CN105843077B - 一种航天器交会系统的增益切换方法及最大吸引域估计 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种航天器交会系统的增益切换方法及最大吸引域估计，该方法为，首先建立航天器交会相对运动模型，其次提出航天器交会系统的增益切换方法，最后通过求解凸优化问题，给出在增益切换方法下闭环系统的最大吸引域估计。本发明将航天器非对称执行器饱和控制问题转化为执行器对称饱和控制问题。本发明的控制器计算只需要求解线性矩阵不等式，计算简单易行；改善了闭环系统动态性能；同时给出了闭环系统最大吸引域的估计。

Description

一种航天器交会系统的增益切换方法及最大吸引域估计

技术领域

本发明属于航天领域，具体涉及一种执行器非对称饱和航天器交会系统的增益切换方法及最大吸引域估计。

背景技术

航天器轨道交会是指一个航天器(称为追踪航天器)主动追踪、靠近另一个航天器(称为目标航天器)，使两者能实施对接的空间使命。粗略地说，交会是指一个运行在圆形或椭圆形轨道上的目标飞行器，其轨道附近的追踪飞行器通过调整自身的轨道，最终跟随上目标飞行器，让他们最终具有相同的轨道参数。航天器交会是实现一些高级空间操作的先决条件。

航天器轨道交会要受到推力器产生的加速度的约束，当根据控制器的设计而得到的加速度超过了最大加速度时，实际的控制系统将不能按照设计的方式运行，这将影响控制系统的控制品质及稳定性，导致航天器交会任务不能顺利完成。现有的研究方法大多关注航天器交会系统的执行器对称饱和问题而对于执行器非对称饱和的控制问题相关研究结果较少。研究航天器交会的执行器非对称饱和控制问题具有重要的理论及应用价值。

发明内容

本发明为解决具有执行器非对称饱和的航天器交会系统的稳定性和安全性问题，提出了一种执行器非对称饱和航天器交会系统的增益切换方法及最大吸引域估计。本发明的主要贡献在于将非对称饱和控制问题转化为对称饱和控制问题，通过引入设计参数提高了闭环系统状态的收敛速度并给出最大吸引域的估计。

本发明为解决上述技术问题采用的技术方案为：一种执行器非对称饱和航天器交会系统的增益切换方法是通过下述步骤来实现的：

步骤一：建立航天器交会相对运动模型

首先给出单位饱和函数的定义：

考虑两个航天器的相对运动方程

其中，

并且相对运动状态向量

控制输入向量

V＝[a_X,a_Y,a_Z]^T

x,y,z,分别表示追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置和相对速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别表示为在三个坐标轴方向的加速度分量，(μ为引力常数，R为目标轨道半径)为目标航天器轨道角速度。

考虑执行器非对称饱和时，系统(2)可以重新写为

其中SAT表示非对称饱和，定义为

这里α_h≠β_h为大于零的实数,h＝1,2,3。

通过参数变换，将SAT(V)表示为

SAT(V)＝D₁sat(U)+D₂f, (6)

其中

将(6)式代入(4)式可得

其中B₁＝BD₁,B₂＝BD₂；

综上所述，将航天器交会系统的执行器非对称饱和控制问题转化为具有有界干扰的执行器对称饱和控制问题。

步骤二：航天器交会系统的增益切换

1)控制律的设计

U＝KX，

其中增益

K＝HP^-1，

P∈R^6×6为对称正定矩阵，H∈R^3×6为3行6列实矩阵，R为欧几里得空间。

2)设计嵌套椭球集合

考虑集合

Φ_N＝{ξ₀,ξ₁,…,ξ_N},ξ_i-1＜ξ_i,i＝1,2,...,N, (8)

其中N是任意给定的正整数。对于任意ξ_j∈Φ_N,定义椭球集合

Υ_j＝{X∈R⁶:ξ_jX^TP^-1(ξ_j)X≤1},j＝0,1,2,...,N (9)

假设系统(7)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内。定义ξ₀为

对于任意j＝0,1,...,N，考虑集合

Θ_j＝{X:||K_jX||≤1} (11)

