ZT轴的轴向高度H、Nz和Mz将刀具的包络面分为底刃区域、圆角刃区域和侧刃区域。在底刃区域，角度α为刀具下母线与XTOYT平面的夹角；在圆角刃区域，r为圆角半径，Rr为圆角圆心到刀具轴线的垂直距离；在侧刃区域，β为刀具上母线与ZT轴线的夹角。则刀具上任一刀刃微元点Q的坐标可表示为：
Figure BDA0002774532320000091
其中，z为Q点的轴向高度，r(z)为Q点到ZT轴的垂直距离，即为刀具的有效切削半径，它在刀具的三个区域可表示为：
Figure BDA0002774532320000101
其中，
Figure BDA0002774532320000102
是指刀具的第jc条切削刃在轴向高度z处的径向接触角，即刀刃微元点Q到刀具ZT轴的垂线与刀具YT轴的夹角；κ是指刀具的m条切削刃在轴向高度z处的轴向接触角，即刀具扫掠面在刀刃微元点Q处的单位向外法向矢量n与刀具ZT轴的夹角，可分别表示为：
Figure BDA0002774532320000103
Figure BDA0002774532320000104
其中，jc表示Q点所在的刀刃序号，ψ为刀具旋转角，ψ(z)为径向滞后角。
刀具包络面在Q点的单位向外法向矢量n表示在刀具坐标系TCS中为：
Figure BDA0002774532320000105
为了在计算刀具包络面的过程中考虑刀路弯扭和刀具的姿态变化，本发明在实际计算过程中，涉及到不同坐标系之间的转换，坐标系之间的转换关系可按照如下方式进行计算：
图2所示为刀具与工件的相对位置示意图，其中D S表示设计表面，OW-XW-YW-ZW为工件坐标系(WCS)。OW-XW-YW-ZW为进给坐标系(RCS)，其中OF点是刀具与DS面的相切点，即刀触点，ZF轴为DS在OF点的刀具侧幺法矢，XF轴为沿着瞬时进给速度方向的幺矢。
刀具轴线在FCS中的方向通常以前倾角lead和侧倾角tilt来描述，FCS到TCS的旋转变换如图3所示：FCS绕YF轴旋转，旋转角为lead，得到过渡坐标系O'-X'-Y'-Z'，然后过渡坐标系绕XF轴旋转，旋转角为tilt，得到刀具坐标系TCS。则TCS到FCS的旋转变换矩阵为：
Figure BDA0002774532320000111
FCS到TCS的齐次坐标变换矩阵可表示为：
Figure BDA0002774532320000112
其中，OF (TCS)表示刀触点OF在TCS中的坐标，可通过OF点处的曲面法矢和刀具自旋面外法矢反向平行这一关系来求解；
FCS到WCS的齐次坐标变换矩阵可表示为：
Figure BDA0002774532320000113
其中，XF (WCS)、YF (WCS)和ZF (WCS)表示FCS的对应坐标轴在WCS中的坐标，OF (WCS)表示FCS的原点在WCS中的坐标。
基于以上刀具建模，以及坐标系之间的转换关系，本发明实施例提供的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，如图4所示，包括：
将刀具的空间运动分解为刀具以固定倾角沿刀路曲线所作的进给运动和刀具的倾角变化引起的姿态变动，利用Frenet标架对进给运动和姿态变动建模，得到进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于进给运动产生的第一瞬时速度和由于姿态变动产生的第二瞬时速度，将第一瞬时速度和第二瞬时速度之和作为进给坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VF]作用下的第三瞬时速度vF；
计算进给坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VF]作用下的角速度ωF，从而得到刀具在进给坐标系中的运动旋量[VF]为[VF]＝(vF,ωF)；将运动旋量[VF]变换至刀具坐标系下，得到刀刃微元Q在刀具坐标系下的运动旋量[VT]；
在t∈[ti,ti+1]的情况下，计算刀具坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点坐标，以计算刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面，将其离散化，得到刀具坐标系中刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇
Figure BDA0002774532320000122
并将包络面点簇
