CN105425580B

CN105425580B - 一种itae最优n型系统构建方法

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Publication number: CN105425580B
Application number: CN201510925368.3A
Authority: CN
Inventors: 蔡涛; 杨静远; 陈杰
Original assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Current assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Priority date: 2015-12-14
Filing date: 2015-12-14
Publication date: 2018-02-06
Anticipated expiration: 2035-12-14
Also published as: CN105425580A

Abstract

本发明公开了一种ITAE最优N型系统的构建方法，涉及信号跟踪及控制领域，本发明将扩张状态观测器引入多目标优化的ITAE最优控制系统实现，使得实现过程得到简化，并在工程上实现了型别超过Ⅲ型的ITAE最优控制系统，并增强了ITAE最优控制系统的抗扰能力。

Description

一种ITAE最优N型系统构建方法

技术领域

本发明涉及信号跟踪及控制，尤其涉及一种ITAE最优N型系统的构建方法。

背景技术

一个好的位置伺服系统，不仅需要有良好的阶跃响应，还需要有良好的位置跟踪性能。要达到更高阶次的无静差度，需要增加开环传递函数包含的积分器个数，其代价是系统趋向于不稳定，控制器设计难度提高。

ITAE是一种衡量系统性能的指标，目标函数为

按照这个目标函数值最小为准则设计参数的系统能够达到很好的效果，而且比较适用于工程实践。1953年，美国学者G.Graham利用模拟计算机给出了8阶以下I型系统、6阶以下Ⅱ、Ⅲ型系统在满足ITAE最优时应有的参数。1977年以后，我国学者项国波等人利用数字计算机对这些参数进行了验算，并应用在实际工程中。项国波还提出了多目标优化的思想，将不同输入信号的目标函数乘以相应的权重再求和作为新的目标函数，这种经过多目标优化设计的控制器，在满足高阶无静差度的同时，大幅降低了阶跃响应的超调量。

很长一段时间以来，控制界一直认为Ⅲ型系统在工程上无法实现，直到陈明俊等人在文献(陈明俊，巫亚强，江启达.ITAE最优Ⅲ型数字伺服系统[N].自动化学报.1993,19(2).)提出引入加速度负反馈和速度正反馈将速度环变换成为一个积分环节，再通过串联PID控制器使系统开环传递函数形成ITAE最优Ⅲ型系统，并在工程上成功实现。ITAE最优Ⅲ型系统可以同时达到对阶跃、斜坡、加速度响应无静差跟踪，对阶跃响应超调量小于25％，非常适合工程应用。但是陈明俊的这种实现方法需要相对准确的模型信息，在此基础上才能完成等效积分环节的构造，控制器设计也较为复杂。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种ITAE最优N型系统的构建方法，能够获得任意阶无差度的控制器。

为了解决上述技术问题，本发明提供一种ITAE最优系统的构建方法：首先用ESO将实际被控对象化为积分串联标准型或欠标准型的广义被控对象，再将设计出的ITAE最优N型控制器的输出作为广义被控对象的输入，从而实现该系统，具体为：

步骤1、首先，确定所要构建的系统的阶数m和型别n，并获得该系统的闭环传递函数标准型；其中，n,m均为整数，且0≤n≤m；

然后，采用参数优化搜索算法，按照多目标优化的ITAE指标对所述闭环传递函数寻求所述系统的ITAE最优参数β_i；其中，i＝m-1,m-2,...,1；

最后，根据获得的系统ITAE最优参数β_i，得到ITAE最优系统的开环传递函数；

步骤2、对于相对阶数为k的被控对象，通过采用k+1阶的扩张状态观测器ESO对所述被控对象的输出进行状态反馈，由此将被控对象化简成积分串联标准型或欠标准型的广义被控对象，其传递函数为：

其中，0≤p≤k,且p,k均为整数，k-p＝m-n；s为微分算子，β_n，…β_m-2，β_m-1即为步骤1获得的ITAE最优系统的参数β_i中的部分参数值；

步骤3、在步骤2获得的被控对象传递函数的基础上，设计ITAE最优N型控制器，通过串联多个PID控制器和/或PI控制器来配置零点，由此构成ITAE最优N型控制器的传递函数：

