JPH08138082A - 四角形メッシュの生成方法及びシステム - Google Patents

四角形メッシュの生成方法及びシステム

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JPH08138082A
JPH08138082A JP6271966A JP27196694A JPH08138082A JP H08138082 A JPH08138082 A JP H08138082A JP 6271966 A JP6271966 A JP 6271966A JP 27196694 A JP27196694 A JP 27196694A JP H08138082 A JPH08138082 A JP H08138082A
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憲司 嶋田
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Abstract

(57)【要約】 【目的】 出力される四角形が凸であり、位相的にも規
則正しく、可能な限り境界に沿って四角形要素の辺が整
列しているような四角形メッシュを、自動的に生成する
システム及び方法を提供すること。 【構成】 入力された図形に対して、通常の方法で三角
形メッシュを発生し、先ず、隣接する三角形要素を結ぶ
グラフを作成する。次に、三角形から境界への距離を定
義しこれを用いて三角形要素を帯状の領域に分け、隣接
グラフのうち領域にまたがるものは削除する。次に、領
域ごとにマッチングをとることにより、(1) ２つの頂点
を接続する１つの辺のみからなるサブグラフ、(2) １つ
の孤立する頂点からなるサブグラフ、及び(3) 星型に連
結された４つの点と３個の頂点からなるサブグラフのみ
を残し、これらのサブグラフに基づき、四角形要素を生
成する。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】この発明は、この発明の目的は、
有限要素法、ＣＡＤシステム、コンピュータ・グラフィ
ックスなどの技術分野において適用されるメッシュ分割
方法に関し、より詳しくは、三角形メッシュを四角形メ
ッシュに自動変換するための技法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】メッシュ分割とは、与えられた二次元の
領域を三角形や四角形などのより単純な多角形要素に分
割する作業であり、有限要素法解析、コンピュータ・グ
ラフィックス、ＣＡＤ、施設最適配置問題などの多くの
計算機応用分野で重要な処理である。
【０００３】三角形メッシュ分割技法に関しては、特開
平１−２８６０８１号公報に記載されているようなボロ
ノイ領域の粗分解を利用する方法、及び本出願人に係る
特願平６−１９２２６号明細書に記載されているよう
な、バブルの動力学的運動方程式を解くことによる方法
などがあり、これらは、必要な計算量及び結果の三角形
メッシュの性質ともに、実用的な基準を満たすものであ
る。
【０００４】しかし、三角形メッシュよりも寧ろ四角形
メッシュの方が要望される適用分野が少なくない。
【０００５】すなわち、一般に、同じ数の要素数の場合
には三角形メッシュよりも四角形メッシュのほうが解析
の精度がよいことが知られている。特に自動車の衝突解
析や板成形のシミュレーションなどの大変形の弾塑性変
形解析においては、一つの要素内で折れ曲がりの自由度
をもつ四角形メッシュの方が少ない要素数で正しい解を
得やすい。通常このような問題は大規模な要素数が必要
となるので、計算時間を減らすために四角形メッシュが
求められる。
【０００６】また、流体の解析でも流れ場の境界条件と
なる領域境界に沿って辺の向きがなるべく整列した四角
形メッシュが好まれる。このような四角形メッシュを用
いることにより解の精度と解の収束性を改善することが
できるからである。
【請求項２】さらに、コンピュータ・グラフィックスに
おいて、頂点での色や輝度の値から内部を複雑な関数で
補間する場合に、三角形領域よりも四角形領域に対して
の方が行いやすい場合がある。これはＣＡＤにおける曲
面の内挿問題と同様に、矩形のパラメータ領域から実空
間内へのマッピングとして補間式が表現されることが多
いからである。
【０００７】また、テクスチャー・マッピングにおいて
も、与えられたトリム曲面のパラメータ空間領域を要素
分割してそれぞれの要素に対してテクスチャーを貼り付
ける際には要素形状は四角形の方がよい。通常のテクス
チャーは四角形領域で定義されているからである。
【０００８】一般のＣＡＤシステムにおいては、曲面は
パラメータ空間から実空間へのマッピングされた矩形領
域として表現される。さらに複雑な境界形状で囲まれた
曲面は、マッピングされる領域をトリム曲線で制限する
ことにより表わされ、このような曲面はトリム面と呼ば
れる。トリム面で囲まれた三次元形状どうしの集合演算
を繰り返すと、トリム曲線が複雑になり形状処理の効率
が悪化する。そこで必要に応じてトリム面をいくつかの
単純な矩形要素に分割して曲面を要素ごとに張り直すこ
と（リパッチ）が必要となる。これも二次元領域の四角
形メッシュ分割の例である。このように、四角形メッシ
ュ分割が必要となる計算機応用分野は多い。
【０００９】ところが、四角形メッシュを上記のような
技術に適用するためには、次のような要件を満たす必要
がある。
【００１０】要件１:出力される四角形が凸（すなわち
全ての内角が１８０゜以下、実際的には、１８０゜より
小さくても、１８０゜に近いと好ましくない）であるこ
と。有限要素法などを用いた解析では凸の要素しか使え
ないのでこれは重要な条件である。またコンピュータ・
グラフィックス（ＣＧ）において四角形要素内部の色や
輝度を境界上の値から補間する際にも凹四角形ではうま
くいかない（図１参照）。
【００１１】要件２ : 位相的に最も規則正しい四角形
メッシュである正方格子になるべく近い四角形メッシュ
が生成されること。領域内部の頂点に四つの四角形が集
まっていることが望ましく、このような頂点の割合が多
いほど位相的に規則正しいメッシュであるといえる。位
相的に規則なメッシュは、後処理としてスムージング
（頂点を、周囲の頂点に関して重心の位置にずらすこ
と）を施すと要素形状が改善されるが、不規則なメッシ
ュではあまり改善されない（図２参照）。
【００１２】要件３ : 領域の境界に沿って四角形要素
の辺ができるだけそろっていること。 解析（特に流体
解析）においては、境界周辺で解の値が境界に直交する
方向に大きく変化する場合が多いため、少ない要素数で
解の精度を高めるためにはなるべく境界に沿って四角形
要素の辺が整列していることが望ましい（図３参照）。
【００１３】要件４ : 三角形メッシュにおける要素大
きさの分布ができるだけ保存されること。すなわち、メ
ッシュの大きさによって解析における解の精度や、コン
ピュータ・グラフィックスにおける形状近似の精度が決
まるので、必要に応じて生成された三角形要素の大きさ
の分布は、四角形メッシュに変換されたあとにも保存さ
れていることが望ましい。
【００１４】要件５ : 計算量が実用的であること。
【００１５】三角形メッシュを四角形メッシュに変換す
る方法として、 一つの三角形を三つの四角形に変換す
る処理をすべての三角形に適応する方法が知られてお
り、これは考えうる最も単純な方法である。この方法
は、機械的に処理ができて計算量も少ないという長所が
ある反面、「不規則性が領域全体にわたって大きくな
る」という問題と「境界に沿った四角形メッシュができ
ない」という問題がある。すなわち要件２と要件３が満
たされない。
【００１６】また、三角形メッシュを四角形メッシュに
変換する別の方法として、グラフGt(Vt,Et)に対してグ
ラフ理論でいう極大マッチングをとり、マッチングされ
