CN112733327B - 一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列及其设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列及其设计方法，所述稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠，将从给定的阵元数M和N中确定最长连续和阵的问题建模为邮票问题，在此基础上进行确定稀疏阵元位置并进行二阶差和阵计算。利用连续邮票问题的解获得到子阵列的阵元间距、稀疏阵的阵元位置、最长连续和阵范围。本发明的天线结构优势及优点在于极大拓宽了天线孔径、有效降低了互耦效应，相比于传统基于二阶累积量获取虚拟阵元的方法，有效减少了冗余阵元，且能够获得相对较高的自由度。
Description
技术领域
本发明属于阵列天线设计技术领域，具体涉及一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列及其设计方法。
背景技术
为了避免角度估计过程中的角度模糊问题，传统阵列的阵元间距被要求不大于半波长。对于给定的阵元数，显然阵列孔径会受到很大的限制，这会影响角度估计性能。
稀疏阵是指阵元间距不再受限于半波长的阵列，具有扩展阵列孔径、降低互耦、提高自由度等优点，利用稀疏阵可以获取更高的角度估计性能。然而当前的稀疏阵阵列设计主要是针对二阶累积量，即首先假定信源的形式为高斯信源。在实际应用中，更多的信源形式是非高斯的。此时，利用二阶累积量计算的相关关系矩阵不能包含所有的有效信息，大量的有用数据存在四阶累积量中。
目前针对非高斯信号和四阶累积量的阵列设计方法甚少，具体原因为四阶累积量的计算过程中存在两次级联的差阵与和阵计算，这会使得稀疏阵元同虚拟阵元的关系变得非常复杂，即改变任意一个稀疏阵元都会对虚拟阵元的位置和范围产生极大的影响。考虑到实际信源大多为非高斯信号，对基于四阶累积量设计的阵列流形是非常有意义的。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列及其设计方法，能够在天线数目相同的情况下，比其他阵列具有更低的CRB、更高的DOF，更低的互耦效应，因而本发明阵列结构具有更好的角度估计性能，可用于基于四阶累积量的非高斯信号角度估计中。
为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：
一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列，所述稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠，阵元总数为T＝M+N-1。
为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：
上述的第一子阵列的阵元间距为第二子阵列的阵元间距为d＝λ/2，λ表示波长，/>和/>为互质整数；其中，M个含0非正整数进行作和，产生阵元数为/>的最长连续和阵，最长连续和阵范围为对应的整数集合表示为/>N个含0非负整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为
上述的稀疏阵的阵元位置为
一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列设计方法，包括：
步骤一、假设稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠；则将从给定的第一子阵列和第二子阵列中确定最长连续和阵的问题建模为GPSP；
步骤二、求解GPSP，得到子阵列的阵元间距、稀疏阵的阵元位置、最长连续和阵范围。
上述的步骤二所述求解GPSP，得到子阵列的阵元间距、稀疏阵的阵元位置、最长连续和阵范围，具体为：
第一子阵列对应的M个含0非正整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为/>
第二子阵列对应的N个含0非负整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为/>
则第一子阵列的阵元间距为第二子阵列的阵元间距为d＝λ2，λ表示波长，/>和/>为互质整数；稀疏阵的阵元位置为/>阵元总数为T＝M+N-1。
上述的步骤二中，从M个整数确定集合最大连续整数/>的过程建模为GPSP；GPSP表述为：对给定的整数h和k，一个包含k个非负整数的集合表示为：
其中，中的元素在经过h次求和后能够获得的连续整数集合为且/>要尽可能大；当/>已知时，通过不断连续递增邮资，直到所需的邮票张数大于h即可；当/>未知时，其第i+1个元素满足如下条件：
ai+1∈[ai+1,ai×h+1] (5)
其中ai表示第i个元素，1≤i≤k，由此，中所有的元素均可通过不断遍历获得，即转化为/>已知的情况，并获取连续邮资的最大值及邮票面值组合；