该ITAE最优N型控制器传递函数与步骤2得到的被控对象传递函数共同形成步骤1所述的ITAE最优系统的开环传递函数；

步骤4、将步骤3得到的ITAE最优N型控制器的输出作为步骤2得到的广义被控对象的输入，由此构建得到对应的阶数为m、型别为n的ITAE最优系统。

本发明具有如下有益效果：

(1)本发明将扩张状态观测器(ESO)引入多目标优化的ITAE最优系统构建，使得构建过程得到简化，并在工程上实现了型别超过Ⅲ型的ITAE最优系统，并增强了ITAE最优系统的抗扰能力。

附图说明

图1为系统原理框图。

图2为ESO化简被控对象示意图。

图3为Matlab仿真图。

图4为阶跃响应仿真图。

图5为斜坡响应仿真图。

图6为匀加速度响应仿真图。

图7为匀加加速度(加速度的一阶导数)响应仿真图。

图8为匀加加加速度(加速度的二阶导数)响应仿真图。

图9为扰动抑制仿真图。

图10为基于ESO的ITAE最优Ⅲ型系统与标准传递函数波特图对比图。

图11为基于ESO的ITAE最优Ⅲ型系统在被控对象参数变化时的波特图。

图12为半实物仿真阶跃响应图。

图13为半实物仿真斜坡响应图。

图14为半实物仿真匀加速度响应图。

图15为半实物仿真匀加加速度响应图。

图16为半实物仿真匀加加加速度响应图。

图17为半实物仿真匀加加加速度响应图(不同参数)。

图18为幅值为50度，频率为2rad/s正弦信号的跟踪效果图。

图4～图8、图12～18的图例中“Ⅲ”、“Ⅳ”和“Ⅴ”分别代表ITAE最优Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ型系统。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

目前已有ITAE最优系统仅考虑Ⅲ型及Ⅲ型以下系统，型别越高的系统无静差度越高，跟踪性能也就越好，而高于Ⅲ型的ITAE最优系统的实现难度很大。

本发明提出一种基于ESO的ITAE最优N型系统的实现方法，扩张状态观测器(ESO)是自抗扰控制技术的核心部分，通过将系统内扰(未建模动态)和外扰统一作为总扰动进行观测，并在输入端进行补偿，可将系统化为标准的积分器串联型。理论研究和实际工程中都证明了ESO可以使被控对象得到很大程度的简化，使得控制律设计更加简单。本发明利用了ESO仅需要极少的模型信息，还具有对参数变化和外部扰动的观测能力，从而在满足ITAE最优N型系统性能的同时，兼具优良的抗扰能力和工程可实现性。

基于ESO的ITAE最优N型系统的实现原理如图1所示。

假设存在m阶系统，其ITAE最优N型系统的闭环和开环传递函数标准型分别为：

其中s表示微分算子，上角标n-1,n-2,...,1表示系统的阶数，β_i为各个微分算子的系数，即为待寻优参数，i＝m-1,m-2,...,1n＝N,0≤n≤m,且n,m均为整数。

随着计算机技术的发展，以及遗传算法、模拟退火和粒子群等各种参数优化搜索算法，寻求最优参数变得越来越方便，可将这些算法用于寻找更高阶无差度的ITAE最优系统参数β_i。

对于一个相对阶数为k的被控对象，通过采用k+1阶ESO并加上必要的状态反馈，如图2所示，被控对象部分的传递函数可以变换为：

图1中为系统输出y及其导数的估计值，为扩张状态，代表系统总扰动f的估计值。取参数α_k＝β_m-1，α_k-1＝β_m-2，…，α_p+1＝β_n，α_p＝α_p-1＝…＝α₁＝0，则上式变为，

其中0≤p≤k,且p,k均为整数，k-p＝m-n。

因此，在首先确定满足ITAE最优传递函数标准型的参数β_i后，通过k-p＝m-n确定p值以及n-p，由此挑选一个或多个PID、PI或PD等控制器参数并将其串联后形成ITAE最优N型控制器：