た三角形の組に対しては、隣接する二つの三角形を張合
せたものを四つの四角形に変換する、という処理を適用
し、孤立した三角形には、一つの三角形を三つの四角形
に変換する処理を適応する方法も知られている。これ
は、グラフ理論でよく研究されているアルゴリズムを使
って、隣接する二つの三角形を張合せたものを四つの四
角形に変換する、という処理の適用数を最大にするので
一見よい方法に見えるが、実際には問題が多い。まず、
三角形の数をnとしたとき計算量がO(n3)となり大きなメ
ッシュに対しては実用的な計算時間にならない。また、
マッチングの数を最大にすることによって位相的な不規
則性が減るとは限らないので、多くの計算量をかける割
にはメッシュの質は向上していない。また、要件３も全
く考慮されておらず、むしろ境界付近に不規則なメッシ
ュが生成される傾向があるため解析用モデルには適さな
い。
【００１７】このように、上記要件１から要件５までを
全て充たすような四角形メッシュ分割方法は、知られて
いない。
【００１８】
【発明が解決しようとする課題】この発明の目的は、出
力される四角形が凸であり、位相的にも規則正しく、可
能な限り境界に沿って四角形要素の辺が整列しているよ
うな四角形メッシュを、自動的に生成するシステム及び
方法を提供することにある。
【００１９】
【課題を解決するための手段】与えられた２次元曲面を
直接、四角形メッシュに分割する実用的なアルゴリズム
は、知られていない。そこで、本発明は、特開平１−２
８６０８１号公報、または特願平６−１９２２６号明細
書に記載されているような技法によって一旦三角形メッ
シュを生成し、それに基づき四角形メッシュを生成す
る。尤も、本発明は、特定の技法によって形形された三
角形メッシュにその適用が限定される訳ではないことに
留意されたい。
【００２０】とりあえず上記要件１から要件５までを満
足するかどうかはさておいて、三角形メッシュから四角
形メッシュを生成する方法には、次の３とおりが考えら
れる。
【００２１】変換法１ : 隣接する二つの三角形を張合
せたものを四つの四角形に変換する（図４参照）。
【００２２】変換法２ : 一つの三角形を三つの四角形
に変換する（図５参照）。
【００２３】変換法３ : 星形に繋がった四つの三角形
を１２個の四角形に変換する（図６参照）。
【００２４】図７からもわかるように、これらの変換法
の組み合わせ方は一般に複数個あるが、できる限り変換
法１を多く用いる組合せが望ましい。なぜなら変換法２
と変換法３は内部に位相的に不規則な頂点を発生するか
らである。
【００２５】また、変換法１を同数適応する場合でも、
図４のようにその組み合わせ方次第で位相的に不規則な
頂点の数が増減するので注意しなければならない。
【００２６】すなわち、本発明の要旨は、三角メッシュ
に対して、上記要件１から要件５までを満たすように、
変換法１〜３を自動的に適用する技法にある。
【００２７】本発明の処理は、大きく分けて次の３つの
手順からなる。 手順１ : 三角形要素の各頂点から領域境界まで最短で
何本の辺を通って領域境界に到達できるかを算出する
（これを「頂点から境界への距離」と呼ぶ）。さらに、
各三角形要素ごとにこれを構成する三頂点の境界への距
離を合計した値を算出する（これを「三角形要素から境
界への距離」と呼ぶ）。
【００２８】手順２ : メッシュを構成する三角形をグ
ラフの点Vtとし、三角形の隣接関係を辺Etとする連結平
面グラフGt(Vt,Et)を作り、三角形要素から境界への距
離の大きさによって三角形要素をグループ分けする。こ
れにより全体の領域は境界からの距離ごとに帯状の小領
域に分割され、これに応じてグラフGt(Vt,Et)も非連結
グラフGs(Vt,Es)に変換される。
【００２９】手順３ : グラフGs(Vt,Es)中の隣接する二
つのノードを組にする（マッチングをとる）ことによっ
て、なるべく多く変換法１を適用して四角形メッシュを
生成する。どうしても変換法１が適応できない場合に限
り、変換法２か変換法３を用いる。尚、本発明におい
て、変換法１、２及び３を全て使用することが最も望ま
しいが、変換法１及び２だけでもかなり好ましい性質の
四角形メッシュが生成される。
【００３０】すなわち、本発明の特徴は、（１）三角形
から境界への距離を定義すること、（２）これを用いて
領域を帯状の小領域に分けること、及び（３）小領域ご
とにマッチングをとることにあり、このような工夫をす
ることによってはじめて、前記要件１から要件５をすべ
て満たす自動変換が可能となる。
【００３１】
【実施例】以下、図面を参照して、本発明の実施例につ
いて説明する。
【００３２】Ａ．ハードウェア構成 図８には、本発明を実施するためのハードウェア構成の
ブロック図が示されている。図８において、バス８０２
には、システムの処理結果を好ましくはビットマップで
表示するための表示画面をもつＣＲＴ装置８０４、オペ
レータがシステムに対してコマンドを入力するためのキ
ーボード８０６及び、オペレータが表示画面の任意の点
をポイントすることにより、その位置に関する情報をシ
ステムに入力するためのマウス８１０が接続されてい
る。バス８０２にはさらに、演算及び入出力制御処理を
行うプロセッサ装置（ＣＰＵ）８１２と、オペレーテイ
ング・システム及びアプリケーション・プログラムをロ
ードするための主記憶領域を与えるランダム・アクセス
・メモリ８１４と、基本的な入出力ルーチンが格納され
ているリード・オンリ・メモリ８１６と、オペレーティ
ング・システムや、本発明に関する処理プログラムなど
のさまざまなアプリケーション・プログラムを格納する
ハードディスク８１８が接続されている。
【００３３】Ｂ．論理的構成 図９を参照すると、この実施例の論理的構成のブロック
図が示されている。これらのブロック図で示される個々
の要素は、例えば、Ｃ言語などでコンパイルされ、ハー
ドディスク８１８に格納された実行可能プログラム・モ
ジュールまたは関数である。
【００３４】図９において、形状入力ブロック９０２
は、メッシュ分割すべき入力形状を定義し、要素分割に
際して必要な情報を提供するもので、メッシュ分割すべ
き入力形状を定義する手段と、この形状から、これらを
構成する頂点、稜線、面、空間などの位相要素を得る手
段と、これらの位相要素の位置と形状などの幾何情報を
得る手段とから構成される。
【００３５】三角形要素分割ブロック９０４は、形状入
力ブロック９０２から順次、必要な位相的・幾何的な情
報を得て、メッシュ・ノードを配置するとともに三角形
メッシュ要素を発生するものである。
【００３６】より具体的には、三角形要素分割ブロック
９０４は、形状入力ブロック９０２からの情報に基づ
き、入力された形状の頂点と、稜線と、面上に、例えば
本願出願人に係る特願平６−１９２２６号明細書に記載
されている技法でノードを配置し、配置されたノードか
らDelaunayの方法に基づき三角形要素を発生する処理を
行う。
【００３７】メッシュ出力ブロック９０６は、三角形要
素分割ブロック９０４によって生成された三角形要素か
ら、幾何情報、すなわちノードの座標値と、位相情報、
すなわちどのノードとどのノードが接続されているかの
情報を抽出して、本出願に係る処理を行う四角形メッシ
ュ変換ブロック９０８に抽出した情報を出力する。そこ
で以下、四角形メッシュ変換ブロック９０８の処理につ
いて詳細に説明する。
【００３８】Ｃ．四角形メッシュ変換処理 図１０には、本発明に係る四角形メッシュ変換処理の概
要フローチャートが示されている。以下、適宜、図１１
以下の具体的な三角形メッシュ分割されたを参照しつ
つ、図１０の各ステップについて説明する。
【００３９】Ｃ１．三角メッシュの隣接グラフ生成 図１０のステップ１００２では、メッシュの三角形の中
心点をグラフの点とし、三角形どうしの隣接関係を辺と
するグラフGt(Vt,Et)を構成する。一つの三角形の周囲
