JPS62157968A - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第３図）Ｆ作用（第３
図） Ｇ実施例（第１図〜第６図） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に間し、例えばＣＡＤ　（ｃ
ｏｌＩｌｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）、又
はＣＡＭ　（ｃｏ＋＊ｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎ
ｕｆａｃｔｕｒｉｒ＋ｇ）などにおいて、自由曲面をも
った形状を生成する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、ＣＡＤ、又はＣＡＭなどにおける自小曲面作
成方法において、枠組ミ舛理によって得られた境界曲線
網に、非四辺形枠組み空間が生じたときは、これを分割
し直して四辺形パッチを張るようにすることにより、形
状的に特徴がある部分に簡易なアルゴリズムによって容
易にパッチを張ることができる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて、自由曲面をもった物体の
形状をデザインする場合、一般に、デザイナは曲面が通
るべき３次元空間における複数の点を指定し、当該指定
された複数の点を結ぶ境界曲線網を、所定の関数を用い
てコンピュータによって演算させることにより、いわゆ
るワイヤーフレームで表現された曲面を作成する。かく
して境界曲線によって囲まれた多数の枠組み空間を形成
することができる（このような処理を以下枠組み処理と
呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を利用して所
定のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算す
ることができれば、全体としてデザイナがデザインした
自由曲面（２次関数で規定できないものを言う）を生成
することができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面
は全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッ
チと呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
ェ（Ｂｅｚｉｅｒ）式、Ｂスプライン（Ｔ３−ｓｐｌｉ
ｎｅ）式でなる３次のテンソル積が使われており、例え
ば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面を数式表現
するには最適であると考えられている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲面
（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場合
には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュータ
による演算処理が複雑かつ膨大になる問題がある。

特に、形状的に特徴がある曲面部分を枠組みする場合、
形状的な創作過程を重視するため実際に得られる境界面
ｖＡＭ４には、三辺形、四辺形、五辺形、六辺形・・・
・・・などの種々の形状の空間が混在することが多い。

このような境界曲線網に直接パッチを張ろうとすれば、
枠組み空間の形状に応じてそれぞれ別々の補間演算式を
用いて補間演算しなげればならないため、コンピュータ
のアルゴリズムが複雑かつ大規模になることを避は得な
い。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、境界曲線
網に四辺形パッチを張ることを標準として、この標準パ
ッチを用いて統一的にパッチを接続して行くようにする
ことにより、簡易なアルゴリズムを用いて形状的に特徴
がある曲面部分を容易に生成できるようにした自由曲面
作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、枠組み空間に所定のベクトル関数で表されるパッ
チを張ることにより、自由曲面を生成するようになされ
た自由曲面作成方法において、枠組み処理によって非四
辺形枠組み空間Ｐ　Ｔ９　　Ｐ　Ｔｌｌ　　Ｐ　Ｔｔｓ
　　Ｐ　Ｔ９が生じたとき、これを複数の四辺形空間Ｐ
Ｔ、−ＰＴ、。−ＰＴＩｌｌＰＴｌ？　ＰＴ９、ＰＴＩ
ＯＰＴＩＩ　　ＰＴＩ９　　ＰＴ’ｓ　　ＰＴＩ（１、
Ｐ　Ｔｚｓ　　Ｐ　ＴｌＴ　　Ｐ　Ｔ＋ｓ　　Ｐ　Ｔ＋
ｗ−ｐ’ｒｇｓに分割し直し、当該分割空間に四辺形パ
ッチを張るようにする。

Ｆ作用 枠組み処理においては、形状的に特徴がある境界曲線網
部分に非四辺形空間（三辺形、五辺形・・・・・・）が
生じ易い。

かかる非四辺形空間Ｐ　Ｔ９　　Ｐ　Ｔｌｌ　　Ｐ　Ｔ
１３−ＰＴ、が生じたとき、本発明においては、非四辺
形空間を四辺形空間Ｐ　Ｔｑ　　Ｐ　ＴＩｏ−Ｐ　Ｔｈ
ｅ　　ＰＴ＋ｔ　　ＰＴｑ　−ＰＴ＋ｏ　　ＰＴ＋＋　
　ＰＴ＋ｑ　　ＰＴ＋ｅ−ＰＴ、。、ＰＴｚ＊　　ＰＴ
ローＰＴ＋ｅ　　ＰＴ＋ｑ　　ＰＴ□に分割し直した後
、四辺形パッチを張る。

このようにすることにより、各枠組み空間にパッチを張
る際の隣合うパッチを接続するための演算に用いるアル
ゴリズムを簡易化し得る。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）四辺形パッチによる接続の原理本発明において
は、枠組みされた境界曲線及び枠組み空間に張られる全
てのパッチを四辺形に分割して次式のベクトル関数Ｓ　
（ｕｎ　ｖｌ　、Ｓ　（ｕｎｖ）　　−（１ｕ　＋　ｕ
　Ｅ）　１′・（１−ｖ　　＋　ｖＦ）　　”　　Ｐ　
　（ｏａ）　・＝−（１）で表されるベジェ式を用いて
表現する。ここで、Ｐ、。。、は、第１図に示すように
、隣合う枠組み空間に張られた曲面すなわち第１のパッ
チＳ　（ｕｎ　ｖｌ　１及び第２のパッチＳ　（０１１
１）　ｚが共に保有している境界（これを共有境界と呼
ぶ）の一端の位置を表す位置ベクトルでなり、（１）式
は、位置ベクトルで表された制御点Ｐ、。。）を基準に
して、第１及び第２のパッチＳ（ｕｎ　Ｖ）　ｌ及びＳ
　（ｕｎ　ｖ）　２上の自由曲面を表現する。

