CN104834214A - 一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法。该方法首先利用有限维近似模型逼近无穷维因子，在有穷维空间内，采用时间乘以误差绝对值积分的最优控制，完成一次优化；然后回到无穷维空间再优化。主要包括以下四步：⑴二次优化控制结构设计；⑵待定系数法求取一次优化控制器参数集；⑶无穷维空间最优时间比例尺的确定；⑷二次优化控制后的结构整形。本发明从控制器和观察器的设计、参数计算到结构调整，方法简单有效，首次实现了一类不稳定时滞系统的优化控制，性能指标好，鲁棒性强，适合工程应用。

Description

一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法

技术领域

本发明是一种纯时滞系统的优化控制方法，特别适用于一类二阶不稳定时滞过程的控制方法。

背景技术

在生物发酵、炉温控制系统、中央空调控制系统、机械等工程领域中，针对一类不稳定时滞工业生产过程的最优控制要求是：期望的状态变化既快速又平稳。这类被控对象的特点是：一是存在着不稳定环节，二是时滞环节影响着系统的动态性能。根据最优控制理论，要把这类被控系统控制在最优运行状态，前提就是要构造无穷维观察器和无穷维控制器。因此，我们把不稳定时滞系统的优化控制分为两次来完成：第一次把无限维状态用有限维状态来逼近，然后用ITAE最优控制律加以优化，以确定控制器的基本结构和参数，这样系统就稳定在一个平衡态。其根据是任何一个物理系统都是耗散系统，随着时间的增长，耗散将消磨系统中所有小尺度的收敛较快的维数，因此决定系统长时间行为的维数终将降低；第二次返回到无穷维空间，便得到无穷维的观察器和控制器。

目前，为了应对工业过程中控制要求，应用比较成熟的有：PID控制、智能PID控制、以PID为控制器的优化控制以及Smith补偿控制。PID或者改进型PID控制器，虽然简易，但它只有两维三参数，总不能构成无穷维的观察器和控制器，因此不能实现其优化控制；采用Smith补偿的办法，消除时滞因子后，再用常规办法设计控制器参数，全补偿时，取得了较好的控制效果。因为此时系统变成线性定常系统，可以再有穷维空间相空间内，实现它的优化控制，一旦出现欠补偿或者过补偿，控制系统中就会出现超前项和滞后项，性能指标必然急剧恶化。二次优化控制的方法正是从系统耗散理论出发，由无穷维到有穷维实现第一次优化，再回到到无穷维完成二次优化，将其应用到一类二阶不稳定时滞过程中，再用增强局部反馈Kf，来消除二次优化控制系统过渡过程中出现的微振现象，控制效果更加显著：跟踪响应更加快速平稳；抗扰控制鲁棒性几近无穷大。

发明内容

本发明的目的在于提供一种过渡过程快速平稳、抗扰动鲁棒性强的一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，该控制方法可实现该被控对象运行在最优运行状态。

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案是：

一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

⑴对系统进行数学模型描述：将USOPTD模型用数学表达式进行描述；

⑵优化后控制器的系统结构设计：将数学模型中的时滞项进行有限维近似，构造状态观察器，用状态反馈来得到优化后控制器的系统结构，并求取有限维状态观察器；

⑶求取第一次优化后控制器参数集：根据步骤⑵得到的优化后控制器的系统结构和有限维状态观察器，求取具有有限维状态反馈的开环传递函数并标准化，令它与位移无静差ITAE开环最优传递函数同次幂系数相等，用待定系数法求得一次优化后控制器参数集；

⑷无穷维空间最优时间比例尺的确定：无穷维因子取代一次优化后控制器中的分时模型，将此时的系统的状态反馈方程带入到真实的时滞系统后的开环传递函数中，用计算机仿真的方法求出无穷维空间最优时间比例尺；

⑸第二次优化控制：将步骤⑷确定的无穷维空间最优时间比例尺代入一次优化控制器参数集，求得二次优化控制器参数集，实现对一类二阶不稳定时滞系统的二次优化控制。

进一步地，所述步骤⑴中，一类二阶不稳定时滞过程数学模型为：

$G\left(p\right)=\frac{K}{(T_{1}p+1)(T_{2}p-1)}{e}^{-\mathrm{Lp}}.$

其中，p为实时微分算子，T₁、T₂为惯性时间常数，L为时滞常数，K为被控对象的放大系数，K＝k₁k₂,且k₁、k₂分别为模型中稳定部分和不稳定部分的放大系数。

进一步地，所述步骤⑵中，优化后控制器的系统结构设计的具体步骤如下：

将数学模型中的时滞项进行有限维近似：在数学模型中的无穷维因子e^-Lp用有限维级数展开：

$e^{-\mathrm{Lp}}=\frac{1}{\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i}---\left(2.1\right)$

