CN103279034A - 一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法 - Google Patents

Abstract

一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法，本发明属于分数阶自动控制技术领域，主要涉及的是一种PD^μ结构的分数阶鲁棒控制器的参数整定方法。本发明是要解决现有方法由于不确定因素的影响使得常规的PD控制不能达到满意效果的问题。一、给定待整定系统的各项参数；二、将带宽ω_c与相角裕度γ_m代入公式(1)以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；三、将带宽ω_c与相角裕度γ_m代入公式(2)以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；四、利用图解法求出步骤二和步骤三所确定的曲线的交点坐标(μ，K_d)；五、将步骤四所求得的K_d和μ代入公式(3)求出K_p。本发明应用于分数阶自动控制技术领域。

Description

一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法

技术领域

本发明属于分数阶自动控制技术领域，主要涉及的是一种PD^μ结构的分数阶鲁棒控制器的参数整定方法。

背景技术

PD(比例微分)控制是自动控制领域中应用广泛、技术比较成熟的控制方式。由于其结构简单，容易实现，可靠性高等特点，被广泛地应用于过程控制和运动控制等工业控制过程中。但实际的工业控制环境往往具有非线性、时变性等不确定因素，使得传统的PD控制方法不能达到满意效果。特别是在系统参数波动严重的恶劣工控条件下，传统PD控制性能和运行状态的适应性问题就凸显出来了。

发明内容

本发明是要解决现有方法由于不确定因素的影响使得常规的PD控制不能达到满意效果的问题，而提供了一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法。

分数阶鲁棒控制器的参数整定方法按以下步骤实现：

一、给定被控对象系统的数学模型传递函数

待整定控制器传递函数形式G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，并给定设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m；其中，所述T为正实数，s为拉普拉斯算子，K_p表示待整定的比例系数，K_d表示待整定的微分系数，μ表示待整定的微分阶次；

二、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m代入开环相角方程

$-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}+\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right)={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}---\left(1\right)$

以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；

三、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m代入系统开环相角稳定方程

$\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0---\left(2\right)$

以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；

四、利用图解法求出步骤二和步骤三所确定的曲线的交点坐标(μ，K_d)；

五、将步骤四所求得的K_d和μ代入系统开环幅值方程

$\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}=1---\left(3\right)$

求出K_p，求出控制器传递函数G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，即完成了一种鲁棒的分数阶控制器的参数整定方法。

发明效果：

由于不确定因素的影响使得传统的PD控制无法在系统参数波动的情况下保证系统输出的鲁棒稳定性。本发明所提出的利用分数阶微积分控制理论和PD控制器参数整定理论相结合的设计方法可以很好的解决上述问题，通过本发明提供的方法所设计出的控制系统可以很好的保证系统相角裕度和输出超调量的稳定，并且由于引入了微分项μ，PD^μ(PD^μ为分数阶比例微分，P为比例，D为微分，μ为D的分数阶次)控制器增加了可调参数，所以控制器参数的整定范围更大了，并且可以更加灵活的调整参数，在系统参数波动较大的情况下，依然可以保持良好的控制效果。本发明所提供方法是以被控系统输出的鲁棒稳定性作为设计目标。在控制系统开环增益波动±20％的条件下，利用本发明所设计控制系统的相角裕度和输出超调量保持稳定。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是具体实施方式一中的图解法求解μ，K_d图；其中，——为步骤二中以μ作为横坐标K_d作为纵坐标所绘制的系统开环相角图，

为步骤三中以μ作为横坐标K_d作为纵坐标所绘制的系统开环相角稳定图；

图3是具体实施方式一中所设计整个闭环控制系统的波特图；

图4是具体实施方式一中所设计整个闭环控制系统的阶跃响应图；其中，三条曲线分别对应K_p取K_p1＝106.392，K_p2＝88.66，K_p3＝70.928时的阶跃响应曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种鲁棒的分数阶控制器的参数整定方法按以下步骤实现：

