TWI691737B - 具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法 - Google Patents

Abstract

本發明涉及具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，包括構建非色散球面光學系統；在該非色散球面光學系統中的一個非色散球面上放置一色散器件，得到色散球面光學系統；將色散球面光學系統構建為色散自由曲面光學系統；以及將特徵光線與所述色散自由曲面光學系統中自由曲面的的交點定義為該自由曲面上的特徵數據點，保持每個自由曲面上的特徵數據點的坐標不變，按照物像關係重新計算特徵數據點的法向，然後用自由曲面上特徵數據點的坐標和重新計算得到的法向擬合得到新的自由曲面，得到最終的具有色散器件的自由曲面光學系統。

Description

具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法

本發明涉及光學設計領域，尤其涉及一種具有色散器件的光學系統的設計方法。

光譜技術在生物醫學、化學分析、地球遙感探測、宇宙探索等領域有著重要應用，其中的關鍵儀器是具有色散器件的光學系統。具有色散器件的光學系統具有更大的視場、更寬的光譜範圍、更高的解析度，能夠推動相關應用領域學科的發展，是人們長期以來所不懈追求的目標。

自由曲面是指無法用球面或非球面係數來表示的非傳統曲面，自由曲面是不具有對稱性的複雜面形的光學曲面。自由曲面光學涵括了具有至少一個自由曲面的光學系統的設計。近十幾年來，自由曲面光學的快速發展不但為光學系統的性能帶來了全方位的提升，而且還實現了許多以往難以設計、或者從來沒有過的光學系統，為光學設計領域帶來了革命性的突破。

然而，先前的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，一般是根據像差理論計算系統的初始解，或者對已有的系統進行多參數優化；自由曲面因為具有極高的自由度，加上已有的初始系統匱乏，而且帶有色散器件的光學系統在設計時需要考慮不同波長的光，導致先前的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法非常困難。

綜上所述，確有必要提供一種具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，該設計方法採用直接設計方法可以簡單、快速、高效地設計出具有色散器件的自由曲面光學系統。

一種具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其包括以下步驟： 步驟S1，以具有色散器件的自由曲面光學系統的狹縫為物，構建一個非色散球面光學系統； 步驟S2，在所述非色散球面光學系統中的一個非色散球面上放置一色散器件，進而得到一色散球面光學系統； 步驟S3，將步驟S2中的色散球面光學系統構建為一色散自由曲面光學系統；以及 步驟S4，將特徵光線與所述色散自由曲面光學系統中自由曲面的的交點定義為該自由曲面上的特徵數據點，採用迭代演算法，保持步驟S3中色散自由曲面光學系統中的每個自由曲面上的特徵數據點的坐標不變，按照物像關係重新計算特徵數據點的法向，然後用步驟S3中自由曲面上特徵數據點的坐標和重新計算得到的法向擬合得到新的自由曲面，進而得到最終的具有色散器件的自由曲面光學系統。

相較於先前技術，本發明提供的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法採用直接設計方法，能夠簡單、快速、高效地設計具有色散器件的自由曲面光學系統，而且採用該方法設計的具有色散器件的自由曲面光學系統能夠解決“視場-孔徑-波長”問題。

下面將結合附圖及具體實施例對本發明作進一步的詳細說明。

請參閱圖1，本發明提供一種具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，包括以下步驟：

步驟一，以具有色散器件的自由曲面光學系統的狹縫為物，構建一個非色散球面光學系統。

步驟一具體包括以下分步驟： S11：建立一初始系統並選取特徵光線，該初始系統包括複數個初始曲面，且該初始系統中的各個初始曲面與待設計的具有色散器件的自由曲面光學系統中的各個自由曲面一一對應，該初始系統的數值孔徑為NA₁ ； S12：假設所述非色散球面光學系統的數值孔徑為NA，NA₁ ＜NA，在NA₁ 到NA之間等間隔取n個值NA₂ ，NA₃ ， … ，NA_n ，間隔為ΔNA； S13：將非色散球面光學系統中的一個非色散球面定義為非色散球面a，計算非色散球面a的球面半徑； S14：將非色散球面光學系統中的另一個非色散球面定義為非色散球面b，保持所述非色散球面a以及非色散球面a對應的初始曲面之外的其它初始曲面不變，將數值孔徑增大ΔNA變為NA₂ ，增加特徵光線的數量，計算該非色散球面b的球面半徑；以此類推，直到獲得非色散球面光學系統中所有非色散球面的球面半徑；以及 S15：重複步驟S13和S14，循環計算非色散球面光學系統中每一個非色散球面的球面半徑，直到非色散球面光學系統的數值孔徑增加到NA。

