CN103605290A - 基于向量方法的鲁棒分数阶PDμ控制器的参数整定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于向量方法的鲁棒分数阶PD^μ控制器的参数整定方法，属于分数阶自动控制技术领域。给定被控对象系统的数学模型传递函数，将被控对象写成被控对象向量形式，写出性能指标向量形式，利用一个校正向量L去校正被控对象向量P达到性能指标向量G，校正向量和控制器向量在复平面内构成三角形，求得待整定的微分系数。本方法可以减少计算量，而且整定过程简单易懂，当被控对象发生变化时，我们只需要计算出被控对象的模值、相角和角速度，后面的公式可以套用，从而减少了反复推导方程的过程，解决了matlab求解中存在的多解问题。

Description

基于向量方法的鲁棒分数阶PDμ控制器的参数整定方法

技术领域

本发明属于分数阶自动控制技术领域，主要涉及的是一种PD^μ结构的鲁棒分数阶控制器的参数整定方法。

背景技术

PD(比例微分)控制是自动控制领域中应用广泛、技术比较成熟的控制方式。由于其结构简单，容易实现，可靠性高等特点，被广泛地应用于过程控制和运动控制等工业控制过程中。在实际的工业控制环境中往往具有非线性、时变性等不确定因素，使得传统的PD控制方法不能达到满意效果。由于分数阶PD^μ控制器多了一个可调参数μ，使得分数阶PD^μ控制器可以获得比整数阶PD控制器更好的动态性能和鲁棒性。

同时也因为分数阶PD^μ控制器多了一个可调参数μ，使得分数阶PD^μ控制器参数整定过程复杂，运算量大。对不同的被控对象，参数整定方程需要重新推导和计算，使得控制器设计变得繁琐而又费时。而且控制器参数使用matlab求解，一般都存在多个解，需要寻找符合要求的解，给仿真和实验带来了许多不便。

发明内容

本发明提供一种基于向量方法的鲁棒分数阶PD^μ控制器的参数整定方法，以解决现有方法由于不确定因素的影响使得常规的PD控制不能达到满意效果的问题。

本发明采取的技术方案是包括下列步骤：

（一）、给定被控对象系统的数学模型传递函数

并给定设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相位裕度φ_m，待整定控制器传递函数形式C(s)=K_p+K_ds^μ；其中，所述T为正实数，s为拉普拉斯算子，K_p表示待整定的比例系数，K_d表示待整定的微分系数，μ表示待整定的微分阶次；

（二）、将被控对象

写成被控对象向量形式：

被控对象向量角速度 ${\mathrm{\ψ}}_P=-\frac{T}{{\left({\mathrm{T\ω}}_c\right)}^2+1},$

（三）、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相位裕度φ_m，写出性能指标向量形式：G(jω_c)=1∠φ_m-180°，角速度为0；

（四）、利用一个校正向量L去校正被控对象向量P达到性能指标向量G，即L·P=G，根据步骤（二）和步骤（三），可以求得在ω_c处校正向量L，同时求得校正向量在ω_c处的角速度 ${\mathrm{\ψ}}_L=-\frac{T}{{\left({\mathrm{T\ω}}_c\right)}^2+1};$

（五）、将控制器C(s)=K_p+K_ds^μ映射到复平面内得到由相角为0且模值为K_p的向量（K_p∠0°）加上一个相角为且模值为K_dω^μ的向量

的和，即控制器向量。利用控制器向量C去逼近校正向量L，即lim|C-L|=0，从而校正向量和控制器向量在复平面内构成三角形；

（六）、令

即

和

利用三角形的余弦定理可以得到：

$K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}=\sqrt{K_p^2+A^2-2K_{p}A\cos \mathrm{\θ}}---\left(1\right)$

$\cos (\mathrm{\π}-\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\μ})=\frac{K_p-A\cos }{\sqrt{K_p^2+A^2-2K_{p}A\cos \mathrm{\θ}}}---\left(2\right)$

同时利用lim|C-L|=0角速度相等，可得：

$\frac{\mathrm{\μ}{K}_p{K}_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)}{{(K_p+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos (\mathrm{\μ\π}/2))}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)\right)}^2}={\mathrm{\ψ}}_L---\left(3\right)$

注意到存在几何关系为 ${(K_p+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos (\mathrm{\μ\π}/2))}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)\right)}^2=A^2$ 和 $K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)=A\sin \mathrm{\θ},$ 所以可以得到，

