CN104794337A - 一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法，该方法有五个步骤：第一，建立刀具坐标系；第二，沿着径向将刀具端面刃划分成若干个微元；第三，通过边界条件判断法确定微元是否参与切削；第四，求取切屑厚度，并在此基础上计算微元切削力；第五，对所有参与切削的微元上的切削力进行加和以得到总的切削力。通过统一的边界条件方程来判断微元的切削状态的方法避免了现有技术在进行正交车铣加工端面刃切削力预测时需要将切削过程划成多个阶段来分别讨论的缺点；由于考虑了跳动的影响，预测结果更为准确。本发明中的表达式简单易懂，省去了繁冗的特征角计算过程，适合于虚拟加工仿真系统的开发，具有较好的应用前景。

Description

一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法，属于数控加工过程仿真领域。

背景技术

随着先进制造技术的发展，车铣复合加工工艺逐渐成为机械加工领域应对带有复杂特征的回转体类零件的一项重要手段。然而目前对于这一技术的研究还不够充分，在实践中，制造工程师更多地是依靠经验或是参照传统的铣削加工过程来选取切削参数。这种确定切削参数的方法往往未能充分考虑到车铣复合加工工艺的特性，制约着其效能的进一步发挥。准确地预测切削力能够为制造工程师科学而又高效的应用车铣复合加工工艺提供重要的参考。在诸多的切削力建模方法中，机械力学模型是被广泛采用的一种方法。有效的获取切削刃接触区域则是应用这一模型预测切削力的前提。不同于一般的铣削加工过程，在正交车铣加工中，工件和刀具同时旋转，这使得切削刃接触区域的分布变得比较复杂。文献“姜增辉，贾春德.无偏心正交车铣理论切削力.机械工程学报,2006,42(9):23-28”公开的方法在计算端面刃切削力时，需要首先计算特征角，并根据这些特征角所划分出的不同情况来确定接触区域。这种方法加深了人们对正交车铣加工技术的认识，然而需要分成多种情况讨论使得这一方法不利于计算机仿真程序的实现。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术在进行正交车铣加工过程端面刃切削力预测时不利于计算机编程实现的缺点，本发明给出了一种基于边界条件判断法的正交车铣加工端面刃切削力建模方法。该方法首先将刀具端面刃划分成若干个微元，通过边界条件判断法来确定切削刃的接触区域，并在计算切屑厚度时，考虑了刀齿的轴向跳动的影响，接下来根据机械力学模型计算微元切削力，最后通过将所有微元上的切削力相加来获得总的切削力。

一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法，包含以下步骤：

步骤1：以刀具底面中心O为原点，以刀具轴线方向为Z轴建立笛卡尔直角坐标系，即刀具坐标系，其中，X轴为与工件轴线平行的方向；

步骤2：沿着刀具径向将端面刃划分成若干个微元，假设第j个刀齿上的第i个微元切削刃到刀具底面中心的距离为L_j,i，则时刻t该微元在刀具坐标系中的坐标为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{j,i}\\ y_{j,i}\\ z_{j,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{j,i}\·\sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ L_{j,i}\·\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ 0\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，n_T表示刀具转速，N为刀具齿数；

步骤3：假设任一微元在刀具坐标系中的位置为(x_j,i,y_j,i,z_j,i)，针对顺铣加工，通过式(2)判断该切削刃微元是否处于切削状态；针对逆铣加工，通过式(3)判断其是否处于切削状态；如果式(2)或式(3)成立，则说明该微元处于切削状态；否则，说明该微元未处于切削状态；

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≤\cot \mathrm{\β}\·x_{j,i}-\frac{R_T}{\sin \mathrm{\β}}+b\·\cot \mathrm{\β}\\ y_{j,i}\≥-(R_W-a_p)\·\tan \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}\right)\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+{(R_W-a_p+z_{j,i})}^2}\≤R_W\end{array}\right.---\left(2\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≥-\cot \mathrm{\β}\·x_{j,i}+\frac{R_T}{\sin \mathrm{\β}}-b\·\cot \mathrm{\β}\\ y_{j,i}\≤(R_W-a_p)\·\tan \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}\right)\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+{(R_W-a_p+z_{j,i})}^2}\≤R_W\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，R_W和R_T分别表示工件和刀具的半径，a_p表示切深，b、θ_z和β由下式给出