称式(2.1)为无穷维因子e^-Lp的μ阶分时模型，式中，i∈N，μ∈N且

$l_i=\frac{1}{i!}{L}^i---\left(2.2\right)$

构造状态观察器：为式(2.1)构造状态观察器的状态方程如下：

$\left.\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}\\ Y=C^{T}X\end{array}\right\}---\left(2.3\right)$

其中，

$\frac{X_1\left(p\right)}{U\left(p\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{\α}}_1}}{1+\frac{{\mathrm{\α}}_2}{{\mathrm{\α}}_1}p+\frac{{\mathrm{\α}}_3}{{\mathrm{\α}}_2}{p}^2+...+\frac{{\mathrm{\α}}_{i+1}}{{\mathrm{\α}}_1}{p}^i+...\frac{1}{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\μ}}}{p}^{\mathrm{\μ}}}{\mathrm{\α}}_1---\left(2.4\right)$

将式(2.1)展开，令其与(2.4)两式p的同次幂系数相等，便可求得α_i：

${\mathrm{\α}}_i=\frac{\mathrm{\μ}!}{(i-1)!}\frac{1}{L^{\mathrm{\μ}-i+1}}---\left(2.5\right)$

将状态观察器嵌入USOPTD模型中，得到优化后控制器的系统结构；求取有限维状态观察器的方程如下：

$F_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)=\frac{Y_f\left(p\right)}{Y\left(p\right)}=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-1}+(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i---\left(2.6\right).$

进一步地，所述步骤⑶中，求取一次优化后控制器参数集的步骤如下：由一次优化后控制器和有限维状态观察器的方程求得相应的开环传递函数为：

$W_{\mathrm{d\μ}}\left(P\right)=\frac{Y\left(p\right)}{E\left(p\right)}=\frac{Y\left(p\right)}{Y\left(p\right)-R\left(p\right)}=\frac{K_c{G}_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)}{p(1+G_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)F_{\mathrm{\μ}}\left(p\right))}---\left(3.1\right)$

其中，

$G_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)=\frac{K}{(T_{1}p+1)(T_{2}p-1)\underset{i-0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i}---\left(3.2\right)$

展开式(3.2)，令得到标准化的开环传递函数如下式(3.3)所示：

$W_{\mathrm{d\μ}}\left(s\right)=\frac{1}{s(s^{\mathrm{\μ}+2}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+2}{s}^{\mathrm{\μ}+1}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+1}{s}^{\mathrm{\μ}}+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i{s}^{i-1})}---\left(3.3\right)$

其中，i∈N，

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+2}=\frac{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}-1}+({k_{1}T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{\mathrm{\μ}}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}},$

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+1}=\frac{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}-2}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{\mathrm{\μ}-1}+({\mathrm{KK}}_{\mathrm{\μ}+1}-k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}-1)l_{\mathrm{\μ}}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^2},$

${\mathrm{\λ}}_i=\frac{T_1{T}_2{l}_{i-3}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{i-2}+{\mathrm{KK}}_i+({\mathrm{KK}}_{\mathrm{\μ}+1}-k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}-1)l_{i-1}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^{\mathrm{\μ}+3-i}};$

给出μ阶位移无静差ITAE开环最优传递函数如式(3.4)所示：

$W_{\mathrm{ITAE}}\left(s\right)=\frac{1}{s(s^{\mathrm{\μ}+2}+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+2}{s}^{\mathrm{\μ}+1}+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+1}{s}^{\mathrm{\μ}}+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_i{s}^{i-1})}---\left(3.4\right)$

