KR101777678B1

KR101777678B1 - 실리콘 단결정의 육성 방법

Info

Publication number: KR101777678B1
Application number: KR1020167017750A
Authority: KR
Inventors: 료타 스에와카
Original assignee: 가부시키가이샤 사무코
Priority date: 2013-12-05
Filing date: 2014-11-14
Publication date: 2017-09-12
Also published as: CN105765114A; CN105765114B; TWI568897B; JP2015107898A; DE112014005529B4; JP6044530B2; WO2015083327A1; TW201536967A; DE112014005529T5; KR20160095040A

Abstract

육성중의 단결정을 위요하는 수냉체를 배치함과 함께, 이 수냉체의 외주면 및 하단면을 포위하는 열차폐체를 배치한 단결정 육성 장치를 이용하여 반경이 Rmax(mm)인 단결정의 육성시에, 단결정의 고액 계면 근방에서, 단결정의 중심으로부터 반경 R(mm)의 위치에 있어서의 실제의 인상축 방향의 온도 구배를 G_real(R), 최적 온도 구배를 G_ideal(R)로 했을 경우, 0<R<R_max－35(mm)의 범위에서, 하기 (A) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행하는, 실리콘 단결정의 육성 방법.
|G_real(R)－G_ideal(R)|/G_real(R)<0.08　…(A)　
(A) 식 중, G_ideal(R)＝[(0.1789＋0.0012×σ_mean(0))/(0.1789＋0.0012×σ_mean(x))]×G_real(0)이고, 이 식 중,x＝R/R_max이고,σ_mean(x)는 단결정의 중심으로부터 반경R의 위치에 있어서의 평균 응력이다. 이 육성 방법에 의해, 대경 무결함 결정을 정밀도 좋게 육성할 수 있다.

Description

실리콘 단결정의 육성 방법{METHOD FOR GROWING SILICON SINGLE CRYSTAL}

본 발명은, 초크랄스키법(이하, 「CZ법」이라고 함)에 의한 실리콘 단결정의 육성 방법에 관하여, 특히, OSF(Oxidation Induced Stacking Fault：산화 유기 적층 결함)나, COP(Crystal Originated Particle) 등의 적외선 산란체 결함이나, LD(Interstitial－type Large Dislocation) 등의 전위 클러스터라고 하는 점 결함이 발생하지 않는 무결함 결정을 육성하는 방법에 관한 것이다.

단결정 육성 장치를 이용한 CZ법에서는, 감압하의 불활성 가스 분위기에 유지된 챔버 내에 있어서, 석영 도가니에 저장된 실리콘의 원료 융액에 종 결정을 침지하고, 침지한 종 결정을 서서히 인상한다. 이에 따라, 종 결정의 하단에 연이어 실리콘 단결정이 육성된다.

도 1은, 보론코브 이론에 기초하여 각종의 결함이 발생하는 상황을 설명하는 모식도이다. 동일한 도면에 나타내는 바와 같이, 보론코브 이론에서는, 인상 속도를 V(mm/min)로 하고, 도가니 내의 원료 융액과 잉곳(실리콘 단결정)과의 고액(固液) 계면 근방에 있어서의 인상축 방향의 온도 구배를 G(℃／mm)로 했을 때, 그들의 비인 V/G를 횡축으로 하고, 공공형 점 결함의 농도와 격자간 실리콘형 점 결함의 농도를 동일한 종축에 있어서, V/G와 점 결함 농도의 관계를 모식적으로 표현하고 있다. 그리고, 공공형 점 결함(空孔型点缺陷)의 발생하는 영역과 격자간 실리콘형 점 결함의 발생하는 영역의 경계가 존재하고, 그 경계가 V/G에 의해 결정되는 것을 설명하고 있다.

공공형 점 결함은, 결정 격자를 구성해야 할 실리콘 원자가 결여된 공공을 근원으로 하는 것이고, 이 공공형 점 결함의 응집체의 대표격이 COP이다. 격자간 실리콘형 점 결함은, 결정 격자 사이에 실리콘 원자가 인입한 격자간 실리콘을 근원으로 하는 것이고, 이 격자간 실리콘형 점 결함의 응집체의 대표격이 LD이다.

도 1에 나타내는 바와 같이, V/G가 임계점을 상회하면, 공공형 점 결함 농도가 우세한 단결정이 육성된다. 그 반면, V/G가 임계점을 하회하면, 격자간 실리콘형 점 결함 농도가 우세한 단결정이 육성된다. 이 때문에, V/G가 임계점보다 작은 (V/G)₁을 하회하는 범위에서는, 단결정 내에서 격자간 실리콘형 점 결함이 지배적이고, 격자간 실리콘 점 결함의 응집체가 존재하는 영역 [I]가 출현하여, LD가 발생한다. V/G가 임계점보다 큰 (V/G)₂를 상회하는 범위에서는, 단결정 내에서 공공형 점 결함이 지배적이고, 공공형 점 결함의 응집체가 존재하는 영역 [V]가 출현하여, COP가 발생한다.

V/G가 (V/G)₁∼(V/G)₂의 범위에서는, 단결정 내에서 공공형 점 결함 및 격자간 실리콘형 점 결함의 어느것도 응집체로서는 존재하지 않는 무결함 영역 [P]가 출현하고, OSF를 포함해 COP 및 LD의 어느 결함도 발생하지 않는다. 무결함 영역 [P]에 인접하는 영역 [V] (V/G가 (V/G)₂∼(V/G)₃의 범위)에는, OSF핵을 형성하는 OSF 영역이 존재한다.

또한, 무결함 영역 [P]는, OSF 영역에 인접하는 영역 [P_V]와 영역 [I]에 인접하는 영역 [P_I]로 구분된다. 즉, 무결함 영역 [P] 중, V/G가 임계점∼(V/G)₂의 범위에서는, 응집체가 되지 않는 공공형 점 결함이 우세하게 존재하는 영역 [P_V]가 출현하고, V/G가 (V/G)₁∼임계점의 범위에서는, 응집체가 되지 않는 격자간 실리콘 점 결함이 우세하게 존재하는 영역 [P_I]이 출현한다.