一、给定被控对象系统的数学模型传递函数

待整定控制器传递函数形式G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，并给定设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m；其中，所述T为正实数，s为拉普拉斯算子，K_p表示待整定的比例系数，K_d表示待整定的微分系数，μ表示待整定的微分阶次；

二、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m代入开环相角方程

$-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}+\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right)={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}---\left(1\right)$

以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；

三、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m代入系统开环相角稳定方程

$\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0---\left(2\right)$

以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；

四、利用图解法求出步骤二和步骤三所确定的曲线的交点坐标(μ，K_d)；

五、将步骤四所求得的K_d和μ代入系统开环幅值方程

$\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}=1---\left(3\right)$

求出K_p，求出控制器传递函数G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，即完成了一种鲁棒的分数阶控制器的参数整定方法。

本实施方式中，

选定运动控制系统中常用的交流永磁电动机作为控制对象，其数学模型传递函数形如

$G_p\left(s\right)=\frac{\frac{K_m}{K_e{K}_m+R_{a}D}}{s(\frac{R_{a}M}{K_e+K_m+R_{a}D}s+1)}$

其中M、D表示质量和粘性，R_a、L_a分别表示电枢电阻和电枢电感，K_m、K_e分别表示电动机推力系数和反电动势系数；

运行实例中，选定运动控制系统中常用的交流永磁电动机作为控制对象，不失一般性，其数学模型传递函数可表示为

其中，T为时间常数；

一、给定被控对象系统的数学模型传递函数其中时间常数T＝0.05；给定待整定控制器传递函数形式G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，给定设计指标带宽ω_c＝60rad/s，需保持稳定的相角裕度γ_m＝70°；

二、将给定设计指标带宽ω_c＝60rad/s，需保持稳定的相角裕度γ_m＝70°代入如下系统开环相角方程：

$-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}+\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right)={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}$

以μ作为横坐标K_d作为纵坐标绘制系统开环相角方程所确定的曲线，如图2中的曲线__;

三、将给定设计指标带宽ω_c＝60rad/s，需保持稳定的相角裕度γ_m＝70°代入如下系统开环相角稳定方程：

$\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0$

在步骤二所绘曲线坐标系内绘制系统开环相角稳定方程所确定曲线，如图2中的曲线

四、利用图解法求出步骤二和步骤三所绘制曲线的交点坐标(μ，K_d)；

求得μ＝0.86，K_d＝0.05；

五、将步骤四所求得的K_d和μ代入如下系统开环幅值方程

$\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}=1$ 求得K_p＝88.66。则所求PD^μ控制器为

G_c(s)＝88.66(1+0.05s^0.86)。

图3为所设计整个闭环控制系统的波特图；其中，从图中可以看出系统在带宽w_c附近的相角裕度保持恒定，即系统增益K_p波动±20％对系统相角裕度的影响很小；

图4为所设计整个闭环控制系统的阶跃响应图；由图可见，在系统增益K_p波动±20％的情况下(即K_p1＝106.392，K_p2＝88.66，K_p3＝70.928)系统也能保持稳定的输出超调量，即利用本发明所列方法整定出的PD^μ结构的分数阶控制器具有非常好的鲁棒特性。

本实施方式效果：

由于不确定因素的影响使得传统的PD控制无法在系统参数波动的情况下保证系统输出的鲁棒稳定性。本实施方式所提出的利用分数阶微积分控制理论和PD控制器参数整定理论相结合的设计方法可以很好的解决上述问题，通过本实施方式提供的方法所设计出的控制系统可以很好的保证系统相角裕度和输出超调量的稳定，并且由于引入了微分项μ，PD^μ(PD^μ为分数阶比例微分，P为比例，D为微分，μ为D的分数阶次)控制器增加了可调参数，所以控制器参数的整定范围更大了，并且可以更加灵活的调整参数，在系统参数波动较大的情况下，依然可以保持良好的控制效果。本实施方式所提供方法是以被控系统输出的鲁棒稳定性作为设计目标。在控制系统开环增益波动±20％的条件下，利用本实施方式所设计控制系统的相角裕度和输出超调量保持稳定。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式—不同的是：步骤二中推导开环相角方程 $-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}+\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right)={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}$ 具体公式为：