には少なくとも一つ、多くとも三つの三角形が隣接す
る。したがって、グラフGt(Vt,Et)は平面・単純・連結
グラフであり、すべての点には一つから三つの辺が接続
する。例えば、図９の三角形要素分割ブロック９０４に
より分割され、メッシュ出力ブロック９０６によって出
力された三角形メッシュが図１１のようなものであると
する（図１１には、便宜上、各三角形の中点が示されて
いる）。すると、三角形の隣接グラフGt(Vt,Et)は、図
１２のようになる。図１２の一部を拡大した図が、図１
３である。図１３からは、三角形の中心点が、隣接グラ
フGt(Vt,Et)の頂点Vtを構成し、三角形の中心点どうし
を結ぶ線が、辺Etを構成することが示されている。
【００４０】Ｃ２．三角形から境界への距離の算出 ステップ１００４では、「頂点から境界への距離」、す
なわち三角形要素の各頂点から領域境界（図１２及び図
１３では、境界領域は、参照番号１２０２で示されてい
る）まで最短で何本の辺を通って領域境界に到達できる
かを以下のように算出する。三角形の頂点のうち境界上
の頂点の距離を0と定義する（この距離は、幾何的な距
離ではなく、境界領域からの辺の本数という、いわば位
相的距離であることに留意されたい）。
【００４１】そうして、i = 0, 1, 2,．．． の順にす
べてのノードに距離が与えられるまで、「距離が i の
頂点に接続されている頂点のうち、まだ距離が定義され
ていないものに対してその距離を i+1 とする」という
作業をすべての頂点に距離が定義されるまで繰り返す。
【００４２】さらに、各三角形要素ごとに、これを構成
する三頂点の境界への距離を合計した値を「三角形要素
から境界への距離」として算出する。
【００４３】Ｃ３．領域の帯状小領域への分割 次に、ステップ１００６では、このように定義された三
角形から境界への距離に応じて、全三角形を小領域Ωi
にグループ分けする。小領域Ωiには距離が3iと3i+1と3
i+2の三角形が含まれる。この小領域は図７に示すよう
に元の領域Ωを帯状に切り分けたものとなっている。境
界に隣接するものが小領域Ω0 であり，以下Ω1, Ω2,
Ω3, ...の順に領域Ωの内部に位置する。
【００４４】さて、このように領域がグループ分けされ
たとき、同一小領域内の三角形を接続する辺だけを残し
て、それ以外の全辺をグラフGt(Vt,Et) から消去したも
のをグラフGs(Vt,Es)とする(ここでグラフGsにおいて点
の集合はグラフGtと同じVtであることに注意された
い)。
【００４５】図１２の図形で、このようにグループ分け
された三角形の境界を太線で示すと、図１４のようにな
る。すなわち、図１４で、参照番号１４０２、１４０
４、及び１４０６で示すのが、グループの境界線であ
る。
【００４６】Ｃ４．無効辺の消去 ステップ１００８では、グラフGsのすべての辺につい
て、両端の２点に対応する二つの三角形を貼り合わせて
できる四角形が凸ではない場合には、その辺をグラフGs
(Vt,Es)から消去する。尚、四角形の少なくとも１つの
内角が１８０゜よりもわずかに小さい場合、それは一応
凸四角形であるが、この実施例では、四角形の最大の内
角に着目して、それが、１８０゜よりも十分小さい値で
ないとき（例えば１６０゜以上であるとき）、無効辺の
消去の対象とする。無効辺の消去の対象と見なす閾値と
なる最大の内角の値は、個々の適用技術で異なる。こう
してできたグラフをGc(Vt,Ec)とする（図１５参照）。
そのような箇所は、例えば参照番号１５０２、１５０
４、１５０６及び１５０８として示されている箇所であ
る。
【００４７】Ｃ５．マッチングのための三角形キュー生
成 ステップ１０１０では、グラフGc(Vt,Ec)を構成する点
（三角形）のうち端にあるもの、すなわち接続する辺が
一つである点をキューQにいれる。同時に接続する辺が0
の点、すなわち孤立している三角形に処理済みマークを
つける。
【００４８】Ｃ６．マッチング ステップ１０１２では、マッチング処理が行われる。こ
こでいうマッチングとは、グラフGc(Vt, Ec)を以下の三
種類のサブグラフだけを元とする集合に変換することで
ある。
【００４９】サブグラフ１ : 二つの点と両者を接続す
る一つの辺からなるサブグラフ サブグラフ２ : 一つの孤立点からなるサブグラフ サブグラフ３ : 星型に連結された四つの点と三つの辺
からなるサブグラフ
【００５０】サブグラフ１，２，３はそれぞれ図４、図
５及び図６に示した変換法１，２，３に対応する。キュ
ーQが空でない場合には先頭から一つの点Viをとり、こ
れに隣接する点Vjがあれば、この点の接続状況に応じて
以下の処理を選んで行う。ただし、点Viに処理済みマー
クがついていれば処理なしでキューQから捨てられるも
のとする。キューQが空である場合にも、ケース６とケ
ース７をチェックする。マッチングが全て終了したこと
を示すケース７が起こるまでは以上の処理が繰り返され
る。
【００５１】ケース１：点VjがノードVi以外に隣接する
点を持たない場合（サブグラフ１の場合、図１６参照） 処理１：点ViをキューQから除き、両点に処理済みマー
クを付ける。
【００５２】ケース２：点Viが孤立点の場合（サブグラ
フ２の場合、図１７参照） 処理２：点ViをキューQから除き、処理済みマークを付
ける。
【００５３】ケース３：点Vjが点Vi以外に隣接する二つ
の点VkとVlをもち、VkとVlがVj以外にどの点とも隣接し
ていない場合（サブグラフ３の場合、図１８参照） 処理３：点Vi, Vj, Vk, Vlの全てに処理済みマークを付
ける。
【００５４】ケース４：点Vjが点Vi以外に隣接する点Vk
を一つもつ場合（図１９参照） 処理４：点ViをキューQから除き、点Viと点Vjに処理済
みマークを付ける。点Vjから点Vkに接続する辺を消去す
る。辺の消去後、点Vkが孤立点ならば処理済みマークを
付け、隣接する点を一つ持つならばキューQ の末尾に挿
入する。
【００５５】ケース５：点Vjが点Vi以外に隣接する二つ
の点VkとVlをもち、VkとVlの少なくとも一方がVj以外に
隣接する点を持つ場合（図２０参照） 処理５：点ViをキューQから除き、点Viと点Vjに処理済
みマークを付ける。点Vjから点Vkと点Vlに接続する二辺
を消去する。辺の消去後、点Vkと点Vlそれぞれについ
て、孤立点ならば処理済みマークを付け、隣接する点を
一つ持つならばキューQ の末尾に挿入する。
【００５６】ケース６：キューQが空で未処理の点があ
る場合（図２１参照） 処理６：未処理の点Vj, Vkをつなぐエッジを任意に選ん
で消去する。辺を消去したあとに点Vj, Vkのうち隣接点
数がひとつのものすべてを選びキューQの末尾に加え
る。
【００５７】ケース７：キューQが空で全ての点が処理
済みの場合 処理７：ステップ１０１４の四角形への変換処理に進む
【００５８】Ｃ６．四角形への変換 ステップ１０１２が終わると、グラフGc(Vt,Ec)は以下
の三種類のサブグラフ１，２，３のみから構成されるグ
ラフGm(Vt,Em)に変換される（図２２参照）。そこで、
ステップ１０１４では、このグラフGmからサブグラフを
一つずつ抽出してその表現する領域を以下のように四角
形に変換してゆく。
【００５９】サブグラフ１（図１６）に対する処理：二
つの点が表現する三角形を貼り付けて四角形とする。こ
の四角形の四辺の中点と内部に一点を加えることによ
り、さらに四つの四角形に分割する（図４参照）。 サブグラフ２（図１７）に対する処理：点が表現する三
角形の三辺の中点と内部に一点を加えることにより、三
つの四角形に分割する（図５参照）。 サブグラフ３（図１８）に対する処理：四つの点が表現
する三角形の和形状をとる。その外周を構成する六辺の
中点と内部に七点を加えることにより、１２個の四角形
に分割する（図６参照）。
【００６０】このような処理の結果、図２３に示すよう
な四角形メッシュが得られる。