また、（１）式においてＥ、Ｆはシフト演算子で・″゛
ンチＳ・・・）１及びＳ（・、・＋２上の位置ベクトル
で表される制御点Ｐ（１、ｊ、に対して次式、Ｅ　−Ｐ
　、、、ｋ）　＝Ｐ（ｉ＋＋＋。　　　　・・・・・・
（２）Ｆ−Ｐ　（ａ、に、＝　Ｐ　＜！、に＋ｎ　　　
　　−・・・（３）の関係をもつ。

さらに（１）式において、ｕ、、■は０〜１の間を変化
するパラメータで、第Ｆ図に示すように、第１及び第２
のパッチＳ　（ＩＩＩ　ＶＩ　Ｉ及びＳ　（ＩＩＩ　ｖ
）　ｚに対してそれぞれ制御点Ｐ（。。、から横方向に
Ｕ軸をとり、かつ縦方向にＶ軸をとった座標（ｕ、ｖ）
を用いてパッチ５（ＩＩＩ　Ｖ）　ｌ及びＳ　（ａ＋　
ｖｌ　ｚ内の自由曲面上の座標を表すことができる。

さらに（１）式においてｍ及びｎは、ベジェ曲面を、ｍ
次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表している
。第１図の場合ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のベジェ
式を用いて自由曲面を表現するようになされ、かくして
Ｓ　（ＩＩＩ　％’）　Ｉは１６個の制御点、すなわち
Ｐ、。。、〜Ｐ、。３１、Ｐ（１゜、ｌ〜Ｐ　（１３１
１％　Ｐ　（ｔｏ目〜Ｐ　（２３）　Ｉ　％　Ｐ　〈３
ｏｙ　ｒ　〜Ｐ９．。１で表現することができる。また
第２のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　Ｍも同様にして１６個
の制御点Ｐ、。。、〜Ｐ　（ｏｓ）−、Ｐ　ｉ＋ｏ＋ｚ
　”Ｐ　＋＋：ｎｚ＼Ｐ（２６〉２ゞＰ　、ｚ：ｎ　２
　、Ｐ　、ｓｏｙ　ｚ　〜Ｐ　ｔ＊ｓ＋　２によって表
現することができる。

このような２つのパッチＳ（ｕ＋％’）ｌ及びＳ　（（
（＋　ｖ）　ｚは、デザイナによる枠組み処理によって
作られた境界曲線軍上に張られており、この２つのパッ
チ間に共有境界ＣＯＭをもっている。ここで、各境界曲
線に沿って設定された制御点は、枠組み処理時に各境界
曲線を３次のベジェ式で表すために設定され、各境界曲
線の両端間における凸面側位置に４つの制御点が指定さ
れている。これに対して境界曲線によって囲まれた枠組
み空間内部の制御点は、当該枠組み空間に自由曲面を張
るために３次のベジェ式を用いて補間演算するために設
定される。か（して各枠組み空間の曲面は、１６個の制
御点によって表される。

ところで、枠組み処理によって形成された境界曲線網の
多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張つ°
ζパッチを生成した場合、隣合うパッチの共有境界にお
ける曲面は一般に滑らかにはならない。そこでこの実施
例においては、共有境界ＣＯＭを有する２つのパッチＳ
　（ｕ、　ｖ）　ｌ及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｔを、共有
境界ＣＯＭにおいて滑らかに接続するように、各パッチ
の制御点を設定し直して、これらの制御点を用いてパッ
チに張るべき自由曲面を補間演算し直す。これにより、
境界曲線網で枠組みされた曲面全体に亘って全てのパッ
チを滑らかに接続して行くことができることにより、多
くの物体の外形形状を自然に表現できる。

この共有境界ＣＯＭにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトルａ０〜”　３　、ｂ＋
　””　ｂ　３　、Ｃ６””　Ｃ３を求めることにより
実現される。制御辺ベクトルｆｉ６　、ａ　ｌ　−、ａ
ｔ、ａ３は制御点Ｐ　（Ｇｏ）　ｓ　Ｐ　＋０１１　％
　Ｐ　（ｏｗ）％　Ｐ　１０３＋から第１のパッチＳ　
（ｕｎ　ｖｌ　Ｉの隣の制御点Ｐ（１０１＋、Ｐ　（Ｉ
Ｉ）　Ｉ　、Ｐ　（＋２１　ｌ　、Ｐ　（１３１１に向
かうベクトルでなる。また、制御辺ベクトルＣ６％　Ｃ
，、Ｃ２、Ｃ２は、制御点Ｐ（ｏｏ＋、Ｐ（。ｌｌ、Ｐ
　＜ｔｘｔ＋　％　Ｐ　ｔ、Ｓ＋から第２のパッチ５（
ＩＩ＋　ｖｌ　Ｚの隣の制御点ＰｆｌＯ）２、Ｐ　（１
１１２％　Ｐ　ｕｔ）ｚ　、Ｐ　Ｃ１３１２に向かうベ
クトルでなる。さらに制御辺ベクトルｂ、　、ｂ、　、
ｂ３は、制御点Ｐ、。。、からＰ〈。１．に向かうベク
トル、制御点Ｐ（１１１１からＰ、。２．に向かうベク
トル、制御点Ｐ（ｏｔ＋からＰ（。３）に向かうベクト
ルでなる。