令式(3.3)和(3.4)系数相同，从而得到第一次优化控制器参数集如下：

$\left.\begin{array}{c}{K}_c=\frac{l_{\mathrm{\μ}}{T}_1{T}_2}{K}{\mathrm{\ω}}_0^{\mathrm{\μ}+3}\\ K_{\mathrm{\μ}+2}=\frac{1}{k_1}(T_1{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+2}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}-\frac{l_{\mathrm{\μ}-1}}{l_{\mathrm{\μ}}}{T}_1+\frac{T_1}{T_2}-1)\\ K_{\mathrm{\μ}+1}=\frac{1}{K}(T_1{T}_2{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+1}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^2-\frac{l_{\mathrm{\μ}-2}}{l_{\mathrm{\μ}}}{T}_1{T}_2-\frac{l_{\mathrm{\μ}-1}}{l_{\mathrm{\μ}}}u+k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}+1)\\ K_i=\frac{1}{K}({\mathrm{\β}}_i{T}_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^{\mathrm{\μ}+3-i}-l_{i-3}{T}_1{T}_2-l_{i-2}u-l_{i-1}v)\end{array}\right\}.$

进一步地，所述步骤⑷中，确定无穷维空间最优时间比例尺的步骤如下：第二次优化需要用无穷维因子e^-Lp取代一次优化后控制器的分时模型，此时，系统的状态反馈方程如式(4.1)所示：

$F_{\mathrm{\μe}}\left(p\right)=K_1+(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})e^{-\mathrm{Lp}}+\frac{\underset{i=2}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-2}}{\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{s}^{i-1}}(e^{-\mathrm{Lp}}-1)---\left(4.1\right)$

返回到真实的时滞系统后的开环传递函数为：

$W_{\mathrm{de}}\left(p\right)=\frac{K_{c}G\left(p\right)}{p(1+G\left(p\right)F_{\mathrm{\μe}}\left(p\right))}---\left(4.2\right)$

式(4.2)的计算，用计算机仿真的方法，能求出满足σ％×t_s最小的ω_0μ值。

进一步地，一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，还包括二次优化控制后的结构整形步骤：在使用二次优化控制方法得到各项参数后，在状态反馈方程(4.1)中嵌入K_f，得到新的状态反馈方程：

$F_{\mathrm{\μel}}\left(p\right)=K_1+K_f(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})e^{-\mathrm{Lp}}+\frac{K_f\underset{i=2}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-2}}{\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^{i-1}}(e^{-\mathrm{Lp}}-1)$

其中，K₁、K₂、…K_i、…K_μ+2为二次优化控制方法中待定参数；l_i＝Lⁱ/i！，K_f为结构整形配置系数。

本发明的有益效果：本发明针对一类二阶不稳定时滞过程，首次运用二次优化控制原理，设计二次优化控制器，基本上消除了被控对象螺旋形的幅相特性，系统跟踪响应快速平稳、抗扰鲁棒性强；在此基础上，又做了进一步地改进，主要体现在用简单的结构整形，即通过增强局部反馈的方法来消除二次优化控制系统过渡过程中出现的微振现象，从而使得控制效果更加显著：系统跟踪响应的快速性、平稳性和抗扰的鲁棒性又得到进一步的提高，具有很大的工程实用价值。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

图1为USOPTD第一次优化控制系统结构图；

图2为二次优化控制后结构整形图；

图3为状态观察器结构图。

具体实施方式

一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，包括以下步骤：

(1)系统模型的数学描述

设一类二阶不稳定时滞过程数学模型为：

$G\left(p\right)=\frac{K}{(T_{1}p+1)(T_{2}p-1)}{e}^{-\mathrm{Lp}}---\left(1.1\right)$

定义：p为实时微分算子，T₁、T₂为惯性时间常数，L为时滞常数，K为被控对象的放大系数，K＝k₁k₂,且k₁、k₂分别为模型中稳定部分和不稳定部分的放大系数。

(2)一次优化控制结构设计

将数学模型中的无穷维因子e^-Lp用有限维级数展开：

$e^{-\mathrm{Lp}}=\frac{1}{\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i}---\left(2.1\right)$

称式(2.1)为无穷维因子e^-Lp的μ阶分时模型。式中，i∈N，μ∈N且

$l_i=\frac{1}{i!}{L}^i---\left(2.2\right)$

为式(2.1)构造状态观察器的状态方程如式(2.3)所示，其结构图如图3所示。

$\left.\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}\\ Y=C^{T}X\end{array}\right\}---\left(2.3\right)$

其中，

根据图3所示有：

$\frac{X_1\left(p\right)}{U\left(p\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{\α}}_1}}{1+\frac{{\mathrm{\α}}_2}{{\mathrm{\α}}_1}p+\frac{{\mathrm{\α}}_3}{{\mathrm{\α}}_2}{p}^2+...+\frac{{\mathrm{\α}}_{i+1}}{{\mathrm{\α}}_1}{p}^i+...\frac{1}{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\μ}}}{p}^{\mathrm{\μ}}}{\mathrm{\α}}_1---\left(2.4\right)$

