KR20160095284A - 전자 빔 노광 방법 및 그를 포함하는 기판 제조 방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명은 전자 빔 노광 방법 및 그를 포함하는 기판 제조 방법을 개시한다. 그의 방법은, 기판에 형성될 타깃 패턴을 디자인하는 단계와, 상기 기판 상에 형성되는 포토레지스트에 제공될 빔들의 제 1 도즈 값들을 갖는 제 1 도즈 맵을 도출하는 단계와, 상기 빔들의 중첩에 의해 상기 제 1 도즈 값들보다 증감되는 제 2 도즈 값들을 갖는 제 2 도즈 맵을 도출하는 단계를 포함한다.

Description

전자 빔 노광 방법 및 그를 포함하는 기판 제조 방법{method for exposing a electron beam and substrate manufacturing method including the same}
본 발명은 기판 제조 방법에 관한 것으로 상세하게는 전자 빔 노광 방법 및 그를 포함하는 기판 제조 방법에 관한 것이다.
일반적으로, 반도체 소자는 박막 증착 공정, 포토리소그래피 공정, 및 식각 공정의 단위 공정에 의해 될 수 있다. 그 중에서 포토리소그래피 공정은 웨이퍼 상에 마스크 패턴을 형성하는 공정으로 반도체 소자의 제조 공정에서 가장 중요한 공정이다. 노광 공정은 I-line, G-line, KrF, ArF, 또는 EUV와 같은 노광 설비에 의해 수행되고 있다. 노광 설비는 포토 마스크를 가질 수 있다. 포토 마스크는 주로 전자 빔(electronbeam) 노광 방법에 의해 제조될 수 있다.
본 발명의 다른 과제는 최적화된 도즈 맵으로 노광하는 전자 빔 노광 방법 및 그를 포함하는 기판 제조 방법을 제공하는 데 있다.
본 발명은 전자 빔 노광 방법 및 그를 포함하는 기판 제조 방법을 개시한다. 그의 방법은 기판에 형성될 타깃 패턴을 디자인하는 단계: 상기 타깃 패턴을 형성하기 위해 상기 기판 상에 형성되는 포토레지스트에 제공될 빔들의 제 1 도즈 값들을 갖는 제 1 도즈 맵을 도출하는 단계; 및 상기 빔들의 중첩에 의해 상기 제 1 도즈 값들과 다른 제 2 도즈 값들을 갖는 제 2 도즈 맵을 도출하는 단계를 포함한다.
상술한 바와 같이, 본 발명의 실시 예들에 따른 노광 방법은 포토레지스트에 노출될 빔들의 제 1 도즈 값들을 갖는 제 1 도즈 맵을 도출하고, 상기 빔들의 중첩에 의해 상기 제 1 도즈 값들보다 증감되는 최적의 제 2 도즈 맵을 도출할 수 있다.
도 1은 본 발명의 실시 예에 따른 기판 제조 방법의 일 예를 나타내는 플로우 챠트이다.
도 2 내지 도 6은 도 1의 방법에 따른 공정 단면도들이다.
도 7은 도 6의 마스크 패턴에 대응되는 타깃 패턴을 보여주는 평면도이다.
도 8은 VSB 노광 방법을 설명하는 그래프이다
도 9는 도 8의 VSB 노광에서의 보정방법에 의해 변환된 타깃 패턴의 VSB 보정 노광 패턴을 보여주는 평면도이다.
도 10은 MBMW 노광 방법을 설명하는 그래프이다.
도 11 및 도 12는 도 7의 타깃 패턴을 MBMW 노광 방법의 전체 도즈 값으로 보정한 제 1 노광 패턴과 제 1 도즈 맵을 각각 보여주는 평면도들이다.
도 13 및 도 14는 도 11 및 도 12의 제 1 노광 패턴과 제 1 도즈 맵을 MBMW 노광 방법의 개별 도즈 값들로 보정한 제 2 노광 패턴과 제 2 도즈 맵을 각각 보여주는 평면도들이다.
도 15는 본 발명의 실시 예에 따른 노광 방법을 나타내는 플로우 챠트이다.
도 16은 1차원 코스트 함수에 의해 계산된 50m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴의 도즈 값 그래프이다.
도 17은 도 16의 제 2 노광 패턴의 도즈 값 그래프를 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지 그래프이다.
도 18은 1차원 코스트 함수에 의해 계산된 100m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴의 도즈 값 그래프이다.
도 19는 도 18의 제 2 노광 패턴의 도즈 값 그래프를 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지 그래프이다.
도 20은 1 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 150m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴의 도즈 값 그래프이다.
도 21은 도 20의 제 2 노광 패턴의 도즈 값 그래프를 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지 그래프이다.
도 22은 50nm X 50nm 면적의 타깃 패턴과, 2 차원 코스트 함수에 의해 계산된 제 2 노광 패턴을 나타내는 평면도이다.
도 23은 도 22의 제 2 노광 패턴을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지이다.
도 24는 60nm X 60nm 면적의 타깃 패턴과, 2 차원 코스트 함수에 의해 계산된 제 2 노광 패턴을 나타내는 평면도이다.
도 25는 도 24의 제 2 노광 패턴을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트(latent) 이미지이다.
도 26은 70nm X 70nm 면적의 타깃 패턴과, 2 차원 코스트 함수에 의해 계산된 제 2 노광 패턴을 나타내는 평면도이다.
도 27은 도 26의 제 2 노광 패턴을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트(latent) 이미지이다.
도 28은 80nm X 80nm 면적의 타깃 패턴과, 2 차원 코스트 함수에 의해 계산된 제 2 노광 패턴을 나타내는 평면도이다.
도 29는 도 28의 제 2 노광 패턴을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트(latent) 이미지이다.
도 30은 100nm X 100nm 면적의 타깃 패턴과, 2 차원 코스트 함수에 의해 계산된 제 2 노광 패턴을 나타내는 평면도이다.
도 31은 도 30의 제 2 노광 패턴을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트(latent) 이미지이다.