当系统状态在该集合中且所设计的控制增益为时，执行器不会发生饱和。

考虑到(9)和(11)，为了保证

也就是为了保证对于任意X∈Υ_j，执行器不会发生饱和。矩阵P_j和H_j需要满足下面的不等式：

其中，I为3*3的单位矩阵。

为了保证椭球Υ_j的嵌套性，矩阵需要满足下面的不等式：

3)设计切换增益

控制增益根据系统状态的变化进行切换，具体如下所示

4)闭环系统的稳定性分析

根据上面设计的控制增益K可知，控制器为

U＝KX, (16)

在控制器(16)作用下，得到闭环系统

定义如下集合：

Π_i-1＝Υ_i-1\Υ_i,i＝1,2,...,N (18)

当X∈Π_i-1时，选取Lyapunov函数

当X∈Υ_N时，选取Lyapunov函数

为了证明闭环系统(17)的稳定性，需要证明

即证明集合Υ_i-1是严格不变集合，需要满足下面的不等式

其中Ψ₁₁＝AP_i-1+P_i-1A^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ_i-1P_i-1，

且需要证明

成立，即状态X_i-1最终将进入到椭球集合Υ_N中且不再离开集合Υ_N，需要满足如下不等式

其中Ψ₁₁＝AP_N+P_NA^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ_NP_N。

一种执行器非对称饱和航天器交会系统的增益切换方法及最大吸引域估计，具体为：求解如下凸优化问题

其中Ψ₁₁＝AP₀+P₀A^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ₀P₀

第三个不等式保证了ηΞ∈Υ₀，Ξ＝{x∈R⁶|X^TQX≤1,Q＞0}。

控制器的实施

1)对于任意初始状态X(0)，ξ₀可以通过求解非线性方程

得到。

2)式(8)中的集合Φ_N可以任意进行设计。下面给出一种简单的方法。

其中ξ_N＞ξ₀是一个给定的常数。

3)根据前两步得到的参数值，求解线性矩阵不等式(13)、(14)、(22)和(24)得到正定对称矩阵P_j和矩阵H_j的值，j＝0,1，2,…,N。

4)按照(15)和(16)设计控制器U。

5)控制增益(15)的切换非常简单。首先给出一个变量w(初值为w＝0)，此时的增益为K＝K₀。当w≤N-1时，对于任意时刻的状态X(t)，计算

的值，当d(X)≤0时，增益进行切换即K＝K_w+1并令w＝w+1；否则增益不进行切换K＝K_w。

本发明与现有技术相比具有以下效果：

本发明将航天器非对称执行器饱和控制问题转化为执行器对称饱和控制问题。本发明的控制器计算只需求解线性矩阵不等式，计算简单易行；改善了闭环系统动态性能；同时给出了闭环系统最大吸引域的估计。

附图说明

图1目标航天器轨道坐标系；

图2嵌套椭球；

图3航天器相对距离变化曲线，其中N表示增益的切换次数；

图4航天器相对速度变化曲线，其中N表示增益的切换次数；

图5控制输入曲线，其中N表示增益的切换次数。

具体实施方式

一种执行器非对称饱和航天器交会系统的增益切换方法，该方法具体包括以下步骤：

步骤一：建立航天器交会相对运动模型

首先给出单位饱和函数的定义：

考虑两个航天器的相对运动方程

其中，

并且相对运动状态向量

控制输入向量

V＝[a_X,a_Y,a_Z]^T

x,y,z,分别表示追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴(X轴，Y轴和Z轴如图1所示)上的相对位置和相对速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别表示为在三个坐标轴方向的加速度分量，(μ为引力常数，R为目标轨道半径)为目标航天器轨道角速度。

考虑执行器非对称饱和时，系统(2)可以重新写为

其中SAT表示非对称饱和，定义为

这里α_h≠β_h为大于零的实数,h＝1,2,3。

通过参数变换，将SAT(V)表示为

SAT(V)＝D₁sat(U)+D₂f, (6)

