CN103941220B - 一种基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法，包括：1)使用一种基于字典平滑的新网格不匹配模型：通过对空间区域的角度进行网格划分，形成两组角度成平移等差关系的子字典，用网格上角度对应的导向矢量以线性组合的方式表示非网格角度上的导向矢量，得到新的基于字典平滑的网格不匹配模型。2)基于该模型在稀疏重构框架下，用联合稀疏重构方法求解稀疏信号，用最小二乘方法求解方向偏差，求解稀疏信号和求解方向偏差的过程交替迭代直至收敛，最后将稀疏信号中的非零元素位置映射到角度空间并根据方向偏差进行补偿得到信号的波达方向。本发明比传统的泰勒模型更高的波达方向估计精度，平滑后的字典维数降低从而使稀疏重构算法的运算量减少。

Description

一种基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理领域，具体涉及稀疏重构框架下的信号波达方向估计技术，针对字典不匹配引起的波达方向估计性能下降问题提出一种新网格不匹配模型及稀疏重构方法对网格外目标的波达方向进行估计。

背景技术

波达方向(DirectionofArrival，DOA)估计是阵列信号处理领域研究的一个重要课题，在雷达、声呐、地震探测、通信、医学等领域都有广泛的应用。经典的波达方向估计方法包括参数估计方法和非参数估计方法；参数估计方法主要基于最大似然估计算法(MaximumLikelihood，ML)得到，其中又包括确定性最大似然估计和随机性最大似然估计。最大似然估计算法的局限性在于初始值的选择直接影响到能否获得全局最优解，而且计算复杂度高。非参数估计法之一是Bartlett波束形成法，该方法的分辨率取决于阵列孔径。1979年Schmidt(施密特)等人提出多重信号分类(MultipleSignalClassification，MUSIC)算法，这是一类子空间类的算法，可以达到超分辨，但是子空间类算法对相干或相关信源波达方向无法获得理想的估计结果。

近年来随着压缩感知理论的发展，出现了一类基于稀疏重构框架的信号波达方向估计方法，这类方法依据压缩感知理论，对空间区域进行网格划分，由此形成基于网格的字典。在恢复信号的过程中，使用l₁范数约束来保证信号的稀疏性。最经典的一个方法是Malioutov提出的l₁-SVD方法，该方法为了降低计算的复杂性，用奇异值分解(SingularValueDecomposition，SVD)来降低信号的维数。l₁-SVD算法可以分辨出间隔很近的两个相关信号，在低信噪比或者快拍数比较少的情况下，也可以达到很好的效果。一般稀疏重构框架下的信号波达方向估计方法均假设信号方向恰好落在网格上，但是实际上这个假设往往不能得到满足，当信号角度不在网格上时，l₁-SVD算法就不能准确地估计出信号波达方向。此后，ArisGretsistas等人提出了泰勒估计模型，将网格外导向矢量在最近网格处作一阶泰勒展开，通过估计方向偏差，对网格外目标的波达方向进行补偿，弥补了l₁-SVD算法的不足。但是，泰勒估计模型的估计精度还较低，且受字典维数影响稀疏重构算法的运算量大，这些问题都有待进一步改进。

发明内容

本发明的目的在于改善稀疏重构框架下字典不匹配带来的信号波达方向估计性能降低问题，通过设计新的网格不匹配模型及相应的稀疏重构算法提高信号波达方向估计的精度。

为了实现上述目的，本发明设计了如下技术方案：

一种基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法，包括：

准备步骤：通过对空间区域的角度进行网格划分，形成两组角度成平移等差关系的子字典，依据字典平滑的思想，用网格上角度对应的导向矢量以线性组合的方式表示非网格角度上的导向矢量，建立一个基于字典平滑的网格不匹配模型；

估计步骤：基于网格不匹配模型，通过交替迭代的过程实现信号波达方向的估计和方向偏差的补偿：在求解信号的波达方向时，用联合稀疏重构的方法求解稀疏信号，用最小二乘的方法求解方向偏差，求解稀疏信号和求解方向偏差的过程交替迭代直至收敛，最后将稀疏信号的非零行位置映射到角度空间并根据方向偏差进行补偿得到估计的信号波达方向。

