CN104898691A - 编队卫星有限时间构型包含控制方法 - Google Patents

Abstract

编队卫星有限时间构型包含控制方法，涉及编队卫星构型包含控制方法。为了解决现有的多星系统编队控制方法的鲁棒性较差的问题和使用的卫星间通讯拓扑为无向图不能完全符合实际应用环境的问题。本发明根据建立的参考卫星和伴随卫星的相对运动动力学方程，建立卫星编队系统的编队卫星i与相对参考点的相对轨道动力学模型并简化为根据各个编队卫星i的编队形式，给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵，设计多动态领航星卫星编队系统的分布式有限时间构形包含控制律，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。本发明适用于编队卫星构型的控制领域。

Description

编队卫星有限时间构型包含控制方法

技术领域

本发明涉及编队卫星构型包含控制方法。

背景技术

自1957年苏联发射第一颗人造地球卫星，使人类进入太空的梦想成为现实以来，经过50余年的发展，航天技术已成为现代科学技术中最具影响力的高水平技术之一，对世界各国的政治、经济、军事以及人类生活的各个方面都产生了广泛而深远的影响。这些卫星被应用于人类生活的方方面面，如通讯卫星、气象卫星、军事侦察卫星、深空探测等。但是随着航天技术的不断发展，航天任务越来越多样化，使得单一卫星的体积变大，结构也越来越复杂，以适应多变的环境。并且，一旦卫星某结构出现故障，整个任务可能面临失败的危险。因此，20世纪90年代后期，多星协同编队控制方法应运而生。

相对于单星控制，多星系统编队控制具有以下优点：具有更高的灵活性和冗余度、对故障具有较好的容错能力，降低任务失败的风险、更低廉的发射和制造成本、简化日常操作维护、能在近地轨道为科学实验提供分布式空间平台。并且可以根据不同的科研任务，改变卫星间的拓扑结构，实时改变系统性能指标。当前的编队控制按照控制策略的位置不同可以分为主从式和分布式；

吴锦杰等人的《基于对偶四元数的卫星主从式编队姿轨跟踪的优化控制》在对偶四元数的框架下研究了主从式编队卫星相对姿态和相对位置跟踪控制的优化问题。主从结构具有方法成熟、控制器易于实现等优点，但存在单点失败的可能，一旦主星受到摄动影响而偏离轨道，整个编队系统将存在失控的风险。并且，由于主从结构的领航星与跟随星之间没有信息交互，导致整个系统的鲁棒性较差。相比较而言，分布式结构的卫星编队控制策略具有更强的容错性和鲁棒性，近年来成为人们关注的热点。

毕鹏等人的《一种基于一致性理论的航天器编队飞行协同控制方法》利用一致性理论设计了非线性的航天器编队飞行协同控制律，使用的卫星间通讯拓扑为无向图，即要求卫星两两之间存在双向的信息交互。然而在实际应用中，往往不能满足双向通讯，例如某卫星上安装有单向的光学仪器测量其他卫星状态时，则不能按照无向通讯拓扑处理。并且空间飞行时卫星会受摄动影响，大多存在模型不确定性和未知干扰。因此基于有向图且考虑鲁棒性要求的编队卫星协同控制具有较大的研究意义，而多智能体领域的一些研究成果具有较好的借鉴价值。

胡敏等人的《卫星编队飞行有限时间控制方法》利用有限时间控制技术，设计了卫星编队构形维持控制律，为单个领航者的跟踪控制问题。在实际的应用中，类似卫星编队这类多智能体系统，不仅需要所有的编队卫星集合到某一共同状态或跟踪单个领航星，而且要集合到多领航星围成的构形凸包内。这种分布式控制方法称为包含控制，目前已引起了广泛关注。例如多个领航星检测到环境中的危险情况后形成一个安全区域，跟随星通过信息交互与分布式控制律最终运动到该区域内。

《Distributed Containment Control for Lagrangian Networks with ParametricUncertainties under a Directed Graph》考虑了参数不确定性，在存在多个动态领航者的情况下，基于有向图设计了分布式滑模估计器以及自适应算法。但是对于卫星编队问题，构形包含控制的研究结果目前还比较少。对卫星编队问题，有必要考虑有限时间需求的协同控制，因为对实际控制系统的控制行为，需要在一个有限时间内完成，否则应用价值和作用将受到影响。有限时间控制具有更快速的收敛性能、更强大的抗扰动性能以及更广泛的应用范围。《Distributed finite-time attitude containment control for multiple rigid bodies》设计了基于终端滑模控制理论的多智能体包含控制算法，并且证明闭环系统状态可以在有限时间内收敛。

发明内容

本发明为了解决现有的多星系统编队控制方法的鲁棒性较差的问题和使用的卫星间通讯拓扑为无向图不能完全符合实际应用环境的问题。

1、编队卫星有限时间构型包含控制方法，

建立在以下假设的基础上：

(1)所有领航星的时变形式的控制输入τ_oi＝[τ_oix τ_oiy τ_oiz]^T对所有跟随星都是未知的，但是其上界信息可以被领航星的相邻跟随星获得，即

(2)广义干扰τ_doi是时变且未知的，满足其中为未知、有界的正常数，定义 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}}_{\mathrm{do}}=\max ({\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}}_{\mathrm{do}1},...,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}}_{\mathrm{doN}});$