かくして共有境界ＣＯＭ周りの曲面が、制御辺ベクトル
ａ。Ａ−ａ８、ｂ１〜ｂ７、Ｃｏ〜Ｃ３によって表され
、これらの制御辺ベクトルを用いて接平面連続の条件式
を求める。接平面連続の条件は、第１に共有境界ＣＯＭ
の線上の各点について、第１のパッチＳ　（ｕ、　ｖ）
　＋のＵ方向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ　（ｕ
、　ｗ）！のＵ方向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ
　（ｕ、ｖ）　ｔのＶ方向を指定する共有境界ＣＯＭの
接線ベクトルとが同一平面上に存在することである。こ
こで接平面は、共有境界の各点でのＵ方向及びＶ方向の
接線ベクトルによって形成される平面を呼び、従って共
有境界の各点においてパッチＳ　（ｕｎ　ｖ□及びＳ。

＋ｖｌアの接平面が同一のとき、接平面連続の条件が成
り立つ。

例えば、一方の節点でなる制御点Ｐ、。。〉についての
接平面連続の条件は、第２図に示すように決められる。

すなわちパッチＳ　、、、　Ｖ）　、について、共有境
界ＣＯＭを横断する方向（すなわちＵ方向）の接線ベク
トルａ０、及び共有境界ＣＯＭに沿う方向（すなわちＶ
方向）の接線ベクトルｂ、の法線ベクトル関数冒は、 ｎ　、　　−ａ　６　　ｘ　ｂ　、　　　　　　　　　
　　−−（４）で表され、またパッチＳ（。、ｖ、２に
ついて、共有境界ＣＯＭを横断する方向の接線ベクトル
Ｇｏ、及び共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルｂ
。

の法線ベクトルｎ２は、 ｎｚ　＝ｃ６　ｘｂ、　　　　　　　　　＋＋＋＋　（
５）で表される。ここで接平面連続というためには、接
線ベクトルａ　Ｏ、ｂ　１及びＣＯ、ｂ　Ｉが同一平面
になければならず、その結果法線ベクトルｎ１及びｎｔ
は同一方向に向くことになる。

かかる接平面連続の条件を満足するベクトル関数を次式 で表す。（６）式においてａ　Ｓ　（ｇ、　ｖ目／　ａ
　ｕ及びａ　Ｓ　（ｔｌ＋　ｖｌ　ｚ／　ａ　ｕは、そ
れぞれ共有境界Ｃ０Ｍ上の点（Ｕ、　　Ｖ）におけるパ
ッチＳ　（ａ＋　ｖ目及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｚのＵ方
向の接線ベクトル（すなわち横断方向の接線ベクトル）
を表す。

この実施例の場合、第１図に示すように、３次のベジェ
式で表されている境界曲線網の隣合う枠組み空間を４次
のベジェ式を用いて接続する。すなわち隣合う２つのパ
ッチＳ　（ｕｎ　ＩＴ）　Ｉ及びＳ　（ｕ、　ｖ）　ｔ
を、４次のベジェ式、 Ｓ　（ｕ、ｖ） −（１−ｕｎｕＥ）’−（１−Ｖ＋ＶＦ）’Ｐ（＋１０
１・・・・・・（７） で表し、（６）式の横断方向の接線ベクトルａＳ＜ｕ、
ｖｘ／ａｕ及び”　Ｓ（、ｔ　ｖｌ　ｔ　／　ａ　ｕと
して、（７）式を１階偏微分して得られるベクトル関数
、・・・・・・　（９） を用いる。ただし、（８）式及び（９）式において、 ａｊ　　　””Ｐ　　（ｌｊｌ＋　　　−Ｐ　　ｆＯｊ
ｌ（ｊ−０，１，２，３）　　・・・・・・　（１０）
Ｃｊ＝Ｐｎｎｔ　−Ｐｔ。ｊ） （ｊ−０，１，２，３）　　・・・・・・　（１］）で
ある。

これに対して、共有境界ＣＯＭは枠組み処理時に３次の
ベジェ式で表されるベクトル関数、すなわち Ｓ　（１１＋。

＝　（１ｕ＋ｕＥ）’（Ｉ　　Ｖ＋ＶＦ）”Ｐ（００１
・・・・・・（１２） を用いて生成されている。そこで（６）式において、共
有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルａＳ（ａ＋　ｖ
）　Ｉ　／　ａ　Ｖは、（１２）式を１階偏微分して得
られるベクトル関数、すなわち Ｖ ・・・・・・（１３） になる。ただし、 ｂ、＝Ｐ、。ｊ）Ｐ（。、ト○　（ｊ＝１．２．３）・
・・・・・（１４） である。

