CN103399292B - 一种基于软稀疏表示的doa估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于软稀疏表示的DOA估计方法，属于雷达信号处理技术领域，基于稀疏性的前提下，应用迭代加权最小方差法求解软稀疏解，来估计目标源方位。首先选取好初始值和正则化参数，确定迭代结束条件；然后将选择好的初始值和参数代入到软稀疏表示迭代公式中进行迭代；最后满足迭代结束条件，退出迭代，得到软稀疏解，确定来波方向，也即实现了信号的DOA估计。本发明克服了传统DOA估计方法几乎不能检测出弱目标的缺点。本发明的方法参数选则策略简单，对正则化参数的选择不敏感，尤其是在没有弱目标时，参数选择范围很广，具有很强的适应性。本发明的方法不仅能够检测到弱目标，而且具有较高的分辨率，其性能也要优于传统的DOA估计方法。

Description

一种基于软稀疏表示的DOA估计方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术领域，具体说就是：基于一种对稀疏性的新定义——软稀疏性的前提下，应用迭代加权最小方差法来求解该稀疏解，从而达到估计目标信号源方位的目的。

背景技术

信号的波达方向(DOA)估计是阵列信号处理中的一个重要研究内容，被广泛地应用于雷达、无线通信、电磁场、声纳、地震勘探和医学成像等诸多领域。DOA估计的主要目的是在噪声环境下，分辨两个在方位向非常接近的目标。常用的DOA估计方法有两类，即：非参数化估计方法和参数化估计方法。对于非参数化估计方法，主要有波束形成(BF)法，基于子空间方法的多重信号分类法(MUSIC)和基于最小方差无畸变(MVDR)的高分辨谱估计法等。基于最大似然(ML)的参数化估计方法分为：确定最大似然(DML)和统计最大似然(SML)。但这这类方法大多需要多个样本才能估计目标方向，在单次快拍的情况下不适用。

近几十年来，随着稀疏恢复理论与算法的发展成熟，稀疏表示已经被广泛地应用于小波去噪，图像重建与恢复，雷达成像，高分辨谱估计以及特征提取等诸多领域。在多数情况下，稀疏的表现形式已知而基(传感)矩阵并没有显式表述，因此稀疏恢复算法应用问题的关键在于如何构造出存在稀疏表示的基矩阵。对于某些存在稀疏形式的问题(如DOA估计、STAP等)，通过构造出其潜在的基矩阵，利用稀疏恢复算法将得到相较于传统方法在所需样本、超分辨等性能方面更优异的结果。如果目标信号源是空域稀疏的，即使只有单次快拍并且信号被噪声污染，稀疏表示(SR)方法也可以有效地实现高分辨率的DOA估计。稀疏表示方法可以被概括为：用超完备基中的尽可能少的基向量来表示接收信号。由于寻找稀疏表示(SR)问题的最优解就是寻找欠定方程组的最简单解，即l₀范数最小的解，而这类问题的求解数值计算极不稳定而且是一个组合多项式难题，因而人们提出了许多次优算法来近似最优解，实现高分辨率定位目标源，其中包括凸优化算法，贪婪算法(匹配追踪算法)，进化搜索等。研究发现，如果l₁范数足够稀疏，它以很大的几率等同于l₀范数。FOCUSS类方法更一般的使l_p(p＜1)范数最小化，并用参量p限定一定程度的稀疏性。一种更稳健的FOCUSS方法，称为正则化FOCUSS方法，利用了噪声数据，可以作为一种目标源定位的有效方法。但是，这些方法有时可能无法检测到比噪声强一些的弱目标(RWS)。然而，在实际应用中，经常会遇到弱目标，例如干扰往往会比目标信号强一些。

发明内容

针对现有DOA估计方法存在的诸多不足，如需要大量样本，需选取好的初始值，对信号的相关性有限定，发现并准确估计出弱目标的方位概率低等，本发明提出了一种基于软稀疏表示的DOA估计方法。在本发明的方法中，将DOA估计问题构造成一个稀疏表示问题并应用迭代加权最小方差法来求解该稀疏解，确定来波方向。由于是单帧恢复，因而对目标信号的相关性没有限定，并且该方法能够检测到弱目标。