(3)存在正常数M，使得0<M≤min[|m_o1|,…,|m_oN+m|]；

(4)对于任意一个跟随星，至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径；

本方法包括以下步骤：

步骤一：地心惯性坐标系，如图1：原点在地心，O_iX_i轴沿地球赤道平面与黄道平面的交线，指向春分点γ，O_iZ_i轴指向北极，O_iY_i轴与O_iX_i、O_iZ_i轴形成右手旋转坐标系；轨道坐标系，如图2：原点在卫星质心，O_oZ_o轴指向地心方向，O_oX_o轴在轨道平面上与O_oZ_o轴垂直，指向卫星飞行方向，O_oY_o轴垂直于轨道平面，与O_oX_o、O_oZ_o轴形成右手坐标系；轨道坐标系与地心惯性坐标系的相对坐标系，如图3：原点与参考卫星s的质心固连并随其沿轨道运动，X轴与参考卫星的地心矢量r_s重合，由地心指向参考卫星s，Y轴在参考卫星的轨道面内垂直于X轴，并指向运动方向，Z轴由右手规则确定；

建立参考卫星和伴随卫星的相对运动动力学方程；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-2n\stackrel{\&CenterDot;}{y}+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}-n^2)(x+a)=f_x\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+2n\stackrel{\&CenterDot;}{x}+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}-n^2)y=f_y\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}+\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}z={=f}_z\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：x、y、z，和分别为伴随卫星与参考卫星在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考卫星的平均角速度μ为地心引力常数，a为参考卫星沿近圆轨道运动的轨道半径，r_c为伴随卫星到地心的距离；f_x，f_y和f_z分别为伴随卫星和参考卫星除地心引力外的其他作用力的合力的加速度矢量之差在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；

步骤二：在考虑广义干扰(包括未建模动力学、噪声、环境干扰等)的情况下，卫星编队系统及其参考轨道坐标系如图4，编队卫星i对应伴随卫星，相对参考点对应参考卫星，根据公式(1)，建立卫星编队系统的编队卫星i与相对参考点的相对轨道动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_i-2n{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_i-n^2{x}_i+\frac{\mathrm{\&mu;}(R_0+x_i)}{R_i^3}-\frac{\mathrm{\&mu;}}{R_0^2}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oix}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doix}}}{m_{\mathrm{oi}}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_i+2n{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i-n^2{y}_i+\frac{{\mathrm{\&mu;y}}_i}{R_i^3}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oiy}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doiy}}}{m_{\mathrm{oi}}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_i+\frac{{\mathrm{\&mu;z}}_i}{R_i^3}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oiz}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doiz}}}{m_{\mathrm{oi}}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中：x_i，y_i，z_i；和别为编队卫星i与参考点在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考点的平均角速度μ为地心引力常数，R₀为参考点沿近圆轨道运动的轨道半径，R_i为编队卫星i到地心的距离；m_oi为编队卫星i的质量，τ_oi＝[τ_oix τ_oiy τ_oiz]^T为作用在编队卫星i上的控制输入；τ_oix、τ_oiy、τ_oiz分别为控制输入在轨道坐标系的三个轴上的分量；τ_doi＝[τ_doix τ_doiy τ_doiz]^T为广义干扰(包括未建模动力学、噪声、环境干扰等)；τ_doix、τ_doiy、τ_doiz分别为广义干扰在轨道坐标系的三个轴上的分量；

将得出的卫星编队系统的编队卫星i相对参考点的相对轨道动力学模型转化为如公式(3)的简化形式，

$m_{\mathrm{oi}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_i+c_{\mathrm{oi}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_i+g_{\mathrm{oi}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oi}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doi}}---\left(3\right)$

其中p_i＝(x_i,y_i,z_i)^T， $c_{\mathrm{oi}}={2m}_{\mathrm{oi}}\left[\begin{array}{ccc}0& -n& 0\\ n& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],g_{\mathrm{oi}}=m_{\mathrm{oi}}\left[\begin{array}{c}-n^2{x}_i+\mathrm{\&mu;}(R_0+x_i)/R_i^3-\mathrm{\&mu;}/R_0^2\\ -n^2{y}_i+{\mathrm{\&mu;y}}_i/R_i^3\\ {\mathrm{\&mu;z}}_i/R_i^3\end{array}\right];$

设编队卫星i中有N个跟随星、m个领航星；跟随星记为i₁，与i₁对应的参数的角标均记为i₁；领航星记为i₂，与i₂对应的参数的角标均记为i₂；跟随星的数目大于领航星的数目；

跟随星i₁的相对轨道动力学模型为：

$m_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+g_{{\mathrm{oi}}_1}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_1}+{\mathrm{\&tau;}}_{d_{{\mathrm{oi}}_1}},i_1=1,...,N---\left(4\right)$

领航星i₂的相对动力学模型为：

$m_{{\mathrm{oi}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+g_{{\mathrm{oi}}_2}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_2},i_2=N+1,...,N+m---\left(5\right)$

其中为对应领航星的轨迹的控制输入与外界干扰的总和；

步骤三：根据各个编队卫星i的编队形式，对于任意一个跟随星，当至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径，给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵；

步骤四：根据步骤二得出的跟随星i₁的相对轨道动力学模型(4)，通过步骤三的拓扑结构中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的运算，设计多动态领航星卫星编队系统的分布式有限时间构形包含控制律，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。

本发明具有以下有益效果：

本发明只对跟随星进行控制，而且考虑广义干扰，控制律中只用到相邻编队卫星的信息，是严格的分布式控制，并且此控制为有限时间的包含控制，最终使跟随星在有限时间内进入领航星所形成的凸包内，这使多星系统编队控制具有较好的快速性，并更有实际应用价值，并且使用的卫星间通讯拓扑为有向图符合实际应用环境的问题。由于应用了滑模控制，所以在系统进入滑模面之后具有对外界干扰的不敏感，即可以在存在干扰的情况下依旧完成良好的控制性能。通过仿真分析，本发明的控制精度数值更低，收敛时间更短。