该方法的具体步骤是：

1)、获取阵列接收数据Y，初始化方向偏差矢量Λ＝diag(δ)；

2)、根据输入的子字典构造平滑字典A＝[I-Λ^k/r]．A₁+Λ^k/r．A₂；

3)、根据接收数据维数用稀疏重构或联合稀疏重构算法求解稀疏信号X，优化准则为：

在使用联合稀疏重构算法时可以选择使用l₁-SVD法降低数据维数；

4)、用最小二乘法求解δ，优化准则为：求解公式为：

δ^k＝C⁺vec(R^k)＝C+vec(Y-A₁X^k)，其中C的第n列是

5)、判断是否收敛或迭代次数是否达到最大，如果不是重复执行步骤2)-4)；

6)、在结束步骤2)-4)的循环后输出估计的稀疏信号和方向偏差将非零行的

位置映射到角度空间并根据方向偏差矢量进行补偿得到估计的信号波达方向。

所述准备步骤的详细步骤是：

设信号波达方向为θ，对空间区域进行网格划分，离θ最近的两个网格是θ₁和θ₂，对a(θ₁),a(θ₂)分别在θ处进行一阶泰勒展开，得：

a(θ₁)＝a(θ)+a′(θ)(θ₁-θ),a(θ₂)＝a(θ)+a′(θ)(θ₂-θ)

如果角度θ处对应的导向矢量a(θ)可以用a(θ₁),a(θ₂)线性表示：

a(θ)＝k₁a(θ₁)+k₂a(θ₂)

把a(θ₁),a(θ₂)的表达式代入上式，得方程：

a(θ)＝k₁(a(θ)+a′(θ)(θ₁-θ))+k₂(a(θ)+a′(θ)(θ₂-θ)

＝(k₁+k₂)a(θ)+[k₁(θ₁-θ)+k₂(θ₂-θ)]a′(θ)

上面方程对任意角度θ成立的条件是：

k₁+k₂＝1

k₁(θ₁-θ)+k₂(θ₂-θ)＝0

设网格间距为r，θ-θ₁＝δ,θ₂-θ＝r-δ，求解出k₁，k₂取值分别为：

$k_1=1-\frac{\mathrm{\δ}}{r},k_2=\frac{\mathrm{\δ}}{r}$

把k₁，k₂代入a(θ)的表达式得到:

$a\left(\mathrm{\θ}\right)=(1-\frac{\mathrm{\δ}}{r})a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)+\frac{\mathrm{\δ}}{r}a\left({\mathrm{\θ}}_2\right)$

δ表示方向偏差，是信号波达方向和最近网格之间的偏差；如果每个潜在目标，或者说字典中的每

一个导向矢量都采用上面的线性组合表达方式，那么网格不匹配模型可以表达为如下形式：

Y＝{[I-Λ/r]．A₁+Λ/r．A₂}X+E

其中Y∈C^M×T中包含了M个阵元测量得到的T次快拍，X表示T次快拍对应的稀疏信号矩阵，X

的每一列具有相同的稀疏结构，将X的非零行位置映射到角度空间就可以找到目标信号的波达方向；

其中A₁,A₂∈C^M×N-1表示两个网格子集对应的子字典：

A₁＝[a(θ₁)a(θ₂)...a(θ_N-1)]

A₂＝[a(θ₂)a(θ₃)...a(θ_N)]，

N为网格总数，每个网格子集中包含N-1个网格；

Λ＝diag(δ)为对角矩阵包含了所有可能的方向偏差；

δ为方向偏差矢量：δ＝[δ₁,δ₂…,δ_N-1]^T；E∈C^M×T表示加性噪声。

所述估计步骤的详细步骤是：

设方向偏差矢量δ为某一个固定值，采用联合稀疏重构的方法基于如下优化准则对最优稀疏信号进行求解：

$\underset{X}{\min }{\left|\right|X\left|\right|}_{\mathrm{2,1}}+\mathrm{\λ}{\left|\right|Y-\left\{\right[I-\widehat{\mathrm{\Λ}}/r]\·A_1+\widehat{\mathrm{\Λ}/r\·A_2\}X}||}_F$