为了更好的介绍此方法，先描述一下信号模型。为简化模型，假设一均匀线阵有M个阵元，其间距d＝λ/2，其中λ表示雷达的工作波长。有随机分布在远场的P(P＜M)个信号源，分别以方向θ_i入射到M个阵元上，θ＝[θ₁，θ₂，…，θ_P]，d_m1(m＝2，…，M)表示第m个阵元和第1个阵元之间的距离。则单次快拍的M×1阵列接收到的信号可以表示为：

$y=\underset{k=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)s_k+n=A\left(\mathrm{\θ}\right)s+n---\left(1\right)$

其中s_k是第k个信号源的振幅，n为阵列接收噪声。A为M×P维阵列流形矩阵，第k列是信号导向矢量

$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[1,e^{-j2\mathrm{\π}\frac{d_{21}}{\mathrm{\λ}}\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...e^{-j2\mathrm{\π}\frac{d_{\mathrm{\λ}/1}}{\mathrm{\λ}}\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\right)(M-1)}]}^T$

基于信号模型的(1)式，将DOA估计问题转化为稀疏表示问题。根据稀疏表示理论，某一单帧接收信号矢量y，在不考虑噪声的理想情况下，可以表示为：

y＝A(Θ)x  (2)

其中A(Θ)∈C^M×N(M＜＜N)为超完备的阵列流形矩阵，满足唯一表示特性(URP)，A(Θ)＝{a(θ_k)，θ_k∈Θ}，Θ＝(θ₁，θ₂，…，θ_N)为待选方向角度组成的集合，y是接收信号。如果没有x稀疏性的约束，(2)式有无穷多解。若没有关于目标方位信息的先验知识，一般将整个角度空间平均分成N份。根据稀疏表示理论，求解目标角度等价于搜索最稀疏的组合矢量x，即

x＝argmin||x||₀ s.t.y＝A(Θ)x  (3)

其中，||x||₀表示x中非零元素的个数。由于求解(3)式是组合优化问题，属于非确定性多项式(NP-hard)难题，计算量极大，本发明提出一种基于迭代加权最小方差的方法来近似逼近(3)式的解。该方法基于一种对稀疏性的新定义——软稀疏性，也就是：x含有最多的相近微小元素，而不是最多的零元素，这样就提高了算法对残差的容忍能力，使得算法对残差不敏感，仿真实验结果也验证了这一点。软稀疏性具体体现在：本发明中将稀疏解分解为x_n和x_s，x_s是理想的稀疏解，x_n是由噪声引入的非稀疏部分。与以往的稀疏表示方法仅对x_s进行约束不同，为了减少x_n中出现伪峰而影响最后的DOA估计，本发明的方法基于软稀疏性，不仅对x_s进行约束，同时也对x_n进行约束，让表示x_n的完备基所含元素尽可能均匀，也即让x_n的方差最小。x_s主要由残差进行约束。软稀疏性定义稀疏的组合矢量x含有最多的相近微小元素，而不是最多的零元素，这样可以使得因估计x_s而产生的偏差所引入的误差，也可以被超完备空间均匀表示，从而减少伪峰的出现。实际情况中，x_n和x_s是不可分的，本发明的方法引入权矩阵W来减小x_s对x_n的最小方差的影响，采用迭代加权最小方差法求得稀疏解。

基于以上对于软稀疏表示下DOA估计信号模型的描述，本发明的技术方案可以概括为：首先选取初始值和正则化参数，确定迭代结束条件；然后将选择好的初始值和参数代入到软稀疏表示迭代公式中进行迭代；最后满足迭代结束条件，退出迭代，得到软稀疏解，确定信号的来波方向。具体实现过程如下：

(1)根据本发明所给出的参数选取准则和初始化条件选取好参数和初始值，并给出迭代结束条件；

(2)利用优化方法对软稀疏表示进行求解，将步骤(1)中选择好的初始值和参数代入到软稀疏表示迭代公式中进行迭代；

(3)判断是否满足迭代结束条件，若满足，转步骤(4)，否则，继续迭代；

(4)求得软稀疏解，确定来波方向，即完成了对信号的DOA估计。

在迭代过程中，正则化参数λ的选择为，假定噪声功率和最弱信号功率已知，则正则化参数λ的选择与接收信号矢量y的2-范数(||y||₂)、最弱信号功率P_s，min以及噪声功率有关，为简单起见，将接收信号矢量y的2-范数归一化为常量α，由此，得到一个新的信号接收矢量将噪声功率进一步改写成因此，正则化参数λ应满足

