JPS62173569A - 物体の表面形状データ作成装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第５図）Ｆ作用（第５
図） Ｇ実施例 （Ｇｌ）三辺形パッチ接続の原理（第１図〜第３図）（
Ｇ２）三辺形パッチの２次元的接！（第４図）（Ｇ３）
接平面連続の条件で接続されていることの確認 （Ｇ４）内部制御点の設定の仕方（第５図）（Ｇ５）パ
ッチ接続処理手順（第６図）（Ｇ６）他の実施例（第７
図） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ（ｃｏ
ｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）　、または
ＣＡ　Ｍ　（ｃｏｗｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎｕ
ｆａｃｔｕｒｉｎｇ）などにおいて、自由曲面をもった
形状を生成する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより、自由曲面を生成するようにな
された自由曲面作成方法において、三辺形枠組み空間に
、その３つの辺に対応させてそれぞれ接平面連続の条件
の下に接続することができるような３つのサブパッチを
生成し、これらの３つのサブパッチを重ね合わせ合成す
るようにしたことにより、当該三辺形パッチに隣接する
パッチを容易に２次元的に接続し得る。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合軸１ｏ１１ｅｔｏｒｉｃ　ｍｏｄ
ｅｌｉｎｇ）、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次
元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し
、当該指定された複数の点を結ぶ境界向ｖＡ網を所定の
関数を用いてコンピュータによって演算させることによ
り、いわゆるワイヤフレームで表現された曲面を作成す
る。かくして境界曲線によって囲まれた多数の枠組み空
間を形成することができる（このような処理を以下枠組
み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものをいう）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基礎要素を形成し、これをパッチ
と呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
ェ（Ｂｅｚｉｅｒ）式、Ｂスプライン（Ｂ−ａｐｌｉｎ
ｓ）式でなる３次のテンソル積が用いられており、例え
ば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面を数式表現
するには最適であると考えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をＸＹ平面上に投影したとき、当該
投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいること
が多く、この投影点の数がｍｘｎで表されるとき、当該
枠組み空間を３次のベジェ式で表される四辺形パッチを
用いて容易に張ることができることが知られている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲面
（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場合
には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュータ
による演算処理が複雑かつ膨大になる問題があった。

特に極端に歪んだ形状をもつ曲面が枠組みされたときに
は、はとんどの場合当該指定された点の配列は規則性を
もっておらず、従って枠組み空間に四辺形パッチを張る
ような従来の手法では、滑らかな自由曲面を形成するこ
とは実際上極めて困難であった。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、枠組み処
理によって指定された点の配列が規則性をもたないラン
ダムに配置されているときにも、滑らかな自由曲面を張
ることができるようにした自由曲面作成方法を提案しよ
うとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、当該枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより、自由曲面を生成するようにな
された自由曲面作成方法において、枠組み空間として、
第１の境界曲線、第２の境界曲線及び第３の境界曲線で
囲まれた三辺形枠組み空間を含むように枠組み処理を実
行し、この三辺形枠組み空間に張る三辺形パッチ”　（
ｕｎ　ＶＩ　Ｉを、第１の境界曲線を共有境界ＣＯＭ　
１として隣接する第１の隣接パッチＴ。、ｖ、２に接平
面連続の条件を満足するように接続する第１のサブパッ
チα（ｕ、　ｖ）　Ｔ　＋　（ｕｎ　ｖ）　Ｉ　と、第
２の境界曲線を共有境界Ｃ０Ｍ２として隣接する第２の
隣接パッチＴ　（ｕｎ　Ｖ）　３に接平面連続の条件を
満足するように接続する第２のサブパッチβ（ＬＩ＋　
Ｖ）　Ｔ　ｔ　（Ｉｌ、　ＩＩＩ　１と、第３の境界曲
線を共有境界Ｃ０Ｍ３として隣接する第３の隣接パッチ
Ｔ　（ｕ、　ｖ）　４に接平面連続の条件を満足するよ
うに接続する第３のサブパッチｒ（ｕ＋ν）　Ｔ　３　
（ｕｎ　ｖｌ　＋　とを重ね合わせ合成することにより
生成するようにする。

Ｆ作用 枠組み処理によって形成された三辺形枠組み空間に張る
三辺形パッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　＋は、その３つの辺に
よって形成される共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ
３において接平面連続の条件を満足するような制御点に
よって設定される３つのサブパッチα（Ｌｌ＋　Ｖ）　
Ｔ　ｒ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ　％β（ＬＩ＋　Ｖ）Ｔｚ（
ｕ、ｖ＋＋　％　Ｔ　（ｕ。

Ｖ）　Ｔ　２　（ｕ、ｖｌ　１を重ね合わせ合成するこ
とによって生成される。

かくして三辺形パッチＴ　（ｕｎ　ｖ、Ｉは、その３つ
の辺において接平面連続の条件で２次元的に接続するよ
うな曲面を容易に生成し得る。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）三辺形パッチ接続の原理 本発明においては、第１図に示すように、ランダムに指
定された節点Ｐ１〜Ｐ１４に基づいて、互いにより近い
節点相互間を結ぶ境界曲線によって枠組み処理を実行し
、これにより境界曲線網によって表される立体曲面を全
体として三辺形の枠組み空間によって形成するようにす
る。

かくして枠組み処理された枠組み空間の境界を表す境界
曲線、及び各枠組み空間に張られるパッチを次式 ％式％ のように、３次のベジェ式でなるベクトル関数Ｔ　（ｕ
ｎ　ｖｌ　を用いて表現する。　　（１）式においてＰ
、。。、は、第２図に示すように、隣合う２つの枠組み
空間に張られた曲面、すなわち第１の三辺形パッチＴ　
（ｕｎ　ｗ）　＋及び第２の三辺形パッチＴ　（ｕ、ｖ
ｌ　ｔが共に保有している境界（これを共存境界と呼ぶ
）の一端の位置を表す位置ベクトルでなり、他端の位置
ベクトルＰ、。３．と、第１のパッチＴ　（ＩＩＩ　Ｖ
）　１の位置ベクトルＰ（３゜、１と第２のパッチＴ　
（ｕ、　Ｖ）　２の位置ベクトルＰ１３゜、２と共に、
枠組み処理の際に指定される接点を構成する。

かくして、第１及び第２のパッチＴ　ｆｕｒ　ｖｌ　＋
及びＴ　（ｕｎ　ｗ）ｚがそれぞれ節点Ｐ　（＋ｌ１ｌ
Ｊ　　Ｐ　＋３０）　ｌ−Ｐ　（０３１Ｐ　（）＋１１
及びＰ　（６０）　　Ｐ　（ｚｏ＋　ｚ　−Ｐ　（１１
３１−Ｐ（。。、の３つの境界曲線によって囲まれてい
ることが分かる。