此外，当中的元素均为非正的元素时，仅需要将其考虑为式(6)中元素取相反数即可，其对应连续整数集合也需要相应取相反数。
上述的h＝2。
本发明具有以下有益效果：
1、本发明充分利用了稀疏阵元，该阵列所产生的虚拟阵元的冗余度更低，有效阵元的数量更多；
2、本发明具有更高的自由度、更低的互耦、更低的CRB；
3、本发明天线布局能获得更好的角度估计性能。
附图说明
图1是本发明阵列结构示意图；
图2是本发明阵列结构的和阵示意图；
图3是本发明阵列结构的二阶差和阵示意图；
图4是本发明阵列结构的二阶差和阵和的差阵DOF对比图；
图5是本发明阵列结构和其他阵列在不同信噪比时CRB对比图；
图6是本发明阵列结构和其他阵列在不同快拍数时CRB对比图；
图7是本发明阵列结构和其他阵列在不同信噪比时CS算法性能对比图；
图8是本发明阵列结构和其他阵列在不同快拍数时CS算法性能对比图；
图9是不同阵列结构的耦合泄露、自由度对比表。
具体实施方式
以下结合附图对本发明的实施例作进一步详细描述。
符号表示：本发明中(·)T,(·)H(·)-1和(·)*分别表示为转置，共轭转置，求逆和共轭运算。加粗大写字母表示矩阵，加粗小写字母表示矢量，表示Kronecker积，表示Khatri-Rao积，vec(·)表示矢量化操作，diag(·)表示对矩阵或向量进行对角操作，||·||1，||·||2，||·||F分别表示1范数、2范数和F范数。
参见图1，本发明的一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列，所述稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠，阵元总数为T＝M+N-1。
第一子阵列的阵元间距为第二子阵列的阵元间距为d＝λ2，λ表示波长，/>和/>为互质整数；其中，M个含0非正整数进行作和，产生阵元数为/>的最长连续和阵，最长连续和阵范围为对应的整数集合表示为/>N个含0非负整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为稀疏阵的阵元位置为/>
一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列设计方法，包括：
步骤一、假设稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠；
则将从给定的第一子阵列和第二子阵列中确定最长连续和阵的问题建模为GPSP；
步骤二、求解GPSP，得到子阵列的阵元间距、稀疏阵的阵元位置、最长连续和阵范围，具体为：
第一子阵列对应的M个含0非正整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为/>
第二子阵列对应的N个含0非负整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为/>
则第一子阵列的阵元间距为第二子阵列的阵元间距为d＝λ/2，λ表示波长，/>和/>为互质整数；稀疏阵的阵元位置为/>阵元总数为T＝M+N-1。
连续邮票问题(Global Postage-Stamp Problem,GPSP)
由M个整数确定集合最大连续整数/>的过程可以建模为GPSP。GPSP可以表述为：对给定的整数h和k，一个包含k个非负整数的集合可以表示为：
现要求中的元素在经过h次求和后能够获得的连续整数集合为且/>要尽可能大。给出了关于GPSP的简单解法，例如：对于集合即现有两种面额分别为1和3的邮票，如果想获得邮资1，需要1张面额为1的邮票，对于邮资2则需要两张面额为1的邮票，而对于邮资3，则需要1张面额为3的邮票或者3张面额为1的邮票，显然，考虑到所需的邮票张数应当尽可能小，所以选择前一种方案。所以当已知的时候，只需要不断连续递增邮资，直到所需的邮票张数大于h即可(注：考虑到阵元位置可以选在原点，引入面额为0的邮票，所以构成连续邮资过程中，邮票张数小于h的组合是一定满足条件的)。
当未知的时候，其第i+1个元素一定满足如下条件
ai+1∈[ai+1,ai×h+1] (8)
其中ai表示第i个元素，1≤i≤k。由此，中所有的元素均可通过不断遍历获得，即转化为已知的情况，并获取连续邮资的最大值及邮票面值组合。
可以看作是包含k个面值邮票的集合，考虑到阵元的位置可以放在原点，面值可以为0，h表示一张邮票上允许张贴的邮票张数。因为子阵的个数为2，则h＝2.
给出一个简单的例子来进行说明上述问题的求解过程：对于面值为的集合，构成邮资1和2分别需要一张和两张邮票，对于邮资3，则有两种组合，即一张邮资为3的邮票或3张邮资为1的邮票。如果当前的h＝2，显然，后一种组合是不符合要求的。对于需要张贴的邮票数小于h，均可通过面值为0的邮票进行补充。
此外，当中的元素均为非正的元素时，仅需要将其考虑为式(9)中元素取相反数即可，其对应连续整数集合也需要相应取相反数。
