CN101923590B - 一种高效的拉丁超立方试验设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高效的拉丁超立方计算试验设计方法，属于工程优化设计技术领域。本发明为实现用户从实际工程中的n维设计空间提取m个试验设计点的目的，通过建立空间超体，预设第1个试验设计点；利用第1个试验设计点，在第2个单位超体中确定第2个试验设计点；利用已得到的s-1个(s＝3，4，5，…，m-1)试验设计点，在第s个单位超体中确定第s个试验设计点，直到(m-1)个试验设计点被确定；第m个单位超体中满足设计条件的第m个点唯一确定。本发明的设计方法不需要优化过程即可得到满足空间均匀性和投影均匀性特点的试验试验设计点，采样效率高；获取的试验设计点特性好，适合应用到任何工程设计等运算量巨大的优化领域。

Description

一种高效的拉丁超立方试验设计方法

技术领域

本发明涉及一种高效的拉丁超立方试验设计方法，属于工程优化设计技术领域。

背景技术

当今许多工程设计问题越来越复杂，为了提高分析精度和可信度，许多高精度分析模型被广泛用于工程设计中。高精度分析模型在提高分析精度和可信度的同时也带来了计算耗时的困难，虽然当今计算机软硬件技术已经有了长足的发展，然而，调用高精度分析模型完成一次分析仍然极其耗时，例如使用CFD模型完成一次气动仿真分析需要数小时甚至数十小时。其次，现代工程设计问题往往涉及多个相互耦合的学科。譬如，飞行器设计涉及气动、结构、动力、隐身、控制等学科，各学科相互影响，相互制约，飞行器的性能是各学科耦合的综合体现。由于学科之间的耦合关系，工程设计问题的系统分析表现为多学科分析。在寻优和设计分析中，为了避免高计算量，常常使用代理模型(Metamodeling)代替这些真实的耗时的高精度模型。

构造代理模型之前，必须先在设计空间获取能够反应真实模型的试验仿真设计点，然后通过这些设计点构造代理模型。一个可行的计算试验设计必须满足空间均匀性和投影均匀性，拉丁超立方设计(Latin Hypercube Design，LHD)(McKay et al.，1979)就具有很好的一维投影均匀性。拉丁超立方是一种分层抽样方法，试验点在设计空间内均匀分布，试验次数等于水平数，适用于因素个数较多的情况。为了建立投影均匀性的量化标准，Morris和Mitchell(1995)介绍了基于φ_p标准的优化拉丁超立方；Park(1994)介绍了基于最小距离最大准则(maximin criterion)优化拉丁超立方，保证了LHD样本点的空间均匀性；方开泰(2002)介绍了基于中心L2偏差标准(Centered L2 discrepancycriterion)。

现在拉丁超立方试验设计主要分为一次采样方法(one-stage samplingmethod)和多次采样方法(multi-stage sampling method)。一次采样方法表示在设计空间中一次采取足够多的样本点构造代理模型。多次采样方法就是在设计空间中逐次采取样本点。与一次采样相比，多次采样能够使用较少的样本点找到真实目标模型的局部最优点或全局最优点，但是多次采样所构造的代理模型在整个设计空间中精度不够，采样过程中需要建立优化模型进行寻优得到样本点，效率较低。Dam(2007)提出一种一次采点方法，采用二维设计中基于最小距离最大的拉丁超立方法，此方法不需要优化过程，效率较高，但此方法只限于二维问题，且受采样点个数的限制，不具有很好的通用性。

发明内容

本发明的目的是为解决工程设计的现有技术中采样效率低，通用性差的问题，提出一种高效的拉丁超立方试验设计(Efficient maximin Latin HypercubeDesign without optimization process for n-dimensional problems，ELHD)方法。本方法不需要优化过程即可得到满足空间均匀性和投影均匀性特点的试验仿真设计点，采样效率高，且不受采样点个数的限制，具有很好的通用性。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