Figure BDA0002774532320000123
转换至工件坐标系中，得到工件坐标系统中刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇Πi (WCS)；将工件坐标系中刀具在各时间段内的包络面点簇集合起来，得到刀具在整条道路曲线上的完整包络面。
图5为刀路曲线Γ上各个坐标系的示意图，此曲线依附于DS上，可看作由不同时刻的刀触点OF组成。Γ的自然参数方程为r＝r(d)，OF(i)和OF(i)是Γ上邻近的点，且分别是相邻的ti时刻和ti+1时刻的刀触点；
本实施例中，按照如下方式完成对进给运动的建模，在此过程中考虑了刀路弯扭以及工件形状对进给运动的影响：
Γ在OF(i)点的Frenet标架表示为{ri；αi,βi,γi}，其中的四个矢量分别表示Γ在OF(i)点的径矢、切矢、主法矢和副法矢；将{ri；αi,βi,γi}构成的笛卡尔坐标系记作Fra(i)；同样地，Γ在OF(i+1)点的Frenet标架表示为{ri+1；αi+1,βi+1,γi+1}，其中的四个矢量分别表示Γ在OF(i+1)点的径矢、切矢、主法矢和副法矢；将{ri+1；αi+1,βi+1,γi+1}构成的笛卡尔坐标系记作Fra(i+1)；构成Frenet标架的相关矢量满足如下Frenet公式：
Figure BDA0002774532320000121
其中，r、α、β、γ、K和τ分别表示同一刀触点处的径矢、切矢、主法矢、副法矢，以及刀路曲线的曲率和挠率；
OF(i)-XF(i)-YF(i)-ZF(i)为在OF(i)点处的进给坐标系FCS(i)，应当注意的是，XF(i)轴与αi重合，ZF(i)轴表示DS在OF(i)点处的刀具侧单位法矢，θi表示ZF(i)轴绕αi旋转至γi所历经的角度；在OF(i+1)点处的描述方法类似，OF(i+1)-XF(i+1)-YF(i+1)-ZF(i+1)为在OF(i+1)点处的进给坐标系FCS(i+1)，应当注意的是，XF(i+1)轴与αi+1重合，ZF(i+1)轴表示DS在OF(i+1)点处的刀具侧单位法矢，θi+1表示ZF(i+1)轴绕αi+1旋转至γi+1所历经的角度。
因此，从OF(i)点到OF(i+1)点，FCS的变化可以描述为：
Figure BDA0002774532320000131
其中，
Figure BDA0002774532320000132
和
Figure BDA0002774532320000133
都是简单的旋转变换，可表示为：
Figure BDA0002774532320000134
其中：
Figure BDA0002774532320000135
这里以sθ表示sinθ，cθ表示cosθ，下文中以此类推。
将刀路曲线Γ在OF(i)点处Taylor展开并结合Frenet公式，可得：
Figure BDA0002774532320000136
Figure BDA0002774532320000137
Figure BDA0002774532320000138
Figure BDA0002774532320000139
将上式改写成矩阵形式为：
Figure BDA00027745323200001310
其中，a11～a14、a21～a24、a31～a34均为含有Ki、τi和Δd的表达式，Δd表示刀刃微元Q从ti时刻到ti+1时刻的弧长；
利用齐次变换矩阵表示为：
Figure BDA0002774532320000141
由此便获得了
Figure BDA0002774532320000142
为了将刀具进给运动以运动旋量的方式表示，还需要分析其对刀刃微元瞬时速度的影响。刀刃微元Q在ti时的位置记为Qi，Qi在FCS(i)中的坐标(xF,yF,zF,1)，在FCS运动至FCS(i+1)后，Qi点移动到了Qi+1点，这两点满足如下表达式：
Figure BDA0002774532320000146
将Qi点到Qi+1点的位移
Figure BDA0002774532320000147
表示在FCS(i)中：
Figure BDA0002774532320000143
设FCS运动到FCS(i)和FCS(i+1)的时刻分别为ti和ti+1，且ti+1＝ti+Δt，则Qi点在ti时刻的瞬时速度，即第一瞬时速度可表示为：
Figure BDA0002774532320000144
其中，vf为刀具进给速率，满足Δd＝vfΔt。结合上述的推导，可化为如下形式：
Figure BDA0002774532320000145
