CN103309238A - 基于离散增量式分布阶pi控制器的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法。本发明的分布阶算子不仅继承了分数阶方法的优点，也具有许多独到的特性。本发明包括以下步骤：1）对分布阶积分器进行时域分析；2）建立被控对象连续数学模型G(s)并对其进行频域分析；3）建立分布阶PI控制器

并对C(s)进行频域分析；4）根据步骤2）和3）得到系统开环传递函数L(s)=G(s)C(s)，然后依据鲁棒分布阶PI控制器的设计规则确定控制器参数；5）离散增量式分布阶PI控制器的数字实现；6）分布阶PI控制器实现自整定；7）对分布阶PI控制器进行遗传算法运算。

Description

基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法

技术领域

本发明涉及一种控制方法，具体涉及一种基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法。

背景技术

整数阶PID控制器由于控制算法简单，参数易于整定，鲁棒性强等优点被广泛用于工业控制中，然而近几年，越来越多的研究关注被控对象或控制器是分数阶的系统，这是因为许多控制系统或真实的物理对象更适合任意阶的微分方程和积分方程来表示，整数阶PID控制器由于其控制算法的简单性，因此仅适用于单输入单输出的最小相位系统，而且不能同时满足控制系统的不同性能要求。在确定大时滞，不确定等受控系统时，需要多个PID控制器串联才能达到理想的控制效果。分数阶PID控制器的响应能力和抗干扰能力优于传统的整数阶控制器，鲁棒性能和调节性能优于传统的整数阶PID控制器。

但是，由于分数阶算子的遗传特性，现有的分数阶控制器的增量式需表示成无穷项求和的形式，而截断的方法会在时频域产生很大的误差，由于上述困难分数阶增量式控制器的成果仍停留在理论阶段，而分布阶控制器的理论和应用更是未见报道，在实际问题中的应用更无从谈起。因此，急需一套快速、有效、可靠的分数阶/分布阶控制器实现策略。

发明内容

本发明的目的是为克服上述现有技术的不足，提供一种基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法。本发明的分布阶算子不仅继承了分数阶方法的优点，也具有许多独到的特性。

为实现上述目的，本发明采用下述技术方案：

基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，包括以下步骤：

1）对分布阶积分器进行时域分析；

2）建立被控对象连续数学模型G(s)并对其进行频域分析；

3）建立分布阶PI控制器

并对C(s)进行频域分析，其中K_p是控制器比例单元，K_i是控制器积分单元，s用来取代微分方程中d/dt的拉普拉斯变换，a和b为实数，且-1≤a≤b≤0；

4）根据步骤2）和3）得到系统开环传递函数L(s)=G(s)C(s)，然后依据鲁棒分布阶PI控制器的设计规则确定控制器参数；

5）离散增量式分布阶PI控制器的数字实现；

6）分布阶PI控制器实现自整定；

7）对分布阶PI控制器进行遗传算法运算。

所述步骤1）中，分布阶积分器为：

${\∫}_a^b{s}^{\mathrm{\α}}\mathrm{d\α}=\frac{s^b-s^a}{\ln \left(s\right)}---\left(6\right)$

其中，α∈(-1,0)是分布阶积分器阶次，s用来取代微分方程中d/dt的拉普拉斯变换，s^α即为分数阶积分器，a和b为实数，且-1≤a≤b≤0；

该分布阶积分器的时域表达式为：

其中，{}表示拉氏反变换， $M_1={\∫}_0^{\∞}{e}^{{-\mathrm{\τ}}^{1/(1+b)}}\mathrm{d\τ}$ 和 $M_2={\∫}_0^{\∞}{e}^{{-\mathrm{\τ}}^{1/(1+a)}}\mathrm{d\τ}$ 均为有穷正常数，其中T为被积变量。

所述步骤2）的具体方法是：

$G\left(s\right)=\frac{K_g}{s(\mathrm{\τs}+1)}---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\arg \left[G\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=-\arctan \left(\mathrm{\ω\τ}\right)-\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ \left|G\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|=\frac{K_g}{\mathrm{\ω}\sqrt{1+{\left(\mathrm{\ω\τ}\right)}^2}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，K_g是电机时间常数，G(jω)表示系统的频率特性，指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性。

所述步骤3）的具体方法是：建立分布阶PI控制器其中K_p是控制器比例单元，K_i是控制器积分单元；对C(s)进行频域分析：

$G\left(\mathrm{j\ω}\right)=K_p(1+K_i\frac{{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^b-{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^a}{\ln \left(\mathrm{j\ω}\right)})---\left(14\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\arg \left[C\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=\frac{K_i(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2})}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}+K_i(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}\\ \left|C\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|=K_p\sqrt{{[1+\frac{K_i\left(A\ln \mathrm{\ω}\right)}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}}]}^2+{\left[\frac{K_i(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2})}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}}\right]}^2}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中， $A={\mathrm{\ω}}^b\cos \frac{\mathrm{b\π}}{2}-{\mathrm{\ω}}^a\cos \frac{\mathrm{a\π}}{2},$

$B={\mathrm{\ω}}^b\sin \frac{\mathrm{b\π}}{2}-{\mathrm{\ω}}^a\sin \frac{\mathrm{a\π}}{2}.$