步骤1，建立用户在实际工程中n维设计空间的优化设计问题所对应的空间超体，预设第1个试验设计点。

为了实现用户从实际工程中的n维设计空间中提取m个试验设计点的目的，将n维空间构造成为一个mⁿ的空间超体；再将此空间超体分为相邻的m个单位超体，从一端到另一端的空间顺序编为第1个，第2个，……，第m个，则每个单位超体中有m^n-1个单位正方体。

若将m个试验设计点分别放入某一个单位超体中的某一个单位正方体内，且每一个单位超体只能放一个点，则使得获取的m个试验设计点更易满足投影均匀性原则。并且，为使得速度最快，设计按从一端到另一端的顺序进行。

在第1个单位超体中的任意一个单位正方体中随机设置第1个试验设计点其中，

表示第1个试验设计点在第1个单位超体中第i维的坐标值。将得到的P₁存入设计点集合P＝{P₁}。

步骤2，利用步骤1得到的第1个试验设计点，在第2个单位超体中确定第2个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，第2个试验设计点P₂的设计原则为：各维坐标值与第1个试验设计点P₁在相应各维上的坐标值均不相同。因此只能在除去已被占据的各维余下坐标值所对应的单位正方体中选取。找出满足上述各维坐标值均不相同条件的单位正方体与第1个试验设计点P₁之间的距离最大者，即d₁＝max(d(P₂，P₁))；将该点坐标

定为P₂所在位置。将P₂存入设计点集合P＝{P₁，P₂}。

步骤3，利用步骤1和步骤2得到的第1个和第2个试验设计点，在第3个单位超体中确定第3个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，设计第3个试验设计点P₃在第3个单位超体的除已被

和

占据的各维余下坐标值对应的单位正方体中选取。余下单位正方体中，同一个单位正方体分别与P₁、P₂距离中的较小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出当前单位超体即第3个单位超体中，余下单位正方体特征值中的最大值，将此最大值对应的空间坐标值确定为第3个试验设计点

将P₃存入设计点集合P＝{P₁，P₂，P₃}。

步骤4，对于第s个点(s＝4，5，…，m-1)，利用已得到的s-1个试验设计点，在第s个单位超体中确定第s个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，设计第s个试验设计点P_s在第s个单位超体的除已被

占据的余下坐标值对应的单位正方体中选取。余下的单位正方体中，同一个单位正方体分别与前s-1个试验设计点距离中的最小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出当前单位超体即第s个单位超体中，各单位正方体特征值的最大值，将此最大值对应的空间坐标值确定为第s个试验设计点

将得到的P_s存入设计点集合P＝{P₁，P₂，P₃，…P_s-1，P_s}。

步骤5，重复步骤4，直到(m-1)个试验设计点被确定。

步骤6，在完成步骤5后，第m个单位超体中满足各维坐标值均不相同条件的单位正方体只剩一个，故第m个试验设计点唯一确定。

至此，从n维优化设计空间中提取m个试验设计点的目的达到。

上述步骤1中在第1个单位超体中的任意一个单位正方体中预设第1个试验设计点的方案，也可以改为从第m个单位超体中的任意一个单位正方体中预设第1个试验设计点，按从第m个单位超体到第1个单位超体的方向进行试验设计点的设计，而其设计方法不变。

有益效果

本发明的ELHD试验设计方法与现有技术相比，不需要优化过程即可得到满足空间均匀性和投影均匀性特点的试验试验设计点，采样效率高；获取的试验设计点特性好，适合应用到任何工程设计等运算量巨大的优化领域，如含有大规模有限元分析的结构优化设计、含有高精度流体力学分析的气动优化设计等。

用本方法采集的设计点可以构造出各种代理模型，且构造的代理模型精度高；适用于任意维数的试验设计问题，有较强的通用性，尤其在解决复杂的现代工程优化设计中的高维问题时，本方法节约时间的效果尤为明显。在基于代理模型对多种飞行器总体优化设计时的试验设计、基于代理模型对多种流体分析模型进行优化设计时的试验设计、以及基于代理模型对大型有限元分析系统进行优化设计时的试验设计等航空航天领域或相关工程优化设计领域都可以有较为广泛的应用。