其中：

X₂,₁表示对X各行先求l₂范数再对得到的列向量求l₁范数；

λ为正则化参数，λ值的选取与信噪比有关；

采用任何一种联合稀疏重构的方法都可以获得稀疏信号的估计

在获得稀疏信号的估计之后，对方向偏差矢量δ进行估计：

基于字典平滑的新网格不匹配模型经过整理可以重写为：

$Y=\{A_1+[\frac{A_2-A_1}{r}\left]\mathrm{\Λ}\right\}X+E$

因此可以采用如下优化准则对方向偏差矢量δ进行估计：

$\underset{\mathrm{\δ}}{\min }{\left|\right|Y-\{A_1+[\frac{A_2-A_1}{r}\left]\mathrm{\Λ}\right\}\hat{X}\left|\right|}_F$

假设 那么 $Y-A_1\hat{X}-\mathrm{B\Λ}\hat{X}=R-\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_n{b}_n{\hat{x}}_n^T,$ 上面的优化准则可以重新表达为：

$\underset{\mathrm{\δ}}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(R\right)-\mathrm{C\δ}\left|\right|}_2$

其中b_n表示矩阵B的第n列，表示的第n行，vec(R)表示将R各列堆叠实现矩阵矢量化，矩阵C的第n列是该优化准则意味着δ可以用最小二乘法进行估计：以上稀疏信号和方向偏差矢量估计的过程采用如下步骤交替迭代直至收敛：

步骤1：输入子字典A₁,A₂，观测矩阵Y，来波信号的个数K，最大迭代次数Max_iters，最大误差ε；

步骤2：初始化循环次数和方向偏差矢量：k＝1，δ^k＝0；

步骤3：构造平滑字典A＝[I-Λ^k/r]．A₁+Λ^k/r．A₂，其中Λ^k＝diag(δ^k)，根据接收数据维数用稀疏重构或联合稀疏重构算法求解稀疏信号X，优化准则为：

步骤4：用最小二乘法求解δ，优化准则为：求解公式为：δ^k＝C⁺vec(R^k)＝C⁺vec(Y-A₁X^k)，其中C的第n列是

步骤5：k＝k+1，判断：如果k＞Max_iters或δ^k-δ^k-1＞ε则退出循环到步骤6，否则回到步骤3；

步骤6:在结束步骤3-5的循环后输出稀疏信号和方向偏差将非零行的位置映射到角度空间并根据方向偏差矢量进行补偿得到估计的信号波达方向。

本发明与现有技术相比具有如下优点：对于网格外目标，本发明设计的基于字典平滑的新网格不匹配模型可以比传统的泰勒模型提供更高的估计精度，平滑后的字典维数降低从而使稀疏重构算法的运算量减少。

附图说明

图1：本发明的流程图；

图2：本发明与传统一阶泰勒模型的方向估计误差随目标方向变化的比较图；

图3：本发明与传统一阶泰勒模型的方向估计均方根误差随信噪比变化的比较图。

具体实施方式

下面结合图1、图2、图3和仿真结果详细说明本发明的内容和效果：

一.基于字典平滑的新网格不匹配模型：

1)假设信号波达方向为θ，对空间区域进行网格划分，离θ最近的两个网格是θ₁和θ₂，对a(θ₁),a(θ₂)分别在θ处进行一阶泰勒展开，可以得到：

a(θ₁)＝a(θ)+a′(θ)(θ₁-θ),a(θ₂)＝a(θ)+a′(θ)(θ₂-θ)；

如果角度θ处对应的导向矢量a(θ)可以用a(θ₁),a(θ₂)线性表示：

a(θ)＝k₁a(θ₁)+k₂a(θ₂)

把a(θ₁),a(θ₂)的表达式代入上式：

a(θ)＝k₁(a(θ)+a′(θ)(θ₁-θ))+k₂(a(θ)+a′(θ)(θ₂-θ)

＝(k₁+k₂)a(θ)+[k₁(θ₁-θ)+k₂(θ₂-θ)]a′(θ)

上面方程对任意角度θ成立的条件是：

k₁+k₂＝1

k₁(θ₁-θ)+k₂(θ₂-θ)＝0

假设网格间距为r，θ-θ₁＝δ,θ₂-θ＝r-δ，可以求解出k₁，k₂取值分别为：

$k_1=1-\frac{\mathrm{\δ}}{r},k_2=\frac{\mathrm{\δ}}{r}$

把k₁，k₂代入a(θ)的表达式得到:

$a\left(\mathrm{\θ}\right)=(1-\frac{\mathrm{\δ}}{r})a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)+\frac{\mathrm{\δ}}{r}a\left({\mathrm{\θ}}_2\right)$

注意δ表示方向偏差，是信号波达方向和最近网格之间的偏差。如果每个潜在目标，或者说字典中的每一个导向矢量都采用上面的线性组合表达方式，那么新的网格不匹配模型可以表达为如下形式：Y＝{[I-Λ/r]．A₁+Λ/r．A₂}X+E

其中Y_∈C^M×T中包含了M个阵元测量得到的T次快拍，X表示T次快拍对应的稀疏信号矩阵，X的每一列具有相同的稀疏结构，将X的非零行位置映射到角度空间就可以找到目标信号的波达方向。

由此式可以看出，如果每个潜在目标方向对应的导向矢量用两个最近网格对应的导向矢量的线性组合来表示，最终稀疏重构的字典就是对两个子字典的平滑，因此申请人提出的新模型叫做字典平滑的网格不匹配模型。需要注意的是，在字典平滑的网格不匹配模型中，网格间距不能太大。

另外，A₁,A₂∈C^M×N-1表示两个网格子集对应的子字典：

A₁＝[a(θ₁)a(θ₂)…a(θ_N-1)]

A₂＝[a(θ₂)a(θ₃)…a(θ_N)]，

N为网格总数，每个网格子集中包含N-1个网格。Λ＝diag(δ)为对角矩阵包含了所有可能的方向偏差，δ为方向偏差矢量：δ＝[δ₁,δ₂…,δ_N-1]^T。E∈C^M×T表示加性噪声。

可以看出在字典平滑的网格不匹配模型中，字典的列数为N-1,方向偏差向量的长度为N-1，比泰勒模型中减少一维，所以基于新提出的网格不匹配模型，稀疏重构的运算量减少。

二.基于新网格不匹配模型的稀疏重构算法

基于本发明设计的新网格不匹配模型，稀疏信号X和方向偏差矢量δ采用交替迭代的过程进行求解。

首先，假设方向偏差矢量δ为某一个固定值，采用联合稀疏重构的方法基于如下优化准则对最优稀疏信号进行求解：

$\underset{X}{\min }{\left|\right|X\left|\right|}_{\mathrm{2,1}}+\mathrm{\λ}{\left|\right|Y-\left\{\right[I-\widehat{\mathrm{\Λ}}/r]\·A_1+\widehat{\mathrm{\Λ}/r\·A_2\}X}||}_F$

其中X₂,₁表示对X各行先求l₂范数再对得到的列向量求l₁范数。λ为正则化参数，λ值的选取与信噪比有关。以上优化问题为多测量矢量(MultipleMeasurementVectors,MMV)的联合稀疏重构问题，通过任何一种联合稀疏重构的方法都可以获得稀疏信号的估计假设已知目标信号个数K，先通过l₁-SVD的方法对多快拍的数据先进行降维，然后采用联合稀疏重构的方法，比如同时正交匹配追踪法(SimultaneousOrthogonalMatchingPursuit,SOMP)求解稀疏信号。

其次，在获得稀疏信号的估计之后，对方向偏差矢量δ进行估计：

基于字典平滑的新网格不匹配模型经过整理可以重写为：

$Y=\{A_1+[\frac{A_2-A_1}{r}\left]\mathrm{\Λ}\right\}X+E$

因此可以采用如下优化准则对方向偏差矢量δ进行估计：

$\underset{\mathrm{\δ}}{\min }{\left|\right|Y-\{A_1+[\frac{A_2-A_1}{r}\left]\mathrm{\Λ}\right\}\hat{X}\left|\right|}_F$

假设 那么 $Y-A_1\hat{X}-\mathrm{B\Λ}\hat{X}=R-\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_n{b}_n{\hat{x}}_n^T,$ 上面的优化准则可以重新表达为：

$\underset{\mathrm{\δ}}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(R\right)-\mathrm{C\δ}\left|\right|}_2$

其中b_n表示矩阵B的第n列，表示的第n行，vec(R)表示将R各列堆叠实现矩阵矢量化，矩阵C的第n列是该优化准则意味着δ可以用最小二乘法进行估计：以上稀疏信号和方向偏差矢量估计的过程采用如下步骤交替迭代直至收敛：