附图说明

图1地心惯性坐标系O_iX_iY_iZ_i示意图；

图2轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o示意图；

图3相对运动坐标系与地心惯性坐标系的关系示意图；

图4卫星编队系统及其参考轨道坐标系示意图；

图5跟随星与领航星的拓扑图；

图6p_i1,i＝1，…，13的轨迹图；

图7p_i2,i＝1，…，13的轨迹图；

图8p_i3,i＝1，…，13的轨迹图；

图9t＝0s跟随星与领航星的相对位置图；

图10t＝10s跟随星与领航星的相对位置图；

图11t＝15s跟随星与领航星的相对位置图；

图12t＝20s跟随星与领航星的相对位置图。

具体实施方式

具体实施方式一：

1、编队卫星有限时间构型包含控制方法，

建立在以下假设的基础上：

(1)所有领航星的时变形式的控制输入τ_oi＝[τ_oix τ_oiy τ_oiz]^T对所有跟随星都是未知的，但是其上界信息可以被领航星的相邻跟随星获得，即

(2)广义干扰τ_doi是时变且未知的，满足其中为未知、有界的正常数，定义 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}=\max ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}1},...,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{doN}});$

(3)存在正常数M，使得0<M≤min[|m_o1|,…,|m_oN+m|]；

(4)对于任意一个跟随星，至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径；

本方法包括以下步骤：

步骤一：地心惯性坐标系，如图1：原点在地心，O_iX_i轴沿地球赤道平面与黄道平面的交线，指向春分点γ，O_iZ_i轴指向北极，O_iY_i轴与O_iX_i、O_iZ_i轴形成右手旋转坐标系；轨道坐标系，如图2：原点在卫星质心，O_oZ_o轴指向地心方向，O_oX_o轴在轨道平面上与O_oZ_o轴垂直，指向卫星飞行方向，O_oY_o轴垂直于轨道平面，与O_oX_o、O_oZ_o轴形成右手坐标系；轨道坐标系与地心惯性坐标系的相对坐标系，如图3：原点与参考卫星s的质心固连并随其沿轨道运动，X轴与参考卫星的地心矢量r_s重合，由地心指向参考卫星s，Y轴r_c在参考卫星的轨道面内垂直于X轴，并指向运动方向，Z轴由右手规则确定；

建立参考卫星和伴随卫星的相对运动动力学方程；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-2n\stackrel{\&CenterDot;}{y}+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}-n^2)(x+a)=f_x\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+2n\stackrel{\&CenterDot;}{x}+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}-n^2)y=f_y\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}+\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}z={=f}_z\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：x、y、z，和分别为伴随卫星与参考卫星在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考卫星的平均角速度μ为地心引力常数，a为参考卫星沿近圆轨道运动的轨道半径，r_c为伴随卫星到地心的距离；f_x，f_y和f_z分别为伴随卫星和参考卫星除地心引力外的其他作用力的合力的加速度矢量之差在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；

步骤二：在考虑广义干扰(包括未建模动力学、噪声、环境干扰等)的情况下，卫星编队系统及其参考轨道坐标系如图4，编队卫星i对应伴随卫星，相对参考点对应参考卫星，根据公式(1)，建立卫星编队系统的编队卫星i与相对参考点的相对轨道动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_i-2n{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_i-n^2{x}_i+\frac{\mathrm{\&mu;}(R_0+x_i)}{R_i^3}-\frac{\mathrm{\&mu;}}{R_0^2}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oix}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doix}}}{m_{\mathrm{oi}}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_i+2n{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i-n^2{y}_i+\frac{{\mathrm{\&mu;y}}_i}{R_i^3}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oiy}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doiy}}}{m_{\mathrm{oi}}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_i+\frac{{\mathrm{\&mu;z}}_i}{R_i^3}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oiz}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doiz}}}{m_{\mathrm{oi}}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中：x_i，y_i，z_i；和分别为编队卫星i与参考点在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考点的平均角速度μ为地心引力常数，R₀为参考点沿近圆轨道运动的轨道半径，R_i为编队卫星i到地心的距离；m_oi为编队卫星i的质量，τ_oi＝[τ_oix τ_oiy τ_oiz]^T为作用在编队卫星i上的控制输入；τ_oix、τ_oiy、τ_oiz分别为控制输入在轨道坐标系的三个轴上的分量；τ_doi＝[τ_doix τ_doiy τ_doiz]^T为广义干扰(包括未建模动力学、噪声、环境干扰等)；τ_doix、τ_doiy、τ_doiz分别为广义干扰在轨道坐标系的三个轴上的分量；

将得出的卫星编队系统的编队卫星i相对参考点的相对轨道动力学模型转化为如公式(3)的简化形式，

$m_{\mathrm{oi}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_i+c_{\mathrm{oi}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_i+g_{\mathrm{oi}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oi}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doi}}---\left(3\right)$

其中p_i＝(x_i,y_i,z_i)^T，i₁＝1,…,N，， $c_{\mathrm{oi}}={2m}_{\mathrm{oi}}\left[\begin{array}{ccc}0& -n& 0\\ n& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ $g_{\mathrm{oi}}=m_{\mathrm{oi}}\left[\begin{array}{c}-n^2{x}_i+\mathrm{\&mu;}(R_0+x_i)/R_i^3-\mathrm{\&mu;}/R_0^2\\ -n^2{y}_i+{\mathrm{\&mu;y}}_i/R_i^3\\ {\mathrm{\&mu;z}}_i/R_i^3\end{array}\right];$

