CN106934170B - 基于球头铣刀与工件接触区域的颤振稳定域叶瓣图建模方法 - Google Patents
基于球头铣刀与工件接触区域的颤振稳定域叶瓣图建模方法 Download PDFInfo
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Abstract
基于球头铣刀与工件接触区域的颤振稳定域叶瓣图建模方法，以铣削系统二阶动力学方程的全离散时域求解法为主线，在球头铣刀单齿切削周期内是圆弧切削和时滞周期等于单齿切削周期的基础上，通过球头铣刀与工件的接触区域投影边界方程和切削刃不同时刻的投影方程，提取出在一个时滞周期内不同时刻参与切削的刀刃数目和参与切削刀刃的实际切削部位，构建出球头铣刀切削过程中颤振稳定域叶瓣图。本发明并不局限于三轴机床上平面加工，获得球头铣刀获得球头铣刀与工件的在某个刀位点接触区域，运用该方法就能构建出该刀位点的叶瓣图。
Description
技术领域
本发明属于先进制造技术领域，涉及到铣削切削过程中颤振稳定域建模方法，尤其是在数控机床上球头铣刀切削过程中颤振稳定域叶瓣图建模方法。
背景技术
作为国家经济增长支柱的制造业是一个传统的领域，它已经发展了上百年，建立了比较系统的理论体系，积累了丰富的实践经验，但随着科学技术水平的提高，机械制造业面临着新的挑战，迫使机械制造技术向着高速、高效和高精度方向发展。
高速铣削加工是先进制造技术中最重要的基础技术之一，是目前最重要、应用最普遍的加工方式，然而在高速铣削过程中不合适的切削参数导致的切削颤振严重地影响到了加工效率、精度、质量以及稳定性，是制约高速铣削技术快速发展的关键因素。
国内外学者对切削颤振进行了大量探索，研究了多种颤振形成的机理，其中再生型颤振是人们认为产生切削过程中产生颤振最直接、最根本的原因。如图1所示，再生型颤振理论指出，由于机床结构振动，当刀具进行切削时，工件的已加工表面会留下表面振纹，当刀具再一次切削到这些遗留有振纹的工件表面时，瞬时切削厚度由名义切削厚度和动态切削厚度叠加组成，这种切削厚度的变化引起切削力的波动，反过来又引起切削刀具和工件之间的相对振动，使刀具和工件在切削过程中产生振动位移，从而再次在工件已加工表面留下振纹，根据前后两次振纹之间的相位差，在靠近但不等于加工系统主结构模态的颤振频率处，随着加工系统的切削厚度不断增长，造成切削力和振动位移的不断上升现象，切削力向振动系统输入能量，这种情况越来越强，就会形成强烈的自激振动，这种自激振动就是再生颤振，图2为再生颤振机理模型。
目前，避免切削颤振最有效办法是在加工前构建铣削颤振稳定域叶瓣图，即在给定切削条件下，绘制出轴向临界切削深度随主轴转速变化的函数关系。叶瓣图的构建能够为加工前切削参数的选择提供指导，可以有效防止加工中颤振的发生。
球头铣刀是典型的点接触加工刀具，具有很好的法矢自适应性，是高速铣削加工中应用最广的刀具之一，因此构造出针对球头铣刀加工过程中的稳定性叶瓣图意义重大。然而目前颤振稳定域叶瓣图建模方法如ZOA法和在它基础上发展起来的时域法主要是针对圆柱形铣刀，球头形的铣刀的方法很少，同时传统方法在建模过程中无法精准确定瞬时参与切削的刀齿数目和参与切削刀齿的实际切削部位，而只能以三轴数控机床平面加工的工件为对象进行叶瓣图构建，同时在建模过程中将铣刀切削刃的螺旋角视为零度来进行简化，这些都严重影响了叶瓣图的适用范围，降低了叶瓣图精准度。因此如何针对球头铣刀提出一种适用范围广，精准度高的颤振稳定域叶瓣图方法将是一个亟待解决的问题。
球头铣刀和工件的接触区域是指在加工过程中刀具切入工件的区域。高速铣削条件下，在单齿切削周期内，球头铣刀可以认为是圆弧切削，因此铣刀-工件接触区域蕴含着在该单齿切削周期内铣刀瞬时参与切削的刀刃数目和参与切削刀刃的实际切削部位等众多信息。
由于与球头铣刀轴线垂直的平面和铣刀球头坐标值存在一一映射关系，因此将刀具与工件的接触区域和刀齿的切削刃投影到该平面，获取单齿切削周期不同时刻的刀刃投影与接触区域投影边界的相交情况，就能够得到构建叶瓣图时所需要的球头铣刀瞬时参与切削的刀刃数目和参与切削刀刃的实际切削部位等信息。
发明内容
本发明提供一种球头铣刀加工过程中颤振稳定域叶瓣图构建方法。以铣削系统二阶动力学方程的全离散时域求解法为主线，在球头铣刀单齿切削周期内是圆弧切削和时滞周期等于单齿切削周期的基础上，通过球头铣刀与工件的接触区域投影边界方程和切削刃不同时刻的投影方程的关系，提取出在一个时滞周期内不同时刻参与切削的刀刃数目和参与切削刀刃的实际切削部位，构建出球头铣刀切削过程中颤振稳定域叶瓣图。
本发明的技术方案如下：
一种球头铣刀加工过程中颤振稳定域叶瓣图构建方法，包括以下步骤：
步骤1，建立球头铣刀刀具-工件动力学方程
如图3所示，将球头铣刀刀具-工件系统简化为二自由度系统，仅考虑进给方向x和法向y方向的刀具振动因素，建立如下所示的动力学方程：
其中，mtx为刀具系统x方向的模态质量，mty为刀具系统x方向的模态质量；ξx为刀具系统x方向的阻尼系数，ξy为刀具系统y方向的阻尼系数；ωnx刀具系统x方向的固有频率，ωny刀具系统y方向的固有频率；Ftx(t)和Fty(t)分别为作用在铣刀刀齿上的动态切削力在x，y方向上的分量。
