CN109062140A - 一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法 - Google Patents

Abstract

一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法，该方法首先建立工件坐标系，确定当前参与切削刀刃的刀具圆柱运动方程，以及之前各刀刃对应的刀具圆柱位置；再建立刀具坐标系，将刀刃沿轴向离散成微元，考虑刀具偏心作用，确定各刀刃微元点在刀具坐标系下的坐标；建立坐标变换矩阵，将刀具坐标系下的各点坐标转换到工件坐标系下；将切屑厚度的计算问题转变为计算某一定点的直线与已知曲面的交点问题。本发明充分考虑了刀具的轴向偏心与径向偏心，所提供的计算方法能够高精度、高效率地计算五轴侧铣加工过程中的瞬时未变形切屑厚度，解决了现有方法在使用过程中预测精度差和计算效率低的问题，为计算切削力提供了基础。

Description

一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法

技术领域

本发明涉及一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法，对实现铣削力预测和加工仿真具有重要意义，本发明属于机械机加工技术领域。

技术背景

切削力是切削过程中的重要物理参数,是金属切削过程中必不可少的重要因素，切削力的不稳定不仅可能造成刀具的折断、崩刃、欠切、过切等现象，也会对工件表面质量产生影响。而切削力模型是加工状态物理仿真研究的基础，通过切削力模型预测不同加工条件下的切削力，为进一-步优化切削参数、预测切削系统振动、监控刀具磨损和破损、进行加工误差分析提供理论依据，因此建立合理的切削力模型对研究切削机理和指导实际切削加工具有重要意义。

但在实际数控加工中，由于刀具存在制造与安装的误差，所以在切削过程中不可避免的存在径向偏心和轴向偏心，使切削力产生波动，容易产生过切、欠切等现象，影响加工精度及表面质量。因而准确计算刀具跳动时的未变形切屑厚度成为了重中之重。

文献1“Xing Z,Jun Z,Bo P,WanHua Z.An accurate prediction method ofcutting forces in 5-axis flank milling of sculptured surface[J].InternationalJournal of Machine Tools&Manufacture,2016,104(2016):26-36.”公开了一种五轴机床的切削力高精度预测方法，包括了一种对瞬时未切屑厚度的计算方法。并通过仿真切削力与实测切削力的对比，验证了该方法的有效性。然而该方法在计算瞬时未切屑厚度时运用了迭代求解的思想，使求解速率降低。

文献2“Qiang G,Bo Z,Yan J,Wu Z.Cutting force modeling for non-uniformtools base on compensated chip thickness in five-axis flank milling process[J].Precision Engineering,2018,51(2018):659-681.”公开了一种五轴机床的切削力高精度预测方法，包括一种对瞬时未变形力厚度的计算方法。并通过仿真切削力与实测切削力对比，验证了该方法的有效性。相比文献1，文献2的计算速率有明显提高，然而该方法没有考虑刀具偏心，使得计算结果与实际情况不符。

为了提高切削力预测的运算速度，同时考虑到实际加工情况。本发明在考虑刀具轴向偏心和径向偏心的情况下，设计了一种数形结合的方法对切屑厚度进行了准确地计算，解决了加工过程中切屑厚度的计算问题。本发明所提供的计算方法能够高精度地计算切屑厚度，并为计算切削力提供了基础。

在保证计算精度的前提下，为了提高铣削力预测中切屑厚度的计算速率，同时考虑存在刀具偏心的实际条件，本发明提供了一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法。

本发明是通过如下技术方案实现的:

一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系，确定当前参与切削刀刃的刀具圆柱位置坐标，以及之前各刀刃对应的刀具圆柱位置坐标:

1)在立式铣削加工中心工件固定位置建立坐标系O_W-XYZ，取工件端面中心点为坐标原点O_W点，工件坐标系的三个坐标轴分别为X_W轴、Y_W轴和Z_W轴；

2)建立刀具下底面中心点Q₀(t)、刀具轴向切深上端面O₀(t)在工件坐标系下运动的参数方程，其中Q₀(t)的坐标为:

O₀(t)的坐标为:

其中,r₁为Q₀(t)点与工件坐标系Z_W轴的距离；r₂为O₀(t)点与工件坐标系Z_W轴的距离，r₂＝r₁+h₂sin(θ_y(t))，h₂为刀具轴向切深；ω₁为刀具下底面中心点Q₀(t)绕工件坐标原点运动的角速度；t为累计转过角度步长的时间；h₁为刀具下底面中心点Q₀(t)与工件坐标系坐标原点O_W在Z_W方向垂直高度,θ_y(t)为刀具绕工件坐标系Y_W轴旋转的角度函数；

3)此时相应位置前1,2,3...N_f齿的刀具圆柱位置坐标刀具下底面中心点Q_k(t))表示为:

其中k＝1,2,3...N_f；为刀具自转一周的时间，N_f为刀齿个数；

步骤2，建立刀具坐标系，将刀刃沿轴向离散成微元，考虑刀具偏心作用，确定各刀刃微元点在刀具坐标系下的坐标；

1)在立式铣刀加工中心刀柄下端面中心处建立刀具坐标系O_C-XYZ，取刀柄下端面中心为刀具坐标系的坐标原点O_C，初始时刻刀具坐标系的X_C轴，Y_C轴和Z_C轴分别平行于工件坐标系的X_W轴，Y_W轴和Z_W轴；

2)将刀刃离散化处理，点P_i,j(t)为刀具第i个刀齿，第j个微元在刀具坐标系内t时刻的坐标为:

其中，R_i,j为第i个齿、第j个微元的刀刃半径；ω₂为刀具转动的角速度；dz为刀刃离散微元高度R未偏心时的刀具半径，α_helix为刀具的螺旋角，N_f为刀齿个数，ρ为刀具的轴向偏心值，λ为刀具的径向偏心值；

步骤3，根据确定的刀刃运动方程建立坐标变换矩阵，将刀具坐标系下的各点坐标转换到工件坐标系下描述；

刀具加工时绕工件坐标轴Y_W转过的角度为θ_y(t),得到绕Y_W轴的旋转矩阵为:

刀具加工时绕工件坐标轴Z_W转过的角度为ω₁*t,得到绕Z_W轴的旋转矩阵为:

根据步骤1中2)的刀具运动的参数方程和步骤2中2)的刀刃微元在刀具坐标系下的坐标，则当前第i齿、第j个微元高度，任意时刻的刀刃微元在工件坐标系下的坐标为:

步骤4，定义切屑厚度，并将切屑厚度的计算问题转变为计算过某一定点的直线与已知曲面的交点问题；

记当前时刻切削的i齿，第j个微元高度的切削微元的刀刃点为P_i,j,w(t),该时刻刀具圆柱轴上与之同为第j个微元高度的点为S_6,j,w(t),直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前1,2,3...N_f齿的切削轨迹曲面交点为S_2,k，点S_2,k与点P_i,j,w(t)的距离h_i,j,k等于为其中为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度；

根据以上所述，定义切屑厚度为:

h＝max(0,min(h_i,j,k))

其中min(h_i,j,k)为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度的最小值，max(0,min(h_i,j,k))为0和min(h_i,j,k)的最大值；

步骤5，根据圆柱与直线交点和一些几何关系求解直线与曲面的交点；并根据求解出来的交点计算切屑厚度；

通过以下方法求解S_2,k点的坐标，并得到切屑厚度:

1)1)将直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)向前T/N_f时刻刀具圆柱底面投影，得到投影面方程为:

X+B1Y+C1Z+D1＝0

其中B1，C1，D1均为常数；

根据Q₀(t)点坐标和O₀(t)点坐标得到圆柱底面方程为:

A2X+B2Y+C2Z+D2＝0

其中A2，B2，C2，D2均为常数；

根据Q₀(t)的坐标得到圆柱底面圆所在球面方程为:

其中R_i,1是第i齿，第1个微元高度的刀具半径；

联立投影面方程、圆柱底面方程、圆柱底面圆所在球面方程得到两个交点，记距离切削微元的刀刃点P_i,j,w(t)最近的点为S_1,1,S2，将S_1,1,S2沿着前T/N_f时刻刀具圆柱法向量前进j长度得到S_1,1，将S_1,1经过工件坐标系与刀具坐标系的逆变换得到S_1,1在前T/N_f时刻刀具圆柱中的第j₁个微元高度，记前T/N_f时刻刀具在第j₁个微元高度的切削点坐标为S_7,1，记前T/N_f时刻刀具在第j₁个微元高度的圆柱中心点为

2)计算直线与直线所形成的锐角记刀具在第j₁个微元高度处从切削点S_7,1运动到切削点S_1,1所需时间为Δt₁，得Δt₁的表达式为:

3)根据步骤5中1)所述方法，同理得到刀具在t-T/N_f+Δt₁时刻的刀具圆柱与直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)的交点，取距离P_i,j,w(t)最近的点，记为S_2,1,S2，再沿该圆柱法向量移动得到S_2,1；

4)同理计算直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前2,3...N_f齿切削轨迹曲面的交点 将求解结果代入步骤4的厚度公式中即得到定义的切屑厚度。

本发明与现有技术相比，具有以下优点及突出性技术效果：本发明充分考虑刀具的轴向偏心与径向偏心，在保证计算精度的前提下尽可能提高计算速率，通过几何关系求得高精度的切屑厚度表达式，计算结果与现有技术相比兼具速度和精度，具有广阔的应用前景。同时，对于铣削力的预测具有重要意义。

附图说明

图1是前切削点与前一刀齿轨迹间的几何关系图。

图2是刀具与加工件的位置关系图。

图3是用投影法求S_1,1点的空间几何示意图。

图4是考虑刀具偏心情况下切屑厚度的定义图。

附图标记：1—前一刀齿轨迹曲面；2—当前刀齿轨迹曲面；3—前T/4时刻的圆柱面；4—前T/4+Δt₁时刻的圆柱面；5—当前刀具圆柱第j个微元高度的中心点；6—前T/4时刻刀具圆柱第j个微元高度的中心点；7—前T/2时刻刀具圆柱第j个微元高度的中心点；8—前3T/4时刻刀具圆柱第j个微元高度的中心点；9—前T时刻刀具圆柱第j个微元高度的中心点。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

图1为计算S_2,k时用到的几何关系示意图，其中圆1是以为圆心，R_i-1,j为半径的圆，点运动到的时间Δt₁用S_7,1绕圆1到S_1,1的时间近似代替，该段时间相对很短，产生误差小。得到以该点所在圆柱轴向量和半径R_i-1,j做圆柱，与直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)的交点即为S_2,1，同理得将求得S_2,k点后，其中k＝1,2,3...N_f，代入定义的厚度公式得到瞬时未变形切屑厚度。本发明提供的一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法首先建立工件坐标系，考虑刀具偏心，确定当前刀刃运动参数方程，以及相应位置前1,2,3...N_f齿的刀具圆柱位置。其次，建立刀具坐标系，将刀刃离散成微元，确定指定刀刃微元点在刀具坐标系下的坐标。然后根据建立的刀刃运动参数方程建立工件坐标系和刀具坐标系之间的变换矩阵，并把刀具坐标系下的坐标转换到工件坐标系下；再次定义切屑厚度，并将切屑厚度的计算问题转变为计算过某一定点的直线与已知曲面的交点问题，最后根据圆柱与直线交点和一些几何关系求解直线与曲面的交点。并根据求解出来的交点计算切屑厚度。本发明所提供的计算方法能够高精度，高效率地计算切屑厚度，并且为精确，高效的计算切削力提供了基础。其具体实施步骤如下：

步骤1，建立工件坐标系，并确定当前刀刃对应的刀具圆柱和之前各刀刃对应的刀具圆柱位置坐标:

1)如图2所示，在立式铣削加工中心工件固定位置建立坐标系O_W-XYZ，取工件端面中心点为坐标原点O_W点，工件坐标系的三个坐标轴分别为X_W轴、Y_W轴和Z_W轴；