これらの共有境界のうち節点Ｐ、。。、及びＰ、。３゜
間の境界曲線は共有境界ＣＯＭを構成し、２つの制御点
Ｐ（。Ｉ、及びＰ、。２．によって３次のベジェ式を規
定している。

これに対して、第１のパッチＴ　（ｕ、　ｖｌ　１の節
点Ｐ（（１０１及びＰＬ、ｌｌ、、１間の境界曲線、Ｐ
（ｔｏｌ＋及びＰ、。３５間の境界曲線は、それぞれ２
つの制御点（Ｐ　（＋０１　Ｉ　％　Ｐ　（２０１１）
、　（Ｐ　（２１１１、Ｐ　ｎｚ目）によって規定され
ている。　また、第２のパッチ”　＋Ｉｌｌ　Ｖ）　２
の節点Ｐ＋ｏｏ＋及びＰ（３０１２間の境界曲線、Ｐ（
１゜、２及びＰ、。１１間の境界曲線は、　　２つの制
御点（Ｐ　ｎｏ、ｔ　％　Ｐ　＋ｔｏ、ｚ　）、　　Ｃ
Ｐｔｚｌ、ｚ、Ｐ（＋ｚ＋ｚ）によって規定されている
。

また、（１）式において、Ｅ及びＦはＵ方向及びＶ方向
のシフト演算子で、　パッチＴ（ｕｎ　Ｖ）　ｌ及びＴ
　（ｕ＋ｖ□上の位置ベクトルで表される制御点Ｐ（ｉ
、ｊｌ　に対して次式、 Ｅ　’　Ｐ　（ｔ、ｊ）　　＝ Ｐ　（ｉ＊＋ｔ　ｊｌ　　（ｉ、ｊ＝０．１．２）・・
・・・・（２） Ｆ′Ｐ（ム１）　＝ Ｐ　（五・　ｊ・ｎ　　　　（ｔ−ｊ＝０　　・　　１
　・　　２　）・・・・・・（３） の関係をもつ。ここで Ｕ≧０　　　　　　　　　　　　・・・・・・（４）■
≧０　　　　　　　　　　　　・・・・・・（５）ｕ＋
ｖ≦１　　　　　　　　　　・・・・・・（６）である
。

さらに（１）式において、Ｕ及びＶはＵ方向及びＶ方向
のパラメータで、第２図に示すように、第１及び第２の
パッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌ及びＴ　（ｕｎ　ｖｌ　、
に対してそれぞれ節点Ｐ、。。、から横方向にＵ軸を取
り、かつ縦方向にＶ軸を取った座標（ｕ、ｖ）を用いて
パッチ”　（ｕｎ　ｖｌ　＋及びＴ（Ｉｌｏ　ｖｌ　を
内の自由曲面上の座標を表すことができる。

このように定義した場合共有境界００Ｍ上の各点におい
て第１のパッチＴ　（ａｌｌ　ｖ）ｌをＵ方向に取った
接線ベクトルは、（１）式をパラメータＵについて１階
偏微分することにより、 Ｕ ・・・・・・（７） で表される。ここでａ、は節点Ｐ（。。、から制御点Ｐ
（１＠１１に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算
子Ｆと共に第１のパッチ”　（ａｎ　ｖｌ　１について
、次式 ％式％） によって制御辺ベクトルａｊ　　（ｊ＝ｏ、１．２）を
表すことができる。ここで３１は共有境界ＣＯＭの制御
点Ｐ、。５．から第１のパッチＴ（ｕｎ　ｖｌ　１の制
御点Ｐ＋Ｉ１１＋へ向かう制御辺ベクトルを示し、また
、ａｚは同様にして制御点Ｐ、。２．から制御点Ｐ＜Ｉ
ｚ＋＋へ向かう制御辺ベクトルを示す。

同様にして共有境界Ｃ０Ｍ上において、第２のパッチＴ
　（ｕ、　ｖ、ｔのＵ方向に向かう接線ベクトルは、（
１）式をパラメータＵについて１階偏微分することによ
り、 ・・・・・・（９） で表される。ここで００は、節点Ｐ、。。、から第２の
パッチＴ　（ｕ　＋　Ｖ　）□の制御点Ｐ０゜、２に向
かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に第２
のパッチＴ　（ｕｎ　Ｖ）□について、次式０式％） によって制御ベクトルＣｊ　　（ｊ＝０．１．２）を表
すことができる。ここでＣ，は共有境界ＣＯＭの制御点
Ｐ、。１．から第２のパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　ｇの制
御点Ｐｉｌｌ）２へ向かう制御辺ベクトルを示し、Ｃ２
は同様にして制御点Ｐ、。２．から制御点Ｐ（１２）！
へ向かう制御辺ベクトルを示す。

さらに共有境界Ｃ０Ｍ上の各点における第１のパッチＴ
　（ｕｎ　ｖｌ　ｌ側のＶ方向の接線ベクトルは、（１
）式をパラメータＶについて１階偏微分することにより
、 ・・・・・・（１１） で表される。ここです、は、節点Ｐ（。。、から制御点
Ｐ、。、）へ向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算
子Ｆと共に共有境界ＣＯＭについて、次式ｂｊ　＝　Ｐ
　（ｏｊｌ　　Ｐ　＜ｏ＝−Ｉ、（Ｊ　＝　１．２．３
）・・・・・・（１２） によって制御辺ベクトルｂＪ　（ｊ＝１．２．３）を表
すことができる。ここでｂ２は制御点Ｐ、。１）からＰ
、。２．へ向かう制御辺ベクトルを示し、ｂ。

は同様にして制御点Ｐ、。２．から節点Ｐ、。１．へ向
かう制御辺ベクトルを示す。

ところで枠組み処理によって形成された隣合う２つの枠
組み空間に三辺形パッチＴ　ｔａｒ　ｗ＞　Ｉ及びＴ。

、ｖ、２を張った場合、その共有境界ＣＯＭにおける曲
面は一般に滑らかにはならない、そこで本発明において
は、共有境界ＣＯＭを有する２つのパッチＴ（ｕｎ　ｖ
ｌ　１及びＴ　（ｕｎ　ｖ）　ｔを共有境界ＣＯＭにお
いて滑らかに接続するように、各パッチＴ　（ｕｎ　ｖ
□及びＴ　（ｕ、ｖｌ　ｇの内部の制御点Ｐ　ｕｔｚ　
、Ｐ　ｎＩ、ｔを設定し直して、これらの内部の制御点
を用いてパッチに張るべき自由曲面を補間演算し直す。

