JPH0350679A - コンピュータモデルシステム - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 Ａ、産業上の利用分野 本発明は、一般に、コンピュータ援用設計（ＣＡＤ）シ
ステム及びコンピュータ援用製造（ＣＡＭ）システムに
関し、より具体的には、境界表現に基づく既存及び新提
案の幾何的モデル作成システムの標準ツール（和集合、
交わり、平行移動、及び線形並進掃引（ＬＴＳ）など）
を使用することにより、任意の（２次元、３次元、より
一般にはｎ次元）多面体のミンコフスキー和及び派生的
形態変換を構築するための新方法に関する。本発明は、
超大規模集積（ＶＬＳＩ）回路の３次元モデル作成、設
計及び製造、機械的組立て、ロボットの経路計画及び衝
突検出、ならびにＣＡＤ／ＣＡＭシステムの他の多くの
応用分野、及びその基礎となる幾何的モデル作成システ
ムに広く適用される。

Ｂ、従来の技術 現在市販されているＣＡＤシステムで立体を構築するた
めの操作は、簡単なパラメータつきの原始立体の例示、
平行移動掃引及び回転掃引、２次元断面の押出し、剛体
運動、及びプール組合せに限られている。このような機
能だけでは、多数の潜在的ＣＡＤ／ＣＡＭ適用業務に対
処するには不十分である。設計図面とリアルな絵の自動
生成、及び立体モデルの体積的特性の解析に加えて、Ｃ
ＡＤシステムを使って製造業務の計画及びシミュレーシ
せンを行なうことは、設計自動化の不可欠な部分である
。限られたタイプの曲げ、ねじり、拡大、縮小、丸みづ
け、及びフィレット処理を行なう実験的システムはすで
に公表されている。これらの動作は、一般に、何組かの
複雑な面で境界を区切られた立体を生成するので、これ
らの動作の結果は、ＣＡＤシステムでサポートされる単
純表面（しばしば平面に限定される）で近似される。

多面体のミンコフスキー和は、ＣＡＤ／ＣＡＭシステム
で重要な用途をもっている。ｎ次空間の２つの部分集合
Ａ１Ｂのミンコフスキー和は、次式で定義される。

Ａ■Ｂ＝　（ａ＋ｂ　：　ａｇＡｌｂｇＢ）ミンコフス
キー和（及び派生的諸演算）またはそれと等価な定式は
、数理形態学、ロボット経路計画、オフセット演算、集
積回路製造の工程段階のシミュレーシロンを含めたある
種の製造応用分野など様々な状況で考慮されてきている
。

ＡとＢのミンコフスキー差は、次式で定義される。

Ａ■Ｂ＝　　（ＡＣ■Ｂ）に こで、ＡＣは、集合Ａの補集合を表す。Ａの原点に関す
る反転は次式で定義される。

Ａ′＝｛−ａｈａεＡ） 数理形態学においては、ミンコフスキー和、ミンコフス
キー差、及び反転が原始演算として採用される。これら
の原始演算を使って、モデル作成に広く適用されるその
他の強力な形態変換が定義される。たとえば、ＡのＢに
よる侵食は次式で定義され、 Ａ■Ｂ　” Ｂに対するＡの開きは次式で定義される。

（Ａ■Ｂ　”　）　■Ｂ これは、狭いスライバの・除去、Ａの小突起の平滑化、
及びＢの形状によって制御される方式によるＡの白縁の
丸みづけに対応する。

第１図は、多面体１が多面体２によって開かれる２つの
３次元多面体１及び２の例を示したものである。第２図
は、第１図の２つの多面体について、多面体２に対して
多面体１を開いた結果である。

この分野における公表された研究は、沢山あり、きわめ
て−射的であり、変化に富んでいる。しかし、研究の重
点は、解析的及び代数的な結果、または応用例の一般的
検討、特にコンピュータによるビジロン及びポロシティ
（多孔性）解析に置かれてきた。ＣＡＤシステムでこれ
らの結果を使用できるようにするには反転及び補集合の
簡単な計算の他に、ミンコフスキー和の計算しか必要で
ないが、この分野では明確にミンコフスキー和を計算す
る方法に関する情報はほとんどない。

ロボット工学における１つの古典的な問題は、−組の既
知の障害物を避けながら初期状態から最終状態までの対
象物の経路を決定することである。

最も単純な定式化では、その経路は純粋に平行移動であ
る必要がある。すなわち、回転その他の形状変換は許さ
れない。一般に、これは、対象物の形状に依存した方式
で障害物を伸張し、伸張された障害物の補集合として自
由空間を定義し、自由空間内で区分ごとに線形経路を見
つけることによって対処されてきた。障害物Ａの対象物
Ｂによる伸張はミンコフスキー和を用いて次式のように
定義される。

Ａ■Ｂ　” 障害物を移動し、移動可能な副部分をもつ対象物を回転
するというより複雑かつ現実的な問題は、やはりミンコ
フスキー和によって処理されてきたが、一般に、より高
次の（すなわち４次以上の）次元構成及び構成／時空で
記述されている。しかし、必要なミンコフスキー和を実
際に計算することに注意が払われたのは最も簡単な例に
ついてのみである。このような状況において、凸形の対
象物と凸形の障害物を含む２次元多角形について特別な
方法が記述されている。この方法は、３次元凸多面体に
拡張できると示唆されている。

第３図は、多面体のホール５内のピアノ４の近似多面体
である。第４図は、従来技術では教示されていないが、
ミンコフスキー和を用いて解を求められるタイプの計算
を示している。より具体的には、第４図は、ホール内の
ピアノの近似多面体が移動できる平行移動自由空間６を
表している。

第５図は、ワークセル８内のロボット７のグリッパの近
似多面体の例を示している。第６図は、従来技術では教
示されないが、ミンコフスキー和を用いて解を求められ
るタイプの計算を示している。

より具体的には、第６図は、ワークセル内のロボットの
グリッパの近似多面体が移動できる平行移動自由空間９
を表している。

ある立体対象物または表面Ａの別の立体対象物または表
面Ｂによるオフセット処理は、ミンコフスキー和を用い
て ■Ｂ の計算として記述できる。この技法は、丸みづけ及びフ
ィレット処理、カッタ経路の計算、寸法及び許容差の設
定に応用されてきた。これらの研究は、ＡまたはＢのい
ずれかが３次元内でボールまたは球である場合に限られ
ている。単純な表面についていくつかの厳密な解が得ら
れており、より複雑な表面及び対象物についても多面体
その他による近似が試みられたが、結果は様々である。

集積回路などのシリコン・デバイスの製造におけるある
種の付着工程やエツチング工程などある種の製造動作で
は、立体の境界線に沿った特定領域で材料の−様な追加
または削除が行なわれる。

このような変換の大クラスは、変換すべき立体を他の幾
何的集合と組み合わせるミンコフスキー和及びミンコフ
スキー差によってうまくモデル化されてきた。たとえば
、特定の方向Ｖに沿って所与の量にだけ立体Ａを拡大す
るには、ミンコフスキー和 Ａｅ　（ｓｖ：０≦ｓ：ａｋ） を生成するだけで充分である。このミンコフスキー和は
、立体ＡがＶに沿って距離にだけ線形移動するとき、Ａ
によって掃引される領域に対応する。

これらのまたはその他の付着操作やエツチング操作の結
果のよりリアルなモデルでは、Ａとより複雑な対象物と
のミンコフスキー和が必要である。

しばしば、簡単な方向性付着またはエツチング・モデル
によって形成される鋭い角が、（累積平行移動掃引（Ｃ
ＴＳ）によって生成される対象物に関する）ミンコフス
キー和及び派生的計算によって平滑化される。ＣＴＳオ
フセッタは、有限の多数の線分のミンコフスキー和によ
って定義されるので、常に凸形の対称形多面体となる。

平滑化動作及びその他の応用例は、多面体をより広く選
択することによってうまく対処される。

第７図は、球のＣＴＳ近似の例を示し、第８図は、代替
方法による非ＣＴＳ近似である。第９図は、シリコン・
デバイスの製造における付着工程段階をシミュレートす
る操作におけるオフセッタとして第７図の対象物１１を
使用した結果の概略図である。第１０図は、同じ操作に
おけるオフセッタとして第８図の対象物１２を使用した
、従来技術では得られなかったより平滑な結果の概略図
である。シリコン・デバイスの製造における付着工程段
階のこのシミュレーシロンは、第９図に示したものより
も正確である。

限られた種類の曲げ、ねじり、拡大、縮小、丸みづけ、
及びフィレット処理を提供する実験的システムが公表さ
れている。これらの動作を多数サポートして、４次元以
上までカバーするシステムかい（つか提案されている。