また（６）式のスカラ関数λ　（■）、μ（Ｖ）、ν（
Ｖ）として λ（ｖ）　＝　（１ｖ）　＋ｖ　　　　・・・・・・（
１５）μ（Ｖ）＝に＋（１ｖ）十に２ｖ・・・・・・（
１６）ν　（Ｖ）＝η＋（１ｖ）３＋ηバ１−ｖ）”ｖ
＋η、（１−ｖ）ｖ”　　＋η　　ｖ３・・・・・・　
（１７） を選定し、これを（６）弐に代入する。

（１５）弐〜（１７）式のスカラ関数λ　（Ｖ）、μ（
Ｖ）、ν　（Ｖ）は、数式の形として、（１−■）の項
及びＶの項と、その積の項とをもち、μ（Ｖ）及びν（
Ｖ）には、未知数に１、に２及びη１、η２、η３、η
４を含んでいる。かくして（１５）弐〜（１７）式を（
６）式に代入して展開したとき、（６）式の左辺及び右
辺が共に、（１−■）５、Ｖ（１−Ｖ）’、Ｖ”（１−
Ｖ）３、Ｖ”（１−ｖ）２、Ｖ’（１−Ｖ）　、Ｖ’　
の項の和の形に整理テキるようにする。このようにして
得られる展開式について各項ごとに、係数部が互いに等
しくなるように未知数に１、に２及びη１・η２〜η３
・η４を選定すれば、結局共有境界ＣＯＭにおいて接平
面連続の条件を満足させることができるような制御辺ベ
クトルを設定することができる。

ところでこのような演算処理によって３次のべジエ弐で
表されている共有境界ＣＯＭを、４次のベジェ式で表さ
れる自由曲面を用いて接続しようとする場合、（８）式
及び（９）式で表される横断方向の接線ベクトルａＳ　
（Ｉｌｌ、　ｖ）ｌ／　ａ　ｕ及びａ　Ｓ　（ｕ＋すＺ
　／　ａ　Ｕが４次式であるのに対して、（１３）式で
表される共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルａＳ
　ｆｕ＋　ｖ）　ｌ　／　ａ　ｖは２次式で表される。

そこで接平面連続の条件を得るために（６）弐にλ（■
）、μ（Ｖ）、ν　（Ｖ）を代入して展開したときの左
辺及び右辺の各項の次数が一致することになる。

ここで特に注意すべきは、（１７）式のν　（Ｖ）には
４つの未知数η８、η２、η３、η、が含まれているこ
とで、このようにすることにより、接平面連続の条件を
満足するような制御辺ベクトルを設定し直すにつき、制
御可能な項が多数あることにより自由度が大きくなり、
かなり形状的な特徴が強い自由曲面であっても、接平面
連続の条件を満足させ得るように制御点を設定すること
ができるようになる。

ここであまり形状的な特徴がない一般的な自由曲面につ
いて接平面連続の条件を求める場合には、通常未知数は
２つあれば十分である。従ってその際にはη２、η、を
η１、η、によって次式％式％（１８） のように表すようにすれば、２つの未知数によって制御
送ベクトルを設定することができる。

このようにして（１５）式、（１６）式、（１７）式を
（６）式に代入して展開整理し、各項の係数部を等しい
と置くことによって、 Ｃｏ　＝にＩａｏ　＋　７７＋　　ｂｌ　　　　　−・
＝　（２０）４ｃ、＋ｃ、＝４ＫＩ　ａｌ　　＋にｔａ
。

＋２η＋　ｂ、＋η２ｂｌ　　・・・・・・（２１）６
　Ｃｔ　＋　４　ＣＩ＝　６に、ａ、＋４にｚａｉ＋η
＋ｂａ＋２ηｚ　ｂＺ　＋η３　ｂ。

・・・・・・　（２２） ４Ｃ３＋５（、＝４に、ａｌ　＋６にｗａｘ＋η２　ｂ
、＋２η３　　ｂｙ　　＋η４　ｂｌ・・・・・・　（
２３） Ｃ４＋４０．、＝に、ａ４　＋４に、ａ３＋η、ｂ、＋
２η、Ｊ　　　　・・・・・・（２４）Ｃ４＝に２　ａ
４　→−η４ｂ３　　　　　・−−−・−（２５）の関
係を得、これを満足するように未知数に８、に、及びη
１〜η、を制御することによって、接平面連続の条件を
満足する制御送ベクトルａ０〜ａａ　、ｂｌ　””ｂ３
　、Ｃｏ　〜Ｃａを設定することができる。

（２０）式〜（２５）式において、制御送ベクトルａｏ
”’ａ４及びＣＯ”Ｃ４は、（８）式及び（９）式につ
いて上述したように２つのパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　＋
及びＳ。＋　ｖ）　ｇを４次の式によって接続する際に
導入された横断方向の接線ベクトルを表しく２０） ている。これに対して制御送ベクトルｂ、−ｂ。

は、（１３）式について上述したように、３次式で表現
される共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルａ　Ｓ
　（ＩＩ、Ｖｌｌ／　ａ　ｖでなる。