即可以实现开环传递函数标准型G_ITAE-Open(s)，在系统开环传递函数中构造出N个积分环节，从而使系统响应达到N阶无静差度。

本发明方法具体分为以下三个步骤：

第一步，确定所要构建的系统的阶数m和型别n，并获得该系统的闭环传递函数标准型；用遗传算法、粒子群算法或者其他参数优化算法，按照多目标优化的ITAE指标对所述闭环传递函数寻求ITAE最优参数β_i；根据获得的系统的ITAE最优参数β_i，从而得到ITAE最优N型系统的开环传递函数标准型，进而计算得到通用开环传递函数。

选取目标函数为可以快速获得使得目标函数值达到最小的参数组合。其中J_i分别为阶跃、斜坡、匀加速度或更高阶输入信号作用下的系统响应的ITAE目标函数，C_i为该输入信号目标函数的权重因子。权重因子根据不同设计需求进行选取，并满足C_i∈(0,1)且

第二步，对于相对阶数为k的被控对象，通过采用k+1阶的扩张状态观测器ESO对所述被控对象的输出进行状态反馈，由此将被控对象传递函数化简成积分串联形式：

以二阶系统

为例，其中y,u分别是系统的输出和输入，w是外部扰动。参数a,c未知，已知b的大概取值，取b₀≈b。将上式重写为

其中此处的f称为总扰动。

忽略外部扰动w，该系统传递函数为

设计扩张状态观测器(ESO)

按照线性扩张状态观测器参数选取方法，取

l₁＝3ω_o，l₂＝3ω_o ²，l₃＝ω_o ³

其中ω_o为观测器带宽，可根据实际情况进行调整，b₀根据实际b的物理意义进行选择。通过调节观测器带宽，使得ESO扩张的状态能够估计出系统的总扰动f，即该总和扰动包括系统模型参数摄动的内扰和外部环境作用的外扰。通过选择控制律为

使得二阶系统变为

当与系统总扰动f抵消后，系统变为，

由此可得控制率u₀到系统输出y的传递函数为，

当合理选择观测器带宽ω_o的值，系统中的总扰动被估计并通过控制律设计时予以抵消，从而将被控对象强制变换，也即简化成积分串联形式。

当N值大于或等于被控对象的相对阶数时，采用上述方法将被控对象直接化为积分串联形式，积分器的数目与被控对象的相对阶数相等。

当N值小于被控对象的相对阶数时，例如对于相对阶数为3的被控对象，如果要实现本发明所述的ITAE最优2型系统，可以用ESO将被控对象化为非纯积分串联的次标准形式，即积分串联后再串联一个非纯积分的传递函数形式，

需要注意，此时在参数寻优阶段要比相对阶数为2的系统多一个参数。对于更高阶的系统可依次类推。

第三步，在步骤2获得的被控对象传递函数的基础上，设计ITAE最优N型控制器，通过串联多个PID控制器和/或PI控制器来配置零点，由此构成ITAE最优N型控制器的传递函数：

该ITAE最优N型控制器传递函数与步骤2得到的被控对象传递函数最终形成步骤1所述的ITAE系统的开环传递函数。

按照查表方法，从已有ITAE最优系统参数表中查取相应优化参数，或者采用第一步的参数优化方法进行参数寻优计算，得到最优传递函数标准型。例如，ITAE最优III、IV、V型系统的通用开环传递函数可确定为

其中ω_c越大，系统的响应越快，其数值受到执行机构最大加速能力的限制，实际操作中可以由小到大进行试验，选出合适的数值。

经过一定的计算，取

即可实现ITAE最优Ⅲ型系统。

取

串联起来即可实现ITAE最优IV型系统。

取

串联起来即可实现ITAE最优V型系统。

一、ITAE最优N型系统设计

为了验证理论的正确性，采用Matlab/Simulink进行控制系统仿真，在仿真中被控对象选取与陈明俊书中(陈明俊，武器伺服系统工程实践，国防工业出版社，2013)相同，速度环给定到电机位置的传递函数可近似为