附图说明

图1为本发明的高效的拉丁超立方试验设计方法的流程图；

图2为具体实施方式中在4×4的网格平面确定4个试验设计点空间位置的示意图；

图3为具体实施方式中ELHD采样结果与matlab maximin-LHD采样结果对比(n＝2，m＝30)；

图4为具体实施方式中ELHD采样结果与matlab maximin-LHDD采样结果对比(n＝2，m＝50)；

图5为具体实施方式中ELHD采样结果与matlab maximin-LHD采样结果对比(n＝2，m＝100)；

图6为具体实施方式中ELHD采样结果与matlab maximin-LHD采样结果对比(n＝2，m＝200)；

图7为具体实施方式中ELHD采样结果及其在二维平面的投影(n＝3，m＝30)；

图8为具体实施方式中ELHD采样结果及其在二维平面的投影(n＝3，m＝50)；

图9为具体实施方式中ELHD采样结果及其在二维平面的投影(n＝3，m＝100)；

图10为具体实施方式中ELHD采样结果及其在二维平面的投影(n＝3，m＝200)；

图11为具体实施方式中ELHD采样结果在三维空间的投影(n＝4，m＝50)；

图12为具体实施方式中ELHD采样结果在二维平面的投影(n＝4，m＝50)；

图13为具体实施方式中结构桁架系统的有限元模型。

具体实施方式

为了进一步说明本发明的目的和优点，下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的说明。

图1为本发明的高效的拉丁超立方试验设计(ELHD)方法的流程图。

以二维问题为例，具体说明ELHD方法的技术方案。

在二维设计空间中(n＝2)，采样问题可描述为一个棋子问题。把m个棋子(采样点)分散放到m×m方格的棋盘(二维设计空间)上，保证任意两个棋子之间的距离最小者的最大化。为了保证采样点的空间均匀性和投影均匀性，在ELHD方法中，按相邻的列划分m个单位超体，即第1列、第2列、……第m列；并逐列确定采样点的位置，每一行和列都只有一个点。ELHD方法的详细采样过程如下：

步骤1，第1个点在第1列中随机产生。假定第1个点随机产生在第i₁行，记第1个点为P₁(i₁，1)，i₁∈{1，2，…，m}，同时样点P₁存入样点集合P＝{P₁}。

步骤2，对于第2列中的第2个点，因为第i₁行已经被第1个点P₁占据，所以第2个点只能从余下的行号里选择。找出余下各行的方格与第1个点P₁之间的距离中最大者，即d₂＝max(d((i₂，2)，P₁))，i₂∈{1，2，…，i₁-1，i₁+1，…m}，对应的行号用于确定第2个点P₂(i₂，2)，将P₂存入样点集合P＝{P₁，P₂}。

步骤3，对于第3列中的第3个点，因为第i₁、i₂行已经被第1个点P₁、第2个点P₂占据，所以第3个点只能从余下行里选择。找出同一方格分别与余下各行的方格与第1个点P₁、第2个点P₂之间的距离的较小者，作为该方格的特征值，再取各方格特征值的最大值，将此最大值对应的方格位置作为第3个点P₃(i₃，3)，将P₃存入样点集合P＝{P₁，P₂，P₃}。

步骤4，对于第s列中的第s个点，s∈{1，2，…，m-1}。已生成的点有{P₁，P₂，…，P_s-1}，这些点已经占据掉(s-1)行，行号为{i₁，i₂，…，i_s-1}，只能从余下的行号里选择一个确定第s列，余下的行号有{i_s|1≤i_s≤m and i_s≠i₁，i₂，…，i_s-1}。找出余下行中同一方格与先前生成的各样点之间的距离最小值，作为该方格的特征值，再取各方格特征值的最大值，即d_s＝max(min(d((i_s，s)，P)))，P＝{P₁，P₂，…，P_s-1}。将此特征值最大者对应的行号作为第s点的行号，即P_s(i_s，s)，并将此点存入样点集合P＝{P₁，P₂，…，P_s-1，P_s}。