かくすることにより、境界曲線網で枠組みされた曲面全
体に亘って全てのパッチを滑らかに接続して行くことが
できることにより、多くの物体の外形形状を自然に表現
できる。

この共有境界ＣＯＭにおける滑らかな接続は接平面連続
の条件を満足するような制御辺ベクトルａｏ　〜２１ｚ
　、ｂｌ　〜ｂ３　、Ｃ５〜Ｇｚを求めることにより実
現される。

共有境界００Ｍ上の各点において接平面連続の条件が成
り立つためには、第１のパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌに
ついてそのＵ方向の接線ベクトル（（７）式によって表
される）と、第２のパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　ｚにおけ
るＵ方向の接線ベクトル（（９）式によって表される）
と、第１のパッチＴ（ｕｎ　Ｖ）　ＩのＶ方向の接線ベ
クトル（（１１）式によって表される）とが、同一平面
上にあることであり、これを実現するためには次式 の条件を満足させるようにパラメータを設定し直せば良
い。

ここでλ　（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν　（Ｖ）は、スカラ関
数で、 λ　（Ｖ）　−（１−ｖ）　　＋ｖ　　　　・・・・・
・（１４）ｕ　（ｖ）　−に＋（１−ｖ）　　＋ｘｚ　
ｖ”””　（１５）Ｊ／　　（Ｖ）　＝η＋（ｔ　　ｖ
）　＋　７７１　Ｖ・”・”　（１６）に選定される。

そこで（１４）弐〜（１６）式を（１３）式に代入する
と共に、（７）式、（９）式、（１１）式を（１３）式
に代入し、その結果（１３）式が成り立つように未知数
に１、にＺ及びη１、η２を選定すれば、接平面連続の
条件を満足しながら、２つのパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　
Ｉ及びＴ　（ｕｎ　ｖ）□を接続することができること
になる。

実際上（７）式、（９）式、（１１）式と、（１４）弐
〜（１６）弐とは、（１−ｖ）の項及び■の項を持って
いるので、（１３）式の左辺及び右辺は、（１−Ｖ）’
、Ｖ（１−Ｖ）”、ｖ”（１−ｖ）　　、Ｖ３の項の和
の形に展開整理できる。従って展開式の各項ごとに係数
部が互いに等しいという条件を立てれば、 Ｃ（１＝に＋　ａｏ　＋　７７１　ｂ＋　　　　−−（
１７）２ｃ、＋ｃ、＝’ｌにｌ　ａ、　”Ｋｔ　ａ６＋
２ηｌ　ｂ、＋η２ｂ１　・・・・・・（１８）（ｔ　
＋　’Ｉ　Ｃ＋　８Ｋ　＋　ａ　ｚ　＋　２　Ｋ　ｚ　
ａ　Ｉ＋η、ｂ、＋２ηｚ　ｂ、　　・・・・・・（１
９）（ｔ＝に２　ａ＝　＋η２ｂ３　　　・・・・・・
（２０）で表される連立方程式が得られ、かくして４つ
の未知数に１、に２及びη５、η２を解くことができる
。

ここで接平面とは、共有境界ＣＯＭの各点でのＵ方向及
びＶ方向の接線ベクトルによって形成される平面を称し
、従って共有境界ＣＯＭの各点においエパッチＴ、。、
９，１及びＴ　（ｕ、ｖ）　ｔの接平面が同−のとき接
平面連続の条件が成り立つ。

例えば、一方の節点で成る制御点Ｐ、。。、についての
接平面連続の条件は、第３図に示すように決められる。

すなわちパッチＴ　ｆｕ＋　ｖｌ　１について、共有境
界ＣＯＭを横断する方向（すなわちＵ方向）の接線ベク
トルａｌｌ、及び共存境界ＣＯＭに沿う方向（すなわち
Ｖ方向）の接線ベクトルｂ、の法線ベクトルｎ、は、 ｎ、＝ａ０×ｂ１　　　　　　　　・・・・・・（２１
）で表され、またパッチＴ　（Ｉｌ、　Ｖ）　２につい
て、共有境界ＣＯＭを横断する方向の接線ベクトルＣ０
及び共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルｂｌの法
線ベクトルｎ２は、 ｎｚ　＝　Ｃｏ　Ｘ　ｂ　＋　　　　　　　　　−−（
２２）で表される。

このような条件のもとに、接平面連続というためには、
接線ベクトル”　Ｏ、ｂ　１及びＣｏ　、ｂ。

が同一平面に存在しなければならず、その結果法線ベク
トルｎ、及びｎ２は同一方向に向くことになる。

なおこのようにして共有境界Ｃ０Ｍ上の各点において接
平面連続の条件が成り立つように制御辺ベクトルを設定
した場合において、共有境界ｃ。

ＭからパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ及びＴ　（ＩＴｌ　
ｖ□の方向に向かう接線ベクトルをそれぞれ次式 （Ｇ２）三辺形パッチの２次元的接続 第２図について上述した手法によって、隣接する２つの
三辺形パッチを接平面連続の条件を満足するように接続
することができるが、この手法を用いて、第１図につい
て上述したように、ランダムに取った節点に基づいて形
成された多数の三辺形枠組み空間のように、任意の方向
に拡がって行くような（すなわち２次元的に拡がって行
くような）枠組み空間に、三辺形パッチを張ることを考
える。

このようにランダムに配置されている三辺形パッチ相互
間を接続するには、１つの三辺形パッチの３辺を同時に
接平面連続の条件を満足させながら隣接する３つの三辺
形パッチに接続する必要がある。このような接続方法を
２次元的な接続方法と呼ぶ。

本発明においては、１つの三辺形パッチを構成する３つ
の辺について、それぞれ隣接する三辺形パッチに対して
第２図について上述した手法によって接平面連続の条件
を満足するような３枚のサブパッチを生成し、この３枚
のサブパッチを互いに重ね合わせるようなベクトル関数
表現を用いることによって１つのパッチに合成する。こ
のようにして３枚のサブパッチを重ね合わせることによ
って、３つの辺にそれぞれ隣接する３つの三辺形パッチ
に同時に接平面連続の条件を満足するように２次元的に
接続し得る自由曲面を作成することができる。

例えば第１図において、節点Ｐ　ｓ　　Ｐ　ｑ　　Ｐ　
ｌ　！−Ｐ、によって囲まれる三辺形パッチに着目し、
第４図に示すように、この三辺形パッチＴ　（ｕｎ　ｖ
）　。

の３つの辺を構成する境界曲線でなる共有境界ＣＯＭＩ
、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ３を介して隣接する３つのパッチＴ
（ｕｎ　ｖｌ　Ｚ、Ｔ　（ｕｎ　ＩＴｌ　３、Ｔ（ＩＴ
ｌ　Ｖ１４を２次元的に接続する場合についてその接続
方法を説明する。