$\begin{array}{c}b=\frac{f_v}{n_W}\\ {\mathrm{\θ}}_z=\frac{2\mathrm{\π}\·n_W}{N\·n_T}\\ \mathrm{\β}=\arctan \frac{b}{2\mathrm{\π}(R_W-a_p)}\end{array}---\left(4\right)$

式中，f_v表示刀具沿着工件轴线方向进给速度，n_W表示工件的旋转速度；

步骤4：对于处于切削状态的端面刃微元，计算其切屑厚度，顺铣时，切厚计算公式为：

$h_{j,i}=[(R_W-a_p)\tan \frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}+y_{j,i}]\tan {\mathrm{\θ}}_z+{\mathrm{\ϵ}}_j-{\mathrm{\ϵ}}_{j-1}---\left(5\right)$

逆铣时，切厚计算公式为：

$h_{j,i}=[(R_W-a_p)\tan \frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}-y_{j,i}]\tan {\mathrm{\θ}}_z+{\mathrm{\ϵ}}_j-{\mathrm{\ϵ}}_{j-1}---\left(6\right)$

式中：ε_j表示第j个端面刃沿着刀具轴线方向的跳动；采用机械力学模型，计算作用在处于切削状态的微元上的切向及进给方向切削力dF_t,j,i，dF_f,j,i：

dF_t,j,i＝K_tc·h_j,i·dz+K_te·dz        (7)

dF_f,j,i＝K_fc·h_j,i·dz+K_fe·dz

式中，K_tc、K_fc是剪切力系数，K_te、K_fe是刃口力系数，dz是微元切削刃的长度；对于未处于切削状态的微元，其对应的切向及进给方向切削力均为0；

通过式(6)将作用在各个微元上的切削力转换到刀具坐标系的X、Y和Z方向：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ \sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{t,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{f,j,i}\end{array}\right)---\left(8\right)$

步骤5：对所有微元重复进行步骤3和步骤4，并将所有参与切削的微元上的切削力相加，得到正交车铣加工过程中端面刃切削所产生的切削力F_X、F_Y和F_Z；

$\left(\begin{array}{c}{F}_X\\ F_Y\\ F_Z\end{array}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right)---\left(9\right)$

本发明的优点在于：

本发明给出了一种计算正交车铣加工过程端面刃切削力的方法，将刀具端面刃分成若干个微元，并通过统一的边界条件方程来判断微元的切削状态避免了现有技术在进行正交车铣加工过程端面刃切削力预测时需要将切削过程划成多个阶段来分别讨论的缺点；由于考虑了跳动的影响，预测结果能够更准确地反映实际加工情况。通过本发明方法所得到的切削力为进一步地研究正交车铣加工过程中的刀具磨损、刀具和工件的振动以及工艺规划等提供了基础；同时，本发明中的表达式简单易懂，省去了繁冗的特征角计算过程，适合于虚拟加工仿真系统的开发，具有较好的应用前景。

附图说明

图1是正交车铣加工示意图。

图2是刀齿跳动的示意图。

图3是不考虑跳动时，实例的预测结果。

图中，“1”表示F_X，“2”表示F_Y，“3”表示F_Z。

图4是考虑跳动时，实例的预测结果。

图中，“1”表示F_X，“2”表示F_Y，“3”表示F_Z。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明的一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法，包含以下步骤：

步骤1：以刀具底面中心O为原点，以刀具轴线方向为Z轴建立笛卡尔直角坐标系，即刀具坐标系，其中，X轴为与工件轴线平行的方向。

步骤2：沿着刀具径向将端面刃划分成若干个微元。假设第j个刀齿上的第i个微元切削刃到刀具底面中心的距离为L_j,i，那么时刻t该微元在刀具坐标系中的坐标为

$\left(\begin{array}{c}{x}_{j,i}\\ y_{j,i}\\ z_{j,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{j,i}\·\sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ L_{j,i}\·\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ 0\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，n_T表示刀具转速，N为刀具齿数。