本发明中，带有下标i的符号皆代表对应量在ti时刻的取值。
本实施例中，按照如下方式完成对姿态变动的建模：
刀具姿态变动建模不考虑进给运动，即将FCS固定，将FCS(i)和FCS(i)统一记作FCS，考虑TCS从TCS(i)运动到TCS(i+1)时刀刃微元的运动。同样以刀刃微元Qi作为研究对象，Qi在FCS中的坐标(xF,yF,zF,1)，在刀具姿态改变后，Qi移动到了Qi+1，且它们在各自的刀具坐标系中的坐标保持不变，即：
Figure BDA0002774532320000159
将Qi到Qi+1的位移[Δx2 Δy2 Δz2 0]T(FCS)表示在FCS中：
Figure BDA0002774532320000151
式中的
Figure BDA0002774532320000152
和
Figure BDA0002774532320000153
分别表示在ti和ti+1时刻刀具坐标系到进给坐标系的齐次变换矩阵。上式对时间求导即可得到Qi的瞬时速度，即第二瞬时速度：
Figure BDA0002774532320000154
可进一步化为如下形式：
Figure BDA0002774532320000155
其中：
Figure BDA0002774532320000156
其中，s表示sin，c表示cos，l和tilt分别表示ti时刀具的前倾角leadi和侧倾角tilti；
Figure BDA0002774532320000157
分别表示其变化率，ri、
Figure BDA0002774532320000158
κi分别表示ti时刻刀触点的切削半径、径向位置角和轴向接触角。
本实施例中，完后对刀具进给运动和姿态变动的建模后，按照如下方式对刀具的运动旋量进行建模：
将FCS中表征刀具空间运动的运动旋量记为[VF]＝(vF,ωF)，则有vF＝rF×ωF+hFωF，其中：ωF为角速度，设为ωF＝[ωFx ωFy ωFz]T，hF为旋距，rF为正交位置向量，设为rF＝[rFx rFy rFz]T，满足ωF⊥rF，即：
ωFxrFx+ωFyrFy+ωFzrFz＝0 (3-18)
则Qi(xF,yF,zF)点在[VF]作用下的瞬时速度表示为：
Figure BDA0002774532320000161
则[VF]可结合下式解出：
Figure BDA0002774532320000168
其中，等式右边的式子分别为刀具进给运动速度和姿态变动速度。应当注意，当ωFx＝ωFy＝ωFz＝0，即刀具平动时上式不可解，此时[VF]＝(vF,0)，其中
Figure BDA0002774532320000162
将TCS中表征刀具运动的运动旋量记为[VT]＝(vT,ωT)，其径矢为rT，旋距为hT，则有：
Figure BDA0002774532320000163
刀具平动时[VT]＝(vT,0)，其中
Figure BDA0002774532320000164
本实施例中，完成对刀具运动旋量的建模后，基于该建模结果，按照如下方式计算刀具包络面：
根据在TCS中的运动旋量[VT](如无特殊标记，以下所有矢量和坐标是均以TCS为参考)，设任一刀刃微元Q在[VT]作用下历经时间t移动到Qs点，则Qs的坐标可表示为：
Figure BDA0002774532320000165
其中，
Figure BDA0002774532320000166
表示矢量RP绕ω1旋转θ角度，ω1＝[ω1xω1yω1z]T＝ωT/|ωT|，RP＝[Rx Ry Rz]T＝Q-rT，θ＝|ωT|/t。则可将Qs的坐标转换为与所述刀具的轴向高度z、径向接触角
Figure BDA0002774532320000167
以及时间t相关的表达式如下：
Figure BDA0002774532320000171
其中，rTx、rTy、rTz分别代表旋转运动轴线上一点在刀具坐标系下的x、y、z坐标；ωTx、ωTy、ωTz分别代表旋转运动轴线在刀具坐标系下的x、y、z方向矢量；Rx、Ry、Rz分别代表刀刃微元Q到旋转运动轴线上一点在刀具坐标系下x、y、z方向的距离位置矢量；c表示cos，s表示sin；
在刀具的进给过程中，Qs本质上是关于时间tt的单参数曲面族，可表示为
Figure BDA0002774532320000177
则刀具做旋量运动的包络面可由下式确定：
Figure BDA0002774532320000172
取t∈[ti,ti+1]即可得到刀具在ti～ti+1时间段内的包络面，将刀具包络面离散化为点簇