实施例1，如图1所示的是一个本发明阵列天线结构的例子。其中，
M＝5,N＝4,
T＝M+N-1＝8，
假设K(θk,k＝1,2,,K),个远场窄带不相关非高斯信号入射到此阵列上，其中θk表示第k个信源的仰角，该阵列的坐标可以表示为
接收信号可以表示为
x(t)＝As(t)+n(t) (10)
其中，为方向矩阵，
表示方向矢量。
1≤t≤J为非高斯信源矢量，J表示快拍数。n(t)为均值为0方差为/>的高斯噪声。
接收信号x(t)的四阶累积量可以表示为
其中1≤k≤K，其具体形式可以表示为 表示sK(t)的四阶累积量，Cum(·)为四阶累积量计算工具。
考虑到a4,x(θk)的具体形式，稀疏阵列的差阵集合/>可以被表示为
集合和/>分别表示/>的正负元素集合。
为了获取虚拟阵元的数学模型，对C4,x进行矢量化
z＝vec(C4,x)＝Avec(θ)p (13)
其中，
avec(θk)的具体形式可以表示为
其中表示第k个信号的功率。
avec(θk)的形式可以被改写为
其中
稀疏阵列的和阵集合/>可以表示为
稀疏阵列的二阶差和阵可以表示为
对比avec(θk)的形式，其具体构成可看做由稀疏阵列的阵列流形a(θk)先进行差阵计算，再进行一次和阵计算获得。
下文讨论本发明阵列的性能：
一、互耦
在不考虑互耦的情况下，理想天线阵列中的各个阵元各自独立，互不干扰。信号模型如(1)所示。但是在实际应用中，物理阵列的阵元之间不可避免会相互干扰，这就意味着互耦效应是必须考虑的因素。当非高斯信号的接收模型叠加互耦后，可以表示为
其中，C表示互耦矩阵。考虑B-band模型，互耦矩阵中的元素可通过如下方式确定
其中且c1＝0.3ejπ/3,cl＝c1e-j(l-1)π/8/l,l∈[2,B]。B＝100表示阵元之间互耦为0时的边界。为了表示互耦效应的强弱，给出了耦合泄露来定量计算互耦效应，即
不同天线阵列的耦合泄露值对比已经在图9中给出，通过应用式(10)中的互耦模型，式(1)中接收信号的数学模型可以被重建为
其中
二、自由度(Degree Of Freedom, DOF)
如图1所示，本发明阵列的子阵1的和阵位置集合可以表示为：其元素个数为本发明阵列的子阵2的和阵位置集合可以表示为/>其元素个数为考虑到/>中阵元间距为/> 中阵元间距为则/>与/>可构成展开互质阵的两个子阵，可表示为考虑到阵元间的互质关系，/>差阵的DOF为：稀疏阵列/>到虚拟阵列/>的过程中，是分开计算/>和/>的，即从/>到/>从/>到/>这样的做法显然是只考虑了子阵内部的和阵计算产生的虚拟阵元，未考虑子阵间的和阵计算也会产生虚拟阵元。若将/>看成整体考虑，所获取的和阵阵元集合应当包含/>那么本发明阵列二阶差和阵自由度应当大于虚拟阵/>进行差阵的自由度，即
图4给出了本发明阵列的二阶差和阵(图4下半部分)和差阵(图4上半部分)的DOF的非负部分(负半部分和正半部分对称)，对比可验证式(13)成立。
此外，由于本发明阵列是基于GPSP，即对由稀疏阵列先获取尽可能长的连续和阵，再进行的差阵计算。实际上，其自由度远高于基于二阶累积量设计的阵列，不同阵列的自由度对比已经在图9中给出。
三、克拉美罗界(Cramer-Rao Bound,CRB)
克拉美罗界表示参数估计的下界，可从Fisher信息中获取，即CRB(θk)＝[FIM-1(θ)](k,k),θ＝[θ1,...,θK],1≤k≤K。考虑到本发明阵列可进行信源数超过阵元数的参数估计，给出了Fisher信息的获取方法如下
其中，J表示快拍数，C4,x表示接收信号的四阶累积量矩阵，z＝vec(C4,x)， 表示噪声的功率。
则本发明阵列的CRB可以表示为
CRB(θk)＝[FIM-1(θ)](k,k),θ＝[θ1,...,θK],1≤k≤K (24)
同样给出了本发明阵列和其他阵列在不同信噪比和不同快拍数时的CRB对比图，如图5和图7所示。
四、角度估计方法(CS算法)
CS算法是一套关于稀疏信号采集和恢复的新型信号采样理论，它可以充分利用信号的稀疏性，用远低于奈奎斯特采样率的采样频率对信号进行随机采样，然后通过非线性重建算法重建信号，大大减轻了数据传输、存储、处理的负担。
假设为过完备冗余字典，包含了所有可能的入射方位角。依据Θ构造扩展的矩阵AΘ，即
其中表示稀疏阵元经二阶差和阵计算获得的方向矢量。则式(12)中表示的数学模型可进行稀疏表示，重构为
其中，pΘ是一个稀疏度为K(即有K个非零元素)的稀疏向量，可看做是由p扩展而来。若θd(d＝1,2,,D)方向有信源分布，则pΘ的第d个元素pd≠0，否则pd＝0。显然，找出pΘ中非零元素的位置即可获得信源的DOA估计。
由于向量z和矩阵AΘ是已知的，故式(17)可以看作一个压缩感知模型，其中z为观测信号，AΘ为观测矩阵，pΘ为待求解的稀疏信号。显然式(17)是一个欠定的方程，求解可通过下式解决
其中ξ表示正则化参数。
式(18)可以转化为如下目标函数