步骤5，重复步骤4，直到(m-1)个采样点确定。

步骤6，对于第m列中的第m个点，行号只剩1个，故第m个点此时唯一确定。

上述步骤2、步骤3、步骤4和步骤5中计算两点距离的方式可以为2范数、1范数、无穷范数中的任意一种。

基于ELHD方法在二维空间生成样本点，采样点个数分别取m＝30，50，100，200，采样结果与matlab标准LHD采样结果对比如图3、图4、图5和图6所示，在空间维数n＝2采样点m＝30、50、100、200的采样结果表明ELHD方法采取的样本点比matlab标准LHD方法采取的样本点更具有空间均匀性和投影均匀性。

下面用二维问题，取采样点m＝4作为实施例说明具体实施过程，过程中采用2范数计算两点间的距离。

如图2所示，在4×4的网格平面中，确定4个点的空间位置，以保证4个点的空间均匀性和投影均匀性特点。详细生成样本点的过程如下：

第(1)步：在第1列中随机产生第1个点。假定第1个点产生在第3行，记为P₁(3，1)，并将样点P₁存入样点集合P＝{P₁}。

第(2)步：对于第2列中的第2个点。因为第3行已经被第1个点P₁占据，所以第2个点只能从余下的行号{1，2，4}里选择。找出余下行号各方格位置与第1个点P₁之间的距离的最大者，即d₂＝max(d((i₂，2)，P₁))，i₂∈{1，2，4}，对应的行号1符合要求，由此确定第2个点P₂(1，2)，将第2个点存入样点集合P＝{P₁，P₂}。

第(3)步：对于第3列中的第3个点，因为已生成的点有{P₁，P₂}，已经占据行号为{3，1}，只能从余下的行号{2，4}里选择一个确定第3个点。找到余下的每行各方格位置与先前生成各个样点之间的距离最小值作为该方格的特征值，如图2所示，因为d((2，3)，P₂)＜d((2，3)，P₁)，则将d((2，3)，P₂)＝1.414作为方格(2，3)的特征值；d((4，3)，P₁)＜d((4，3)，P₂)，则将d((4，3)，P₁)＝2.236作为方格(4，3)的特征值。再取各余下方格特征值{1.414，2.236}的最大者即2.236所对应的行号4作为第3个点的行号，即P₃(4，3)，并将此点存入样点集合P＝{P₁，P₂，P₃}。

第(4)步：重复第(3)步，直到3个样点确定。此实例中采样点m＝4，故此步直接跳过。

第(5)步：对于第4列中的第4个点，行号只剩1个，故第4个点P₄(2，4)此时唯一确定。

基于ELHD方法在n维空间生成样本点。当维数n＝3时，采样点个数分别取m＝30，50，100，200，采样结果以及在二维平面内的投影如图7-图10所示；维数n＝4时，采样点个数m＝50，采样结果在三维空间中的投影及在二维平面内的投影结果如图11-图12所示；对于更高维空间，ELHD方法采取的样本点在二维平面内同样具有很好的投影均匀性。

采用经典的测试方法对采样结果进行测试，基于φ_p和C_L2标准的测试结果如表1所示。从表中可以看到，基于ELHD方法的采样结果对应的φ_p和C_L2值都比标准matlab的采样结果小，故ELHD方法采样点具有更好的空间均匀性的投影均匀性。

表1.ELHD与matlab maximin-LHD方法对比结果

(一)下面通过考察采样点构造工程设计中常用的几个重要代理模型的精度也说明ELHD方法的优越性。典型的测试函数如下：

Six-hump camel-back(SC)函数

y＝4x₁ ²-2.1x₁ ⁴+(1/3)x₁ ⁶+x₁x₂-4x₂ ²+4x₂ ⁴                     (1)

x_1，2∈[-2，2]