이하, 첨부된 도면들을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시 예를 상세히 설명하기로 한다. 본 발명의 이점 및 특징, 그리고 그것들을 달성하는 방법은 첨부되는 도면들과 함께 상세하게 후술되어 있는 실시 예를 참조하면 명확해질 것이다. 그러나 본 발명은 여기서 설명되는 실시 예에 한정되는 것이 아니라 서로 다른 형태로 구체화될 수도 있다. 오히려, 여기서 소개되는 실시 예는 개시된 내용이 철저하고 완전해질 수 있도록 그리고 당 업자에게 본 발명의 사상이 충분히 전달될 수 있도록 하기 위해 제공되는 것이며, 본 발명은 청구항의 범주에 의해 정의될 뿐이다. 명세서 전문에 걸쳐 동일 참조 부호는 동일 구성 요소를 지칭한다.
본 명세서에서 사용된 용어는 실시 예들을 설명하기 위한 것이며 본 발명을 제한하고자 하는 것은 아니다. 본 명세서에서, 단수형은 문구에서 특별히 언급하지 않는 한 복수형도 포함한다. 명세서에서 사용되는 포함한다(comprises) 및/또는 포함하는(comprising)은 언급된 구성요소, 단계, 동작 및/또는 소자는 하나 이상의 다른 구성요소, 단계, 동작 및/또는 소자의 존재 또는 추가를 배제하지 않는다. 또한, 명세서에서 기판, 층, 패턴, 맵, 도즈 값 등에 관계되는 일반적인 반도체 용어들로 이해될 수 있을 것이다. 바람직한 실시 예에 따른 것이기 때문에, 설명의 순서에 따라 제시되는 참조 부호는 그 순서에 반드시 한정되지는 않는다.
도 1은 본 발명의 실시 예에 따른 기판 제조 방법의 일 예를 보여준다. 도 2 내지 도 6은 도 1의 방법에 따른 공정 단면도들이다.
도 1 및 도 2를 참조하면, 기판(10)을 준비한다(S10). 예를 들어, 기판(10)은 투명 기판을 포함할 수 있다. 투명 기판은 글래스 또는 플라스틱을 포함할 수 있다. 마스크 층(12) 및 포토레지스트(14)가 기판(10) 상에 순차적으로 형성될 수 있다. 마스크 층(12)은 스퍼터링 또는 전기도금방법으로 형성된 크롬을 포함할 수 있다. 포토레지스트(14)는 스핀 코팅 방법으로 형성될 수 있다.
도 1 및 도 3을 참조하면, 포토레지스트(14)를 노광한다(S20). 포토레지스트(14)는 빔들(20)에 노출될 수 있다. 일 예에 따르면, 빔들(20)은 전자 빔(electron beam)을 포함할 수 있다. 빔들(20)은 전자 건들(22)로부터 제공될 수 있다.
도 1 및 도 4를 참조하면, 노광된 포토레지스트(14)를 현상하여(S30) 포토레지스트 패턴(15)을 형성한다. 포토레지스트 패턴(15)은 마스크 층(14)을 부분적으로 노출할 수 있다.
도 1 및 도 5를 참조하면, 포토레지스트 패턴(15)을 식각 마스크로 사용하여 마스크 패턴(13)을 형성한다(S40). 마스크 패턴(13)은 최소 선폭(13a)을 가질 수 있다.
도 1 및 도 6을 참조하면, 포토레지스트 패턴(15)을 제거한다(S50). 기판(10)은 기판 노광 장치(미도시)의 레티클로 사용될 수 있다. 기판 노광 장치는 스케너 또는 스텝퍼을 포함할 수 있다.
도 7은 도 6의 마스크 패턴(13)으로 형성하고자 하는 타깃 패턴(16)을 보여준다.
도 3 내지 도 7을 참조하면, 타깃 패턴(16)은 마스크 패턴(13)에 대응될 수 있다. 타깃 패턴(16)은 도 1 내지 도 6의 기판 제조 공정을 통해 제조하고자 하는 최종 패턴일 수 있다. 일반적으로 거시적인 선폭(macro-line width)을 갖는 마스크 패턴(13)은 타깃 패턴(16)과 유사한 모양으로 형성될 수 있다. 그러나, 미시적인 선폭(micro-line width)을 갖는 마스크 패턴(13)은 타깃 패턴(16)과 다르게 형성될 가능성을 가질 수 있다. 미시적인 선폭의 마스크 패턴(13)의 모양은 노광 공정 및 식각 공정의 작은 변수에도 쉽게 변할 수 있기 때문이다. 예를 들어, 타깃 패턴(16)은 대부분 미시적인 선폭을 가질 수 있다. 따라서, 타깃 패턴(16)은 공정 변수에 따라 마스크 패턴(13)과 다른 모양으로 노광 되고 있다. 따라서 노광된 패턴(미도시)과 디자인 타깃 패턴(16)과의 일치(fidelity) 향상을 위해 마스크 패턴(13)의 보정이 불가피하며 노광 방법에 따라 다른 보정 방법이 채택될 수 있다. 예를 들어, 타깃 패턴(16)은 VSB(Variable Shaped Beam) 노광 또는 MBMW(Multi-Beam Mask Writer) 노광에서의 보정 방법으로 보정될 수 있다.
도 8은 VSB 노광 방법을 설명하는 그래프이다. 여기서, 가로축은 nm의 거리이고, 세로 축은 일반화된 선량(dose: 이하 도즈라 칭함)를 나타낸다.
도 3, 도 7 및 도 8을 참조하면, VSB 노광에서의 보정 방법은 타깃 패턴(16) 내에서의 단위 거리마다 하나의 빔(20)이 제공되는 것으로 보정하는 방법일 수 있다. 단위 거리는 약 50 nm 이고, 단위 거리 내의 빔(20)의 개별 도즈 값(17a)은 1일 수 있다. 타깃 패턴(16) 내에서의 빔들(20)의 전체 도즈 값(17)은 1일 수 있다. 타깃 패턴(16) 바깥의 빔들(20)의 도즈 값는 0일 수 있다. 이와 달리, VSB 노광에서의 보정 방법은 도면(unit figure) 또는 단위 면적당 빔들(20)을 개별적으로 보정하는 방법일 수 있다. VSB 노광에서의 보정 방법은 실험적인 방법에 근거하여 타깃 패턴(16)을 보정하는 방법일 수 있다.
