CN107045280A

CN107045280A - 分数阶pid控制器的有理化实现方法

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Publication number: CN107045280A
Application number: CN201710184234.XA
Authority: CN
Inventors: 梁斌; 王松涛; 刘厚德; 王学谦; 胡晓; 朱晓俊
Original assignee: Tsinghua University
Current assignee: Tsinghua University
Priority date: 2017-03-24
Filing date: 2017-03-24
Publication date: 2017-08-15

Abstract

本发明提出一种分数阶PID控制器的有理化实现方法，包括以下步骤：S1：根据最佳逼近原理得到最佳有理逼近实现准则，并根据最佳有理逼近实现准则建立最佳有理逼近函数；S2：建立分数PID控制器中的分数阶积分项与分数阶微分项的最佳有理逼近函数，并代入分数阶PID控制器的传递函数，以进行分数阶PID控制器的有理化设计。本发明能够提高分数阶PID控制器的瞬态响应及稳态响应特性，同时丰富和完善了分数阶控制理论，可有效地应用到分数阶控制器的设计、分析与实现中。

Description

分数阶PID控制器的有理化实现方法

技术领域

本发明涉及分数阶控制技术领域，特别涉及一种分数阶PID控制器的有理化实现方法。

背景技术

近年来提出的分数阶控制器，具有适应性强以及可调参数多等特点，因此具有很强的工程使用性，尤其是对非线性耦合系统。目前，分数阶控制器的研究与应用已经取得了一些成果。VahidBadri对分数阶PD^α控制器进行了综合与分析，Koteswara等人基于能量流设计了分数阶PI^α控制器，并对控制器的稳定性进行了分析，KarimaAmoura等人设计了一种微调分数阶PI^βD^α控制器，P.Lanusse，D.Valerio等人对分别对crone控制器进行了研究，De-Jin Wang提出了分数阶lead/lag补偿控制器的设计方法。在以上分数阶控制器的实现过程中，微积分算子数字化实现是重要的研究内容。微分算子的数字化实现方法多采用oustaloup计算方法，由于oustaloup方法在实现过程中要求频域内逼近区间的边界频率指数严格对称，同时oustaloup在逼近区间边界处的逼近准确性较差，导致实现方法不够灵活，因此对于微积分算子的实现方法尚需改进。

发明内容

本发明旨在至少解决上述技术问题之一。

为此，本发明的目的在于提出一种分数阶PID控制器的有理化实现方法，该方法能够提高分数阶PID控制器的瞬态响应及稳态响应特性，同时丰富和完善了分数阶控制理论，可有效地应用到分数阶控制器的设计、分析与实现中。

为了实现上述目的，本发明的实施例提出了一种分数阶PID控制器的有理化实现方法，包括以下步骤：S1：根据最佳逼近原理得到最佳有理逼近实现准则，并根据所述最佳有理逼近实现准则建立最佳有理逼近函数；S2：建立分数PID控制器中的分数阶积分项与分数阶微分项的最佳有理逼近函数，并代入分数阶PID控制器的传递函数，以进行分数阶PID控制器的有理化设计。

另外，根据本发明上述实施例的分数阶PID控制器的有理化实现方法还可以具有如下附加的技术特征：

在一些示例中，在所述S1中，所述最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，所述有理逼近为：在定义域[a,b]内，存在互斥的两个函数子集C_[a,b]，R_[a,b]，对于给定函数f∈C_[a,b]，在范数||f||＝max_a≤x≤b|f(x)|条件下，利用子集R_[a,b]中的有理函数R对指定函数f∈C_[a,b]进行逼近；所述最佳逼近为：给定函数f∈C_[a,b]，对于函数f的最佳逼近度量为：其中为逼近偏差，并当存在函数R^*(x)∈R_[a,b]满足条件E(R^*)＝Δ(f；R)时，函数R^*(x)∈R_[a,b]称为f的最佳有理逼近函数；所述存在性引理为：在定义域[a,b]内，对于任意函数f∈C_[a,b]，R_[a,b]中存在且不止一个函数R^*(x)∈R_[a,b]，使函数方程E(R^*)＝Δ(f；R)成立。

在一些示例中，所述最佳有理逼近实现准则包括：根据所述存在性引理，在s域中，存在最佳有理函数对分数阶微积分算子进行逼近，所述最佳逼近提供了最佳有理逼近函数的建立方法；利用渐近线方法在幅频特性的基础上建立最佳有理逼近函数，同时保证相频特性的一致性；在建立所述最佳有理逼近函数时，建立具有n个单负实极点及m个单负实零点逼近函数，并且满足n-m∈{0,1}。

在一些示例中，在所述步骤S2中，所述分数阶PID控制器的传递函数G_c(s)为：

其中，K_P为比例系数，K_I为积分系数，K_D为微分系数，s^-α为分数阶积分算子，s^β为分数阶微分算子0<α<10<β<1。

在一些示例中，所述S2，进一步包括：设分数阶PID控制器中的积分项传递函数为：

对公式(2)进行有理化逼近时，首先需要确定逼近区间[ω_L,ω_H]，然后在逼近区间上绘制积分项对应的伯德图L_real，接着确定逼近函数所满足的允许误差ε(dB)，根据允许误差绘制与L_real具有相同斜率的两条渐近线L_up和L_dwon，两条渐近线的函数分别：