これらの動作は、何組かの複雑な表面で境界を区切られ
た立体を生成することができるので、それらの動作の結
果は、すべてのＣＡＤシステムによってサポートされる
多面体でしばしば近似される。しかし、このクラスの多
面体についても、平行移動や稜に沿っての線形掃引とい
うありふれたケースを除いては、商用、実験的、または
提案されたモデル作成システムで、ミンコフスキー和を
全般的にサポートすると報告または特許請求されたもの
はない。

次の特許及び刊行物が、従来技術の代表的なものである
。

ジャン・セラ（Ｊｅａｎ　５ｅｒｒａ）の論文「数理形
態学入門（Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｍａｔｈ
ｅｍａｔｉｃａｌＭｏｒｐｈｏｌｏｇｙ）Ｊ　１Ｃｏｍ
　ｕｔｅｒ　Ｖｉｓｉｏｎ　　Ｇｒａ　ｈｉｃｓａｎｄ
　工ｍａ　ｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎ　Ｎ　Ｖｏ　１．３
５　（１９８６年）、Ｉ）１）、２８３−３０５は、形
態変換にミンコフスキー和を使用することを開示し、そ
の代数的及び解析的性質を数学的に展開している。

ジャン・セラの著書「イメージ解析及び数理形態学（Ｉ
ｍａｇｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅ＋＊
ａｔｉｃａ１Ｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙ）、Ｉ　Ａｃａｄｅ
ｍｉｃ　　Ｐｒｅｓｓ１９８２年刊、ｐｐ、４７−４８
は、イメージの画素などの離散定義域に対する伸張操作
及び侵食操作の代数的性質を開示している。

Ｔ、ロサノ＝ペレス（Ｌｏｚａｎｏ−Ｐｅｒｅｚ）及び
Ｍ。

ウェス！Ｊ　−（Ｗｅｓｌｅｙ）の論文「多面体障害物
間の無衝突経路計画用アルゴリズム（Ａｎ　Ａｌｇｏｒ
ｉｔｈｍｆｏｒ　Ｐｌａｎｎｉｎｇ　Ｃｏ１１ｉｓｉｏ
ｎイｒｅｅ　Ｐａｔｈｓ　ＡｍｏｎｇＰｏｌｙｈｅｄｒ
ａｌ　０ｂｓｔａｃｌｅｓＪ　１Ｃｏ　ｍｍ、　Ａ　Ｃ
ＭＮ　２２　（１９７９年）、Ｉ）り、５６０−５７０
は、ミンコフスキー和を用いた経路計画アルゴリズムの
最も簡単なバリアントの解法を示し、２次空間における
２つの凸条面体のミンコフスキー和の見つけ方を記述し
、３次空間の方法への拡張を示唆している。

Ｊ、Ｒ，ロシニ＋り（Ｒｏｓｓｉｇｎａｃ　）及びＡ、
Ａ。

Ｇ、レキ−チャ（Ｒｅｑｕｉｃｈａ）の論文「立体モデ
ル作成におけるオフセット操作（Ｏｆｆｓｅｔｔｉｎｇ
Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　５ｏｌｉｄ　Ｍｏｄｅｌ
ｌｉｎｇ）　Ｊ　）釦肚共肛Ａｉｄｅｄ　Ｇｅｏｍ、Ｄ
ｅｓｉ　ｎ、　３　（１９８６年）、ｐｐ。

１２９−１４８は、３次元におけるボールと簡単な全次
元対象物のミンコフスキー和の計算方法を開示している
。

Ｊ、Ｒ，ロシニャクの論文「立体モデルのブレンド操作
及びオフセット操作（Ｂｌｅｎｄｉｎｇ　ａｎｄＯｆｆ
ｓｅｔｔｉｎｇ　５ｏｌｉｄ　Ｍｏｄｅｌｓ）　Ｊ　、
ＴＭ　５４　ＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎＡｕｔｏｍａｔｉｏ
ｎ　Ｐｒｏ’ｅｃｔ　（Ｐ　ｈ　、　Ｄ　、学位論文で
もある）　）Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｒｏｃｈｅ
ｓｔｅｒｓ　１９８５年６月は、３次元での立体のブレ
ンド操作への前記方法の応用を開示している。

Ｒ，Ｔ、ファルーキ（Ｆａｒｏｕｋ　ｉ　）の論文「非
縮退オフセット表面の近似（Ｔｈｅ　Ａｐｐｒｏｘｉｍ
ａｔｉｏｎ　ｏｆＮｏｎ−ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　０ｆ
ｆｓｅｔ　５ｕｒｆａｃｅｓ）　Ｊ　）釦肚ｕ肛Ａｉｄ
ｅｄ　Ｇｅｏｍ、　Ｄｅｓｉ　ｎｓ　３、Ｉ）ｐ、　　
１５−４３　（１９８５）は、Ｂスプライン表面のオフ
セットの計算方法を示している。この方法は、ある種の
場合には、その表面とボールのミンコフスキー和の境界
値計算と等価である。

米国特許第４７８５３９９号明細書は、０１８体と一般
多面体のミンコフスキー和の計算方法を開示し、ＣＴＳ
をどのように使用すればモデル作成に使用できるように
多面体の形状を変えることができるかを開示している。

Ｒ，Ｃ，工ヴアンス（Ｅｖａｎｓ）　、Ｇ、　コツベル
マン（Ｋｏｐｐｅｌｍａｎ　）　、及びＶ、Ｔ、ラージ
ャン（Ｒａｊａｎ）の論文「累積平行移動掃引による幾
何的対象物の成形（Ｓｈａｐｉｎｇ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉ
ｃ　０ｂｊｅｃｔｓ　ｂｙＣｕｍｕｌａｔｉｖｅ　Ｔｒ
ａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ　Ｓｗｅｅｐｓ）　Ｊ　Ｘ　Ｉ
ＢＭ　Ｊ。

シ」ニー広巨旦す狸ユ　３１（１９８７年）、ｐｐ、３
４３−３６０は、０１８体と一般多面体のミンコフスキ
ー和の計算方法を開示し、ＣＴＳをどのように使用すれ
ばシリコン・デバイス製造の工程段階モデル作成で使用
できるように多面体の形状を変えることができるかを開
示している。

Ｇ、Ｍ、コツベルマン、及びＭ、Ａ、ウニズリ−の論文
ｒＯＹｓＴＥＲ：　　３次元構造物としての集積回路の
研究（ＯＹＳＴＥＲ：　Ａ　５ｔｕｄｙ　ｏｆＩｎｔｃ
ｇｒａｔｅｄＣｉｒｃｕｉｔｓ　ａｓ　Ｔｈｒｅｅ−Ｄ
ｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　５ｔｒｕｃｔｕｒｅｓ）　Ｊ　
ｓＩＢＭ　Ｊ、　Ｒｅｓ、　Ｄｅｖｅｌｏ　、、２７　
（１９８３年）、Ｎｏ、２、ｐｐ、１４９−ＩＥ５３は
、シリコン・デバイス製造の工程段階のシミュレーシロ
ンへの立体モデル作成技法の応用を開示している。

この従来技術は、形態変換のためにミンコフスキー和を
使用すること、２次元、３次元、及びｎ次元空間での経
路計画にミンコフスキー和を使用すること、オフセット
体の計算及び製造工程のシミュレーシヨンのための成形
動作の計算にミンコフスキー和を使用することを開示し
ている。この従来技術はまた、２次元空間での凸条面体
対のミンコフスキー和の計算方法を開示し、３次元空間
での凸条面体対のための方法、３次元での表面をもつボ
ールまたは球と限られたクラスの立体のミンコフスキー
和の計算方法、及び限られたクラスの境界線をもつ凸対
称多面体すなわち０７８体に属するある体と多面体のミ
ンコフスキー和の３次元空間での計算方法を示唆してい
る。

Ｃ０発明が解決しようとする課題 従来技術は、ｎ次元空間での２つの一般多面体のミンコ
フスキー和の計算技法、全次元多面体と一般多面体のミ
ンコフスキー和の計算方法、または一般凸多面体と一般
多面体のミンコフスキー和の計算方法を提供していない
。３次元においてさえ、従来技術は、これらの能力をも
つ方法を示唆していない。

さらに、従来技術は、ｎ次元空間での２つの一般多面体
のミンコフスキー和を計算する問題を横断セルのミンコ
フスキー和の計算に還元すること、線形並進掃引の一般
化によって一対の横断セルのミンコフスキー和を計算す
ること、または強横断性セルの対のみを扱うことの利点
を開示も示唆もしていない。また従来技術は、全次元多
面体と一般多面体のミンコフスキー和の複雑な計算を、
それらのセルの次元の和が完全である横断（または強横
断性）セル対のミンコフスキー和の計算に還元する方法
、または代用物を使って一般凸多面体と一般の多面体の
ミンコフスキー和の複雑な計算を簡単にする方法も教示
していない。最後に、従来技術は、これらの各能力がす
べて、標準ツール及びｎ次元空間でのそれらのツールの
一般化によってサポートできること、または３次元空間
において、これらの能力をサポートするのにツールが既
存の及び新提案のＣＡＤ／ＣＡＭシステムの基礎をなす
幾何的モデル作成システム内にあることをも開示してい
ない。