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_n^2\&le;{\left|\right|A{(\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&OverBar;}{C}+A^{H}A)}^{-1}{A}^H\stackrel{\&OverBar;}{y}-\stackrel{\&OverBar;}{y}\left|\right|}_2^2<P_{s,\min }/{\left|\right|y\left|\right|}_2={\stackrel{\&OverBar;}{P}}_{s,\min }$

式中为残差，由上式可见，如果或者已知，在迭代之前就能确定出正则化参数λ；如果即不存在弱目标的情况下，参数λ的选取范围很广。

本发明用权矩阵隔离稀疏解的两部分——信号组合矢量和噪声组合矢量之间的影响，运用最小方差法将稀疏表示问题转化为优化问题进行求解；用迭代的方法来逼近权矩阵W，求得软稀疏解。

本发明在稀疏表示方法取得重大进展的基础上，利用稀疏表示来进行目标源的DOA估计。新定义了一种有噪声情况下的软稀疏表示，并提出了迭代加权最小方差法，将DOA估计问题转化成一个软稀疏表示问题以获得较高的角度分辨率，与现有技术相比具有以下特点：

1、本发明的方法对正则化参数的选择不敏感，尤其是在没有弱目标时，参数选择范围很广，如图5所示。而传统的正则化FOCUSS(R-FOCUSS)算法，在每一次迭代中都要求取一次正则化参数，而求取参数需要大量的运算量，这就极大的降低了算法的可实时处理性。在有弱目标的情况下，传统的R-FOCUSS丢失弱目标的概率很大，几乎不能检测出弱目标。而本算法在这种情况下，虽然对参数也较为敏感，但是，如果已知所要检测的弱目标的幅度范围，可以据此确定参数，低于该幅度范围的目标信号则无法被检测出来，如图6所示。

2、传统的DOA估计方法需要较多的样本并且对信号的相关性有较多的限定。如：基于子空间方法的多重信号分类法(MUSIC)和基于最小方差无畸变(MVDR)的高分辨谱估计法等。MUSIC和MVDR方法能够分辨一个瑞利单元内的两个目标，但是却需要较高的信噪比(SNR)和大量的样本，而且对信号源之间的相干性有一定要求，不能对相干信号源进行有效分辨或测向。本发明的方法不需要一个非常好的初始值和大量的样本，只通过一次快拍对空域稀疏目标源信号进行DOA估计，对信号的相关性也没有特别的限定，却依然能获得高分辨率，而且能够检测到弱目标。对信号的相关性没有要求，不仅适用于窄带信号，同时也适用于宽带信号。

3、传统的稀疏恢复的DOA估计方法，如正则化FOCUSS算法，不能有效地检测出一些比噪声稍强的弱目标，只能恢复强度较大的目标源信号，如图4所示。本发明的方法可以有效地检测出弱目标，成功地恢复出所有的目标源信号，如图4，具有良好的分辨性能。

附图说明

图1是本发明方法的流程图

图2是正则化参数λ随归一化剩余残差的变化情况

图3是不含弱目标情况下本发明的方法与R-FOCUSS方法比较图

图4是含有弱目标情况下本发明的方法与R-FOCUSS方法比较图

图5是不含弱目标时所恢复信号的个数以及迭代步数随正则化参数λ的变化情况

图6是含有弱目标时所恢复信号的个数以及迭代步数随正则化参数λ的变化情况

具体实施方式

下面说明本发明的方法实施过程。

如图1所示的本发明方法的流程图，具体实现过程如下：

(1)根据本发明所给出的参数选取准则和初始化条件选取好参数和初始值，并给出迭代结束条件；

(2)利用优化方法对软稀疏表示进行求解，将步骤(1)中选择好的初始值和参数代入到软稀疏表示迭代公式中进行迭代；

(3)判断是否满足迭代结束条件，若满足，转步骤(4)，否则，继续迭代；

(4)求得软稀疏解，确定来波方向，即完成了对信号的DOA估计。

本发明的DOA估计过程如下：

1.初始化：显然，应该使初始值尽量接近正确解。好的初始值对于算法的准确性和收敛速度非常重要。当无法确定一个好的初始值，并且不知道来波方向的先验知识的情况下，通常设定初始值x₀＝1。