设编队卫星i中有N个跟随星、m个领航星；跟随星记为i₁，与i₁对应的参数的角标均记为i₁；领航星记为i₂，与i₂对应的参数的角标均记为i₂；跟随星的数目大于领航星的数目；

跟随星i₁的相对轨道动力学模型为：

$m_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+g_{{\mathrm{oi}}_1}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_1}+{\mathrm{\&tau;}}_{d_{{\mathrm{oi}}_1}},i_1=1,...,N---\left(4\right)$

领航星i₂的相对动力学模型为：

$m_{{\mathrm{oi}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+g_{{\mathrm{oi}}_2}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_2},i_2=N+1,...,N+m---\left(5\right)$

其中为对应领航星的轨迹的控制输入与外界干扰的总和；

步骤三：根据各个编队卫星i的编队形式，对于任意一个跟随星，当至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径，给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵；

步骤四：根据步骤二得出的跟随星i₁的相对轨道动力学模型(4)，通过步骤三的拓扑结构中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的运算，设计多动态领航星卫星编队系统的分布式有限时间构形包含控制律，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。

具体实施方式二：

本实施方式的步骤三给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的具体实现过程为：

ν_F＝{1,…,N}为跟随星集合，ν_L＝{N+1,…,N+m}为领航星集合，卫星编队系统的集合为ν＝ν_L∪ν_F；

编队卫星之间的通讯拓扑用有向图G＝(ν,ε)表示，ν为所有节点组成的集合，为所有边组成的集合；对于编队卫星i与j，边(ν_i,ν_j)∈ε表示编队卫星j能够接收编队卫星i的信息，但反之并不一定成立；节点ν_i的邻居定义为满足(ν_j,ν_i)∈ε关系的所有编队卫星j的集合，表示为N_i＝{ν_j:(ν_j,ν_i)∈ε}；

有向图G的加权邻接矩阵A＝[a_ij]，如果(v_j,v_i)∈ε那么a_ij＝1，否则a_ij＝0；一般假设节点自身不具有连通性，即a_ii＝0；有向图G的路径是一个有限的节点序列v_i1,…,v_is，满足(v_ik,v_ik+1)∈ε；

在有向图G中，若除了一个节点，即根节点外，其余每个节点有且仅有一个父节点，并且存在根节点到达所有节点的有向路径，那么称该有向图G为有向树；包含有向图G所有节点的有向树称为有向图G的有向生成树；有向图G具有有向生成树是指有向图G包含一个为有向生成树的子图；

Laplacian矩阵表示为L＝[l_ij]，定义为和l_ij＝-a_ij,i≠j；

多领航星卫星编队系统的Laplacian矩阵可写成分块的形式

$L=\left[\begin{array}{cc}{L}_1& L_2\\ 0_{m\&times;N}& 0_{m\&times;m}\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中：L₁∈R^N×N，L₂∈R^N×m；

定义 $b_{\mathrm{Li}}=\underset{j\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{\mathrm{ij}},i\&Element;v_F,{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L=\mathrm{diag}(b_{L1},...,b_{\mathrm{LN}}),d_i=\underset{j\&Element;v_F,j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{\mathrm{ij}},j\&Element;v_F,$

$\stackrel{\&OverBar;}{D}=\mathrm{diag}(d_1,...,d_N),$ 则 $L_1=\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L-\stackrel{\&OverBar;}{A}.$

如果假设对于任意一个跟随星，至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径成立，那么矩阵的每个元素都是非负的。

其他步骤和参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：

本实施方式的步骤四的具体实现过程为：

首先定义如下误差函数

$e_{i_1}^x=\underset{j_1\&Element;v_F}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_1}(p_{i_1}-p_{j_1})+\underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}(p_{i_1}-p_{j_2})---\left(7\right)$

$e_{i_1}^v=\underset{j_1\&Element;v_F}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_1})+\underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_2})---\left(8\right)$

式中，j₁表示区别于i₁的跟随星，与j₁对应的参数的角标均记为j₁；j₂表示区别于i₂的领航星，与j₂对应的参数的角标均记为j₂； $p_{j_1}={(x_{j_1},y_{j_1},z_{j_1})}^T,p_{j_2}={(x_{j_2},y_{j_2},z_{j_2})}^T;$

选取终端滑模变量

$s_{i_1}=e_{i_1}^x+\mathrm{\&beta;sig}{\left[e_{i_1}^v\right]}^{\mathrm{\&alpha;}}=e_{i_1}^x+\mathrm{\&beta;}{\left|e_{i_1}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sign}\left(e_{i_1}^v\right)---\left(9\right)$

式中，sig(x)^α定义为：sig(x)^α＝|x|^αsign(x)，sign(i)为符号函数；α,β为实数，并且满足1<α<2,β>0；

分布式构形包含控制律设计为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_1}=c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+g_{{\mathrm{oi}}_1}+\underset{j_1\&Element;v_F,j_1\&NotEqual;i_1}{\mathrm{\&Sigma;}}{(a_{i_1{j}_1}+b_{{\mathrm{Li}}_1})}^{-1}{m}_{{\mathrm{oi}}_1}\{-{\mathrm{\&Omega;}}_{i_1}^{-1}{e}_{i_1}^v+\underset{j_1\&Element;v_F}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_1}{m}_{{\mathrm{oj}}_1}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oj}}_1}-c_{{\mathrm{oj}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_1}-g_{{\mathrm{oj}}_1})+\\ \underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}{m}_{{\mathrm{oj}}_2}^{-1}(-c_{{\mathrm{oj}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_2}-g_{{\mathrm{oj}}_2})-({2\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}+\underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o{M}^{-1}+k)\mathrm{sign}\left(s_{i_1}\right)\}\end{array}---\left(10\right)$

