CN104076818B - 考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法 - Google Patents

Abstract

考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，涉及一种航天器轨道交会的增益调度控制方法。本发明为了解决现有航天器轨道交会的控制方法忽略输入饱和与由线性化误差引起参量不确定性而导致的完成航天器轨道交会任务耗时较长的问题，本发明考虑了由线性化误差引起的参数不确定性，赋予其确切含义，建立航天器轨道交会相对运动模型，然后设计航天器轨道交会的增益调度控制器，利用增益调度控制器对航天器轨道交会进行控制，完成交会任务。本发明主要用于航天器轨道交会的控制。

Description

考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法

技术领域

本发明涉及一种航天器轨道交会系统的增益调度控制方法。

背景技术

航天器轨道交会是非常重要的飞行操作技术。成功的交会是实现一些高级空间操作，如实现空间站、空间实验室、空间通信和遥感平台等大型基础设施在轨装配、回收、补给和维修以及国际空间救援服务等的先决条件。航天器交会的轨道控制问题是航天器交会对接技术的重要组成部分之一。在过去的几十年间，航天器的轨道交会控制问题已经得到了广泛的关注。

轨道交会要受到总体约束条件，其中推力器所能产生的加速度受到的约束至关重要。这是因为如果根据控制器的设计而得到的加速度超出了推力器所能提供的最大加速度，那么实际系统将不是按照设计的方式运行，这不但降低了交会控制的控制品质，还可能引起不稳定，导致交会任务的失败。

航天器圆轨道交会系统的相对运动是通过C-W方程来描述的。一般地，将C-W方程转换为状态空间描述，即其中X表示相对位置和相对速度向量，U为控制输入向量。这一描述方法已被广泛应用于解决航天器轨道交会问题中。然而，矩阵A中存在由线性化误差引起的参量不确定性。这些不确定性将降低交会任务的准确性，稳定性和安全性。

发明内容

本发明为了解决现有航天器轨道交会系统的控制方法忽略输入饱和与由线性化误差引起参量不确定性而导致的完成航天器轨道交会任务耗时较长的问题，进而提出一种考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法。

考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法的过程为：

步骤1：两航天器在执行交会任务时，一个航天器在轨被动飞行，称为目标航天器；另一飞行器在控制力的作用下作机动飞行，以不同规律飞向目标航天器，它又称为追踪航天器；假设目标航天器运行在半径为R的圆轨道上；为了方便描述，引入目标飞行器轨道坐标系O-XYZ，其原点O位于目标航天器的质心，X轴沿着圆轨道半径R的方向，Y轴沿着追踪航天器飞行的方向，Z轴指向轨道平面外与X轴和Y轴构成右手坐标系；轨道坐标系示意图见图1；设引力常数μ＝GM，其中M为中心星体(通常为地球)质量，G为万有引力常数；则目标飞行器的轨道角速度为

首先，定义符号函数和饱和函数：

符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝-1；对于向量a＝[a₁,a₂,…,a_m]^T∈R^m，a_b＞0，b∈I[1,m]，向量值饱和函数sat_α(·):R^m→R^m定义为

${\mathrm{sat}}_a\left(\mathrm{\β}\right)={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{sat}}_{a_1}\left({\mathrm{\β}}_1\right)& {\mathrm{sat}}_{a_2}\left({\mathrm{\β}}_2\right)& \·\·\·& {\mathrm{sat}}_{a_m}\left({\mathrm{\β}}_m\right)\end{array}\right]}^T$

其中，如果a_b＝1，b∈I[1,m]，则sat_α(·)简写为sat(·)，sat(·)称之为单位饱和函数；I[1,m]表示整数集合{1,2,...,m}，Rm表示的是m维状态空间；

设追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置和相对速度分量分别为x,y,z,a_x，a_y和a_z分别表示在三个坐标轴方向的加速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别为推力器在三个坐标轴方向产生的最大加速度分量，且α＞0表示饱和水平；

令D＝diag{α_X,α_Y,α_Z}、a＝[a_x,a_y,a_z]^T，可以得到

$u=[{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_X}\left(a_x\right),{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_Y}\left(a_y\right),{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_Z}\left(a_z\right){]}^T=\mathrm{Dsat}\left(D^{-1}a\right)---\left(1\right);$