参数选择：在迭代过程中，要先选取好正则化参数λ。目前尚没有数学上严格的最优参数选取方法，本发明仅基于实验和理论分析给出一些基本的参数选择规则。假定已知噪声功率和最弱信号功率则参数λ的选择与接收信号矢量y的2-范数(||y||₂)，最弱信号功率P_s，min以及噪声功率有关。为简单起见，将接收信号矢量y的2-范数归一化为常量α(这里，设定α＝1)。由此，可得到一个新的信号接收矢量噪声功率可以进一步改写成因此，正则化参数λ应满足

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_n^2\&le;{\left|\right|A{(\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&OverBar;}{C}+A^{H}A)}^{-1}{A}^H\stackrel{\&OverBar;}{y}-\stackrel{\&OverBar;}{y}\left|\right|}_2^2<P_{s,\min }/{\left|\right|y\left|\right|}_2={\stackrel{\&OverBar;}{P}}_{s,\min }$

上式中，为残差。由上式可见，如果或者已知，可以在迭代之前就确定出正则化参数λ，如图6所示。如果即不存在弱目标的情况下，参数λ的选取范围很广，如图5所示。图2给出了正则化参数λ的选取随残差的变化情况。

2.给出一种对稀疏性的新定义——软稀疏性，也就是：x含有最多的相近微小元素，而不是最多的零元素。软稀疏表示下的DOA估计问题采用迭代加权最小方差法来解决，具体实施如下：假设将稀疏解分解为两部分：信号组合矢量x_s和噪声组合矢量x_n，即x＝x_s+x_n。加性高斯白噪声情况下，稀疏表示(SR)问题的DOA估计采取以下形式：

A(x_s+x_n)＝Ax＝y＝y_s+n  (4)

其中y_s为理想情况下的接收信号，信号组合矢量x_s即为Ax_s＝y_s对应的稀疏解；n为高斯白噪声，噪声组合矢量x_n为Ax_n＝n对应的解。为了减弱x_n出现的较大值对最终结果x的影响(如x_n的伪峰值会导致误检)，用超完备基A均匀地表示噪声n，也就是将噪声能量用这组基均匀地表示，以减少x_n中出现较大值的机会。用超完备基均匀表示噪声是可行的，这是因为常假定高斯白噪声在整个空间域是常数。

为了确保x_n的均匀性，需使它的方差最小化。因此，稀疏表示转化为如下的优化问题：

$\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;var}\left(x_n\right)+{\left|\right|A(x_s+x_n)-y\left|\right|}_2^2\&DoubleLeftRightArrow;\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;}{x}_n^{H}C{x}_n+{\left|\right|A(x_s+x_n)-y\left|\right|}_2^2---\left(5\right)$

式中，λ为正则化参数，对x_n的最小方差和残差进行平衡。定义

$\begin{array}{c}\mathrm{var}\left(x_n\right)=x_n^H{x}_n-\frac{1}{N}{\left|\right|x_n^{H}1\left|\right|}_2^2\\ =x_n^H{x}_n-\frac{1}{N}{x}_n^H{11}^H{x}_n\\ =x_n^H(I-\frac{1}{N}{11}^H)x_n\\ =x_n^H{\mathrm{Cx}}_n\end{array}$

其中，为NxN的方差矩阵，用来计算矢量的方差。

实际上x_s和x_n是不可分的，因此需要一个权矩阵W来减小x_s对x_n的最小方差的影响。假设已知权矩阵W，满足x_n＝Wx，那么就有

$\underset{x}{\min }{\mathrm{\&lambda;}{x}_n^H{\mathrm{Cx}}_n+\left|\right|A(x_s+x_n)-y\left|\right|}_2^2\&DoubleLeftRightArrow;\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;}{x}^H{W}^H\mathrm{CWx}+{\left|\right|\mathrm{Ax}-y\left|\right|}_2^2---\left(6\right)$

其中，(6)式的第一项将噪声用完备基均匀地表示，第二项可尽量减小残差。

求解(6)式得到

x＝(λW^TCW+A^HA)^-1A^Hy；  (7)