$\frac{\mathrm{\μ}{K}_p\sin \mathrm{\θ}}{{\mathrm{A\ω}}_c}={\mathrm{\ψ}}_L---\left(4\right)$

利用（2）和（4）可求得K_p和μ，代入（1）可求得K_d，即完成了一种鲁棒性的分数阶控制器参数整定。

本发明的有益效果：由于不确定因素的影响使得传统的PD控制无法在系统参数波动的情况下保证系统输出的鲁棒稳定性。本发明所提出的利用分数阶微积分控制理论和PD控制器参数整定理论相结合的设计方法可以很好的解决上述问题，通过本发明提供的方法所设计出的控制系统可以很好的保证系统相角裕度和输出超调量的稳定。与其他的分数阶控制器PD^μ参数整定方法相比，本方法具有如下优点：

（1）可以减少计算量，而且整定过程简单易懂。

（2）当被控对象发生变化时，我们只需要计算出被控对象的模值、相角和角速度，后面的公式可以套用，从而减少了反复推导方程的过程。

（3）由公式(2)和(4)用matlab求解是唯一解，从而解决了matlab求解中存在的多解问题。

附图说明

图1是控制器向量；

图2是控制器向量和校正向量构成的三角形；

图3是具体实施方式中的所设计的开环系统伯德图。

图4是具体实施方式中整个闭环控制系统的阶跃响应图；其中，三条曲线是被控对象分子1分别变成0.9、1和1.1是的阶跃响应曲线。

具体实施方式

包括下列步骤：

（一）、给定被控对象系统的数学模型传递函数

并给定设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相位裕度φ_m，待整定控制器传递函数形式C(s)=K_p+K_ds^μ；其中，所述T为正实数，s为拉普拉斯算子，K_p表示待整定的比例系数，K_d表示待整定的微分系数，μ表示待整定的微分阶次；

（二）、将被控对象

写成被控对象向量形式：

被控对象向量角速度 ${\mathrm{\ψ}}_P=-\frac{T}{{\left({\mathrm{T\ω}}_c\right)}^2+1},$

（三）、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相位裕度φ_m，写出性能指标向量形式：G(jω_c)=1∠φ_m-180°，角速度为0；

（四）、利用一个校正向量L去校正被控对象向量P达到性能指标向量G，即L·P=G，根据步骤（二）和步骤（三），可以求得在ω_c处校正向量L，同时求得校正向量在ω_c处的角速度 ${\mathrm{\ψ}}_L=-\frac{T}{{\left({\mathrm{T\ω}}_c\right)}^2+1};$

（五）、将控制器C(s)=K_p+K_ds^μ映射到复平面内得到由相角为0且模值为K_p的向量（K_p∠0°）加上一个相角为

且模值为K_dω^μ的向量

的和，即控制器向量。利用控制器向量C去逼近校正向量L，即lim|C-L|=0，从而校正向量和控制器向量在复平面内构成三角形；

（六）、令

即和

利用三角形的余弦定理可以得到：

$K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}=\sqrt{K_p^2+A^2-2K_{p}A\cos \mathrm{\θ}}---\left(1\right)$

$\cos (\mathrm{\π}-\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\μ})=\frac{K_p-A\cos }{\sqrt{K_p^2+A^2-2K_{p}A\cos \mathrm{\θ}}}---\left(2\right)$

同时利用lim|C-L|=0角速度相等，可得：

$\frac{\mathrm{\μ}{K}_p{K}_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)}{{(K_p+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos (\mathrm{\μ\π}/2))}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)\right)}^2}={\mathrm{\ψ}}_L---\left(3\right)$

注意到存在几何关系为 ${(K_p+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos (\mathrm{\μ\π}/2))}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)\right)}^2=A^2$ 和 $K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)=A\sin \mathrm{\θ},$ 所以可以得到，

$\frac{\mathrm{\μ}{K}_p\sin \mathrm{\θ}}{{\mathrm{A\ω}}_c}={\mathrm{\ψ}}_L---\left(4\right)$

利用（2）和（4）可求得K_p和μ，代入（1）可求得K_d，即完成了一种鲁棒性的分数阶控制器参数整定。

下边通过具体应用实例来进一步说明本发明。

选定运动控制系统中常用的交流永磁电动机作为控制对象，其数学模型传递函数形如其中M、D表示质量和粘性，R_a表示电枢电阻，K_e、K_m分别表示电动机推力系数和反电动势系数；运行实例中，选定运动控制系统中常用的交流永磁电动机作为控制对象，不失一般性，其数学模型传递函数可表示为 $P\left(s\right)=\frac{1}{s(\mathrm{Ts}+1)}(T>0);$ 其中，T为时间常数；

