CN103293956B - 一种被控对象参数不确定系统的分数阶pid控制器整定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种被控对象参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法，其中所述分数阶PID控制器应用在被控对象参数不确定的系统中，该方法对所述分数阶PID控制器的待整定参数进行优化整定，其首先确定该系统参数的稳定域；然后确定该系统参数的稳定域内频率以及参数的变化范围；最后采用遗传算法对控制器参数进行优化整定。本发明通过采用基于参数不确定系统的分数阶PID控制器参数整定方法，有效解决了当控制对象为参数不确定系统时，分数阶控制器的参数整定问题，且能够优化系统动态性能，使分数阶控制器取得更好的控制效果及更好的动态性能。

Description

一种被控对象参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法

技术领域

本发明涉及一种分数阶PID控制器整定方法，特别是一种基于参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法。

背景技术

PID控制器因其简单的结构、强鲁棒性以及参数易整定，成为目前在工业控制领域应用最广泛的控制器。对于一些具有分数阶特性的系统，传统的PID控制很难获得满意的控制性能，而形式和算法上更具一般性的分数阶PI^λD^μ控制器逐渐成为控制领域的研究热点，并且取得了一系列的瞩目的成果。

目前,对分数阶控制器的研究主要集中于分数阶PI^λ或PI^λD^μ控制器的设计、参数整定及稳定域的分析。1978年，Serdar首次提出了一种确定稳定域的解决方法，该方法根据D分割原理，由求得的实根边界(实根边界)、复根边界(复根边界)与无穷根边界(无穷根边界)以确定稳定域的范围，然后通过改变给定的阶次λ、μ值，得到最大稳定域。

而对于控制器参数整定，大多数研究都是集中在参数确定系统的控制器参数整定，例如针对时滞不稳定系统、一阶时滞及闭环系统，进行了稳定分数阶PI^λD^μ控制器的设计。

然而在实际应用中，大多数的实际控制对象参数并不是精确的，存在着一定的不确定性，这些不确定性会降低控制系统的性能，因此在设计控制器时，系统的不确定性是必须要考虑的，需要一种有效的方法来对参数不确定系统进行参数整定。

发明内容

为了克服现有技术的缺陷，本发明提供一种分数阶PID控制器整定方法，其中所述分数阶PID控制器应用在被控对象参数不确定的系统中，该方法对所述分数阶PID控制器的待整定参数k_p,k_i进行优化整定，其包括以下步骤：

首先，确定该系统中的待整定参数的稳定域；

然后确定该系统参数的稳定域内的频率ω以及参数k_p,k_i的变化范围；

最后采用遗传算法对控制器待整定参数k_p,k_i进行优化整定。

2.较佳地，所述确定该系统参数的稳定域包括以下步骤：

(1)利用Kharitonov理论把该系统分解成若干个被控对象参数确定的子系统；

(2)根据给定的被控子系统分别求得各子系统参数稳定域边界实根边界、复根边界与无穷根边界三条曲线，从而得到各子系统参数稳定域图像；

(3)分别为各子系统取多组不同的λ和μ，求出各子系统的稳定域，并从中找出使各子系统稳定域最大的λ,μ值；

(4)由(3)求得的λ,μ值构成多个新子系统，计算各新个子系统的稳定域，其交集即为参数不确定系统的参数稳定域。

较佳地，所述确定该系统参数的稳定域内的频率ω以及参数k_p,k_i的变化范围包括以下步骤：

(1)将该系统参数稳定域按不同的子系统的实根边界、复根边界与无穷根边界三条曲线围成的参数稳定域分为不同的区域，分别确定各个区域的边界曲线上频率ω的变化范围[ω_min,ω_max]；

(3)分别在各个区域的区间[ω_min,ω_max]中确定k_p的取值范围，在k_p的取值范围中取多个不同的k_p值，分别得到相应的k_i的取值范围。

较佳地，所述采用遗传算法对控制器参数k_p,k_i进行优化整定包括：

对于不同的k_p，在相应的k_i的取值范围中采用遗传算法优化k_i；

以ITAE为性能指标，对于得到的优化的控制器参数组中，使ITAE指数最小的数据组k_p,k_i就为最优的控制器参数。

较佳地，其中ITAE的定义为：其中T为给定的仿真时间，t为采样时间，e(t)为系统给定值与反馈值的偏差。

与现有技术相比，本发明的有益效果如下：

本发明通过采用基于参数不确定系统的分数阶PID控制器参数整定方法，有效解决了当控制对象为参数不确定系统时，分数阶控制器的参数整定问题，且能够优化系统动态性能，使分数阶控制器取得更好的控制效果及更好的动态性能。