００課題を解決するための手段 本発明の目的は、ｎ次元空間の２つの一般多面体のミン
コフスキー和を形成するために、ＣＡＤ／ＣＡＭシステ
ムの標準ツール（たとえば、和集合、交わり、平行移動
、及び線形並進掃引）を−般化し使用する手順及び技法
を提供することである。

多面体の１つが凸形すなわち全次元性である場合、本発
明の他の目的は、２つの多面体のミンコフスキー和の計
算コストを大きく削減する特別の手順及び技法を提供す
ることである。

多面体が３次元である通常のほとんどの場合、本発明の
他の目的は、本発明の上記の２つの目的を実現する３次
元幾何モデル作成システムの現在の実施態様で使用でき
る機能のみを使用する技法を提供することである。

すべての場合において、本発明の他の目的は、冗長な動
作を不要にする技法を適用することである。

ｎ次元空間中の多面体は、開いたアフィン・セル（泡体
）の集まりである。したがって、３次元多面体は、その
頂点、開いた稜、開いた面、及び開いた体積によって表
される。３次元では、面と横断稜のミンフフスキー和を
計算するための標準手段は、稜による面の線形並進掃引
を実行して体積を得るものである。

２つのアフィン・セルは、その一方に含まれる線分が他
方を含む最小アフィン空間と平行でない場合、横断的で
ある。本発明の１態様は、線形並進掃引を任意の次元の
横断セルに一般化する方法により、２つの横断アフィン
・セルの閉包のミンコフスキー和を計算することである
。さらに、本発明の他の１態様は、横断セルの対のミン
コフスキー和の和集合をとることにより、２つの一般多
面体のミンコフスキー和の計算を実行することである。

多面体Ｐのアフィン・セルＣは、Ｃを含みＰに含まれる
すべてのアフィン・セル、及ヒアフィン・セルｄを含み
多面体Ｑに含まれるすべてのアフィン・セルが横断的で
ある場合、多面体Ｑのアフィン・セルｄに対して強横断
的である。本発明の別の態様は、強横断的セルの対のミ
ンコフスキー和の和集合のみをとることにより、２つの
一般多面体のミンコフスキー和の計算を実行することで
ある。

ｎ次空間内の多面体のｎ次元内部の閉包がその多面体自
体に等しい場合、その多面体は全次元性であると言う。

２つの多面体の一方が全次元性である場合、本発明の１
態様は、その次元の和がｎである横断（または強横断的
）セルの閉包の対のミンコフスキー和の和集合のみをと
ることにより、２つの多面体のミンコフスキー和を得る
ことである。特に、Ａ及びＢが３次元空間内の多面体で
あり、その一方が全次元性である場合は、ＡとＢのミン
コフスキー和は、Ｂの頂点による平行移動Ａと、Ｂの横
断（または強横断的）稜によるＡの面の線形並進掃引と
、Ａの頂点によるＢの平行移動と、Ａの横断（または強
横断的）稜によるＢの面の線形並進掃引の和集合として
得られることを意味する。別法として、Ｂの稜によるＡ
の線形並進掃引と、Ａの稜によるＢの線形並進掃引の和
集合をとることにより、ＡとＢのミンコフスキー和を得
ることもできる。

２つの多面体の一方が凸形である場合、本発明の１態様
は、より簡単な代用集合を使って多面体のミンコフスキ
ー和の複雑さを軽減すること、アフィン・セルの接空間
の零化群を使って凸集合に対するより簡単な代用集合を
決定すること、及び特に一般多面体の各アフィン・セル
のミンコフスキー和とそのアフィン・セルに関する凸集
合の代用集合の和集合として、多面体のミンコフスキー
和を得ることである。特に、多面体が３次元である場合
、本発明の１態様は、体積に関する凸集合の代用集合と
して単一点を得ること、面に関する凸集合の代用集合と
して稜を得ること、及び稜に関する凸集合の代用集合と
して面の集まりを得ることである。

Ｅ、実施例 本発明の詳細な説明を始める前に、いくつかの基本的用
語及び多面体の諸性質について説明する。

特に、主要概念であるアフィン・セル、多面体、セル分
解、及びアフィ／・セルの横断性について検討する。そ
の後で、横断績によって面を掃引するための標準技法を
一般化することにより横断セルのミンコフスキー和の計
算を可能にする方法を提示し、この方法を実施した擬似
コードの断片を提示する。次に、アフィン・セルの横断
対の和のみを考慮することによって、２つの一般多面体
のミンコフスキー和の計算が得られることを、代用点を
使用し、アフィン直線を含まない多面体の和集合として
多面体を分解することによって示す。

これにより、２つの一般多面体のミンコフスキー和を計
算する一般的方法が導かれる。この方法を実施する擬似
コードの断片も提示する。さらに、強横断性の概念を使
用した、この−射的方法の改良について考察する。その
後、全次元性を定義し、それを使ってこの状況で役立つ
特殊技法を開発する。この技法の可能な実施態様も擬似
コード断片として提示する。多面体が３次元である最も
一般的なケースに特に配慮を払った。最後に、多面体の
１つが凸形である場合を一般的なケース及びいくつかの
重要な特殊ケースについて完全に考察する。これらの断
片を使って、凸条面体と一般多面体のミンコフスキー和
を効率的に計算するアルゴリズムを構築し、このアルゴ
リズムを、擬似コード断片として表す。多面体が３次元
である場合には、明確に詳細な方法を記述した。

崖１ 点、線分、及び直線は、幾何学の最も基本的な概念であ
る。平面内の多角形は、系統的に出会う最初の幾何的対
象物の１つである。多角形は、通常、線分の有限集合で
境界を区切られた平面の領域として定義される。多面体
は、それよりいくぶん複雑な概念であるが、やはりよく
理解されている。これらの重要な対象物はすべて、より
一般的な対象物であるＲｎ内の多角形のクラスがらの例
である。それらをより一般的な概念の特殊なケースとし
て考えると、しばしば、より簡単な統一した取扱いが可
能になる。

多角形がより簡単な線分によって定義されるのと同様に
、Ｒ１１の多面体は、より原始的な対象物であるアフィ
ン・セルによって定義される。Ｒ’のアフィン部分空間
は、Ｒｎの線形部分空間の平行移動である。Ｒ”内のア
フィン・セルは　Ｒｎのアフィン部分空間の（アフィン
空間トポロジーにおいて）比較的開いた連結された部分
集合である。

アフィン・セルが、次元にである場合、アフィンにセル
、または単ににセルと呼ばれる。比較的開いた部分集合
としてアフィンにセルＣを含むに次元アフィン空間をＶ
　（ｃ）で表し、Ｃに接するベクトルのに次元空間をＴ
　（ｃ）で表す。Ｔ　（ｃ）は、ｖ（Ｃ）に平行な、原
点０を含む空間である。

したがって、ｖ（Ｃ）が原点を含む場合には、この２つ
の空間は一致する。たとえば　Ｒ１内の開線分はＲＩ内
のアフィン１セルであり、Ｒ３内の開線分はＲ３内のア
フィン１セルである。点は０セルである。Ｒ３内の立方
体の内部は、Ｒ３内の３セルである。アフィン・セルの
集まりをＫとした場合、Ｋ内のにセルの集合をセル（Ｋ
、ｋ）とする。

点集合Ｓの閉包を旦で表し、その境界をＳで表す。

点集合の集まりをＣとした場合、Ｃ内の点集合の閉包の
集まりはでとなり、Ｃ内の点集合の和集合は［Ｃコとな
る。Ｄも点集合の集まりである場合は、ＣｅＤはＣとＤ
の要素のミンコフスキー和の集まりを表す。すなわち、 （ｃｅｄ：ｃｇｃｓ　ｄεＤ）。

Ｒｎ内の多面体Ｐは　Ｒｎのアフィン・セルの有限な互
いに素の集まりＫの和集合として表すことができるＲｎ
の部分集合である。したがって、任意のＣεＫに対して
、部分集合Ｊ内のアフィン・セルの和集合がＣのトポロ
ジカルな境界を生ずるようなＫの部分集合Ｊがある。

すなわち、 ａｃ＝　［：Ｊ］ アフィン・セルのこのような集まりは、Ｐのセル分解と
呼ばれる。Ｋが多面体のセル分解であり、表記法の乱用
によって混乱が生じない場合は、実際には［Ｋ］を指す
が、しばしば多面体にという。