Figure BDA0002774532320000178
再将其转换至工件坐标系(WCS)中：
Figure BDA0002774532320000173
其中，
Figure BDA0002774532320000174
表示在ti时刻进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵，
Figure BDA0002774532320000175
表示在ti时刻进给坐标系到工件坐标系的齐次坐标变换矩阵。将一条刀路中各个时间段的包络面的点簇集合起来：Π(WCS)＝ΣiΠi (WCS)，即可得到在整条刀路上刀具的包络面Π(WCS)，刀具运动包络面生成如图6所示。
总体而言，本实施例针对考虑刀路弯扭及刀具姿态变化的通用立铣刀五轴加工，解析地推导了能够精确描述刀具运动的运动旋量模型，并在此基础上给出了刀具运动包络面的精确计算方法，在刀路弯扭和刀具姿态变动程度较大的工况下，本实施例同样可以精确地计算刀具包络面。并且，本实施例无需求解复杂的高阶常微分微分方程或超越方程，相比于传统的扫掠微分方程法、隐式建模方法、包络理论法、雅可比降秩法等常规的数值方法，大大减小了计算量。本实施例适用于包括球头刀、圆角刀等各种回转立铣刀，在五轴加工中碰撞干涉检测、行距步距优化、刀具路径规划和工件表面更新等方面具有较好的应用前景。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，包括：
将所述刀具的空间运动分解为刀具以固定倾角沿刀路曲线所作的进给运动和刀具的倾角变化引起的姿态变动，利用Frenet标架对所述进给运动和所述姿态变动建模，得到进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于进给运动产生的第一瞬时速度和由于姿态变动产生的第二瞬时速度，将所述第一瞬时速度和所述第二瞬时速度之和作为进给坐标系中刀刃微元Q在运动旋量[VF]作用下的第三瞬时速度vF；
计算进给坐标系中所述刀刃微元Q在所述运动旋量[VF]作用下的角速度ωF，从而得到所述刀具在进给坐标系中的运动旋量[VF]为[VF]＝(vF,ωF)；将所述运动旋量[VF]变换至刀具坐标系下，得到所述刀刃微元Q在刀具坐标系下的运动旋量[VT]；
在t∈[ti,ti+1]的情况下，计算刀具坐标系中刀刃微元Q在所述运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点坐标，以计算所述刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面，将其离散化，得到刀具坐标系中所述刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇
Figure FDA0002774532310000011
并将包络面点簇
Figure FDA0002774532310000012
转换至工件坐标系中，得到工件坐标系统中所述刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇Πi (WCS)；将工件坐标系中所述刀具在各时间段内的包络面点簇集合起来，得到所述刀具在整条道路曲线上的完整包络面。
2.如权利要求1所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于进给运动产生的第一瞬时速度为：
Figure FDA0002774532310000021
其中，vf为所述刀具的进给速率；Ki和τi分别表示刀路曲线在ti时刻的曲率和挠率；θi表示ZF(i)轴绕αi旋转至γi所历经的角度，αi和γi分别表示所述刀路曲线在OF(i)点的切矢和副法矢，OF(i)为ti时刻的刀触点，sθi和cθi分别表示sinθi和cosθi，
Figure FDA0002774532310000022
表示的θi变化率；(xF,yF,zF,1)为刀刃微元Q在FCS(i)中的坐标，FCS(i)为OF(i)处的进给坐标系，ZF(i)表示进给坐标系FCS(i)的坐标轴。
3.如权利要求2所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，利用Frenet标架对所述进给运动建模，包括：