当然，实施本发明的任一产品并不一定需要同时达到以上所述的所有优点。

附图说明

图1为本发明提供的基于参数不确定系统结构图；

图2为k_d变化时的整数阶PID控制器稳定域示意图；

图3为λ变化时G₃₂子系统PI^λD控制器稳定域示意图；

图4为μ变化时G₃₂子系统PID^μ控制器稳定域示意图；

图5为各子系统分数阶PI^0.2D^1.3控制器稳定域示意图；

图6为各子系统的单位阶跃响应示意图；

图7为分数阶PI^0.2D^1.3控制器稳定域求最优参数示意图；

图8为本发明最优点与其他点的单位阶跃响应比较示意图。

具体实施方式

下方结合附图和具体实施例对本发明做进一步的描述。

本发明提供了一种分数阶PID控制器整定方法，其中所述分数阶PID控制器应用在被控对象G(s)的参数不确定的系统中，该方法对所述分数阶PID控制器的待整定参数k_p,k_i进行优化整定，

其包括以下步骤：

首先，确定该系统中的待整定参数的稳定域；

然后确定该系统参数的稳定域内的频率ω以及参数k_p,k_i的变化范围；

最后采用遗传算法对控制器待整定参数k_p,k_i进行优化整定。

其中，系统参数稳定域的确定方法包括以下步骤：

(1)根据Kharitonov理论把该系统分解成若干个被控对象参数确定的子系统；

(2)根据给定的被控子系统分别求得各子系统参数稳定域边界实根边界、复根边界与无穷根边界三条曲线，从而得到各子系统参数稳定域图像；

(3)分别为各子系统取多组不同的λ(λ∈(0,2))和μ(μ∈(0,2))，求出各子系统的稳定域，并从中找出使各子系统稳定域最大的λ,μ值；

(4)由(3)求得的λ,μ值构成多个新子系统，计算各新个子系统的稳定域，其交集即为参数不确定系统的参数稳定域。

频率ω以及参数k_p,k_i的变化范围的确定方法包括以下步骤：

(1)将该系统参数稳定域按不同的子系统的边界曲线分为成不同的区域，分别确定各个区域的边界曲线上频率ω的变化范围[ω_min,ω_max]；

(2)分别在各个区域的区间[ω_min,ω_max]中确定k_p的取值范围，在k_p的取值范围中取多个不同的k_p值，分别得到相应的k_i的取值范围。

参数k_p,k_i的优化方法为：

对于不同的k_p，在相应的k_i的取值范围中采用遗传算法优化k_i；

以ITAE为性能指标，对于得到的优化的控制器参数组中，使ITAE指数最小的数据组k_p,k_i就为最优的控制器参数。其中T为给定的仿真时间，t为采样时间，e(t)为系统给定值与反馈值的偏差。

实施例

具体的，根据Kharitonov理论把分数阶参数不确定系统分解成若干个参数确定的子系统的具体步骤为：

对于给定的闭环系统，其闭环传递函数为：

G(s)表示被控对象，为广义参数不确定时滞系统，其微分阶次可以为任意阶次，并不仅限于整数，而其参数可在一定范围内变化，传递函数如下式：

其中，r＝0,1,2,…,n，为系统时滞参数，同时，β_n＞…＞β₁＞β₀≥0，α_n＞…＞α₁＞α₀≥0且为任意实数。

C(s)表示分数阶PI^λD^μ控制器，其传递函数如下式：

将式(2)和式(3)代入(1)，闭环系统的特征多项式写作：

Ψ(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^μ+λ)N(s) (4)

根据Kharitonov理论^[8]，可以将参数不确定系统分解成为若干个参数确定的子系统，因此，可以根据Kharitonov多项式，将系统传递函数式(2)的分子N(s)和分母D(s)分别表示为Nⁱ(s)和D^f(s)，i＝1,2,3,4，f＝1,2,3,4，即：

对式(2)所表示的广义参数不确定时滞系统，令

则任意子系统G_if(s)的特征多项式可以表示如下：

其中，及分别表示任意子系统G_if(s)的分母分子多项式系数及时滞常数。

根据给定的被控子系统分别求得各子系统参数稳定域边界实根边界、复根边界与无穷根边界三条曲线，从而得到各子系统参数稳定域图像,具体步骤如下：

根据D分割理论，求得子系统PI^λD^μ控制器稳定参数区域，该区域是以实根边界、复根边界与无穷根边界为边界围成的区域；

对于一组参数(k_p,k_i,k_d,λ,μ)，若它使特征方程式Ψ_if(s)＝0的根都有负实部，则该子系统是输入输出稳定的。所有使该子系统稳定的参数组的集合记为控制器的参数稳定域S_f(C(s)G_if(s))∈Φ，其中