逆に、Ｐが多面体である場合には、Ｐのセル分解を（Ｐ
）で表す。多面体は一般に、唯一のセル分解をもたない
。しかし、文脈から、特定のセル分解Ｋが明瞭に推論で
きる場合には、しばしばに内ではなくＰ内のアフィン・
セルという。Ｋがセル分解かつｃＫである場合は、その
和集合がＣの境界をもたらすに内のアフィン・セルの集
まりをｂｄ　ｒ　ｙ（ｃ　ｅ　Ｋ　）とする。多面体Ｐ
の次元は、Ｐのセル分解における任意のアフィン・セル
の最大次元であると定義される。Ｐが多面体である場合
には、その多面体を含む最小アフィン部分空間をＶ　（
Ｐ）と書き、ｖ（Ｐ）に接するベクトルの空間をＴ　（
Ｐ）と書く。前と同様に、Ｔ　（Ｐ）は、Ｖ　（Ｐ）に
平行な原点を含む空間である。したがって、Ｖ　（Ｐ）
が０を含む場合には、この２つの空間は一致する。一般
に、Ｐの次元はＴ　（Ｐ）の次元より低く、シたがって
またＶ　（Ｐ）の次元より低い。

多面体モデル作成システムによって現在サポートされて
へ・るすべての立体対象物は、この定義の下ではＲ３内
の多面体である。たとえば、Ｒ３内の立方体は、そのい
た開内部、６つの開面、１２の開線分、及び８つの頂点
の集まりによって定義される３次元子面体である。多面
体立体モデラによって立体から由来する、ワイヤ・フレ
ーム、投影図、スライスなど他の対象物も多面体である
。事実、Ｐが任意の多面体であり、Ｋが、［Ｋ］が閉じ
ているような↓Ｐ晶の任意の部分集合である場合には、
［Ｋ］は多面体であり、Ｋはそのセル分解である。

特に、任意のｑｇ（Ｐ）に対して、ｂ　ｄ　ｒ　Ｖ　（
ｃ＋（Ｐ））及びｃＵｂｄｒｙ　（ｃ、（Ｐ）　）は多
面体である。また、任意の多面体の補集合の閉包もまた
多面体であることが容易に理解できる。

断セルのミンコフスキー和 ２つの線形部分空間は、それらの交点が原点である場合
、横断的であると言う。２つのアフィン・セルＣとｄは
、それらの接空間Ｔ　（ｃ）とＴ　（ｄ）が横断的であ
る場合、横断的であると言う。たとえば、Ｔ　（ｐ）＝
　（ｌなので、点ｐは任意のセルに対して自明に横断的
である。これほど自明ではないが、単一内部点内の開面
と交わる開線分はその開面に対して横断的である。他方
、Ｒ３内の２つの面は横断的でない。その理由は、Ｒ３
内の次元２の２つの線形部分空間は常に１本の共通直線
を含まなければならないからである。より一般には　Ｒ
ｎにおいて、Ｃがｊセル、ｄかにセルであり、Ｊ　＋　
ｋ　＞　ｎである場合、Ｃとｄは横断的でない。横断性
が重要なのは、２つの横断セルのミンコフスキー和が、
境界表現に基づく任意のモデラの枠組内で計算可能であ
り、また２つの一般多面体のミンコフスキー和が、常に
横断セルのミンコフスキー和の和集合に還元できるため
である。

これらの主張をそれぞれ順に証明する。

境界表現に基づく多面体モデル作成システムを実施する
ために使用できるデータ構造及び関連アルゴリズムには
さまざまなものがある。しかし、このようなモデル作成
システムで表される多面体のセルＣについては、それら
のデータ構造及びアルゴリズムは、すでに検討した２つ
の関連エンティティＶ　（ｃ）とａＣｌ及びＣに対する
９ｃの近傍性を記述するもう１つのエンティティ、すな
わちその境界のいずれの側に３ｃがあるかを示す情報を
見つけるだけで充分である。より正確に言うと、ｂが、
ＣをＶ　（ｃ）内のその補集合から局所的に分離してい
るＣの次元より１つ低い次元のａＣ内のセルである場合
、境界表現に基づく任意のモデル作成システムは、ｂｖ
内の各点でＣから離れているＴ　（ｃ）内のベクトルＶ
を見つけることができる。このようなベクトルは、Ｃに
関してｂの外部ベクトルと呼ばれる。逆に、このような
モデル作成システムのどの実施態様でも、セルを定義す
るのにこの３つの情報で充分である。線形並進掃引の技
法を一般化することにより、次に示すように、横断セル
のミンコフスキー和を求めるため、この３つの情報を容
易に決定することができる。

Ｃとｄが横断的である場合は、Ｖ（Ｃ）内の任意のアフ
ィン・セル及びＶ　（ｄ）内の任意のアフィン・セルは
横断的である。特に、τの各セルは■の各セルに対して
横断的である。Ｃが、ｋセルｄに対して横断的なｊセル
であり、かつｐとｑがそれぞれＶ　（ｃ）とＶ　（ｄ）
内の点である場合には、ｃｅｄは、（ｊ＋ｋ）次元アフ
ィン空間Ｖ（Ｃｅｄ）＝ｐΦｑｅＴ　（ｃ）ｅＴ　（ｄ
）内の（ｊ＋ｋ）セルである。Ｔ　（ｃ）とＴ　（ｄ）
が暗示的に表されていようと基底ベクトルの集合によっ
て表されてようと、それらの和は、ｐｅｑによる平行移
動の場合と同様に、容易に得られる。

したがって、Ｃとｄが横断的である場合、ｖ（Ｃｅｄ）
は容易に決定できる。

Ｊがτのセル分解であり、かつＫが■のセル分解である
場合には、ミンフフスキー和は和集合の全体にわたって
分布するので、τと■のミンコフスキー和は、２つの多
面体のセルのミンコフスキー和の和集合として書くこと
ができる。すなわち、τΦ７＝［ＪｅＫ］ であり、さらにＪｅＫは、７０丁のセル分解として働く
。特に、ＪｅＫのセルは互いに素である。

τの２ｒの次元はｊ＋にであり、その唯一の（ｊ＋ｋ）
セルはｃｅｄである。ｃｅｄの境界は（ｄｅａｃ）Ｕ　
（ｃｅ　ａｄ）Ｕ　（（３ｃ）ｅ　ａｄ）ニ等シイノテ
、ｂｄｒ３’　（ｃｅｄ、ＪｅＫ）はセルｃｅｂｄｒｙ
（ｄ、Ｋ）　、ｄ６９ｂｄｒＹ　（ｃ。

Ｊ）、及びｂｄｒＹ　（ｃ、Ｊ）ｅｂｄｒＹ　（ｄ。

Ｋ）の３つの互いに素な集まりの連結から構成される。

（ｃｅｄ）の各セルはそれぞれｊ十により低い次元であ
り、かつそれぞれが横断セルのミンコフスキー和によっ
て定義されるので、反復の適用によりτｅｈを計算する
ことが可能である。しかし、より低次元のセルがすでに
得られている場合は、反復を回避することができる。そ
れが得られることは、次の技法によって容易に確認でき
る。

まずτの０セルとｄのセルの和を次元の昇順で考える。

次に、τの１セルと■のセルの和を次元の昇順に考える
。Ｃのセルについて次元の昇順に同様に続ける。

ｃｅセル（ｂｄｒｙ　（ｄ、Ｋ）、に−１）とｄｅセル
（ｂｄｒｙ　（ｃ、Ｊ）＋　　ｊ−１）　のセルのみが
次元に＋ｊ−１なので、セル（ｂｄｒｙ（Ｃｅｄ、Ｊｅ
Ｋ、に＋ｊ　−１）Ｇｔ、コレら２つの集まりの連結で
ある。ｆがｂｄｒｙ（Ｃ９ｊ）の（ｋ−１）セルであり
、かつＵが、Ｃに関してｆの外部ベクトルである場合に
は、Ｕは、ｃＥ１９ｄに関してｆｅｄの外部ベクトルで
あるということになる。同様に、ｇがｂｄｒ７　（ｄ、
Ｋ）の（ｊ−１）セルであり、かつＶがｄに関してｇの
外部ベクトルである場合には、■は、Ｃｅｄに関してｃ
ｅｇの外部ベクトルであるということになる。