选取相对运动状态向量 $X={\left[\begin{array}{cccccc}x& y& z& \stackrel{\·}{x}& \stackrel{\·}{y}& \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]}^T$ 和控制向量U＝D^-1a，得到目标航天器与追踪航天器的相对运动状态空间描述如式(2)

$\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bsat}\left(U\right)+\mathrm{\μf}\left(X\right)---\left(2\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 2n^2& 0& 0& 0& 2n& 0\\ 0& 0& 0& -2n& 0& 0\\ 0& 0& -n^2& 0& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]D,$

f(X)＝[0,0,0,f₁(X),f₂(X),f₃(X)]^T (3)，

公式(3)中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(X\right)=-\frac{2n^{2}x}{\mathrm{\μ}}+\frac{n^{2}R}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σR}-\mathrm{\σx}\\ f_2\left(X\right)=\frac{n^{2}y}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σy}\\ f_3\left(X\right)=\frac{n^{2}z}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σz}\end{array}\right.---\left(4\right),$

公式(4)中对σ在原点进行泰勒展开并保留到二阶项，得到

$\mathrm{\σ}\≈\frac{1}{R^3}-\frac{3}{R^4}x+\frac{6}{R^5}{x}^2-\frac{3}{2R^5}{y}^2-\frac{3}{2R^5}{z}^2---\left(5\right),$

将(5)代入(4)中，式(2)可以表示为

$\stackrel{\·}{X}=(A+\mathrm{EJ}\left(t\right)F)X+\mathrm{Bsat}\left(U\right)---\left(6\right),$

公式(6)中

$E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\α}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\α}\end{array}\right],F=\frac{2\mathrm{\λ}\sqrt{3}}{3\mathrm{\α}}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{l}x& \frac{1}{2l}& \frac{1}{2l}z\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}y& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}z& 0& 0\end{array}\right]$

其中以及α＝min{|α_X|,|α_Y|,|α_Z|}；

当目标航天器与追踪航天器间的距离小于50km时，即：时，C-W方程是足够精确的；当 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}\≤50\mathrm{km},\∀t\∈R$ 时， $J^T\left(t\right)J\left(t\right)\≤I_3,\∀t\∈R,$ I₃为3·3的单位矩阵；

步骤2：设计航天器轨道交会的增益调度控制器，具体过程如下；

步骤2.1：求解参量Riccati方程(7)

A^TP+PA-PBB^TP+F^TF+γP＝0, (7)

对应的反馈增益为K＝-B^TP，γ为大于零的实数，代表闭环的收敛速度；

参量Riccati方程满足以下性质：

①对于γ＞0，参量Riccati方程(7)具有唯一对称正定解P(γ)；

②闭环系统的特征值满足 ${\mathrm{\λ}}_j(A+\mathrm{BK})\≤-\frac{\mathrm{\γ}}{2},j\∈I\left[\mathrm{1,6}\right];$ 则闭环系统 ${\stackrel{\·}{x}}_c\left(t\right)=(A+\mathrm{BK})x_c\left(t\right)$ 的状态收敛到原点的速度大于或等于

③P(γ)是可微的有理分式矩阵且是关于γ的单调递增矩阵函数，即dP(γ)/dγ＞0；

步骤2.2：设计实数集合如(8)所示

Γ_N＝{γ₀,γ₁,…,γ_N},0＜γ_i-1＜γ_i,i∈I[1,N] (8)

其中N是给定的正整数；

将两航天器的相对运动状态空间用椭球集合描述，对于γ_h∈Γ_N,h∈I[0,N]，由二次函数X^TP(γ)X设计如下椭球集合

$E\left(P_{\mathrm{\γh}}\right)=\{X\∈R^6:\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\≤1\}---\left(9\right)$

其中， $\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)=\underset{k=\mathrm{1,2,3}}{\max }\left\{B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)B_k\right\},$ $P_{{\mathrm{\γ}}_h}=\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)P\left({\mathrm{\γ}}_h\right),$ B_k是B的第k列；

由参量Riccati方程的性质③可知：椭球集合是嵌套的，即当γ₁＜γ₂时，则 $E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_2}\right)\⋐E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_1}\right);$

假设式(6)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内；γ的初值γ₀，定义γ₀为

${\mathrm{\γ}}_0={\mathrm{\γ}}_0\left(\mathrm{\Ω}\right)=\underset{X\∈\mathrm{\Ω}}{\min }\{\mathrm{\γ}:\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\γ}\right)X^{T}P\left(\mathrm{\γ}\right)X=1\}---\left(10\right)$