其中，公式(3)为渐近线L_up的传递函数，公式(4)为渐近线L_down的传递函数；

通过对公式(2)至公式(4)进行幅频特性分析，得到三条曲线对应的对数幅频特性曲线，分别为：

L_real(ω)＝20lgk_real-20lgω^α (5)

L_up(ω)＝20lgk_up-20lgω^α (6)

L_down(ω)＝20lgk_down-20lgω^α (7)

根据公式(5)至公式(7)可以得到：

根据被逼近的函数幅频特性曲线，首先确定第一个转折频率ω₁，然后在两条渐近线之间分别用斜率为-20dB/dec和0dB/dec组合的折线来逼近曲线L_real，同时确定后续的转折频率，观察逼近过程，最后根据所求得的转折频率得到逼近函数，即为分数阶PID控制器的分数阶积分项的最佳有理逼近函数；

计算得到分数阶微分项K_Ds^β的最佳有理逼近函数，将分数阶PID控制器中的分数阶积分项K_I/s^α与分数阶微分项K_Ds^β的最佳有理逼近函数代入公式(2)，以实现分数阶PID控制器的有理化设计。

在一些示例中，所述分数阶微分项K_Ds^β与分数阶积分项K_I/s^α的有理化原理相同。

根据本发明实施例的分数阶PID控制器的有理化实现方法，大大提高了分数阶PID控制器的瞬态响应及稳态响应特性，以及丰富和完善了分数阶控制理论，可有效地应用到分数阶控制器的设计、分析与实现中。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1是根据本发明实施例的分数阶PID控制器的有理化实现方法的流程图；

图2是根据本发明一个实施例的分数阶积分项幅频曲线及渐近线示意图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。

在本发明的描述中，需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

以下结合附图描述根据本发明实施例的分数阶PID控制器的有理化实现方法。

图1是根据本发明一个实施例的分数阶PID控制器的有理化实现方法的流程图。如图1所示，该方法包括以下步骤：

步骤S1：根据最佳逼近原理得到最佳有理逼近实现准则，并根据最佳有理逼近实现准则建立最佳有理逼近函数。

步骤S2：建立分数PID控制器中的分数阶积分项与分数阶微分项的最佳有理逼近函数，并代入分数阶PID控制器的传递函数，以进行分数阶PID控制器的有理化设计。

其中，在本发明的一个实施例中，在步骤S1中，最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，

有理逼近为：在定义域[a,b]内，存在互斥的两个函数子集C_[a,b]，R_[a,b]，对于给定函数f∈C_[a,b]，在范数||f||＝max_a≤x≤b|f(x)|条件下，利用子集R_[a,b]中的有理函数R对指定函数f∈C_[a,b]进行逼近。

最佳逼近为：给定函数f∈C_[a,b]，对于函数f的最佳逼近度量为：其中为逼近偏差，并当存在函数R^*(x)∈R_[a,b]满足条件E(R^*)＝Δ(f；R)时，函数R^*(x)∈R_[a,b]称为f的最佳有理逼近函数。

存在性引理为：在定义域[a,b]内，对于任意函数f∈C_[a,b]，R_[a,b]中存在且不止一个函数R^*(x)∈R_[a,b]，使函数方程E(R^*)＝Δ(f；R)成立。

通过以上描述的最佳逼近定义及存在性引理表明，分数阶微积分f＝s^±α存在最佳有理逼近函数。

进一步地，在本发明的一个实施例中，最佳有理逼近实现准则包括以下三点内容：

(1)存在性引理表明，在s域中，存在最佳有理函数对分数阶微积分算子进行逼近，最佳逼近提供了最佳有理逼近函数的建立方法；

(2)根据最佳有理逼近函数的定义可知，最佳有理逼近函数即为传递函数。因此，利用渐近线方法在幅频特性的基础上建立最佳有理逼近函数，同时保证相频特性的一致性；

(3)在建立最佳有理逼近函数时，建立具有n个单负实极点及m个单负实零点逼近函数，并且满足n-m∈{0,1}，从而使逼近结果更加准确。

在本发明的一个实施例中，在步骤S2中，进行分数阶PID控制器的有理化设计过程，具体包括：

分数阶PID控制器的传递函数G_c(s)为：

其中，K_P为比例系数，K_I为积分系数，K_D为微分系数，s^-α为分数阶积分算子，s^β为分数阶微分算子0<α<1 0<β<1。

进一步地，分数阶PID控制器的有理化实现本质上是分数阶微积分项的有理化函数逼近过程。分数阶积分项K_I/s^α与分数阶微分项K_Ds^β的有理化原理相同，因此以分数阶积分项K_I/s^α为例介绍有理化实现的具体过程。具体包括