其中

将(6)式代入(4)式可得

其中B₁＝BD₁,B₂＝BD₂；

综上所述，将航天器交会系统的执行器非对称饱和控制问题转化为具有有界干扰的执行器对称饱和控制问题。

步骤二：航天器交会系统的增益切换

3)控制律的设计

U＝KX，

其中增益

K＝HP^-1，

P∈R^6×6为对称正定矩阵，H∈R^3×6为3行6列实矩阵，R为欧几里得空间。

4)设计嵌套椭球集合

考虑集合

Φ_N＝{ξ₀,ξ₁,…,ξ_N},ξ_i-1＜ξ_i,i＝1,2,...,N, (8)

其中N是任意给定的正整数。对于任意ξ_j∈Φ_N,定义椭球集合

Υ_j＝{X∈R⁶:ξ_jX^TP^-1(ξ_j)X≤1},j＝0,1,2,...,N (9)

假设系统(7)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内。定义ξ₀为

对于任意j＝0,1,...,N，考虑集合

Θ_j＝{X:||K_jX||≤1} (11)

当系统状态在该集合中且所设计的控制增益为时，执行器不会发生饱和。

考虑到(9)和(11)，为了保证

也就是为了保证对于任意X∈Υ_j，执行器不会发生饱和。矩阵P_j和H_j需要满足下面的不等式：

其中，I为3*3的单位矩阵。

为了保证椭球Υ_j的嵌套性(如图2所示)，矩阵需要满足下面的不等式：

3)设计切换增益

控制增益根据系统状态的变化进行切换，具体如下所示

4)闭环系统的稳定性分析

根据上面设计的控制增益K可知，控制器为

U＝KX, (16)

在控制器(16)作用下，得到闭环系统

定义如下集合：

Π_i-1＝Υ_i-1\Υ_i,i＝1,2,...,N (18)

当X∈Π_i-1时，选取Lyapunov函数

当X∈Υ_N时，选取Lyapunov函数

为了证明闭环系统(17)的稳定性，需要证明

即证明集合Υ_i-1是严格不变集合，需要满足下面的不等式

其中Ψ₁₁＝AP_i-1+P_i-1A^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ_i-1P_i-1，

且需要证明

成立，即状态X_i-1最终将进入到椭球集合Υ_N中且不再离开集合Υ_N，需要满足如下不等式

其中Ψ₁₁＝AP_N+P_NA^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ_NP_N。

上述增益切换控制方法下航天器交会系统的最大吸引域估计，具体为：

求解如下凸优化问题

其中Ψ₁₁＝AP₀+P₀A^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ₀P₀

第三个不等式保证了ηΞ∈Υ₀，Ξ＝{x∈R⁶|X^TQX≤1,Q＞0}。

控制器的实施

6)对于任意初始状态X(0)，ξ₀可以通过求解非线性方程

得到。

7)式(8)中的集合Φ_N可以任意进行设计。下面给出一种简单的方法。

其中ξ_N＞ξ₀是一个给定的常数。

8)根据前两步得到的参数值，求解线性矩阵不等式(13)、(14)、(22)和(24)得到正定对称矩阵P_j和矩阵H_j的值，j＝0,1，2,…,N。

9)按照(15)和(16)设计控制器U。

10)控制增益(15)的切换非常简单。首先给出一个变量w(初值为w＝0)，此时的增益为K＝K₀。当w≤N-1时，对于任意时刻的状态X(t)，计算

的值，当d(X)≤0时，增益进行切换即K＝K_w+1并令w＝w+1；否则增益不进行切换K＝K_w。

针对系统(7)进行仿真并结合图3至图5说明本实施例。假设目标航天器运行在地球同步卫星轨道上，给出如下技术参数：

目标航天器轨道角速度：n＝7.2722×10^-5rad/s；

两航天器初始时刻的相对运动状态：X(0)＝[10 10 10 -0.5 3 -1]^T；

根据控制器实施步骤1)计算得到ξ₀＝0.004。根据步骤2)中式(26)设计Φ_N，其中，ξ_N＝0.04，N＝4。根据步骤3)求解线性矩阵不等式(13)、(14)、(22)和(24)，利用MATLAB软件中LMI工具箱求解矩阵P_j和矩阵H_j,j＝0,1,...,N。根据以上求得的参数，根据步骤4)设计控制增益K。