도 9는 도 8의 VSB 노광에서의 보정 방법에 의해 변환된 타깃 패턴의 VSB 보정 노광 패턴(18)을 보여준다.
도 7 및 도 9를 참조하면, 타깃 패턴(16)은 VSB 노광에서의 보정 방법에 의해 VSB 보정 노광 패턴(18)으로 보정될 수 있다. VSB 보정 노광 패턴(18)은 모서리 노광 포인트들(19)을 가질 수 있다. 모서리 노광 포인트들(19)은 VSB 보정 노광 패턴(18)의 모서리에 배치될 수 있다. 또한, VSB 보정 노광 패턴(18)의 가장자리는 상기 타깃 패턴(16)의 가장자리보다 넓을 수 있다. VSB 보정 노광 패턴(18) 내의 도즈 값은 1일 수 있고, VSB 보정 노광 패턴(18) 바깥의 도즈 값은 0일 수 있다. 그러나, VSB 보정 노광 패턴(18)은 도즈 값의 보정이 빔들(20)의 개별 단위 면적로 수행되기 때문에 섬세한 패턴으로 구현되기 쉽지 않을 수 있다.
도 10은 MBMW 노광 방법을 설명하는 그래프이다.
도 3 및 도 10을 참조하면, MBMW 노광에서의 보정 방법은 복수개의 빔들(20)이 다수의 도즈 값들로 제공되는 것으로 보정하는 방법일 수 있다. 복수개의 빔들(20)은 0.5보다 낮은 개별 도즈 값들(24)을 가질 수 있다. 복수개의 빔들(20)의 개별 도즈 값들(24)은 대부분 중첩될 수 있다. 즉, 빔들(20)은 중첩되어 포토레지스트(14)에 제공될 수 있다. 전체 도즈 값(26)은 개별 도즈 값들(24)보다 클 수 있다. 전체 도즈 값(26)은 1일 수 있다. MBMW 노광에서의 보정 방법은 도즈 값들의 입도(granularity)를 증가시킬 수 있다. 빔들(20)에 대해 수 천 개의 개별 도즈 값들(24)이 허용될 수 있다.
도 11 및 도 12는 도 7의 타깃 패턴(16)을 MBMW 노광에서의 보정 방법의 전체 도즈 값(26)으로 보정한 제 1 노광 패턴(30)과 제 1 도즈 맵(34)을 각각 보여준다.
도 7, 도 10 및 도 11을 참조하면, 타깃 패턴(16)은 MBMW 노광에서의 보정 방법에 의해 제 1 노광 패턴(30)으로 보정될 수 있다. 제 1 노광 패턴(30)은 라운드진 모서리(32)를 가질 수 있다. 제 1 노광 패턴(30)은 MBMW 노광에서의 보정 방법의 전체 도즈 값(26)을 가질 수 있다.
도 12를 참조하면, 제 1 노광 패턴(30)은 제 1 도즈 맵(34)으로 표시될 수 있다. 제 1 도즈 맵(34)은 1의 단위 셀들(36)과 0의 단위 셀들(38)을 가질 수 있다. 제 1 노광 패턴(30)은 1의 단위 셀들(36)을 포함할 수 있다. 1의 단위 셀들(36)은 제 1 노광 패턴(30)으로 배치될 수 있다. 이와 달리, 1의 단위 셀들(36)은 타깃 패턴(16)과 동일하게 배치될 수도 있다. 빔들(20)은 1의 단위 셀들(36)에 대하여 1의 도즈 값으로 제공될 수 있다. 여기서, 1의 도즈 값은 일반화된 도즈 값이다. 0의 단위 셀들(38)은 0의 도즈 값을 갖는 단위 셀들이다. 빔들(20)은 0의 단위 셀들(38)에 대하여 제공되지 않을 수 있다.
도 13 및 도 14는 도 11 및 도 12의 제 1 노광 패턴(30)과 제 1 도즈 맵(34)을 MBMW(Multi-Beam Mask Writer) 노광에서의 보정 방법의 개별 도즈 값들(24)로 보정한 제 2 노광 패턴(40)과 제 2 도즈 맵(44)을 각각 보여준다.
도 3, 도 7, 도 10 내지 도 13을 참조하면, 제 1 노광 패턴(30)은 MBMW 노광에서의 보정 방법에 의해 제 2 노광 패턴(40)으로 보정될 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 개별 도즈 값들(24)의 중첩에 의해 보정될 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 제 1 노광 패턴(30)에서의 1과 0의 도즈 값들보다 다양한 도즈 값들을 갖도록 보정될 수 있다. 예를 들어, 제 2 노광 패턴(40)은 복수개의 도즈 영역들(42)을 가질 수 있다. 도즈 영역들(42)은 제 1 내지 제 3 도즈 영역들(42a-42c)을 포함할 수 있다. 제 1 내지 제 3 도즈 영역들(42a-42c)은 제 2 노광 패턴(40)의 내부에서 외부까지 순차적으로 배치될 수 있다. 예를 들어, 제 1 도즈 영역(42a)은 제 2 및 제 3 도즈 영역들(42b, 42c) 내에 배치될 수 있다. 제 2 및 제 3 도즈 영역들(42b, 42c)은 제 1 도즈 영역(42a)보다 높은 도즈 값을 가질 수 있다. 제 2 도즈 영역(42b)은 제 3 도즈 영역(42c)의 내에 배치될 수 있다. 제 3 도즈 영역(42c)은 제 2 노광 패턴(40)의 최외곽에 배치될 수 있다. 제 3 도즈 영역(42c)은 제 2 도즈 영역(42b)보다 높은 도즈 값을 가질 수 있다. 본 발명은 이에 한정되지 않고 다양하게 실시 변경될 수 있다. 예를 들어, 도즈 영역들(42)은 제 1 내지 제 n 도즈 영역들(42a-42n)을 가질 수 있다.