步骤2，求解球头铣刀刀齿上的动态切削力Ftx(t)和Fty(t)
2.1)建立球头铣刀几何模型
如图4所示，建立球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的几何模型，表示如下：
其中，R为球头铣刀半径；β切削刃螺旋角；t为切削过程中的时间(s)；k为第j刀刃上第i个切削微元的轴向接触角，在一个切削刃上所能取值范围为[0，π/2]；ψji(k)为第j刀刃上第i个切削微元径向滞后角；φ10(t)为第一个切削刃端点处转动的角度，n为刀具转速(r/min)；φji(t)为第j刃上的第i个微元处瞬时径向接触角；Nf为切削刃数目；xji(t)，yji(t)，zji(t)表示球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元在所建立的坐标系下的坐标值，第j刀刃上第i个切削微元t时刻在坐标系下所对应的xji(t)，yji(t)，zji(t)值与其在该时刻所对应的轴向角k存在一一映射关系。
2.2)计算球头铣刀瞬时动态切削力
球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元(轴向角为k)所受的切向力dFt,ji(φji(t),k)、径向力dFr,ji(φji(t),k)、轴向力dFa,ji(φji(t),k)依次表示为：
其中，h(φji(t),k)为第j刀刃上第i个切削微元瞬时切削厚度，包含静态瞬时切削厚度和动态瞬时切削厚度；Ktc为切向力系数；Krc为径向力系数；Kac为轴向力系数；db为第j刀刃上第i个切削微元瞬时切削宽度，db＝R·dk，R为球头铣刀半径。
2.2.1)计算瞬时动态切削厚度
在考虑刀具x和y方向的振动时，球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元(轴向角为k)的瞬时铣削厚度为：
其中，x(t)-x(t-T)，y(t)-y(t-T)表示当前时刻t和前一个刀齿切削(t-T)时刻在x和y方向的动态振动矢量，T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；fx为x轴方向的进给量。
刀具瞬时铣削厚度由两部分组成，一部分是瞬时静态切削厚度，另一部分是瞬时动态切削厚度，静态切削厚度与颤振无关，将其忽略。则刀具的瞬时动态切削厚度为：
2.2.2)计算刀具瞬时动态切削力
球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元动态切削力如下：
通过坐标变换，获得第j刀刃上第i个切削微元x，y方向动态切削力：
表示为如下：
其中，axx，ji(t)、axy,ji(t)、ayx,ji(t)、ayy,ji(t)由如下公式(2.8)计算：
由公式(2.1)得到φji(t)＝φ10(t)-(j-1)·2π/Nf-(R-Rcosk)tanβ/R。
确定每个切削刃在t时刻的参与切削片段的数目和每个参与切削的片段所对应的最大轴向角和最小轴向角，通过公式(2.9)就得到球头铣刀上的动态切削力。
其中：
则公式(1.1)表示为公式(2.11)所示：
进一步转化为公式(2.12)：
在一个时滞周期T内，axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值是随着时间变化而变化的。在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，通过球头铣刀-工件的接触区域边界方程和铣刀切削刃方程在不同时刻的关系，就能够获取对应时刻铣刀每个刀刃参与切削的片段数目和每个参与切削的片段的最大和最小轴向角，既而得出所在时刻的axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值。
步骤3，根据球头铣刀与工件的接触区域边界方程半解析建模法，得到球头铣刀与工件的接触区域；
步骤4，全离散化处理球头铣刀刀具-工件动力学方程
4.1)获取球头铣刀刀具-工件动力学方程空间状态形式
将公式(2.12)所示的球头铣刀刀具-工件动力学方程表示为如下所示的空间状态方程：
其中， t为时间变化；T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；ξx为刀具系统x方向的阻尼系数，ξy为刀具系统y方向的阻尼系数；ωnx刀具系统x方向的固有频率，ωny刀具系统y方向的固有频率；axx(t)，axy(t)，ayx(t)，ayy(t)如公式(2.10)所示。
4.2)对空间状态方程进行全离散化处理
将时滞周期T(Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速，单位为r/min)等分为m个时间间隔，即T＝mτ，在第p个离散时间间隔[tp,tp+1]内，将表示为将u(tp)表示将u(tp-T)表示为
则表示为：
进一步简化为：
由于为可逆矩阵，则公式(4.3)表示为如下形式：
令