これは、ｃｅｄの境界内の各（ｋ＋ｊ−１）セルの近傍
性が、より低次元の情報から容易に推論できることを意
味している。

上述の技法を明らかにするために、Ｒ２内のきわめて簡
単な問題への適用を考えてみる。（０゜０）から（１，
Ｏ）へのＸ軸上の線分τと（０゜０）から（０，１）へ
のＸ軸上の線分πのミンコフスキー和の計算を考えてみ
る。これは、容易にわかるように、原点を頂点とする第
１象限内の単位正方形を与える。まず頂点ｃ（（０，０
）及び（１，０））と頂点ｄ（（０，０）及び（０゜１
））のミンコフスキー和を計算し、τｅ”２ｒノＯセル
を得る。■が任意のＯセルである場合、Ｔ（ｖ）は原点
であり、かつＶ　（ｖ）は（ｖ）に等しい。さらに、０
セルは境界をもたず、したがって外部ベクトルは全く必
要ない。このように、■がτの頂点であり、かつＷが■
の頂点である場合には、この技法では Ｖ　（ｖｅｗ）＝ｖ＋ｗ＋　（０）　＋　（０）＝　（
ｖ＋ｗ） となり、境界または外部ベクトルは計算しない。

続いて、τｅ″２ｒの４つの頂点を見つける。次に、Ｃ
の頂点と開校ｄのミンコフスキー和を求めてτｅ７の１
セルを計算する。たとえば、頂点ｖｘ＝（１，０）とｄ
の和ｅを考える。Ｔ（ｖｘ）はこの場合も原点に等しく
、Ｔ　（ｄ）はｙ軸である。

頂点ｖ、＝　（０＋　　１）は、ｄの閉包に、したがっ
てＶ　（ｄ）に属する。このようにして、Ｔ　（ｅ）　
＝ｖ、＋ｖ、＋Ｔ　（ｖ、）　ｅＴＦ（ｄ）を計算する
と、点（１，１）を通るｙ軸に平行な直線が得られる。

ＶＸは境界をもたないので、ｅはＶＸｅ　　ｃｔ％すな
わちｖＸと原点のミンコフスキー和（これは（１，Ｏ）
を生ずる）と、ＶＸとＶｙのミンコフスキー和（これは
（１，ｌ）を生ずる）に還元される。どちらの和も前に
取り扱った。ベクトル（０，１）は、ｄに関して原点の
外部ベクトルであり、したがって同じベクトルが、ｅに
関してＶＸと原点のミンコフスキー和（１，Ｏ）の外部
ベクトルとして働く。同様に、（Ｏｌ　１）は、ｄに関
して（０，１）の外部ベクトルであり、したがって（０
，１）もｅに関して（１，１）の外部ベクトルである。

これで、稜ｅが完全に求められたので、次に原点とｄの
ミンコフスキー和を考える。これはもちろんｄそれ自体
を生ずるので、ｙ軸に平行なτΦ■の２つの辺が決定さ
れる。次に、完全な類推によって、Ｃとτの１セルと頂
点ｄの和は、Ｘ軸に平行なτｅ″２ｒの２つの辺を生ず
る。最後に、２つの１セル、Ｃとｄのミンコフスキー和
ｆを取り扱う。Ｔ　（ｃ）はＸ軸、Ｔ　（ｄ）はｙ軸な
ので、Ｔ（ｆ）はＲ２に等しく、シたがってＶ　（ｆ）
はＲ２に等しい。ｆの境界は、（３ｃ）０６１丁の頂点
、ｃｅａｄとｄ　ｅ　３　Ｃ１下の稜から構成されるが
、これらはすべてすでに得られている。残っている作業
は、ｆの稜の外部ベクトルを識別することである。たと
えば、ｄｅＶｘから得られるｄｅａｃ内の稜、すなわち
稜ｅを考えてみる。ベクトル（１，Ｏ）は、Ｃに関して
ＶＸの外部ベクトルとして働くので、ｆに関してｅの外
部ベクトルとしても働く。

要約すると、２つの横断セルＣとｄのミンフフスキー和
については、モデル作成システム中でそれを定義し表現
するために必要な３つの情報（それを含む空間、その境
界、及びその近傍性情報）はすべて、Ｃとｄに関する対
応する情報から直接にまたは簡単な計算によって容易に
得ることができる。

第１１図は、本発明のこの部分の実施例を示す流れ図で
ある。このプロセスは、ブロック２１から始まり、そこ
で、２つの多面体ＰとＱを、ｎ次元空間内の２つの横断
セルの閉包として入力する。

ブロック２２で多面体Ｔを、空の多面体構造となるよう
に初期設定し、次に機能ブロック２３でネストされた多
重ループ構造に入る。第１の外側ループ３６は、機能ブ
ロック２３から判断ブロック３４まで延び、Ｏから次元
Ｐへと増加する次元ｊを処理する。次のループ３７は、
機能ブロック２４から判断ブロック３３まで延び、Ｏか
ら次元Ｑまで増加する次元ｋを処理する。以下の擬似コ
ード断片は、流れ図の実施態様を示したものである。

この擬似コードの構成部分及び第１１図のブロックとの
関係の説明は、この擬似コードのすぐ後にある。

０１　Ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　
Ｓｕｍ（Ｐ、Ｑ）０２１ｉｓｔ　ｏｆ　ｃｅｌｌｓ＝Ｍ
ａｋｅ　Ｌｉ５ｔ　Ｏｆ　Ｃｅ１ｌｓ０３　ｆｏｒ　、
＋＝ｏ　ｔｏ　Ｄｉｍ（Ｐ）　ｒｅｐｅａｔ０４　　ｆ
ｏｒ　ｋ＝ｏ　ｔｏ　Ｄｉｍ（Ｑ）　ｒｅｐｅａｔ０５
　　　ｆｏｒ　ｃ　ｉｎ　Ｃｅ１ｌｓ（Ｐ、ｊ）　ｒｅ
ｐｅａｔ０６　　　　　ｆｏｒ　ｄ　ｉｎ　Ｃｅ１ｌｓ
（Ｑ、ｋ）　ｒｅｐｅａｔ０７　　　　　　　（ｃ　ｄ
＝Ｍａｋｅ　Ｎｅｗ　Ｃｅ１１０８　　　　　　Ａｐｐ
ｅｎｄ（ｌｉｓｔ　ｏｆ　ｃｅｌｌｓ＋ｃ　ｄ）０９　
　　　　　Ｍａｋｅ　Ｌｆｎｋ（ｃ、ｄ、ｃ　ｄ）１０
　　　　　　ｐ＝Ｐｏｉｎｔ　０ｆ（Ａｆｆｉｎｅ　５
ｐａｃｅ　０ｆ（ｃ））１１　　　　　　ｑ＝Ｐａｉｎ
ｔ　０ｆ（Ａｆｆｉｎｅ　５ｐａｃｅ　０ｆ（ｄ））１
２　　　　　　ｃ　ｄ、ｓｐａｃｅ＝Ｍａｋｅ　Ａｆｆ
ｉｎｅ　５ＰａＣｅ（ｐ＋Ｑ＋Ｔａｎｇｅｎｔ　５ｐａ
ｃｅ　０ｆ（ｃ）、ＴａｎｇｅｎｔＳｐａｃｅ　０ｆ（
ｄ）） ｆｏｒ　ｅ　　ｉｎ　　ｃ、ｂｄｒｙ　　ｐｏｉｎｔｅ
ｒｓ　　ｒｅｐｅａｔＡｐｐｅｎｄ（ｃ　ｄ、ｂｄｒｙ
　ｐｏｉｎｔｅｒｓ、Ｃｅ１ｌＰｏｉｎｔｅｒ（ｅ、ｄ
）） ｆｏｒ　ｆ　　ｉｎ　ｄ、ｂｄｒｙ　ｐｏｉｎｔｅｒｓ
　ｒｅｐｅａｔＡｐｐｅｎｄ（ｃ　ｄ、ｂｄｒｙ　ｐｏ
ｉｎｔｅｒｓ、Ｃｅ１ｌＰａ　１ｎｔｅｒｓ　（ｃ　、
　ｆ　）　）ｆｏｒ　　ｅ　　ｉｎ　　ｃ、ｂｄｒｙ　
　ｐａｉｎｔｅｒｓ　　ｒｅｐｅａｔｆｏｒ　　ｆ　　
ｉｎ　　ｄ、ｂｄｒｙ　　ｐｏｉｎｔｅｒｓｅｐｅａｔ Ａｐｐｅｎｄ（ｃ　ｄ、ｂｄｒｙ　ｐｏｉｎｔｅｒｓ。