步驟S11中，所述複數個初始曲面可以為平面、球面等。所述複數個初始曲面的具體位置根據待設計的的具有色散器件的光學系統的實際需要進行選擇。所述初始系統中初始曲面的數量根據實際需要進行設計。本實施例中，所述初始系統為一初始平面三反系統，該初始平面三反系統包括三個初始平面。

步驟S12中，優選的，所述NA1＜0.01NA。n的取值大於非色散球面光學系統中非色散球面的個數。步驟S13中，選取特徵光線的方法包括將視場的孔徑分成N等份，並從每一等份中選取不同孔徑位置的P條特徵光線，這樣一共選取了K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。所述孔徑可以為圓形、長方形、正方形、橢圓形或其他規則或不規則的形狀。優選的，所述視場孔徑為圓形孔徑，將每個視場的圓形孔徑等分成N個角度，間隔為φ，因此有N=2π/φ，沿著每個角度的半徑方向取P個不同的孔徑位置，那麼一共取K=M×N×P條對應不同視場不同孔徑位置的特徵光線。

將特徵光線與非色散球面的交點定義為該非色散球面上的特徵數據點，每個特徵數據點包括坐標和法向兩個資訊。當非色散球面光學系統理想成像時，每條特徵光線在經過整個非色散球面光學系統後最終與像面相交於理想像點處，理想像點的坐標由非色散球面光學系統的物像關係（焦距或放大率）確定。

所述計算非色散球面a的球面半徑包括以下步驟：根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述特徵光線與非色散球面a上的複數個交點，進而得到非色散球面a上的複數個特徵數據點；以及將該非色散球面a上的複數個特徵數據點進行曲面擬合，得到所述非色散球面a的方程式。

為了得到非色散球面a上的所有特徵數據點P_i (i=1,2…K)，將借助特徵光線R_i (i=1,2…K)與非色散球面a的前一個曲面及後一個曲面的交點。在求解每條特徵光線R_i (i=1,2…K)對應的非色散球面a上的特徵數據點P_i (i=1,2…K)時，將該特徵光線R_i 與前一個曲面的交點定義為該特徵光線的起點S_i ，特徵光線R_i 與後一個曲面的交點定義為該特徵光線的終點E_i 。當待設計的系統與特徵光線確定後，該特徵光線R_i 的起點S_i 是確定的，且易於通過光線追跡即物像關係得到，特徵光線的終點E_i 可通過物像關係求解。在理想狀態下，特徵光線R_i 從S_i 射出後，經過P_i ，交於E_i ，並最終交目標面於其理想目標點T_i,ideal 。

所述非色散球面a上特徵數據點P_i (i=1,2…K)可以通過以下計算方法獲得。 步驟a，取一第一條特徵光線R1與所述非色散球面a對應的初始曲面的第一交點為特徵數據點P₁ ； 步驟b，在得到第i(1≦i≦K−1)個特徵數據點P_i 後，根據斯涅爾定律的向量形式求解第i個特徵數據點P_i 處的單位法向量