分别获得所述刀路曲线在所述刀触点OF(i)处的径矢ri、切矢αi、主法矢βi和副法矢γi，以及所述刀路曲线在刀触点OF(i+1)处的径矢ri+1、切矢αi+1、主法矢βi+1和副法矢γi+1，分别构成Frenet标架{ri；αi,βi,γi}和Frenet标架{ri+1；αi+1,βi+1,γi+1}；OF(i)和OF(i+1)是刀路曲线上相邻的点，且分别是相邻的ti时刻和ti+1时刻的刀触点；构成Frenet标架的相关矢量满足如下Frenet公式：
Figure FDA0002774532310000023
其中，r、α、β、γ、K和τ分别表示同一刀触点处的径矢、切矢、主法矢、副法矢，以及刀路曲线的曲率和挠率；
利用Frenet标架{ri；αi,βi,γi}和Frenet标架{ri+1；αi+1,βi+1,γi+1}分别构建笛卡尔坐标系Fra(i)和Fra(i+1)；
结合Frenet公式将刀路曲线在OF(i)点进行Taylor展开后表示为矩阵形式，并进行其次坐标变换，得到笛卡尔坐标系Fra(i+1)到Fra(i)的齐次坐标变换矩阵为：
Figure FDA0002774532310000031
其中，a11～a14、a21～a24、a31～a34均为含有Ki、τi和Δd的表达式，Δd表示刀刃微元Q从ti时刻到ti+1时刻的弧长；
在刀触点OF(i)和OF(i+1)处分别建立进给坐标系FCS(i)和FCS(i+1)；XF(i)、YF(i)和ZF(i)分别表示进给坐标系FCS(i)的坐标轴，XF(i)轴与αi重合，ZF(i)轴表示设计表面在OF(i)点处的刀具侧单位法矢；XF(i+1)、YF(i+1)和ZF(i+1)分别表示进给坐标系FCS(i+1)的坐标轴，XF(i+1)轴与αi+1重合，ZF(i+1)轴表示设计表面在OF(i+1)点处的刀具侧单位法矢；
根据所建立的进给坐标系FCS(i)和FCS(i+1)，计算进给坐标系从OF(i)点到OF(i+1)点的变化为：
Figure FDA0002774532310000032
其中，
Figure FDA0002774532310000033
Figure FDA0002774532310000034
θi表示ZF(i)轴绕αi旋转至γi所历经的角度，θi+1表示ZF(i+1)轴绕αi+1旋转至γi+1所历经的角度；c表示cos，s表示sin；
在进给坐标系FCS(i)中表示Qi点到Qi+1点的位移
Figure FDA0002774532310000035
得到表达式：
Figure FDA0002774532310000036
由此得到刀刃微元Q在ti时刻的第一瞬时速率为：
Figure FDA0002774532310000041
其中，
Figure FDA0002774532310000042
表示刀刃微元Q在进给坐标系FCS(i+1)中的坐标，
Figure FDA0002774532310000046
表示刀刃微元Q在进给坐标系FCS(i)中的坐标；Qi和Qi+1分别表示刀刃微元Q在ti时刻和ti+1时刻的位置。
4.如权利要求3所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，进给坐标系中刀刃微元Q在ti时刻由于姿态变动产生的第二瞬时速度为：
Figure FDA0002774532310000043
其中，
Figure FDA0002774532310000044
l和tilt分别表示ti时刀具的前倾角leadi和侧倾角tilti；c表示cos，s表示sin；ri、
Figure FDA0002774532310000045
和κi分别表示ti时刻刀触点OF(i)的切削半径、径向位置角和轴向接触角。
5.如权利要求4所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，利用Frenet标架对所述姿态变动建模，包括：
不考虑进给运动，将进给坐标系FCS(i)和FCS(i+1)统一记作FCS；
在进给坐标系中表示Qi点到Qi+1点的位移，并对时间求导，得到刀刃微元Q在Qi点的第二瞬时速度为：
Figure FDA0002774532310000051
6.如权利要求1-5任一项所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面的计算方法，其特征在于，将所述运动旋量[VF]变换至刀具坐标系下，得到所述刀刃微元Q在刀具坐标系下的运动旋量[VT]，包括：
在刀具平动时，按照ωT＝0、
Figure FDA0002774532310000052
计算刀刃微元Q在所述运动旋量[VT]作用下的瞬时速度vT和角速度ωT，由此得到所述刀具在刀具坐标系下的运动旋量为[VT]＝(vT,0)；