实际情况中W不是已知的，因此采用迭代的方法来逼近W。(7)式可以改写为迭代形式：

$x_{k+1}={({\mathrm{\&lambda;}}_k{W}_k^{T}C{W}_k+A^{H}A)}^{-1}{A}^{H}y;k=\mathrm{0,1,2}...$

$\left\{\begin{array}{c}{W}_k={\left(\mathrm{diag}\left(\right|x_k\left|\right)\right)}^{-1},k=\mathrm{1,2}...\\ W_k={\left(\mathrm{diag}\left(\right|x_0\left|\right)\right)}^{-1},k=0\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，|x_k|(k＝0，1，…)表示对向量的每一个元素求绝对值，x₀是初值；W_k和λ_k分别是第k次迭代的加权矩阵和正则化参数。由(8)式可以看出，第k次迭代中x的第i个分量越大，则它对第k+1次迭代中x的方差影响越小。由于方差矩阵C是半正定的，导致(6)式不是严格凸的，从而导致迭代速度慢以及多解问题。为了提高收敛速度，确保代价函数是凸的，对C加载一个对角矩阵，使得其中，δ≥0为加载量，可以有效地控制收敛速度。当δ→∞时，C≈I，(8)式退化成FOCUSS。本发明的仿真试验中取δ＝0.1，用极小的加载也能大大提高收敛速度。

通过用取代C，得到如下迭代公式

$x_{k+1}={({\mathrm{\&lambda;}}_k{W}_x^H\stackrel{\&OverBar;}{C}{W}_k+A^{H}A)}^{-1}{A}^{H}y,k\&GreaterEqual;1---\left(9\right)$

其中，λ_k是一个不随迭代次数变化的常量。迭代结束条件为：

$\frac{{\left|\right|x_{k+1}-x_k\left|\right|}_2}{{\left|\right|x_k\left|\right|}_2}\&le;\mathrm{\&gamma;}$

其中，γ是选定的参数。本发明的仿真实验中，将其选定为10^-3。

3.将选定的初始值和参数代入到软稀疏表示迭代公式(8)中，根据迭代结束条件判断是否继续进行迭代。若不满足迭代结束条件，则继续进行迭代；否则，将迭代最终结果代入公式(9)中，求得软稀疏解，确定来波方向，即完成了对信号的DOA估计。

仿真试验对比：

为了进一步说明本发明的DOA估计方法较传统DOA估计方法(如R-FOCUSS方法)的优越性，做如下两个仿真试验。

系统模型：为简单起见，采用M＝64元的均匀线阵，阵元间距为半波长。所有情况下均假设只有一次快拍，将方位角按-89°～90°等间隔的分为180份，角度间隔为1°来构造超完备阵列流形矩阵A。因此，矩阵A的第i列为8个远场目标源以不同的来波方向(DOA)入射到M个阵元上，来验证的算法的高分辨率性能。信号到达角分别为[-65，-35，-20，8，13，20，30，60]度，相位随机，输入信噪比定义为最强信号功率与噪声功率之比。在下面的实验中，将信号接收矢量y的2-范数设定为常数1。

试验一：图3

虚线：本发明所提出方法的结果。参数：λ＝10^-7，δ＝0.1；迭代步数：7；DOA估计：[-65，-35，-20，8，13，20，30，60]度。

实线：R-FOCUSS方法的结果。迭代步数：8；DOA估计：[-65，-35，-20，8，13，20，30，60]度。

对于图3，8个远场目标源的振幅相同，信噪比SNR＝40dB。如图3所示，本发明所提出的方法和R-FOCUSS算法都成功地分离了8个目标源，包括距离很近的四个目标源。