所述步骤4）中，鲁棒分布阶PI控制器（DOPI）的设计规则为：

其中，

ω_cg是幅值穿越频率；由（20）整理得到

$K_i=\frac{({\mathrm{\φ}}_m-\frac{\mathrm{\π}}{2}+\arctan \left(\mathrm{\ωt}\right))({\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4})}{B\ln \left(\mathrm{\ω}\right)-\frac{\mathrm{A\π}}{2}-({\mathrm{\φ}}_m-\frac{\mathrm{\π}}{2}+\arctan \left(\mathrm{\ω\τ}\right))(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}---\left(21\right)$

PK_i ²+QK_i+τC²＝0    （22）

$K_p=\frac{\mathrm{\ωD}}{K_g\sqrt{{[1+\frac{K_i(A\ln \mathrm{\ω}+(\mathrm{B\π}/2))}{C}]}^2+{\left[\frac{K_i\left(B\ln \mathrm{\ω}\right)-(A/2)}{C}\right]}^2}}---\left(23\right)$

其中， $C={\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^4}{4},$ D＝1+(ωτ)²，

$P=\mathrm{\τ}{(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}^2+D(\mathrm{AB}{\ln }^2\mathrm{\ω}-\mathrm{AB}{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{B^2-A^2}{2\mathrm{\ω}}\mathrm{\π}),$

$Q=2\mathrm{\τC}(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})+\mathrm{CD}(B\ln \mathrm{\ω}+\frac{B}{\mathrm{\ω}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}A)-D\frac{2\ln \mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2}),$

其中，

表示对ω的一阶导数，固定a或b，然后任给

和ω_cg＞0，常数b或a、K_i以及K_p即能通过作图的方法求解得到。

所述步骤5）的具体方法是：采用IIR/FIR的方法，即保持采样时刻脉冲响应恒定的情况下，将模拟滤波器传递函数转换为数字滤波器传递函数。

所述步骤6）的具体方法是：

61）整定

和对参数K和τ进行辨识，其中是给系统串联的低通滤波器

中参数，

是给系统串联的常量增益；

62）固定

的值，将

从0开始增加至系统到达临界稳定状态，此时将得到的等幅振荡的振荡周期带入（29）式即得到K和τ的近似值，其中K是电机时间常数，系统辨识过程结束；

$\mathrm{\τ}=\frac{1}{\tilde{a}{z}_3}=\frac{{(T/\left(2\mathrm{\π}\right))}^2}{\tilde{a}}$     （29）

$K=\frac{1}{\tilde{b}}(\frac{1}{\tilde{a}}+\frac{1}{\mathrm{\τ}})$

63）利用步骤4）设计增量式DOPI控制器，即可触发转换开关使系统进入DOPI控制器整定阶段。

所述步骤7）的具体方法是：

71）将连续分布阶积分器离散化得到相应离散分布阶积分器DOI(z^-1)；

72）按（27）和（28）式计算增量DOPI控制式，

ΔU(k)＝1.882U(k-1)-2.765U(k-2)+0.8833U(k-3)    （27）

+G(K_p,K_i,e(m))

其中ΔU(k)＝U(k)-U(k-1),U_i＝0for i≤0,m＝{k,k-1,k-2,k-3}

并且，

G(K_p,K_i,e(m))＝K_p[(1+0.001373K_i)e(k)-(2.882+0.00287K_i)e(k-1)

+(2.765+0.001701K_i)e(k-2)-(0.8833+0.0002038K_i)e(k-3)]    （28）

其中的K_p，K_i为未知常量；

73）结合K_p、K_i范围定义编码解码方法，初始化种群，确定恰当的适应度函数，并编写遗传算法代码，获得GA程序；

74）运行GA程序得到下一代种群；

75）当得到一组满足条件的K_p、K_i值或达到种群迭代次数时停止运行GA程序。

本发明的有益效果是，本发明专利为实现分布阶算子的应用、控制和信号处理，提出了一种基于IIR/FIR滤波器设计方法的离散增量式分布阶PI控制器的控制方法。

本发明的分数阶算子是分布阶算子的特例。本发明的分布阶算子不仅继承和发扬了分数阶方法的优点，并且分布阶PI控制器较分数阶PI控制器而言，有更多的可调参数，具有更大的稳定区域，对系统噪声和误差（特别是结构误差）具有更强的鲁棒性和自适应能力。值得一提的是分数阶/分布阶积分算子同时具有积分、微分和滤波器特性，是理想的控制器设计单元。

本发明克服了分布阶算子理论分析难度大、实现困难、遗传性强等固有特点，另辟蹊径将时域分析和频域分析巧妙的结合在一起，有效实现了分布阶算子的分析、设计和应用。通过复平面分割求路径积分的方法获得了分布阶算子的解析结果，并用其进行控制系统的分析及实现控制器的离散化。通过该策略实现的离散式分布阶算子，可同时在时域和频域中继承原连续算子的所有关键特征，是真正意义上的等效实现。在鲁棒性方面，该策略可集鲁棒控制百家之所长；特别的，前文中（21）～（23）式所对应的方法不仅对系统各类噪声具有抑制作用，且对受控对象的参数和结构不确定性均具有较强的鲁棒性。在智能化方面，该策略可将遗传算法、神经网络、学习控制等诸多智能控制领域的方法应用于分布阶PI控制器的设计中以提高系统的整体性能。此外，该策略可灵活地对控制器各参数进行在线整定和自整定，并可在整定的过程中进行系统模型的识别和控制器的优化。通过轮式服务机器人的运动控制实验可以看出以上方法的可行性和优越性。更重要的是，本发明提出的方法和结果能广泛应用在分布阶/变分数阶/分数阶系统、辨识、控制及信号处理等诸多领域。