可以利用稀疏恢复工具(CVX工具箱等)来优化求解式(19)并获得pΘ的估计值则通过定位/>中的非0元素即可获取目标角度的估计值/>
图2和图3分别是本发明阵列结构的和阵、二阶差和阵示意图，其中本发明阵列结构的相关参数已经在式(1)和图9中给出。
图5-6是本发明阵列结构和其他阵列在快拍数相同时CRB对比和求根均方误差(RMSE)对比图，且RMSE可通过CS算法仿真获取。其中快拍数J＝1300，入射角度为θ＝[-40°,-30°,-20°,-10°,0°,10°,20°,30°,40°]。
本发明采用CS算法对所发明阵列进行优越性验证。该算法利用长虚拟阵元的算法进行角度估计，通过稀疏恢复工具获取信源的角度估计值，即利用远低于奈奎斯特采样率的采样频率对信号进行随机采样，然后通过非线性重建算法重建信号，通过稀疏恢复获取信源角度的估计值。其仿真结果已在图7和图8中给出。
图7-8是本发明阵列结构和其他阵列在信噪比(SNR)相同时CRB对比和RMSE对比图，且RMSE可通过CS算法仿真获取。其中信噪比SNR＝0dB，入射角度为θ＝[-40°,-30°,-20°,-10°,0°,10°,20°,30°,40°]。快拍数增加，采样数据增加，能获取更精确的相关关系矩阵，即CRB和RMSE均随快拍数增加降低。通过图4-7可以看出本发明天线的CRB和RMSE远低于互质阵(CA),嵌套阵(NA),增广互质阵(ACA)展开增广互质阵(Unfolded ACA),展开互质阵(UCLA),增强嵌套阵I-1(ANAI-1),ANAI-2,最小冗余阵(MRA)等其他基于二阶累积量设计的稀疏阵列。本发明阵列在互耦、DOF等方面均优于上述阵列，所以其具有更好的CRB和RMSE性能。
图9是不同阵列结构(CA,NA,ACA,Unfolded ACA,UCLA,ANAI-1,ANAI-2,MRA)的耦合泄露、自由度对比表。
综上所述，本发明的天线结构极大拓宽了天线孔径、有效降低了互耦效应，相比于传统基于二阶累积量获取虚拟阵元的方法，有效减少了冗余阵元，且能够获得相对较高的自由度。
以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。
Claims (3)
1.一种构建面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列的方法，其特征在于，所述稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠，阵元总数为T＝M+N-1；
所述第一子阵列的阵元间距为第二子阵列的阵元间距为d＝λ/2，λ表示波长，/>和/>为互质整数；其中，M个含0非正整数进行作和，产生阵元数为/>的最长连续和阵，最长连续和阵范围为对应的整数集合表示为/>N个含0非负整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为
稀疏阵的阵元位置为
2.一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列设计方法，其特征在于，包括：
步骤一、假设稀疏阵列由天线数分别为M和N的第一子阵列和第二子阵列组成，且第一子阵列和第二子阵列的M和N个阵元分别位于原点两侧，且只在原点处有一个阵元重叠；可将从给定的第一子阵列和第二子阵列中确定最长连续和阵的问题建模为GPSP；
步骤二、求解GPSP，得到子阵列的阵元间距、稀疏阵的阵元位置、最长连续和阵范围；
步骤二所述求解GPSP，得到子阵列的阵元间距、稀疏阵的阵元位置、最长连续和阵范围，具体为：
第一子阵列对应的M个含0非正整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为/>
第二子阵列对应的N个含0非负整数进行作和，产生阵元数为的最长连续和阵，最长连续和阵范围为/>对应的整数集合表示为/>
则第一子阵列的阵元间距为第二子阵列的阵元间距为d＝λ/2，λ表示波长，/>和/>为互质整数；稀疏阵的阵元位置为/>阵元总数为T＝M+N-1；
步骤二中，从M个整数确定集合最大连续整数/>的过程建模为GPSP；
GPSP表述为：对给定的整数h和k，一个包含k个非负整数的集合表示为：
其中，中的元素在经过h次求和后能够获得的连续整数集合为/>且要尽可能大；当/>已知时，通过不断连续递增邮资，直到所需的邮票张数大于h即可；当/>未知时，其第i+1个元素满足如下条件：
ai+1∈[ai+1,ai×h+1](2)
其中ai表示第i个元素，1≤i≤k，由此，中所有的元素均可通过不断遍历获得，即转化为/>已知的情况，并获取连续邮资的最大值及邮票面值组合；
此外，当中的元素均为非正的元素时，仅需要将其考虑为式(3)中元素取相反数即可，其对应连续整数集合也需要相应取相反数。
3.根据权利要求2所述的一种面向非高斯信号的连续和阵稀疏阵列设计方法，其特征在于，h＝2。
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