第４図において、先ず第１のパッチＴ　（ｕｎ　ｖ）　
ｌにおいて節点Ｐ、２を基準として共有境界Ｃ０Ｍ１及
びＣ０Ｍ２に沿う方向にパラメータＶ及びＵの座標軸を
割当てる。これと一致するように共有境界Ｃ０Ｍ１及び
Ｃ０Ｍ２を介して隣接する第２及び第３のパッチＴ　ｆ
ｕ、ｖ、２及びＴ　Ｔｕ＋　ｖｌ　ｆｆのＶ及びＵの座
標軸を節点Ｐ１□を基準にして選定する。これに対して
共有境界Ｃ０Ｍ３を介して隣接する第４のパッチＰ　（
ｕｎ　ｖｌ　４は、共有境界Ｃ０Ｍ３と対向する節点Ｐ
６を基準にしてＵ軸及びＶ軸を選定する。

かくして共有境界ＣＯＭＩは、第１及び第２のパッチＴ
　（ｕｎ　ＶＩ　Ｉ及びＴ（ｕｎ　ｖｌ　Ｚについて、
パラメータＵをｕ＝０に設定したときの位置ベクトル（
すなわち境界曲線）を表す。また共有境界Ｃ０Ｍ２は、
第１及び第３のパッチＴ（ｕｎ　ｖｌ　１及びＴ　（ｕ
ｎ　Ｖｌ　３について、パラメータＶをＶ＝Ｏに設定し
たときの位置ベクトル（すなわち境界曲線）を表す。こ
れに対して共有境界Ｃ０Ｍ３は、第１及び第４のパッチ
Ｔ　（ｕ、ｖｌ　１及びＴ（ｕｎ　ｖｌ　４について、
パラメータＵ及びＶをｕ＋ｖ＝１に設定したときの位置
レベル（すなわち境界曲線）を表す。

このような座標系を設定したとき、三辺形枠組み空間に
張る第１のパッチＴ（ｕｎ　ｖｌ　１を次式％式％） によって表されるベクトル関数によって定義する。

（２５）式において第１項α（ＬＩ＋　Ｖ）　Ｔ　Ｉ　
（ｕｎ　ｖ）　１　は、共有境界ＣＯＭＩを介して第２
のパッチＴ（１１１９１２と接平面連続の条件を満足す
るように設定された第１のサブパッチを表す。また（２
５）式の第２項β（ｕｎ　ｖ）　Ｔ　２　（Ｉｌ、　Ｖ
ｌ　１　は共有境界Ｃ０Ｍ２を介して第３のパッチＴ　
（ｉｌ、　ｖｌ　３と接平面連続の条件を満足するよう
に設定された第２のサブパッチを表す。

さらに（２５）式の第３項ｒ　（ｕ、　ｖ）　Ｔ　３　
Ｔｕ＋　ｖｌ　１は、共有境界Ｃ０Ｍ３を介して第４の
パッチＴ　＋ＩＩＩ　ＩＴｌ　＜と接平面連続の条件を
満足するように設定された第３のサブパッチを表す。

かくして（２５）式は、第１のパッチＴ　（ｕｒ　Ｖ）
　ｌが、３つの辺を形成する共有境界Ｃ０Ｍ１、Ｃ０Ｍ
２、Ｃ０Ｍ３を介して接続すべき三辺形パッチＴ（Ｉｌ
ｌ　Ｖ）　ｚ、Ｔ　１ｕ８ｖ）　３、Ｔ　（ｕｎ　Ｖ）
４との関係において、それぞれ接平面連続の条件を満足
するような３枚のサブパッチを互いに重ね合わせるよう
なベクトル関数によって表現され１枚のパッチを示して
いる。

（２５）式においてα（ｕ、　ｖ）、β（ｕ、　ｖ）、
γ（ｕｎＶ）は、それぞれパラメータＵ及び■を変数と
じて表されるスカラ関数で、 α（ｕ、　ｖ）＝ ｕ”（１−ｕ−ｖ）”＋ｖ”（１−ｕ−ｙ）２＋ｕｔ　
ｙ”・・・・・・（２６） β（ｕ＋ν）＝ ｕ”（ｌ−ｕ−ｖ）”＋ｖ”（１−ｕ−ｖ）”ｔｕ”　
　ｖ”・・・・・・（２７） γ（ｕ、ν）＝ ｕ２（１−ｕ−ｖ）”＋ｖ”（１−ｕ−ｖ）２＋ｕ２　
ｖ”・・・・・・（２８） によって定義する。

（２５）弐〜（２８）式は、第１のパッチＴ　ｌｉｌ＋
　ｖｌ　Ｉについての定義を述べたが、　この第１のパ
ッチＴ（ｕｎ　Ｖ）　１に接続される３つのパッチＴ　
（ｕ、　ｖｌ　ｔ〜Ｔ　（ｕｎ　ＩＴ）　４についても
全（同様にしてＴ　（ＩＩＩ　Ｖ）　ｔ　＝α（ｕ、　
ｖ）　Ｔ　＋　ｔｕ、　ｖｌ　ｚ＋β（ｕ、　ｖ）　Ｔ
　ｚ　（ｕｎ　ｖｌ　ｔ＋　ｒ　　（ＬＩ＋　　Ｖ）　
Ｔ　ｆｆ　（ｕｎ　ｖｌ　２　　　　・・・・・・　（
２９）Ｔ　（ｕｎ　Ｖｌ　３　＝α（ｕ、　ｖ）　Ｔ　
ｌ　ＩＩＩ、　Ｖ）　３＋β（ｕ、　ｖ）　Ｔ　２　（
Ｉｌ、　Ｖｌ　：１＋γ（ｕ＋ν）　Ｔ　３　（Ｉｌ、
　Ｖ）　ｆｆ　　・・・・・・（３０）Ｔ　（ｕｎ　ｖ
）　４　＝α（ｕ、ν）　Ｔ　＋　ｆｕｎ　ｖｌ　ｍ＋
β（ｕｎ　ｖ）　Ｔ　ｚ　（ｕｎ　ｖｌ　ａ＋　ｒ　（
ｕ、ν、）　Ｔ　、ｔ−、ｖ、４−　・”　（３１）に
よって定義する。

（Ｇ３）接平面連続の条件で接続されていることの確認 （２５）弐〜（３１）式によって互いに接続すべき４つ
の三辺形パッチを表現すれば、第１のパッチＴ　（ｕ、
Ｖ）　Ｉの内部に、３つの共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２
、Ｃ０Ｍ３の全てについて接平面連続の条件式を満足さ
せるような制御点Ｐ（ＩＩ）ｌ（第２図）を（２５）式
によって設定することができる。このことは、次のよう
にして確認し得る。