【００６１】尚、上記の処理は、この方法は、図２４に
示すように、領域内部に境界２４０２がある三角形メッ
シュに対しても同様に適用できる。このように内部境界
を扱えることは、有限要素法において領域内部に境界条
件を定義する際に重要となる。このような内部境界を扱
うためには、上記ステップ１００４で、外部境界のみな
らず、内部境界上でも、「境界上の頂点の距離を0と定
義する」だけでよく、それによって、図１４のグループ
Ω間の境界線１４０２、１４０４及び１４０６を地図の
等高線に見立てると、内部境界は、「谷」に対応するこ
とになる。従って、図２４の三角形メッシュに図１０の
処理を適用すると、図２５に示すような内部境界２０４
２を保存した四角形メッシュが得られる。
【００６２】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
三角形要素から境界への距離を定義すること、これを用
いて領域を帯状の小領域に分けること、及び小領域ごと
にマッチングをとる、という処理によって、三角形メッ
シュから、前記要件１〜５をすべて満たす四角形メッシ
ュを自動的に生成するシステム及び方法が提供される。
【００６３】尚、上記実施例では、ステップ１０１２
で、サブグラフ１ : 二つの点と両者を接続する一つの
辺からなるサブグラフ、サブグラフ２ : 一つの孤立点
からなるサブグラフ、及びサブグラフ３ : 星型に連結
された四つの点と三つの辺からなるサブグラフ、の３種
類のサブグラフを作成するようにマッチング処理が行わ
れたが、適用例に応じて、サブグラフ１とサブグラフ２
だけを作成するようにマッチング処理を行うようにして
も、十分に良好な四角形メッシュが得られる。
【図面の簡単な説明】
【図１】 凹四角形と凸四角形とを示す図である。
【図２】 位相的に規則正しい四角形メッシュと、そう
でない四角形メッシュを示す図である。
【図３】 境界に沿った四角形メッシュと、あまり境界
に沿わない四角形メッシュの例を示す図である。
【図４】 ２つの三角形を、４つの四角形に変換する方
法を示す図である。
【図５】 １つの三角形を、３つの四角形に変換する方
法を示す図である。
【図６】 ４つの三角形を、１２の四角形に変換する方
法を示す図である。
【図７】 三角形メッシュを四角形メッシュに変換する
例を示す図である。
【図８】 ハードウェア構成のブロック図である。
【図９】 論理的構成のブロック図である。
【図１０】 本発明の処理を示すフローチャートの図で
ある。
【図１１】 三角形メッシュの例を示す図である。
【図１２】 三角形メッシュの例につき、隣接グラフを
作成した図である。
【図１３】 隣接グラフの部分拡大図である。
【図１４】 三角形メッシュの例につき、帯状小領域別
隣接グラフを作成した図である。
【図１５】 無効辺を消去した、帯状小領域別隣接グラ
フを作成した図である。
【図１６】 点Vjが、ノードVi以外に隣接する点をもた
ない場合の図である。
【図１７】 点Viが、孤立点の場合の図である。
【図１８】 点Vjが点Vi以外に隣接する二つの点VkとVl
をもち、VkとVlがVl以外にどの点とも隣接していない場
合の図である。
【図１９】 点Vjが点Vi以外に隣接する点Vkを一つもつ
場合の図である。
【図２０】 点Vjが点Vi以外に隣接する二つの点VkとVl
をもち、VkとVlの少なくとも一方がVl以外に隣接する点
をもつ場合の図である。
【図２１】 キューQが空で未処理の点がある場合の図
である。
【図２２】 マッチングが終わったグラフの図である。
【図２３】 結果の四角形メッシュの図である。
【図２４】 内部境界がある三角形メッシュの図であ
る。
【図２５】 内部境界を保存した四角形メッシュの図で
ある。
─────────────────────────────────────────────────────
【手続補正書】
【提出日】平成７年５月２６日
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】発明の詳細な説明
【補正方法】変更
【補正内容】
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】この発明は、この発明の目的は、
有限要素法、ＣＡＤシステム、コンピュータ・グラフィ
ックスなどの技術分野において適用されるメッシュ分割
方法に関し、より詳しくは、三角形メッシュを四角形メ
ッシュに自動変換するための技法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】メッシュ分割とは、与えられた二次元の
領域を三角形や四角形などのより単純な多角形要素に分
割する作業であり、有限要素法解析、コンピュータ・グ
ラフィックス、ＣＡＤ、施設最適配置問題などの多くの
計算機応用分野で重要な処理である。
【０００３】三角形メッシュ分割技法に関しては、特開
平１−２８６０８１号公報に記載されているようなボロ
ノイ領域の粗分解を利用する方法、及び本出願人に係る
特願平６−１９２２６号明細書に記載されているよう
な、バブルの動力学的運動方程式を解くことによる方法
などがあり、これらは、必要な計算量及び結果の三角形
メッシュの性質ともに、実用的な基準を満たすものであ
る。
【０００４】しかし、三角形メッシュよりも寧ろ四角形
メッシュの方が要望される適用分野が少なくない。
【０００５】すなわち、一般に、同じ数の要素数の場合
には三角形メッシュよりも四角形メッシュのほうが解析
の精度がよいことが知られている。特に自動車の衝突解
析や板成形のシミュレーションなどの大変形の弾塑性変
形解析においては、一つの要素内で折れ曲がりの自由度
をもつ四角形メッシュの方が少ない要素数で正しい解を
得やすい。通常このような問題は大規模な要素数が必要
となるので、計算時間を減らすために四角形メッシュが
求められる。
【０００６】また、流体の解析でも流れ場の境界条件と
なる領域境界に沿って辺の向きがなるべく整列した四角
形メッシュが好まれる。このような四角形メッシュを用
いることにより解の精度と解の収束性を改善することが
できるからである。
【０００７】さらに、コンピュータ・グラフィックスに
おいて、頂点での色や輝度の値から内部を複雑な関数で
補間する場合に、三角形領域よりも四角形領域に対して
の方が行いやすい場合がある。これはＣＡＤにおける曲
面の内挿問題と同様に、矩形のパラメータ領域から実空
間内へのマッピングとして補間式が表現されることが多
いからである。
【０００８】また、テクスチャー・マッピングにおいて
も、与えられたトリム曲面のパラメータ空間領域を要素
分割してそれぞれの要素に対してテクスチャーを貼り付
ける際には要素形状は四角形の方がよい。通常のテクス
チャーは四角形領域で定義されているからである。
【０００９】一般のＣＡＤシステムにおいては、曲面は
パラメータ空間から実空間へのマッピングされた矩形領
域として表現される。さらに複雑な境界形状で囲まれた
曲面は、マッピングされる領域をトリム曲線で制限する
ことにより表わされ、このような曲面はトリム面と呼ば
れる。トリム面で囲まれた三次元形状どうしの集合演算
を繰り返すと、トリム曲線が複雑になり形状処理の効率
が悪化する。そこで必要に応じてトリム面をいくつかの
単純な矩形要素に分割して曲面を要素ごとに張り直すこ
と（リパッチ）が必要となる。これも二次元領域の四角
形メッシュ分割の例である。このように、四角形メッシ
ュ分割が必要となる計算機応用分野は多い。
【００１０】ところが、四角形メッシュを上記のような
技術に適用するためには、次のような要件を満たす必要
がある。
【００１１】要件１:出力される四角形が凸（すなわち
全ての内角が１８０゜以下、実際的には、１８０゜より
小さくても、１８０゜に近いと好ましくない）であるこ
と。有限要素法などを用いた解析では凸の要素しか使え
ないのでこれは重要な条件である。またコンピュータ・