其中q＝37.5,t＝0.0457，电机到负载的传动比为0.2546，所以在PID前乘以系数来抵消传动比对传递函数的影响。

下面按照发明内容中所述步骤完成基于ESO的ITAE最优III、IV、V型系统参数优化、ESO和控制器设计。

第一步，参数寻优

被控对象为二阶系统，若要达到三阶无静差度，则取m＝3,n＝3，闭环传递函数为

若要达到四阶无静差度，则取m＝4,n＝4,闭环传递函数为

若要达到五阶无静差度，则取m＝5,n＝5,闭环传递函数为

采用遗传算法对上述传递函数进行寻优，选取目标函数为J_i随着i的逐渐增大分别为阶跃、斜坡、匀加速或更高阶输入信号作用下的系统响应的ITAE目标函数，C_i为该输入信号目标函数的权重因子。

经寻优，4阶IV型系统的ITAE最优参数为，

β₃＝5.817,β₂＝11.894,β₁＝5.954

其中权重因子选为，

C₁＝0.4,C₂＝0.3,C₃＝0.2,C₄＝0.1

5阶V型系统的ITAE最优参数为，

β₄＝9.889,β₃＝33.332,β₂＝23.884,β₁＝7.871

其中权重因子选为：

C₁＝0.4,C₂＝0.2,C₃＝0.2,C₄＝0.1,C₅＝0.1

为了方便后面做抗扰性能对比，3阶III型系统的ITAE最优参数选取与陈明俊书中相同，即：

β₂＝2.97,β₁＝4.94

根据标准闭环传递函数的参数，可以得到通用的3阶ITAE最优III型系统、4阶ITAE最优IV型系统，5阶ITAE最优V型系统的通用开环传递函数为：

第二步，扩张状态观测器(ESO)设计

针对二阶被控对象，可设计三阶ESO将被控对象化为两个积分器串联的标准型，即

如前面所述，ESO的形式为，

根据被控对象的物理意义，b₀的取值应在左右，因此取b₀＝800.按照线性扩张状态观测器的参数选取规则，取l₁＝3ω_o，l₂＝3ω_o ²，l₃＝ω_o ³.在此仿真中取ω_o＝300即可达到ESO化简被控对象的目的。

第三步，设计ITAE最优N型控制器

对比第一步中得到的ITAE最优III、IV、V型系统的开环传递函数和第二步得到的ESO化简过的被控对象的传递函数，易知通过串联一个或多个合适的PID、PI、PD控制器来构成ITAE最优N型控制器，即可实现ITAE最优III、IV、V型系统。

取

即可实现ITAE最优III型系统。

取

即可实现ITAE最优IV型系统。

取

即可实现ITAE最优V型系统。

系统的仿真框图如图3所示，图中两个模块分别为电机速度环和基于ESO的ITAE最优III、IV、V型系统。取参数ω_o＝300，b₀＝800，ω_c＝2，即可得到图4～图9中的响应。

针对阶跃响应超调较大的问题，工程上可以采用安排过渡过程的方法减小超调，采用安排过渡过程之后的阶跃响应如图4，可看出超调小于10％。

图5～8为III、IV、V型系统对不同输入信号的跟踪效果，可以发现，这三种系统对于匀加速输入响应都可以达到无静差跟踪，IV、V型系统对于匀加加速度输入响应可以达到无静差跟踪，V型系统对匀加加加速度输入响应可以达到无静差跟踪，对比这几种系统对相同输入信号的跟踪效果可以发现型别越高的系统跟踪效果越好，此外，由于ESO出色的扰动补偿能力，使得按照这种方法实现的系统具备了更好的抗扰能力，对比传统的ITAE最优III型系统和基于ESO的ITAE最优III型系统的扰动抑制效果可以验证，如图9。