式中：i₁∈v_F,k为实数并且k>0, ${\mathrm{\&Omega;}}_{i_1}=\mathrm{diag}(\mathrm{\&alpha;\&beta;}{\left|e_{i_{1}1}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}-1},\mathrm{\&alpha;\&beta;}{\left|e_{i_{1}2}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}-1},\mathrm{\&alpha;\&beta;}{\left|e_{i_{1}3}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}-1}),$ 为跟随星i₁的控制输入，为跟随星j₁的控制输入；

为所有领航星的时变形式的控制输入的上界信息，满足假设所有领航星的时变形式的控制输入τ_oi＝[τ_oix τ_oiy τ_oiz]^T对所有跟随星都是未知的，但是其上界信息可以被领航星的相邻跟随星获得；其中为未知、有界的正常数，满足M是正常数，满足0<M≤min[|m_o1|,…,|m_oN+m|]；

根据编队卫星中的每个跟随星的分布式构形包含控制律(10)，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。

所有跟随星在有限时间内趋于领航星形成的构形闭包内的证明如下：

定义如下向量：

${\mathrm{\&epsiv;}}_x={[{\left(e_1^x\right)}^T,...,{\left(e_N^x\right)}^T]}^T,{\mathrm{\&epsiv;}}_v={[{\left(e_1^v\right)}^T,...,{\left(e_N^v\right)}^T]}^T,{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{do}}={[{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{do}1}^T,...,{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doN}}^T]}^T,{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oF}}={[{\mathrm{\&tau;}}_{o1}^T,...,{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oN}}^T]}^T,$ ${\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oL}}={[{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oN}+1}^T,...,{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oN}+m}^T]}^T,p_F={[p_1^T,...,p_N^T]}^T,p_L={[p_{N+1}^T,...,p_{N+m}^T]}^T,{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F={[{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_1^T,...,{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_N^T]}^T,$ ${\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_L={[{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{N+1}^T,...,{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{N+m}^T]}^T,$ Ω＝diag(Ω₁,…,Ω_N)， $m_{\mathrm{oF}}=\mathrm{diag}(m_{o1}\&CircleTimes;1_3,...,m_{\mathrm{oN}}\&CircleTimes;1_3),$ c_oF＝diag(c_o1,…,c_oN)，c_oL＝diag(c_oN+1,…,c_oN+m)， $g_{\mathrm{oF}}={(g_{o1}^T,...,g_{\mathrm{oN}}^T)}^T,g_{\mathrm{oL}}={(g_{\mathrm{oN}+1}^T,...,g_{\mathrm{oN}+m}^T)}^T;$

选取如下Lyapunov函数：

$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

对V求导，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s^T\stackrel{\&CenterDot;}{s}---\left(12\right)$

其中，终端滑模变量简记为s，s的导数及控制律τ_oi的列向量形式τ_oF分别为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}={\mathrm{\&epsiv;}}_v+\mathrm{diag}\left(\mathrm{\&Omega;}\right)\{(L_1\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oF}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{do}}-g_{\mathrm{oF}}-c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F)+(L_2\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oL}}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oL}}-c_{\mathrm{oL}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_L-g_{\mathrm{oL}})\}---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oF}}=c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F+g_{\mathrm{oF}}+[{(\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L)}^{-1}\&CircleTimes;E_3]m_{\mathrm{oF}}\{-\mathrm{diag}\left({\mathrm{\&Omega;}}^{-1}\right){\mathrm{\&epsiv;}}_v+(\stackrel{\&OverBar;}{A}\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oF}}-c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F-\\ g_{\mathrm{oF}})-(L_2\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oL}}^{-1}(-c_{\mathrm{oL}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_L-g_{\mathrm{oL}})-[(k+2{\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}})E_{N3}-(L_2\&CircleTimes;E_3)M^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o]\mathrm{sign}\left(s\right)\left\}\right\}\end{array}---\left(14\right)$

又有如下关系式：

$I-[{(\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L)}^{-1}\&CircleTimes;E_3]m_{\mathrm{oF}}(\stackrel{\&OverBar;}{A}\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}=m_{\mathrm{oF}}[{(\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L)}^{-1}\&CircleTimes;E_3](L_1\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}---\left(15\right)$

将式(15)代入式(14)控制律可整理得到如下形式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oF}}=m_{\mathrm{oF}}(L_1^{-1}\&CircleTimes;E_3)[(\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L)\&CircleTimes;E_3]m_{\mathrm{oF}}^{-1}(c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F+g_{\mathrm{oF}})+m_{\mathrm{oF}}(L_1^{-1}\&CircleTimes;E_3)\{-\mathrm{diag}\left({\mathrm{\&Omega;}}^{-1}\right){\mathrm{\&epsiv;}}_v+\\ (\stackrel{\&OverBar;}{A}\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}(-c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F-g_{\mathrm{oF}})-(L_2\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{pL}}^{-1}(-c_{\mathrm{oL}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_L-g_{\mathrm{oL}})-[({2\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}+k)E_{N3}-\\ (L_2\&CircleTimes;E_3)M^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o\left]\mathrm{sign}\left(s\right)\right\}\}\end{array}---\left(16\right)$

将式(13)和式(16)代入式(12)得:

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s^T\{{\mathrm{\&epsiv;}}_v+\mathrm{diag}\left(\mathrm{\&Omega;}\right)\{(L_1\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{do}}-c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F-g_{\mathrm{oF}})+(L_2\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oL}}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oL}}-c_{\mathrm{oL}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_L-g_{\mathrm{oL}})+\\ [(\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L)\&CircleTimes;E_3]m_{\mathrm{oF}}^{-1}(c_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_F+g_{\mathrm{oF}})-\mathrm{diag}\left({\mathrm{\&Omega;}}^{-1}\right){\mathrm{\&epsiv;}}_v+(\stackrel{\&OverBar;}{A}\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}({-c}_{\mathrm{oF}}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_F-g_{\mathrm{oF}})-\\ (L_2\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oL}}^{-1}({-c}_{\mathrm{oL}}{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_L-g_{\mathrm{oL}})-[({2\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}+k)E_{N3}-(L_2\&CircleTimes;E_3)M^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o]\mathrm{sign}\left(s\right)\left\}\right\}\end{array}---\left(17\right)$

对式(17)进一步化简得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s^T\mathrm{diag}\left(\mathrm{\&Omega;}\right)\{(L_1\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oF}}^{-1}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{do}}+(L_1\&CircleTimes;E_3)m_{\mathrm{oL}}^{-1}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oL}}-\\ [({2\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}+k)E_{N3}-(L_2\&CircleTimes;E_3)M^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o]\mathrm{sign}\left(s\right)\}\end{array}---\left(18\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;\mathrm{\&alpha;\&beta;}\{{\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^N{{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{\left|\right|s_m\left|\right|}_2{\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^N{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}{\left|\right|s_m\left|\right|}_2{\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}-\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^N{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}{\left|\right|s_m\left|\right|}_2{\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o-{\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^N{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}\left|\right|{s_m\left|\right|}_2{2\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}-\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^N{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}{\left|\right|s_m\left|\right|}_{2}k+{\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^{N}N{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}{\left|\right|s_m\left|\right|}_2{M}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o\}\\ \&le;-\mathrm{k\&alpha;\&beta;}{\mathrm{\&Sigma;}}_{m=1}^N{\left|\right|e_m^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}{\left|\right|s_m\left|\right|}_2\end{array}---\left(19\right)$

通过定义: $\mathrm{\&psi;}=\min \{\mathrm{k\&alpha;\&beta;}{\left|\right|e_1^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1},...,\mathrm{k\&alpha;\&beta;}{\left|\right|e_N^v\left|\right|}_2^{\mathrm{\&alpha;}-1}\}$ 得: $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&psi;}{\left|\right|s\left|\right|}_2=-\sqrt{2}\mathrm{\&psi;}{\left(V\right)}^{\frac{1}{2}};$

可知是可以在有限时间内收敛到0的，即和也可以在有限时间内收敛到0；

$(L_1\&CircleTimes;E_3)p_F+(L_2\&CircleTimes;E_3)p_L=0---\left(20\right)$

由于假设4的存在，则

$p_F=-+(L_1^{-1}\&CircleTimes;E_3)(L_2\&CircleTimes;E_3)p_L=-(L_1^{-1}{L}_2\&CircleTimes;E_3)p_L---\left(21\right)$

同理可得所有跟随星在有限时间内趋于领航星形成的构形闭包内。

其他步骤和参数与具体实施方式一或二相同。

实施例

仿真验证中，选取如下参数验证本文提出的分布式有限时间构形包含控制律的有效性。

8个跟随星(编号为1-8)，5个领航星(编号为9-13)的情况，参考点运行在近圆轨道上，初始轨道根数为：[aeiΔωf]＝[7136.0km 0.001 60° 10° 30° 0°]。其中：a为参考轨道的半长轴，e为偏心率，i为轨道倾角，Δ为升交点赤经，ω为近地点幅角，f为初始时刻的真近点角。

跟随星的相对轨道动力学方程为：

$m_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+g_{{\mathrm{oi}}_1}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_1}+{\mathrm{\&tau;}}_{d_{{\mathrm{oi}}_1}},i_1=1,...,8$

领航星的相对轨道动力学方程为：

$m_{{\mathrm{oi}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+c_{{\mathrm{oi}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+g_{{\mathrm{oi}}_2}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_2},i_2=9,...,13$

领航星与跟随星之间的通讯拓扑，如图5。

跟随星的质量与初始位置，速度与领航星的质量与运动轨迹的信息如表1和表2所示。

表1 跟随星的质量，初始位置与速度表

表2 领航星的质量与运动轨迹表

p_i1/m、p_i2/m、p_i3/m分别是编队系统的编队卫星i的轨迹p_i分解在三个坐标轴方向上的轨迹；分别是领航星i₂的轨迹p_i分解在三个坐标轴方向上的轨迹；

控制参数选取为α＝1.8，k＝0.8，β＝0.1。

上界信息选取为 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o=1100,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}=0.2,$ M＝35。

跟随星的模型广义干扰选取为：

${\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{doi}}_1}=({[-1.025\sin \left(t\right),6.248\cos \left(t\right),-2.415]}^T+{0.012p}_{i_1}+0.823{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}){\&times;10}^{-4},i_1=1,...,8$

在α＝1.8，k＝0.8，β＝0.1时的，仿真结果如图6—12。

性能指标定义为：

(1)精度的定义，通过包含控制的变量的运算可以得到每个跟随星在包含控制理论上要跟踪的曲线q_di，精度数值定义为

(2)收敛时间定义为到达所有精度数值中最大值时所需要的时间。

(3)执行机构积累效果，简称积累效果，定义为：t为收敛时间。

(4)本发明的收敛时间最小值的计算公式为，

非有限时间的滑模选取量为表3-表5分别针对控制变量法，针对α变化，β,k固定不变；β变化，α,k固定不变；k变化，α,β固定不变的情况给出了性能对比。表6给出了本文的算法与非有限时间的性能对比。