在刀具旋转时，按照
Figure FDA0002774532310000053
hT＝hF、
Figure FDA0002774532310000054
计算刀刃微元Q在所述运动旋量[VT]作用下的瞬时速度vT和角速度ωT，由此得到所述刀具在刀具坐标系下的运动旋量为[VT]＝(vT,ωT)；
其中，rT为刀具坐标系中的径矢，hT为刀具坐标系中的旋距，hF为进给坐标系中的旋距，rF为进给坐标系中的正交位置向量；
Figure FDA0002774532310000055
表示进给坐标系到刀具坐标系的旋转变换矩阵，
Figure FDA0002774532310000056
表示进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵。
7.如权利要求6所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，计算刀具坐标系中刀刃微元Q在所述运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点坐标，包括：
按照
Figure FDA0002774532310000057
计算刀刃微元Q在所述运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点Qs的坐标；ω1＝[ω1x ω1y ω1z]T＝ωT/|ωT|，RP＝[Rx Ry Rz]T＝Q-rT，θ＝|ωT|t；
将Qs的坐标转换为与所述刀具的轴向高度z、径向接触角
Figure FDA0002774532310000068
以及时间t相关的表达式如下：
Figure FDA0002774532310000061
其中，rTx、rTy、rTz分别代表旋转运动轴线上一点在刀具坐标系下的x、y、z坐标；ωTx、ωTy、ωTz分别代表旋转运动轴线在刀具坐标系下的x、y、z方向矢量；Rx、Ry、Rz分别代表刀刃微元Q到旋转运动轴线上一点在刀具坐标系下x、y、z方向的距离位置矢量；c表示cos，s表示sin。
8.如权利要求7所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，计算所述刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面，包括：
基于刀具坐标系中刀刃微元Q在所述运动旋量[VT]的作用下经历时间t后所移动到的位置点Qs的坐标，按照
Figure FDA0002774532310000062
计算所述刀具在ti～ti+1时间段内做旋量运动的包络面。
9.如权利要求1所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，将包络面点簇
Figure FDA0002774532310000063
转换至工件坐标系中，得到工件坐标系统中所述刀具在ti～ti+1时间段内的包络面点簇Πi (WCS)，包括：
按照
Figure FDA0002774532310000064
将包络面点簇
Figure FDA0002774532310000065
转换至工件坐标系中；
其中，
Figure FDA0002774532310000066
表示在ti时刻进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵，
Figure FDA0002774532310000067
表示在ti时刻进给坐标系到工件坐标系的齐次坐标变换矩阵。
10.如权利要求1所述的基于运动旋量的五轴加工刀具包络面计算方法，其特征在于，刀具坐标系到进给坐标系的旋转变换矩阵为：
Figure FDA0002774532310000071
进给坐标系到刀具坐标系的齐次坐标变换矩阵为：
Figure FDA0002774532310000072
进给坐标系到工件坐标系的其次坐标变换矩阵为：
Figure FDA0002774532310000073
其中，lead为前倾角，tilt为侧倾角，OF (TCS)表示刀触点OF在刀具坐标系中的坐标，XF、YF和ZF分别表示以刀触点为OF原点的进给坐标系的三个坐标轴，XF (WCS)、YF (WCS)和ZF (WCS)表示进给坐标系的对应坐标轴在工件坐标系中的坐标。
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