附图说明

图1直流电机一般模型；

图2直流电机数学模型；

图3

与DOI(z^-1)的脉冲响应和伯德图，图3a为脉冲响应图，图3b为伯德图幅频曲线，图3c为伯德图相频曲线；

图4当a＝-1，ω_cg＝90Hz和时开环传递函数伯德图，图4a为伯德图幅频曲线，图4b为伯德图相频曲线；

图5当a＝-1，ω_cg＝90Hz和

时的轮式服务机器人实验数据；

图6当a＝-1，ω_cg＝200Hz和

时开环传递函数伯德图，图6a为伯德图幅频曲线，图6b为伯德图相频曲线；

图7当a＝-1，ω_cg＝200Hz和

时的轮式服务机器人实验数据；

图8基于系统在线辨识的仿真模块原理框图，其中a＝-1并且K_p，K_i和b由(5.1)计算得出；

图9系统等幅振荡时对应的仿真输出；

图10遗传算法自整定结果应用于轮式服务机器人实验结果。

具体实施方式

下面结合附图和实例对本发明进行进一步的阐述，应该说明的是，下述说明仅是为了解释本发明，并不对其内容进行限定。

分布阶算子的思想最早由Michele Caputo于1969年提出。由此Michele等人提出了与介质扩散本构方程和分布阶过滤器相关的分布阶方程。目前关于分布阶算子的文献详细介绍了关于阶的存在域、分布阶动力学以及某些特殊分布阶方程求解的方法，总结了变阶和分布阶算子理论、分布阶粘弹性材料、扩散、复杂系统、系统辨识等许多分布阶物理学方面的应用发展。另有部分论文对诸如分布阶算子的时域分析、分布阶方程、分布阶方程数值方法以及它们的应用等问题进行了基础性分析。由上述发展成果知，整数阶和分数阶系统均属于分布阶系统的特例。并且，分布阶算子已经成为能够解释和描述包括非线性系统复杂性、网络结构、非齐次和多尺度多谱等现象更为精确的工具。

分数微积分在现代科学中起着非常重要的作用，为引出文中的相关应用和分数微积分，首先简单介绍Riemann-Liouville分数阶算子。Riemann-Liouville分数阶积分定义如下所示：

$D_t^{-\mathrm{\α}}{}_{t_0}f\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\α}\right)}{\∫}_{t_0}^t\frac{f\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{1-\mathrm{\α}}}\mathrm{d\τ}---\left(1\right)$

其中α∈(0,1)，f(t)是任意的可积函数，

是指在区间[t₀,t]上的分数阶阶次为α的积分，Γ(·)表示伽马函数。

的拉氏变换为1/(s^αF(s))，其中F(t)＝L{f(t)}，其中T为被积变量。对任意实数p，Riemann-Liouville分数阶导数的定义是：

$D_t^p{}_{t_0}f\left(t\right)=\frac{d^{\left[p\right]+1}}{d{t}^{\left[p\right]+1}}\left[D_t^{-\left(\right[p]-p+1)}{}_{t_0}f\left(t\right)\right]---\left(2\right)$

其中[p]代表p的整数部分，D表示Riemann-Liouville分数阶算子。

直流电机数字模型建立：

图1为直流电机的一般模型，电枢控制直流电机关系示意图由图2所示。直流电机传递函数的形式如下：

$G_{\mathrm{DCM}}\left(s\right)=\frac{\mathrm{\θ}\left(s\right)}{V_a\left(s\right)}=\frac{K_m}{s[(\mathrm{Ls}+R)(\mathrm{Js}+K_f)+K_b{K}_m]}---\left(3\right)$

其中，L、R和J分别是电枢电感、电枢电阻和转动惯量，K_f和K_m是与磁通量相关的常数。由于电枢时间常数一般很小，可以忽略不计，因此得到简化的直流电机连续数学模型为：

$G_{\mathrm{DCM}}\left(s\right)=\frac{\mathrm{\θ}\left(s\right)}{V_a\left(s\right)}=\frac{K_m}{s[R(\mathrm{Js}+K_f)+K_b{K}_m]}$

$=\frac{[K_m/({\mathrm{RK}}_f+K_b{K}_m)]}{s(\mathrm{\τs}+1)}$

$=\frac{K}{s(\mathrm{\τs}+1)}---\left(4\right)$

其中时间常数τ＝RJ/(RK_f+K_bK_m)，K＝K_m/(RK_f+K_bK_m)。

基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，包括以下步骤：

1）对分布阶积分器进行时域分析；

2）建立被控对象连续数学模型G(s)并对其进行频域分析；

3）建立分布阶PI控制器并对C(s)进行频域分析，其中K_p是控制器比例单元，K_i是控制器积分单元，s用来取代微分方程中d/dt的拉普拉斯变换，a和b为实数，且-1≤a≤b≤0；

4）根据步骤2）和3）得到系统开环传递函数L(s)=G(s)C(s)，然后依据鲁棒分布阶PI控制器的设计规则确定控制器参数；

5）离散增量式分布阶PI控制器的数字实现；

6）分布阶PI控制器实现自整定；

7）对分布阶PI控制器进行遗传算法运算。

步骤1）的具体过程是：

经典的积分器的形式为：

$\frac{1}{s}={\∫}_{\∞}^{-\∞}\mathrm{\δ}(\mathrm{\α}+1)s^{\mathrm{\α}}\mathrm{d\α},---\left(5\right)$