步骤1：输入子字典A₁,A₂，观测矩阵Y，来波信号的个数K，最大迭代次数Max_iters，最大误差ε；

步骤2：初始化循环次数和方向偏差矢量：k＝1，δ^k＝0；

步骤3：构造平滑字典A＝[I-Λ^k/r]·A₁+Λ^k/r．A₂，其中Λ^k＝diag(δ^k)，根据接收数据维数用稀疏重构或联合稀疏重构算法求解稀疏信号X，优化准则为：

步骤4：用最小二乘法求解δ，优化准则为：求解公式为：δ^k＝C⁺vec(R^k)＝C+vec(Y-A₁X^k)，其中C的第n列是

步骤5：k＝k+1，判断：如果k＞Max_iters或δ^k-δ^k-1＞ε则退出循环到步骤6，否则回到步骤3；

步骤6:在结束步骤3-5的循环后输出稀疏信号和方向偏差将非零行的位置映射到角度空间并根据方向偏差矢量进行补偿得到估计的信号波达方向。

本发明的效果通过以下仿真进行说明：

仿真条件：阵元个数为M＝8，阵元间距为半波长，网格划分的区域为[0°:180°]，划分间隔为r＝2°，假设有一个目标：K＝1，快拍数T＝200。

仿真1：与传统一阶泰勒模型的方向估计误差随目标方向的变化进行比较。假设目标方向在[81°:171°]之间变化，以2°为间隔从而保证仿真的目标方向都在网格外，图2所示为方向估计误差随信源方向变化的曲线，可以看出对于网格外目标，本发明设计的基于字典平滑的网格不匹配模型能够提供优于传统泰勒模型的方向估计精度。

仿真2：假设目标方向固定为121°，信噪比在[-10:15]dB范围内以1dB为间隔变化，图3所示为目标方向估计的均方根误差RMSE随信噪比SNR的变化曲线。可以看出与传统的泰勒模型相比，在不同的信噪比环境下本发明中的新网格不匹配模型以及基于该模型的稀疏重构算法可以提供具有更低均方根误差的波达方向估计结果。

对于网格外目标，本发明提出的稀疏重构算法由于采用了一种基于字典平滑的新网格不匹配模型，可以比传统泰勒模型下的稀疏重构算法提供更高的波达方向估计精度，平滑后的字典维数降低从而使稀疏重构算法的运算量减少。

Claims (3)

1.一种基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法，包括：

准备步骤：通过对空间区域的角度进行网格划分，形成两组角度成平移等差关系的子字典，依据字典平滑的思想，用网格上角度对应的导向矢量以线性组合的方式表示非网格角度上的导向矢量，建立一个基于字典平滑的网格不匹配模型；

估计步骤：基于网格不匹配模型，通过交替迭代的过程实现信号波达方向的估计和方向偏差的补偿：在求解信号的波达方向时，用联合稀疏重构的方法求解稀疏信号，用最小二乘的方法求解方向偏差，求解稀疏信号和求解方向偏差的过程交替迭代直至收敛，最后将稀疏信号的非零行位置映射到角度空间并根据方向偏差进行补偿得到估计的信号波达方向；

该方法的具体步骤是：

1)、获取阵列接收数据Y，初始化方向偏差矢量Λ＝diag(δ)；

2)、根据输入的子字典构造平滑字典

3)、根据接收数据维数用稀疏重构或联合稀疏重构算法求解稀疏信号X，优化准则为：在使用联合稀疏重构算法时可以选择使用l₁-SVD法降低数据维数；

4)、用最小二乘法求解δ，优化准则为：求解公式为：δ^k＝C⁺vec(R^k)＝C⁺vec(Y-A₁X^k)，其中C的第n列是

5)、判断是否收敛或迭代次数是否达到最大，如果不是重复执行步骤2)-4)；

6)、在结束步骤2)-4)的循环后输出估计的稀疏信号和方向偏差将非零行的位置映射到角度空间并根据方向偏差矢量进行补偿得到估计的信号波达方向。

2.如权利要求1所述的基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法，其特征在于，所述准备步骤的详细步骤是：