仿真结果分析：

图3和图4给出了航天器交会系统的相对位置和相对速度曲线。从图中可以看出，当N＝4时两航天器完成交会的时间约为200秒较N＝0时的交会时间至少节省了800秒。说明当增加切换次数N时，对应的参数ξ值增加，进而控制增益的范数也增加，改善了闭环系统的动态性能。图5给出了控制输入曲线，从图中可以看出控制输入没有超出最大控制输入。

Claims (2)

1.一种航天器交会系统的增益切换方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：

步骤一：建立航天器交会相对运动模型

首先给出单位饱和函数的定义：

考虑两个航天器的相对运动方程

其中，

并且相对运动状态向量

控制输入向量

V＝[a_X,a_Y,a_Z]^T

x,y,z,分别表示追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置和相对速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别表示为在三个坐标轴方向的加速度分量，为目标航天器轨道角速度，μ为引力常数，R为目标轨道半径；

执行器非对称饱和时，系统(2)可以重新写为

其中SAT表示非对称饱和，定义为

这里α_h≠β_h,为大于零的实数，h＝1,2,3；

通过参数变换，将SAT(V)表示为

SAT(V)＝D₁sat(U)+D₂f ,(6)

其中

f＝[1 1 1]^T，

将(6)式代入(4)式可得

其中B₁＝BD₁,B₂＝BD₂；

综上所述，将航天器交会系统的执行器非对称饱和控制问题转化为具有有界干扰的执行器对称饱和控制问题；

步骤二：航天器交会系统的增益切换

1)控制律的设计

U＝KX，

其中增益

K＝HP^-1，

P∈R^6×6为对称正定矩阵，H∈R^3×6为3行6列实矩阵，R为欧几里得空间；

设计嵌套椭球集合

考虑集合

Φ_N＝{ξ₀,ξ₁,…,ξ_N},ξ_i-1＜ξ_i,i＝1,2,...,N, (8)

其中N是任意给定的正整数；对于任意ξ_j∈Φ_N,定义椭球集合

Υ_j＝{X∈R⁶:ξ_jX^TP^-1(ξ_j)X≤1},j＝0,1,2,...,N (9)

假设系统(7)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内；定义ξ₀为

对于任意j＝0,1,...,N，考虑集合

Θ_j＝{X:||K_jX||≤1} (11)

当系统状态在该集合中且所设计的控制增益为K_j＝H_jP_j ^-1时，执行器不会发生饱和；

考虑到(9)和(11)，为了保证

也就是为了保证对于任意X∈Υ_j，执行器不会发生饱和；矩阵P_j和H_j需要满足下面的不等式：

其中，I为3*3的单位矩阵；

为了保证椭球Υ_j的嵌套性，矩阵P_i ^-1需要满足下面的不等式：

3)设计切换增益

控制增益根据系统状态的变化进行切换，具体如下所示

4)闭环系统的稳定性分析

根据上面设计的控制增益K可知，控制器为

U＝KX, (16)

在控制器(16)作用下，得到闭环系统

定义如下集合：

Π_i-1＝Υ_i-1\Υ_i,i＝1,2,...,N (18)

当X∈Π_i-1时，选取Lyapunov函数

当X∈Υ_N时，选取Lyapunov函数

为了证明闭环系统(17)的稳定性，需要证明

即证明集合Υ_i-1是严格不变集合，需要满足下面的不等式

其中Ψ₁₁＝AP_i-1+P_i-1A^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ_i-1P_i-1，

且需要证明

成立，即状态X_i-1最终将进入到椭球集合Υ_N中且不再离开集合Υ_N，需要满足如下不等式

其中Ψ₁₁＝AP_N+P_NA^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ_NP_N。

2.根据权利要求1所述的一种航天器交会系统的增益切换方法的最大吸引域估计方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

求解凸优化问题

s.t.

其中

Ψ₁₁＝AP₀+P₀A^T+BD₁(BD₁)^T+BD₂(BD₂)^T+3ξ₀P₀

第三个不等式保证了ηΞ∈Υ₀，Ξ＝{X∈R⁶|X^TQX≤1,Q＞0}。