グラフィックス（ＣＧ）において四角形要素内部の色や
輝度を境界上の値から補間する際にも凹四角形ではうま
くいかない（図１参照）。
【００１２】要件２ : 位相的に最も規則正しい四角形
メッシュである正方格子になるべく近い四角形メッシュ
が生成されること。領域内部の頂点に四つの四角形が集
まっていることが望ましく、このような頂点の割合が多
いほど位相的に規則正しいメッシュであるといえる。位
相的に規則なメッシュは、後処理としてスムージング
（頂点を、周囲の頂点に関して重心の位置にずらすこ
と）を施すと要素形状が改善されるが、不規則なメッシ
ュではあまり改善されない（図２参照）。
【００１３】要件３ : 領域の境界に沿って四角形要素
の辺ができるだけそろっていること。 解析（特に流体
解析）においては、境界周辺で解の値が境界に直交する
方向に大きく変化する場合が多いため、少ない要素数で
解の精度を高めるためにはなるべく境界に沿って四角形
要素の辺が整列していることが望ましい（図３参照）。
【００１４】要件４ : 三角形メッシュにおける要素大
きさの分布ができるだけ保存されること。すなわち、メ
ッシュの大きさによって解析における解の精度や、コン
ピュータ・グラフィックスにおける形状近似の精度が決
まるので、必要に応じて生成された三角形要素の大きさ
の分布は、四角形メッシュに変換されたあとにも保存さ
れていることが望ましい。
【００１５】要件５ : 計算量が実用的であること。
【００１６】三角形メッシュを四角形メッシュに変換す
る方法として、 一つの三角形を三つの四角形に変換す
る処理をすべての三角形に適応する方法が知られてお
り、これは考えうる最も単純な方法である。この方法
は、機械的に処理ができて計算量も少ないという長所が
ある反面、「不規則性が領域全体にわたって大きくな
る」という問題と「境界に沿った四角形メッシュができ
ない」という問題がある。すなわち要件２と要件３が満
たされない。
【００１７】また、三角形メッシュを四角形メッシュに
変換する別の方法として、グラフGt(Vt,Et)に対してグ
ラフ理論でいう極大マッチングをとり、マッチングされ
た三角形の組に対しては、隣接する二つの三角形を張合
せたものを四つの四角形に変換する、という処理を適用
し、孤立した三角形には、一つの三角形を三つの四角形
に変換する処理を適応する方法も知られている。これ
は、グラフ理論でよく研究されているアルゴリズムを使
って、隣接する二つの三角形を張合せたものを四つの四
角形に変換する、という処理の適用数を最大にするので
一見よい方法に見えるが、実際には問題が多い。まず、
三角形の数をnとしたとき計算量がO(n3)となり大きなメ
ッシュに対しては実用的な計算時間にならない。また、
マッチングの数を最大にすることによって位相的な不規
則性が減るとは限らないので、多くの計算量をかける割
にはメッシュの質は向上していない。また、要件３も全
く考慮されておらず、むしろ境界付近に不規則なメッシ
ュが生成される傾向があるため解析用モデルには適さな
い。
【００１８】このように、上記要件１から要件５までを
全て充たすような四角形メッシュ分割方法は、知られて
いない。
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】この発明の目的は、出
力される四角形が凸であり、位相的にも規則正しく、可
能な限り境界に沿って四角形要素の辺が整列しているよ
うな四角形メッシュを、自動的に生成するシステム及び
方法を提供することにある。
【００２０】
【課題を解決するための手段】与えられた２次元曲面を
直接、四角形メッシュに分割する実用的なアルゴリズム
は、知られていない。そこで、本発明は、特開平１−２
８６０８１号公報、または特願平６−１９２２６号明細
書に記載されているような技法によって一旦三角形メッ
シュを生成し、それに基づき四角形メッシュを生成す
る。尤も、本発明は、特定の技法によって形形された三
角形メッシュにその適用が限定される訳ではないことに
留意されたい。
【００２１】とりあえず上記要件１から要件５までを満
足するかどうかはさておいて、三角形メッシュから四角
形メッシュを生成する方法には、次の３とおりが考えら
れる。
【００２２】変換法１ : 隣接する二つの三角形を張合
せたものを四つの四角形に変換する（図４参照）。
【００２３】変換法２ : 一つの三角形を三つの四角形
に変換する（図５参照）。
【００２４】変換法３ : 星形に繋がった四つの三角形
を１２個の四角形に変換する（図６参照）。
【００２５】図７からもわかるように、これらの変換法
の組み合わせ方は一般に複数個あるが、できる限り変換
法１を多く用いる組合せが望ましい。なぜなら変換法２
と変換法３は内部に位相的に不規則な頂点を発生するか
らである。
【００２６】また、変換法１を同数適応する場合でも、
図４のようにその組み合わせ方次第で位相的に不規則な
頂点の数が増減するので注意しなければならない。
【００２７】すなわち、本発明の要旨は、三角メッシュ
に対して、上記要件１から要件５までを満たすように、
変換法１〜３を自動的に適用する技法にある。
【００２８】本発明の処理は、大きく分けて次の３つの
手順からなる。 手順１ : 三角形要素の各頂点から領域境界まで最短で
何本の辺を通って領域境界に到達できるかを算出する
（これを「頂点から境界への距離」と呼ぶ）。さらに、
各三角形要素ごとにこれを構成する三頂点の境界への距
離を合計した値を算出する（これを「三角形要素から境
界への距離」と呼ぶ）。
【００２９】手順２ : メッシュを構成する三角形をグ
ラフの点Vtとし、三角形の隣接関係を辺Etとする連結平
面グラフGt(Vt,Et)を作り、三角形要素から境界への距
離の大きさによって三角形要素をグループ分けする。こ
れにより全体の領域は境界からの距離ごとに帯状の小領
域に分割され、これに応じてグラフGt(Vt,Et)も非連結
グラフGs(Vt,Es)に変換される。
【００３０】手順３ : グラフGs(Vt,Es)中の隣接する二
つのノードを組にする（マッチングをとる）ことによっ
て、なるべく多く変換法１を適用して四角形メッシュを
生成する。どうしても変換法１が適応できない場合に限
り、変換法２か変換法３を用いる。尚、本発明におい
て、変換法１、２及び３を全て使用することが最も望ま
しいが、変換法１及び２だけでもかなり好ましい性質の
四角形メッシュが生成される。
【００３１】すなわち、本発明の特徴は、（１）三角形
から境界への距離を定義すること、（２）これを用いて
領域を帯状の小領域に分けること、及び（３）小領域ご
とにマッチングをとることにあり、このような工夫をす
ることによってはじめて、前記要件１から要件５をすべ
て満たす自動変換が可能となる。
【００３２】
【実施例】以下、図面を参照して、本発明の実施例につ
いて説明する。
【００３３】Ａ．ハードウェア構成 図８には、本発明を実施するためのハードウェア構成の
ブロック図が示されている。図８において、バス８０２
には、システムの処理結果を好ましくはビットマップで
表示するための表示画面をもつＣＲＴ装置８０４、オペ
レータがシステムに対してコマンドを入力するためのキ
ーボード８０６及び、オペレータが表示画面の任意の点
をポイントすることにより、その位置に関する情報をシ
ステムに入力するためのマウス８１０が接続されてい
る。バス８０２にはさらに、演算及び入出力制御処理を
行うプロセッサ装置（ＣＰＵ）８１２と、オペレーテイ
ング・システム及びアプリケーション・プログラムをロ
ードするための主記憶領域を与えるランダム・アクセス
・メモリ８１４と、基本的な入出力ルーチンが格納され
ているリード・オンリ・メモリ８１６と、オペレーティ
ング・システムや、本発明に関する処理プログラムなど
のさまざまなアプリケーション・プログラムを格納する
ハードディスク８１８が接続されている。