其中δ(·)是Dirac-Delta函数。当α∈(-1,0)时，s^α即为分数阶积分器。对分数阶积分器做累加得到：

式中k属于任意可数或不可数集。用加权核ω(α)替换Σ_kδ(α+α_k)简化等式右边得到

其中ω(α)不随时间变化。当-1≤a≤b≤0时，即得到分布阶积分器的定义式。

关于分布阶积分器的集中探讨对分布阶积分器的引出及概括起着至关重要的作用。对于分布阶积分器

${\∫}_a^b{s}^{\mathrm{\α}}\mathrm{d\α}=\frac{s^b-s^a}{\ln \left(s\right)}---\left(6\right)$

a＜b是在[-1,0]区间内任意取值的两个实数，其拉氏反变换为：

其中σ＞0。从拉氏反变换可以看出(6)式有两个奇点：s＝0和s＝∞。当我们沿负实轴割开复平面后，(7)式中的积分即等同于沿Hankel路径的积分。Hankel路径起始于-∞，沿实轴下侧向右行进，并绕圆|s|＝ε→0正向移动，最终沿实轴上侧向左运动并终止于-∞。可以证明当a≥-1时，沿s→0路径对

的积分等于0，且在单值解析域内没有极点。因此，分别令s＝-xe^-iπ和s＝xe^-iπ，其中x∈(0,+∞)，即得到对任意σ＞0和b≤1有

基于上述讨论，我们得到定理1。

定理1对任意-1≤a≤b≤0，有下式成立

并且，

其中M₁和M₂均为有限正常数。

证明：定理的第一个等式与(8)式相同，借助(8)式可以很容易求证得

                  （11）

其中，对任意-1≤a≤b≤0， $M_1={\∫}_0^{\∞}{e}^{{-\mathrm{\τ}}^{1/(1+b)}}\mathrm{d\τ}$ 和 $M_2={\∫}_0^{\∞}{e}^{{-\mathrm{\τ}}^{1/(1+a)}}\mathrm{d\τ}$ 均为有穷正常数。

基于以上分析可知，对任意-1≤a≤b≤0均可得到分布阶积分器的时域表达式。值得注意的是，对任意-1≤a≤b≤0，(8)式可以通过MATLAB中的“quadgk”简便计算得到并将结果应用在离散化方法中。

步骤2）的具体方法是：

$G\left(s\right)=\frac{K_g}{s(\mathrm{\τs}+1)}---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\arg \left[G\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=-\arctan \left(\mathrm{\ω\τ}\right)-\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ \left|G\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|=\frac{K_g}{\mathrm{\ω}\sqrt{1+{\left(\mathrm{\ω\τ}\right)}^2}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，K_g是电机时间常数。G(jω)表示系统的频率特性，指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性。

步骤3）的具体方法是：建立分布阶PI控制器

其中K_p是控制器比例单元，K_i是控制器积分单元。对C(s)进行频域分析：

$G\left(\mathrm{j\ω}\right)=K_p(1+K_i\frac{{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^b-{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^a}{\ln \left(\mathrm{j\ω}\right)})---\left(14\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\arg \left[C\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=\frac{K_i(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2})}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}+K_i(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}\\ \left|C\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|=K_p\sqrt{{[1+\frac{K_i\left(A\ln \mathrm{\ω}\right)}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}}]}^2+{\left[\frac{K_i(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2})}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}}\right]}^2}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中， $A={\mathrm{\ω}}^b\cos \frac{\mathrm{b\π}}{2}-{\mathrm{\ω}}^a\cos \frac{\mathrm{a\π}}{2},$

$B={\mathrm{\ω}}^b\sin \frac{\mathrm{b\π}}{2}-{\mathrm{\ω}}^a\sin \frac{\mathrm{a\π}}{2}.$

步骤4）的具体过程是：

系统开环传递函数为：

首先，根据穿越频率的定义，开环系统在穿越频率处的模值1，得到

其中ω_cg是幅值穿越频率。

然后，由系统相位裕度的定义，求得在穿越频率处系统相位裕度的表达式

由于系统开环增益的变化直接影响穿越频率，而对系统的幅频特性曲线没有什么影响，因此若要求系统的相位裕度独立于系统开环增益的变化，那么系统的相位裕度就需要独立于系统的穿越频率，也就是说系统相位裕度若不对系统穿越频率变化敏感的话系统也不会对开环增益的变化敏感。由此，根据系统相位裕度方程在穿越频率处的导数来设计一个满足要求的控制器整定方程，

当系统的开环传递函数在穿越频率处的导数为0时，表明系统穿越频率在一定程度上的变化对系统的相位裕度不造成影响。

综上所述，鲁棒DOPI控制器的设计规则为：

其中

ω_cg是幅值穿越频率，(20)式中间的等式保证了系统对参数变化的鲁棒性。由(20)整理得到

$K_i=\frac{({\mathrm{\φ}}_m-\frac{\mathrm{\π}}{2}+\arctan \left(\mathrm{\ωt}\right))({\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4})}{B\ln \left(\mathrm{\ω}\right)-\frac{\mathrm{A\π}}{2}-({\mathrm{\φ}}_m-\frac{\mathrm{\π}}{2}+\arctan \left(\mathrm{\ω\τ}\right))(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}---\left(21\right)$