$\∠G_c{G}_p\left(\mathrm{j\ω}\right){|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}=\∠G_c\left(\mathrm{j\ω}\right){|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}+\∠G_p\left(\mathrm{j\ω}\right){|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}$

$=-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right).$

$={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}$

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤三中推导系统开环相角稳定方程

$\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0$ 具体公式为：

$\frac{d\∠G_c{G}_p\left(\mathrm{j\ω}\right)}{\mathrm{d\ω}}{|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0;$ 其中

代表对ω的一阶导数。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤五中推导系统开环幅值方程

$\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}=1,$ 具体公式为：

$\left|G_k\left({\mathrm{j\ω}}_c\right)\right|=\left|G_c\left({\mathrm{j\ω}}_c\right)\right|\left|G_p\left({\mathrm{j\ω}}_c\right)\right|$

$=\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}.$

$=1$

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

Claims (4)

1.一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法，其特征在于分数阶鲁棒控制器的参数整定方法按以下步骤实现：

一、给定被控对象系统的数学模型传递函数

待整定控制器传递函数形式G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，并给定设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m；其中，所述T为正实数，s为拉普拉斯算子，K_p表示待整定的比例系数，K_d表示待整定的微分系数，μ表示待整定的微分阶次；

二、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m代入开环相角方程

$-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}+\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right)={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}---\left(1\right)$

以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；

三、将设计指标带宽ω_c和需保持稳定的相角裕度γ_m代入系统开环相角稳定方程

$\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0---\left(2\right)$

以μ作为横坐标，K_d作为纵坐标绘制方程所确定的曲线；

四、利用图解法求出步骤二和步骤三所确定的曲线的交点坐标(μ，K_d)；

五、将步骤四所求得的K_d和μ代入系统开环幅值方程

$\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}=1---\left(3\right)$

求出K_p，求出控制器传递函数G_c(s)＝K_p+K_pK_ds^μ，即完成了一种鲁棒的分数阶控制器的参数整定方法。

2.根据权利要求1所述的一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法，其特征在于步骤二中推导开环相角方程 $-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}+\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right)={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}$ 具体公式为：

$\∠G_c{G}_p\left(\mathrm{j\ω}\right){|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}=\∠G_c\left(\mathrm{j\ω}\right){|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}+\∠G_p\left(\mathrm{j\ω}\right){|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}$

$=-\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+\arctan \frac{K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\arctan \left({\mathrm{\ω}}_{c}T\right).$

$={\mathrm{\γ}}_m-\mathrm{\π}$

3.根据权利要求1所述的一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法，其特征在于步骤三中推导系统开环相角稳定方程

$\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0$ 具体公式为：

$\frac{d\∠G_c{G}_p\left(\mathrm{j\ω}\right)}{\mathrm{d\ω}}{|}_{\mathrm{\ω}={\mathrm{\ω}}_c}\frac{K_d{\mathrm{\μ\ω}}_c^{\mathrm{\μ}-1}\cos \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}{{(\sin \frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}+K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}})}^2+{\cos }^2\frac{\mathrm{\π}(1-\mathrm{\μ})}{2}}-\frac{T}{{\left(T{\mathrm{\ω}}_c\right)}^2+1}=0;$ 其中

代表对ω的一阶导数。

4.根据权利要求1所述的一种分数阶鲁棒控制器的参数整定方法，其特征在于步骤五中推导系统开环幅值方程

$\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}=1,$ 具体公式为：

$\left|G_k\left({\mathrm{j\ω}}_c\right)\right|=\left|G_c\left({\mathrm{j\ω}}_c\right)\right|\left|G_p\left({\mathrm{j\ω}}_c\right)\right|$

$=\frac{K_p\sqrt{{(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\cos \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}+1)}^2+{\left(K_d{\mathrm{\ω}}_c^{\mathrm{\μ}}\sin \frac{\mathrm{\π\μ}}{2}\right)}^2}}{{\mathrm{\ω}}_c\sqrt{1+{\mathrm{\ω}}_c^2{T}^2}}.$

$=1$

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