【００３４】Ｂ．論理的構成 図９を参照すると、この実施例の論理的構成のブロック
図が示されている。これらのブロック図で示される個々
の要素は、例えば、Ｃ言語などでコンパイルされ、ハー
ドディスク８１８に格納された実行可能プログラム・モ
ジュールまたは関数である。
【００３５】図９において、形状入力ブロック９０２
は、メッシュ分割すべき入力形状を定義し、要素分割に
際して必要な情報を提供するもので、メッシュ分割すべ
き入力形状を定義する手段と、この形状から、これらを
構成する頂点、稜線、面、空間などの位相要素を得る手
段と、これらの位相要素の位置と形状などの幾何情報を
得る手段とから構成される。
【００３６】三角形要素分割ブロック９０４は、形状入
力ブロック９０２から順次、必要な位相的・幾何的な情
報を得て、メッシュ・ノードを配置するとともに三角形
メッシュ要素を発生するものである。
【００３７】より具体的には、三角形要素分割ブロック
９０４は、形状入力ブロック９０２からの情報に基づ
き、入力された形状の頂点と、稜線と、面上に、例えば
本願出願人に係る特願平６−１９２２６号明細書に記載
されている技法でノードを配置し、配置されたノードか
らDelaunayの方法に基づき三角形要素を発生する処理を
行う。
【００３８】メッシュ出力ブロック９０６は、三角形要
素分割ブロック９０４によって生成された三角形要素か
ら、幾何情報、すなわちノードの座標値と、位相情報、
すなわちどのノードとどのノードが接続されているかの
情報を抽出して、本出願に係る処理を行う四角形メッシ
ュ変換ブロック９０８に抽出した情報を出力する。そこ
で以下、四角形メッシュ変換ブロック９０８の処理につ
いて詳細に説明する。
【００３９】Ｃ．四角形メッシュ変換処理 図１０には、本発明に係る四角形メッシュ変換処理の概
要フローチャートが示されている。以下、適宜、図１１
以下の具体的な三角形メッシュ分割されたを参照しつ
つ、図１０の各ステップについて説明する。
【００４０】Ｃ１．三角メッシュの隣接グラフ生成 図１０のステップ１００２では、メッシュの三角形の中
心点をグラフの点とし、三角形どうしの隣接関係を辺と
するグラフGt(Vt,Et)を構成する。一つの三角形の周囲
には少なくとも一つ、多くとも三つの三角形が隣接す
る。したがって、グラフGt(Vt,Et)は平面・単純・連結
グラフであり、すべての点には一つから三つの辺が接続
する。例えば、図９の三角形要素分割ブロック９０４に
より分割され、メッシュ出力ブロック９０６によって出
力された三角形メッシュが図１１のようなものであると
する（図１１には、便宜上、各三角形の中点が示されて
いる）。すると、三角形の隣接グラフGt(Vt,Et)は、図
１２のようになる。図１２の一部を拡大した図が、図１
３である。図１３からは、三角形の中心点が、隣接グラ
フGt(Vt,Et)の頂点Vtを構成し、三角形の中心点どうし
を結ぶ線が、辺Etを構成することが示されている。
【００４１】Ｃ２．三角形から境界への距離の算出 ステップ１００４では、「頂点から境界への距離」、す
なわち三角形要素の各頂点から領域境界（図１２及び図
１３では、境界領域は、参照番号１２０２で示されてい
る）まで最短で何本の辺を通って領域境界に到達できる
かを以下のように算出する。三角形の頂点のうち境界上
の頂点の距離を0と定義する（この距離は、幾何的な距
離ではなく、境界領域からの辺の本数という、いわば位
相的距離であることに留意されたい）。
【００４２】そうして、i = 0, 1, 2,．．． の順にす
べてのノードに距離が与えられるまで、「距離が i の
頂点に接続されている頂点のうち、まだ距離が定義され
ていないものに対してその距離を i+1 とする」という
作業をすべての頂点に距離が定義されるまで繰り返す。
【００４３】さらに、各三角形要素ごとに、これを構成
する三頂点の境界への距離を合計した値を「三角形要素
から境界への距離」として算出する。
【００４４】Ｃ３．領域の帯状小領域への分割 次に、ステップ１００６では、このように定義された三
角形から境界への距離に応じて、全三角形を小領域Ωi
にグループ分けする。小領域Ωiには距離が3iと3i+1と3
i+2の三角形が含まれる。この小領域は図７に示すよう
に元の領域Ωを帯状に切り分けたものとなっている。境
界に隣接するものが小領域Ω0 であり，以下Ω1, Ω2,
Ω3, ...の順に領域Ωの内部に位置する。
【００４５】さて、このように領域がグループ分けされ
たとき、同一小領域内の三角形を接続する辺だけを残し
て、それ以外の全辺をグラフGt(Vt,Et) から消去したも
のをグラフGs(Vt,Es)とする(ここでグラフGsにおいて点
の集合はグラフGtと同じVtであることに注意された
い)。
【００４６】図１２の図形で、このようにグループ分け
された三角形の境界を太線で示すと、図１４のようにな
る。すなわち、図１４で、参照番号１４０２、１４０
４、及び１４０６で示すのが、グループの境界線であ
る。
【００４７】Ｃ４．無効辺の消去 ステップ１００８では、グラフGsのすべての辺につい
て、両端の２点に対応する二つの三角形を貼り合わせて
できる四角形が凸ではない場合には、その辺をグラフGs
(Vt,Es)から消去する。尚、四角形の少なくとも１つの
内角が１８０゜よりもわずかに小さい場合、それは一応
凸四角形であるが、この実施例では、四角形の最大の内
角に着目して、それが、１８０゜よりも十分小さい値で
ないとき（例えば１６０゜以上であるとき）、無効辺の
消去の対象とする。無効辺の消去の対象と見なす閾値と
なる最大の内角の値は、個々の適用技術で異なる。こう
してできたグラフをGc(Vt,Ec)とする（図１５参照）。
そのような箇所は、例えば参照番号１５０２、１５０
４、１５０６及び１５０８として示されている箇所であ
る。
【００４８】Ｃ５．マッチングのための三角形キュー生
成 ステップ１０１０では、グラフGc(Vt,Ec)を構成する点
（三角形）のうち端にあるもの、すなわち接続する辺が
一つである点をキューQにいれる。同時に接続する辺が0
の点、すなわち孤立している三角形に処理済みマークを
つける。
【００４９】Ｃ６．マッチング ステップ１０１２では、マッチング処理が行われる。こ
こでいうマッチングとは、グラフGc(Vt, Ec)を以下の三
種類のサブグラフだけを元とする集合に変換することで
ある。
【００５０】サブグラフ１ : 二つの点と両者を接続す
る一つの辺からなるサブグラフ サブグラフ２ : 一つの孤立点からなるサブグラフ サブグラフ３ : 星型に連結された四つの点と三つの辺
からなるサブグラフ
【００５１】サブグラフ１，２，３はそれぞれ図４、図
５及び図６に示した変換法１，２，３に対応する。キュ
ーQが空でない場合には先頭から一つの点Viをとり、こ
れに隣接する点Vjがあれば、この点の接続状況に応じて
以下の処理を選んで行う。ただし、点Viに処理済みマー
クがついていれば処理なしでキューQから捨てられるも
のとする。キューQが空である場合にも、ケース６とケ
ース７をチェックする。マッチングが全て終了したこと
を示すケース７が起こるまでは以上の処理が繰り返され
る。
【００５２】ケース１：点VjがノードVi以外に隣接する
点を持たない場合（サブグラフ１の場合、図１６参照） 処理１：点ViをキューQから除き、両点に処理済みマー
クを付ける。
【００５３】ケース２：点Viが孤立点の場合（サブグラ
フ２の場合、図１７参照） 処理２：点ViをキューQから除き、処理済みマークを付
ける。
【００５４】ケース３：点Vjが点Vi以外に隣接する二つ
の点VkとVlをもち、VkとVlがVj以外にどの点とも隣接し
ていない場合（サブグラフ３の場合、図１８参照） 処理３：点Vi, Vj, Vk, Vlの全てに処理済みマークを付
ける。
【００５５】ケース４：点Vjが点Vi以外に隣接する点Vk