则公式(4.4)表示为：
up+1＝Mpup+Npup-m+1+Npup-m (4.5)
其中，
步骤5，根据球头铣刀切削刃和接触区域边界在X-Y平面投影方程上的交点，确定tp时刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p值；
在tp时刻，按照公式(2.1)将球头铣刀全部切削刃投影到步骤3中所建立的X-Y坐标系下，其中n为刀具转速，j从1到Nf，k从0到π/2。
若第j条切削刃在tp时刻和刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域不存在交集，说明该切削刃此刻没有参与切削，则该切削刃在tp时刻所对应的kmax,j和下限kmin,j值都为零。
若第j条切削刃在tp时刻与刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域存在交集，说明该切削刃此刻参与了切削，下面就要确定该切削刃在tp时刻具体参与切削的片段数目和每个参与切削的片段所对应的kmax,j和kmin,j值。
如图12所示，在X-Y坐标系下，第j条切削刃在tp时刻的投影被接触区域投影截断，处于接触区域投影内的切削刃片段的数目就是该时刻第j条切削刃参与切削片段的个数。
通过第j条切削刃在tp时刻在X-Y坐标系下的投影方程、刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影方程和公式(2.1)计算出各个参与切削的片段的最大轴向角和最小轴向角，其中最大轴向角即为在tp时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应上限值kmax,j，最小轴向角即为在tp时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应的下限值kmin,j。
获得第j条切削刃各个参与切削片段的kmin,j和kmax,j值之后，通过公式(4.5)计算出在tp时刻第j条切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所对应部分的值。
通过以上步骤，获得各个切削刃在tp时刻第j条切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所对应部分的值，经过公式(4.5)便能计算出tp时刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p。
步骤6，判断刀具转速为n，轴向切削深度为L_jg时的刀具-工件系统稳定性
在步骤5的基础上，建立系数矩阵Cp，该矩阵满足离散映射：vp+1＝Cpvp；
vp是个(2m+4)维的向量：
矩阵Cp为(2m+4)维矩阵：
其中，令矩阵
矩阵PK等于公式(4.5)中的Mp，矩阵RK等于式公式(4.5)中的Np。
通过使用一系列离散Cp(p＝0,1,2…,m-1)，构建时滞周期T内的过渡矩阵Φ，亦即：
vp＝Φv0 (4.6)
式中，Φ定义为：Φ＝Cm-1Cm-2…C1C0。
铣削稳定性通过Floquet理论判定，当传递函数Φ所有特征值的模均小于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统稳定；当传递函数Φ所有特征值的模的最大值大于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统不稳定；传递函数Φ所有特征值的模的最大值等于1，说明在该刀具转速和轴向切深下，该系统处于临界状态。
步骤7，构建叶瓣图
在刀具转速一定的情况下，改变刀具的轴向切深情况，按照上面的步骤，获取该转速下，临界轴向切削深度；改变刀具转速，获取对应的临界轴向切削深度，构建出临界轴向切削深度随刀具转速变化的函数关系，即叶瓣图。
本发明的有益效果为：以铣削系统二阶动力学方程的全离散时域求解法为主线，在球头铣刀单齿切削周期内是圆弧切削和时滞周期等于单齿切削周期的基础上，通过球头铣刀与工件的接触区域投影边界方程和切削刃不同时刻的投影方程的关系，提取出在一个时滞周期内不同时刻参与切削的刀刃数目和参与切削刀刃的实际切削部位，构建出了球头铣刀切削过程中颤振稳定域叶瓣图。本发明并不局限于三轴机床上平面加工和铣刀形状，只要能够获得铣刀获得铣刀与工件的在某个刀位点接触区域和铣刀刀刃方程，运用该方法就能构建出该刀位点该铣刀的叶瓣图。
附图说明
图1是球头铣刀铣削过程中再生颤振发生机理示意图。
图2是球头铣刀铣削过程中再生颤振机理模型。
图3是球头铣刀铣削-工件动力学模型。
图4是球头铣刀螺旋切削刃几何模型。
图5是球头铣刀-工件接触区域示意图。
图6是球头铣刀-工件接触区域边界组成示意图。
图7是球头铣刀三维坐标建立示意图。
图8是B点示意图。
图9是A点示意图。
图10是3号线投影求解过程中均匀沿Y轴取点方法示意图。
图11是球头铣刀与工件接触区域在X-Y坐标系下示意图。
图12是两刃球头铣刀在tp时刻参与切削的刀刃数目和参与切削刀刃的实际切削部位确定方法示意图。