设信号波达方向为θ，对空间区域进行网格划分，离θ最近的两个网格是θ₁和θ₂，对a(θ₁),a(θ₂)分别在θ处进行一阶泰勒展开，得：

a(θ₁)＝a(θ)+a′(θ)(θ₁-θ),a(θ₂)＝a(θ)+a′(θ)(θ₂-θ)

如果角度θ处对应的导向矢量a(θ)可以用a(θ₁),a(θ₂)线性表示：

a(θ)＝k₁a(θ₁)+k₂a(θ₂)

把a(θ₁),a(θ₂)的表达式代入上式，得方程：

a(θ)＝k₁(a(θ)+a′(θ)(θ₁-θ))+k₂(a(θ)+a′(θ)(θ₂-θ)

＝(k₁+k₂)a(θ)+[k₁(θ₁-θ)+k₂(θ₂-θ)]a′(θ)

上面方程对任意角度θ成立的条件是：

k₁+k₂＝1

k₁(θ₁-θ)+k₂(θ₂-θ)＝0

设网格间距为r，θ-θ₁＝δ,θ₂-θ＝r-δ，求解出k₁，k₂取值分别为：

把k₁，k₂代入a(θ)的表达式得到:

δ表示方向偏差，是信号波达方向和最近网格之间的偏差；如果每个潜在目标，或者说字典中的每一个导向矢量都采用上面的线性组合表达方式，那么网格不匹配模型可以表达为如下形式：

Y＝{[I-Λ/r]·A₁+Λ/r·A₂}X+E

其中Y∈C^M×T中包含了M个阵元测量得到的T次快拍，X表示T次快拍对应的稀疏信号矩阵，X的每一列具有相同的稀疏结构，将X的非零行位置映射到角度空间就可以找到目标信号的波达方向；其中A₁,A₂∈C^M×N-1表示两个网格子集对应的子字典：

A₁＝[a(θ₁)a(θ₂)…a(θ_N-1)]

A₂＝[a(θ₂)a(θ₃)…a(θ_N)]，

N为网格总数，每个网格子集中包含N-1个网格；

Λ＝diag(δ)为对角矩阵包含了所有可能的方向偏差；

δ为方向偏差矢量：δ＝[δ₁,δ₂…,δ_N-1]^T；E∈C^M×T表示加性噪声。

3.如权利要求1所述的基于稀疏重构的网格外目标波达方向估计方法，其特征在于，所述估计步骤的详细步骤是：

设方向偏差矢量δ为某一个固定值，采用联合稀疏重构的方法基于如下优化准则对最优稀疏信号进行求解：

其中：

||X||_2,1表示对X各行先求l₂范数再对得到的列向量求l₁范数；

λ为正则化参数，λ值的选取与信噪比有关；

采用任何一种联合稀疏重构的方法都可以获得稀疏信号的估计

在获得稀疏信号的估计之后，对方向偏差矢量δ进行估计：

基于字典平滑的新网格不匹配模型经过整理可以重写为：

因此可以采用如下优化准则对方向偏差矢量δ进行估计：

假设那么上面的优化准则可以重新表达为：

其中b_n表示矩阵B的第n列，表示的第n行，vec(R)表示将R各列堆叠实现矩阵矢量化，矩阵C的第n列是该优化准则意味着δ可以用最小二乘法进行估计：

以上稀疏信号和方向偏差矢量估计的过程采用如下步骤交替迭代直至收敛：

步骤1：输入子字典A₁,A₂，观测矩阵Y，来波信号的个数K，最大迭代次数Max_iters，最大误差ε；

步骤2：初始化循环次数和方向偏差矢量：k＝1，δ^k＝0；

步骤3：构造平滑字典其中Λ^k＝diag(δ^k)，根据接收数据维数用稀疏重构或联合稀疏重构算法求解稀疏信号X，优化准则为：

步骤4：用最小二乘法求解δ，优化准则为：求解公式为：δ^k＝C⁺vec(R^k)＝C⁺vec(Y-A₁X^k)，其中C的第n列是

步骤5：k＝k+1，判断：如果k＞Max_iters或||δ^k-δ^k-1||＞ε则退出循环到步骤6，否则回到步骤3；

步骤6:在结束步骤3-5的循环后输出稀疏信号和方向偏差将非零行的位置映射到角度空间并根据方向偏差矢量进行补偿得到估计的信号波达方向。