将式(2.1)展开，令其与(2.4)两式p的同次幂系数相等，便可求得α_i：

${\mathrm{\α}}_i=\frac{\mathrm{\μ}!}{(i-1)!}\frac{1}{L^{\mathrm{\μ}-i+1}}---\left(2.5\right)$

将状态观察器嵌入系统的USOPTD模型中，得到一次优化后控制器，如图1所示；

求取有限维状态观察器方程如式(2.6)所示：

$F_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)=\frac{Y_f\left(p\right)}{Y\left(p\right)}=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-1}+(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i---\left(2.6\right).$

(3)待定系数法求取一次优化控制器参数集

由结构图1和式(2.6)求得相应的开环传递函数为：

$W_{\mathrm{d\μ}}\left(P\right)=\frac{Y\left(p\right)}{E\left(p\right)}=\frac{Y\left(p\right)}{Y\left(p\right)-R\left(p\right)}=\frac{K_c{G}_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)}{p(1+G_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)F_{\mathrm{\μ}}\left(p\right))}---\left(3.1\right)$

其中，

$G_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)=\frac{K}{(T_{1}p+1)(T_{2}p-1)\underset{i-0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i}---\left(3.2\right)$

展开式(3.2)，令得到标准化的开环传递函数如下式(3.3)所示：

$W_{\mathrm{d\μ}}\left(s\right)=\frac{1}{s(s^{\mathrm{\μ}+2}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+2}{s}^{\mathrm{\μ}+1}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+1}{s}^{\mathrm{\μ}}+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i{s}^{i-1})}---\left(3.3\right)$

其中，i∈N，

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+2}=\frac{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}-1}+({k_{1}T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{\mathrm{\μ}}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}},$

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+1}=\frac{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}-2}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{\mathrm{\μ}-1}+({\mathrm{KK}}_{\mathrm{\μ}+1}-k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}-1)l_{\mathrm{\μ}}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^2},$

${\mathrm{\λ}}_i=\frac{T_1{T}_2{l}_{i-3}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{i-2}+{\mathrm{KK}}_i+({\mathrm{KK}}_{\mathrm{\μ}+1}-k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}-1)l_{i-1}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^{\mathrm{\μ}+3-i}};$

给出μ阶位移无静差ITAE开环最优传递函数如式(3.4)所示：

$W_{\mathrm{ITAE}}\left(s\right)=\frac{1}{s(s^{\mathrm{\μ}+2}+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+2}{s}^{\mathrm{\μ}+1}+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+1}{s}^{\mathrm{\μ}}+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_i{s}^{i-1})}---\left(3.4\right)$

令式(3.3)和(3.4)系数相同，从而得到第一次优化控制器参数集如式(3.5)所示：

$\left.\begin{array}{c}{K}_c=\frac{l_{\mathrm{\μ}}{T}_1{T}_2}{K}{\mathrm{\ω}}_0^{\mathrm{\μ}+3}\\ K_{\mathrm{\μ}+2}=\frac{1}{k_1}(T_1{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+2}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}-\frac{l_{\mathrm{\μ}-1}}{l_{\mathrm{\μ}}}{T}_1+\frac{T_1}{T_2}-1)\\ K_{\mathrm{\μ}+1}=\frac{1}{K}(T_1{T}_2{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+1}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^2-\frac{l_{\mathrm{\μ}-2}}{l_{\mathrm{\μ}}}{T}_1{T}_2-\frac{l_{\mathrm{\μ}-1}}{l_{\mathrm{\μ}}}u+k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}+1)\\ K_i=\frac{1}{K}({\mathrm{\β}}_i{T}_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^{\mathrm{\μ}+3-i}-l_{i-3}{T}_1{T}_2-l_{i-2}u-l_{i-1}v)\end{array}\right\}---\left(3.5\right)$

(4)无穷维空间最优时间比例尺ω_0μ的确定

当一次优化超调量σ₁％选定后，标准型系数集{β_i}是已知数集，故式(3.5)中未知量只有ω_0μ(即无穷维空间最优时间比例尺)，为此第二次优化需要用无穷维因子e^-Lp取代图1中分时模型，此时，系统的状态反馈方程如式(4.1)所示：