도 3, 도 12 내지 도 14를 참조하면, 제 2 노광 패턴(40)은 제 2 도즈 맵(44)으로 표시될 수 있다. 예를 들어, 제 2 도즈 맵(44)은 0 내지 3의 단위 셀들(45-48)을 가질 수 있다. 1의 단위 셀들(46)은 2 및 3의 단위 셀들(47, 48)에 둘러싸일 수 있다. 2의 단위 셀들(47)은 1의 단위 셀들(46)과 3의 단위 셀들(48) 사이에 배치될 수 있다. 3의 단위 셀들(48)은 2의 단위 셀들(47)을 둘러쌀 수 있다. 0의 단위 셀들(45)은 3의 단위 셀들(48)의 바깥에 배치될 수 있다. 빔들(20)은 0 내지 3의 단위 셀들(45-48)에 대해 0 내지 3의 도즈 값으로 제공될 수 있다. 0 내지 3의 도즈 값은 서로 상대적인 비교 값일 수 있다. 제 2 도즈 맵(44)의 0 내지 3의 도즈 값은 제 1 도즈 맵(34)에서의 1 및 0의 도즈 값들과 다르거나 무관할 수 있다.
제 2 노광 패턴(40)은 1 내지 3 단위 셀들(46-48)을 포함할 수 있다. 제 1 도즈 영역(42a)은 1의 단위 셀들(46)을 가질 수 있다. 제 2 도즈 영역(42b)은 2의 단위 셀들(47)을 가질 수 있다. 제 3 도즈 영역(42c)은 3의 단위 셀들(48)을 가질 수 있다. 이와 달리, 제 2 도즈 맵(44)은 1 내지 0 사이에 128 레벨 내지 1024 레벨의 도즈 값을 갖는 단위 셀들을 포함할 수도 있다.
일 예에 따르면, 제 2 도즈 맵(44)은 제 1 도즈 맵(34)보다 낮은 도즈 값을 가질 수 있다. 제 2 도즈 맵(44)은 제 1 도즈 맵(34)보다 높은 입도(granularity)의 도즈 값들을 가질 수 있다. 또한, 제 2 도즈 맵(44)은 제 1 도즈 맵(34)보다 노광 공정의 소요 시간을 단축시킬 수 있다. 따라서, 제 2 도즈 맵(44)은 제 1 도즈 맵(34)보다 노광 공정의 생산성을 향상시킬 수 있다. 즉, 제 2 도즈 맵(44)은 제 1 도즈 맵(34)보다 공정 코스트를 감소시킬 수 있다.
한편, 제 2 노광 패턴(40)의 제 2 도즈 맵(44)은 타깃 패턴(16)의 인버전 함수에 의해 산출될 수 있다. 인버전 함수는 인버전 오퍼레이터에 대응될 수 있다. 인버전 오퍼레이터, 타깃 패턴(16), 및 제 2 도즈 맵(44)은 수학식 1과 같을 수 있다.
Figure pat00001
여기서, F-1은 인버전 오퍼레이터이고. T는 타깃 패턴(16)이고, D(x, y)는 제 2 도즈 맵(44)에 대응될 수 있다. 실질적으로 T는 타깃 패턴(16)의 단위 셀들(미도시)일 수 있다. F- 1(T)는 타깃 패턴(16)을 변수로 사용하는 인버전 오퍼레이팅 값일 수 있다. 상술한 바와 같이, 타깃 패턴(16)의 인버전 함수는 제 2 도즈 맵(44)으로 산출될 수 있다. 인버전 함수는 포워드 함수로부터 계산될 수 있다. 포워드 함수는 수학식 2에 근거하여 산출될 수 있다.
Figure pat00002
F는 포워드 오퍼레이터이고, D0(x, y)는 제 1 도즈 맵(34)에 대응되고, M은 마스크 패턴(13)에 대응될 수 있다. F(D0(x, y))는 제 1 도즈 맵(34)의 포워드 오퍼레이팅 값일 수 있다. 포워드 오퍼레이팅 값은 마스크 패턴(13)을 만드는 포토리소그래피 공정 변수들을 반영할 수 있다.
제 1 도즈 맵(34)은 코스트 함수에 의해 제 2 도즈 맵(40)으로 계산될 수 있다.
Figure pat00003
여기서, Ψinitial는= 초기의 코스트 함수(Ψ)일 수 있다. Ψ(D0(x, y))는 제 1 도즈 맵(34)의 코스트 함수(Ψ)일 수 있다. 초기의 코스트 함수(Ψinitial)는 제 1 도즈 맵(34)의 코스트 함수(Ψ(D0(x, y)))와 같을 수 있다. 제 1 도즈 맵(34)은 초기의 코스트 함수(Ψinitial)를 결정할 수 있다.
Ψminimized 는 최소화된 코스트 함수일 수 있다. Ψ(D(x, y))는 제 2 도즈 맵(44)의 코스트 함수(Ψ)일 수 있다.
Figure pat00004
는 코스트 함수(Ψ)와 제 2 도즈 맵(44)의 반복 계산(iteration)일 수 있다. 제 2 도즈 맵(44)의 코스트 함수(Ψ(D(x, y)))는 반복 계산에 의해 Ψminimized로 계산될 수 있다. 코스트 함수(Ψ)와 제 2 도즈 맵(44)은 그들의 계산반복(iteration)에 의해 도출될 수 있다. 코스트 함수(Ψ) 및 제 2 도즈 맵(44)의 계산 시에 허용된 도즈 값의 수는 단위 셀들의 크기, 노광 패스(exposure pass)의 수, 임계치수 정확도, 분해능(resolution)의 결정의 중요한 요소가 될 수 있다. 예를 들어, MBMW 노광을 위한 보정방법에서 허용된 도즈 값은 약 128 내지 약 1024개일 수 있다. 이때, 코스트 함수(Ψ)는 노광 설비의 종류 또는 공정 조건에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, 코스트 함수(Ψ)는 빔들(20)의 개수, 파워(power), 초점 심도(depth of focus), 스캔 속도, 및 스캔 횟수와 같은 노광 공정 변수에 의해 결정될 수 있다.
일 예에 따르면, 코스트 함수(Ψ)는 코스트 항과 구속 항들을 포함할 수 있다. 코스트 항은 최소화하고자 하는 비용 요소들을 반영할 수 있다. 구속 항들은 최적화되는 노광 공정의 요소들을 반영할 수 있다. 예를 들어, 구속 항들은 계수들과 구속 함수들의 곱으로 나타내어질 수 있다. 일 예에 따르면, 코스트 함수(Ψ)는 1차원과 2차원으로 계산될 수 있다.