如果Ω已知，γ₀可通过二分法求得；γ₁,…,γ_N根据初值γ₀按设计要求和公式(8)求得；

相对运动状态向量X在集合(11)中

$L_h=\{X:|\left|B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\right||\≤1\},k\∈I\left[\mathrm{1,3}\right]---\left(11\right)$

当使用所设计的增益调度控制器U＝-B^TP(γ)X时，执行器不会发生饱和；

根据公式(9)，对于有

$\begin{array}{c}\left|\right|B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X|{|}^2\≤|\left|B_k^T{P}^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\γ}}_h\right){\left|\right|}^2\right||P^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\γ}}_h\right){X\left|\right|}^2\\ =B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)B_k{X}^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\\ \≤\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\\ =1\end{array}---\left(12\right)$

其中k∈I[1,3]，则由(9)，(11)和(12)，可知

$E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_h}\right)\⊆L_h---\left(13\right)$

对于执行器不会发生饱和，从而sat(B^TP(γ_h)X)可以简化为B^TP(γ_h)X，即

$X\∈\left(P_{{\mathrm{\γ}}_h}\right)\⇒\mathrm{sat}\left(B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\right)=B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X---\left(14\right);$

步骤2.3：设计离散增益调度控制器

令P(γ)是代数参量Riccati方程(7)的唯一对称正定解，且η_h是非负实数；设计如下增益调度控制器

$U=\left\{\begin{array}{c}{U}_N=-(1+{\mathrm{\η}}_N)B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_N\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_N}\right),\\ U_{N-1}=-(1+{\mathrm{\η}}_{N-1})B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_{N-1}\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_{N-1}}\right)\backslash E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_N}\right),\\ \·\\ \·\\ \·\\ U_0=-(1+{\mathrm{\η}}_0)B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_0}\right)\backslash \left(P_{{\mathrm{\γ}}_1}\right),\end{array}\right.---\left(15\right)$

式(15)用于完成航天器轨道交会，且椭球集合包含在闭环系统的吸引域中；增益调度控制器U＝U_i-1的工作时间不超过T_i-1秒，其中

$T_{i-1}\≤\frac{1}{{\mathrm{\γ}}_{i-1}}\ln \left(\frac{\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_i\right)}{\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_{i-1}\right)}{\mathrm{\λ}}_{\max }\right\{P\left({\mathrm{\γ}}_i\right)P^{-1}\left({\mathrm{\γ}}_{i-1}\right)\left\}\right)---\left(16\right)$

步骤3：在初始相对运动状态向量为X(0)时，增益调度控制器(15)开始工作于航天器轨道交会系统，按照U₀→U₁→…→U_N-1→U_N的顺序依次作用于式(6)，相对运动状态向量X由最外部的椭球依次进入到内部的椭球，最后进入到最内部的椭球，并最终收敛到平衡点。根据参量Riccati方程的性质②，γ代表闭环的收敛速度；因此，随着时间的增加，所设计的增益调度控制器提高了闭环的收敛速度，即提高了闭环的动态性能，增益调度控制器切换示意图见图2。

本发明通过引入设计参数提高了闭环的收敛速度并且所建立的航天器轨道交会相对运动模型因为考虑了由线性化误差引起的参数不确定性，更具有实际意义。应用本方法能够显著地节省两航天器完成交会任务所需的时间，当N＝50时，两航天器的交会时间约为3000s，较N＝25时交会时间节省了约1000s，较N＝0时，大约节省了2000s。

附图说明

图1为目标星轨道坐标系；

图2为两航天器的相对运动状态空间及增益调度控制器切换示意图；

图3是当N＝50，N＝25和N＝0时，两航天器相对距离和相对速度变化曲线：

图4是当N＝50，N＝25和N＝0时，追踪航天器的控制加速度变化曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，它包括下述步骤：

步骤1：两航天器在执行交会任务时，一个航天器在轨被动飞行，称为目标航天器；另一飞行器在控制力的作用下作机动飞行，以不同规律飞向目标航天器，它又称为追踪航天器；假设目标航天器运行在半径为R的圆轨道上；为了方便描述，引入目标飞行器轨道坐标系O-XYZ，其原点O位于目标航天器的质心，X轴沿着圆轨道半径R的方向，Y轴沿着追踪航天器飞行的方向，Z轴指向轨道平面外与X轴和Y轴构成右手坐标系；轨道坐标系示意图见图1；设引力常数μ＝GM，其中M为中心星体(通常为地球)质量，G为万有引力常数；则目标飞行器的轨道角速度为