$F_{\mathrm{\μe}}\left(p\right)=K_1+(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})e^{-\mathrm{Lp}}+\frac{\underset{i=2}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-2}}{\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{s}^{i-1}}(e^{-\mathrm{Lp}}-1)---\left(4.1\right)$

返回到真实的时滞系统后的开环传递函数为：

$W_{\mathrm{de}}\left(p\right)=\frac{K_{c}G\left(p\right)}{p(1+G\left(p\right)F_{\mathrm{\μe}}\left(p\right))}---\left(4.2\right)$

式(4.2)中既有超前项，又有滞后项，难用解析法求解，故用计算机仿真的方法，能求出满足σ％×t_s最小的ω_0μ值来，代入式(3.5)，便得二次优化控制系统控制器所有参数。

(5)二次优化控制后的结构整形

如图2所示，在系统的状态反馈方程(4.1)中嵌入K_f的系统状态反馈方程为：

$F_{\mathrm{\μel}}\left(p\right)=K_1+K_f(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})e^{-\mathrm{Lp}}+\frac{K_f\underset{i=2}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-2}}{\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^{i-1}}(e^{-\mathrm{Lp}}-1)---\left(5.1\right)$

其中，K₁、K₂、…K_i、…K_μ+2为二次优化控制方法中待定参数；l_i＝Lⁱ/i！，K_f为结构整形配置系数。

由于二次优化控制的过渡过程会不同程度地出现微震现象，而式(5.1)和图2指出，嵌入K_f，相当于增加了系统的局部反馈，它能够消除二次优化控制系统过渡过程中出现的收敛性微振现象，但却降低了系统的响应速度，因此在加大K_f的同时，相应地增加K_c1，以保证系统的响应过程更快速、更平稳，以此实现系统的结构整定。

(6)仿真实例验证 

在Matlab环境下对算法进行仿真，通过本发明方法的应用，来说明本方法。设式(1.1)中被控对象参数：K＝1，T₁＝2.07，T₂＝5，L＝0.939，分别选取μ＝1、2、3，状态观察器的参数如下表1所示：

表1 状态观察器参数

选定σ₁％＝1％，采用X-Y-Ⅲ型标准系数集如下表2所示：

表2 X-Y-Ⅲ型ITAE最优传递函数集

再通过计算机仿真寻优确定最优参数ω_0μ，代入式(3.5)，便得二次优化控制参数如下表3所示：

表2 二次优化控制器参数集

二次优化控制后，为了消除过渡过程中的微震现象，调整K_f和控制器个别参数如下表4所示：

表4 结构调整后系统部分变化参数

在matlab simulink环境下进行仿真验证，运用二次优化控制方法，在t＝20s时，突加-0.2的负荷扰动，品质指标汇表5所示：

表5 二次优化控制品质指标

保持上述参数和条件均不变，二次优化后结构整形后，在t＝13s时引入幅度为-0.2的负荷扰动，品质指标汇表6所示：

表6 二次优化控制品质指标

通过仿真验证得到的二次优化控制的阶跃响应曲线和二次优化控制系统的开环幅相频率特性曲线，可以看出：(1)系统分时模型的阶次愈高，跟踪响应愈快速、超调愈小、抗负荷扰动愈强；(2)三个不同分时模型的二次优化控制系统的相位裕量相差无几，且都大于60度；μ＝1系统幅裕量最小，所以它的超调最大，μ＝3系统幅裕量最大，所以它的超调最小；(3)系统的过渡过程不同程度地出现收敛性振荡，这说明它们中频段阻尼较小。

通过仿真验证得到的二次优化控制后结构整定阶跃响应曲线和表6可以看出：经过整形后，系统的性能指标得到进一步提高。实验证明本发明中的二次优化控制算法可以实现一类不稳定时滞系统的优化控制，使其运行在最优状态。

本发明以二次优化控制原理为基础，设计了针对一类不稳定时滞系统的观察器和控制器，实现其优化控制，并提出增加局部反馈的方法，消除了系统的过渡过程中的收敛性振荡。从计算过程来看，本发明首次所归纳推导的一类不稳定时滞系统的二次优化控制器公式，只需要简单的数学计算，有效地实现该一类系统的优化控制。

以上所述是本发明的优选实施方式而已，当然不能以此来限定本发明之权利范围，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明技术方案的保护范围。

Claims (6)