PK_i ²+QK_i+τC²＝0    （22）

$K_p=\frac{\mathrm{\ωD}}{K_g\sqrt{{[1+\frac{K_i(A\ln \mathrm{\ω}+(\mathrm{B\π}/2))}{C}]}^2+{\left[\frac{K_i\left(B\ln \mathrm{\ω}\right)-(A/2)}{C}\right]}^2}}---\left(23\right)$

其中 $C={\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4},$ D＝1+(ωτ)²，

$P=\mathrm{\τ}{(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}^2+D(\mathrm{AB}{\ln }^2\mathrm{\ω}-\mathrm{AB}{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{B^2-A^2}{2\mathrm{\ω}}\mathrm{\π}),$

$Q=2\mathrm{\τC}(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})+\mathrm{CD}(B\ln \mathrm{\ω}+\frac{B}{\mathrm{\ω}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}A)-D\frac{2\ln \mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2}),$

其中

表示对ω的一阶导数。固定a或b，然后任给

和ω_cg＞0，常数b或a、K_i以及K_p即能通过作图的方法求解得到，从而同时保证系统的响应时间和鲁棒性。

步骤5）的具体方法是：采用IIR/FIR的方法，即保持采样时刻脉冲响应恒定的情况下，将模拟滤波器传递函数转换为数字滤波器传递函数。

要实现分布阶PI控制器在实际控制中的应用，需要满足以下两个条件：分布阶积分器离散化和增量式分布阶PI控制器的设计。因此，若使g(t)表示模拟（连续）滤波器脉冲响应，则脉冲恒定方法下的数字（离散）滤波器的脉冲响应表示为g(nT_s)，其中T_s表示以秒为单位的采样周期。并且，数字滤波器频率响应是模拟滤波器频率响应的一种可靠代替。

值得一提的是，基于IIR/FIR方法对分布阶滤波器的近似是既简单又有效的数值离散化方法。这种方法不仅能够在时域精准逼近分布阶滤波器，在频域的某些频段同样非常适用。例如，基于时域分析和上述离散化方法，形如

$C\left(s\right)=K_p(1+K_i\frac{s^{-0.6302}-s^{-1}}{\ln s})---\left(24\right)$

的DOPI控制器的离散化形式是：

C(z^-1)＝K_p[1+K_i·DOI(z^-1)]    （25）

当离散化到z的3次方时得到离散化结果为，

$\mathrm{DOI}\left(z^{-1}\right)=\frac{0.001373-0.00287z^{-1}+0.001701z^{-2}-0.0002038z^{-3}}{1-2.882z^{-1}+2.765z^{-2}-0.8833z^{-3}}---\left(26\right)$

通过变换(25)得到离散增量式DOPI控制器的形式为：

ΔU(k)＝1.882U(k-1)-2.765U(k-2)+0.8833U(k-3)

                  （27）

+G(K_p,K_i,e(m))

其中ΔU(k)＝U(k)-U(k-1),U_i＝0for i≤0,m＝{k,k-1,k-2,k-3}

并且

G(K_p,K_i,e(m))＝K_p[(1+0.001373K_i)e(k)-(2.882+0.00287K_i)e(k-1)

+(2.765+0.001701K_i)e(k-2)-(0.8833+0.0002038K_i)e(k-3)]    （28）

由于分数阶和分布阶控制器特有的遗传特性（无穷维实现），经典的连续增量式PID控制器设计方法并不适用于分数阶以及分布阶PID情况。因此改用离散增量式算法，该方法能够广泛应用于分数阶滤波、控制和信号处理等方面。大部分的整定和自整定方法可以直接应用于这种增量式DOPI控制策略中。图3对连续、离散分布阶运算器

和DOI(z^-1)的伯德图进行了比较。从图3中可以看出，对连续分布阶滤波器应用脉冲响应恒定离散化方法在一定频段内（0.9～600HZ）离散化结果拟合连续状态效果非常好。并且，离散化阶次越高拟合效果越好，但过高的阶次（>5）可能会在实验中产生明显的振荡。

步骤6）的具体方法是：

61）整定

和

对参数K和τ进行辨识，其中

是给系统串联的低通滤波器

中参数，

是给系统串联的常量增益；

62）固定

的值，将

从0开始增加至系统到达临界稳定状态，此时将得到的等幅振荡的振荡周期带入(29)式即得到K和τ的近似值（K是电机时间常数），系统辨识过程结束；

$\mathrm{\τ}=\frac{1}{\tilde{a}{z}_3}=\frac{{(T/\left(2\mathrm{\π}\right))}^2}{\tilde{a}}$

          （29）

$K=\frac{1}{\tilde{b}}(\frac{1}{\tilde{a}}+\frac{1}{\mathrm{\τ}})$

63）利用步骤4）设计增量式DOPI控制器，即可触发转换开关使系统进入DOPI控制器整定阶段。

PID控制一个大型的现代化生产装置的控制回路可能多达一二百甚至更多，但PID参数复杂繁琐的整定过程一直困扰着工程技术人员，所以，研究PID参数整定技术就具有了十分重大的工程实践意义。整定的好坏不但会影响到控制质量。而且还会影响到控制器的鲁棒性。