도 2는, 단결정 육성시의 인상 속도와 결함 분포와의 관계를 나타내는 모식도이다. 동일한 도면에 나타내는 결함 분포는, 인상 속도 V를 서서히 저하시키면서 실리콘 단결정을 육성하고, 육성한 단결정을 중심축(인상축)을 따라서 절단 하여 판상 시편으로 하고, 그 표면에 Cu를 부착시키고, 열처리를 시행한 후, 그 판상 시편을 X선 토포그래피법에 의해 관찰한 결과를 나타내고 있다.

도 2에 나타내는 바와 같이, 인상 속도를 고속으로 하고 육성을 행했을 경우, 단결정의 인상축 방향과 직교 하는 면 내 전역에 걸쳐, 공공형 점 결함의 응집체 (COP)가 존재하는 영역 [V]가 발생한다. 인상 속도를 저하시켜 가면, 단결정의 외주부로부터 OSF 영역이 링 형상에 출현한다. 이 OSF 영역은, 인상 속도의 저하에 수반하여 그 지름이 점차 축소하고, 인상 속도가 V₁이 되면 소멸한다. 이에 수반하여, OSF 영역에 대신하여 무결함 영역 [P] (영역 [P_V])가 출현하고, 단결정의 면내 전역(全域)이 무결함 영역 [P]로 점유된다. 그리고, 인상 속도가 V₂까지 저하하면, 격자간 실리콘형 점 결함의 응집체(LD)가 존재하는 영역 [I]가 출현하고, 결국에는 무결함 영역 [P](영역 [P_I])에 대신하여 단결정의 면내 전역이 영역 [I]로 점유된다.

최근, 반도체 디바이스의 미세화의 발전에 의해, 실리콘 웨이퍼에 요구되는 품질이 더욱더 높아지고 있다. 또한, 수율 향상을 위해, 실리콘 웨이퍼의 대경화에 대한 요구도 더욱더 높아지고 있다. 이 때문에, 실리콘 웨이퍼의 소재인 실리콘 단결정의 제조에 있어서는, OSF나 COP나 LD등의 각종의 점 결함을 배제하고, 면 내 전역에 걸쳐서 무결함 영역 [P]가 분포하는, 대경 무결함 결정을 육성하는 기술이 강하게 요망되고 있다.

이 요구에 응하기 위해서는, 실리콘 단결정을 인상할 때, 상기 도 1 및 도 2에 나타내는 바와 같이, 핫 존 내에서 V/G가, 면 내 전역에 걸쳐, 격자간 실리콘형 점 결함의 응집체가 발생하지 않는 제1 임계점 (V/G)₁ 이상이고, 공공형 점 결함의 응집체가 발생하지 않는 제2 임계점 (V/G)₂ 이하로 확보되도록 관리를 행할 필요가 있다. 실제 조업에서는, 인상 속도의 목표를 V₁와 V₂의 사이(예를 들면 양자의 중앙값)로 설정하고, 가령 육성 중에 인상 속도를 변경했다고 해도 V₁∼V₂의 범위에 들어가도록 관리한다.

또한, 고액 계면 근방에 있어서의 인상축 방향의 온도 구배 G는, 고액 계면 근방의 핫 존의 치수에 의존하는 점 때문에, 단결정 육성에 앞서, 미리 그 핫 존을 적정하게 설계해 둔다. 일반적으로, 핫 존은, 육성 중의 단결정을 위요(圍繞)하도록 배치된 수냉체(水冷體)와 이 수냉체의 외주면 및 하단면을 포위하도록 배치된 열차폐체로 구성된다. 여기에서, 핫 존을 설계하는데 있어서의 관리 지표로서는, 단결정의 중심부의 인상축 방향의 온도 구배 G_c와, 단결정의 외주부의 인상축 방향의 온도 구배 G_e가 이용된다. 그리고, 무결함 결정을 육성하기 위해서, 예를 들면 특허문헌 1에 개시된 기술에서는, 단결정 중심부의 온도 구배 G_c와 단결정 외주부의 온도 구배 G_e와의 차ΔG(＝G_e－G_c)가 0.5℃／mm 이내가 되도록 하고 있다.

그런데, 최근, 무결함 결정의 육성에서 목표로 해야 할 V/G가, 단결정 육성시에 단결정 중에 작용하는 응력에 의해 변동하는 것을 알 수 있게 되었다. 이 때문에, 상기 특허문헌 1에 개시된 기술에서는, 그 응력의 효과를 전혀 고려하고 있지 않다는 점에서, 완전한 무결함 결정을 얻을 수 없는 상황이 적잖이 일어난다.

이 점, 예를 들면 특허문헌 2에는, 직경이 300mm 이상의 단결정을 육성의 대상으로 하고, 단결정 중의 응력의 효과를 고려하여, 단결정 중심부의 인상축 방향의 온도 구배 G_c와 단결정 외주부의 인상축 방향의 온도 구배 G_e와의 비(이하, 「온도 구배비」라고 함) G_c/G_e를 1.8보다 크게 하는 기술이 개시되어 있다. 그러나, 특허문헌 2에 개시되는 기술에서는, 단결정 중의 응력의 효과를 고려하고 있다고 말하고 있지만, 반드시 완전한 무결함 결정이 얻어진다고는 할 수 없다. 이것은, 단결정 중의 인상축 방향과 직교 하는 면 내의 응력 분포가 영향을 주고 있다고 생각할 수 있다.

특허문헌 1 : (일본공개특허공보 11－79889호) 특허문헌 2 : (일본특허공보 4819833호)

본 발명은, 상기의 문제를 감안하여 이루어진 것으로써, 단결정 육성시에 단결정 중에 작용하는 응력의 면 내 분포를 고려하고, 대경의 것도 포함하여, 무결함 결정을 정밀도 좋게 육성할 수 있는 실리콘 단결정의 육성 방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.

본 발명자들은, 상기 목적을 달성하기 위하여, 단결정 육성시에 단결정 중에 작용하는 응력에 주목하고, 이 응력을 가미한 수치 해석을 행하여 예의 검토를 거듭했다. 그 결과, 하기 지견을 얻었다.

도 3은, 단결정 중에 작용하는 응력σ_mean와 임계 V/G의 관계를 나타내는 도면이다. 핫 존의 조건을 여러 가지 변경한 종합 전열 해석에 의해, 임계 V/G와 평균 응력σ_mean과의 관계를 조사한 결과, 도 3에 나타내는 바와 같이, (임계 V/G)＝0.1789＋0.0012×σ_mean인 것이 발견되었다.