を一つもつ場合（図１９参照） 処理４：点ViをキューQから除き、点Viと点Vjに処理済
みマークを付ける。点Vjから点Vkに接続する辺を消去す
る。辺の消去後、点Vkが孤立点ならば処理済みマークを
付け、隣接する点を一つ持つならばキューQ の末尾に挿
入する。
【００５６】ケース５：点Vjが点Vi以外に隣接する二つ
の点VkとVlをもち、VkとVlの少なくとも一方がVj以外に
隣接する点を持つ場合（図２０参照） 処理５：点ViをキューQから除き、点Viと点Vjに処理済
みマークを付ける。点Vjから点Vkと点Vlに接続する二辺
を消去する。辺の消去後、点Vkと点Vlそれぞれについ
て、孤立点ならば処理済みマークを付け、隣接する点を
一つ持つならばキューQ の末尾に挿入する。
【００５７】ケース６：キューQが空で未処理の点があ
る場合（図２１参照） 処理６：未処理の点Vj, Vkをつなぐエッジを任意に選ん
で消去する。辺を消去したあとに点Vj, Vkのうち隣接点
数がひとつのものすべてを選びキューQの末尾に加え
る。
【００５８】ケース７：キューQが空で全ての点が処理
済みの場合 処理７：ステップ１０１４の四角形への変換処理に進む
【００５９】Ｃ６．四角形への変換 ステップ１０１２が終わると、グラフGc(Vt,Ec)は以下
の三種類のサブグラフ１，２，３のみから構成されるグ
ラフGm(Vt,Em)に変換される（図２２参照）。そこで、
ステップ１０１４では、このグラフGmからサブグラフを
一つずつ抽出してその表現する領域を以下のように四角
形に変換してゆく。
【００６０】サブグラフ１（図１６）に対する処理：二
つの点が表現する三角形を貼り付けて四角形とする。こ
の四角形の四辺の中点と内部に一点を加えることによ
り、さらに四つの四角形に分割する（図４参照）。 サブグラフ２（図１７）に対する処理：点が表現する三
角形の三辺の中点と内部に一点を加えることにより、三
つの四角形に分割する（図５参照）。 サブグラフ３（図１８）に対する処理：四つの点が表現
する三角形の和形状をとる。その外周を構成する六辺の
中点と内部に七点を加えることにより、１２個の四角形
に分割する（図６参照）。
【００６１】このような処理の結果、図２３に示すよう
な四角形メッシュが得られる。
【００６２】尚、上記の処理は、この方法は、図２４に
示すように、領域内部に境界２４０２がある三角形メッ
シュに対しても同様に適用できる。このように内部境界
を扱えることは、有限要素法において領域内部に境界条
件を定義する際に重要となる。このような内部境界を扱
うためには、上記ステップ１００４で、外部境界のみな
らず、内部境界上でも、「境界上の頂点の距離を0と定
義する」だけでよく、それによって、図１４のグループ
Ω間の境界線１４０２、１４０４及び１４０６を地図の
等高線に見立てると、内部境界は、「谷」に対応するこ
とになる。従って、図２４の三角形メッシュに図１０の
処理を適用すると、図２５に示すような内部境界２０４
２を保存した四角形メッシュが得られる。
【００６３】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
三角形要素から境界への距離を定義すること、これを用
いて領域を帯状の小領域に分けること、及び小領域ごと
にマッチングをとる、という処理によって、三角形メッ
シュから、前記要件１〜５をすべて満たす四角形メッシ
ュを自動的に生成するシステム及び方法が提供される。
【００６４】尚、上記実施例では、ステップ１０１２
で、サブグラフ１ : 二つの点と両者を接続する一つの
辺からなるサブグラフ、サブグラフ２ : 一つの孤立点
からなるサブグラフ、及びサブグラフ３ : 星型に連結
された四つの点と三つの辺からなるサブグラフ、の３種
類のサブグラフを作成するようにマッチング処理が行わ
れたが、適用例に応じて、サブグラフ１とサブグラフ２
だけを作成するようにマッチング処理を行うようにして
も、十分に良好な四角形メッシュが得られる。
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 伊藤 貴之 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内

Claims (20)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】コンピュータの演算処理によって、四角形
    メッシュを自動生成する方法であって、 (a) 少なくとも１つの面と、該面に隣接する境界線をも
    つ図形データを入力する段階と、 (b) 上記面を三角形メッシュに分割する段階と、 (c) 上記分割された三角形メッシュを構成する各々の三
    角形要素のうち、隣接する三角形要素どうしを接続する
    隣接グラフを作成する段階と、 (d) 上記各々の三角形要素に関して、上記境界線からの
    位相的距離を計算する段階と、 (e) 上記境界線からの位相的距離からの距離の値に応じ
    て、上記三角形要素を、帯状の領域に分割する段階と、 (f) 上記隣接グラフのうち、上記同一の帯状の領域内に
    ある上記三角形要素を接続する辺のみを残して他の辺を
    消去する段階と、 (g) 上記段階(f)で作成されたグラフの頂点を順次辿
    り、(1) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサ
    ブグラフ、(2) １つの孤立する頂点からなるサブグラ
    フ、のうちのどちらかになるように必要に応じて辺を消
    去する段階と、 (h) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサブグ
    ラフに対しては、該２つの頂点が表現する三角形を結合
    して四角形を形成し、該四角形を４分割することによっ
    て４個の四角形を形成する段階と、 (i) １つの孤立する頂点からなるサブグラフに対して
    は、該１つの頂点が表現する三角形を３分割することに
    よって３つの四角形を形成する段階を有する、 四角形メッシュの生成方法。
  2. 【請求項２】上記四角形を形成する前に、隣接する２つ
    の三角形を結合した四角形が特定の形状であることに応
    答して、該隣接する２つの三角形を結ぶ隣接グラフの辺
    を消去する段階をさらに有する、請求項１に記載の四角
    形メッシュの生成方法。
  3. 【請求項３】上記四角形の特定の形状が、その少なくと
    も１つの内角が、１８０゜に近いかそれ以上の値である
    ことである、請求項２に記載の四角形メッシュの生成方
    法。
  4. 【請求項４】上記四角形の特定の形状が、凹であること
    である、請求項３に記載の四角形メッシュの生成方法。
  5. 【請求項５】上記位相的距離が、１つの三角形要素の３
    つの頂点毎の上記境界線からの辺の数の和である、請求
    項１に記載の四角形メッシュの生成方法。
  6. 【請求項６】コンピュータの演算処理によって、四角形
    メッシュを自動生成する方法であって、 (a) 少なくとも１つの面と、該面に隣接する境界線をも
    つ図形データを入力する段階と、 (b) 上記面を三角形メッシュに分割する段階と、 (c) 上記分割された三角形メッシュを構成する各々の三
    角形要素のうち、隣接する三角形要素どうしを接続する
    隣接グラフを作成する段階と、 (d) 上記各々の三角形要素に関して、上記境界線からの
    位相的距離を計算する段階と、 (e) 上記境界線からの位相的距離からの距離の値に応じ
    て、上記三角形要素を、帯状の領域に分割する段階と、 (f) 上記隣接グラフのうち、上記同一の帯状の領域内に
    ある上記三角形要素を接続する辺のみを残して他の辺を
    消去する段階と、 (g) 上記段階(f)で作成されたグラフの頂点を順次辿