このような接線ベクトルを用いることによって、３次の
ベジェ式で表されている境界曲線網によって区切られた
枠組み空間に４次のベジェ式で表される自由曲面を張る
ことによって、かなり特徴のある形状を表している境界
曲線網の共有境界を、接平面連続の条件を満足させなが
ら滑らかに接続することができる。

（Ｇ２）　２次元的な接続方法 ２次元的な接続は、第３図に示すように、境界曲線によ
って区切られた四辺形パッチを４つの辺の方向に順次接
続して行くもので、かくして多数の枠組み空間を四方に
拡がって行くように四辺形パッチを接続することにより
自由曲面を生成することができる。

このような２次元的な接続をする場合、形成すべき自由
曲面の内部にある節点には、周囲の任意の方向から３本
以上の境界曲線が集中して来る。

例えば第３図の節点ＰＴＩＩｌには、３本の境界曲線が
集中し、また節点ＰＴ９　、ＰＴ、。、Ｐ　Ｔ　＋　＋
、ＰＴ、いＰＴ□、Ｐ　Ｔ　Ｉｑ、Ｐ　Ｔｔｔ、　Ｐ　
Ｔｔｓには４本の境界曲線が集中し、さらに節点ＰＴｅ
には５本の境界曲線が集中する。

そこで互いに隣接する２つの枠組み空間に張ったパッチ
を接平面連続の条件の下に接続すると共に、これらの境
界曲線網の内部の節点に隣接している２つ、３つ、４つ
、５つの枠組み空間についても、４次のベジェ式で表さ
れる自由曲面を接平面連続の条件を満足させるように形
成する。か（して３次のベジェ式によって表されている
境界曲線網の全ての枠組み空間に、互いに滑らかに連続
する自由曲面（４次のベジェ式で表される）を張ること
ができる。

例えば第３図において節点ＰＴ、？を中心とする４つの
パッチＳ　（ＩＩＩ　ｖ）　ｌ　％　Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ
　ｔ、Ｓ　（ｕｎ　ｖ）　３、Ｓ　（ａｔ　ｖＳ　４を
接続する場合には、第３図に対応させて第４図に示すよ
うに、節点Ｐ　’ｒ、７に集中する共有境界ＣＯＭＩ、
Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ３、Ｃ０Ｍ４（以下これをＣＯＭｊ、
３＝１．２．３．４で表す）について、それぞれ（２０
）弐〜（２５）弐について上述し７た接平面連続の条件
を満足させるように未知数に１、に７、η、〜η４を設
定することによって各共有境界周りの制御辺ベクトルを
求める。

各共有境界００Ｍ１周りの制御辺ベクトルは、枠組み処
理によって得られる境界曲線網の形態によって決めるこ
とができ、その条件は共有境界ＣＯＭｊの両端の制御点
Ｐ、。。、及びＰ、。３．について、１夏方向に向かう
２つの制御辺ベクトルａ。３、ｃｏ、を及びａ　４ｊ％
　ｃ　４ａがそれぞれ互いに平行である場合、一方が平
行でない場合、両方が平行でない場合の３つに分類でき
る。

各場合について、（２０）弐〜（２５）式の条件式を用
いて制御辺ベクトルｃ＋ｊ”’−ｅ３ｊを求めると、制
御辺ベク１−ルａ　ｌｊ”　ａ　３ｊが決まれば、５制
御辺ベクトルＣ＋、ｉ−Ｃ：＋ｊが決まる関係にあるこ
とが分かる。ぞこで、制御辺ベクトルａｌｊ及びａｆｆ
ｊをそれぞれ制御点Ｐ、。。、及びＰ（。３）周りの接
平面連続の条件式から求めるようにすれば、共有境界Ｃ
ＯＭｊを共有する２つのパッチを接平面連続の条件の下
に接続し７得ると共に、共有境界ＣＯＭｊの両端の制御
点Ｐ（。。、及びＰ（。３〉に集中する共有境界によっ
て囲まれたパッチをも接平面連続の条件の下に接続し得
ることになる。

（１１制御辺ベクトルａｌｊの決定 制御辺ベクトルａｌＪについて、共有境界ＣＯＭｊの一
方の節点を構成する制御点Ｐ（。。）周りに関連する」
二連の（２０）式及び（２１）式の条件から、次の２つ
の式 ％式％（１１ が成り立つことが必要である。これに加えてｊ番目の共
有境界ＣＯＭｊと、（ｊ＋１）番目の共存境界ＣＯＭ（
ｊ＋１）とによって囲まれているパッチＳ　（ＩＩＩ　
ＩＩ）　（ｊ。、）について、制御点Ｐ、。。、から出
る制御辺ベクトルＣ０゜。Ｉ）及びその先端から出る制
御辺ベクトルａｌｊとの和によって指定される位置は、
共有境界ＣＯＭｊ及びＣＯＭ　（ｊ＋１）が同時に接平
面連続の条件を満足する場合には、制御辺ベクトルａ。

ｊ及びＣ１（１゜Ｉ、の和によって指定される位置と同
一になるはずであるから、これらの制御辺ベクトルにつ
いて次式 ％式％（１ が成り立つ。ここで（２６）弐〜（２８）式においてｊ
は ｊ＝１、２．３．４ （ただしｊ＝４のときｊ＋１−１） ・・・・・・（２９） である。