先ず第４図の三辺形パッチＴ　（ＩＩ＋　ｖｌ　ｌの第
１の共存境界Ｃ０Ｍ１について、この共有境界ＣＯＭＩ
は、（２５）式においてｖｍＱと置くことよって求める
ことができる。ところがｖｍ０の時、（２６）式、（２
７）式、（２８）式からｃｒ（ｕ、　ｖ）−１、β（ｕ
。

ｖ）＝ｒ（ｕ、　ｖ）＝Ｏになる。この条件を（２５）
式に代すると共に、サブパッチを（１）式によって表せ
ば、第１のサブパッチは、 Ｔ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ　ｌ　ｖｍ。＝Ｔ　Ｉ　（Ｉｌ＋
　Ｖ）　１＝　（ｌ　　ｕ　＋　ｕ　Ｅ）’Ｐ　（１１
＋１）　　−・・・（３２）で表されるように、第１の
共有境界ＣＯＭＩに対応する接平面連続の式によって表
される。

同様にして第２のパッチＴ（ｕｎ　Ｖ）　ｌは、（２９
）式％式％） で表される曲線になる。（３２）式及び（３３）式にお
いて、第４図の共有境界ＣＯＭＩの場合、第２図の節点
Ｐ、。。、として、　第１及び第２のパッチＴ（ｍｕ　
ＩＩ）　ｌ及びＴ　（Ｉｌ＋　ＩＴ）　ｔに共通な節点
ＰＩ！が用いられ、かくして（３２）式及び（３３）式
は同一の曲線を描くことにより Ｔｔ−、ｖｌｔ　ｌ　ｖ−ｏ　−Ｔ（ｕ、ｖ＞ｚ　ｌ　
ｖ−６・旧”　（３４）が成り立つ、このことは、ｙ　
ｗ　ＱのときのパッチＴ　（ａｎ　ＩＴ）　ｌ及びＴ　
（ｗ、ｖｌ　ｔの曲線は、同じ位置ニアルことを表して
いる。

次に共有境界Ｃ０Ｍ１について、第１及び第２のパッチ
Ｔ（＠ｒ　Ｗ）　Ｉ及びＴ（ｗ＋　ｖ）　ｚのＵ方向（
すなわち共有境界ＣＯＭＩに沿う方向）の接線ベクトル
を（１）式に基づいて求めると、 −３１ｕｎｕＥ）”　（Ｅ　　１）　Ｐ（０１１１・・
・・・・（３５） ＝３　（１ｕｎｕＥ）”　（Ｅ　　１）　Ｐ（ａｌｌｌ
・・・・・・（３６） になる。従って（３５）式及び（３６）弐から、・・・
・・・（３７） が成り立つことにより、共有境界ＣＯＭＩに沿う方向の
パッチＴ　（ｕ、　ｖ）　、及びＴ　（ｕ、ｖ）　ｔの
接線ベクトルが互いに等しいことが分かる。

さらに、第１及び第２のパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌ及
びＴ　、、、　ｖ）　、のｖｍＱにおけるＶ方向（すな
わち共有境界ＣＯＭＩを横断する方向）の接線ベクトル
Ｈ□及びＨ１ｚを求めれば、 −３（１−ｕｎｕＥ）（Ｆ−１）Ｐ（６０＋・・・・・
・（３８） ＝３　（１−ｕｎｕＥ）（Ｆ−１）　Ｐ＋ｏｏ＋・・・
・・・（３９） になる。従って第１及び第２のパッチＴ　（ｌｌ＋　ｖ
ｌ　ｌ及びＴ　（ｕｎ　Ｖ）　ＺのＶ方向（すなわち横
断方向）の接線ベクトルＨ２，及びＨｌ、は Ｈｔｒ＝１４ｒｔ　　　　　　　　　　　　　　　・・
・・・・　（４０）のように同一となる。

従って（３２）弐〜（４０）式から明らかなように、（
２５）式及び（２９）式によって表された隣接する２つ
のパッチＴ　（ｕｎ　ＩＴ）　Ｉ及びＴ　（ｕｎ　ｖｌ
　ｇは、共有境界Ｃ０Ｍ１において接平面連続の条件を
満足するようなパッチであることを確認し得る。

次に、第１のパッチＴ　（ｕｎ　ｖ＞　を及び第３のパ
ッチＴｊｕ＋　Ｖｌ　３間の共有境界Ｃ０Ｍ２について
、（３２）弐〜（３４）式に対応させて（４１）弐〜（
４３）式に示すように、２つのパッチＴ　（ｕｎ　Ｉｌ
ｌ　＋及びＴ　（ＩＩＩ　Ｖ）　３についてｕｗＱのと
きの曲線を表す位置ベクトルは互いに等しくなる。

Ｔ　ｌｕ＋　ｖｌ　ｒ　ｌ　ｕｓｅ　＝　Ｔｔ　（Ｉｌ
ｌ　Ｖ）　１”　（１ｖ　＋　ｖ　Ｆ）”Ｐ　ｔｏｏ＋
　　　・＝・＝　（４１）Ｔ　（ｕｎ　ｙｌ　２　ｌ　
ｕｎ＋６　”　Ｔｌ　（ｕｎ　ＩＴ）　２＝　（１−ｖ
　＋　ｖ　Ｆ）’Ｐ　（００１””　（４２）Ｔ　（ｕ
ｎν）　Ｉ　ｌ　ｕ−０＝Ｔ　（＆Ｉ＋　ＩＩ）り１．
、、。・・・・・・　（４３）従って２つのパッチの境
界曲線は同じ位置にあることが分かる。

次に（３５）弐〜（３７）式に対応させて、（４４）弐
〜（４６）式に示すように、　２つのパッチＴ　（ｕｎ
　ｖ）　ｌ及びＴ　（ｕ、　ｖｌ　３のｕ＝０における
Ｖ方向の接線ベクトルは互いに等しくなる。

”３　（１ｖｌｖＦ）（Ｆ　　１）　Ｐｔｏｏ＋・・・
・・・（４４） ””３　（ｌ　　ｖｌｖＦ）（Ｆ−１）Ｐ（００１・・
・・・・（４５） ・・・・・・　（４６） さらに（３８）弐〜（４０）式に対応させて（４７）弐
〜（４９）式に示すように、　２つのパッチＴ　（ｕｐ
　ｖｌ　ｌ及びＴ　（ｕｎ　ＩＴ）　２のｕ＝Ｑにおけ
るＵ方向（すなわち横断方向）の接線ベクトルＨ３１、
Ｈｌ、は互いに等しくなる。