먼저, 1차원의 코스트 함수(Ψ)는 수학식 4와 같을 수 있다.
Figure pat00005
여기서, χ2은 코스트 항일 수 있다. 예를 들어, 코스트 항(χ2)은 카이 제곱(χ2) 분포 함수를 포함할 수 있다. 코스트 항(χ2)은 제 1 노광 패턴(30) 및 제 2 노광 패턴(40)의 가장자리에서의 단위 셀들 사이 기울기 제곱의 역수를 합한 값(Σ(1/기울기)2)에 대응될 수 있다. 코스트 함수(Ψ)는 반복 계산될 때마다 제 2 노광 패턴(40)의 가장자리의 단위 셀들 사이의 도즈 값들의 차이는 증가될 수 있다.
λ1F1은 제 1 구속 항일 수 있다. 제 1 구속 항(λ1F1)은 고정된 입력 도즈 값일 수 있다. λ1은 제 1 라그랑주 계수일 수 있다. F1은 제 1 구속 함수일 수 있다. 제 1 구속 함수(F1)는 고정된 입력 도즈 값일 수 있다. 예를 들어, 제 1 구속 함수(F1)는 임의의 i번째의 제 2 도즈 맵(44, Di(x, y))에서의 전체 도즈 값에서 설정된 입력 도즈 값을 뺀 값(□dx·dy{Di(x, y)} - C)일 수 있다. □dx·dy{Di(x, y)}는 제 2 도즈 맵(44, Di(x, y))에서의 전체 도즈 값일 수 있다. 설정된 입력 도즈 값은 상수(C)일 수 있다. 제 1 구속 항(λ1F1)은 제 1 구속 함수(F1)를 만족하는 제 1 라그랑주 계수(λ1)에서 0이 될 수 있다. 제 1 구속 항(λ1F1)이 0일 때, 최소화된 코스트 함수(Ψminimized)는 도출될 수 있다.
λ2F2은 제 2 구속 항일 수 있다. 제 2 구속 항(λ2F2)은 최소 선폭(13a)에서의 최소 도즈 값을 만족할 수 있다. λ2는 제 2 라그랑주 계수(λ2)일 수 있다. λ2는 수 있다. F2는 최소 선폭(13a)에 요구되는 최소 도즈 값에 대한 함수일 수 있다. F2는 임의의 i번째의 제 2 도즈 맵(44, Di(x, y)에서 j번째 단위 셀과, 상기 j번째 단위 셀에 인접하는 단위 셀들의 평균 도즈 값에 문턱 값을 뺀 값의 제곱을 합한 값(Σ[(D(j)+D(j+1))/2-threshold value)]2 ) 일 수 있다. 문턱 값은 패턴의 현상(develop)에 필요한 최소 도즈 값일 수 있다. 예를 들어, 문턱 값은 0.5일 수 있다. 제 2 구속 항(λ 2F2)은 제 2 구속 함수(F2)를 만족하는 제 2 라그랑주 계수에서 0이 될 수 있다. 제 2 구속 항(λ 2F2)이 0일 때, 최소 코스트 함수(Ψminimized)는 도출될 수 있다.
따라서, 1차원의 제 2 도즈 맵(44)은 1차원의 최소화된 코스트 함수(Ψminimized)에 의해 계산될 수 있다.
다음, 2 차원의 코스트 함수(Ψ)는 수학식 5와 같을 수 있다.
Figure pat00006
여기서, χ2는 코스트 항일 수 있다. w1F1은 제 1 구속 항이고, w2F2는 제 2 구속 항이고, w3F3는 제 3 구속항일 수 있다.
제 1 구속 항(w1F1)은 최소화된 입력 도즈 값일 수 있다. w1은 제 1 가중치(weight)로서 약 1000 내지 3000일 수 있다. 제 1 가중치(w1)는 제 1 라그랑주 계수에 대응될 수 있다. F1은 임의의 i번째 제 2 도즈 맵(44, Di(x, y)에서의 전체 도즈 값(26)에서 설정된 전체 입력 도즈 값을 뺀 값 (Di(x, y)-C)일 수 있다. 제 1 구속 항(w1F1)은 제 1 구속 함수(F1)를 만족하는 제 1 가중치에서 0이 될 수 있다. 제 1 구속 항(w1F1)이 0일 때, 최소화된 코스트 함수(Ψminimized)는 도출될 수 있다.
제 2 구속 항(w2F2)은 최소 선폭(13a)에서의 최소 도즈 값을 만족할 수 있다. w2는 제 2 가중치로서 약 100 내지 500일 수 있다. 제 2 가중치(w2)는 제 2 라그랑주 계수에 대응될 수 있다. F2는 제 2 구속 함수일 수 있다. F2는 최소 선폭(13a)에 요구되는 최소 도즈 값의 함수일 수 있다. 제 2 구속 항(w 2F2)은 제 2 구속 함수(F2)를 만족하는 제 2 가중치(w2)에서 0이 될 수 있다. 제 2 구속 항(w2F2)이 0일 때, 최소 코스트 함수(Ψminimized)는 도출될 수 있다.
제 3 구속 항(w3F3)은 문턱 값 요구 조건을 만족할 수 있다. w3은 제 3 가중치일 수 있다. 제 3 가중치(w3)는 약 100 내지 500일 수 있다. F3은 제 3 구속 함수일 수 있다. 제 3 구속 함수(F3)는 i번째 제 2 도즈 맵(44, Di(x, y)) 내의 j 번째 단위 셀의 도즈 값에서 0.5+α를 빼고 제곱을 합한 값(Σ(D(j)-(0.5+α))2)일 수 있다. 제 3 구속 항(w3F3)은 제 3 구속 함수(F3)를 만족하는 제 3 가중치(w3)에서 0이 될 수 있다. 제 3 구속 항(w3F3)이 0일 때, 최소 코스트 함수(Ψminimized)는 도출될 수 있다.
따라서, 2 차원의 제 2 도즈 맵(D(x, y)은 2차원의 최소 코스트 함수(Ψminimized)를 통해 계산될 수 있다.