かくして制御点Ｐ（００）の第ｊ番目の共有境界ＣＯＭ
ｊについての式（２６）弐〜（２８）式をまとめて数式
表示をすれば ４ａ、、−４に　Ｉ（ｊ−菫）　　ａ　　ｌ　　Ｃｊ◆
１）＝　４　ａｏｊ　　４　Ｃ０（ｊ４１１＋（にｚ（
ｊ十１）−に目Ｊ◆Ｉ）　）　ａ　Ｏ（Ｊ＋Ｉ＋＋２η
Ｉ　（ｊ＋１１１）　ｔ　（ｊ＋１１＋（ηｔ（ｊ＋＋
１−ηｌ　（ｊ＋＋１　）　ｂｌ　ｆｊ＋＋１・・・・
・・（３０） のように表すことができる。

この（３０）式には、２つの未知数ａｌｊ及びａｌ（ｊ
＋１１が含まれているが、同じようにしてその他の共有
境界ＣＯＭ　（ｊ＋１）　、ＣＯＭ　（ｊ＋２）　、Ｃ
ＯＭ　（ｊ＋３）について接平面連続の条件式を求めれ
ば次の４つの式 ４ａ皿１−４に菫ｚａ＋≧− ＝４ａｏ＋　　４Ｃｏｚ＋　（に２２−に＋ｚ）　ａｏ
ｚ＋２η＋ｚｂｔｚ＋　（η２アーη＋ｚ）　ｂ＋□・
・・・・・（３１） ’４ａ１２　４に１３ａ１３ ＝４ａｏｔ　　４（：０３＋　（にｚ３−にＩｆｆ）　
ａＱ３＋２η１３ｂｔ３＋（η２．−η１３）　ｂ＋ｓ
・・・・・・（３２） ４　ａｌｓ　　４Ｋｒａａ＋ａ ＝４ａ０３４ＣＯ４＋ＣＫｚａ　　Ｅｌａ）ａｏ４＋２
η１４ｂ２４”　（η２４−η、４）　ｂ、４・・・・
・・　（３３） ４　ａｌ４　４　”Ｉｌａ目 ＝４３０４　４Ｃｏ＋＋　　（にｌ！Ｉ−に＋＋）　　
ａｏ＋＋２ηｌｌｂ！ｌ＋　　（η□−η、）ｂ。

・・・・・・　（３４） でなる連立方程式を得ることができる。かくして制御辺
ベクトルａｌｌ、ａＩ！、ａｌｌｌ、Ｅｈ１４　（ａｌ
ｊ、ｊ＝１２．３．４）を決めることができる。

（２）制御辺ベクトルａ３ｊの決定 共有境界ＣＯＭ：＋　　（ｊ＝１．２．３．４）の他方
の制御点Ｐ（。１．についても（２６）弐〜（３０）式
について上述したと同様にして、制御点ＰＨｓ＋周りの
パッチについて接平面連続の条件を求めることができ、
（２６）弐〜（３０）式に対応させて次のように表し得
る。

Ｃ４Ｊ＝にＺｆｊ＋＋１４（ｊ＋Ｉ）＋ηＩ（ｊ４＋）
ｌ）Ｉ（ｊ＋ｌｌ・・・・・・　（３５） Ｃ４（ｊ＋東＋　＋　４　ｃ３（ｊ＋＋１＝に１（ｊｌ
１３４ＴＪ＋１＋＋４Ｋｚｕ＋Ｉ）ａ＊ｕ＋ｎ＋　η３
（ｊ◆目　１）３（ｊ中型）　＋　２　η４（、Ｉ◆１
）ｂ２（コ＋１）・・・・・・　（３６） Ｃ４１ｊ杓１　”　ａ３ｊ＝　”４ｊ＋Ｃ３（ｊ＋１１
”１°−（３７）ｊ−１、２，３、４ （ただしｊ＝４のときｊ＋１＝１） ・・・・・・（３８） ４　　ａ　３ｊ　　４　　Ｋ　ｚ　（ｊ＋Ｉ）ａ　ｓ　
（ｊ＋＋１−４１＃−誕−１ｊ＋（に２（」（ト宸）＋
に菫（ｊ＋Ｉ））ａａｆｊ＋１１＋ηＩ〈Ｊ・１ｌｂｌ
（Ｊ手車）＋２η４（ｊ÷裳）ｂコ−（・１千１〉＋η
Ｓｆｊ＋１１ｂ３１Ｊ＋富ｙＣ４ｊ５Ｃａｕ中１）・・
・・・・（３９） そこで（７７）式を用いて制御点Ｐ、。５．に集中する
４本の共有境界ＣＯＭｊ　　（ｊ−１，２，３，４）に
ついて次の４つの連立方程式 ％式％ Ｃ４３５Ｃ４４・・・・・・　（４２）４　ａｓａ　　
　４　にｚ＋３３＋ ＝４ａａａ＋（に２１十にＩＩ）　ａ４１＋η＋＋ｔ）
＋＋＋２ηａｔｂｔｌ＋η３１ｂ１１−ｃ、４　５Ｃ４
１・・・・・・　（４３）を立てて制御辺ベクトルａ３
Ｉｚａ３２、ａ３３、ａ３４について解くことができる
。