＝３　　（１−ｖｌｖＦ）”　（Ｅ　　１）　Ｐ（１１
６）・・・・・・（４７） ＝３　（１−ｖ十ｖＦ）”　（Ｅ−１）　Ｐ（００１・
・・・・・（４８） ・・・・・・　（４９） このような（４１）弐〜（４９）式の演算結果から、第
１のパッチＴ　＜ｕｎ　ｖｌ　＋及び第３のパッチＴ　
（ａｎ　ｖｌ　ｓは共有境界Ｃ０Ｍ２において接平面連
続の条件を満足するように接続されていることが分かる
。

さらに第１のパッチ”　（ｕｎ　ｗ、１及び第４のパッ
チＴ　（ａｎ　？）　４間の共有境界Ｃ０Ｍ３について
、ｕ＋ｖ＝１における曲線を（３２）弐〜（３４）式に
対応させて（５０）弐〜（５２）式に示すように求める
と、２つのパッチＴ（Ｉｌｌ　ｖ）　ｌ及びＴ　（ｕ、
　ｗ、４の境界曲線は互いに等しくなる。

Ｔ　＋ＩＩ＋Ｖｌｌ　ｌ　ｕｓｅ、Ｉ　　＝Ｔｆｆ（ｕ
ｎｖ）ｌ　　ｌ　ｕｎｖ＊１＝　（ｕ　Ｅ　＋　ｖ　Ｆ
　）’Ｐ　Ｃ６０１−−（５０）Ｔ　（ＩｌｌＶ１４　
＋　１１４９”ｌ　＝Ｔ３（ｕｎｌＴ１３　　ｌ　ｕｅ
ｖ＊１＝　（ｕ　Ｅ　＋　ｖ　Ｆ）３Ｐ　（６０１・”
・”　（５１）Ｔ　（ＩｌｌＶｌｌ　ｌ　ｕｎＶ”ｌ　
　”Ｔ（ｕ、ｖ）４　ｌ　ｕｎｖ＋１・・・・・・　（
５２） 従って２つのパッチの境界曲線は互いに同じ位置にある
ことが分かる。

次に（３５）弐〜（４０）式に対応させて（５３）弐〜
（５８）式に示すように、２つのパッチＴ　、、、　ｖ
ｌ　。

及びＴ　（Ｉｌｌ　Ｖ）　４のｕ＋ｖ＝ｌにおけるＵ方
向及びＶ方向の接線ベクトルが互いに等しいことが分か
る。

＝３　（ｕＥ＋ｖＦ）”　（Ｅ　　１）　Ｐ（６６１・
・・・・・（５３） −３（ｕＥ＋ｖＦ）”　（Ｅ　　１）Ｐ（００）・・・
・・・　（５５） ”３　　（ｕＥ＋ｖＦ）”　　（Ｆ　　　１）Ｐ（００
１・・・・・・　（５６） ＝３　　（ｕＥ＋ｖＦ）”　　（Ｆ−１）Ｐ＋ｏｕ・・
・・・・　（５７） このように、　２つのパッチＴ　（Ｉｌｌ　ＶＩ　Ｉ及
びＴ　（ｕ、　ｖｌ　４のｕ＋ｖ＝ｌにおける曲線のＵ
方向及びＶ方向の接線ベクトルが互いに等しいことは、
当該境界曲線に沿う方向の接線ベクトルが互いに等しい
ことを表していると共に、ｕ＋ｖ＝ｌにおける境界曲線
を横断する方向の接線ベクトル８４１及びＨＩ３も互い
に等しいことを表している。

従って第１のパッチ”　（ｕｎ　ｖｌ　１及び第４のパ
ッチＴ　Ｉｕ＊　ｖｌ　４は、共有境界Ｃ０Ｍ３におい
て接平面連続の条件を満足するように接続されているこ
とが分かる。

（Ｇ４）　　内部制御点の設定の仕方 第４図について上述したように、第１のパッチ”　（ｕ
ｎ　ｖｌ　１は、（２５）式で示すように、３つの辺に
対応する３つのサブパッチα（ｕｎ　ｖ）　Ｔ　Ｉ（ｕ
ｎ　ｖ）　Ｉ、β（ｕ、　ｖ）　’ｒ　ｚ　（ｕｎ　ｖ
ｌ　Ｉ　、γ（ｕ＋ν）　Ｔ　ｆｆ　（ｕｎ　ｖ）　ｌ
　で表される式の和のベクトル関数によって表現される
１枚のパッチを張ることにより、それぞれ３つの辺の位
置にある共存境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ３におい
て、接平面連続の条件を満足するように２次元的に隣接
する三辺形パッチと接続することができる。

このようなパッチを三辺形枠組み空間に張る場合、三辺
形パッチの境界を表す境界曲線は、第２図について上述
したように、３つの節点Ｐ（。。１、Ｐ（１゜＋ｌ、Ｐ
（。コ）と、各節点間の２つの制御点（Ｐ　（＋６）ｌ
　％　Ｐ（１６１１）　ｓ　　（Ｐ＋ｚｔｚ　％　Ｐ（
＋２１１　）　−。

（Ｐ（。２．、Ｐ（。、）によって枠組み処理を実行す
る際に一義的に決められている。

これに対してパッチＴ（ｕｎ　ｖ）　１の内部に設定す
る制御点Ｐ、ＩＩ、ｌ　は、実際上（２５）式のベクト
ル関数においては、３つの辺についてそれぞれ接平面連
続の条件が成り立つように、各項ごとに制御点を設定す
る。　かくして、内部に３つの制御点Ｐ（ＩＩ＞＋　　
（これをＱ＋　、Ｑ、　、ａ、で表す）をもつことがで
きることになり、これにより大きい自由度で三辺形パッ
チを２次元的に接続し得る。