试验二：图4

虚线：本发明所提出方法的结果。参数：λ＝10^-7，δ＝0.1；迭代步数：8；DOA估计：[-65，-35，-20，8，13，20，30，60]度。

实线：R-FOCUSS方法的结果。迭代步数：9；DOA估计：[-65，-20，20，30，65]度。

对于图4，8个目标源的振幅分别为[10^-1，10⁰，10^-2，0.7*10^-3，0.7*10^-2，0.7，10^-3，0.7]，相位随机，信噪比SNR＝40dB。如图4所示，用本发明所提出的方法，成功地恢复了八个目标源，即使是其中振幅比较小的弱目标源。而R-FOCUSS方法只恢复了4个强目标源，无法检测到弱目标(如角度为8度，相应振幅为0.7*10^-3的弱目标未被检测出来)。R-FOCUSS方法不能检测到弱目标是因为其采用l-curve法来确定目标源个数，而在弱目标存在的情况下，该算法不能正确计算目标源个数。图3和图4中，本发明所提方法的参数相同，这表明该方法对归一化剩余残差的一定程度的变化不敏感，并且能够检测到弱目标。

Claims (5)

1.一种基于软稀疏表示的DOA估计方法，其特征是：定义一种在噪声情况下的软稀疏表示，提出基于迭代加权最小方差的方法来近似逼近最稀疏的组合矢量x，将目标信号源DOA估计转化成软稀疏表示以获得需要的的角度分辨率；软稀疏性就是：稀疏的组合矢量x含有最多的相近微小元素，而不是最多的零元素，这样使得因估计信号组合矢量x_s而产生的偏差所引入的误差，也可以被超完备空间均匀表示，从而减少伪峰的出现，提高信号的基于软稀疏表示的DOA估计算法对残差的容忍能力，使得算法对残差不敏感，DOA估计过程如下：

1)选取正则化参数和初始值，并给出迭代结束条件；

2)利用优化方法对软稀疏表示进行求解，将步骤1)中选择的初始值和正则化参数代入到软稀疏表示迭代公式中进行迭代；

3)判断是否满足迭代结束条件，若满足，转步骤4)，否则，继续迭代；

4)求得软稀疏解，确定来波方向，完成对信号的DOA估计。

2.根据权利要求1所述的一种基于软稀疏表示的DOA估计方法，其特征是：在迭代过程中，正则化参数λ的选择为：假定已知噪声功率和最弱信号功率 $P_{s,\min }=E\left(s_k^{H}a{\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)}^{H}a\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)s_k\right)=M{\mathrm{\&sigma;}}_{s,\mathrm{weak}}^2,$ 则正则化参数λ的选择与接收信号矢量y的2-范数||y||₂、最弱信号功率P_s，min以及噪声功率有关，为简单起见，将接收信号矢量y的2-范数归一化为常量α，由此，得到一个新的信号接收矢量将噪声功率进一步改写成因此，正则化参数λ应满足

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_n^2\&le;{\left|\right|A{(\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&OverBar;}{C}+A^{H}A)}^{-1}{A}^H\stackrel{\&OverBar;}{y}-\stackrel{\&OverBar;}{y}\left|\right|}_2^2<P_{s,\min }/{\left|\right|y\left|\right|}_2{=\stackrel{\&OverBar;}{P}}_{s,\min }$

式中为残差，由上式可见，如果或者已知，在迭代之前就能确定出正则化参数λ；如果即不存在弱目标的情况下，参数λ的选取范围很广。

3.根据权利要求1所述的一种基于软稀疏表示的DOA估计方法，其特征是：软稀疏性具体体现为：将稀疏解分解为x_n和x_s，x_s是理想的稀疏解，x_n是由噪声引入的非稀疏部分并由完备基表示，为了减少x_n中出现伪峰而影响最后的DOA估计，基于软稀疏性，不仅对x_s进行约束，同时也对x_n进行约束，让表示x_n的完备基所含元素均匀，即让x_n的方差最小，x_s主要由残差进行约束；实际情况中，x_n和x_s是不可分的，因此引入权矩阵W来减小x_s对x_n的最小方差的影响，采用迭代加权最小方差法求得稀疏解；具体过程如下：

{1}假设将稀疏解分解为两部分：信号组合矢量x_s和噪声组合矢量x_n，即x＝x_s+x_n，加性高斯白噪声情况下，稀疏表示的DOA估计采取以下形式：

A(x_s+x_n)＝Ax＝y＝y_s+y_n                      (1)

其中y_s为理想情况下的接收信号，信号组合矢量x_s即为Ax_s＝y_s对应的稀疏解；n为高斯白噪声，噪声组合矢量x_n即为Ax_n＝n对应的解；为减弱x_n出现的较大值对最终结果x影响，如x_n的伪峰值会导致误检，用超完备基A均匀地表示噪声n，以减少x_n中出现较大的值的机会；