本发明还将在轮式服务机器人DOPI控制中引入包括系统辨识和鲁棒DOPI控制器设计的自整定策略（如图8所示）。实现系统辨识的方法是给系统串联一个低通滤波器

和常量增益

，通过整定两个串联项即可确定直流电机模型

的参数值。则系统闭环传递函数可表示为：

$\frac{\tilde{b}G\left(s\right)P\left(s\right)}{1+\tilde{b}G\left(s\right)P\left(s\right)}=\frac{\tilde{b}K}{\tilde{a}\mathrm{\τ}{s}^3+(\tilde{a}+\mathrm{\τ})s^2+s+\tilde{b}K}---\left(30\right)$

其中P(s)是被控对象数学模型。

由控制理论知上述传递函数的临界稳定条件是

$\mathrm{\τ}=\frac{1}{\tilde{a}{z}_3}=\frac{{(T/\left(2\mathrm{\π}\right))}^2}{\tilde{a}}$

          （29）

$K=\frac{1}{\tilde{b}}(\frac{1}{\tilde{a}}+\frac{1}{\mathrm{\τ}})$

其中T是连续振荡周期。由此总结自整定实现步骤。

理论上

可以是任意正常数，然而从(29)式中可以看出因此

能够过大或过小。实际系统模型为设定

从0开始增加

至418.6时系统输出为图9所示的临界稳定状态。此时等幅振荡周期为T=2.645，代入(29)式得到

τ＝0.0034917≈0.00349

K＝0.68455≈0.685

因为

是任意正常数，可应用上述方法预先设计得到数字低通滤波器亦或模拟低通滤波器。

要实现上述DOPI方法的应用需要注意两点：首先，DOPI控制器比FOPI控制器对系统不确定性具有更强的鲁棒性。这即意味着，即使存在一定的模型误差，DOPI控制器仍可实现较好的控制性能。另外可以在自整定标准中集合多种辨识方法，辨识得到的近似模型可以直接代入(20)式得到DOPI控制器参数K_p，K_i和b。例如，对于一阶时滞系统应用任意可靠的系统辨识方法后，均可使用上述自整定方法进行控制器参数整定。然而对分布阶DOPI控制器三个参数值K_p，K_i和b的获取不存在像著名的Z-N整定那样的简单方法。因此在实际应用中，智能控制算法的引入成为十分重要并且影响深远的工作。

步骤7）的具体方法是：

71）将连续分布阶积分器离散化得到相应离散分布阶积分器DOI(z^-1)；

72）按(27)和(28)式计算增量DOPI控制式，其中的K_p，K_i为未知常量；

73）结合K_p、K_i范围定义编码解码方法，初始化种群，确定恰当的适应度函数，并编写遗传算法代码，获得GA程序；

74）运行GA程序得到下一代种群；

75）当得到一组满足条件的K_p、K_i值或达到种群迭代次数时停止运行GA程序。

作为一种尝试，应用遗传算法寻找最优DOPI控制器。给定任意分布阶积分器（即b值固定），按下述步骤计算最优K_p，K_i值。

为简单起见，令系统如

式（K_g是电机时间常数），选用下式作为参数选择的最小目标函数：

$J={\mathrm{Ft}}_u+{\∫}_0^{\∞}\mathrm{Qe}{\left(t\right)}^2+\mathrm{Ru}{\left(t\right)}^2\mathrm{dt}---\left(31\right)$

其中t_u是上升时间，加权值F和Q是半正定矩阵，R是正定矩阵，上式参数确定后即得到典型最优控制系统代价函数。仿真及实验中我们令b＝-0.8282,F＝2,Q＝0.999,R＝0.0001并初始化种群大小为50。实验结果如图10所示，每组数据均是迭代20次以上得到的。

基于DOPI控制的遗传算法的性能主要依赖目标函数和设定的K_p、K_i种群取值范围。如在目标函数中引入惩罚函数能有效减小超调，固定t_u，适当增加允许范围的下限值可以有效提高跟踪速度。例如，令K_p∈[300,500],K_i∈[300,500]，应用遗传算法整定得到最优PI参数值为K_p＝300，K_i＝373.4375，实验结果如图10所示。此外，如有需要，参数K_p和K_i可以简便地在实验中通过经典的增量式PID式子进行调整。

图10中增长最慢的曲线对应纯比例项的DOPI控制器（即K_p＝24.4141，K_i＝0）。实际上，在应用遗传算法寻最优控制器参数时设定K_p∈[0,M_p]，K_i∈[0,M_i]，若M_p和迭代次数均足够大，则最优的K_i值总是趋近于0，K_p则自然与相应代数Riccati方程的解相关。

本发明提供一种鲁棒DOPI控制器的设计方法，得到的控制器能够有效减小结构和参数不确定性以及未知扰动带来的影响，通过将其应用在先锋轮式机器人P3-DX运动控制中以验证其实用性和有效性。将先锋轮式机器人P3-DX直流电机参数代入(12)，由前述理论建立本文实验平台直流电机的数学模型：

$G\left(s\right)=\frac{0.685}{s(0.00349s+1)}---\left(32\right)$

所有的控制策略在应用前均已经过伯德图和MATLAB/SIMULINK仿真验证通过。为利用真实实验结果公平比较分布阶与分数阶控制方法的优劣，本实验均按（20）式的方法设计相应的DOPI和FOPI控制器。需要注意的是，尽管前述参数a理论上可以在[-1,b)区间内任意取值，然而，出于以下两个原因在实验中可令a=-1。首先，分布阶阶次a对应于分布阶元素的能量耗散，a越趋近于-1能量耗散越小。其次，大量的仿真与实验结果表明当a=-1时的分布阶算子的控制效果最好。