表3 β＝0.1，k＝0.8，α变的性能指标对比表

可以看出在β＝0.1，k＝0.8不变的情况下，随着α的增大，精度变化不大，但是收敛时间逐渐变短又变长，这是由于公式计算收敛时间关于α的项既出现在分母又出现在初值的幂次上的缘故，执行机构积累效果变化不是很明显。

表4 α＝1.8，k＝0.8，β变的性能指标对比表

可以看出在α＝1.8，k＝0.8不变的情况下，随着β的增大精度数值有所降低，但变化不大，收敛时间逐渐减少，这是由于公式计算收敛时间β在分母的位置，随着β的增大，收敛时间变短。同时执行机构积累效果也逐渐增加。

表5 α＝1.8，β＝0.1，k变的性能指标对比表

可以看出k对收敛时间的影响不大，但趋势是减小的。原因在于k在收敛时间的分母部分，随着k的增加，收敛时间变短。积累效果在收敛时间降低的情况下迅速增加，通过增加k的数值而获取更加小的收敛时间，在考虑能耗的情况下是不明智的。

表6 本发明与非有限时间的的性能指标对比表

通过与非有限时间的对比可以发现，在相同的参数情况下本发明的方法，拥有更加短的收敛时间，更加小的精度数值。并且在到达收敛时间时所需要的能耗更少，性能更加好。

Claims (3)

1.编队卫星有限时间构型包含控制方法，

其特征在于包括以下步骤：

步骤一：建立参考卫星和伴随卫星的相对运动动力学方程；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-2n\stackrel{\&CenterDot;}{y}+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}-n^2)(x+a)=f_x\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+2n\stackrel{\&CenterDot;}{x}+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}-n^2)y=f_y\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}+\frac{\mathrm{\&mu;}}{r_c^3}z=f_z\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：和分别为伴随卫星与参考卫星在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考卫星的平均角速度μ为地心引力常数，a为参考卫星沿近圆轨道运动的轨道半径，r_c为伴随卫星到地心的距离；f_x，f_y和f_z分别为伴随卫星和参考卫星除地心引力外的其他作用力的合力的加速度矢量之差在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；

步骤二：编队卫星i对应伴随卫星，相对参考点对应参考卫星，根据公式(1)，建立卫星编队系统的编队卫星i与相对参考点的相对轨道动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_i-2n{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_i-n^2{x}_i+\frac{\mathrm{\&mu;}(R_0+x_i)}{R_i^3}-\frac{\mathrm{\&mu;}}{R_0^2}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oix}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doix}}}{m_{\mathrm{oi}}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_i+2n{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i-n^2{y}_i+\frac{\mathrm{\&mu;}{y}_i}{R_i^3}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oiy}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doiy}}}{m_{\mathrm{oi}}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_i+\frac{\mathrm{\&mu;}{z}_i}{R_i^3}=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oiz}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doiz}}}{m_{\mathrm{oi}}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中：和分别为编队卫星i与参考点在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考点的平均角速度μ为地心引力常数，R₀为参考点沿近圆轨道运动的轨道半径，R_i为编队卫星i到地心的距离；m_oi为编队卫星i的质量，τ_oi＝[τ_oix τ_oiy τ_oiz]^T为作用在编队卫星i上的控制输入；τ_oix、τ_oiy、τ_oiz分别为控制输入在轨道坐标系的三个轴上的分量；τ_doi＝[τ_doix τ_doiy τ_doiz]^T为广义干扰；τ_doix、τ_doiy、τ_doiz分别为广义干扰在轨道坐标系的三个轴上的分量；

将得出的卫星编队系统的编队卫星i相对参考点的相对轨道动力学模型转化为如公式(3)的简化形式，

$m_{\mathrm{oi}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_i+c_{\mathrm{oi}}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_i+g_{\mathrm{oi}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{oi}}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{doi}}---\left(3\right)$

其中p_i＝(x_i,y_i,z_i)^T，i₁＝1,…,N， $c_{\mathrm{oi}}={2m}_{\mathrm{oi}}\left[\begin{array}{ccc}0& -n& 0\\ n& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$

$g_{\mathrm{oi}}=m_{\mathrm{oi}}\left[\begin{array}{c}-n^2{x}_i+\mathrm{\&mu;}(R_0+x_i)/R_i^3-\mathrm{\&mu;}/R_0^2\\ -n^2{y}_i+\mathrm{\&mu;}{y}_i/R_i^3\\ \mathrm{\&mu;}{z}_i/R_i^3\end{array}\right];$

设编队卫星i中有N个跟随星、m个领航星；跟随星记为i₁，与i₁对应的参数的角标均记为i₁；领航星记为i₂，与i₂对应的参数的角标均记为i₂；跟随星的数目大于领航星的数目；

跟随星i₁的相对轨道动力学模型为：

$m_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+g_{{\mathrm{oi}}_1}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_1}+{\mathrm{\&tau;}}_{d_{{\mathrm{oi}}_1}},i_1=1,...,N---\left(4\right)$

领航星i₂的相对动力学模型为：

$m_{{\mathrm{oi}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+c_{{\mathrm{oi}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_2}+g_{{\mathrm{oi}}_2}={\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_2},i_2=N+1,...,N+m---\left(5\right)$

其中为对应领航星的轨迹的控制输入与外界干扰的总和；

步骤三：根据各个编队卫星i的编队形式，对于任意一个跟随星，当至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径，给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵；