具体实施方式
以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。
一种球头铣刀加工过程中颤振稳定域叶瓣图构建方法，包括以下步骤：
步骤1，建立球头铣刀刀具-工件动力学方程
如图3所示，将球头铣刀刀具-工件系统简化为二自由度系统，仅考虑进给方向x和法向y方向的刀具振动因素，建立如下所示的动力学方程：
其中，mtx为刀具系统x方向的模态质量，mty为刀具系统x方向的模态质量；ξx为刀具系统x方向的阻尼系数，ξy为刀具系统y方向的阻尼系数；ωnx刀具系统x方向的固有频率，ωny刀具系统y方向的固有频率；Ftx(t)和Fty(t)分别为作用在铣刀刀齿上的动态切削力在x，y方向上的分量。
步骤2，求解球头铣刀刀齿上的动态切削力Ftx(t)和Fty(t)
2.1)建立球头铣刀几何模型
如图4所示，建立球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的几何模型，表示如下：
其中，R为球头铣刀半径；β切削刃螺旋角；t为切削过程中的时间(s)；k为第j刀刃上第i个切削微元的轴向接触角，在一个切削刃上所能取值范围为[0，π/2]；ψji(k)为第j刀刃上第i个切削微元径向滞后角；φ10(t)为第一个切削刃端点处转动的角度，n为刀具转速(r/min)；φji(t)为第j刃上的第i个微元处瞬时径向接触角；Nf为切削刃数目；xji(t)，yji(t)，zji(t)表示球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元在所建立的坐标系下的坐标值，第j刀刃上第i个切削微元t时刻在坐标系下所对应的xji(t)，yji(t)，zji(t)值与其在该时刻所对应的轴向角k存在一一映射关系。
2.2)计算球头铣刀瞬时动态切削力
球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元(轴向角为k)所受的切向力dFt,ji(φji(t),k)、径向力dFr,ji(φji(t),k)、轴向力dFa,ji(φji(t),k)依次表示为：
其中，h(φji(t),k)为第j刀刃上第i个切削微元瞬时切削厚度，包含静态瞬时切削厚度和动态瞬时切削厚度；Ktc为切向力系数；Krc为径向力系数；Kac为轴向力系数；db为第j刀刃上第i个切削微元瞬时切削宽度，db＝R·dk，R为球头铣刀半径。
2.2.1)计算瞬时动态切削厚度
在考虑刀具x和y方向的振动时，球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元(轴向角为k)的瞬时铣削厚度为：
其中，x(t)-x(t-T)，y(t)-y(t-T)表示当前时刻t和前一个刀齿切削(t-T)时刻在x和y方向的动态振动矢量，T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；fx为x轴方向的进给量。
刀具瞬时铣削厚度由两部分组成，一部分是瞬时静态切削厚度，另一部分是瞬时动态切削厚度，静态切削厚度与颤振无关，将其忽略。则刀具的瞬时动态切削厚度为：
2.2.2)计算刀具瞬时动态切削力
球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元动态切削力如下：
通过坐标变换，获得第j刀刃上第i个切削微元x，y方向动态切削力：
表示为如下：
其中，axx,ji(t)、axy,ji(t)、ayx,ji(t)、ayy,ji(t)由如下公式(2.8)计算：
由公式(2.1)得到φji(t)＝φ10(t)-(j-1)·2π/Nf-(R-Rcosk)tanβ/R。
确定每个切削刃在t时刻的参与切削片段的数目和每个参与切削的片段所对应的最大轴向角和最小轴向角，通过公式(2.9)就得到球头铣刀上的动态切削力。
其中：
则公式(1.1)表示为公式(2.11)所示：
进一步转化为公式(2.12)：
在一个时滞周期T内，axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值是随着时间变化而变化的。在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，通过球头铣刀-工件的接触区域边界方程和铣刀切削刃方程在不同时刻的关系，就能够获取对应时刻铣刀每个刀刃参与切削的片段数目和每个参与切削的片段的最大和最小轴向角，既而得出所在时刻的axx(t)、axy(t)、ayx(t)、ayy(t)值。
步骤3，根据球头铣刀与工件的接触区域边界方程半解析建模法，得到球头铣刀与工件的接触区域；
下面以球头铣刀球头半径为R，球头铣刀在三轴数控机床上进行平面铣削，轴向切削深度为L_jg，相邻切削刀轨间距为L_xl为例，说明球头铣刀与工件接触区域边界方程半解析建模方法。
3.1)确定球头铣刀与工件的接触区域边界的组成