1.给定被控对象系统的数学模型传递函数

其中T=0.05，并给定设计指标带宽ω_c=60rad/s和需保持稳定的相位裕度φ_m=70°。

2.写出被控对象向量

被控对象向量角速度 ${\mathrm{\ψ}}_P=-\frac{0.05}{10}.$

3.写出性能指标向量G(jω_c)=1∠-110°，角速度0。

4.得到校正向量

校正向量角速度

5.由L(jω_c)=A∠θ得

从而得到

$K_d{60}^{\mathrm{\μ}}=\sqrt{K_p^2+36000-235.8906K_p}---\left(5\right)$

$\cos \left(\frac{\mathrm{\μ\π}}{2}\right)=\frac{117.9453-K_p}{\sqrt{K_p^2+36000-235.8906K_p}}---\left(6\right)$

由（6）和（7）可以求得K_p=84.5616,μ=0.8593代入（5）可以求得K_d=4.516。则所求PD^μ控制器为C(s)=84.5616+4.516s^0.8593。

图3为所设计的开环系统的伯德图；其中，从图中可以看出系统在带宽ω_c附近的相角裕度保持恒定。

图4为所设计的控制系统的阶跃响应图其中，三条曲线是被控对象分子1分别变成0.9、1和1.1的情况下系统也能保持稳定的输出超调量，即利用本发明所列方法整定出的PD^μ结构的分数阶控制器具有非常好的鲁棒特性。

Claims (1)

1.一种基于向量方法的鲁棒分数阶PD^μ控制器的参数整定方法，其特征在于包括下列步骤：

（一）、给定被控对象系统的数学模型传递函数并给定设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相位裕度φ_m，待整定控制器传递函数形式C(s)=K_p+K_ds^μ；其中，所述T为正实数，s为拉普拉斯算子，K_p表示待整定的比例系数，K_d表示待整定的微分系数，μ表示待整定的微分阶次；

（二）、将被控对象

写成被控对象向量形式：

被控对象向量角速度 ${\mathrm{\ψ}}_P=-\frac{T}{{\left({\mathrm{T\ω}}_c\right)}^2+1},$

（三）、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相位裕度φ_m，写出性能指标向量形式：G(jω_c)=1∠φ_m-180°，角速度为0；

（四）、利用一个校正向量L去校正被控对象向量P达到性能指标向量G，即L·P=G，根据步骤（二）和步骤（三），可以求得在ω_c处校正向量L，

同时求得校正向量在ω_c处的角速度 ${\mathrm{\ψ}}_L=-\frac{T}{{\left({\mathrm{T\ω}}_c\right)}^2+1};$

（五）、将控制器C(s)=K_p+K_ds^μ映射到复平面内得到由相角为0且模值为K_p的向量（K_p∠0°）加上一个相角为μ且模值为K_dω^μ的向量

的和，即控制器向量。利用控制器向量C去逼近校正向量L，即lim|C-L|=0，从而校正向量和控制器向量在复平面内构成三角形；

（六）、令

即

和θ=φ_m+arctanTω_c-90°，利用三角形的余弦定理可以得到：

$K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}=\sqrt{K_p^2+A^2-2K_{p}A\cos \mathrm{\θ}}---\left(1\right)$

$\cos (\mathrm{\π}-\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\μ})=\frac{K_p-A\cos }{\sqrt{K_p^2+A^2-2K_{p}A\cos \mathrm{\θ}}}---\left(2\right)$

同时利用lim|C-L|=0角速度相等，可得：

$\frac{\mathrm{\μ}{K}_p{K}_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)}{{(K_p+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos (\mathrm{\μ\π}/2))}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)\right)}^2}={\mathrm{\ψ}}_L---\left(3\right)$

注意到存在几何关系为 ${(K_p+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos (\mathrm{\μ\π}/2))}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)\right)}^2=A^2$ 和 $K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin (\mathrm{\μ\π}/2)=A\sin \mathrm{\θ},$ 所以可以得到，

$\frac{\mathrm{\μ}{K}_p\sin \mathrm{\θ}}{{\mathrm{A\ω}}_c}={\mathrm{\ψ}}_L---\left(4\right)$

利用式（2）和（4）可求得K_p和μ，代入式（1）可求得K_d，即完成了一种鲁棒性的分数阶控制器参数整定。

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