이와 같은 1 차원 및 2 차원의 코스트 함수(Ψ)를 이용하여 본 발명의 실시 예에 따른 노광 방법을 설명하면 다음과 같다. 여기서, 노광 방법은 노광 설비의 제어 부 또는 상기 제어 부에 연결된 서버에서 구현될 수 있다.
도 15는 본 발명의 실시 예에 따른 노광 방법을 보여준다.
도 1 내지 도 14 및 도 15를 참조하면, 먼저, 기판(10) 상에 형성될 타깃 패턴(16)을 디자인 한다(S210). 타깃 패턴(16)은 노광 설비의 레티클에 형성될 마스크 패턴(13)에 대응될 수 있다.
다음, 타깃 패턴(16)을 제 1 노광 패턴(30)으로 재 디자인 한다(S220). 일 예에 따르면, 제 1 노광 패턴(30)은 핫스팟 추출(hotspot extraction) 방법에 의해 타깃 패턴(16)으로부터 변환될 수 있다. 제 1 노광 패턴(30)은 타깃 패턴(16)의 가장자리 또는 모서리를 변환할 수 있다. 예를 들어, 타깃 패턴(16)의 모서리는 제 1 노광 패턴(30)의 라운드진 모서리(32)로 변환될 수 있다.
그 다음, 제 1 노광 패턴(30)을 제 2 노광 패턴(40)으로 변환하고자 하는 오브젝트 함수를 결정한다(S230). 일 예에 따르면, 오브젝트 함수는 코스트 함수일 수 있다. 상술한 바와 같이, 코스트 함수(Ψ)는 반복 계산에 의해 제 1 노광 패턴(30)을 제 2 노광 패턴(40)으로 변환하기 위한 함수일 수 있다.
그리고, 제 1 노광 패턴(30)을 갖는 제 1 도즈 맵(34)을 도출한다(S240). 제 1 도즈 맵(34)은 0의 단위 셀들(38)과 1의 단위 셀들(36)을 가질 수 있다. 1의 단위 셀들은 제 1 노광 패턴(30)일 수 있다. 이와 달리, 코스트 함수(Ψ)는 제 1 도즈 맵(34)의 도출 후에 결정될 수 있다.
이후, 코스트 함수(Ψ) 및 제 1 도즈 맵(34)으로부터 제 2 도즈 맵(44)을 계산한다(S250). 초기의 코스트 함수(Ψinitial)는 제 1 도즈 맵(34)이 될 수 있다.
다음, 제 2 도즈 맵(44)의 제 2 노광 패턴(40)이 마스크 패턴(13)으로 적절한지를 판단한다(S260). 제 2 도즈 맵(44)의 제 2 노광 패턴(40)이 마스크 패턴(13)으로 적절하지 않으면 제 2 도즈 맵(44)을 다시 계산한다. 제 2 도즈 맵(44)의 계산 단계(S250) 및 포토레지스트 패턴(15)의 적합 판단 단계(S260)는 초기의 코스트 함수(Ψinitial)로부터 최소화된 코스트 함수(Ψminimized)를 반복 계산하는 단계일 수 있다. 코스트 함수(Ψ)의 반복 계산에 의해 최소화되는 코스트 함수(Ψminimized)가 도출되면, 최적화된 제 2 노광 패턴(40)은 도출될 수 있다.
그 다음, 제 2 도즈 맵(44) 및 제 2 노광 패턴(40)이 계산되면, 제 2 노광 패턴(40)을 포토레지스트 패턴(15)에 대응하여 변환한다(S270). 예를 들어, 제 2 노광 패턴(40)은 포인트 스프레드 함수에 의해 컨블루션(convolution)될 수 있다. 포인트 스프레드 함수는 빔들(20)의 초점 심도를 정의하는 함수일 수 있다. 포인트 스프레드 함수는 포토레지스트 패턴(15)의 측벽 기울기를 결정할 수 있다. 포인트 스프레드 함수는 가우시안 함수를 포함할 수 있다.
마지막으로, 컨블루션된 제 2 노광 패턴(40)을 따라 빔들(20)을 포토레지스트(14)에 노출한다(S280).
도 16은 1차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 50nm 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(52)이다. 도 17은 도 16의 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(52)를 컨블루션하여 나타낸 레이턴트(latent) 이미지 그래프(53)이다.
도 16 및 도 17을 참조하면, 50m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(52)는 종모양을 가질 수 있다. 레이던트(latent) 이미지 그래프(53)는 도즈 값 그래프(52)의 컨블루션에 의해 도출될 수 있다. 레이던트 이미지 그래프(53)는 포토레지스트(14)에 저장되는 에너지에 대응될 수 있다. 레이던트(latent) 이미지 그래프(53)는 에너지가 수치화된 그래프일 수 있다. 레이던트 이미지 그래프(53)는 도즈 값 그래프(52)와 유사한 모양을 가질 수 있다. 레이던트 이미지 그래프(53)의 폭은 도즈 값 그래프(52)의 폭보다 클 수 있다. 레이던트 이미지 그래프(53)의 폭은 포토레지스트 패턴들(15) 사이의 거리에 대응될 수 있다. 문턱 값(51)에서의 레이던트 이미지 그래프(53)의 폭은 도즈 값 그래프(52)의 폭과 동일한 50nm일 수 있다. 문턱 값은 0.5일 수 있다.
도 18은 1차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 100m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(54)이다. 도 19는 도 18의 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(54)를 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지 그래프(55)이다.
도 18 및 도 19를 참조하면, 100m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(54)는 종모양을 가질 수 있다. 레이던트 이미지 그래프(55)의 폭은 도즈 값 그래프(54)의 폭보다 클 수 있다. 문턱 값(51)에서의 레이던트 이미지 그래프(55)의 폭은 도즈 값 그래프(54)의 폭과 동일한 100nm일 수 있다.
도 20은 1 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 150m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(56)이다. 도 21은 도 20의 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(56)를 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지 그래프((57)이다.