首先，定义符号函数和饱和函数：

符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝-1；对于向量a＝[a₁,a₂,…,a_m]^T∈R^m，a_b＞0，b∈I[1,m]，向量值饱和函数sat_α(·):R^m→R^m定义为

${\mathrm{sat}}_a\left(\mathrm{\β}\right)={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{sat}}_{a_1}\left({\mathrm{\β}}_1\right)& {\mathrm{sat}}_{a_2}\left({\mathrm{\β}}_2\right)& \·\·\·& {\mathrm{sat}}_{a_m}\left({\mathrm{\β}}_m\right)\end{array}\right]}^T$

其中，如果a_b＝1，b∈I[1,m]，则sat_α(·)简写为sat(·)，sat(·)称之为单位饱和函数；I[1,m]表示整数集合{1,2,...,m}，R^m表示的是m维状态空间；

设追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置和相对速度分量分别为x,y,z,a_x，a_y和a_z分别表示在三个坐标轴方向的加速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别为推力器在三个坐标轴方向产生的最大加速度分量，且α＞0表示饱和水平；

令D＝diag{α_X,α_Y,α_Z}、a＝[a_x,a_y,a_z]^T，可以得到

$u=[{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_X}\left(a_x\right),{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_Y}\left(a_y\right),{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_Z}\left(a_z\right){]}^T=\mathrm{Dsat}\left(D^{-1}a\right)---\left(1\right);$

选取相对运动状态向量 $X={\left[\begin{array}{cccccc}x& y& z& \stackrel{\·}{x}& \stackrel{\·}{y}& \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]}^T$ 和控制向量U＝D^-1a，得到目标航天器与追踪航天器的相对运动状态空间描述如式(2)

$\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bsat}\left(U\right)+\mathrm{\μf}\left(X\right)---\left(2\right)$

其中 $A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 2n^2& 0& 0& 0& 2n& 0\\ 0& 0& 0& -2n& 0& 0\\ 0& 0& -n^2& 0& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]D,$

f(X)＝[0,0,0,f₁(X),f₂(X),f₃(X)]^T (3)，

公式(3)中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(X\right)=-\frac{2n^{2}x}{\mathrm{\μ}}+\frac{n^{2}R}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σR}-\mathrm{\σx}\\ f_2\left(X\right)=\frac{n^{2}y}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σy}\\ f_3\left(X\right)=\frac{n^{2}z}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σz}\end{array}\right.---\left(4\right),$

公式(4)中对σ在原点进行泰勒展开并保留到二阶项，得到

$\mathrm{\σ}\≈\frac{1}{R^3}-\frac{3}{R^4}x+\frac{6}{R^5}{x}^2-\frac{3}{2R^5}{y}^2-\frac{3}{2R^5}{z}^2---\left(5\right),$

将(5)代入(4)中，式(2)可以表示为

$\stackrel{\·}{X}=(A+\mathrm{EJ}\left(t\right)F)X+\mathrm{Bsat}\left(U\right)---\left(6\right),$

公式(6)中

$E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\α}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\α}\end{array}\right],F=\frac{2\mathrm{\λ}\sqrt{3}}{3\mathrm{\α}}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{l}x& \frac{1}{2l}& \frac{1}{2l}z\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}y& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}z& 0& 0\end{array}\right]$

其中以及α＝min{|α_X|，|α_Y|,|α_Z|}；

当目标航天器与追踪航天器间的距离小于50km时，即：时，C-W方程是足够精确的；当 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}\≤50\mathrm{km},\∀t\∈R$ 时， $J^T\left(t\right)J\left(t\right)\≤I_3,\∀t\∈R,$

I₃为3·3的单位矩阵；

步骤2：设计航天器轨道交会的增益调度控制器，具体过程如下；

步骤2.1：求解参量Riccati方程(7)

A^TP+PA-PBB^TP+F^TF+γP＝0, (7)

对应的反馈增益为K＝-B^TP，γ为大于零的实数，代表闭环的收敛速度；

参量Riccati方程满足以下性质：

①对于γ＞0，参量Riccati方程(7)具有唯一对称正定解P(γ)；

②闭环系统的特征值满足 ${\mathrm{\λ}}_j(A+\mathrm{BK})\≤-\frac{\mathrm{\γ}}{2},j\∈I\left[\mathrm{1,6}\right];$ 则闭环系统 ${\stackrel{\·}{x}}_c\left(t\right)=(A+\mathrm{BK})x_c\left(t\right)$ 的状态收敛到原点的速度大于或等于