단결정의 인상축 방향과 직교 하는 면 내의 응력 분포에는 규칙성이 있어, 단결정 중심부의 응력을 정하면, 그 면내의 응력 분포는, 단결정의 중심으로부터 반경 방향의 거리 R의 함수로서 나타낼 수 있다. 또한, 단결정 중심부의 응력을 정함과 함께, 단결정을 포위하는 열차폐체의 하단과 석영 도가니 내의 원료 융액의 액면과의 극간의 크기를 정하면, 단결정 중의 면내의 응력 분포로부터, 무결함 결정을 육성하는데 최적인 온도 구배의 분포 G_ideal(R)를 파악하는 것이 가능해진다. 그리고, 그 최적 온도 구배의 분포 G_ideal(R)를 관리 지표로서 이용함으로써, 핫 존의 적정한 치수 설계가 행해 질 수 있게 되고, 더욱이, 그 최적 온도 구배의 분포 G_ideal(R)를 기준으로 하는, 실제의 온도 구배의 분포 G_real(R)의 관리 범위를 설정함으로써, 무결함 결정을 정밀도 좋게 육성하는 것이 가능해진다.

본 발명은, 상기의 지견에 기초하여 완성시킨 것으로, 그 요지는 하기 실리콘 단결정의 육성 방법에 있다. 즉, 본 발명의 실리콘 단결정의 육성 방법은,

CZ법에 의해 챔버 내에 배치한 도가니 내의 원료 융액으로부터 실리콘 단결정을 인상하여 육성하는 방법으로서,

육성중의 단결정을 위요하는 수냉체를 배치함과 함께, 이 수냉체의 외주면 및 하단면을 포위하는 열차폐체를 배치한 단결정 육성 장치를 이용하고,
종합 전열 해석에 의해, 단결정의 면 내 응력 분포로서, 단결정의 중심부, 주연부, 및 중심부와 주연부와의 사이를 포함하는 위치에 있어서의 면 내 응력 분포를 산출하고,
상기 응력 분포를 고려한 무결함 결정을 육성하는데 최적의 단결정의 면 내 온도 구배 분포를 산출하고,
상기 최적인 온도 구배 분포와 실제의 단결정의 면 내 온도 구배와의 차이를 소정의 범위 내로 설정하고,
단결정의 인상을 행하는 것을 특징으로 한다.
종합 전열 해석에 의해, 단결정 중심부의 온도 구배 또는 단결정 중심부의 응력, 및 상기 열차폐체의 하단부와 상기 원료 융액의 액면과의 간극으로부터, 상기 최적의 단결정의 면 내 온도 구배 분포를 산출하는 것이 바람직하다.

반경이 R_max(mm)인 단결정의 육성시에, 단결정의 고액 계면 근방에서, 단결정의 중심으로부터 반경 R(mm)의 위치에 있어서의 실제의 인상축 방향의 온도 구배를 G_real(R), 단결정의 중심으로부터 반경 R의 위치에 있어서의 인상축 방향의 최적 온도 구배를 G_ideal(R)로 했을 경우, 0＜R＜R_max－35(mm)의 범위에서, 하기 (A) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행하는 것이 바람직하다.

｜G_real(R)－G_ideal(R)｜／G_real(R)＜0.08　…(A)

상기 (A) 식 중, G_ideal(R)은 하기 (a) 식으로 나타난다.

G_ideal(R)＝[(0.1789＋0.0012×σ_mean(0))/(0.1789＋0.0012×σ_mean(x))]×G_real(0)　…(a)

상기 (a) 식 중, x＝R/R_max이며,σ_mean(0) 및σ_mean(x)는, 각각 하기 (b) 식 및 (c) 식으로 나타난다.

σ_mean(0)＝－b₁×G_real(0)＋b₂　…(b)

σ_mean(x)＝[n(x)×(σ_mean(0)－σ_mean(0.75))－(N×σ_mean(0)－σ_mean(0.75))]/(1－N)　…(c)

상기(c) 식 중, N＝0.30827이며,σ_mean(0.75) 및 n(x)는, 각각 하기 (d) 식 및 (e) 식으로 나타난다.

σ_mean(0.75)＝d₁×GAP－d₂　…(d)

n(x)＝0.959x³－2.0014x²＋0.0393x＋1　…(e)

상기 (d) 식 중, GAP는 상기 열차폐체의 하단과 상기 원료 융액의 액면과의 간극(mm)이다.

상기의 육성 방법에서는, 하기 (B) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행하는 것이 바람직하다.

｜G_real(R)－G_ideal(R)｜／G_real(R)＜0.05　…(B)

상기의 육성 방법에서는, 직경이 300mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기 (b) 식 중, b₁＝17.2, b₂＝40.8로 하고, 상기 (d) 식 중, d₁＝0.108, d₂＝11.3으로 한다.

상기의 육성 방법에서는, 직경이 450mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기 (b) 식 중, b₁＝27.5, b₂＝44.7로 하고, 상기 (d) 식 중, d₁＝0.081, d₂＝11.2로 한다.

본 발명의 실리콘 단결정의 육성 방법에 의하면, 단결정 중의 응력의 효과를 고려하여, 온도 구배의 분포 G_real(R)의 관리 범위를 적정하게 설정하고 있기 때문에, 무결함 결정을 정밀도 좋게 육성하는 것이 가능해진다.