Brain function函数

y＝(x₂-5.1(x₁/2π)²+(5/π)x₁-6)²+10(1-(1/8π)cos(x₂)+10    (2)

x₁∈[-5，10]，x₂∈[0，15]

Peaks function函数

$y=3{(1-x_1)}^2{e}^{(-x_1^2-{(x_2+1)}^2)}-10(x_1/5-x_1^3-x_2^5)e^{({-x}_1^2-x_2^2)}-(1/3)e^{(-{(x_1+1)}^2-x_2^2)}---\left(3\right)$

x_1，2∈[-3，3]

Geometric container function(GC)函数

y＝0.2/x₁x₂x₃+4/x₁+3/x₃                                    (4)

x_1，2，3∈[0，5]

Colville-Himmelblau(CH)函数

$y=100{(x_2-x_1^2)}^2+{(1-x_1)}^2+90{(x_4-x_3^2)}^2+{(1-x_3)}^2---\left(5\right)$

$+10.1({(x_2-1)}^2+{(x_4-1)}^2)+19.8(x_2-1)(x_4-1)$

x_i∈[-10，10]，i＝1，2，3，4.

Hesse function(HE)函数

-y＝25(x₁-2)²+(x₂-2)²+(x₃-1)²+(x₄-4)²+(x₅-1)²+(x₆-4)²      (6)

x_i∈[0，10]，i＝1，2，…，6

采用常用的函数拟合精度标准RMSE，RAAE，R²和RMAE，对利用采样点构造以上函数代理模型精度进行测试，测试结果如表2所示。从表2中可以看出，ELHD方法构造代理模型精度RMSE，RAAE，RMAE结果较matlab maximin-LHD方法小，且ELHD方法构造代理模型精度的R²结果也较matlab maximin-LHD方法更接近于1，尤其对于高维问题(HE函数)，R²结果相比matlab提高了约65％，因此ELHD方法获得了更好的采样结果。

表2.ELHD与matlab LHD构造代理模型精度对比结果

本发明在上述测试标准和构造代理模型的具体测试表明，ELHD方法的采样效果较好，具有较好的空间均匀性和投影均匀性，整个过程无需优化，采样效率高，且不受采样点个数限制，具有很好的通用性。本方法支持N维空间的采样问题，为构造代理模型提供良好的计算试验设计，适合应用到任何工程设计等运算量巨大的优化领域，如含有大规模有限元分析的工程结构优化设计、含有高精度计算流体力学分析的气动优化设计等中；用本方法采集的设计点可以构造出各种工程设计的代理模型，尤其在解决复杂的现代工程优化设计中的高维问题时，本方法所采集的设计点构造代理模型的精度较好。在航空航天领域或相关工程优化设计领域都可以有较为广泛的应用。

(二)工程优化设计实例

以一个用于工程建筑中简化的结构桁架系统为例，如图13所示，说明拉丁超立方试验设计方法的应用。该工程设计问题的目标是在两种载荷工况(case1和case2)下，满足给定的横截面积和刚度约束条件，使系统的总结构质量最小，结构桁架系统中材料的的基本参数是：

杨氏模量为E＝7×10¹⁰Pa

密度为ρ＝2.7×10³kg/m³

三个杆的长度分别为

l₂＝0.25，

两种工况作用下的力载荷为

case1：F_x＝7.1187e5N，F_y＝-5.339e6N

case2：F_x＝-7.1187e5N，F_y＝-5.339e6N

根据设计参数，可将该工程优化问题数学描述为下式，即通过优化杆的横截面面积，保证两种工况(case1和case2)下4号节点的位移都小于2.0e-4米的同时，使整个桁架系统结构质量最小化。

min  mass＝(l₁*A₁+l₂*A₂+l₃*A₃)*ρ

s.t. case1 and case2：d_node4＜＝2.0e-4m

0.001≤A₁≤0.1，0.001≤A₂≤0.1，0.001≤A₃≤0.1

其中，mass为桁架系统的结构总质量，d_node4为4号节点的总位移，A₁，A₂，A₃分别为长度为l₁，l₂，l₃的杆横截面面积。

上述问题为一个结构有限元计算实例，属于非线性约束问题，该问题可以认为是一个大规模有限元模型计算的简化实例。现采用本发明对该问题所在的设计空间进行采样，然后利用采样结果进行构造代理模型，再用遗传算法对此代理模型进行寻优，将最优解代入到有限元模型中计算得到本次优化的最优解。同时选用matlab的maximin LHD方法进行采样，进行同样的寻优过程，比较两者的寻优结果。