③P(γ)是可微的有理分式矩阵且是关于γ的单调递增矩阵函数，即dP(γ)/dγ＞0；

步骤2.2：设计实数集合如(8)所示

Γ_N＝{γ₀,γ₁,…,γ_N},0＜γ_i-1＜γ_i,i∈I[1,N] (8)

其中N是给定的正整数；

将两航天器的相对运动状态空间用椭球集合描述，对于γ_h∈Γ_N,h∈I[0,N]，由二次函数X^TP(γ)X设计如下椭球集合

$E\left(P_{\mathrm{\γh}}\right)=\{X\∈R^6:\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\≤1\}---\left(9\right)$

其中 $\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)=\underset{k=\mathrm{1,2,3}}{\max }\left\{B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)B_k\right\},$ $P_{{\mathrm{\γ}}_h}=\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)P\left({\mathrm{\γ}}_h\right),$ B_k是B的第k列；

由参量Riccati方程的性质③可知：椭球集合是嵌套的，即当γ₁＜γ₂时，有 $E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_2}\right)\⋐E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_1}\right);$

假设式(6)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内；γ的初值γ₀，定义γ₀为

${\mathrm{\γ}}_0={\mathrm{\γ}}_0\left(\mathrm{\Ω}\right)=\underset{X\∈\mathrm{\Ω}}{\min }\{\mathrm{\γ}:\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\γ}\right)X^{T}P\left(\mathrm{\γ}\right)X=1\}---\left(10\right)$

如果Ω已知，γ₀可通过二分法求得；γ₁,…,γ_N根据初值γ₀按设计要求和公式(8)求得；

相对运动状态向量X在集合(11)中

$L_h=\{X:|\left|B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\right||\≤1\},k\∈I\left[\mathrm{1,3}\right]---\left(11\right)$

当使用所设计的增益调度控制器U＝-B^TP(γ)X时，执行器不会发生饱和；

根据公式(9)，对于，有

$\begin{array}{c}\left|\right|B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X|{|}^2\≤|\left|B_k^T{P}^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\γ}}_h\right){\left|\right|}^2\right||P^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\γ}}_h\right){X\left|\right|}^2\\ =B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)B_k{X}^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\\ \≤\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\\ =1\end{array}---\left(12\right)$

其中k∈I[1,3]，则由(9)，(11)和(12)，可知

$E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_h}\right)\⊆L_h---\left(13\right)$

对于执行器不会发生饱和且sat(B^TP(γ_h)X)可以简化为B^TP(γh₎X，即

$X\∈\left(P_{{\mathrm{\γ}}_h}\right)\⇒\mathrm{sat}\left(B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\right)=B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X---\left(14\right);$

步骤2.3：设计离散增益调度控制器

令P(γ)是代数参量Riccati方程(7)的唯一对称正定解，且η_h是非负实数；设计如下增益调度控制器

$U=\left\{\begin{array}{c}{U}_N=-(1+{\mathrm{\η}}_N)B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_N\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_N}\right),\\ U_{N-1}=-(1+{\mathrm{\η}}_{N-1})B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_{N-1}\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_{N-1}}\right)\backslash E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_N}\right),\\ \·\\ \·\\ \·\\ U_0=-(1+{\mathrm{\η}}_0)B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_0}\right)\backslash \left(P_{{\mathrm{\γ}}_1}\right),\end{array}\right.---\left(15\right)$

式(15)用于完成航天器轨道交会，且椭球集合包含在闭环系统的吸引域中；增益调度控制器U＝U_i-1的工作时间不超过T_i-1秒，其中

$T_{i-1}\≤\frac{1}{{\mathrm{\γ}}_{i-1}}\ln \left(\frac{\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_i\right)}{\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_{i-1}\right)}{\mathrm{\λ}}_{\max }\right\{P\left({\mathrm{\γ}}_i\right)P^{-1}\left({\mathrm{\γ}}_{i-1}\right)\left\}\right)---\left(16\right)$