Ｃｅ１ｌ　　Ｐｏ１ｎｔｅｒｓ（ｅ、ｆ））ｆｏｒ　ｅ
　　ｉｎ　　ｃ、ｎｂｈｄ　　１ｎｆｏ　　ｒｅｐｅａ
ｔ（ｎｅｗ　ｎｂｈｄ＝Ｍａｋｅ　ＮｅｗＮｅｉｇｈｂ
ｏｒｈｏｏｄ　　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｎｅｗ　ｎｈ
ｂｄ、ｂｄｒｙ　ｃｅｌｌ　　ｐｏｉｎｔｅｒ＝Ｃｅｌ
ｌ　　Ｐｏ１ｎｔｅｒ（ｅ、ｂｄｒｙ　ｃｅｌｌｐｏ　
１ｎｔｅｒ　、　ｄ） ｎｅｗ　　ｎｂｈｄ、ｅｘｔｅｒｉｏｒ　　ｖｅｃｔｏ
ｒ＝ｅ、ｅｘｔｅｒｉｏｒ　　ｖｅｃｔｏｒ２４　　　
　　　　　　Ａｐｐｅｎｄ（ｃ　ｄ、ｎｈｂｄ　　１ｎ
ｆｏ、ｎｅｗ　ｎｈｂｄ））２５　　　　　　　　　ｆ
ｏｒ　　ｆ　　ｉｎ　　ｄ、ｎｂｈｄ　　１ｎｆｏｒ　
　ｒｅｐｅａｔ２６　　　　　　　　　（ｎｅｗ　ｎｈ
ｂｄ＝Ｍａｋｅ　ＮｅｗＮｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ　　
Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ２７　　　　　　　　　　ｎｅ
ｗ　　ｎｈｂｄ、ｂｄｒｙ　　ｃｅｌｌ　　ｐｏｉｎｔ
ｅｒ＝Ｃｅｌｌ　　Ｐｏ１ｎｔｅｒ（ｃ、ｆ、ｂｄｒｙ
　　ｃｅｌｌｐｏｉｎｔｅｒ〜 ２８　　　　　　　　　　ｎｅｗ　　ｎｂｈｄ、ｅｘｔ
ｅｒｉｏｒ　　ｖｅｃｔｏｒ＝ｆ、ｅｘｔｅｒｉｏｒ　
　ｖｅｃｔｏｒ２９　　　　　　　　　　　　Ａｐｐｅ
ｎｄ（ｃ　　ｄ、ｎｈｂｄ　　１ｎｆｏ、ｎｅｗｎｂｈ
ｄ））） ３０　　ｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ”Ｍａｋｅ　　Ｐｏ１ｙ
ｈｅｄｒｏｎ　　Ｆｒｏｍ　　Ｃｅ１ｌｓ（ｌｉｓｔ　
ｏｆ　ｃｅｌｌｓ） ３１　　ｒｅｔｕｒｎ（ｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）いくつ
かの規約を、すべてのコード断片で使用する。標準キー
ワード及び制御構造を使用する。

キーワードは小文字で表す。実行可能コマンドの繰返し
ブロックの識別の助けとして、インデンチーシロンを使
用する。２つ以上の実行可能コマンドを含むブロックは
、一対の（）で囲む。すべての変数は小文字で表す。サ
ブルーチンを区別するために、サブルーチン内の各ワー
ドは大文字で表す。

一般に、このアルゴリズムは、ポインタと２つの特殊デ
ータ構造、セル構造、及び近傍情報構造を使って実施さ
れる。セル構造は、次の３つの名前付きフィールドをも
つレコードによってセルを表す。

空間。これは、そのセルを含む最小アフィン部分空間の
記述を含む。

ｂｄｒ３’　　１）ｔｒｓｏこれは、そのセルの境界内
のセルを表す他のセル構造を指すポインタのリストを含
む。

ｎｂｈｄ　　１ｎｆｏ。これは、セルの全次元境界セル
に対する近傍情報構造のリストである。

近傍情報構造は、次の２つの名前付きフィールドをもつ
レコードによって、セルとその境界の全次元セルの間の
関係を表す。

ｂｄｒｙ　　ｃｅｌｌ　　ｐｏｉｎｔｅｒｏこれは、境
界セルを表すセル構造を指すポインタを含む。

ｅｘｔｅｒｉｏｒ　　ＶｅＣｊＯｒｏこれは）セルに関
して、境界セルの外部ベクトルを含む。

この擬似コード断片には、次のサブルーチンが含まれて
いる。

Ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ　　ＭｉｎｋｏｗｓｋｉＳｕｍ
ｏこれは、一対の横断セルの閉包と仮定される２つの多
面体またはこのような多面体を表す２つのセル構造を入
力として受は入れ、それらの多面体のミンコフスキー和
である多面体を返す。

Ｍａｋｅ　　Ｌｉ５ｔ　　Ｏｆ　　Ｃｅ１ｌｓｏ　これ
は、セル構造を含むことのできる空のリストを作成する
。

Ｄｉｍｏこれは、多面体を入力として受は入れ、その多
面体の次元を返す。

Ｃｅ１ｌｓｏこれは、多面体と整数ｊを入力としてとり
、その多面体のｊセルを表すセル構造のリストを返す。

Ｍａｋｅ　　Ｎｅｗ　　Ｃｅ　ｌ　ｌｏこれは、新しい
セル構造を作成する。

Ａ　Ｉ）　ｐ　ｅ　ｎ　ｄ　ｏこれは、任意のタイプの
リスト及びそのタイプの事例を受は入れ、その事例をそ
のリストに追加する。

Ｍａｋｅ　　Ｌｉｎｋｏこれは、入力として３つのセル
構造をもち、Ｍａｋｅ　　Ｌｉｎｋが呼び出された後、
最初の２つの引数（またはそれらを指すポインタ）が与
えられたとき、逆ルーチンＣｅ１１　　Ｐｏ１ｎｔｅｒ
が第３の引数を指すポインタを返すという意味で、最初
の２つのセル構造と第３セル構造の間にリンクを作成す
る。

Ａｆｆ　ｉｎｅ　　５ｐａｃｅ　　Ｏｆｏこれは、入力
としてセル構造をもち、そのセルを含むアフィン空間を
記述するそのセル構造のフィールドを返す。

Ｐａ１ｎｔ　　Ｏｆｏこれは、入力としてアフィン空間
をもち、その空間内の点を返す。

’ｒａｎｇｅｎｔ　　５ｐａｃｅ　　ＯｆＯこれは１入
力としてセル構造をもち、そのセルに対する接空間を返
す。

入力として２つの点と２つの線形空間をとり、その２つ
の空間の和をその２つの点の和だけ移動して得られるア
フィン空間を返す。

Ｍａｋｅ　　Ｎｅｗ　　ＮｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄＩｎ
ｆｏｒｍａｔｉｏｎｏこれは、近傍情報構造を作成する
。

Ｍａｋｅ　　Ｐｏ１３’ｈｅｄｒｏｎ　　ＦｒｏｍＣｅ
ｌｌｓｏこれは、入力として、多面体を定義し作成する
セル構造のリストをとり、その多面体を返す。

この擬似コード断片は、第１１図と以下の関係をもつ。

擬似コードの行１は、２つの横断セルの閉包に対応する
２つの多面体ＰとＱを入力するブロック２１を実施する
。行２は、空の多面体構造をセル構造の空のリストとし
て作成するブロック２２を実施する。行３−２９は０か
らＰの次元にまで増加するｊによってループがインデッ
クスされる、外側ループ３６を実施する。このｊは、ブ
ロック２７．２８．２９、及び３０で使用されるセルの
次元、ＰのＣに対応する。行４−２９は、０からＱの次
元にまで増加するｋによってループがインデックスされ
る、次に外側のループ３７を実施する。ｋは、ブロック
２７．２８．２９、及び３０で使用されるセルの次元、
Ｑのｄに対応する。行５−２９は、次元ｊのセル、Ｐの
Ｃを選ぶという次に外側のループ３８を実施する。行６
−２９は、セル、Ｑのｄを選ぶという内側ループ３９を
実施する。内部ブロック２７．２８．２９、及び３０は
、行７−２９によって実施され、これらの行は、Ｐ内の
Ｃ及びＱ内のｄの各選択ごとに反復される。具体的には
、行７及び８は、新しいセル構造を作成し、それを行２
で作成されたセル構造のリストに付加することにより、
新しいノードを多面体構造に追加するブロック２７を実
施する。行１０−１２は、Ｃとｄを含む空間の和を見つ
けるブロック２８を実施する。それが、ｃｅｄを含む空
間になるからである。行１３−１９は、ｃｅｄの境界を
得るブロック２９を実施する。具体的には、行１３と１
４では、ｄとＣの境界セルのミンコフスキー和によって
作成されるｃｅｄの境界セルに対応するセル構造を指す
ポインタを、境界ｃｅｄを表すフィールドであるｃｄ、
ｂｄｒｙ　１５ｏｉｎｔｅｒｓに追加する。。これらの
ポインタへのアクセスは、２つのセル構造とそれらのミ
ンコフスキー和を表すセル構造との間のリンクを確立す
る行９のサブルーチンＭａｋｅ　　Ｌｉｎｋ及びこのリ
ンクを使用するサブルーチンＣｅ１ｆ　　Ｐｏ１ｎｔｅ
ｒによって可能になる。行１５及び１６は、Ｃとｄの境
界セルのミンコフスキー和に対応するｃｌｌ１９ｄの境
界セルに対して同じ機能を実行する。行１７．１８、及
び１９は、Ｃの境界セルとｄの境界セルのミンフフスキ
ー和に対応するＣｅｄの境界セルに対して同じ機能を実
行する。行２０−２９は、Ｃｅｄの次元より１つ次元が
低いｃｅｄの境界セルに対する近傍情報を得るブロック
３０を実施する。具体的には、行２０−２４は、ｄとＣ
の境界の（ｊ−１）セルのミンコフスキー和として作成
されたセルに対する実施態様を実現する。一方、行２５
−２９は、Ｃとｄの境界の（ｋ−１）セルのミンコフス
キー和として作成されたセルに対する実施態様を実現す
る。