以下部分将通过列举实验结果进行证明，并按照(20)式的方法设计FOPI控制器便于对FOPI和DOPI的控制效果做对比。令a＝-1,ω_cg＝90Hz,

代入（20）式可以得到b＝-0.6302,K_p＝129.0811和K_i＝24.59即确定DOPI控制器为：

$C_{\mathrm{do}}\left(s\right)=129.0811(1+24.59{\∫}_{-1}^{-0.6302}{s}^{\mathrm{\α}}\mathrm{d\α})---\left(33\right)$

按照(8)式给出的相同的方法得到相应的FOPI为：

C_fo(s)＝89.7530(1+19.4697s^-0.9962)    （34）

开环传递函数G(s)C_do(s)和G(s)C_fo(s)的伯德图如图4所示。按(25)～(28)式整理得到

ΔU_do(k)＝1.882U(k-1)-2.766U(k-2)+0.8834U(k-3)+133.4296e(k)

-381.121·e(k-1)+362.44e(k-2)-114.678e(k-3)    （35）

ΔU_fo(k)＝1.929U(k-1)-2.859U(k-2)+0.9297U(k-3)+91.54e(k)

+266.348·e(k-1)+258.28e(k-2)-83.449e(k-3)    （36）

其中e(.)表示输出误差。上述两个控制策略可分别称作离散增量式DOPI控制器和离散增量式FOPI控制器。两个控制器的上机实验结果如图5所示，蓝线和红线分别表示DOPI和FOPI控制器输出速度曲线。

令a＝-1，ω_cg＝200Hz，

代入（20）式可以得到b＝-0.8282，K_p＝370.4929，K_i＝340.6184，即DOPI控制器形式为：

$C_{\mathrm{do}}\left(s\right)=370.4929(1+340.6184{\∫}_{-1}^{-0.8282}{s}^{\mathrm{\α}}\mathrm{d\α})---\left(37\right)$

相应FOPI控制器形式为：

C_fo(s)＝203.3457(1+85.769s^-0.9954)    （38）

开环传递函数G(s)C_do(s)与G(s)C_fo(s)的伯德图如图6所示。同理可以整理得到如下式子：

ΔU_do(k)＝1.911U(k-1)-2.824U(k-2)+0.9121U(k-3)+407.8597e(k)

-1153.76·e(k-1)+1087.07e(k-2)-340.8329e(k-3)    （39）

ΔU_fo(k)＝1.929U(k-1)-2.859U(k-2)+0.9296U(k-3)+221.3097e(k)

-630.324·e(k-1)+598.22e(k-2)-189.102e(k-3)    （40）

该组控制器的上机实验结果如图7所示。

对比图3和图6可以看出，分布阶控制系统开环传递函数比分数阶控制系统开环传递函数的可调相位范围更宽。这就意味着，在相同条件下，DOPI控制器对如负载变化、模型误差和振荡等参数不确定性具有更好的鲁棒性。对比图5和7可以看出，DOPI控制器的输出速度比FOPI控制器更快更平滑。此外，增加ω_cg能够有效提高跟踪速度，且其效果在DOPI控制器中更为明显。因为实际应用中只是利用ΔU(k)的符号对电机速度进行整定，系统输出的超调非常小，因此提升了轮式服务机器人的稳定性与安全性。并且在实际应用中可以根据需要便捷的对K_p和K_i进行调整，以此实现不同智能控制方法的应用。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (7)

1.基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）对分布阶积分器进行时域分析；

2）建立被控对象连续数学模型G(s)并对其进行频域分析；

3）建立分布阶PI控制器

并对C(s)进行频域分析，其中K_p是控制器比例单元，K_i是控制器积分单元，s用来取代微分方程中d/dt的拉普拉斯变换，a和b为实数，且-1≤a≤b≤0；

4）根据步骤2）和3）得到系统开环传递函数L(s)=G(s)C(s)，然后依据鲁棒分布阶PI控制器的设计规则确定控制器参数；

5）离散增量式分布阶PI控制器的数字实现；

6）分布阶PI控制器实现自整定；

7）对分布阶PI控制器进行遗传算法运算。

2.根据权利要求1所述的基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，所述步骤1）中，分布阶积分器为：

${\∫}_a^b{s}^{\mathrm{\α}}\mathrm{d\α}=\frac{s^b-s^a}{\ln \left(s\right)}---\left(6\right)$

其中，α∈(-1,0)是分布阶积分器阶次，s用来取代微分方程中d/dt的拉普拉斯变换，s^α即为分数阶积分器，a和b为实数，且-1≤a≤b≤0；

该分布阶积分器的时域表达式为：

其中，

{}表示拉氏反变换， $M_1={\∫}_0^{\∞}{e}^{{-\mathrm{\τ}}^{1/(1+b)}}\mathrm{d\τ}$ 和 $M_2={\∫}_0^{\∞}{e}^{{-\mathrm{\τ}}^{1/(1+a)}}\mathrm{d\τ}$ 均为有穷正常数，其中T为被积变量。

3.根据权利要求1所述的基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，所述步骤2）的具体方法是：

$G\left(s\right)=\frac{K_g}{s(\mathrm{\τs}+1)}---\left(12\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\arg \left[G\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=-\arctan \left(\mathrm{\ω\τ}\right)-\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ \left|G\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|=\frac{K_g}{\mathrm{\ω}\sqrt{1+{\left(\mathrm{\ω\τ}\right)}^2}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，K_g是电机时间常数，G(jω)表示系统的频率特性，指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性。