设分数阶PID控制器中的积分项传递函数为：

对公式(2)进行有理化逼近时，首先需要确定逼近区间[ω_L,ω_H]，然后在逼近区间上绘制积分项对应的伯德图，如图2中的L_real，接着确定逼近函数所满足的允许误差ε(dB)，根据允许误差绘制与L_real具有相同斜率的两条渐近线L_up和L_dwon，两条渐近线的函数分别：

其中，公式(3)为渐近线L_up的传递函数，公式(4)为渐近线L_down的传递函数。

通过对公式(2)至公式(4)进行幅频特性分析，可以得到三条曲线对应的对数幅频特性曲线，分别为：

L_real(ω)＝20lgk_real-20lgω^α (5)

L_up(ω)＝20lgk_up-20lgω^α (6)

L_down(ω)＝20lgk_down-20lgω^α (7)

根据公式(5)至公式(7)可以得到：

根据被逼近的函数幅频特性曲线，首先确定第一个转折频率ω₁，例如图2所示；然后在两条渐近线之间分别用斜率为-20dB/dec和0dB/dec组合的折线来逼近曲线L_real，同时确定后续的转折频率，观察逼近过程，例如图2所示；最后根据所求得的转折频率得到逼近函数，即为分数阶PID控制器的分数阶积分项的最佳有理逼近函数。

由于分数阶微分项K_Ds^β与分数阶积分项K_I/s^α的有理化原理相同，因此，采用相同的计算原理可以计算得到分数阶微分项K_Ds^β的最佳有理逼近函数，将分数阶PID控制器中的分数阶积分项K_I/s^α与分数阶微分项K_Ds^β的最佳有理逼近函数代入公式(2)，以实现分数阶PID控制器的有理化设计。

综上，本发明实施例的分数阶PID控制器的有理化实现方法，基于最佳逼近原理，提出最佳有理函数的分数阶微积分算子的逼近方法，在此基础上完成对分数阶PID控制器的有理化设计，从而大大提高了分数阶PID控制器的瞬态响应及稳态响应特性，以及丰富和完善了分数阶控制理论，可有效地应用到分数阶控制器的设计、分析与实现中。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同限定。

Claims

1.一种分数阶PID控制器的有理化实现方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：根据最佳逼近原理得到最佳有理逼近实现准则，并根据所述最佳有理逼近实现准则建立最佳有理逼近函数；

S2：建立分数PID控制器中的分数阶积分项与分数阶微分项的最佳有理逼近函数，并代入分数阶PID控制器的传递函数，以进行分数阶PID控制器的有理化设计。

2.根据权利要求1所述的分数阶PID控制器的有理化实现方法，其特征在于，在所述S1中，所述最佳逼近原理包括：有理逼近、最佳逼近和存在性引理，其中，

所述有理逼近为：在定义域[a,b]内，存在互斥的两个函数子集C_[a,b]，R_[a,b]，对于给定函数f∈C_[a,b]，在范数||f||＝max_a≤x≤b|f(x)|条件下，利用子集R_[a,b]中的有理函数R对指定函数f∈C_[a,b]进行逼近；

所述最佳逼近为：给定函数f∈C_[a,b]，对于函数f的最佳逼近度量为：其中为逼近偏差，并当存在函数R^*(x)∈R_[a,b]满足条件E(R^*)＝Δ(f；R)时，函数R^*(x)∈R_[a,b]称为f的最佳有理逼近函数；

所述存在性引理为：在定义域[a,b]内，对于任意函数f∈C_[a,b]，R_[a,b]中存在且不止一个函数R^*(x)∈R_[a,b]，使函数方程E(R^*)＝Δ(f；R)成立。

3.根据权利要求2所述的分数阶PID控制器的有理化实现方法，其特征在于，所述最佳有理逼近实现准则包括：

根据所述存在性引理，在s域中，存在最佳有理函数对分数阶微积分算子进行逼近，所述最佳逼近提供了最佳有理逼近函数的建立方法；

利用渐近线方法在幅频特性的基础上建立最佳有理逼近函数，同时保证相频特性的一致性；

在建立所述最佳有理逼近函数时，建立具有n个单负实极点及m个单负实零点逼近函数，并且满足n-m∈{0,1}。

4.根据权利要求1所述的分数阶PID控制器的有理化实现方法，其特征在于，在所述步骤S2中，

所述分数阶PID控制器的传递函数G_c(s)为：

5.根据权利要求4所述的分数阶PID控制器的有理化实现方法，其特征在于，所述S2，进一步包括：

设分数阶PID控制器中的积分项传递函数为：

通过对公式(2)～(4)进行幅频特性分析，得到三条曲线对应的对数幅频特性曲线，分别为：

L_real(ω)＝20lgk_real-20lgω^α (5)

L_up(ω)＝20lgk_up-20lgω^α (6)

L_down(ω)＝20lgk_down-20lgω^α (7)

根据公式(5)至公式(7)可以得到：

6.根据权利要求5所述的分数阶PID控制器的有理化实现方法，其特征在于，所述分数阶微分项K_Ds^β与分数阶积分项K_I/s^α的有理化原理相同。