도 1은 보론코브 이론에 기초하여 각종의 결함이 발생하는 상황을 설명하는 모식도이다.
도 2는 단결정 육성시의 인상 속도와 결함 분포와의 관계를 나타내는 모식도이다.
도 3은 단결정 중에 작용하는 평균 응력σ_mean과 임계 V/G의 관계를 나타내는 도면이다.
도 4는 단결정 중심부의 면 내 평균 응력σ_mean(0)과 단결정 중심부의 온도 구배 G(0)와의 관계를 나타내는 도면이고, 도 4(a)는 직경 300mm의 단결정, 도 4(b)는 직경 450mm의 단결정의 경우를 나타낸다.
도 5는 직경 300mm의 단결정을 육성하는 경우에 있어서, 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 면 내 평균 응력σ_mean(r)과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 5(a)는 액면 Gap의 크기가 40mm인 경우를, 도 5(b)는 액면 Gap의 크기가 70mm인 경우를, 도 5(c)는 액면 Gap의 크기가 90mm인 경우를 각각 나타낸다.
도 6은 직경 450mm의 단결정을 육성하는 경우에 있어서, 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 면 내 평균 응력σ_mean(r)과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 6(a)는 액면 Gap의 크기가 60mm인 경우를, 도 6(b)는 액면 Gap의 크기가 90mm인 경우를, 도 6(c)는 액면 Gap의 크기가 120mm인 경우를 각각 나타낸다.
도 7은 액면 Gap의 크기와 평균 응력σ_mean(0.75)과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 7(a)는 직경 300mm의 단결정의 경우를, 도 7(b)는 직경 450mm의 단결정의 경우를 각각 나타낸다.
도 8은 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 표준화 평균 응력 n(r)의 관계를 나타내는 도면이다.
도 9는 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 최적 온도 구배 G_ideal과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 9(a)는 직경 300mm의 단결정의 경우를, 도 9(b)는 직경 450mm의 단결정의 경우를 각각 나타낸다.
도 10은 본 발명의 실리콘 단결정의 육성 방법을 적용할 수 있는 단결정 육성 장치의 구성을 모식적으로 나타내는 도면이다.

(발명을 실시하기 위한 형태)

이하에, 본 발명의 실리콘 단결정의 육성 방법에 대해서, 그 실시 형태를 상술한다.

1. 응력 효과를 도입한 임계 V/G의 식

단결정을 육성할 때의 인상 속도를 V(단위：mm/min), 단결정의 고액 계면 근방에 있어서의 인상축 방향의 온도 구배를 G(단위：℃／mm)로 하고, 무결함 결정이 얻어지는 V와 G의 비(이하, 「임계 V/G」라고도 함) 를ξ로 한다. 임계 V/G는, 단결정 육성시에 단결정 중에 작용하는 응력의 효과를 도입하면, 하기의 (1) 식으로 정의할 수 있다. 여기에서 말하는 단결정의 고액 계면 근방이란, 단결정의 온도가 융점으로부터 1350℃까지의 범위를 말한다.

ξ_σmean＝ξ₀＋α×σ_mean　…(1)

동일한 식 중, ξ_σmean는, 결정 중의 응력이σ_mean 일 때의 임계 V/G를 나타낸다. ξ₀은, 결정중의 응력이 제로일 때의 임계 V/G를 나타내는 정수이다. α는 응력 계수이고, σ_mean는 단결정 중의 평균 응력(단위：MPa)이다. 예를 들면, ξ₀은 0.1789이며, α는 0.0012이다. 이들의 값은, 직경이 300mm인 단결정을 육성 대상으로 하는 경우에서도, 450mm의 단결정을 육성 대상으로 하는 경우에서도 변하지 않다. 이들의 값은, 육성 대상으로 하는 단결정의 직경에 의존하지 않기 때문이다. 여기에서 말하는 직경이 300mm인 단결정이란, 제품(실리콘 웨이퍼)의 직경으로서 300mm가 되는 것을 말하고, 구체적으로는 육성시의 직경이 300.5∼330mm인 단결정이다. 동일하게, 직경이 450mm의 단결정이란, 제품(실리콘 웨이퍼)의 직경으로서 450mm가 되는 것을 말하고, 구체적으로는 육성시의 직경이 450.5∼480mm인 단결정이다.

여기에서, 평균 응력σ_mean는, 육성시에 단결정의 체적 변화를 초래하는 응력에 상당하고, 수치 해석에 의해 파악할 수 있는 것으로, 단결정 중의 미소 부분에 있어서의 지름 방향에 따른 면, 원주 방향에 따른 면, 및 인상축 방향과 직교 하는 면의 3면 각각에 작용하는 응력의 수직 성분σ_rr,σ_θθ, 및σ_zz를 추출하고, 이들을 합계하여 3으로 나눈 것이다. 또한, 평균 응력σ_mean의 정(正)은 인장 응력을, 부(負)는 압축 응력을 의미한다.

상기 (1) 식은, 일차원에서의 임계 V/G와 평균 응력σ_mean과의 관계를 나타내고 있지만, 무결함 결정을 육성하기 위해서는, 단결정의 인상축 방향과 직교 하는 면 내에서 생각할 필요가 있다.

2. 응력 효과를 도입한 임계 V/G의 식의 단결정 면 내 분포로의 확장

단결정을 육성할 때의 인상 속도를 V(단위：mm/min)로 한다. 또한, 육성하는 단결정의 반경을 R_max(단위：mm)로 하고, 단결정의 중심으로부터 반경 R(단위：mm)의 위치에서의 고액 계면 근방에 있어서의 인상축 방향의 온도 구배를 G(r)(단위：℃／mm)로 한다. 여기에서, r＝R/R_max이고, r을 상대 반경이라고 칭한다. r＝0은 단결정의 중심을 의미하고, r＝1은 R＝R_max이기 위한 단결정의 외주를 의미한다.

무결함 결정이 얻어지는 V와 G(r)의 비(이하, 「임계 V/G(r)」라고도 하고, 수식 상 「(V/G(r))_cri」로 나타낸다.)은, 응력 효과를 도입하면, 상기 (1) 식에 준하고, 하기의 (2) 식으로 정의할 수 있다. 이 경우도, ξ₀은 0.1789이며, α는 0.0012이다. 이들의 값은, 직경이 300mm의 단결정을 육성 대상으로 하는 경우에서도, 450mm의 단결정을 육성 대상으로 하는 경우에서도 변하지 않는다. 이들의 값은, 육성 대상으로 하는 단결정의 직경에 의존하지 않기 때문이다.

(V/G(r))_cri＝ξ₀＋α×σ_mean(r)　…(2)

동일한 식 중, σ_mean(r)는, 단결정의 중심으로부터 상대 반경 r의 위치에서의 평균 응력(단위：MPa)이고, 단결정의 인상축 방향과 직교 하는 면 내에서의 평균 응력의 분포를 나타낸다.

여기에서, 온도 구배 G(r)는, 단결정의 인상축 방향과 직교 하는 면 내에서의 온도 구배의 분포를 나타내기 때문에, 무결함 결정을 육성하기 위해서 최적인 온도 구배 G(r)의 분포를 구하고자 한다. 그러나, 면 내에서의 평균 응력σ_mean(r)의 분포의 규칙성이 불명확하다는 것이 문제가 된다. 또한, 무결함 결정을 육성하는 조건에 있어서, 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 분포와 온도 구배 G(r) 사이에 하등 상관이 없는 경우에는, 제어 조건이 정해지지 않는 것이 문제가 된다.