いま、内部の制御点Ｑｌ、Ｑ１、Ｇ３をそれぞれ共通の
位置ベクトルＰ（Ｉ１１＋で表すとすると、（２５）式
に（１）式、（２６）式、（２７）式、（２８）式を代
入して展開すれば、次式 Ｔ　（ｕｎ　ｖＴ　Ｉ　＝　（α十β＋ｒ　）　Ｗ’　
Ｐ　（＋１０１＋（α＋β＋ｒ　）　−３ｗ：ｌｕ　Ｐ
　（１１１１１＋（α十β＋Ｔ　）　　３　ｗｕ”　Ｐ
　ｔｔｏｘ＋（α十β＋γ）ｕ３Ｐ＋３ｏ目 ＋（α＋β＋１　）　３　Ｗ”　Ｖ　Ｐ　（６１）＋（
α十β＋Ｔ）６ｕｖｗＰｔ＋＋ｚ ＋（α十β＋ｒ）３ｕ”　ｖｐ（ｚｌ１１＋（α＋β＋
１　）　　３　ｗ　ｖ”　Ｐ　ｃｏｔ＋＋（α＋β＋７
）３ｕｖ”　Ｐ（＋ｚ、ｌ＋　（α　＋　β　＋　γ　
＞　　　ｖ’　　ｐ　　ｔｏコ）・・・・・・（５９） が得られる。ただしパラメータｕ、ｖに関連して、（２
５）弐〜（２８）式において次式 １−　ｕ　−ｖ　＝　ｗ　　　　　　　　　・・・・＝
　（６０）によってパラメータＷを導入する。その結果
（１）式は Ｔ　（ｕｎｖｌ　　＝　（ｗ　＋　ｕ　Ｅ　＋　ｖ　Ｆ
）’Ｐ　（１）ｌ））・・・・・・（６１） のように表現し得、また（２６）弐〜（２８）式は、・
・・・・・（６２） ・・・・・・（６３） ｕ”　ｖ’　＋ｖ’　ｗ’　十ｗ’　ｕ’・・・・・・
　（６４） のように表現し得る。

（５９）式において、制御点Ｐ（ＩＩ）ｌの項を除く他
の節点及び制御点に対応する項は、枠組み処理のＨｂこ
指定された固定点についてのベクトル成分を表しており
、従って（２５）弐の３つの項についてそれぞれ３つの
辺に対応して接平面連続の条件を満足するような制御点
Ｐ（１゜Ｉ　（ずなわちＱ、、Ｑｚ　、Ｑ：ｌ　）を求
める際においても固定した値として演算し得る項である
。

これに対して制御点１”Ｈｌ、ｔに対応する項（すなわ
ち第６項）は、パッチＴ　（ＬＩＩＶ□の内部に設定す
る３つの制御点Ｑ、　、Ｑｔ、Ｑ、を実質上の内容とし
てもっている。

従って（５９）式において第６項を除く他の項の係数（
α＋βトγ）は α＋β＋ｒ＝１　　　　　　　　　・・・・・・（６５
）としてｆｉ算して良いのに対して、　（５９）式の第
６項は （α＋β＋ｒ）　６ｕｖｗｐ、、、、、　＝α　６ｕｖ
ｗＱ、　　　＋　β　５ｕｖｗＱｚ＋　７５　ｕ　ｖ　
ｗ　Ｑ、　　　　　　　　−（６６）と置き換えて演算
すべき内容をもち、第４図において第１のパッチＴく工
、ｖ）１を囲む３つの共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２、Ｃ
０Ｍ３に対応する制御点Ｑ＋　、ＱＺ　、Ｑｓの係数に
それぞれα、β、Ｔを乗算するような演算をする必要が
あり、かがる演算をすることによってベクトル合成され
て得られた１つの制御点が内部の制御点Ｐ（１１１１に
なることを表している。

従って制御点Ｐ（１＋１１　は、（６６）式から、Ｐ（
Ｉｌ１１＝αＱ、　　＋βＱｚ　＋γＱ３・・・・・・
（６７） のように３つの制御点Ｑｌ　、Ｑｚ　、Ｑ、ｘによって
表すことができる。そして（６７）式に（６２）式〜（
６４）式を代入することにより、三辺形パッチを２次元
的に接続した場合に、内部に設定される制御点Ｐ（目）
１は・ Ｐ（ＩＩ）Ｉ” ｕ”　　ｖ’　　＋ｖ”　　ｗ”　　＋ｗ　　　ｕ・・
・・・・　（６８） によって決めることができる。

従って実際上制御点Ｐ（１１□を設定するには、第５図
に示すように、三辺形パッチの共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０
Ｍ２、Ｃ０Ｍ３について接平面連続の条件を満足するよ
うな制御点Ｑ１、Ｇ２、Ｇ３を設定すれば良いことにな
る。

（Ｇ５）パッチ接続処理手順 第２図及び第４図について上述した三辺形パッチの２次
元的な接続は、これをコンピュータによって第６図に示
す処理手順を実行することにより実現し得る。

第６図において、ステップＳＰ１において接続処理手順
が開始されると、コンピュータはステップＳＰ２におい
てパッチデータを読み込む。このパッチデータは例えば
デザイナが自由曲面をデザインする際に、別途３次元空
間に境界曲線網を枠組みすることにより得られる。この
枠組み処理に異常がなければ、境界曲線によって囲まれ
ている隣合うパッチは共有境界ＣＯＭをもっており、従
って以下に述べる接続処理によってこの共有境界ＣＯＭ
において各パッチを接平面連続の条件の下に滑らかに接
続することができる。

コンピュータはステップＳＰ２においてパッチデータを
読み込んだとき、３次のベジェ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる６個の制御点（
各辺に２個ずつ）を設定して三辺形枠組み空間の頂点に
ある節点と共に、パッチ内の補間演算を実行する。

この補間演算は、例えば第４図について上述したように
、（２５）弐〜（３１）式で表されるようなサブパッチ
をそれぞれ設定することを意味する。

続いてコンピュータは、次のステップＳＰ３において、
　接続すべき４つのパッチＴ　（、、ｖ）　ｌ〜Ｔ（ｕ
ｎ　ｖｌ　４を指定した後、ステップＳＰ４に移る。

このステップＳＰ４は、第１のパッチＴ（工＋　Ｎ　を
及びこれに接続しようとする第２〜第４のパッチＴ　（
ｕｎ　ｖｌ　Ｋ−Ｔ　（ｌＪ＋　Ｖ）４について、共有
境界ＣＯＭ　１〜Ｃ０Ｍ３の両端にある節点Ｐ、。。１
、Ｐ（３゜）９、Ｐ、。、）において、制御辺ベクトル
が同一平面上にあるかどうかを調べる。すなわち節点Ｐ
、。。、において制御辺ベクトルａｏ　、ｂ＋　、Ｃｏ
が同一平面になければ、接平面連続の条件が成り立たな
いことになる。同様に節点Ｐ、。３）及びＰ、。、にお
いて制御辺ベクトルが同一平面になければ接平面連続の
条件が成り立たないことになる。

そこでコンピュータはステップＳＰ４において肯定結果
が得られたときには次のステップＳＰ５に進み、これに
対して否定結果が得られたときには、ステップＳＰ６に
おいて同一平面にない制御辺ベクトルを回転させること
によって同一平面上に修正した後、次のステップＳＰ５
に進む。