これらのループの相対的位置により、Ｃｅｄのミンコフ
スキー和に対応するセル構造が処理されているとき、そ
の境界セルがすべて既に処理が済んでおり、利用可能で
あることが保証される。この擬似コードの（第１１図の
ループ３Ｂ−３９に対応する）４つの外側ループが完了
すると、ＰｅＱの各セルを記述するのに充分な情報が得
られる。

第１１図に記述されたアルゴリズムの最終ブロック３５
で、このようにして定義された多面体を作成して、それ
を返す。これは、この擬似コード中では行３０及び３１
によって実施される。

一般　面体のミンコフスキー和 Ｃとｄが、横断的でない２つのセルである場合、Ｔ　（
ｃ）とＴ　（ｄ）の交わりは、直線Ｌ＝（ｔｖ：ｔεＲ
）を含まなければならない。２つの点ｐとｑについて、
任意の実数ｔに対して明らかにｐ＋ｑ＝　（ｐ＋ｔｖ）
＋　（ｑ−ｔｖ）である。ｐがＣ内にあり、かつｑがｄ
内にあり、かつＣがアフィン直線を含まない場合には、
ｐ＋ｔｖが′；３Ｃに属し、かつｑ−ｔｖがｄに属する
、あるいは逆に、ｐ＋ｔｖはτに属し、かつｑ−ｔｖは
０ｄに属するようなｔが存在しなければならない。第１
の場合には、ｐとｑの和は、Ｃの境界内のしたがってＣ
の次元よりも次元が低いセルｅからの点と、ｄの閉包内
の、したがってｄの次元と次元が同じまたはそれより次
元が低いセルｆからの点の和に等しい。同様に、第２の
場合には、ｐとｑの和は、セル、Ｃの閉包内の、したが
ってＣの次元と次元が同じまたはそれより次元が低いｅ
からの点と、ｄの境界内の、したがってｄの次元より低
い次元のセルｆからの点ｅとｆが横断的でない場合は、
同じ議論を繰り返すことができる。先に指摘したように
、次元は減少し、点は任意のセルに対して横断的なので
、ｐとｑの和がｇｅｈ内に含まれるような１対の横断セ
ル、τ内のｇとτ内のｈを見つけることが常に可能であ
るということになる。

ｐとｑに代わることができ、したがってｒ＋ｓ＝ｐ＋ｑ
となる任意の点ｒとＳを、ｐとｑの代用物と呼ぶ。横断
セル内に非横断セル内の対に対する代用物が存在するこ
とは、一般多面体とアフィン直線を含まない多面体のミ
ンコフスキー和の中で非横断セルのミンコフスキー和が
無視できることを示唆している。

第１２図は、代用物の概念の一例を示す。２つの点４０
及び４１は、横断的でない面４２及び４３に属する。こ
れらの面は共通の稜４４をもつので、接空間４２及び４
３の交わりが、４４に平行な直線を含むことが容易にわ
かる。このようにして、稜４４に平行な方向で、点４０
から稜４８に向かって、酸４８上の点４５に達するまで
移動すること、及び点４１から反対方向に同じ距離だけ
点４６に達するまで移動することは、４５及び４６が４
０及び４１に対する代用物であることを示している。事
実、面４２及び４３が同一平面でない場合、４５及び４
６は、横断セル４８及び４３内における４０及び４１の
代用物である。

すでに検討した形態変換のいくつかは、多面体の補集合
の閉包のミンコフスキー和と関係がある。

１つの多面体とその補集合の閉包がともに有界であるこ
とはできない。したがって、Ｒ３内の古典的多面体はし
ばしば有界であると定義されるが、ここで定義される多
面体は、必然的に非有界点集合を含む。事実　Ｒｎそれ
自体も、この定義の下では多面体である。もちろん、非
有界多面体は、有界集合の有限和集合として分解するこ
とができないが、以前の検討では、性質があまり厳密で
なくても充分である。すなわち、任意の多面体は、それ
ぞれアフィン直線を含まない有限の多数の多面体に分解
できる。このような分解が容易に見つかり、最悪でも少
数の多面体しか必要としないことを見るために　Ｒｎ内
の標準単体Ｔを考えてみる。Ｔは、ｎ＋１個の点５＝（
ｐｏ、・・・　ｐ、、）によって生成されたＲ”内の凸
集合であり、ｐｏは原点、他のｐ、は、ｉ番目の座標に
対して１をとり、残りの座標では０である。たとえば、
ｎ＝２の場合、Ｔは頂点（０，Ｏ）、（１，Ｏ）、及び
（０゜１）をもつ三角形である。ｎ＝３の場合、Ｔは、
頂点（０，Ｏ，Ｏ）、（１，Ｏ，Ｏ）、（０，１゜０）
、及び（０，０，１）をもつ四面体である。

一般に、Ｔは多面体であり、その最小セル分解には、そ
のすべての座標が１／　（ｎ＋１）に等しい点すが属す
る、１つのｎセルをもつ。Ｋは、ｎ＋１個の（ｎ−１）
セル、ｃｏ、・・・、ｃ、、をもっ。

ここで、各ｃＪは、ｐｌを除くＳのすべての点によって
生成された凸集合の内部である。頂点すと断面τ１を持
つ錐Ｕ１はそれぞれ、閉じた凸形の非有界多面体であり
、アフィン直線を含まないことが容易にわかる。Ｒ″は
、錐Ｕ＋の和集合であり、したがってＲｎそれ自体を含
む任意の多面体Ｐをこれらの錐と交差させることによっ
て、アフィン直線を含まないせいぜいｎ＋１個の多面体
の和集合としてＰの分解Ｐ　：　Ｕ　Ｐ　＋が得られる
。事実、各Ｕ＋は凸形なので、Ｐは、その凸閉包内にア
フィン直線を含まない多面体に分解される。この分解の
１つの多面体内のセルＣが、１つの錐の境界内に含まれ
ている場合には、それは、この境界を共有する他のすべ
ての錐と交差することによって定義される他の各多面体
内に含まれることになる。Ｃが、これらの他の各稚内の
より高次元のセルと境界を接しない場合、それは冗長に
表現される。これを回避するために、このようなセルは
どれも、より高次元のセルと境界を接していないすべて
の多面体から削除されていると仮定する。このような多
面体がない場合には、このようなセルは、１つの多面体
を除（すべての多面体から削除される。ミンコフスキー
和は、任意の多面体Ｑについて和集合Ｐ　６ＥＩ　Ｑ　
＝　Ｕ　Ｑ　ｌ；Ｂ　Ｐ　＋上に分布するので、２つの
一般多面体のミンコフスキー和をこの分解の多面体の集
まりから常に得ることができる。

以後の技法及びここに説明したアルゴリズムは一般に、
多面体の１つがその中にまたはその凸閉包内に直線を含
まないことを必要とする。したがって、話を明瞭かつ簡
単にするため、以後の流れ図及び擬似コードによる実施
態様では、多面体の１つは、特に断らなくとも、この技
法によって分解されており、したがって入力多面体は、
これらの性質をもつと仮定する。

ここで　Ｒｎ内の２つの一般多面体Ｐ及びＱのミンコフ
スキー和を計算できるアルゴリズムを記述することが可
能である。まず、ＰとＱの両方がアフィン直線を含む可
能性がある場合、Ｐを多面体の有限集合Ｓの和集合とし
て分解する。この場合、Ｓの多面体はどれもアフィン直
線を含まないことが知られている。ＰまたはＱあるいは
両方がアフィン直線を含まないことがわかっている場合
には、Ｓを、多面体Ｐのみを含む集合とする。次に、Ｓ
内の各Ｐについて、横断的セルＣとｄのすべての対のミ
ンコフスキー和の和集合を計算する。

ただし、ＣはＰ内にあり、ｄはＱ内にある。

Ｔ（ｃ）とＴ　（ｄ）の交わりが単集合（０）に等しい
場合には、テストによって横断性を検査する。

横断セルのミンコフスキー和を計算する前記のアルゴリ
ズムを使ってｃｅｄを計算する。この和集合はＰｅＱに
等しい。最後に、Ｓ内のすべてのｐについてＰｅＱの和
集合をとることにより、ＰとＱのミンコフスキー和を得
る。