그래서, 면 내 평균 응력σ_mean(r)과 온도 구배 G(r)의 상관의 유무, 및 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 규칙성에 대해서 검토했다.

2－1. 단결정 중심부의 온도 구배와 평균 응력의 관계

단결정 중심부의 온도 구배 G(0)와 단결정 중심부의 면 내 평균 응력σ_mean(0)의 관계를 검토했다. 이 검토는, 이하와 같이 행했다. 직경이 300mm인 단결정, 또는 450mm인 단결정을 육성하는 경우를 전제로 하여, 우선 핫 존의 조건을 여러 가지로 변경한 종합 전열(傳熱) 해석에 의해, 각 핫 존 조건에서의 단결정 표면의 복사열을 산출하고, 이어서 산출된 각 핫 존 조건에서의 복사열과 여러 가지로 변경한 고액 계면 형상을 경계 조건으로서 각 경계 조건에서의 단결정 내의 온도를 재계산했다. 여기에서, 핫 존의 조건 변경으로서는, 단결정을 포위하는 열차폐체의 하단과 석영 도가니 내의 원료 융액의 액면과의 극간(이하, 「액면 Gap」이라고도 함)의 크기를 변경했다. 또한, 고액 계면 형상의 조건 변경으로서는, 원료 융액의 액면으로부터 고액 계면의 중심부까지의 인상축 방향의 높이(이하, 「계면 높이」라고도 함)를 변경했다. 그리고, 각 조건에 대해서, 재계산에 의해서 얻어진 단결정 내 온도의 분포에 기초하여, 평균 응력의 계산을 실시했다.

도 4는, 단결정 중심부의 면 내 평균 응력σ_mean(0)와 단결정 중심부의 온도 구배 G(0)와의 관계를 나타내는 도면이고, 도 4(a)는 직경 300mm의 단결정, 도 4(b)는 직경 450mm의 단결정의 경우를 나타낸다. 동일한 도면은, 상기 해석 결과로부터 얻을 수 있던 것이다. 도 4로부터, 단결정 중심부의 평균 응력σ_mean(0)는, 계면 높이에 의존하지 않고, 단결정 중심부의 온도 구배 G(0)에 비례하고, 양자간에 하기(3) 식으로 나타나는 상관이 있는 것을 알 수 있었다.

σ_mean(0)＝－b₁×G(0)＋b₂　…(3)

여기에서, b₁ 및 b₂는 각각 면 내 평균 응력σ_mean(0)의 계산값 및 단결정 중심부의 온도 구배 G(0)의 계산값으로부터 일차 근사로 얻어진 정수이다. 직경 300mm의 단결정에서는, b₁＝17.2, b₂＝40.8이며, 엄밀하게는, b₁＝17.211, b₂＝40.826이다. 직경 450mm의 단결정에서는, b₁＝27.5, b₂＝44.7이며, 엄밀하게는, b₁＝27.548, b₂＝44.713이다.

2－2. 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 규칙성(그 1)

이어서, 상기의 수치 해석에 의해, 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 규칙성에 대해서 검토했다. 직경 300mm의 단결정에 대해서는, 액면 Gap의 크기를, 40mm, 70mm 및 90mm의 3 종류의 값으로 설정하고, 각각의 경우에 대해서 계면 높이를 0∼25mm에 있어서 5mm 간극으로 6 종류의 높이로 설정하여, 단결정의 중심으로부터 상대 반경 r의 위치에서의 면 내 평균 응력σ_mean(r)를 산출했다. 직경 450mm의 단결정에 대해서는, 액면 Gap의 크기를, 60mm, 90mm 및 120mm의 3 종류의 값으로 설정하고, 각각의 경우에 대해서 계면 높이를 0∼35mm에 있어서 5mm간극으로 8 종류의 높이로 설정하여, 단결정의 중심으로부터 상대 반경 r의 위치에서의 면 내 평균 응력σ_mean(r)를 산출했다.

도 5는, 직경 300mm의 단결정을 육성하는 경우에 있어서, 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 면 내 평균 응력σ_mean(r)과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 5(a)는 액면 Gap의 크기가 40mm인 경우를, 도 5(b)는 액면 Gap의 크기가 70mm인 경우를, 도 5(c)는 액면 Gap의 크기가 90mm인 경우를 각각 나타낸다.

도 6은, 직경 450mm의 단결정을 육성하는 경우에 있어서, 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 면 내 평균 응력σ_mean(r)과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 6(a)는 액면 Gap의 크기가 60mm인 경우를, 도 6(b)는 액면 Gap의 크기가 90mm인 경우를, 도 6(c)는 액면 Gap의 크기가 120mm인 경우를 각각 나타낸다.

도 5 및 도 6으로부터, 액면 Gap의 크기가 일정하면, 계면 높이에 의존하지 않고 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r＝0.75의 위치에 있어서의 평균 응력σ_mean(0.75)가 일정한 값이 되는 것을 알 수 있었다. 이 지견에 기초하여, 액면 Gap의 크기와 평균 응력σ_mean(0.75)과의 관계에 대해서 검토한 결과, 도 7이 얻어졌다.

도 7은, 액면 Gap의 크기와 평균 응력σ_mean(0.75)과의 관계를 나타내는 도면이고, 도 7(a)는 직경 300mm의 단결정의 경우를, 도 7(b)는 직경 450mm의 단결정의 경우를 각각 나타낸다. 도 7로부터, 액면 Gap의 크기(GAP, 단위：mm)와 평균 응력σ_mean(0.75)(단위：MPa)과의 관계는, 하기 (4) 식으로 나타나는 것을 알 수 있었다. 즉, 액면 Gap의 크기가 정해지면σ_mean(0.75)가 정해지는 것을 알 수 있었다.

σ_mean(0.75)＝d₁×GAP－d₂　…(4)

여기에서, d₁ 및 d₂는 각각, 각각의 액면 Gap의 크기와 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r＝0.75의 위치에 있어서의 평균 응력σ_mean(0.75)의 계산값으로부터 일차 근사로 얻을 수 있는 정수이다. 직경 300mm의 단결정에서는, d₁＝0.108, d₂＝11.3이고, 엄밀하게는, d₁＝0.1084, d₂＝11.333이다. 직경 450mm의 단결정에서는, d₁＝0.081, d₂＝11.2이고, 엄밀하게는, d₁＝0.0808, d₂＝11.233이다.