このステップＳＰ５は、三辺形パッチＴ　（（Ｉｎ　ｖ
ｌ　Ｉにある３枚のサブパッチの作成順序を指定し、か
くして第２、第３、第４の三辺形パッチＴ　（ｕｎ　ｖ
ｌ　！、Ｔ　（＋Ｊ＋　ＩＦ）　！、Ｔ　（ｕｎ　ＩＴ
）　ａの順序で、共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ
３における接平面連続の条件を求めることができるよう
にする。

続いてコンピュータは、ステップＳＰ７に移って当該所
定の順序で三辺形パッチＴ　、ｕ、　、、　、の内部に
設定すべき制御点Ｑ、　、Ｑ、　、Ｑ、＋を求める。

かくして第４図の三辺形パッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　（に
ついてその３つの辺を共有境界として隣接する３つの三
辺形パッチＴ　（ｕ、Ｖｌ　’ｌ〜Ｔ　（ｕｎ　ｖｌ　
４に滑らかに接続する１つの三辺形パッチを作成するこ
とができる。

その後、コンピュータは、次のステップＳＰ８に移って
全てのパッチを接続したか否かの判断をし、否定結果が
得られたとき上述のステップＳＰ３に戻って新たに接続
すべき三辺形パッチを指定することによって上述のサブ
パッチの作成処理を繰返し実行する。

やがて全てのパッチの接続が終了して、上述のステップ
ＳＰ８において肯定結果が得られると、コンピュータは
ステップＳＰ９に移って表示装置を用いて各パッチを囲
む境界曲線の各点における法線ベクトル及びパッチ内の
等直線を表示することにより、パッチの接続が滑らかで
あるか否かをオペレータが目視確認できるように表示す
る。

この表示を見てオペレータは次のステップ５Ｐ１０にお
いて、共有境界Ｃ０Ｍ１〜Ｃ０Ｍ３上の法線ベクトルが
隣接する三辺形パッチについて互いに一致しているか否
かを確認でき、一致していない場合にはステップ５ＰＩ
Ｉにおいてその原因を調べ、必要に応じて数値的な修正
を行う。かくして一連のパッチ接続処理手順をステップ
５ＰＩ２において終了する。

（Ｇ６）他の実施例 なお上述の実施例においては、枠組み空間に３次のベジ
ェ式で表されるパッチを張る場合について述べたが、数
式の次数はこれに限らず４次以上にしでも良い。

さらに上述の実施例においては、ベジェ式によって表さ
れるパッチを張るようにした場合について述べたが、こ
れに限らず、スプライン式、クーンズ（Ｃｏｏｎｓ）式
、フオーガソン（Ｐｕｒｇａｓｏｎ）式などの他のベク
トル関数を用いるようにしても良い。

また、上述の実施例においては、三辺形パッチＴ　（ｗ
＋　ＩＴ）　ｌの３つの辺に三辺形パッチＴ　（ｕｎ　
ｖｌ　ｔ〜Ｔ　（Ｉｌ＋　Ｖ）　４を接続した場合の実
施例について述べたが、三辺形パッチＴ　（ｉ＋＋　ｖ
）　、の３つの辺に接続するパッチの形状は、三辺形に
限らず、例えば四辺形等の他の形状であっても良（、こ
のようにしても三辺形パッチＴ　（ａｎ　ｗｌ　＋の３
つの辺を共存境界として接平面連続の条件を満足するよ
うな２次元的な接続を実現し得る。

この場合には、第７図に示すように、四辺形枠組み空間
の間に、三辺形枠組み空間が混在する場合にも、これを
２次元的に容易に接続することができることを意味して
おり、かくして例えば物体の角部の形状として丸味を帯
びた自由曲面を生成する場合に有効に適用し得る。

［（発明の効果 以上のように本発明によれば、枠組み処理によって２次
元的に任意の方向に拡がる境界面′！ＩＡ網に自由曲面
を張るにつき、空間にランダムに設定された節点に基づ
いて三辺形枠組み空間によって境界曲線綱を形成した場
合に、１つの三辺形パッチを囲む３つの共有境界につい
て、接平面連続の条件を満足するような３つの制御点を
設定し、当該３つの制御点によって制御される三辺形パ
ッチを張るようにしたことにより、２次元的に順次拡が
って行く枠組み空間に対して大きい自由度で実用上十分
に滑らかに接続された自由曲面を容易に作成することが
できる。

【図面の簡単な説明】

第１図は（１意の方向に三辺形枠組み空間が拡がる境界
曲線ＩＶＪｉｌを示す路線図、第２図は２つの三辺形パ
ッチの接続方法を示す路線図、第３図は接平面連続の条
件の説明に供する路線図、第４図は３近影パッチの各辺
の接続関係を示す路線図、第５図は三辺形パッチ内に設
定される３つの制御点の説明に供する路線図、第６図は
パッチ接続処理手順を示すフローチャート、第７図は本
発明の詳細な説明に供する路線図である。 Ｔ　（ｕｎ　Ｖ）　ｌ〜Ｔ（ｕｎ　ｖｌ　４・・・・・
・三辺形パッチ・ａ（１〜ａｘ　、ｌ）＋　”ｂ２　、
Ｃ６”’Ｃ２・・・・・・制御辺ベクトル％　Ｐ　（＠
＠）、　Ｐ　（６３）、　Ｐ　（３ｏ）　Ｉ　％　Ｐ　
（３（＋１２−−節点、　Ｐ（１１１１、Ｐ＜ｏｔ＋、
Ｐ　（１＋１）　Ｉ　”’　Ｐ　（！１１１　％Ｐ　（
ｔｏｌｌ　〜Ｐ　（ｔＩ）ｔ　％　Ｐ　（目１１　％　
Ｐ　（１１１２−−制御点、ＣＯＭ、ＣＯＭＩ−Ｃ０Ｍ
３・・・・・−共有境界。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関数で表
   されるパッチを張ることにより、自由曲面を生成するよ
   うになされた自由曲面作成方法において、 上記枠組み空間として、第１の境界曲線、第２の境界曲
   線及び第３の境界曲線で囲まれた三辺形枠組み空間を含
   むように枠組み処理を実行し、上記三辺形枠組み空間に
   張る三辺形パッチを、上記第１の境界曲線を共有境界と
   して隣接する第１の隣接パッチに接平面連続の条件を満
   足するように接続する第１のサブパッチと、上記第２の
   境界曲線を共有境界として隣接する第２の隣接パッチに
   接平面連続の条件を満足するように接続する第２のサブ
   パッチと、上記第３の境界曲線を共有境界として隣接す
   る第３の隣接パッチに接平面連続の条件を満足するよう
   に接続する第３のサブパッチとを重ね合わせ合成するこ
   とにより生成することを特徴とする自由曲面作成方法。