，進而求得P_i 處的單位切向量

； 步驟c，僅過所述第i(1≦i≦K−1)個特徵數據點P_i 做一第一切平面並與其餘K−i條特徵光線相交，得到K−i個第二交點，從該K−i個第二交點中選取出與所述第i個特徵數據點P_i 距離最短的第二交點Q_i+1 ，並將其對應的特徵光線及與所述第i個特徵數據點P_i 的最短距離分別定義為R_i+1 和D； 步驟d，過特徵數據點P_i (1≦i≦K−1)之前已求得的i−1個第一特徵數據點分別做一第二切平面，得到i−1個第二切平面，該i−1個第二切平面與所述特徵光線R_i+1 相交得到i−1個第三交點，在每一第二切平面上每一第三交點與其所對應的特徵數據點P_i 形成一交點對，在所述交點對中，選出交點對中距離最短的一對，並將距離最短的交點對的第三交點和最短距離分別定義為Q_(i+1) '和D_i '； 步驟e，比較D_i 與D_i '，如果D_i ≦D_i '，則把Q_i+1 取為下一個特徵數據點P_i+1 ，反之，則把Q_(i+1) '取為下一個特徵數據點P_i+1 ；以及 步驟f，重複步驟b到e，直到計算得到非色散球面a上的所有特徵數據點P_i (i=1,2…K)。

步驟b中，每個特徵數據點Pi處的單位法向量

可以根據斯涅爾（Snell）定律的向量形式求解。當待求的自由曲面Ω為折射面時，則每個特徵數據點Pi (i=1,2…K)處的單位法向量

滿足：

， 其中，

、

分別是沿著特徵光線入射與出射方向的單位向量，n, n' 分別為非色散球面a前後兩種介質的折射率。

類似的，當非色散球面a為反射面時，則每個特徵數據點Pi (i=1,2…K)處的單位法向量

滿足：

由於，所述特徵數據點P_i (i=1,2…K)處的單位法向量

與所述特徵數據點P_i (i=1,2…K) 處的切平面垂直。故，可以得到特徵數據點P_i (i=1,2…K) 處的切平面。

所述將該非色散球面a上的複數個特徵數據點進行曲面擬合，得到所述非色散球面a的方程式採用最小二乘法來進行擬合。

所述特徵數據點的坐標為(x_i , y_i , z_i )，對應的法向量為(u_i , v_i , -1)。設非色散球面a的球心為(A, B, C)，球面半徑為r，非色散球面a的方程為：

(1)。

將球面的方程(1)分別對x和y進行求導得到x軸和y軸方向的法向向量u_i 和v_i 運算式。

(2)，

(3)。

將式(1)、(2)、(3)改寫成矩陣的形式，並進行矩陣的行列變換，分別對應得到通過坐標值和法向值求解圓心坐標的運算式(4)、(5)、(6)，

(4)，

(5)，

(6)。

球面上光線的偏折方向與其法向量（u,v,-1）密切相關，因此，在擬合過程中應該同時考慮特徵數據點坐標誤差和法向誤差的影響。根據以上分析，將坐標計算和法向計算進行線性加權來求解球心（A,B,C）和半徑r。

(7)，

(8)， 其中，

為法向計算的權重值。通過公式(7)可以求得非色散球面a的球心（A,B,C）的值，通過公式(8)可以求得非色散球面a的球面半徑r的值。

得到所述非色散球面a後，可進一步改變該非色散球面a的半徑得到非色散球面a'，進而改變該非色散球面a的光焦度，優選的，r_a ’=ε_a ×r_a ，ε_a =0.5～1.5，r_a 為非色散球面a的半徑，r_a ’為非色散球面a'的半徑。以此類推，所述非色散球面光學系統中的每個非色散球面求解之後，均改變該非色散球面的半徑得到一個新的非色散球面，進而改變該非色散球面的光焦度。

步驟S14中非色散球面b上複數個特徵數據點的求解方法與步驟S13中非色散球面a上複數個特徵數據點的求解方法相同，將非色散球面b上複數個特徵數據點進行曲面擬合的方法與步驟S13中將非色散球面a上複數個特徵數據點進行曲面擬合的方法也相同。

請參閱圖2，本實施例中，首先，在數值孔徑為NA₁ ，按照所述步驟S13中的計算方法得到三鏡的球面半徑；保持主鏡初始平面與三鏡的球面半徑不變，將數值孔徑增大ΔNA變為NA₂ ，按照所述步驟S13中的計算方法計算得到主鏡的球面半徑，保持三鏡的球面半徑與主鏡的球面半徑不變，按照所述步驟S13中的計算方法計算得到次鏡的球面半徑；重複上述步驟，在每一步中，按照三鏡-主鏡-次鏡的順序循環計算其中一個鏡面的球面半徑，同時非色散球面光學系統的數值孔徑以ΔNA為間距逐漸增大為NA₄ , NA₅ , ... 直到達到NA。