2－3. 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 규칙성(그 2)

또한, 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 규칙성에 대해서 검토했다. 여기에서는, 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 형상이, 액면 Gap의 크기 또는 계면 높이에 의존하는지 아닌지에 대해서 검토했다.

상술한 면 내 평균 응력σ_mean(r)를, 하기 (5) 식에서 n(r)로서 표준화 했다. (5) 식중, σ_mean(0)는 단결정의 중심에 있어서의 면 내 평균 응력, σ_mean(1)는 단결정의 외주에 있어서의 면 내 평균 응력이다.

n(r)＝[σ_mean(r)－σ_mean(1)]/[σ_mean(0)－σ_mean(1)]　…(5)

도 8은, 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 표준화 평균 응력 n(r)과의 관계를 나타내는 도면이다. 도 8에는, 단결정의 직경이 300mm인 경우와 450mm인 경우에 대해서, 액면 Gap의 크기와 계면 높이를 여러 가지로 변경하고, 각 변경 조건에서의 면 내 평균 응력σ_mean(r)로부터 산출한 표준화 평균 응력 n(r)을 플롯 했다. 도 8로부터, 표준화 평균 응력 n(r)은, 단결정의 직경, 액면 Gap의 크기 및 계면 높이에 의존하지 않는 것을 알 수 있었다. n(r)은, 도 8에 나타나는 결과로부터 하기 (6) 식으로 나타낼 수 있다.

n(r)＝0.959r³－2.0014r²＋0.0393r＋1　…(6)

즉, 면 내 평균 응력σ_mean(r)에는 규칙성이 있어, 단결정의 중심에 있어서의 면 내 평균 응력σ_mean(0) 및 단결정의 외주에 있어서의 면 내 평균 응력σ_mean(1)를 알 수 있으면, 상기 (5) 식으로부터 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 분포를 파악할 수 있다.

3. 최적 온도 구배 G_ideal(r)의 분포의 도출

이상의 검토에 의해, 재게 하는 하기 (3) 식, (4) 식 및 (6) 식을 얻을 수 있었다. 또한, 검토 시에, 하기 (5) 식을 이용했다.

σ_mean(0)＝－b₁×G(0)＋b₂　…(3)

σ_mean(0.75)＝d₁×GAP－d₂　…(4)

n(r)＝0.959r³－2.0014r²＋0.0393r＋1　…(6)

n(r)＝[σ_mean(r)－σ_mean(1)]/[σ_mean(0)－σ_mean(1)]　…(5)

여기에서, 직경이 300mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기 (3) 식 중, b₁＝17.2, b₂＝40.8이고, 상기 (4) 식 중, d₁＝0.108, d₂＝11.3이다. 또한, 직경이 450mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기 (3) 식 중, b₁＝27.5, b₂＝44.7이고, 상기(4) 식 중, d₁＝0.081, d₂＝11.2이다.

(6) 식으로부터, n(0.75)는 정수 N(＝0.30827)으로서 산출할 수 있다. 이 정수 N을 이용하여 (5) 식에 r＝0.75를 대입함으로써, P(1)를 나타내는 수식으로서, 하기 (7) 식을 얻을 수 있다.

σ_mean(1)＝[σ_mean(0.75)－N×σ_mean(0)]/[1－N]　…(7)

또한, 상기 (5) 식을 변형함으로써, σ_mean(r)는, 이미 얻어진 상기 (3) 식의σ_m _e _an(1), 상기 (4) 식의σ_mean(0.75) 및 상기(6) 식의 n(r), 및 정수 N을 이용하여, 하기 (8) 식으로 나타낼 수 있다.

σ_mean(r)＝n(r)[σ_mean(0)－σ_mean(1)]＋σ_mean(1)

＝[n(r)×(σ_mean(0)－σ_mean(0.75))－(N×σ_mean(0)－σ_mean(0.75))]/(1－N)　…(8)

따라서, 상기(3) 식 중의 G(0)와 상기(4) 식 중의 GAP를 정하면, 상기(8) 식으로부터 면 내 평균 응력 분포σ_mean(r)를 구할 수 있다.

그런데, 위에서 설명한 바와 같이, 임계 V/G(r)는, 하기 (2) 식으로 나타난다.

(V/G(r))_cri＝ξ₀＋α×σ_mean(r)　…(2)

또한, V는 정수로 볼 수 있다. 따라서, 무결함 결정을 육성하는데 최적인 온도 구배 G_ideal(r)는, (2) 식에 있어서 r＝0으로 한 G(0)를 이용하여, 하기 (9) 식으로 나타낼 수 있다.

G_ideal(r)＝[(ξ₀＋α×σ_mean(0))/(ξ₀＋α×σ_mean(r))]×G(0)　…(9)

4. 단결정 육성중의 온도 구배의 조건

직경이 300mm 또는 450mm인 단결정을 육성 대상으로 하는 경우,ξ₀은 0.1789이며, α는 0.0012인 것으로부터, 이러한 값을 상기식(9)에 대입하고, 단결정의 중심으로부터 반경 R(단위：mm)의 위치에 있어서의 인상축 방향의 최적 온도 구배 G_ideal(R)(단위：MPa)는 하기 (a) 식으로 나타난다.

(a) 식 중, x＝R/R_max이며, G_real(0)는, 단결정의 중심에 있어서의 실제의 인상축 방향의 온도 구배이다. σ_mean(0), σ_mean(x)는, 하기 (b) 식 및 (c) 식으로 나타난다. (b) 식 및 (c) 식은, 각각 상기 (3) 식 및 (8) 식과 같은 식이다. σ_mean(0)는, 단결정의 중심에 있어서의 평균 응력이고, (b) 식에서 구한 값으로도 좋고, 다른 방법으로 구한 값으로 해도 좋다.

σ_mean(0)＝－b₁×G_real(0)＋b₂　…(b)

직경이 300mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기(b) 식 중, b₁＝17.2, b₂＝40.8이다. 또한, 직경이 450mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기(b) 식 중, b₁＝27.5, b₂＝44.7이다. (c) 식 중, N＝0.30827이고, σ_mean(0.75) 및 n(x)는 하기 (d) 식 및 (e) 식으로 나타낸다. (d) 식 및 (e) 식은, 각각 상기 (4) 식 및 (6) 식과 같은 식이다.