このようにして各共有境界Ｃ０ＭＭ　　（３＝１．２．
３．４）の両端の節点を構成する制御点Ｐ、。。、及び
Ｐ（。３）について、４つのパッチを接平面連続の条件
の下に接続することができる。

（３）制御辺ベクトルａ２ｊの決定 制御辺ベクトルａ２ｊ及びＣ□は、（２２）式及び（２
３）式に基づいて得られる次式 ６　ｃ２ｊ＋　４　ｃ＋ｉ＝　６にＩｊａ２ｊ＋４に＋
２Ｊａ１．１＋’７＋Ｊ’）：＋ｊ＋２η！ｊ　ｂ　２
ｊ＋η３ｊｂｌｊ・・・・・・　（４４） ４　（３，＋　６　Ｃｚｊ’＝　４　Ｋ　Ｉｊａｓｉ　
＋　６　に！ｊ　ａ　富ｊ＋ηｚｉｂｓｉ＋２η３Ｊ　
ｂ　ｆｆ１ｊ＋η１ｂｌｊ・・・・・・　（４５） を連立させて解くことにより求めることができる。

ここで制御辺ベクトルａＺｊ及びＣ０以外の制御辺ベク
トルは、制御点Ｐ、。。、及びＰ、。５．の演算によっ
て既知になっている。

（Ｇ３）四辺形パッチによる２次元的な接続ここで２次
元的な接続とは、第３図に示すように、境界曲線によっ
て区切られた多数の四辺形パッチを、順次４つの辺の方
向に接続して行くことを言い、か（して多数の枠組み空
間を四方に拡がって行くようにパッチを接続することに
より自由曲面を生成することができる。

ところが実際上、デザイナによる枠組み処理によって形
成される境界面ｖＡ網の枠組み空間は、第３図において
実線で示すように、必ずしも四辺形にはならず、三辺形
、五辺形、六辺形などの非四辺形枠組み空間ができるこ
とを避は得ない。この傾向は、複雑な曲面になればなる
ほど著しくなり、これらの非四辺形枠組み空間にそのま
まパッチを張るとすると、四辺形パッチは、上述の（１
）弐〜（２５）式の原理に基づいて２次曲面を補間演算
することができるのに対して、非四辺形パッチには、か
かる補間演算式を用いることはできず、それぞれ三辺形
、五辺形、六辺形・・・・・・に適合した演算式を用い
なげればならないことになる。

このことはデザイナがデザインした曲面を表す境界曲線
網（第３図の実線で表される）にパッチを張るためには
、コンピュータが多種類の補間演算アルゴリズムをもっ
ていなければならず、しかもパッチを張るべき枠組み空
間が三辺形、四辺形、五辺形・・・・・・のどれかに応
じてアルゴリズムを切り換えて行かなければならなくな
り、結局複雑かつ膨大な演算処理をしなければならなく
なる。

この問題を解決するため本発明においては、第３図にお
いて破線で示すように、非四辺形枠組み空間を、複数の
四辺形枠組み空間に分割するように枠組みし直すことに
よって、全ての枠組み空間について、四辺形パッチを張
ることができるようにするものである。

例えば、第３図の境界曲線網において、節点Ｐ　Ｔｏ　
　Ｐ　Ｔ”＋ＩＰ　Ｔｔｓ　　Ｐ　Ｔ９で囲まれる枠組
み空間は、３つの辺で囲まれた三辺形空間を形成してい
る。この三辺形空間の中央部に新たな節点ＰＴ、、を設
けると共に、３つの辺に設けた節点ＰＴＩＯ１Ｐ　Ｔ　
ｌ　９、ＰＴＩ、に向かってそれぞれ３本の共有境界Ｃ
０Ｍ３６、Ｃ０Ｍ３７、Ｃ０Ｍ３５を形成する。かくし
て１つの三辺形枠組み空間を３つの四辺形枠組み空間に
分割することができ、従って３つの四辺形枠組み空間に
対してそれぞれ（１）弐〜（２５）式について上述した
演算式によって四辺形パッチを補間演算することができ
、かくしてコンピュータによるこの補間演算を標準的な
演算手法に置き換えることができる。

なお、このようにして破線で示す共有境界によつて１つ
の三辺形パッチを３つの四辺形パッチに分割した結果、
各四辺形パッチに隣合う四辺形パッチを形成するために
、外側に拡がる四辺形パッチについてこれを２つに分割
するような共有境界Ｃ０Ｍ２５、Ｃ０Ｍ３９、Ｃ０Ｍ３
３−Ｃ０Ｍ３】を形成する。