步驟二，在所述非色散球面光學系統的一個非色散球面上放置一色散器件，進而構建一色散球面光學系統，該色散球面光學系統中的色散球面與所述非色散球面光學系統中的球面的形狀相同。

請參閱圖3，本實施例中，所述色散器件為一光柵，該光柵設置於所述次鏡表面上且由光學表面與一系列平行平面的相交面定義。計算該光柵的柵距，即可得到初步滿足色散要求的色散球面光學系統。以光柵面上的一個點為起點，G為光柵面的法向量，N為光學表面的法向量，d是相鄰的光柵面之間的距離（柵距）。本實施例中，僅考慮G和d。

柵距d由光譜的規格和非色散球面光學系統的形狀決定。將次鏡與像面之間的焦距定義為f΄，中心視場的主光線在次鏡上的入射角定義為θ_i ，f΄和θ_i 可以通過光線追跡得到。光譜像高h_spec 可以通過公式h_spec =f΄·tan θ_w 以及 h_spec =2p·(λ₁ −λ₂ )/r_w 得到，其中，θ_w 是光譜頻寬角，r_w 是光譜解析度，p是圖元間距，λ₁ 和λ₂ 分別是光譜內的最大波長和最小波長。由此可以得到公式：

(9)。

對於中心視場的主光線，λ₁ 和λ₂ 滿足公式mλ₁ =d(sinθ_i −sinθ₁ )和mλ₂ =d(sinθ_i −sinθ₂ )，其中，θ₁ 和θ₂ 分別是在λ₁ 和λ₂ 處的衍射角，m是衍射級數。公式9中θ_w =|θ₁ −θ₂ |，將θ₁ 和θ₂ 的值代入即可得到柵距d。

本實施例中，通過計算光柵的柵距，可以得到初步滿足色散要求的成像光譜儀球面系統。

步驟三，將步驟二中的色散球面光學系統構建為一色散自由曲面光學系統。

所述色散自由曲面光學系統中每個自由曲面上的特徵數據點的計算方法與步驟二中所述非色散球面a上的特徵數據點的計算方法基本相同。

特徵光線經過色散器件發生色散後，各波長的特徵光線最終應該與像面相交於理想像點處，因此其傳播路徑不僅需要滿足費馬原理，而且還要滿足色散器件的衍射規律。

將自由曲面光學系統中放置所述色散器件的自由曲面定義為自由曲面I，與自由曲面I相鄰的前一個自由曲面定義為自由曲面II，與自由曲面I相鄰的後一個自由曲面定義為自由曲面III。在逐個計算自由曲面II上特徵數據點的坐標和法向的過程中，需要求解出自由曲面II上的特徵數據點的特徵光線的傳播方向，進而求解自由曲面II上的特徵數據點的法向。

請參閱圖4，設自由曲面II上的特徵數據點P₁ 的坐標為(x₁ , y₁ , z₁ )，下面計算該特徵數據點P₁ 的法向

，因而需要求解出離開P₁ 點的特徵光線的傳播方向。設P₁ 所對應的特徵光線和次鏡的交點為P₂ (x₁ , y₁ , z₁ )。經過光柵後特徵光線發生了色散，考慮N個不同波長λ₁ , λ_2, … , λ_w , … , λ_N 的光線，設該N個不同波長λ₁ , λ₂ , … , λ_w , … , λ_N 的光線和自由曲面III的交點分別為P_3w (x_3w , y_3w , z_3w )，在像面上的理想像點為T_w (x_tw , y_tw , z_tw )，其中w=1,2,…,N。