Φ＝{|(k_p,k_i,k_d,λ,μ)|k_p∈[0,∞),k_i∈[0,∞),k_d∈[0,∞),λ∈[0,2),μ∈[0,2)} (8)

则使G(s)稳定的PI^λD^μ控制器参数稳定域表示如下：

根据D分割原理，可以将(k_p,k_i,k_d,λ,μ)所构成的参数空间Φ分割成以实根边界、复根边界与无穷根边界为边界围成的区域D。则区域D中包含所有使各个子系统稳定的点，D分割原理的边界定义如下：

其中，和分别表示实根边界(实根边界)、无穷根边界(无穷根边界)与复根边界(复根边界)。

将s＝jω代入特征多项式(7)，可得到特征方程式如下：

根据式(11)的第一个子式，可以得到实根边界实根边界为：k_i＝0。

由于在系统中存在时滞项，因此无穷根边界(无穷根边界)的计算十分的困难。大多数情况下，被控对象的传递函数中，其分母的阶次往往是大于分子的阶次。在这种情况下，它的无穷根边界(无穷根边界)是不存在的^[5]。但当满足α_n≤β_n+μ，存在无穷根边界，根据文献[5]可将无穷根边界由下式表示：

根据和欧拉公式e^jx＝cosx+jsinx，可将特征方程式(12)表示为：

其中，

由式(14)的实部和虚部分别都等于零，可以得到如下的方程组：

其中，

则由式(15)可得到PI^λD^μ控制器参数k_p,k_i的表达式：

上式(16)(17)中，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞时，可以在(k_p,k_i)平面得到复根边界复根边界。

分别取不同的λ(λ∈(0,2))和μ(μ∈(0,2))，求出子系统的稳定域，并从中找出使稳定域最大的λ,μ值。

由上步求得的λ,μ值构成新的PI^λD^μ控制器，计算各个子系统的稳定域，其交集即为参数不确定系统的参数稳定域。

实施例

本发明针对参数不确定系统，其闭环系统框图如图1所示。

取一阶参数不确定时滞系统作为被控对象，如下式所示：

其中，L∈[1,1.2]，k∈[0.8,1]，T∈[1,1.5]。

根据Kharitonov理论把分数阶参数不确定系统分解成如下8个参数确定的子系统：

根据式(10)和(11)的第一个子式，可以得到实根边界实根边界为：k_i＝0。

根据式(13)可得到无穷根边界(无穷根边界)：

其中，表示任意子系统G_if(s)的时滞常数。

对于给定控制器参数k_d,λ,μ，根据式(16)(17)可求出复根边界(复根边界)。当采用整数阶PID控制器，即λ＝μ＝1，取不同的k_d可以在(k_p,k_i)平面绘制得到相应的参数稳定区域。由图2可知随着k_d的增大，参数稳定域也逐渐增大。

取k_d＝1，μ＝1，计算各个子系统PI^λD^μ控制器在不同的λ值情况下的稳定域。由于通过仿真验证，各个子系统的稳定域变化趋势是基本一致的，因此仅选择一个子系统作为代表来说明。由图3中G₃₂子系统可以看出，随着λ的减小，控制器参数稳定域逐步增大，因此本例中选取λ＝0.2，此时，控制器获得较大的稳定域。

同理取k_d＝1，λ＝1，分别计算各子系统在不同的μ值下的参数稳定域。由图4可知，在G₃₂子系统中，当μ＜1.3时，随着μ的增大，控制器参数稳定域也逐渐增大，而当μ＞1.3时，随着μ的增大，参数稳定域则在逐渐减小。因此，取μ＝1.3，此时系统获得最大稳定域。

综上所述，取λ＝0.2，μ＝1.3，PI^λD^μ控制器可得到最大稳定域。因此，在k_d＝1时，在同一(k_p,k_i)平面，分别计算8个子系统的PI^0.2D^1.3控制器稳定域，其交集即为参数不确定时滞系统的PI^0.2D^1.3控制器稳定域，如图5所示，稳定域由子系统G₃₁,G₄₁的复根边界(复根边界)及实根边界(实根边界)围成。

从稳定域中任取一点，G(1.3258,0.2217)，对8个子系统在PI^0.2D^1.3控制器下的单位阶跃响应进行仿真，以验证其稳定性，如图6所示，可见8个子系统在PI^0.2D^1.3控制器下都是稳定的。