建立该工程设计优化数学模型如式(7)所示。

min  mass＝(l₁*A₁+l₂*A₂+l₃*A₃)*ρ

s.t. d_node4＜＝2.0e-4m                      (7)

0.001≤A₁≤0.1，0.001≤A₂≤0.1，0.001≤A₃≤0.1

因为设计变量为3个，故n_v＝3。使用ELHD计算实验设计方法在初始设计空间A_1，2，3∈[0.001，0.1]内产生m＝(3+1)(3+2)/2＝10个样本点。

步骤1：建立设计变量为横截面积对应的3维设计空间的空间超体，预设第1个试验设计点。

从3维空间中选取10个样本点，首先构造一个10×10×10＝10³的空间超体；将此空间超体分为相邻的10个单位超体，从一端到另一端的空间顺序编为第1个，第2个，……，第10个，则每个单位超体中有10²个单位正方体。

若将10个试验设计点分别放入某一个单位超体中的某一个单位正方体内，且每一个单位超体只能放一个点，则使得获取的10个试验设计点更易满足投影均匀性原则。并且，为使得速度最快，设计按从一端到另一端的顺序进行。

在第1个单位超体中的任意一个单位正方体中随机设置第1个试验设计点为P₁(1，8，9)，其中，8表示第1个试验设计点在第1个单位超体中第2维的坐标值。将得到的P₁存入设计点集合P＝{P₁}。

步骤2：利用步骤1得到的第1个试验设计点P₁(1，8，9)，在第2个单位超体中确定第2个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，第2个试验设计点P₂的设计原则为：各维坐标值与第1个试验设计点P₁在相应各维上的坐标值均不相同。因此只能在除去已被P₁(1，8，9)占据的各维余下坐标值所对应的单位正方体中选取。找出满足上述各维坐标值均不相同条件的单位正方体与第1个点P₁之间的距离最大者，即d₁＝max(d(P₂，P₁))；将该点坐标(2，1，1)定为P₂所在位置。将P₂(2，1，1)存入设计点集合P＝{P₁，P₂}。

步骤3：利用步骤1和步骤2得到的第1个试验设计点P₁(1，8，9)和第2个试验设计点P₂(2，1，1)，在第3个单位超体中确定第3个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，设计第3个试验设计点P₃在第3个单位超体的除已被P₁(1，8，9)和P₂(2，1，1)占据的各维余下坐标值对应的单位正方体中选取。余下单位正方体中，同一个单位正方体分别与P₁、P₂距离中的较小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出当前单位超体即第3个单位超体中，余下单位正方体特征值中的最大值，将此最大值对应的空间坐标值确定为第3个试验设计点P₃(3，10，2)。将P₃存入设计点集合P＝{P₁，P₂，P₃}。

步骤4：对于第s个试验设计点(s＝4，5，…，9)，利用已得到的s-1个试验设计点，在第s个单位超体中确定第s个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，设计第s个试验设计点P_s在第s个单位超体的除已被P₁(1，8，9)，P₂(2，1，1)，

i＝1，…，n，占据的余下坐标值对应的单位正方体中选取。余下的单位正方体中，同一个单位正方体分别与前s-1个试验设计点距离中的最小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出当前单位超体即第s个单位超体中，各单位正方体特征值的最大值，将此最大值对应的空间坐标值确定为第s个试验设计点