設介質折射率為1，則從P₁ 到T_w , w=1,2,…,N各波長光線的光程函數之和為：

(10)， 其中L₁ 、L_2w 和L_3w 分別表示P₁ P₂ 之間、P₂ P_3w 之間和P_3w T_w 之間的光程，即

(11)。

根據一般化的光柵的光線追跡方程和費馬原理，給出在帶有光柵的光路中，滿足衍射光柵色散規律的多波長特徵光線的光路追跡公式：

(12)， 其中g_x 和g_y 是生成光柵的切截面法向

的x 分量和y 分量，m 是光柵的衍射級次，L 由式子(10)和式子(11)給出。求解式子(12)即可得出特徵光線和自由曲面I的交點坐標(x ₂ ,y ₂ ,z ₂ )，從而得到P ₁ 點出射光線的方向向量，進而可以計算出該點的法向

。本實施例中，所述自由曲面I為次鏡，自由曲面II為主鏡，自由曲面III為三鏡。

對於其它色散器件如棱鏡、衍射光學器件等，只要給出其一般化的光線追跡方程，就能得到相應的類似於式子(12)的多波長特徵光線的光路追跡公式，從而可以用本方法計算相應的光學系統。

所述自由曲面I上特徵數據點的計算方法中第i個特徵數據點P_i 處的單位法向量

有複數個，因為特徵數據點的法向決定了發生色散後複數個波長的特徵光線的出射方向，所以需要計算一個最佳法向量，能夠同時使得各個波長的特徵光線最終分別射向其理想像點。

可以採用優化演算法求解所述最佳法向量，該優化方法包括以下步驟： 設已經求得了自由曲面I上的特徵數據點P₂ 的坐標，計算該特徵數據點P₂ 的法向

； 考慮波長為λ_w 的光線(w =1,2,…,N )，它們最終應該傳播到理想像點T_w 處，通過費馬原理可以分別單獨地計算出從色散器件到與每個波長的光線傳播方向的向量

； 根據衍射公式[U. W. Ludwig]，法向

應該滿足

（13） 設

和坐標系ℊ的x軸、y軸夾角分別為α、β，則

； 將

代入到式子(13)中並取平方和，得到關於α ,β 評價函數Γ 為

， 當光學系統完美成像時應該滿足Γ =0，用優化方法求解使Γ 最小化時α ,β 的值，即求得了最佳法向

的方向向量，從而完成了當前特徵數據點的坐標和法向的計算。

將色散自由曲面光學系統中的每個自由曲面上的特徵數據點進行曲面擬合得到自由曲面，進而得到所述色散自由曲面光學系統。

步驟四，採用一種迭代演算法，保持步驟三中色散自由曲面系統中的每個自由曲面上特徵數據點的坐標不變，只是按照物像關係重新計算特徵數據點的法向，然後用步驟三中自由曲面上特徵數據點的坐標和重新計算得到的法向擬合得到新的自由曲面，進而得到最終的具有色散器件的自由曲面光學系統。

使用具有色散器件的自由曲面光學系統中各視場、各孔徑、各波長的特徵光線與像面的實際交點和理想像點之間位置坐標的RMS（均方根）偏差σ_RMS 來衡量迭代的效果，

， 其中N是考慮的波長的總數，M是每個波長的不同視場不同孔徑的特徵光線的數量，σ_wk 是第w個波長第k根光線和像面的交點與它所對應的理想像點之間的距離。

迭代可以一直進行直到σ_RMS 達到要求或收斂於某一個值。迭代輸出的系統通常已經滿足設計要求，也具有較好的像質。

所述具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法可進一步包括對步驟四中得到的具有色散器件的自由曲面光學系統進行優化的步驟。具體地，將步驟四中得到的具有色散器件的自由曲面光學系統作為後續優化的初始系統。可以理解，該對步驟四中得到的具有色散器件的自由曲面光學系統進行優化的步驟並不是必須的，可以根據實際需要設計。

所述具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法中待求的自由曲面的求解順序不限，可以根據實際需要進行調換。

請參閱圖5，為所述具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法的設計流程。

本發明提供的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法從非色散系統拓展到了帶有色散器件的自由曲面光學系統，可以快速、高效地設計成像光譜儀或是帶有其它色散器件（如DOE，棱鏡等）的自由曲面光學系統。作為一種光學系統的直接設計方法，可以發揮逐點法一直以來的優勢，能夠快速、高效地設計新結構、高性能的光學系統，為像差分析、系統設計等其他應用提供良好的結構。而且，採用該方法設計的具有色散器件的自由曲面光學系統能夠解決“視場-孔徑-波長”問題，採用該方法設計的具有色散器件的自由曲面光學系統使所有視場、所有孔徑與所有波長的光線都能夠滿足各自的物像關係。