2)建立刀具下底面中心点Q₀(t)、刀具轴向切深上端面O₀(t)在工件坐标系下运动的参数方程，其中Q₀(t)的坐标为:

O₀(t)的坐标为:

其中,r₁为Q₀(t)点与工件坐标系Z_W轴的距离；r₂为O₀(t)点与工件坐标系Z_W轴的距离，r₂＝r₁+h₂sin(θ_y(t))，h₂为刀具轴向切深；ω₁为刀具下底面中心点Q₀(t)绕工件坐标原点运动的角速度；t为累计转过角度步长的时间；h₁为刀具下底面中心点Q₀(t)与工件坐标系坐标原点O_W在Z_W方向垂直高度,θ_y(t)为刀具绕工件坐标系Y_W轴旋转的角度函数；

3)此时相应位置前1,2,3...N_f齿的刀具圆柱位置坐标(刀具底面圆心坐标)表示为:

其中k＝1,2,3...N_f；为刀具自转一周的时间，N_f为刀齿个数；

步骤2，建立刀具坐标系，将刀刃沿轴向离散成微元，考虑刀具偏心作用，确定各刀刃微元点在刀具坐标系下的坐标:

1)如图2所示，在立式铣刀加工中心刀柄下端面中心处建立刀具坐标系O_C-XYZ，取刀柄下端面中心为刀具坐标系的坐标原点O_C，初始时刻刀具坐标系的X_C轴，Y_C轴和Z_C轴分别平行于工件坐标系的X_W轴，Y_W轴和Z_W轴；

2)将刀刃离散化处理，点P_i,j(t)为刀具第i个刀齿，第j个微元在刀具坐标系内t时刻的坐标为:

其中R_i,j为第i个齿,第j个微元的刀刃半径，ω₂为刀具转动的角速度，dz为刀刃离散微元高度R为未偏心时的刀具半径，α_helix为刀具的螺旋角，N_f为刀齿个数，ρ为刀具的轴向偏心值，λ为刀具的径向偏心值；

步骤3，根据确定的刀刃运动方程建立坐标变换矩阵，将刀具坐标系下的各点坐标转换到工件坐标系下描述:

刀具加工时绕工件坐标轴Y_W转过的角度为θ_y(t),得到绕Y_W轴的旋转矩阵为:

刀具加工时绕工件坐标轴Z_W转过的角度为ω₁*t,得到绕Z_W轴的旋转矩阵为:

根据步骤1中2)的刀具运动参数方程和步骤2中2)的刀刃微元在刀具坐标系下的坐标，则当前第i齿，第j个微元高度，任意时刻的刀刃微元在工件坐标系下的坐标为:

步骤4，定义切屑厚度，并将切屑厚度的计算问题转变为计算过某一定点的直线与已知曲面的交点问题；

如图1所示，记当前时刻切削的i齿，第j个微元高度的切削微元的刀刃点为P_i,j,w(t),该时刻刀具圆柱轴上与之同为第j个微元高度的点为S_6,j,w(t),直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前1,2,3...N_f齿的切削轨迹曲面交点为S_2,k，点S_2,k与P_i,j,w(t)的距离h_i,j,k记为其中为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度；

根据以上所述，定义切屑厚度为:

h＝max(0,min(h_i,j,k))

其中min(h_i,j,k)为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度的最小值，max(0,min(h_i,j,k))为0和min(h_i,j,k)的最大值；

步骤5，根据圆柱与直线交点和一些几何关系求解直线与曲面的交点；并根据求解出来的交点计算切屑厚度；

通过以下方法求解S_2,k点的坐标，并得到切屑厚度:

1)如图3所示，将直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)向前T/N_f时刻刀具圆柱底面投影，得到投影面方程为:

X+B1Y+C1Z+D1＝0

其中B1，C1，D1均为常数；

根据Q₀(t)点坐标和O₀(t)点坐标得到圆柱底面方程为:

A2X+B2Y+C2Z+D2＝0

其中A2，B2，C2，D2均为常数；

根据Q₀(t)的坐标得到圆柱底面圆所在球面方程为:

其中R_i,1是第i齿，第1个微元高度的刀具半径；

联立投影面方程、圆柱底面方程、圆柱底面圆所在球面方程得到两个交点，记距离切削微元的刀刃点P_i,j,w(t)最近的点为S_1,1,S2，将S_1,1,S2沿着前T/N_f时刻刀具圆柱法向量前进j长度得到S_1,1，将S_1,1经过工件坐标系与刀具坐标系的逆变换得到S_1,1在前T/N_f时刻刀具圆柱中的第j₁个微元高度，记前T/N_f时刻刀具在第j₁个微元高度的切削点坐标为S_7,1，记前T/N_f时刻刀具在第j₁个微元高度的圆柱中心点为

2)计算直线与直线所形成的锐角记刀具在第j₁个微元高度处从切削点S_7,1运动到切削点S_1,1所需时间为Δt₁，得Δt₁的表达式为:

3)根据步骤5中1)所述方法，同理得到刀具在t-T/N_f+Δt₁时刻的刀具圆柱与直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)的交点，取距离P_i,j,w(t)最近的点，记为S_2,1,S2，再沿该圆柱法向量移动得到S_2,1；

4)同理计算直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前2,3...N_f齿切削轨迹曲面的交点 将求解结果代入步骤4的厚度公式中即得到定义的切屑厚度。

实施例1：立铣刀五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算

1)选定普通立铣刀的刀具半径R＝6mm、刀齿数N_f＝4、螺旋角β＝35°，工件材料为7075铝合金，设定加工工件坐标系O_W-XYZ，其中原点O_W位于工件端面拐角处，X_W轴对应刀具进给方向，Z_W轴沿着刀轴矢量竖直向上，Y_W轴根据右手定则确定，主轴转速n＝2500r/min，在轴向切削深度a_p＝4mm和每齿进给量f_t＝0.10mm/z，径向切削深度为6mm，图2中h₁＝10mm，选取的待加工表面为圆锥面，圆锥面方程为:

其中u∈[0,1]

由上述圆锥面方程得到θ_y(t)为固定值

由工件参数和初始位置计算

ω₁＝(f_z/((60/2500)/4)))/(10tan(θ_y)+35)≈0.4065rad/s

r₁＝35+10tan(θ_y)＝41mm

r₂＝35+10tan(θ_y)+4sin(θ_y)≈43.058mm

T＝60/n＝0.024s

2)确定当前参与切削刀刃的位置坐标，以及之前各刀刃对应的刀具圆柱位置坐标；t时刻刀具底面中心点Q₀(t)运动的参数方程为:

上端面O₀(t)运动的参数方程为:

前各刀刃对应的刀具圆柱位置坐标(刀具底面圆心坐标)表示为:

其中k＝1，2，3，4；

3)建立刀具坐标系，将刀刃沿轴向离散成微元，确定各刀刃微元点在刀具坐标系下的坐标；

如图2所示，在立式铣刀加工中心刀柄下端面中心处建立坐标系O_C-XYZ，取刀柄下端面中心为O_C-XYZ的坐标原点，刀柄轴线作为O_C-XYZ的Z_C轴，未旋转时，O_C-XYZ的X_C轴，Y_C轴和Z_C轴分别平行于O_W-XYZ轴的X_W轴，Y_W轴和Z_W轴，由已知条件得:

ω₂＝2500*2π/60＝261.8rad/s

将刀刃离散化处理，轴向高度离散成每份0.01mm的微圆，径向角度离散成每份0.01rad的时间步长，点P_i,j(t)为刀具第i个刀齿，第j个微元在刀具坐标系O_C-XYZ内t时刻的坐标为:

取刀具轴向偏心量λ＝16°，径向偏心量ρ＝14μm，则上述公式中

4)根据确定的刀刃运动方程建立坐标变换矩阵，将刀具坐标系下的各点坐标转换到工件坐标系下描述；

刀具加工时绕工件坐标轴Y_W转过的固定角度为0.54rad,得到绕Y_W轴的旋转矩阵为:

刀具加工时绕工件坐标轴Z_W转过的固定角度为0.4065t,得到绕Z_W轴的旋转矩阵:

根据1)中的刀具运动参数方程和2)中的刀刃微元在刀具坐标系下的坐标，即当前第i齿，第j个微元高度，任意时刻的刀刃微元在工件坐标系下的坐标P_i,j,w(t)为:

5)求解S_2,1点坐标，先求S_1,1点坐标，将t时刻的直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)向前T/4时刻刀具圆柱底面投影，其中S_6,j,w(t)的坐标为:

如图3所示，投影面S1与前T/4时刻刀具圆柱底面S2垂直，设面S1的法向量为为(1，B1，C1)，由几何关系得:

由于面S1过P_i,j,w(t)点，点P_i,j,w(t)坐标如4)中所述，得面S1方程为:

由底面S2过Q₁(t)点，且S2的法向量为得面S2方程为:

2.058cos(π-0.4065t)X+2.058sin(π-0.4065t)+3.43Z-118.68＝0

底面圆球心坐标为得球面方程为:

由上述三个方程得两个交点，选取距离P_i,j,w(t)最近的点记为S_1,1,S2点坐标，将S_1,1,S2沿方向前进j长度得到S_1,1点坐标:

其中向量由2)中Q₀(t)和O₀(t)的运动参数方程得:

将得到的S_1,1点坐标按4)中所述方法求解逆变换，即得:

其中变换后的Z值即为S_1,7点所在的第j₁个离散微元高度，得到S_7,1点坐标为:

由2)中所述知点坐标，计算直线与直线所形成的锐角得到:

6)根据5)中所述方法，同理得刀具在t-T/4+Δt₁时刻的刀具圆柱底面与直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)的交点，取距离P_i,j,w(t)最近的点，记为S_2,1,S2，再沿该圆柱法向量移动得到S_2,1；

7)同理计算直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前2，3，4齿切削轨迹曲面的交点S_2,2，S_2,3，S_2,4；点S_2,k与P_i,j,w(t)的距离h_i,j,k记为其中为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度；

如图4所示，当前刀齿与前1，2，3，4齿切屑厚度有不同h_i,j,k值，据定义的切屑厚度值得t时刻切屑厚度为:

h＝max(0,min(h_i,j,k))。

Claims (1)

1.一种五轴侧铣加工过程中瞬时未变形切屑厚度计算方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤1,建立工件坐标系，并确定当前刀刃对应的刀具圆柱和之前各刀刃对应的刀具圆柱位置坐标:

1)在立式铣削加工中心工件固定位置建立坐标系O_W-XYZ，取工件端面中心点O_W为坐标原点，工件坐标系的三个坐标轴分别为X_W轴、Y_W轴和Z_W轴；

2)建立刀具下底面中心点Q₀(t)、刀具轴向切深上端面O₀(t)在工件坐标系下运动的参数方程，其中Q₀(t)的坐标为:

O₀(t)的坐标为:

其中,r₁为Q₀(t)点与工件坐标系Z_W轴的距离；r₂为O₀(t)点与工件坐标系Z_W轴的距离，r₂＝r₁+h₂sin(θ_y(t))，h₂为刀具轴向切深；ω₁为刀具下底面中心点Q₀(t)绕工件坐标原点运动的角速度；t为累计转过角度步长的时间；h₁为刀具下底面中心点Q₀(t)与工件坐标系坐标原点O_W在Z_W方向垂直高度,θ_y(t)为刀具绕工件坐标系Y_W轴旋转的角度函数；

3)在工件坐标系下前各刀刃圆柱对应的坐标表示为:

其中，k＝1,2,3...N_f；T为刀具自转一周的时间，N_f为刀齿个数；

步骤2,建立刀具坐标系；将刀刃沿轴向离散成微元，确定各刀刃微元点在刀具坐标下的坐标：

1)在立式铣刀加工中心刀柄下端面中心处建立刀具坐标系O_C-XYZ，取刀柄下端面中心为刀具坐标系的坐标原点O_C，初始时刻刀具坐标系的X_C轴、Y_C轴和Z_C轴分别平行于工件坐标系的X_W轴、Y_W轴和Z_W轴；

2)将刀刃离散化处理，点P_i,j(t)为刀具第i个刀齿、第j个微元在刀具坐标系内t时刻的坐标为:

其中，R_i,j为第i个齿、第j个微元的刀刃半径；ω₂为刀具转动的角速度；dz为刀刃离散微元高度R未偏心时的刀具半径，α_helix为刀具的螺旋角，N_f为刀齿个数，ρ为刀具的轴向偏心值，λ为刀具的径向偏心值；

步骤3,建立工件坐标系和刀具坐标系的变换矩阵；将刀具坐标系下的各点坐标转换到工件坐标系下描述:

刀具加工时绕工件坐标轴Y_W转过的角度为θ_y(t),得到绕Y_W轴的旋转矩阵为:

刀具加工时绕工件坐标轴Z_W转过的角度为ω₁*t,得到绕Z_W轴的旋转矩阵为:

根据步骤1中2)的刀具运动的参数方程和步骤2中2)的刀刃微元在刀具坐标系下的坐标，则当前第i齿、第j个微元高度，任意时刻的刀刃微元在工件坐标系下的坐标为：

步骤4，定义切屑厚度:

记当前时刻切削的i齿，第j个微元高度的切削微元的刀刃点为P_i,j,w(t),该时刻刀具圆柱轴上与之同为第j个微元高度的点为S_6,j,w(t),直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前1,2,3...N_f齿的切削轨迹曲面交点为S_2,k，点S_2,k与点P_i,j,w(t)的距离h_i,j,k等于为其中为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度；

根据以上所述，定义切屑厚度为:

h＝max(0,min(h_i,j,k))

其中，min(h_i,j,k)为S_6,j,w(t)点与S_2,k点组成的线段长度的最小值，max(0,min(h_i,j,k))为0和min(h_i,j,k)的最大值；

步骤5，求解S_2,k点的坐标，并得到切屑厚度:

1)将直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)向前T/N_f时刻刀具圆柱底面投影，得到投影面方程为:

X+B1Y+C1Z+D1＝0

其中B1，C1，D1均为常数；

根据Q₀(t)点坐标和O₀(t)点坐标得到圆柱底面方程为:

A2X+B2Y+C2Z+D2＝0

其中A2，B2，C2，D2均为常数；

根据Q₀(t)的坐标得到圆柱底面圆所在球面方程为:

其中R_i,1是第i齿，第1个微元高度的刀具半径；

联立投影面方程、圆柱底面方程、圆柱底面圆所在球面方程得到两个交点，记距离切削微元的刀刃点P_i,j,w(t)最近的点为S_1,1,S2，将S_1,1,S2沿着前T/N_f时刻刀具圆柱法向量前进j长度得到S_1,1，将S_1,1经过工件坐标系与刀具坐标系的逆变换得到S_1,1在前T/N_f时刻刀具圆柱中的第j₁个微元高度，记前T/N_f时刻刀具在第j₁个微元高度的切削点坐标为S_7,1，记前T/N_f时刻刀具在第j₁个微元高度的圆柱中心点为

2)计算直线与直线所形成的锐角记刀具在第j₁个微元高度处从切削点S_7,1运动到切削点S_1,1所需时间为Δt₁，得Δt₁的表达式为:

3)根据步骤5中1)所述方法，同理得到刀具在t-T/N_f+Δt₁时刻的刀具圆柱与直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)的交点，取距离P_i,j,w(t)最近的点，记为S_2,1,S2，再沿该圆柱法向量移动得到S_2,1；

4)同理计算直线P_i,j,w(t)-S_6,j,w(t)与前2,3...N_f齿切削轨迹曲面的交点 将求解结果代入步骤4的厚度公式中即得到定义的切屑厚度。