步骤3：假设任一微元在刀具坐标系中的位置用(x_j,i,y_j,i,z_j,i)来表示，对于顺铣加工，通过式(2)判断该切削刃微元是否处于切削状态；而对于逆铣加工，则通过式(3)来判断其是否处于切削状态。如果式(2)或式(3)成立，则说明该微元处于切削状态；否则，说明该微元未处于切削状态。

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≤\cot \mathrm{\β}\·x_{j,i}-\frac{R_T}{\sin \mathrm{\β}}+b\·\cot \mathrm{\β}\\ y_{j,i}\≥-(R_W-a_p)\·\tan \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}\right)\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+{(R_W-a_p+z_{j,i})}^2}\≤R_W\end{array}\right.---\left(2\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≥-\cot \mathrm{\β}\·x_{j,i}+\frac{R_T}{\sin \mathrm{\β}}-b\·\cot \mathrm{\β}\\ y_{j,i}\≤(R_W-a_p)\·\tan \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}\right)\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+{(R_W-a_p+z_{j,i})}^2}\≤R_W\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，R_W和R_T分别表示工件和刀具的半径，a_p表示切深，b、θ_z和β由下式给出

$\begin{array}{c}b=\frac{f_v}{n_W}\\ {\mathrm{\θ}}_z=\frac{2\mathrm{\π}\·n_W}{N\·n_T}\\ \mathrm{\β}=\arctan \frac{b}{2\mathrm{\π}(R_W-a_p)}\end{array}---\left(4\right)$

式中，f_v表示刀具沿着工件轴线方向进给速度，n_W表示工件的旋转速度。

步骤4：对于处于切削状态的端面刃微元，计算其切屑厚度，顺铣时，切厚计算公式为：

$h_{j,i}=[(R_W-a_p)\tan \frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}+y_{j,i}]\tan {\mathrm{\θ}}_z+{\mathrm{\ϵ}}_j-{\mathrm{\ϵ}}_{j-1}---\left(5\right)$

逆铣时，切厚计算公式为：

$h_{j,i}=[(R_W-a_p)\tan \frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}-y_{j,i}]\tan {\mathrm{\θ}}_z+{\mathrm{\ϵ}}_j-{\mathrm{\ϵ}}_{j-1}---\left(6\right)$

上式中，ε_j表示第j个端面刃沿着刀具轴线方向的跳动。采用机械力学模型，计算作用在处于切削状态的微元上的切向及进给方向切削力dF_t,j,i，dF_f,j,i：

dF_t,j,i＝K_tc·h_j,i·dz+K_te·dz        (7)

dF_f,j,i＝K_fc·h_j,i·dz+K_fe·dz

式中，K_tc、K_fc是剪切力系数，K_te、K_fe是刃口力系数，dz是微元切削刃的长度。对于未处于切削状态的微元，其对应的切向及进给方向切削力均为0。接下来，通过式(6)将作用在各个微元上的切削力转换到刀具坐标系的X、Y和Z方向：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ \sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{t,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{f,j,i}\end{array}\right)---\left(8\right)$

步骤5：对所有微元重复进行步骤3以及步骤4，并将所有参与切削的微元上的切削力相加，得到正交车铣加工过程中端面刃切削所产生的切削力F_X、F_Y和F_Z。

$\left(\begin{array}{c}{F}_X\\ F_Y\\ F_Z\end{array}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right)---\left(9\right)$

实施例：

对铝合金7050圆棒进行正交车铣加工。工件直径为40mm，转速为10rpm；刀具直径为16mm，2齿，加工时转速为1800rpm，沿着工件轴向进给速度为20mm/min，加工方式为无偏心、顺铣，切深为2.5mm，以1号刀齿为参考，刀齿跳动量分别为0mm和0.008mm。

步骤1：以刀具底面中心为原点，以平行于工件轴线的方向为X轴，以刀具轴线方向为Z轴建立笛卡尔直角坐标系，即刀具坐标系，如图1所示。

步骤2：沿着径向以0.1mm的间隔对刀具端面刃进行离散化处理。由切削加工参数可知，对距离刀具底面中心5mm至8mm的端面刃进行离散即能够包含所有参与切削的切削刃段。按照与刀具底面中心的距离由大到小对所划分的微元进行编号，即距离刀具底面中心最远的微元编号为1。那么，第j个刀齿上的第i个微元切削刃到刀具底面中心的距离为