かくして四辺形パッチに変換した三辺形パッチ周りのパ
ッチを、全て四辺形パッチで接続して行くことができる
ことになる。

また第３図において、節点ｐ’ｒ＋　−ＰＴ２−ＰＴ　
ｅ　　Ｐ　Ｔ　＋　ａ　　Ｐ　Ｔ　ＩｆｆＰ　Ｔ　ｑ　
　Ｐ　Ｔ　ｌで囲まれる枠組み空間は、五辺形を有する
。そこで破線で示す共有境界Ｃ０Ｍ１９を節点ＰＴ、か
ら対向する点に設定した節点Ｐ　Ｔ　？に形成する。こ
のようにすれば、１つの近辺形枠組み空間に五辺形パウ
チを張るにつき、これを２つの四辺形パッチに分割して
補間演算することができることにより、（１）式〜（２
５）式について上述した統一的な補間演算式を用いて自
由曲面を形成できることになる。

（Ｇ４）実施例の効果 以」二のように構成すれば、デザイナが枠組み処理によ
って形成した枠組み空間にパッチを張る際に、枠組み空
間６二三辺形、五辺形などの非四辺形の枠組み空間が生
じた場合には、これを分割することにより全ての枠組み
空間に四辺形パッチを張ることができる。

従って境界曲線網上の各パッチを、四辺形の各辺の方向
に四方に順次接続して行くことができ、その結果、隣合
うパッチを接平面連続の条件を満足するように接続する
際にコンピュータに用意すべきアルゴリズムは、共通に
１種類で済む。かくして境界曲線網のうぢでも、形状的
に著しい特徴がある部分についても、簡易に滑らかな自
由曲面を張ることができる。

実際上、形状的に特徴が大きい曲面部分は、四辺形に枠
組みできない空間が残ることが多いが、つぎのよう６ご
処理し得る。例えばデザイナの枠組み処理によって、第
５図に示すように、境界曲線ｗ４Ｓのコーナ部分に三辺
形の枠組み空間が生じた場合には、中央部に制御点Ｐを
設定してこれに集中する３本の境界曲線を形成すること
により空間を３つの四辺形空間に分割し、各分割空間に
それぞれ２５個の制御点をもつ四辺形パッチＳ１１、Ｓ
＋Ｚ、Ｓ１３を張るようにすれば良い。

また例えば第６図に示すように、裾広がりの形状をもつ
境界曲線網Ｓのコーナ部分に五辺形の枠組み空間が生じ
た場合には、その中央部に制御点Ｐを設定してこれに集
中する５本の境界曲線を形成することにより空間を５つ
の四辺形空間に分割し、各分割空間にそれぞれ２５個の
制御点をもつ四辺形パッチＳ２いＳ２□、Ｓｔ３、ｓｚ
ｎ、ＳｔＳを張るようにする。

その結果全てのパッチについて２５個の制御点を設定す
ることによって、形状的に特徴がある部分についても、
隣合うパッチを容易、かつ簡易に滑らかに接続すること
ができる。

（Ｇ５）他の実施例 （１）なお上述においては、４次のベジェ式を用いてパ
ッチの補間演算をする場合について述べたが、数式の次
数はこれに限らず５次以上にしても良い。

（２）また上述においては、パッチの補間演算をベジェ
式を用いた場合について述べたが、これに限らず、スプ
ライン式、クーンズ（Ｃｏｏｎｓ）式、フオーガソン（
Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式などの他のベクトル関数を用いる
ようにしても良い。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、枠組み処理によって得ら
れた境界曲線網の形状的な特徴部に三辺形、五辺形等の
非四辺形空間が生じたときに、これを四辺形空間に分割
してパッチを張るようにしたことにより、四方に拡がる
ように隣接する枠組み空間に対して簡易なアルゴリズム
を用いて滑らかな自由曲面を容易に張ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は３次式で表される境界曲線網に用いられる制御
辺ベクトルを示す路線図、第２図は第１図の共有境界に
おける接平面連続の条件の説明に供する路線図、第３図
は本発明による自由曲面作成方法において用いられるパ
ッチの２次元的接続方法を示す路線図、第４図はその制
御辺ベクＦ・ルを示す路線図、第５図及び第６図は他の
接続例を示す路線図である。 Ｓ　（Ｉｌｌ　ｖｌ　ｌ　〜Ｓ　（Ｉｌｌ　ｖｙ　ａ　
・”　・’・パッチ、ａ６〜ａ３、ａｏｊ−ａａｇ　ｈ
＋　〜ｂ３Ｘｔ＞１”’ｆ）：＋ｊｓ　ｃｏ　〜Ｃ３、
ＣＯｊ””　ＣａＪ・・・・・・制御辺ベクトル、Ｐ、
。。、〜Ｐ、。３．・・・・・・制御点、ＣＯＭ、ＣＯ
ＭＩ〜Ｃ０Ｍ４、ＣＯＭｊ、ＣＯＭＩ　１〜Ｃ０Ｍ５２
・・・・・・共有境界。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. （１）枠組み処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠
   組み空間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関
   数で表されるパッチを張ることにより、自由曲面を生成
   するようになされた自由曲面作成方法において、 上記枠組み処理によって非四辺形枠組み空間が生じたと
   き、これを複数の四辺形空間に分割し直し、 当該分割空間に四辺形パッチを張る ことを特徴とする自由曲面作成方法。
2. （２）上記境界曲線を３次のベクトル関数で表し、上記
   枠組み空間に張られるパッチを４次のベクトル関数によ
   って表してなる特許請求の範囲第１項に記載の自由曲面
   作成方法。