1.一种一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

⑴对系统进行数学模型描述：将USOPTD模型用数学表达式进行描述；

⑵优化后控制器的系统结构设计：将数学模型中的时滞项进行有限维近似，构造状态观察器，用状态反馈来得到优化后控制器的系统结构，并求取有限维状态观察器；

⑶求取第一次优化后控制器参数集：根据步骤⑵得到的优化后控制器的系统结构和有限维状态观察器，求取具有有限维状态反馈的开环传递函数并标准化，令它与位移无静差ITAE开环最优传递函数同次幂系数相等，用待定系数法求得一次优化后控制器参数集；

⑷无穷维空间最优时间比例尺的确定：无穷维因子取代一次优化后控制器中的分时模型，将此时的系统的状态反馈方程带入到真实的时滞系统后的开环传递函数中，用计算机仿真的方法求出无穷维空间最优时间比例尺；

⑸第二次优化控制：将步骤⑷确定的无穷维空间最优时间比例尺代入一次优化控制器参数集，求得二次优化控制器参数集，实现对一类二阶不稳定时滞系统的二次优化控制。

2.根据权利要求1所述的一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于,所述步骤⑴中，一类二阶不稳定时滞过程数学模型为：

$G\left(p\right)=\frac{K}{(T_{1}p+1)(T_{2}p-1)}{e}^{-\mathrm{Lp}}.$

其中，p为实时微分算子，T₁、T₂为惯性时间常数，L为时滞常数，K为被控对象的放大系数，K＝k₁k₂,且k₁、k₂分别为模型中稳定部分和不稳定部分的放大系数。

3.根据权利要求2所述的一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于,所述步骤⑵中，优化后控制器的系统结构设计的具体步骤如下：

将数学模型中的时滞项进行有限维近似：在数学模型中的无穷维因子e^-Lp用有限维级数展开：

$e^{-\mathrm{Lp}}=\frac{1}{\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i}---\left(2.1\right)$

称式(2.1)为无穷维因子e^-Lp的μ阶分时模型，式中，i∈N，μ∈N且

$l_i=\frac{1}{i!}{L}^i---\left(2.2\right)$

构造状态观察器：为式(2.1)构造状态观察器的状态方程如下：

$\left.\begin{array}{c}\stackrel{.}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}\\ Y=C^{T}X\end{array}\right\}---\left(2.3\right)$

其中，

B＝[0 0 … 0 α₁]^T，C＝[α₁ 0 … 0 0]^T；

$\frac{X_1\left(p\right)}{U\left(p\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{\α}}_1}}{1+\frac{{\mathrm{\α}}_2}{{\mathrm{\α}}_1}p+\frac{{\mathrm{\α}}_3}{{\mathrm{\α}}_2}{p}^2+...+\frac{{\mathrm{\α}}_{i+1}}{{\mathrm{\α}}_1}{p}^i+...\frac{1}{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\μ}}}{p}^{\mathrm{\μ}}}{\mathrm{\α}}_1---\left(2.4\right)$

将式(2.1)展开，令其与(2.4)两式p的同次幂系数相等，便可求得α_i：

${\mathrm{\α}}_i=\frac{\mathrm{\μ}!}{(i-1)!}\frac{1}{L^{\mathrm{\μ}-i+1}}---\left(2.5\right)$

将状态观察器嵌入USOPTD模型中，得到优化后控制器的系统结构；求取有限维状态观察器的方程如下：

$F_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)=\frac{Y_f\left(p\right)}{Y\left(p\right)}=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-1}+(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i---\left(2.6\right).$

4.根据权利要求3所述的一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于，所述步骤⑶中，求取一次优化后控制器参数集的步骤如下：

由一次优化后控制器和有限维状态观察器的方程求得相应的开环传递函数为：

$W_{\mathrm{d\μ}}\left(p\right)=\frac{Y\left(p\right)}{E\left(p\right)}=\frac{Y\left(p\right)}{Y\left(p\right)-R\left(p\right)}=\frac{K_c{G}_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)}{p(1+G_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)F_{\mathrm{\μ}}\left(p\right))}---\left(3.1\right)$

其中，

$G_{\mathrm{\μ}}\left(p\right)=\frac{K}{(T_{1}p+1)(T_{2}p-1)\underset{i-0}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^i}---\left(3.2\right)$