将由子系统G₃₁,G₄₁围成的稳定域单独画出，如图7所示。在两曲线交点处(记为点C)做垂直于k_p轴的直线，与k_p轴交于A点，为减少计算量，可认为A点和G₄₁复根边界(复根边界)与k_p轴的第一个交点重合(仿真结果表明两点坐标相差很小)。从点C做垂直于k_i轴的直线，与G₃₁复根边界曲线(复根边界)交于B点，同时将G₄₁复根边界(复根边界)与k_p轴的另一个交点记做D点。由此，可将这个稳定域划分为三部分X、Y、Z，其频率变化范围分别为X：[ω_xmin,ω_xmax]＝[0.01,0.60]，Y：[ω_ymin,ω_ymax]＝[0.60,1.03]，Z：[ω_zmin,ω_zmax]＝[1.48,1.79]。在区域X中，k_p的取值范围为对于该取值范围中的某一个值k_pn，在k_pn处做垂直于k_p轴的直线，分别与曲线AB和直线BC相交，设与曲线AB交点处频率为ω_n，则k_pn相应的k_i取值范围为从而可以得到各频率值所对应的(k_p,k_i)取值范围。对于各k_p对应的k_i取值范围，运用遗传算法进行优化得到最优值，再比较求得的各组控制器参数，得到使ITAE指标值最小的一组控制器参数，其中ITAE的定义为：T的大小可根据实际被控对象来确定。。在区域Y、Z中也做同样处理。

最终得到，在k_d＝1，λ＝0.2，μ＝1.3情况下，k_p,k_i的最优参数为k_p＝1.2457,k_i＝0.1027，其ITAE指标为0.4965。将最优点记为H点，如图7所示，同时在稳定域内任取两点H₁(1.0492，0.4013),H₂(1.4201，0.3146)，将三点在k_d＝1的PI^0.2D^1.3控制器下，单位阶跃响应的仿真情况作比较，如图8所示，可以看出，最优点H处的动态响应性能优于其他两个任意选择的点处的动态响应性能。

本发明通过采用基于参数不确定系统的分数阶PID控制器参数整定方法，有效解决了当控制对象为参数不确定系统时，分数阶控制器的参数整定问题，且能够优化系统动态性能，使分数阶控制器取得更好的控制效果及更好的动态性能。

以上公开的本发明优选实施例只是用于帮助阐述本发明。优选实施例并没有详尽叙述所有的细节，也不限制该发明仅为所述的具体实施方式。显然，根据本说明书的内容，可作很多的修改和变化。本说明书选取并具体描述这些实施例，是为了更好地解释本发明的原理和实际应用，从而使所属技术领域技术人员能很好地理解和利用本发明。本发明仅受权利要求书及其全部范围和等效物的限制。

Claims (4)

1.一种被控对象参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法，其中所述分数阶PID控制器应用在被控对象参数不确定的系统中，该方法对所述分数阶PID控制器的待整定参数k_p,k_i进行优化整定，其特征在于，包括以下步骤：

首先，确定该系统中的待整定参数的稳定域；

然后确定该系统参数的稳定域内的频率ω以及参数k_p,k_i的变化范围；

最后采用遗传算法对控制器待整定参数k_p,k_i进行优化整定；

所述确定该系统参数的稳定域包括以下步骤：

(1)利用Kharitonov理论把该系统分解成若干个被控对象参数确定的子系统；

(2)根据给定的被控子系统分别求得各子系统参数稳定域边界实根边界、复根边界与无穷根边界三条曲线，从而得到各子系统参数稳定域图像；

(3)分别为各子系统取多组不同的λ和μ，求出各子系统的稳定域，并从中找出使各子系统稳定域最大的λ,μ值；

(4)由(3)求得的λ,μ值构成多个新子系统，计算各新个子系统的稳定域，其交集即为参数不确定系统的参数稳定域。

2.如权利要求1所述的被控对象参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法，其特征在于，所述确定该系统参数的稳定域内的频率ω以及参数k_p,k_i的变化范围包括以下步骤：

(1)将该系统参数稳定域按不同的子系统的实根边界、复根边界与无穷根边界三条曲线围成的参数稳定域分为不同的区域，分别确定各个区域的边界曲线上频率ω的变化范围[ω_min,ω_max]；

(2)分别在各个区域的区间[ω_min,ω_max]中确定k_p的取值范围，在k_p的取值范围中取多个不同的k_p值，分别得到相应的k_i的取值范围。

3.如权利要求2所述的被控对象参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法，其特征在于，所述采用遗传算法对控制器参数k_p,k_i进行优化整定包括：

对于不同的k_p，在相应的k_i的取值范围中采用遗传算法优化k_i；

以ITAE为性能指标，对于得到的优化的控制器参数组中，使ITAE指数最小的数据组k_p,k_i就为最优的控制器参数。

4.如权利要求3所述的被控对象参数不确定系统的分数阶PID控制器整定方法，其特征在于，其中ITAE的定义为：其中T为给定的仿真时间，t为采样时间，e(t)为系统给定值与反馈值的偏差。