将得到的P_s存入设计点集合P＝{P₁，P₂，P₃，…P_s-1，P_s}。

步骤5：重复步骤4，直到9个试验设计点被确定。此步骤的前9个试验设计点为P₁(1，8，9)，P₂(2，1，1)，P₃(3，10，2)，P₄(4，2，8)，P₅(5，5，3)，P₆(6，9，7)，P₇(7，6，10)，P₈(8，3，6)，P₉(9，7，4)。

步骤6，在完成步骤5后，第10个单位超体中满足各维坐标值均不相同条件的单位正方体只剩一个，故第10个试验设计点唯一确定，即P₁₀(10，4，5)。如表3所示。

至此，从设计变量为横截面积对应的3维空间提取10个试验设计点的目的达到。

将此10个采样点归一化后并映射到设计空间中，调用目标函数进行分析获取样本点处的10个样本点的真实响应值，利用此样本点和响应值构造径向基代理模型。本实施例选用的径向函数为高斯函数(Gaussian function)。采用遗传算法对代理模型进行全局优化，得到此次优化过程的全局近似最优点(0.0321，0.0923，0.0322)以及真实响应值mass为123.6704kg，对应两种工况下节点最大位移分别为2.0013e-4m和1.9979e-4m，即约束符合要求，有限元结构桁架系统的最小质量为123.6704kg。

同样用matlab的maximin LHD方法进行采样得到10个样本点，如表3所示。也同样调用目标函数进行分析获取样本点处的10个样本点的真实响应值，利用此样本点和响应值构造径向基代理模型。本实施例选用的径向函数为高斯函数(Gaussian function)。采用遗传算法对代理模型进行全局优化，得到此次优化过程的全局近似最优点(0.0443，0.0729，0.0444)以及真实响应值mass为133.8975kg，对应两种工况下节点最大位移分别为2.0016e-4m和1.9994e-4m，即约束符合要求，有限元结构桁架系统的最小质量为133.8975kg。

表3.ELHD采样点与matlab的maximin LHD采样点对比

样点号	ELHD采样点	ELHD采样点归一化	Matlab采样点
				1	(1，8，9)	(0.0000，0.7778，0.8889)	(0.6471，0.7708，0.7428)
2	(2，1，1)	(0.1111，0.1111，0.0000)	(0.5255，0.3940，0.5621)
				3	(3，10，2)	(0.2222，1.0000，0.1111)	(0.2836，0.6615，0.8390)
4	(4，2，8)	(0.3333，0.0000，1.0000)	(0.0572，0.4789，0.6049)

5	(5，5，3)	(0.4444，0.4444，0.4444)	(0.1461，0.1383，0.2427)
				6	(6，9，7)	(0.5556，0.8889，0.7778)	(0.9057，0.5659，0.3590)
7	(7，6，10)	(0.6667，0.2222，0.2222)	(0.4798，0.8888，0.4090)
				8	(8，3，6)	(0.7778，0.6667，0.3333)	(0.8446，0.2408，0.1648)
9	(9，7，4)	(0.8889，0.3333，0.6667)	(0.7980，0.0049，0.9698)
				10	(10，4，5)	(1.0000，0.5556，0.5556)	(0.3252，0.9957，0.0426)

表4.利用采样点构造代理模型进行优化结果对比

本发明在上述有限元结构桁架系统的具体测试对比结果如表4，对比表明ELHD采样方法能找到更小的结构质量最优值为123.6704kg，比matlab的maximin LHD采样方法更好，具有更好的空间均匀性和投影均匀性，通过构造代理模型，并对代理模型进行优化，优化结果表明ELHD采样方法得到的代理模型精度较好，优化过程中更有利于找到全局最优解。该采样方法适合应用到任何工程设计等运算量巨大的优化领域，如含有大规模有限元分析的工程结构优化设计、含有高精度计算流体力学分析的气动优化设计等中；用本方法采集的设计点可以构造出各种工程设计的代理模型，尤其在解决复杂的现代工程优化设计中的高维问题时，本方法所采集的设计点构造代理模型的精度较好。在航空航天领域或相关工程优化设计领域都可以有较为广泛的应用。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种适用于结构的拉丁超立方试验点提取及全局优化方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1，根据建筑工程结构设计的条件和目标，建立工程优化设计数学模型，确定n维设计空间中需要产生的试验点数量m，其中n为设计变量个数；