σ_mean(0.75)＝d₁×GAP－d₂　…(d)

n(x)＝0.959x³－2.0014x²＋0.0393x＋1　…(e)

상기(d) 식 중, GAP은 액면 Gap의 크기(단위：mm)이다. 직경이 300mm인 단결정을 육성하는 경우, d₁＝0.108, d₂＝11.3이다. 또한, 직경이 450mm인 단결정을 육성하는 경우, d₁＝0.081, d₂＝11.2이다.

도 9는, 단결정의 중심으로부터의 상대 반경 r과 최적 온도 구배 G_ideal와의 관계를 나타내는 도면이고, 도 9(a)는 직경 300mm의 단결정의 경우를, 도 9(b)는 직경 450mm의 단결정의 경우를 각각 나타낸다. 도 9에서는, 횡축을 r(R/R_max)로 했다. 도 9에는, 단결정의 중심에 둘 수 있는 온도 구배 G_real(0)를 1.5℃／mm, 2.0℃／mm, 2.5℃／mm, 3.0℃／mm 및 3.5℃／mm로 하고, 액면 Gap의 크기를 60mm, 80mm 및 100mm로 했을 경우에 대해서 나타냈다. 도 9에 나타내는 바와 같이, 온도 구배 G_real(0)와 액면 Gap의 크기를 정함으로써, 최적 온도 구배를 파악할 수 있다.

반경 R_max(mm)의 단결정을 육성할 때에는, 외주로부터 35mm이상 내측의 범위, 즉 0＜R＜R_max－35(mm)의 범위에서, 하기(A) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행한다. 이에 따라, 무결함 단결정을 정밀도 좋게 육성하는 것이 가능해진다.

｜G_real(R)－G_ideal(R)｜／G_real(R)＜0.08　…(A)

여기에서, G_real(R)는, 단결정의 중심으로부터 반경 R(mm)의 위치에 있어서의 실제의 인상축 방향의 온도 구배이다.

또한, 무결함 단결정을 보다 정밀도 좋게 단결정을 육성하기 위해서는, 하기 (B) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행하는 것이 바람직하다.

｜G_real(R)－G_ideal(R)｜／G_real(R)＜0.05　…(B)

이와 같이, 단결정의 인상축 방향과 직교 하는 면내의 평균 응력σ_mean(r)의 분포에는 규칙성이 있어, 그 면 내 평균 응력σ_mean(r)의 분포는, 단결정 중심부로 한정한 응력σ_mean(0) 또는 온도 구배 G_real(0)에 의해 파악할 수 있다. 그 결과, 점 결함의 발생에 영향을 미치는 응력의 효과를 가미하고, 단결정 중심부의 온도 구배 G_real(0) 또는 단결정 중심부의 응력σ_mean(0), 또한 액면 Gap을 정함으로써, 무결함 결정을 육성하는데에 최적인 온도 구배 G_ideal(R)의 분포를 파악하는 것이 가능해진다. 그리고, 그 최적 온도 구배 G_ideal(R)의 분포를 관리 지표로서 이용함으로써, 핫 존의 적정한 치수 설계를 행할 수 있게 되고, 또한, 그 최적 온도 구배 G_ideal(R)의 분포를 기준으로 한 관리 범위를 설정함으로써, 무결함 결정을 정밀도 좋게 육성하는 것이 가능해진다.

5.실리콘 단결정의 육성

도 8은, 본 발명의 실리콘 단결정의 육성 방법을 적용할 수 있는 단결정 육성 장치의 구성을 모식적으로 나타내는 도면이다. 도 8에서 나타내는 바와 같이, 단결정 육성 장치는, 그 외곽을 챔버(1)로 구성하고, 그 중심부에 도가니(2)가 배치되어 있다. 도가니(2)는, 내측의 석영 도가니(2a)와, 외측의 흑연 도가니(2b)로부터 구성되는 이중 구조이며, 회전 및 승강이 가능한 지지축 3의 상단부에 고정되어 있다.

도가니(2)의 외측에는, 도가니(2)를 위요하는 저항 가열식의 히터(4)가 배치되고, 그 외 측에는, 챔버(1)의 내면을 따라서 단열재(5)가 배치되고 있다. 도가니(2)의 상방에는, 지지축 3과 같은 축 상에서 역방향 또는 동일 방향으로 소정의 속도로 회전하는 와이어 등의 인상축(6)이 배치되고 있다. 이 인상축(6)의 하단에는 종 결정(7)이 부착되어 있다.

챔버(1) 내에는, 도가니(2) 내의 원료 융액(9)의 상방에서 육성 중의 실리콘 단결정(8)을 위요하는 원통형의 수냉체(11)가 배치되어 있다. 수냉체(11)는, 예를 들면, 구리 등의 열 전도성이 양호한 금속으로 이루어지고, 내부에 유통되는 냉각수에 의해 강제적으로 냉각된다. 이 수냉체(11)는, 육성중의 단결정(8)의 냉각을 촉진하고, 단결정 중심부 및 단결정 외주부의 인상축 방향의 온도 구배를 제어하는 역할을 담당한다.

또한, 수냉체(11)의 외주면 및 하단면을 포위하도록, 통 형상의 열차폐체(10)가 배치되어 있다. 열차폐체(10)는, 육성중의 단결정(8)에 대해서, 도가니(2) 내의 원료 융액(9)이나 히터(4)나 도가니(2)의 측벽으로부터의 고온의 복사열을 차단하는 것과 동시에, 결정 성장 계면인 고액 계면의 근방에 대해서는, 저온의 수냉체(11)로의 열의 확산을 억제하고, 단결정 중심부 및 단결정 외주부의 인상축 방향의 온도 구배를 수냉체(11)와 함께 제어하는 역할을 담당한다.

챔버(1)의 상부에는, Ar가스 등의 불활성 가스를 챔버(1) 내에 도입하는 가스 도입구(12)가 설치되어 있다. 챔버(1)의 하부에는, 도시하지 않는 진공 펌프의 구동에 의해 챔버(1) 내의 기체를 흡인하여 배출하는 배기구(13)가 설치되어 있다. 가스 도입구(12)로부터 챔버(1) 내에 도입된 불활성 가스는, 육성중의 단결정(8)과 수냉체(11) 사이를 하강하고, 열차폐체(10)의 하단과 원료 융액(9)의 액면과의 극간(액면 Gap)을 거친 후, 열차폐체(10)의 외측, 또한 도가니(2)의 외측을 향해서 흐르고, 그 후에 도가니(2)의 외측을 하강하여, 배기구(13)로부터 배출된다.