二、频域分析

以III型系统为例，通过理论推导可以得到系统的开环传递函数

取参数ω_c＝2,ω_o＝500，可得到如图9所示的系统波特图。从图中可以看出此系统在低频部分和已有ITAE最优Ⅲ型系统表现一致，在高频部分则稍有不同，这是因为ESO只能把速度环在ω_o以下的频段化成一个积分器，通过增大ω_o可以使系统的频率特性在更大的频段表现与ITAE最优Ⅲ型系统一致，但是也使系统更容易受到噪声影响，这需要设计人员在实际设计中进行权衡，选取合适的参数。由于ESO可以抵消由于模型失配造成的内扰，所以此系统对参数的变化不敏感，从图10可看出，在参数变化时，系统的低频特性几乎不变，幅值与相位裕度几乎没有变化。因此，这种方法并不需要准确的模型信息。

同理可采用这种分析方法对IV型、V型系统进行分析。

三、实际实验验证

实验环境由如下部分组成：PC机、PCI-1716，PCI-QUAD04，ECP Model220实验平台。PC机需要安装Matlab Real-time Workshop,ECP Model220实验平台包括驱动器、电机、负载以及传动机构，电机与负载均配备光电编码器，可得出位置信号，PCI-1716用于输出驱动器需要的±10V的电压，驱动器的电流环增益为1.5A/V,转矩常数为0.086Nm/A，PCI-QUAD04用于对编码器的脉冲信号进行计数，编码器输出A、B两相脉冲信号，根据两相信号相位之间的关系可判定旋转方向，编码器每转一圈，PCI-QUAD04会记录到16000个脉冲，所以分辨率为0.0225度。

通过查阅实验平台数据手册得出由驱动器输入到电机位置的传递函数为

由于ECP Model220实验平台没有速度环，因此在Matlab Real-time Workshop中搭建速度环PI控制器。取参数K_P＝0.008,K_I＝0.01，则由速度环给定到电机位置的传递函数为

这个系统相对阶数为2，所以可以用ESO将其化为2个积分器串联的标准型，然后按照本发明内容中所列步骤确定控制器参数。

控制步长为0.001秒，取参数ω_o＝300,ω_c＝4,b₀＝56，即可得到图12～16中实验结果。

图12为阶跃响应，参考输入采用安排过渡过程的方法，目标位置112.5度。

图13为斜坡响应，也可以称为匀速响应，速度120度/秒。

图14为匀加速度响应，加速度大小为60度/平方秒。

图15为匀加加速度响应，加加速度大小为30度/立方秒。

图16为匀加加加速度响应，加加加速度大小为10度/四次方秒。

由图16可以看出V型系统对匀加加加速度响应是无静差跟踪的，IV型系统有一个稳态误差，III型系统的误差逐渐加大，当ω_c＝2时可以看出跟踪的差别更加明显，如图17所示。

由图15可以看出IV、V型系统对匀加加速度响应是无静差跟踪的，III型系统对匀加加速度响应有稳态误差。

由图12、13、14可以看出这三种系统对匀加速度、斜坡及阶跃响应均无静差。

对于幅值为50度，频率为2rad/s正弦信号的跟踪效果如图18所示。对比III、IV、V型系统对这几种输入信号的跟踪表现可以发现，型别越高的系统跟踪效果越好。以上跟踪效果仅为ω_c＝4时的跟踪效果，增大ω_c可以使得跟踪效果更佳出色。

实际实验结果验证了按照本发明方法设计的基于ESO的ITAE最优III、IV、V型系统在实际工程中的可行性和该控制器出色的跟踪性能。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种ITAE最优系统的构建方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、首先，确定所要构建的最优系统的阶数m和型别n，并获得该最优系统的闭环传递函数标准型；其中，n,m均为整数，且0≤n≤m；

然后，采用参数优化搜索算法，按照多目标优化的ITAE指标对所述闭环传递函数寻求所述最优系统的ITAE最优参数β_i；其中，i＝m-1,m-2,...,1；

最后，根据获得的最优系统ITAE最优参数β_i，得到ITAE最优系统的开环传递函数；

2.如权利要求1所述的一种I TAE最优系统的构建方法，其特征在于，所述参数优化搜索算法包括遗传算法、模拟退火和粒子群算法。