도 20 및 도 21를 참조하면, 150m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)의 도즈 값 그래프(56)는 M자 모양을 가질 수 있다. 150m 선폭의 1차원 제 2 노광 패턴(40)은 선폭의 중심보다 가장자리들에서 높은 도즈 값을 가질 수 있다. 레이던트 이미지 그래프(57)의 최대 폭은 도즈 값 그래프(56)의 최대 폭보다 클 수 있다. 문턱 값(51)에서의 레이던트 이미지 그래프(55)의 폭은 도즈 값 그래프(54)의 최대 폭과 동일한 150nm일 수 있다.
도 22은 50nm X 50nm 정사각형의 타깃 패턴(16)과, 2 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 제 2 노광 패턴(40)을 보여준다. 도 23은 도 22의 제 2 노광 패턴(40)을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트(latent) 이미지(62)를 보여준다.
도 22을 참조하면, 제 2 노광 패턴(40)은 50nm X 50nm 면적의 타깃 패턴(16)보다 작을 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 타깃 패턴(16) 내에 배치될 수 있다. 타깃 패턴(16)은 정사각형 모양을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 타깃 패턴(16)과 다른 모양을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 그의 중심에 대해 가로 방향(x방향)과 세로 방향(y방향)이 대칭적일 수 있다. 제 2 노광 패턴(16)의 모서리는 타깃 패턴(16)의 모서리보다 작은 면적을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 3의 단위 셀들(72)과, 1.3의 단위 셀들(74)을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(72)과, 1.3의 단위 셀들(74) 각각은 10nm X 10nm의 면적을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(72)은 3의 도즈 값을 가질 수 있다. 1.3 단위 셀들(74)은 1.3의 도즈 값을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(72)은 1.3의 단위 셀들(74) 보다 높은 도즈 값을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(72)은 노광 패턴(40)의 중앙에 배치될 수 있다. 1.3의 단위 셀들(74)은 노광 패턴(40)의 가장자리에 배치될 수 있다. 3의 단위 셀들(72)과, 1.3의 단위 셀들(74)은 가로 및 세로 방향에 대해 각각 A 모양의 도즈 값을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(72)과, 1.3의 단위 셀들(74)은 A 크로스 프로덕트 A(AⓧA)의 도즈 값들로 배치될 수 있다. 여기서 크로스 프로덕트는 각기 독립적인 두 차원에 의해 결정되는 분포함수를 각각의 차원에서의 단면에서의 분포 함수의 곱으로 표현하는 방식으로 정의한다(f(x,y) = g(x) ⓧ h(y)).
도 22 및 도 23을 참조하면, 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)의 전자 빔의 에너지 분포함수와의 컨블루션에 의해 도출될 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 포토레지스트(14)에 저장되는 에너지에 대응될 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)과 타깃 패턴(16)보다 클 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 A 크로스 프로덕트 A(AⓧA) 모양의 노광 프로파일을 가질 수 있다.
도 24는 60nm X 60nm 정사각형의 타깃 패턴(16)과, 2 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 제 2 노광 패턴(40)을 보여준다. 도 25는 도 24의 제 2 노광 패턴(40)을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지(62)를 보여준다.
도 24를 참조하면, 제 2 노광 패턴(40)은 60nm X 60nm 면적의 타깃 패턴(16)보다 작을 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 타깃 패턴(16)과 동일한 모양을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 정사각형 모양을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 3의 단위 셀들(76)과, 2.8의 단위 셀들(78)을 가질 수 있다. 2.8의 단위 셀들(78)은 제 2 노광 패턴(40)의 모서리에 배치될 수 있다. 3의 단위 셀들(76)는 제 2 노광 패턴(40)의 가로 및 세로 방향에 대해 대칭적으로 배치될 수 있다.
도 24 및 도 25를 참조하면, 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)의 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션에 의해 도출될 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)과 타깃 패턴(16)보다 클 수 있다.
도 26은 70nm X 70nm 정사각형의 타깃 패턴(16)과, 2 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 제 2 노광 패턴(40)을 보여준다. 도 27은 도 26의 제 2 노광 패턴(40)을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지(62)를 보여준다.
도 26을 참조하면, 제 2 노광 패턴(40)은 70nm X 70nm 면적의 타깃 패턴(16)보다 작을 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 타깃 패턴(16) 내에 배치될 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 내부가 빈 정사각형 모양을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 3의 단위 셀들(82)과, 2.8의 단위 셀들(84)을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(82)과, 2.8의 단위 셀들(84)은 노광 패턴(40)의 중앙에 존재하지 않을 수 있다. 3의 단위 셀들(82)은 제 2 노광 패턴(40)의 대각선 방향으로 배치될 수 있다. 2.8의 단위 셀들(84)은 제 2 노광 패턴(40)의 중심에서 가로 및 세로 방향으로 배치될 수 있다. 2.8의 단위 셀들(84)은 제 2 노광 패턴(40)의 가로 및 세로 방향에 대해 M자 모양으로 2.8의 도즈 값들을 가질 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 가로 및 세로 방향에 대해 M 크로스 프로덕트 M(MⓧM) 모양의 도즈 값들을 가질 수 있다.
도 26 및 도 27을 참조하면, 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)의 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션에 의해 도출될 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)과 타깃 패턴(16)보다 클 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 M 크로스 프로덕트 M(MⓧM)의 노광 프로파일을 가질 수 있다.
도 28은 80nm X 80nm 정사각형의 타깃 패턴(16)과, 2 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 제 2 노광 패턴(40)을 보여준다. 도 29는 도 28의 제 2 노광 패턴(40)을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지(62)를 보여준다.
도 28을 참조하면, 제 2 노광 패턴(40)은 80nm X 80nm 면적의 타깃 패턴(16)보다 작을 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 타깃 패턴(16) 내에 배치될 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 3의 단위 셀들(86)과, 07의 단위 셀들(88)을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(86)과, 0.7의 단위 셀들(88)은 노광 패턴(40)의 중앙에 존재하지 않을 수 있다. 3의 단위 셀들(82)은 내부가 빈 정사각형 모양으로 배치될 수 있다. 3의 단위 셀들(82)은 제 2 노광 패턴(40)의 중심에서 가로 및 세로 방향에 대해 M자 모양으로 3의 도즈 값들을 가질 수 있다. 0.7의 단위 셀들(88)은 제 2 노광 패턴(40)의 모서리에 배치될 수 있다.