이러한 육성 장치를 이용한 실리콘 단결정(8)의 육성시, 챔버(1) 내를 감압하의 불활성 가스 분위기에 유지한 상태로, 도가니(2)에 충전한 다결정 실리콘 등의 고형 원료를 히터(4)의 가열에 의해 용융시키고, 원료 융액(9)을 형성한다. 도가니(2) 내에 원료 융액(9)이 형성되면, 인상축(6)을 하강시켜 종 결정(7)을 원료 융액(9)에 침지하고, 도가니(2) 및 인상축(6)을 소정의 방향으로 회전시키면서, 인상축(6)을 서서히 인상하고, 이에따라 종 결정(7)에 연이은 단결정(8)을 육성한다.

직경 450mm의 단결정의 육성시에 있어서는, 무결함 결정을 육성하기 위해서, 단결정의 고액 계면 근방에서, 단결정의 중심으로부터 외주 방향으로의 거리 R(mm)의 위치에 있어서의 실제의 인상축 방향의 온도 구배를 G_real(R)로 했을 경우, 0＜R＜190mm의 범위에서, 상기(A) 식을 만족하도록, 단결정의 인상 속도를 조정하고, 단결정의 인상을 행한다. 또한, 단결정의 육성에 앞서, 상기(A) 식을 만족하도록, 핫 존(열차폐체 및 수냉체)의 치수 형상을 설계하여, 이 핫 존을 이용한다. 이에 따라, 직경 450mm의 대경 무결함 결정을 정밀도 좋게 육성할 수 있다.

(산업상의 이용 가능성)

본 발명의 실리콘 단결정의 육성 방법은, OSF나 COP나 LD등의 각종의 점 결함이 발생하지 않는 대경 무결함 결정을 육성하는데 매우 유용하다.

[부호의 설명]

1: 챔버

2：도가니

2a：석영 도가니,　　

2b：흑연 도가니

3：지지축

4：히터

5：단열재

6：인상축

7：종 결정

8：실리콘 단결정

9：원료 융액

10：열차폐체

11：수냉체

12：가스 도입구

13：배기구

Claims

쵸크랄스키법에 의해 챔버 내에 배치된 도가니 내의 원료 융액으로부터 실리콘 단결정을 인상하고 육성하는 방법으로서,
육성중의 단결정을 위요(圍繞)하는 수냉체를 배치함과 함께, 이 수냉체의 외주면 및 하단면을 포위하는 열차폐체를 배치한 단결정 육성 장치를 이용하고,
종합 전열 해석에 의해, 단결정의 면 내 응력 분포로서, 단결정의 중심부, 주연부, 및 중심부와 주연부와의 사이를 포함하는 위치에 있어서의 면 내 응력 분포를 산출하고,
상기 응력 분포를 고려한 무결함 결정을 육성하는데 최적인 단결정의 면 내 온도 구배 분포를 산출하고,
상기 최적인 온도 구배 분포와 실제의 단결정의 면 내 온도 구배와의 차이를 소정의 범위 내로 설정하고,
단결정의 인상을 행하는, 실리콘 단결정의 육성 방법.
제1항에 있어서,
종합 전열 해석에 의해, 단결정 중심부의 온도 구배 또는 단결정 중심부의 응력, 및 상기 열차폐체의 하단부와 상기 원료 융액의 액면과의 간극으로부터, 상기 최적인 단결정의 면 내 온도 구배 분포를 산출하는 실리콘 단결정의 육성 방법.
제1항 또는 제2항에 있어서,
반경이 R_max(mm)인 단결정의 육성시에, 단결정의 고액 계면 근방에서, 단결정의 중심으로부터 반경 R(mm)의 위치에 있어서의 실제의 인상축 방향의 온도 구배를 G_real(R), 단결정의 중심으로부터 반경 R의 위치에 있어서의 인상축 방향의 최적 온도 구배를 G_ideal(R)로 했을 경우, 0＜R＜R_max－35(mm)의 범위에서, 하기(A) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행하는, 실리콘 단결정의 육성 방법.
｜G_real(R)－G_ideal(R)｜／G_real(R)＜0.08　…(A)
상기 (A) 식 중, G_ideal(R)는 하기(a) 식으로 나타남
G_ideal(R)＝[(0.1789＋0.0012×σ_mean(0))/(0.1789＋0.0012×σ_mean(x))]×G_real(0)　…(a)
상기 (a) 식 중, x＝R/R_max이고, σ_mean(0) 및σ_mean(x)는, 각각 하기 (b) 식 및 (c) 식으로 나타남
σ_mean(0)＝－b₁×G_real(0)＋b₂　…(b)
σ_mean(x)＝[n(x)×(σ_mean(0)－σ_mean(0.75))－(N×σ_mean(0)－σ_mean(0.75))]/(1－N)　…(c)
상기(c) 식 중, N＝0.30827이고, σ_mean(0.75) 및 n(x)는, 각각 하기 (d) 식 및 (e) 식으로 나타남
σ_mean(0.75)＝d₁×GAP－d₂　…(d)
n(x)＝0.959x³－2.0014x²＋0.0393x＋1　…(e)
상기 (d) 식 중, GAP는 상기 열차폐체의 하단과 상기 원료 융액의 액면과의 간극(mm)임
제3항에 있어서,
하기 (B) 식을 만족하는 조건으로 단결정의 인상을 행하는 실리콘 단결정의 육성 방법.
｜G_real(R)－G_ideal(R)｜／G_real(R)＜0.05　…(B)
제3항에 있어서,
직경이 300mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기 (b) 식 중, b₁=17.2, b₂=40.8, 상기 (d) 식 중, d₁=0.108, d₂=11.3인 실리콘 단결정의 육성 방법.
제3항에 있어서,
직경이 450mm인 단결정을 육성하는 경우, 상기 (b) 식 중, b₁=27.5, b₂=44.7, 상기(d) 식 중, d₁=0.081, d₂=11.2인 실리콘 단결정의 육성 방법.