L_j,i＝7.95-0.1×(i-1)  (j＝1,2 i＝1,2,…,30)    (10)

下面以2号刀齿上的编号为5和25的端面切削刃微元为例计算微元在刀具坐标系中的坐标值。根据上式可知，两个微元距离刀具底面中心的距离L_2,5、L_2,25分别为7.55mm、5.55mm。

对于时刻t为1.056s时，编号为5的微元在刀具坐标系中的坐标为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{2,5}}\\ y_{\mathrm{2,5}}\\ z_{\mathrm{2,5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{2,5}}\·\sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(2-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ L_{\mathrm{2,5}}\·\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(2-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6.83\\ 3.21\\ 0\end{array}\right)---\left(11\right)$

编号为25的微元在刀具坐标系中的坐标为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{2,25}}\\ y_{\mathrm{2,25}}\\ z_{\mathrm{2,25}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{2,25}}\·\sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(2-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ L_{\mathrm{2,25}}\·\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(2-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5.02\\ 2.36\\ 0\end{array}\right)---\left(12\right)$

步骤3：在本实例的加工参数下，可以求得b，θ_z和β。进一步可以求得端面刃与工件接触区域的边界条件方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≤54.98\·x_{j,i}-329.94\\ y_{j,i}\≥-0.15\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+306.25}\≤20\end{array}\right.---\left(13\right)$

将每个微元在刀具坐标系中的坐标值代入上式即可判断出该微元的切削状态。例如对于上面所提到的2号刀齿上的编号为5和25的切削刃微元，在求出其在时刻1.006s的坐标值后，通过边界条件方程可以很容易的得出编号为5的微元处于切削接触区中，而编号为25的微元则处于切削接触区外。

步骤4：对于参与切削的端面刃微元，计算其切屑厚度。可以得到，在不考虑刀齿跳动的情况下，2号刀齿上编号为5的微元，此刻对应的切屑厚度h_2,5为0.059mm。接下来，便可以计算作用在该微元上的切削力：

dF_t,2,5＝K_tc·h_2,5·dz+K_te·dz＝10.59N      (14)

dF_f,2,5＝K_fc·h_2,5·dz+K_fe·dz＝8.59N

计算切削力时所用的切削力系数和剪切力系数分别为1031.2、408.6N/mm²和45.1、61.8N/mm。将微元切削力转换到刀具坐标系的X、Y和Z方向：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,\mathrm{2,5}}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,\mathrm{2,5}}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,\mathrm{2,5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(2-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ \sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(2-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{t,\mathrm{2,5}}\\ {\mathrm{dF}}_{f,\mathrm{2,5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4.51\\ 9.58\\ 8.59\end{array}\right)N---\left(15\right)$

若考虑刀齿跳动(见图2)，可以求得此刻2号刀齿上编号为5的微元对应的切屑厚度为0.067mm，此时可以求得微元切削力dF_t,2,5和dF_f,2,5分别为11.42N和8.92N。将其转换到刀具坐标系中可以得到dF_X,2,5、dF_Y,2,5和dF_Z,2,5分别为-4.86N、10.33N和8.92N。

步骤5：对所有微元重复进行步骤3以及步骤4，并将所有参与切削的微元上的切削力相加得到总的切削力：

$\left(\begin{array}{c}{F}_X\\ F_Y\\ F_Z\end{array}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right)---\left(16\right)$

本实施例中，M为30。

图3和图4给出了本实例的切削力仿真结果。其中，图3是不考虑跳动时得到的结果，图4是考虑跳动后得到的结果。

Claims (1)