步骤2，根据步骤1得到的n维设计空间建立mⁿ的空间超体，并预设第1个试验点；

将n维空间构造成为一个mⁿ的空间超体；再将此空间超体分为相邻的m个单位超体，从一端到另一端的空间顺序编为第1个，第2个，……，第m个，则每个单位超体中有m^n-1个单位正方体；

在第1个单位超体中的任意一个单位正方体中随机生成第1个试验点i＝1，…，n，其中，

表示第1个试验点在第1个单位超体中第i维的坐标值；将得到的P₁存入试验点集合P＝{P₁}；

步骤3，利用步骤2得到的第1个试验点，在第2个单位超体中确定第2个试验点；

为了更好的满足投影均匀性，第2个试验点P₂的提取原则为：各维坐标值与第1个试验点P₁在相应各维上的坐标值均不相同；在除去已被

i＝1，…，n占据的各维余下坐标值所对应的单位正方体中选取；通过计算满足上述各维坐标值均不相同条件的单位正方体与第1个试验点P₁之间的距离，找出距离最大者；将该点坐标

定为P₂所在位置；将P₂存入试验点集合P＝{P₁，P₂}；

步骤4，利用步骤2和步骤3得到的第1个试验点和第2个试验点，在第3个单位超体中确定第3个试验点；

为了更好的满足投影均匀性，提取第3个试验点P₃在第3个单位超体的除已被

和

i＝1，…，n，占据的各维余下坐标值对应的单位正方体中选取；分别计算满足条件的第3个单位超体中余下单位正方体与P₁、P₂之间的距离，并将同一个单位正方体分别与P₁、P₂距离中的较小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出第3个单位超体中，各单位正方体特征值中的最大值，将此最大值对应的空间坐标值确定为第3个试验点

将P₃存入试验点集合P＝{P₁，P₂，P₃}；

步骤5，对于第s个试验点(s＝4，5，…，m-1)，利用已得到的s-1个试验点，在第s个单位超体中确定第s个试验点；

为了更好的满足投影均匀性，提取第s个试验点P_s在第s个单位超体的除已被

占据的余下坐标值对应的单位正方体中选取；分别计算余下的单位正方体与之前确定的s-1个试验点之间的距离，并将同一个单位正方体分别与前s-1个试验点距离中的最小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出当前单位超体即第s个单位超体中，各单位正方体特征值的最大值，将此最大值对应的空间坐标值确定为第s个试验点 将得到的P_s存入试验点集合P＝{P₁，P₂，P₃，…P_s-1，P_s}；

步骤6，重复步骤5，直到(m-1)个试验点被确定；

步骤7，在完成步骤6后，第m个单位超体中满足各维坐标值均不相同条件的单位正方体只剩一个，故第m个试验点唯一确定；

至此，m个试验点分别放入其中一个单位超体中的其中一个单位正方体内，且每一个单位超体只放一个点；

步骤8，将步骤1至步骤7得到的m个试验点映射到设计空间，调用目标函数进行分析获取试验点处的真实响应值，并构造径向基代理模型，进行全局优化，得到工程的设计目标。

2.根据权利要求1所述的一种适用于结构的拉丁超立方试验点提取及全局优化方法，其特征在于：试验点的提取按从空间超体一端到另一端的顺序进行。

3.根据权利要求1所述的一种适用于结构的拉丁超立方试验点提取及全局优化方法，其特征在于：适用于含有大规模有限元分析的结构优化设计。

4.根据权利要求1所述的一种适用于结构的拉丁超立方试验点提取及全局优化方法，其特征在于：适用于含有高精度流体力学分析的气动优化设计。

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