綜上所述，本發明確已符合發明專利之要件，遂依法提出專利申請。惟，以上所述者僅為本發明之較佳實施例，自不能以此限制本案之申請專利範圍。舉凡習知本案技藝之人士援依本發明之精神所作之等效修飾或變化，皆應涵蓋於以下申請專利範圍內。

無

圖1為本發明實施例提供的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法的流程圖。

圖2為本發明實施例提供的構建非色散球面光學系統的過程圖。

圖3為本發明提供的色散球面光學系統中次鏡放置光柵的示意圖。

圖4為本發明實施例提供的求解自由曲面II上的特徵數據點P₁ 的法向的示意圖。

圖5為本發明實施例提供的所述具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法的流程圖。

無

Claims (10)

1. 一種具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其包括以下步驟： 步驟S1，以具有色散器件的自由曲面光學系統的狹縫為物，構建一個非色散球面光學系統； 步驟S2，在所述非色散球面光學系統中的一個非色散球面上放置一色散器件，進而得到一色散球面光學系統； 步驟S3，將步驟S2中的色散球面光學系統構建為一色散自由曲面光學系統；以及 步驟S4，將特徵光線與所述色散自由曲面光學系統中自由曲面的的交點定義為該自由曲面上的特徵數據點，採用迭代演算法，保持步驟S3中色散自由曲面光學系統中的每個自由曲面上的特徵數據點的坐標不變，按照物像關係重新計算特徵數據點的法向，然後用步驟S3中自由曲面上特徵數據點的坐標和重新計算得到的法向擬合得到新的自由曲面，進而得到最終的具有色散器件的自由曲面光學系統。
2. 如請求項第1項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，步驟S1中所述構建一個非色散球面光學系統包括以下步驟： S11：建立一初始系統並選取特徵光線，該初始系統包括複數個初始曲面，且該初始系統中的各個初始曲面與待設計的具有色散器件的自由曲面光學系統中的各個自由曲面一一對應，該初始系統的數值孔徑為NA₁ ； S12：假設所述非色散球面光學系統的數值孔徑為NA，NA₁ ＜NA，在NA₁ 到NA之間等間隔取n個值NA₂ ，NA₃ ， … ，NA_n ，間隔為ΔNA； S13：將非色散球面光學系統中的一個非色散球面定義為非色散球面a，計算非色散球面a的球面半徑； S14：將非色散球面光學系統中的另一個非色散球面定義為非色散球面b，保持所述非色散球面a以及非色散球面a對應的初始曲面之外的其它初始曲面不變，將數值孔徑增大ΔNA變為NA₂ ，增加特徵光線的數量，計算該非色散球面b的球面半徑；以此類推，直到獲得非色散球面光學系統中所有非色散球面的球面半徑；以及 S15：重複步驟S13和S14，循環計算非色散球面光學系統中每一個非色散球面的球面半徑，直到非色散球面光學系統的數值孔徑增加到NA。
3. 如請求項第2項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，步驟S12中，所述NA₁ ＜0.01NA。
4. 如請求項第2項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，將特徵光線與非色散球面的交點定義為該非色散球面的特徵數據點，所述計算非色散球面a的球面半徑包括以下步驟：根據物像關係及斯涅爾定律逐點求解所述特徵光線與非色散球面a上的複數個交點，進而得到非色散球面a上的複數個特徵數據點；以及將該非色散球面a上的複數個特徵數據點進行曲面擬合，得到所述非色散球面a的方程式。
5. 如請求項第4項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，所述將該非色散球面a上的複數個特徵數據點進行曲面擬合包括以下步驟： 所述特徵數據點的坐標為(x_i , y_i , z_i )，對應的法向量為(u_i , v_i , -1)，設球心為(A, B, C)，半徑為r，球面的方程為：

   