首先，确定球头铣刀与工件加工过程中的接触区域(图5)边界组成，如图6所示，球头铣刀与工件接触区域边界由1-3号线组成，1号线为铣刀球头与工件加工表面的交线，2号线为铣刀球头与工件过渡表面的交线，3号线为铣刀球头与前一次走刀在工件的加工痕迹的交线。另外4号线为前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕迹，5号线为本次走刀与前一次走刀在工件已加工表面留下的加工残余最高点组成的直线。
如图7所示，以球头铣刀的顶点为坐标系原点，建立刀位点的三维直角坐标系；球头铣刀在轴线为Z轴，Z轴正方向远离球头铣刀的顶点；铣刀的进给方向为X轴，正方向与刀具进给方向相同；Y轴正方向指向工件待加工表面。则在该坐标系下，铣刀球头的方程为x2+y2+(z-R)2＝R2。由于铣刀球头上的点与其在X-Y平面上的投影点具有一一映射的特性，因此将铣刀球头与工件接触区域边界线方程的求解过程转化为其在X-Y平面投影方程的求解过程。
3.2)求解1号线在X-Y坐标平面内投影方程
1号线为铣刀球头与工件待加工表面的交线，其投影到X-Y坐标系下为圆形的一部分，该圆的半径为则1号线在X-Y坐标平面内投影所在圆的方程为x2+y2＝R2-(R-L_jg)2。
3.3)求解2号线在X-Y坐标平面内投影方程
2号线为球头铣刀垂直于进给方向的轮廓圆截面与工件待加工表面的交线，在X-Y平面为一条与Y轴重合的直线，则2号线投影所在直线方程为x＝0。
3.4)求解3号线在X-Y坐标平面内投影方程
3号线投影方程的求解过程与4号线和5号线的投影方程有关，因此在求解3号线投影方程之前，首先确定4号线和5号线的投影方程。
3.4.1)4号线为前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕迹。Y-Z坐标下，获取本次刀位点所建立的铣刀球头截面方程y2+(z-R)2＝R2，将该方程沿Y轴负半轴平移L_xl，该值是切削相邻加工刀轨之间的距离，即可到在Y轴方向与本次刀位点向对应的前一刀轨的铣刀球头截面方程，该方程为(y+L_xl)2+(z-R)2＝R2。将z＝L_jg带入到(y+L_xl)2+(z-R)2＝R2中，即可得到4号线在X-Y坐标系下的投影方程
3.4.2)5号线为本次走刀与前一走刀在工件已加工表面形成的加工残余最高点所组成的直线，Y-Z坐标下，y2+(z-R)2＝R2与(y+L_xl)2+(z-R)2＝R2的交点A点即为5号线在Y-Z平面的投影，A点所对应的Y值为-L_xl/2，所对应的Z值为则5号线在X-Y坐标下投影方程为y＝-L_xl/2。
3.4.3)3号线为铣刀球头与前一次走刀在工件的加工痕迹的交线，如图8所示，3号线上的B点在X-Y平面的投影坐标由1号线与4号线在X-Y坐标系的投影方程联立得到，B点坐标为将B点的坐标中的L_jg用变量k_v替换，单纯从数学角度观察B点的坐标，可知在相邻切削刀轨宽度L_xl一定的情况下，B点的坐标值只与变量k_v值有关，如图9所示，k_v的最大取值为L_jg，k_v的最小取值为5号线在Y-Z坐标系投影所对应的Z坐标，即A点所对用的Z值在区间[k_vmax，k_vmin]内改变变量k_v的值便可以得到3号线在X-Y平面的投影坐标的全部值。
下面，决定在X-Y平面上沿Y轴等间距地在3号线投影上取7个点，获取这7个点所对应的坐标值。如图10所示，3号线在X-Y平面投影所对应的最大Y值为最小Y值为从Y的最大值和最小值中等间距取7值，让后通过方程获取7个Y值所对应的X值，即可得到在X-Y平面上沿Y轴等间距在3号线投影上取7个点，运用牛顿插值法对这7个坐标值插值即获取3号线在X-Y平面投影的六次多项式方程。
如图11所示，1-3号线在X-Y平面的投影共同围成的区域即为轴向切削深度为L_jg时球头铣刀与工件在X-Y平面的接触区域。
步骤4，全离散化处理球头铣刀刀具-工件动力学方程
4.1)获取球头铣刀刀具-工件动力学方程空间状态形式
将公式(2.12)所示的球头铣刀刀具-工件动力学方程表示为如下所示的空间状态方程：
其中， t为时间变化；T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；ξx为刀具系统x方向的阻尼系数，ξy为刀具系统y方向的阻尼系数；ωnx刀具系统x方向的固有频率，ωny刀具系统y方向的固有频率；axx(t)，axy(t)，ayx(t)，ayy(t)如公式(2.10)所示。
4.2)对空间状态方程进行全离散化处理
将时滞周期T(Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速，单位为r/min)等分为m个时间间隔，即T＝mτ，在第p个离散时间间隔[tp,tp+1]内，将表示为
将u(tp)表示将u(tp-T)表示为
则表示为：
进一步简化为：
由于为可逆矩阵，则公式(4.3)表示为如下形式：
令
则公式(4.4)表示为：
up+1＝Mpup+Npup-m+1+Npup-m (4.5)
其中，
步骤5，根据球头铣刀切削刃和接触区域边界在X-Y平面投影方程上的交点，确定tp时刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p值；