    り、(1) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサ
    ブグラフ、(2) １つの孤立する頂点からなるサブグラ
    フ、または(3) 星型に連結された４つの頂点と３個の辺
    からなるサブグラフ、のうちのどれかになるように必要
    に応じて辺を消去する段階と、 (h) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサブグ
    ラフに対しては、該２つの頂点が表現する三角形を結合
    して四角形を形成し、該四角形を４分割することによっ
    て４個の四角形を形成する段階と、 (i) １つの孤立する頂点からなるサブグラフに対して
    は、該１つの頂点が表現する三角形を３分割することに
    よって３つの四角形を形成する段階と、 (j) 星型に連結された４つの頂点と３つの辺からなるサ
    ブグラフに対しては、該４つの頂点が表現する４つの三
    角形を結合し、それを１２個の四角形に分割することに
    よって、四角形を形成する段階を有する、 四角形メッシュの生成方法。
  7. 【請求項７】上記四角形を形成する前に、隣接する２つ
    の三角形を結合した四角形が特定の形状であることに応
    答して、該隣接する２つの三角形を結ぶ隣接グラフの辺
    を消去する段階をさらに有する、請求項６に記載の四角
    形メッシュの生成方法。
  8. 【請求項８】上記四角形の特定の形状が、その少なくと
    も１つの内角が、１８０゜に近いかそれ以上の値である
    ことである、請求項７に記載の四角形メッシュの生成方
    法。
  9. 【請求項９】上記四角形の特定の形状が、凹であること
    である、請求項８に記載の四角形メッシュの生成方法。
  10. 【請求項１０】上記位相的距離が、１つの三角形要素の
    ３つの頂点毎の上記境界線からの辺の数の和である、請
    求項６に記載の四角形メッシュの生成方法。
  11. 【請求項１１】コンピュータの演算処理によって、四角
    形メッシュを自動生成するシステムであって、 (a) 少なくとも１つの面と、該面に隣接する境界線をも
    つ図形データを入力する手段と、 (b) 上記面を三角形メッシュに分割する手段と、 (c) 上記分割された三角形メッシュを構成する各々の三
    角形要素のうち、隣接する三角形要素どうしを接続する
    隣接グラフを作成する手段と、 (d) 上記各々の三角形要素に関して、上記境界線からの
    位相的距離を計算する手段と、 (e) 上記境界線からの位相的距離からの距離の値に応じ
    て、上記三角形要素を、帯状の領域に分割する手段と、 (f) 上記隣接グラフのうち、上記同一の帯状の領域内に
    ある上記三角形要素を接続する辺のみを残して他の辺を
    消去する手段と、 (g) 上記手段(f)で作成されたグラフの頂点を順次辿
    り、(1) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサ
    ブグラフ、(2) １つの孤立する頂点からなるサブグラ
    フ、のうちのどちらかになるように必要に応じて辺を消
    去する手段と、 (h) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサブグ
    ラフに対しては、該２つの頂点が表現する三角形を結合
    して四角形を形成し、該四角形を４分割することによっ
    て４個の四角形を形成し、１つの孤立する頂点からなる
    サブグラフに対しては、該１つの頂点が表現する三角形
    を３分割することによって３つの四角形を形成すること
    により、四角形を形成する手段を有する、 四角形メッシュ生成システム。
  12. 【請求項１２】上記四角形を形成する前に、隣接する２
    つの三角形を結合した四角形が特定の形状であることに
    応答して、該隣接する２つの三角形を結ぶ隣接グラフの
    辺を消去する手段をさらに有する、請求項１１に記載の
    四角形メッシュ生成システム。
  13. 【請求項１３】上記四角形の特定の形状が、その少なく
    とも１つの内角が、１８０゜に近いかそれ以上の値であ
    ることである、請求項１２に記載の四角形メッシュ生成
    システム。
  14. 【請求項１４】上記四角形の特定の形状が、凹であるこ
    とである、請求項１３に記載の四角形メッシュ生成シス
    テム。
  15. 【請求項１５】上記位相的距離が、１つの三角形要素の
    ３つの頂点毎の上記境界線からの辺の数の和である、請
    求項１１に記載の四角形メッシュ生成システム。
  16. 【請求項１６】コンピュータの演算処理によって、四角
    形メッシュを自動生成するシステムであって、 (a) 少なくとも１つの面と、該面に隣接する境界線をも
    つ図形データを入力する手段と、 (b) 上記面を三角形メッシュに分割する手段と、 (c) 上記分割された三角形メッシュを構成する各々の三
    角形要素のうち、隣接する三角形要素どうしを接続する
    隣接グラフを作成する手段と、 (d) 上記各々の三角形要素に関して、上記境界線からの
    位相的距離を計算する手段と、 (e) 上記境界線からの位相的距離からの距離の値に応じ
    て、上記三角形要素を、帯状の領域に分割する手段と、 (f) 上記隣接グラフのうち、上記同一の帯状の領域内に
    ある上記三角形要素を接続する辺のみを残して他の辺を
    消去する手段と、 (g) 上記手段(f)で作成されたグラフの頂点を順次辿
    り、(1) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサ
    ブグラフ、(2) １つの孤立する頂点からなるサブグラ
    フ、または(3) 星型に連結された４つの頂点と３個の辺
    からなるサブグラフ、のうちのどれかになるように必要
    に応じて辺を消去する手段と、 (h) ２つの頂点を接続する１つの辺のみからなるサブグ
    ラフに対しては、該２つの頂点が表現する三角形を結合
    して四角形を形成し、該四角形を４分割することによっ
    て４個の四角形を形成し、１つの孤立する頂点からなる
    サブグラフに対しては、該１つの頂点が表現する三角形
    を３分割することによって３つの四角形を形成し、星型
    に連結された４つの頂点と３つの辺からなるサブグラフ
    に対しては、該４つの頂点が表現する４つの三角形を結
    合し、それを１２個の四角形に分割することによって、
    四角形を形成する手段を有する、 四角形メッシュ生成システム。
  17. 【請求項１７】上記四角形を形成する前に、隣接する２
    つの三角形を結合した四角形が特定の形状であることに
    応答して、該隣接する２つの三角形を結ぶ隣接グラフの
    辺を消去する手段をさらに有する、請求項１６に記載の
    四角形メッシュ生成システム。
  18. 【請求項１８】上記四角形の特定の形状が、その少なく
    とも１つの内角が、１８０゜に近いかそれ以上の値であ
    ることである、請求項１７に記載の四角形メッシュ生成
    システム。
  19. 【請求項１９】上記四角形の特定の形状が、凹であるこ
    とである、請求項１８に記載の四角形メッシュ生成シス
    テム。
  20. 【請求項２０】上記位相的距離が、１つの三角形要素の
    ３つの頂点毎の上記境界線からの辺の数の和である、請
    求項１６に記載の四角形メッシュ生成システム。
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