   (1)； 將球面的方程(1)分別對x和y進行求導得到x軸和y軸方向的法向向量u_i 運算式（2）和v_i 運算式（3）：

   

   (2)，

   

   (3)； 將式(1)、式(2)、式(3)均改寫成矩陣的形式，並進行矩陣的行列變換，分別對應得到通過坐標值，x軸方向法向值以及y軸方向法向值求解圓心坐標的運算式(4)、(5)、(6)：

   

   (4)，

   

   (5)，

   

   (6)；以及 所述球心（A,B,C）的值以及球面半徑r的值分別通過式（7）和式（8）得到，

   

   (7)，

   

   (8)， 其中，

   

   為法向計算的權重值。
6. 如請求項第2項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，得到所述非色散球面a後，可進一步改變該非色散球面a的半徑得到非色散球面a'，進而改變該非色散球面a的光焦度，r _a’ =ε _a ×r _a ，ε _a =0.5～1.5，r _a 為非色散球面a的半徑，r _a’ 為非色散球面a'的半徑。
7. 如請求項第1項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，步驟S2中，所述色散器件為光柵，通過計算該光柵的柵距，可以得到所述色散球面光學系統。
8. 如請求項第1項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，所述色散器件為光柵，將所述色散自由曲面光學系統中放置所述光柵的自由曲面定義為自由曲面I，與自由曲面I相鄰的前一個自由曲面定義為自由曲面II；與自由曲面I相鄰的後一個自由曲面定義為自由曲面III，在逐個計算自由曲面II上特徵數據點的坐標和法向的過程中，求解自由曲面II上的特徵數據點的法向包括以下步驟： 設自由曲面II上的特徵數據點P₁ 的坐標為(x₁ , y₁ , z₁ )，設P₁ 所對應的特徵光線和自由曲面I的交點為P₂ (x₁ , y₁ , z₁ )，經過光柵後特徵光線發生了色散，得到N個不同波長λ₁ , λ₂ , … , λ_w , … , λ_N 的光線，設該N個不同波長λ₁ , λ₂ , … , λ_w , … , λ_N 的光線和自由曲面III的交點分別為P_3w (x_3w , y_3w , z_3w )，在像面的理想像點為Tw(x_tw , y_tw , z_tw )，其中w=1,2,…,N； 設介質折射率為1，則從P1到Tw, w=1,2,…,N各波長光線的光程函數之和為：

   

   (9)， 其中，L₁ 、L_2w 和L_3w 分別表示P₁ P₂ 之間、P₂ P_3w 之間和P_3w T_w 之間的光程，

   

   (10)， 根據光柵的光線追跡方程和費馬原理，得到滿足衍射光柵色散規律的多波長特徵光線的光路追跡公式：

   

   (11)， 其中，g_x 和g_y 是生成光柵的切截面法向

   

   的x分量和y分量，m是光柵的衍射級次，L由式子(9)和式子(10)給出，求解式子(11)得出特徵光線和自由曲面I的交點坐標(x₂ , y₂ , z₂ )，從而得到P₁ 點出射光線的方向向量，進而計算出該特徵數據點P₁ 的法向

   

   。
9. 如請求項第1項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，將所述色散自由曲面光學系統中放置所述色散器件的自由曲面定義為自由曲面I，在計算所述自由曲面I時，所述自由曲面I上特徵數據點Pi處的單位法向量

   

   有複數個，需要計算一個最佳法向量。
10. 如請求項第9項所述的具有色散器件的自由曲面光學系統的設計方法，其中，採用優化演算法求解所述最佳法向量，該優化方法包括以下步驟： 設已經求得自由曲面I上的特徵數據點P₂ 的坐標； 通過費馬原理分別單獨地計算出從色散器件到與每個波長的光線傳播方向的向量

    

    ，根據衍射公式，法向

    

    滿足

    

    （12）， 設

    

    和坐標系ℊ的x軸、y軸夾角分別為α、β，則

    

    ； 將

    

    代入到(12)中並取平方和，得到關於α, β評價函數Γ為

    

    ， 用優化方法求解使Γ最小化時α, β的值，即求得了最佳法向

    

    的方向向量。

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