在tp时刻，按照公式(2.1)将球头铣刀全部切削刃投影到步骤3中所建立的X-Y坐标系下，其中n为刀具转速，j从1到Nf，k从0到π/2。
若第j条切削刃在tp时刻和刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域不存在交集，说明该切削刃此刻没有参与切削，则该切削刃在tp时刻所对应的kmax,j和下限kmin,j值都为零。
若第j条切削刃在tp时刻与刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域存在交集，说明该切削刃此刻参与了切削，下面就要确定该切削刃在tp时刻具体参与切削的片段数目和每个参与切削的片段所对应的kmax,j和kmin,j值。
如图12所示，在X-Y坐标系下，第j条切削刃在tp时刻的投影被接触区域投影截断，处于接触区域投影内的切削刃片段的数目就是该时刻第j条切削刃参与切削片段的个数。
通过第j条切削刃在tp时刻在X-Y坐标系下的投影方程、刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影方程和公式(2.1)计算出各个参与切削的片段的最大轴向角和最小轴向角，其中最大轴向角即为在tp时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应上限值kmax,j，最小轴向角即为在tp时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应的下限值kmin,j。
获得第j条切削刃各个参与切削片段的kmin,j和kmax,j值之后，通过公式(4.5)计算出在tp时刻第j条切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所对应部分的值。
通过以上步骤，获得各个切削刃在tp时刻第j条切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所对应部分的值，经过公式(4.5)便能计算出tp时刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p。
步骤6，判断刀具转速为n，轴向切削深度为L_jg时的刀具-工件系统稳定性
在步骤5的基础上，建立系数矩阵Cp，该矩阵满足离散映射：vp+1＝Cpvp；
vp是个(2m+4)维的向量：
矩阵Cp为(2m+4)维矩阵：
其中，令矩阵矩阵PK等于公式(4.5)中的Mp，矩阵RK等于式公式(4.5)中的Np。
通过使用一系列离散Cp(p＝0,1,2…,m-1)，构建时滞周期T内的过渡矩阵Φ，亦即：
vp＝Φv0 (4.6)
式中，Φ定义为：Φ＝Cm-1Cm-2…C1C0。
铣削稳定性通过Floquet理论判定，当传递函数Φ所有特征值的模均小于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统稳定；当传递函数Φ所有特征值的模的最大值大于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统不稳定；传递函数Φ所有特征值的模的最大值等于1，说明在该刀具转速和轴向切深下，该系统处于临界状态。
步骤7，构建叶瓣图
在刀具转速一定的情况下，改变刀具的轴向切深情况，按照上面的步骤，获取该转速下，临界轴向切削深度；改变刀具转速，获取对应的临界轴向切削深度，构建出临界轴向切削深度随刀具转速变化的函数关系，即叶瓣图。
Claims (2)
1.基于球头铣刀与工件接触区域的颤振稳定域叶瓣图建模方法，其特征在于以下步骤：
步骤1，建立球头铣刀-工件动力学方程
将球头铣刀刀具-工件系统简化为二自由度系统，考虑进给方向x和法向y方向的刀具振动因素，建立动力学方程：
其中，mtx为刀具系统x方向的模态质量，mty为刀具系统x方向的模态质量；ξx为刀具系统x方向的阻尼系数，ξy为刀具系统y方向的阻尼系数；ωnx刀具系统x方向的固有频率，ωny刀具系统y方向的固有频率；Ftx(t)和Fty(t)分别为作用在铣刀刀齿上的动态切削力在x，y方向上的分量；
步骤2，求解球头铣刀刀齿上的动态切削力Ftx(t)和Fty(t)
2.1)建立球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的几何模型，表示如下：
其中，R为球头铣刀半径；β切削刃螺旋角；t为切削过程中的时间(s)；k为第j刀刃上第i个切削微元的轴向接触角，在一个切削刃所能取值范围为[0，π/2]；ψji(k)为切削刃微元径向滞后角；φ10(t)为第一个切削刃端点处转动的角度，n为刀具转速(r/min)；φji(t)为第j刃上的第i个微元处瞬时径向接触角；Nf为切削刃数目；xji(t)，yji(t)，zji(t)表示球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元在所建立的坐标系下的坐标值，第j刀刃上第i个切削微元t时刻在坐标系下所对应的xji(t)，yji(t)，zji(t)值与其在该时刻所对应的轴向角k存在一一映射关系；