步骤3：在初始相对运动状态向量为X(0)时，增益调度控制器(15)开始工作于航天器轨道交会系统，按照U₀→U₁→…→U_N-1→U_N的顺序依次作用于式(6)，相对运动状态向量X由最外部的椭球依次进入到内部的椭球，最后进入到最内部的椭球，最终收敛到平衡点。根据代数参量Riccati方程的性质②，γ代表闭环的收敛速度；因此，随着时间的增加，所设计的增益调度控制器提高了闭环的收敛速度，即提高了闭环的动态性能，增益调度控制器切换示意图见图2。

具体实施方式二：本实施方式所述的步骤3中“在初始相对运动状态向量为X(0)”对应的γ₀的求解过程为：

对于初始相对运动状态向量X(0)，γ₀是非线性方程(17)的唯一解：

$\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X_0^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X_0=1---\left(17\right)$

由于P(γ)关于γ是单调的，非线性方程(17)能够通过二分法进行求解。

其它步骤与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式所述的步骤3中“增益调度控制器(15)开始工作于航天器轨道交会系统，控制器(15)按照U₀→U₁→…→U_N-1→U_N的顺序依次作用于式(6)”的实现过程为：

设置一个当前变量r，其初值为r＝0且相应的控制器为U＝U₀，如果r≤N-1，对于每个时刻的相对运动状态向量X(t)，计算

如果则增益调度控制器U＝U_r+1并令r＝r+1；否则增益调度控制器U＝U_r，相对运动状态向量X由最外部的椭球依次进入到内部的椭球；当增益调度控制器切换到U＝U_N时，相对运动状态向量X进入到最内部的椭球，最终收敛到平衡点，控制器不再切换，即无需再对(18)式进行计算。

其它步骤与具体实施方式二相同。

具体实施例

直接针对原始非线性方程(2)进行仿真。假设目标星运行在地球同步卫星轨道上，设定如下技术参数：

轨道半径：R＝42241km；

轨道运行周期：T＝24h；

目标星轨道角速度：n＝7.2722×10^-5rad/s；

引力常数：μ＝3.986×10¹⁴m³/s²；

初始时刻两航天器的相对运动状态：X(0)＝[10,00010,00010,00053-1]^T；

推力器在三个坐标轴方向所提供的最大加速度：|a_x|≤0.5N/kg，|a_y|≤0.5N/kg，|a_z|≤0.5N/kg。

根据具体实施方式二计算得到γ₀＝0.00267。式(8)中的集合Γ_N可以按着指数增加的方法进行设计：

γ_i＝γ₀Δγⁱ (19)

其中Δγ＞1是一个给定的常数。

选择指数增长方式(19)设计Γ_N，为了说明适当增加控制器的切换次数N可以提高闭环的收敛速度，分别对N＝50,，N＝25和N＝0三种情况进行了仿真分析。其中，Δγ＝1.01，η_h＝100。根据以上参数，利用MATLAB软件对两航天器的交会过程进行模拟仿真。

控制器作用效果：根据上述描述，计算出离散增益调度鲁棒控制器U。将此控制器应用于追踪航天器，使其从初始位置开始逐渐靠近目标航天器，并与之交会成功。两航天器相对运动轨迹的变化曲线在图3中，从图中可以看出所提控制方法成功地完成了航天器轨道交会任务。另外，当N＝50时，两航天器的交会时间约为3000s，较N＝25时交会时间节省了约1000s，较N＝0时，大约节省了2000s。本实施例中两航天器交会过程中推力器在三个坐标轴所提供的实际加速度如图4所示：在整个交会的过程中，所提控制方法不仅充分利用了执行器的控制能力且控制输入(推力器产生的加速度)没有超出最大控制输入(推力器所能产生的最大加速度)。

Claims (3)

1.考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，其特征在于它包括下述步骤：

步骤1：引入目标飞行器轨道坐标系O-XYZ，其原点O位于目标航天器的质心，X轴沿着圆轨道半径R的方向，Y轴沿着追踪航天器飞行的方向，Z轴指向轨道平面外与X轴和Y轴构成右手坐标系；引力常数μ＝GM，其中M为中心星体质量，G为万有引力常数；目标飞行器的轨道角速度为

首先，定义符号函数和饱和函数：

符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝-1；对于向量a＝[a₁,a₂,…,a_m]^T∈R^m，a_b＞0，b∈I[1,m]，向量值饱和函数sat_α(·):R^m→R^m定义为