4.根据权利要求1所述的基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，所述步骤3）的具体方法是：建立分布阶PI控制器

其中K_p是控制器比例单元，K_i是控制器积分单元；对C(s)进行频域分析：

$G\left(\mathrm{j\ω}\right)=K_p(1+K_i\frac{{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^b-{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^a}{\ln \left(\mathrm{j\ω}\right)})---\left(14\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\arg \left[C\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=\frac{K_i(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2})}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}+K_i(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}\\ \left|C\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|=K_p\sqrt{{[1+\frac{K_i\left(A\ln \mathrm{\ω}\right)}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}}]}^2+{\left[\frac{K_i(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2})}{{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4}}\right]}^2}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中， $A={\mathrm{\ω}}^b\cos \frac{\mathrm{b\π}}{2}-{\mathrm{\ω}}^a\cos \frac{\mathrm{a\π}}{2},$

$B={\mathrm{\ω}}^b\sin \frac{\mathrm{b\π}}{2}-{\mathrm{\ω}}^a\sin \frac{\mathrm{a\π}}{2};$

所述步骤4）中，鲁棒分布阶PI控制器（DOPI）的设计规则为：

其中，

ω_cg是幅值穿越频率；由（20）整理得到

$K_i=\frac{({\mathrm{\φ}}_m-\frac{\mathrm{\π}}{2}+\arctan \left(\mathrm{\ωt}\right))({\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4})}{B\ln \left(\mathrm{\ω}\right)-\frac{\mathrm{A\π}}{2}-({\mathrm{\φ}}_m-\frac{\mathrm{\π}}{2}+\arctan \left(\mathrm{\ω\τ}\right))(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}---\left(21\right)$

PK_i ²+QK_i+τC²＝0    （22）

$K_p=\frac{\mathrm{\ωD}}{K_g\sqrt{{[1+\frac{K_i(A\ln \mathrm{\ω}+(\mathrm{B\π}+2))}{C}]}^2+{\left[\frac{K_i\left(B\ln \mathrm{\ω}\right)-(A/2)}{C}\right]}^2}}---\left(23\right)$

其中， $C={\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\π}}^2}{4},$ D＝1+(ωτ)²，

$P=\mathrm{\τ}{(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})}^2+D(\mathrm{AB}{\ln }^2\mathrm{\ω}-\mathrm{AB}{\ln }^2\mathrm{\ω}+\frac{B^2-A^2}{2\mathrm{\ω}}\mathrm{\π}),$

$Q=2\mathrm{\τC}(A\ln \mathrm{\ω}+\frac{\mathrm{B\π}}{2})+\mathrm{CD}(B\ln \mathrm{\ω}+\frac{B}{\mathrm{\ω}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}A)-D\frac{2\ln \mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}(B\ln \mathrm{\ω}-\frac{\mathrm{A\π}}{2}),$

其中，

表示对ω的一阶导数，固定a或b，然后任给和ω_cg＞0，常数b或a、K_i以及K_p即能通过作图的方法求解得到。

5.根据权利要求1所述的基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，所述步骤5）的具体方法是：采用IIR/FIR的方法，即保持采样时刻脉冲响应恒定的情况下，将模拟滤波器传递函数转换为数字滤波器传递函数。

6.根据权利要求1所述的基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，所述步骤6）的具体方法是：

61）整定和

对参数K和τ进行辨识，其中

是给系统串联的低通滤波器中参数，

是给系统串联的常量增益；

62）固定

的值，将

从0开始增加至系统到达临界稳定状态，此时将得到的等幅振荡的振荡周期带入（29）式即得到K和τ的近似值，其中K是电机时间常数，系统辨识过程结束；

$\mathrm{\τ}=\frac{1}{\tilde{a}{z}_3}=\frac{{(T/\left(2\mathrm{\π}\right))}^2}{\tilde{a}}$     （29）

$K=\frac{1}{\tilde{b}}(\frac{1}{\tilde{a}}+\frac{1}{\mathrm{\τ}})$

63）利用步骤4）设计增量式DOPI控制器，即可触发转换开关使系统进入DOPI控制器整定阶段。

7.根据权利要求1所述的基于离散增量式分布阶PI控制器的控制方法，其特征在于，所述步骤7）的具体方法是：

71）将连续分布阶积分器离散化得到相应离散分布阶积分器DOI(z^-1)；

72）按（27）和（28）式计算增量DOPI控制式，

ΔU(k)＝1.882U(k-1)-2.765U(k-2)+0.8833U(k-3)    （27）

+G(K_p,K_i,e(m))

其中ΔU(k)＝U(k)-U(k-1),U_i＝0for i≤0,m＝{k,k-1,k-2,k-3}

并且，

G(K_p,K_i,e(m))＝K_p[(1+0.001373K_i)e(k)-(2.882+0.00287K_i)e(k-1)

+(2.765+0.001701K_i)e(k-2)-(0.8833+0.0002038K_i)e(k-3)]    （28）

其中的K_p，K_i为未知常量；

73）结合K_p、K_i范围定义编码解码方法，初始化种群，确定恰当的适应度函数，并编写遗传算法代码，获得GA程序；

74）运行GA程序得到下一代种群；

75）当得到一组满足条件的K_p、K_i值或达到种群迭代次数时停止运行GA程序。

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