{2}为了确保x_n的均匀性，需使它的方差最小化，稀疏表示转化为如下的优化问题：

$\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;var}\left(x_n\right)+{\left|\right|A(x_s+x_n)-y\left|\right|}_2^2\&DoubleLeftRightArrow;\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;}{x}_n^H{\mathrm{Cx}}_n+{\left|\right|A(x_s+x_n)-y\left|\right|}_2^2---\left(2\right)$

其中，λ为正则化参数，对x_n的最小方差和约束残差进行平衡，定义

$\begin{array}{c}\mathrm{var}\left(x_n\right)=x_n^H{x}_n-\frac{1}{N}{\left|\right|x_n^{H}1\left|\right|}_2^2\\ =x_n^H{x}_n-\frac{1}{N}{x}^{H{11}^H{x}_n}\\ =x_n^H(I-\frac{1}{N}{11}^H)x_n\\ =x_n^H{\mathrm{Cx}}_n\end{array}$

其中，的方差矩阵，用来计算矢量的方差；

{3}假设已知权矩阵W满足x_n＝Wx，那么就有

$\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;}{x}_n^H{\mathrm{Cx}}_n+{\left|\right|A(x_s+x_n)-y\left|\right|}_2^2\&DoubleLeftRightArrow;\underset{x}{\min }\mathrm{\&lambda;}{x}^H{W}^H\mathrm{CWx}+{\left|\right|\mathrm{Ax}-y\left|\right|}_2^2---\left(3\right)$

公式(3)的第一项将噪声用完备基均匀地表示，而第二项可尽量减小残差。

4.根据权利要求3所述的一种基于软稀疏表示的DOA估计，其特征是：用迭代的方法来逼近权矩阵W，求得稀疏解，具体过程如下：

[1]求解(3)式得到

x＝(λW^TCW+A^HA)^-1A^Hy；                       (4)

[2]实际情况中W不是已知的，因此采用迭代的方法来逼近W，将(4)式改写为如下迭代形式：

$x_{k+1}={({\mathrm{\&lambda;}}_k{W}_k^T{\mathrm{CW}}_k+A^{H}A)}^{-1}{A}^{H}y;k=\mathrm{0,1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;$

$\left\{\begin{array}{cc}{W}_k={\left(\mathrm{diag}\left(\right|x_k\left|\right)\right)}^{-1},& k=\mathrm{1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ W_k={\left(\mathrm{diag}\left(\right|x_0\left|\right)\right)}^{-1},& k=0\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，其中，|x_k|表示对向量的每一个元素求绝对值，x₀是初值，W_k和λ_k

分别是第k次迭代的加权矩阵和正则化参数；

[3]由于方差矩阵C是半正定的，导致(3)式不是严格凸的，从而导致迭代速度慢以及多解问题，为了提高收敛速度，确保代价函数是凸的，对方差矩阵C加载一个对角矩阵使得δ≥0为加载量，用以有效地控制收敛速度；当δ→∞时，方差矩阵C≈I，(5)式退化成正则化FOCUSS算法；取δ＝0.1，用极小的加载来提高收敛速度；

通过用取代方差矩阵C，得到如下迭代公式

$x_{k+1}={({\mathrm{\&lambda;}}_k{W}_k^H\stackrel{\&OverBar;}{C}{W}_k+A^{H}A)}^{-1}{A}^{H}y,k\&GreaterEqual;1---\left(6\right)$

其中，λ_k是一个不随迭代次数变化的常量。迭代结束条件为：

$\frac{{\left|\right|x_{k+1}-x_k\left|\right|}_2}{{\left|\right|x_k\left|\right|}_2}\&le;\mathrm{\&gamma;}$

其中，γ是选定的参数，根据实验选定为10^-3。

5.根据权利要求4所述的一种基于软稀疏表示的DOA估计，其特征是：将选定的初始值和参数代入到软稀疏表示迭代公式(5)中，根据迭代结束条件判断是否继续进行迭代，若不满足迭代结束条件，则继续进行迭代；否则，将迭代最终结果代入公式(6)中，求得软稀疏解，确定来波方向，即完成了基于软稀疏表示的DOA估计。