2.2)计算球头铣刀瞬时动态切削力
球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元轴向角为k，该微元所受的切向力dFt,ji(φji(t),k)、径向力dFr,ji(φji(t),k)、轴向力dFa,ji(φji(t),k)依次表示为：
其中，h(φji(t),k)为第j刀刃上第i个切削微元瞬时切削厚度，包含静态瞬时切削厚度和动态瞬时切削厚度；Ktc为切向力系数；Krc为径向力系数；Kac为轴向力系数；db＝R·dk，R为球头铣刀半径；
2.2.1)根据公式(2.4)计算球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的瞬时动态切削厚度；所述的球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元的轴向角为k；
其中，x(t)-x(t-T)，y(t)-y(t-T)表示当前时刻t和前一个刀齿切削(t-T)时刻在x和y方向的动态振动矢量，T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；
2.2.2)计算刀具瞬时动态切削力
球头铣刀第j刀刃上第i个切削微元动态切削力如下：
通过坐标变换，获得第j刀刃上第i个切削微元x，y方向动态切削力：
表示为如下：
其中，axx,ji(t)、axy,ji(t)、ayx,ji(t)、ayy,ji(t)由如下公式(2.8)计算：
确定每个参与切削的切削刃在t时刻的最小轴向角和最大轴向角，通过公式(2.9)得到球头铣刀上的瞬时动态切削力；
其中：
则步骤1中所建立的球头铣刀刀具-工件动力学方程如公式(2.11)表示：
进一步转化为公式(2.12)：
步骤3，根据球头铣刀与工件的接触区域边界方程半解析建模法，得到球头铣刀与工件的接触区域；
3.1)确定球头铣刀与工件的接触区域边界的组成
铣刀球头半径为R，球头铣刀在三轴数控机床上进行平面铣削，轴向切削深度为L_jg，相邻切削刀轨间距为L_xl；
球头铣刀与工件切触区域边界由1-3号线组成，1号线为铣刀球头与工件加工表面的交线，2号线为铣刀球头与工件过渡表面的交线，3号线为铣刀球头与前一次走刀在工件的加工痕迹的交线；另外4号线为前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕迹，5号线为本次走刀与前一次走刀在工件已加工表面留下的加工残余最高点组成的直线；
以球头铣刀的顶点为坐标系原点，建立刀位点的三维直角坐标系；球头铣刀在轴线为Z轴，Z轴正方向远离球头铣刀的顶点；铣刀的进给方向为X轴，正方向与刀具进给方向相同；Y轴正方向指向工件待加工表面；则在X-Y坐标系下，铣刀球头的方程为x2+y2+(z-R)2＝R2；
3.2)1号线在X-Y坐标平面内投影为该方程x2+y2＝R2-(R-L_jg)2的一部分；
3.3)2号线在X-Y坐标平面内投影为该方程为x＝0的一部分；
3.4)3号线在X-Y坐标平面内投影方程为六次多项式方程的一部分；
1-3号线在X-Y平面的投影共同围成的区域就是在轴向切削深度为L_jg时球头铣刀与工件的接触区域在X-Y平面的投影；
步骤4，全离散化处理球头铣刀刀具-工件动力学方程
4.1)获取球头铣刀刀具-工件动力学方程空间状态形式
将公式(2.12)所示的球头铣刀刀具-工件动力学方程表示为如下所示的空间状态方程：
其中，
t为时间变化；T为时滞量，在高速切削的条件下，在单齿切削周期内是将铣刀运动视为圆弧切削、时滞周期视为单齿切削周期，则时滞量Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速(r/min)；ξx为刀具系统x方向的阻尼系数，ξy为刀具系统y方向的阻尼系数；ωnx刀具系统x方向的固有频率，ωny刀具系统y方向的固有频率；axx(t)，axy(t)，ayx(t)，ayy(t)如公式(2.10)所示；
4.2)对空间状态方程进行全离散化处理
将时滞周期T(Nf为铣刀刀齿数，n为刀具转速，单位为r/min)等分为m个时间间隔，即T＝mτ，在第p个离散时间间隔[tp,tp+1]内，将表示为将u(tp)表示将u(tp-T)表示为
则表示为：
进一步简化为：
由于为可逆矩阵，则公式(4.4)表示为如下形式：
令
则公式(4.5)表示为：
up+1＝Mpup+Npup-m+Npup-m+1 (4.5)
其中，
步骤5，根据球头铣刀切削刃与接触区域边界在X-Y平面投影方程上的交点，确定tp时刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p值；
在tp时刻，按照公式(2.1)将球头铣刀全部切削刃投影到步骤3中所建立的X-Y坐标系下，其中n为刀具转速r/min，j从1到Nf，k从0到π/2；
若第j条切削刃在tp时刻和刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域不存在交集，说明该切削刃此刻没有参与切削，则该切削刃在tp时刻所对应的kmax,j和下限kmin,j值都为零；