展开式(3.2)，令得到标准化的开环传递函数如下式(3.3)所示：

$W_{\mathrm{d\μ}}\left(s\right)=\frac{1}{s(s^{\mathrm{\μ}+2}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+2}{s}^{\mathrm{\μ}+1}+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+1}{s}^{\mathrm{\μ}}+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i{s}^{i-1})}---\left(3.3\right)$

其中，i∈N，

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+2}=\frac{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}-1}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{\mathrm{\μ}}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}},$

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\μ}+1}=\frac{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}-2}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{\mathrm{\μ}-1}+({\mathrm{KK}}_{\mathrm{\μ}+1}-k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}-1)l_{\mathrm{\μ}}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^2},$

${\mathrm{\λ}}_i=\frac{T_1{T}_2{l}_{i-3}+(k_1{T}_2{K}_{\mathrm{\μ}+2}+T_2-T_1)l_{i-2}+{\mathrm{KK}}_i+({\mathrm{KK}}_{\mathrm{\μ}+1}-k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}-1)l_{i-1}}{T_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^{\mathrm{\μ}+3-i}};$

给出μ阶位移无静差ITAE开环最优传递函数如式(3.4)所示：

$W_{\mathrm{ITAE}}\left(s\right)=\frac{1}{s(s^{\mathrm{\μ}+2}+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+2}{s}^{\mathrm{\μ}+1}+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+1}{s}^{\mathrm{\μ}}+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_i{s}^{i-1})}---\left(3.4\right)$

令式(3.3)和(3.4)系数相同，从而得到第一次优化控制器参数集如下：

$\left.\begin{array}{c}{K}_c=\frac{l_{\mathrm{\μ}}{T}_1{T}_2}{K}{\mathrm{\ω}}_0^{\mathrm{\μ}+3}\\ K_{\mathrm{\μ}+2}=\frac{1}{k_1}(T_1{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+2}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}-\frac{l_{\mathrm{\μ}-1}}{l_{\mathrm{\μ}}}{T}_1+\frac{T_1}{T_2}-1)\\ K_{\mathrm{\μ}+1}=\frac{1}{K}(T_1{T}_2{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\μ}+1}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^2-\frac{l_{\mathrm{\μ}-2}}{l_{\mathrm{\μ}}}{T}_1{T}_2-\frac{l_{\mathrm{\μ}-1}}{l_{\mathrm{\μ}}}u+k_1{K}_{\mathrm{\μ}+2}+1)\\ K_i=\frac{1}{K}({\mathrm{\β}}_i{T}_1{T}_2{l}_{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ω}}_{0\mathrm{\μ}}^{\mathrm{\μ}+3-i}-l_{i-3}{T}_1{T}_2-l_{i-2}u-l_{i-1}v)\end{array}\right\}.$

5.根据权利要求4所述的一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于，所述步骤⑷中，确定无穷维空间最优时间比例尺的步骤如下：

第二次优化需要用无穷维因子e^-Lp取代一次优化后控制器的分时模型，此时，系统的状态反馈方程如式(4.1)所示：

$F_{\mathrm{\μe}}\left(p\right)=K_1+(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})e^{-\mathrm{Lp}}+\frac{\underset{i=2}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-2}}{\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{s}^{i-1}}(e^{-\mathrm{Lp}}-1)---\left(4.1\right)$

返回到真实的时滞系统后的开环传递函数为：

$W_{\mathrm{de}}\left(p\right)=\frac{K_{c}G\left(p\right)}{p(1+G\left(p\right)F_{\mathrm{\μe}}\left(p\right))}---\left(4.2\right)$ 式(4.2)的计算，用计算机仿真的方法，能求出满足σ％×t_s最小的ω_0μ值。

6.根据权利要求5所述的一类二阶不稳定时滞过程的二次优化控制方法，其特征在于,还包括二次优化控制后的结构整形步骤：在使用二次优化控制方法得到各项参数后，在系统反馈通道中嵌入K_f，得到新的状态反馈方程：

$F_{\mathrm{\μe}1}\left(p\right)=K_1+K_f(K_{\mathrm{\μ}+1}+K_{\mathrm{\μ}+2}\frac{T_{2}p-1}{k_2})e^{-\mathrm{Lp}}+\frac{K_f\underset{i=2}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i{p}^{i-2}}{\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{p}^{i-1}}(e^{-\mathrm{Lp}}-1)$

其中，K₁、K₂、…K_i、…K_μ+2为二次优化控制方法中待定参数；l_i＝L_i/i！，K_f为结构整形配置系数。