${\mathrm{sat}}_a\left(\mathrm{\β}\right)={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{sat}}_{a_1}\left({\mathrm{\β}}_1\right)& {\mathrm{sat}}_{a_2}\left({\mathrm{\β}}_2\right)& \·\·\·& {\mathrm{sat}}_{a_{}m}\left({\mathrm{\β}}_m\right)\end{array}\right]}^T$

其中，如果a_b＝1，b∈I[1,m]，则sat_α(·)简写为sat(·)，sat(·)称之为单位饱和函数；I[1,m]表示整数集合{1,2,...,m}，Rm表示的是m维状态空间；

设追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置和相对速度分量分别为x,y,z,a_x，a_y和a_z分别表示在三个坐标轴方向的加速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别为推力器在三个坐标轴方向产生的最大加速度分量，且α＞0表示饱和水平；

令D＝diag{α_X,α_Y,α_Z}、a＝[a_x,a_y,a_z]^T，可以得到

$u=[{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_X}\left(a_x\right),{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_Y}\left(a_y\right),{\mathrm{sat}}_{{\mathrm{\α}}_Z}\left(a_z\right){]}^T=\mathrm{Dsat}\left(D^{-1}a\right)---\left(1\right);$

选取相对运动状态向量 $X={\left[\begin{array}{cccccc}x& y& z& \stackrel{\·}{x}& \stackrel{\·}{y}& \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]}^T$ 和控制向量U＝D^-1a，得到目标航天器与追踪航天器的相对运动状态空间描述如式(2)

$\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bsat}\left(U\right)+\mathrm{\μf}\left(X\right)---\left(2\right)$ 其中 $A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 2n^2& 0& 0& 0& 2n& 0\\ 0& 0& 0& -2n& 0& 0\\ 0& 0& -n^2& 0& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]D,$

f(X)＝[0,0,0,f₁(X),f₂(X),f₃(X)]^T (3)，

公式(3)中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(X\right)=-\frac{2n^{2}x}{\mathrm{\μ}}+\frac{n^{2}R}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σR}-\mathrm{\σx}\\ f_2\left(X\right)=\frac{n^{2}y}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σy}\\ f_3\left(X\right)=\frac{n^{2}z}{\mathrm{\μ}}-\mathrm{\σz}\end{array}\right.---\left(4\right),$ 公式(4)中对σ在原点进行泰勒展开并保留到二阶项，得到

$\mathrm{\σ}\≈\frac{1}{R^3}-\frac{3}{R^4}x+\frac{6}{R^5}{x}^2-\frac{3}{2R^5}{y}^2-\frac{3}{2R^5}{z}^2---\left(5\right),$

将(5)代入(4)中，式(2)表示为

$\stackrel{\·}{X}=(A+\mathrm{EJ}\left(t\right)F)X+\mathrm{Bsat}\left(U\right)---\left(6\right),$

公式(6)中

$E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\α}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\α}\end{array}\right],F=\frac{2\mathrm{\λ}\sqrt{3}}{3\mathrm{\α}}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{l}x& \frac{1}{2l}& \frac{1}{2l}z\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}y& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}z& 0& 0\end{array}\right]$

其中以及α＝min{|α_X|,|α_Y|,|α_Z|}；

步骤2：设计航天器轨道交会的增益调度控制器，具体过程如下；

步骤2.1：求解参量Riccati方程(7)

A^TP+PA-PBB^TP+F^TF+γP＝0, (7)

对应的反馈增益为K＝-B^TP，γ为大于零的实数，代表闭环的收敛速度；

步骤2.2：设计实数集合如(8)所示

Γ_N＝{γ₀,γ₁,…,γ_N},0＜γ_i-1＜γ_i,i∈I[1,N] (8)

其中N是给定的正整数；

将两航天器的相对运动状态空间用椭球集合描述，对于γ_h∈Γ_N,h∈I[0,N]，由二次函数X^TP(γ)X设计如下椭球集合

$E\left(P_{\mathrm{\γh}}\right)=\{X\∈R^6:\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\≤1\}---\left(9\right)$

其中， $\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)=\underset{k=\mathrm{1,2,3}}{\max }\left\{B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)B_k\right\},$ $P_{{\mathrm{\γ}}_h}=\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)P\left({\mathrm{\γ}}_h\right),$ B_k是B的第k列；

由参量Riccati方程(7)可知：椭球集合是嵌套的，即当γ₁＜γ₂时，则有 $E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_2}\right)\⋐E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_1}\right);$