若第j条切削刃在tp时刻与刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影区域存在交集，说明该切削刃此刻参与了切削，下面就要确定该切削刃在tp时刻具体参与切削的片段数目和每个参与切削的片段所对应的kmax,j和kmin,j值；
在X-Y坐标系下，第j条切削刃在tp时刻的投影被接触区域投影截断，处于接触区域投影内的切削刃片段的数目就是该时刻第j条切削刃参与切削片段的个数；
通过第j条切削刃在tp时刻在X-Y坐标系下的投影方程、刀具-工件接触区域边界在X-Y坐标系下的投影方程和公式(2.1)计算出各个参与切削的片段的最大轴向角和最小轴向角，其中最大轴向角即为在tp时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应上限值kmax,j，最小轴向角即为在tp时刻该切削片段在公式(4.5)中所对应的下限值kmin,j；
获得第j条切削刃各个参与切削片段的kmin,j和kmax,j值之后，通过公式(4.5)计算出在tp时刻第j条切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所对应部分的值；
通过以上步骤，获得各个切削刃在tp时刻第j条切削刃在axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p中所对应部分的值，经过公式(4.5)便能计算出tp时刻的axx,p，axy,p，ayx,p，ayy,p；
步骤6，判断刀具转速为n，轴向切削深度为L_jg时的刀具-工件系统稳定性
在步骤5的基础上，建立系数矩阵Cp，该矩阵满足离散映射：vp+1＝Cpvp；
vp是个(2m+4)维的向量：
矩阵Cp为(2m+4)维矩阵：
其中，令矩阵
矩阵PK等于公式(4.5)中的Mp，矩阵RK等于式公式(4.5)中的Np；
通过使用一系列离散Cp(p＝0,1,2…,m-1)，构建时滞周期T内的过渡矩阵Φ，亦即：
vp＝Φv0 (4.6)
式中，Φ定义为：Φ＝Cm-1Cm-2…C1C0；
铣削稳定性通过Floquet理论判定，当传递函数Φ所有特征值的模均小于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统稳定；当传递函数Φ所有特征值的模的最大值大于1时，说明在该刀具转速和轴向切深下，系统不稳定；传递函数Φ所有特征值的模的最大值等于1，说明在该刀具转速和轴向切深下，该系统处于临界状态；
步骤7，构建叶瓣图
在刀具转速一定的情况下，改变刀具的轴向切深情况，按照上面的步骤，获取该转速下，临界轴向切削深度；改变刀具转速，获取对应的临界轴向切削深度，构建出临界轴向切削深度随刀具转速变化的函数关系，即叶瓣图。
2.根据权利要求1所述的颤振稳定域叶瓣图建模方法，其特征在于，所述的步骤3.4)中3号线投影方程的求解过程具体为：
求解3号线投影方程之前，首先确定4号线和5号线的投影方程；
3.4.1)4号线为前一次走刀在工件加工表面留下的加工痕迹；Y-Z坐标下，获取本次刀位点所建立的铣刀球头截面方程y2+(z-R)2＝R2，将该方程沿Y轴负半轴平移L_xl，该L_xl是切削相邻加工刀轨之间的距离，即可到在Y轴方向与本次刀位点向对应的前一刀轨的铣刀球头截面方程，该方程为(y+L_xl)2+(z-R)2＝R2；将z＝L_jg带入到(y+L_xl)2+(z-R)2＝R2中，即可得到4号线在X-Y坐标系下的投影方程
3.4.2)5号线为本次走刀与前一走刀在工件已加工表面形成的加工残余最高点所组成的直线，Y-Z坐标下，y2+(z-R)2＝R2与(y+L_xl)2+(z-R)2＝R2的交点A点即为5号线在Y-Z平面的投影，A点所对应的Y值为-L_xl/2，所对应的Z值为则5号线在X-Y坐标下投影方程为y＝-L_xl/2；
3.4.3)3号线为铣刀球头与前一次走刀在工件的加工痕迹的交线，3号线上的B点在X-Y平面的投影坐标由1号线与4号线在X-Y坐标系的投影方程联立得到，B点坐标为将B点的坐标中的L_jg用变量k_v替换，单纯从数学角度观察B点的坐标，可知在相邻切削刀轨宽度L_xl一定的情况下B点的坐标值只与变量k_v值有关，k_v的最大取值为L_jg，k_v的最小取值为5号线在Y-Z坐标系投影所对应的Z坐标，即A点所对用的Z值在区间[k_vmax，k_vmin]内改变变量k_v的值便可以得到3号线在X-Y平面的投影坐标的全部值；
在X-Y平面上沿Y轴等间距地在3号线投影上取7个点，获取这7个点所对应的坐标值；3号线在X-Y平面投影所对应的最大Y值为最小Y值为从Y的最大值和最小值中等间距取7值，让后通过方程获取7个Y值所对应的X值，即可得到在X-Y平面上沿Y轴等间距在3号线投影上取7个点，运用牛顿插值法对这7个坐标值插值即获取3号线在X-Y平面投影的六次多项式方程。
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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