步骤四：根据步骤二得出的跟随星i₁的相对轨道动力学模型(4)，通过步骤三的拓扑结构中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的运算，设计多动态领航星卫星编队系统的分布式有限时间构形包含控制律，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。

2.根据权利要求1所述的编队卫星有限时间构型包含控制方法，其特征在于：步骤三给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的具体实现过程为：

ν_F＝{1,…,N}为跟随星集合，ν_L＝{N+1,…,N+m}为领航星集合，卫星编队系统的集合为ν＝ν_L∪ν_F；

编队卫星之间的通讯拓扑用有向图G＝(ν,ε)表示，ν为所有节点组成的集合，为所有边组成的集合；对于编队卫星i与j，边(ν_i,ν_j)∈ε表示编队卫星j能够接收编队卫星i的信息；节点ν_i的邻居定义为满足(ν_j,ν_i)∈ε关系的所有编队卫星j的集合，表示为N_i＝{ν_j:(ν_j,ν_i)∈ε}；

有向图G的加权邻接矩阵A＝[a_ij]，如果(v_j,v_i)∈ε那么a_ij＝1，否则a_ij＝0；假设节点自身不具有连通性，即a_ii＝0；有向图G的路径是一个有限的节点序列v_i1,…,v_is，满足(v_ik,v_ik+1)∈ε；

Laplacian矩阵表示为L＝[l_ij]，定义为a_ij和l_ij＝-a_ij,i≠j；

多领航星卫星编队系统的Laplacian矩阵可写成分块的形式

$L=\left[\begin{array}{cc}{L}_1& L_2\\ 0_{m\&times;N}& 0_{m\&times;m}\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中：L₁∈R^N×N，L₂∈R^N×m；

定义 $b_{\mathrm{Li}}=\underset{j\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{\mathrm{ij}},i\&Element;v_F,{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L=\mathrm{diag}(b_{L1},...,b_{\mathrm{LN}}),d_i=\underset{{j\&Element;v}_F,j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{\mathrm{ij}},i\&Element;v_F,$

则 $L_1=\stackrel{\&OverBar;}{D}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_L-\stackrel{\&OverBar;}{A}.$

3.根据权利要求1或2所述的编队卫星有限时间构型包含控制方法，其特征在于：步骤四的具体实现过程为：

首先定义如下误差函数

$e_{i_1}^x=\underset{j_1\&Element;v_F}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_1}(p_{i_1}-p_{j_1})+\underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}(p_{i_1}-p_{j_2})---\left(7\right)$

$e_{i_1}^v=\underset{j_1\&Element;v_F}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_1})+\underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_2})---\left(8\right)$

式中，j₁表示区别于i₁的跟随星，与j₁对应的参数的角标均记为j₁；j₂表示区别于i₂的领航星，与j₂对应的参数的角标均记为j₂ $p_{i_1}={(x_{i_1},y_{i_1},z_{i_1})}^T,p_{i_2}={(x_{i_2},y_{i_2},z_{i_2})}^T;$ $p_{j_1}={(x_{j_1},y_{j_1},z_{j_1})}^T,p_{j_2}={(x_{j_2},y_{j_2},z_{j_2})}^T;$

选取终端滑模变量

$s_{i_1}=e_{i_1}^x+\mathrm{\&beta;sig}{\left[e_{i_1}^v\right]}^{\mathrm{\&alpha;}}=e_{i_1}^x+\mathrm{\&beta;}{\left|e_{i_1}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sign}\left(e_{i_1}^v\right)---\left(9\right)$

式中，sig(x)^α定义为：sig(x)^α＝|x|^αsign(x)，sign(·)为符号函数；α,β为实数，并且满足1<α<2,β>0；

分布式构形包含控制律设计为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oi}}_1}=c_{{\mathrm{oi}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{i_1}+g_{{\mathrm{oi}}_1}+\underset{j_1\&Element;v_F,j_1\&NotEqual;i_1}{\mathrm{\&Sigma;}}{(a_{i_1{j}_1}+b_{{\mathrm{Li}}_1})}^{-1}{m}_{{\mathrm{oi}}_1}\{-{\mathrm{\&Omega;}}_{i_1}^{-1}{e}_{i_1}^v+\underset{j_1\&Element;v_F}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_1}{m}_{{\mathrm{oj}}_1}^{-1}({\mathrm{\&tau;}}_{{\mathrm{oj}}_1}-c_{{\mathrm{oj}}_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_1}-g_{{\mathrm{oj}}_1})+\\ \underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}{m}_{{\mathrm{oj}}_2}^{-1}(-c_{{\mathrm{oj}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_{j_2}-g_{{\mathrm{oj}}_2})-({2\mathrm{NM}}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\mathrm{do}}+\underset{j_2\&Element;v_L}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_{i_1{j}_2}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_o{M}^{-1}+k)\mathrm{sign}\left(s_{i_1}\right)\}\end{array}---\left(10\right)$

式中：i₁∈v_F,k为实数并且k>0, ${\mathrm{\&Omega;}}_{i_1}=\mathrm{diag}(\mathrm{\&alpha;\&beta;}{\left|e_{i_{1}1}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}-1},\mathrm{\&alpha;\&beta;}{\left|e_{i_{1}2}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}-1},\mathrm{\&alpha;\&beta;}{\left|e_{i_{1}3}^v\right|}^{\mathrm{\&alpha;}-1}),$ 为跟随星i₁的控制输入，为跟随星j₁的控制输入；

为所有领航星的时变形式的控制输入的上界信息，满足 其中为未知、有界的正常数，满足M是正常数，满足0<M≤min[|m_o1|,…,|m_oN+m|]；

根据编队卫星中的每个跟随星的分布式构形包含控制律(10)，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。