도 28 및 도 29를 참조하면, 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)의 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션에 의해 도출될 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)과 타깃 패턴(16)보다 클 수 있다.
도 30은 100nm X 100nm 정사각형의 타깃 패턴(16)과, 2 차원 코스트 함수(Ψ)에 의해 계산된 제 2 노광 패턴(40)을 보여준다. 도 31은 도 30의 제 2 노광 패턴(40)을 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션하여 나타낸 레이던트 이미지(62)를 보여준다.
도 30을 참조하면, 제 2 노광 패턴(40)은 100nm X 100nm 면적의 타깃 패턴(16)보다 작을 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 타깃 패턴(16) 내에 배치될 수 있다. 제 2 노광 패턴(40)은 3의 단위 셀들(92)과, 1.2의 단위 셀들(94)을 가질 수 있다. 3의 단위 셀들(82)과, 1.2의 단위 셀들(84)은 노광 패턴(40)의 대각선 방향으로 이격하여 배치될 수 있다.
3의 단위 셀들(82)은 제 2 노광 패턴(40)의 대각선 방향으로 배치될 수 있다. 2.8의 단위 셀들(84)은 제 2 노광 패턴(40)의 중심에서 가로 및 세로 방향으로 배치될 수 있다. 2.8의 단위 셀들(84)은 제 2 노광 패턴(40)의 가로 및 세로 방향에 대해 M자 모양으로 2.8의 도즈 값들을 가질 수 있다.
도 30 및 도 31을 참조하면, 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)의 전자 빔의 에너지 분포함수와 컨블루션에 의해 도출될 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 제 2 노광 패턴(40)과 타깃 패턴(16)보다 클 수 있다. 레이던트 이미지(62)는 U 크로스 프로덕트 U(UⓧU)의 노광 프로파일을 가질 수 있다.
이상, 첨부된 도면들을 참조하여 본 발명의 실시 예들을 예를 설명하였지만, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자는 본 발명이 그 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 실시될 수 있다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시 예들 및 응용 예에는 모든 면에서 예시적인 것이며 한정적이 아닌 것으로 이해해야만 한다.

Claims (10)

  1. 기판에 형성될 타깃 패턴을 디자인하는 단계:
    상기 타깃 패턴을 형성하기 위해 상기 기판 상에 형성되는 포토레지스트에 제공될 빔들의 제 1 도즈 값들을 갖는 제 1 도즈 맵을 도출하는 단계; 및
    상기 빔들의 중첩에 의해 상기 제 1 도즈 값들과 다른 제 2 도즈 값들을 갖는 제 2 도즈 맵을 도출하는 단계를 포함하는 노광 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 타깃 패턴을 상기 포토레지스트의 제 1 노광 패턴으로 재 디자인하는 단계를 더 포함하되,
    상기 제 1 도즈 값들은 상기 제 1 노광 패턴의 단위 셀들에 대응되는 노광 방법.
  3. 제 2 항에 있어서,
    상기 제 1 도즈 맵의 도출 전 또는 후에 코스트 함수를 결정하는 단계를 더 포함하되,
    상기 코스트 함수는 상기 제 1 도즈 맵과 상기 제 2 도즈 맵의 반복 계산에 의해 최소화된 코스트 함수로 계산되되,
    상기 제 2 도즈 맵은 상기 최소화된 코스트 함수에 의해 계산되는 노광 방법.
  4. 제 3 항에 있어서,
    상기 코스트 함수는:
    상기 제 1 노광 패턴의 가장자리에서의 상기 제 2 도즈 값들을 최소화하는 코스트 항; 및
    상기 제 1 노광 패턴에 대한 입력 도즈 값들 및 상기 제 1 노광 패턴의 최소 선폭에 제공되는 최소 도즈 값들을 제공하는 구속 항을 포함하는 노광 방법.
  5. 제 4 항에 있어서,
    상기 코스트 항은 카시 스퀘어 분포 함수를 포함하되,
    상기 카이 스퀘어 분포 함수는 상기 제 1 노광 패턴의 가장자리의 단위 셀들에 대응하는 상기 제 1 도즈 값들의 차의 기울기의 역수를 제곱하여 더하여 계산되는 노광 방법.
  6. 제 4 항에 있어서,
    상기 구속 항은 라그랑주 계수과 구속 함수의 곱을 포함하되,
    상기 코스트 함수는 상기 라그랑주 계수와 상기 구속 함수의 곱이 0일 때 최소화되는 노광 방법.
  7. 제 4 항에 있어서,
    상기 코스트 함수는 1 차원 코스트 함수와 2 차원 코스트 함수를 포함하되,
    상기 1 차원 코스트 함수의 상기 구속 항은:
    상기 제 1 노광 패턴에 제공될 고정된 입력 도즈 값을 포함하는 제 1 구속 항; 및
    상기 최소 선폭에서의 상기 최소 도즈 값에 대응되는 상기 제 2 도즈 값들로 제공하는 제 2 구속 항을 포함하는 노광 방법.
  8. 제 7 항에 있어서,
    상기 2 차원 코스트 함수의 상기 구속 항은:
    상기 제 1 구속 항;
    상기 제 2 구속 항; 및
    상기 포토레지스트를 노광시킬 문턱 도즈 값의 요구 조건을 만족하는 제 3 구속 항을 포함하는 노광 방법.
  9. 제 1 항에 있어서,
    상기 제 2 도즈 맵은 상기 제 2 도즈 값들에 대응되는 단위 셀들을 갖는 제 2 노광 패턴을 포함하고,
    상기 타깃 패턴이 50nm 선폭의 1차원 패턴일 때, 1 차원의 상기 제 2 노광 패턴은 상기 선폭 방향으로 종 모양의 상기 도즈 값들을 갖는 노광 방법.
  10. 제 1 항에 있어서,
    상기 제 2 도즈 맵은 상기 제 2 도즈 값들에 대응되는 단위 셀들을 갖는 제 2 노광 패턴을 포함하고,
    상기 타깃 패턴이 150nm 선폭의 1차원 패턴일 때, 1 차원의 상기 제 2 노광 패턴은 상기 선폭 방향으로 M자 모양의 도즈 값을 갖는 노광 방법.
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