假设式(6)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内；γ的初值为γ₀，定义γ₀为

${\mathrm{\γ}}_0={\mathrm{\γ}}_0\left(\mathrm{\Ω}\right)=\underset{X\∈\mathrm{\Ω}}{\min }\{\mathrm{\γ}:\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\γ}\right)X^{T}P\left(\mathrm{\γ}\right)X=1\}---\left(10\right)$

如果Ω已知，γ₀可通过二分法求得；γ₁,…,γ_N根据初值γ₀按(8)的要求设计；

相对运动状态向量X在集合(11)中

$L_h=\{X:|\left|B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\right||\≤1\},k\∈I\left[\mathrm{1,3}\right]---\left(11\right)$

当使用所设计的增益调度控制器U＝-B^TP(γ)X时，执行器不会发生饱和；

根据公式(9)，对于有

$\begin{array}{c}\left|\right|B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X|{|}^2\≤|\left|B_k^T{P}^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\γ}}_h\right){\left|\right|}^2\right||P^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\γ}}_h\right){X\left|\right|}^2\\ =B_k^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)B_k{X}^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\\ \≤\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\\ =1\end{array}---\left(12\right)$

其中k∈I[1,3]，则由(9)，(11)和(12)，可知

$E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_h}\right)\⊆L_h---\left(13\right)$

对于执行器不会发生饱和，从而可简化为即

$X\∈\left(P_{{\mathrm{\γ}}_h}\right)\⇒\mathrm{sat}\left(B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X\right)=B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_h\right)X---\left(14\right);$

步骤2.3：设计离散增益调度控制器

令P(γ)是代数参量Riccati方程(7)的唯一对称正定解，且η_h是非负实数；设计如下增益调度控制器

$U=\left\{\begin{array}{c}{U}_N=-(1+{\mathrm{\η}}_N)B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_N\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_N}\right),\\ U_{N-1}=-(1+{\mathrm{\η}}_{N-1})B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_{N-1}\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_{N-1}}\right)\backslash E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_N}\right),\\ \·\\ \·\\ \·\\ U_0=-(1+{\mathrm{\η}}_0)B^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X,X\∈E\left(P_{{\mathrm{\γ}}_0}\right)\backslash \left(P_{{\mathrm{\γ}}_1}\right),\end{array}\right.---\left(15\right)$

式(15)用于完成航天器轨道交会，且椭球集合包含在闭环系统的吸引域中；增益调度控制器U＝U_i-1的工作时间不超过T_i-1秒，其中

$T_{i-1}\≤\frac{1}{{\mathrm{\γ}}_{i-1}}\ln \left(\frac{\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_i\right)}{\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_{i-1}\right)}{\mathrm{\λ}}_{\max }\right\{P\left({\mathrm{\γ}}_i\right)P^{-1}\left({\mathrm{\γ}}_{i-1}\right)\left\}\right)---\left(16\right)$

步骤3：在初始相对运动状态向量为X(0)时，增益调度控制器(15)开始工作于航天器轨道交会系统，按照U₀→U₁→…→U_N-1→U_N的顺序依次作用于式(6)，相对运动状态向量X由最外部的椭球依次进入到内部的椭球，最后进入到最内部的椭球，并最终收敛到平衡点。

2.根据权利要求1所述的考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，其特征在于，步骤3中“在初始相对运动状态向量为X(0)”对应的γ₀的求解过程为：

对于初始相对运动状态向量X(0)，γ₀是非线性方程(17)的唯一解：

$\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X_0^{T}P\left({\mathrm{\γ}}_0\right)X_0=1---\left(17\right)$

由于P(γ)关于γ是单调的，非线性方程(17)能够通过二分法进行求解。

3.根据权利要求2所述的考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，其特征在于，步骤3中“增益调度控制器(15)开始工作于航天器轨道交会系统，控制器(15)按照U₀→U₁→…→U_N-1→U_N的顺序依次作用于式(6)”的实现过程为：

设置一个当前变量r，其初值为r＝0且相应的控制器为U＝U₀，如果r≤N-1，对于每个时刻的相对运动状态向量X(t)，计算

如果则增益调度控制器U＝U_r+1并令r＝r+1；否则增益调度控制器U＝U_r，相对运动状态向量X由最外部的椭球依次进入到内部的椭球；当增益调度控制器切换到U＝U_N时，相对运动状态向量X进入到最内部的椭球，并最终收敛到平衡点，控制器不再切换，即无需再对(18)式进行计算。