1.一种基于边界条件判断的正交车铣加工端面刃切削力建模方法，包含以下步骤：

步骤1：以刀具底面中心O为原点，以刀具轴线方向为Z轴建立笛卡尔直角坐标系，即刀具坐标系，其中，X轴为与工件轴线平行的方向；

步骤2：沿着刀具径向将端面刃划分成若干个微元，假设第j个刀齿上的第i个微元切削刃到刀具底面中心的距离为L_j,i，则时刻t该微元在刀具坐标系中的坐标为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{j,i}\\ y_{j,i}\\ z_{j,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{j,i}\·\sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ L_{j,i}\·\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})\\ 0\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，n_T表示刀具转速，N为刀具齿数；

步骤3：假设任一微元在刀具坐标系中的位置为(x_j,i,y_j,i,z_j,i)，针对顺铣加工，通过式(2)判断该切削刃微元是否处于切削状态；针对逆铣加工，通过式(3)判断其是否处于切削状态；如果式(2)或式(3)成立，则说明该微元处于切削状态；否则，说明该微元未处于切削状态；

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≤\cot \mathrm{\β}\·x_{j,i}-\frac{R_T}{\sin \mathrm{\β}}+b\·\cot \mathrm{\β}\\ y_{j,i}\≥-(R_W-a_p)\·\tan \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}\right)\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+{(R_W-a_p+z_{j,i})}^2}\≤R_W\end{array}\right.----\left(2\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{j,i}\≥-\cot \mathrm{\β}\·x_{j,i}-\frac{R_T}{\sin \mathrm{\β}}+b\·\cot \mathrm{\β}\\ y_{j,i}\≤(R_W-a_p)\·\tan \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}\right)\\ \sqrt{{y_{j,i}}^2+{(R_W-a_p+z_{j,i})}^2}\≤R_W\end{array}\right.----\left(3\right)$

其中，R_W和R_T分别表示工件和刀具的半径，a_p表示切深，b、θ_z和β由下式给出

$b=\frac{f_v}{n_W}$

${\mathrm{\θ}}_z=\frac{2\mathrm{\π}\·n_W}{N\·n_T}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}=\arctan \frac{b}{2\mathrm{\π}(R_W-a_p)}$

式中，f_v表示刀具沿着工件轴线方向进给速度，n_W表示工件的旋转速度；

步骤4：对于处于切削状态的端面刃微元，计算其切屑厚度，顺铣时，切厚计算公式为：

$h_{j,i}=[(R_W-a_p)\tan \frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}+y_{j,i}]\tan {\mathrm{\θ}}_z+{\mathrm{\ϵ}}_j-{\mathrm{\ϵ}}_{j-1}---\left(5\right)$

逆铣时，切厚计算公式为：

$h_{j,i}=[(R_W-a_p)\tan \frac{{\mathrm{\θ}}_z}{2}-y_{j,i}]{\tan \mathrm{\θ}}_z+{\mathrm{\ϵ}}_j-{\mathrm{\ϵ}}_{j-1}---\left(6\right)$

式中：ε_j表示第j个端面刃沿着刀具轴线方向的跳动；采用机械力学模型，计算作用在处于切削状态的微元上的切向及进给方向切削力dF_t,j,i，dF_f,j,i：

dF_t,j,i＝K_tc·h_j,i·dz+K_te·dz

                       (7)

dF_f,j,i＝K_fc·h_j,i·dz+K_fe·dz

式中，K_tc、K_fc是剪切力系数，K_te、K_fe是刃口力系数，dz是微元切削刃的长度；对于未处于切削状态的微元，其对应的切向及进给方向切削力均为0；

通过式(6)将作用在各个微元上的切削力转换到刀具坐标系的X、Y和Z方向：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\cos (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ \sin (\frac{2\mathrm{\π}\·n_T}{60}\·t+(j-1)\·\frac{2\mathrm{\π}}{N})& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{t,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{f,j,i}\end{array}\right)---\left(10\right)$

步骤5：对所有微元重复进行步骤3和步骤4，并将所有参与切削的微元上的切削力相加，得到正交车铣加工过程中端面刃切削所产生的切削力F_X、F_Y和F_Z；

$\left(\begin{array}{c}{F}_X\\ F_Y\\ F_Z\end{array}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dF}}_{X,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Y,j,i}\\ {\mathrm{dF}}_{Z,j,i}\end{array}\right).---\left(9\right)$