アルゴリズムの性能は、可能な限り、不必要な計算を避
けることにより改善される。特に、その次元の和がｎよ
り大きくなるセルは横断的になることはできないので、
そのような対は容易に避けることができる。さらに、２
つの横断セルのミンコフスキー和を計算するアルゴリズ
ムは、実際には、それらのセルの閉包のミンコフスキー
和を計算するので、まずより次元の高いセルを最初に考
慮し、それらの境界セルを再計算する必要がないことを
覚えておくことにより、この一般アルゴリズムの性能は
改善される。

第１３図は、この方法の実施例を示す流れ図である。こ
のプロセスは、機能ブロック５７でｎ次元空間内の一般
多面体Ｐ及びＱを入力することから始まり、続いて機能
ブロック５８で、多面体Ｘを空集合になるように初期設
定してから、機能ブロック５９で、ネストされたループ
に入る。以下の擬似コード断片は、この流れ図を実施し
たものであり、前と同様に、この擬似コードの構成部分
及び流れ図との関係の説明は、この断片のすぐ後にある
。

０１　Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　Ｓｕｍ（
Ｐ、Ｑ）０２　ｓｕｍ＝Ｍａｋｅ　Ｎｅｗ　Ｐｏ１ｙｈ
ｅｄｒｏｎ０３　ｆｏｒ　ｊ＝Ｄｉｍ（Ｐ）　　ｄｏｗ
ｎ　ｔｏ　Ｏｒｅｐｅａｔ０４　　　ｆｏｒ　ｃ　　ｉ
ｎ　Ｃｅ１ｌｓ（Ｐ、ｊ）ｒｅｐｅａｔ０５　　　　ｆ
ｏｒ　ｋ＝Ｍｉｎｉｍｕｍ（ｎ−ｊ、Ｄｉｍ（Ｑ））　
　ｄｏｗｎ　ｔｏ　Ｏｅｐｅａｔ ０６　　　　　　ｆｏｒ　ｄ　　ｉｎ　Ｃｅ１ｌｓ（Ｑ
、ｋ）　　ｒｅｐｅａｔ０７　　　　　　　ｉｆ　　（
Ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ（ｃ、ｄ）　　ａｎｄ　ｎｏｔ
Ｍａｒｋｅｄ　　Ａｓ　　Ｄｏｎｅ（ｃ、ｄ））０８　
　　　　　　　　ｔｈｅｎ　　（ｎｅｗ　ｓｕｍ＝Ｔｒ
ａｎｓｖｅｒｓａｌ旧ｎｋｏｗｓｋｉ　　Ｓｕｍ（ｄ、
ｄ）０９　　　　　　　　　　ｓｕｍ＝Ｕｎｉｏｎ（ｓ
ｕｎ、ｎｅｗ　５ｕｎ）１０　　　　　　　　　ｆｏｒ
　　ｅ　　ｉｎ　　ｃ、ｂｄｒｙ　　ｐｏｉｎｔｅｒｓ
　　ｒｅｐｅａｔｌｌ　　　　　　　　　　　ｆｏｒ　
　ｆ　　ｉｎ　　ｄ、ｂｄｒｙ　　ｐｏｉｎｔｅｒｓｅ
ｐｅａｔ １２　　　　　　　　　　　Ｍａｒｋ　Ａｓ　Ｄｏｎｅ
（ｅ、ｆ）］１３　ｒｅｔｕｒｎ（ｓｕｍ） この擬似コード断片には、次のサブルーチンが含まれて
いる。

Ｇｅｎｅｒａｌ　　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　　Ｓｕｍ。

これは　Ｒｎ内の２つの一般多面体を入力として受は入
れ、この２つの多面体のミンコフスキー和である多面体
を返す。

Ｍａｋｅ　　Ｎｅｗ　　Ｐｏ１ｅ’ｂｅｄｒｏｎｏこれ
は、空集合である多面体を作成する。

Ｍｉｎｉｍｕｍｏこれは、２つの負でない整数を入力と
してとり、これらの整数の最小値を返す。

Ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌｏこれは、２つのセル構造を入
力として受は入れ、それらの接空間の交わりを計算し、
交わりが（０）の場合には真、そうでない場合は偽の値
を返す。

Ｍａｒｋ　　Ａｓ　　Ｄｏｎｅｏこれは、セル構造を指
す１対のポインタを入力として受は入れ、そのポインタ
対に対応するセル構造の対が、Ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ
　　ＭｉｎｋｏｗｓｋｉＳｕｍで処理済みであるとテー
ブルにマークする。

Ｍａｒｋｅｄ　　Ａｓ　　Ｄｏｎｅｏ　これは、１対の
セル構造を入力として受は入れ、ＭａｒｋＡｓ　　Ｄｏ
ｎｅ表にアクセスし、そのセル構造対がＴｒａｎｓｖｅ
ｒｓａｌ　　ＭｉｎｋｏｗｓｋｉＳｕｍによって処理済
みである場合は真、そうでない場合は偽の値を返す。

Ｕｎｉｏｎ、これは、２つの多面体を入力として受は入
れ、それらのプール和集合を返す、基本的幾何モデラへ
の呼出しであると仮定されている。

この擬似コードは、第１３図の流れ図と以下の関係をも
つ。擬似コードの行１は、ｎ次元空間の２つの一般多面
体Ｐ及びＱを入力するブロック５７を実施する。行２は
、空の多面体構造を作成するブロック５８を実施する。

行３−１２は、Ｐの次元からＯまで減少するｊによって
ループがインデックスされる、外側ループ７２を実施す
る。ｊは、ブロック６４及び６５で使用されるセルＰの
Ｃの次元に対応する。行４−１２は、次元ｊのセルＰの
Ｃを選ぶ次のループ７３を実施する。ループ７４の上位
インデックスｍをｎ−ｊとＱの次元の最小値に設定する
ブロック６１は、行５でサブルーチンＭｉｎｉｍｕｍに
対する呼出しによって実施される。行５−１２は、ｍか
ら０に減少するｋによってループがインデックスされる
、次のループ７４を実施する。ｋは、ブロック６４及び
６５で使用されるセルＱのｄの次元に対応する。行６一
１２は、次元にのセルＱのｄを選ぶという内側ループ７
５を実施する。ｋのインデックス範囲は、ｍに限定され
ている。その理由は、それより大きい次元をもつＱの任
意のセルは、Ｐのｊセルに対して横断的ではありえず、
またＱはそれより大きい次元のセルをもたないからであ
る。判断ブロック６４は、行７及び８の１ｆ−ｔｈｅｎ
構造によって実施され、低い次元の以前に処理されたす
べてのセル対をマークする行１０−１２によってエネー
ブルされる。ブロック６５の横断セルのミンコフスキー
和の計算は、行８でサブルーチンＴｒａｎｓｖｅｒｓａ
ｌ　　ＭｉｎｋｏｗｓｋｉＳｕｍに対する呼出しによっ
て実施される。新しく計算したミンコフスキー和と、す
でに計算した和の和集合をとるブロック６６は、行９で
実施される。最後に、ブロック７１は、行１３によって
実施される。

一般多面体のミンコフスキー和を求めるアルゴリズムを
構造化することによって、第１３図のようにセルの次元
の減少を進めると、そのミンコフスキー和が複数回計算
されるセル対の数は減少するが、この問題を回避するこ
とはできない。事実、Ｐの２つのセルＣとｄが共通の境
界セルｅを共有し、かつＣとｄがともにＱのセルｆに対
して横断的である場合は、横断セルのミンコフスキー和
を求めるアルゴリズムを呼び出す一般多面体のミンコフ
スキー和を求めるアルゴリズムを呼び出すと、ｅｅｆが
２度計算されることになる。すなわち、−度はＣΦｆの
計算中で、もう−度はｄΦｆの計算中である。これらの
冗長な計算はコストが高くつくことがあるが、これらの
２つのアルゴリズムの機能及び制御が明確に分割されて
いないときは、除去するのが難しい。しかし、これら２
つのアルゴリズムを組み合わせることにより、このタイ
プの冗長な計算を完全になくすことができる。まずＰｅ
Ｑの０セル、すなわちＰとＱの頂点の和を計算し、これ
らのセルを記憶し、これらの２つのセルによってそれら
のミンコフスキー和である第１１図を実施した擬似コー
ドで実現されたような、計算されたセルを参照するため
の手段を作成する。

ＰｅＱの１セルについても同じことを行なう。すなわち
、第１１図で実施されている横断セルのためのアルゴリ
ズムの方法に従って、第１１図の流れ図を実施した行１
−３１の擬似コード断片で実施されたような、前のステ
ップで確立されたＰｅＱの０セルを参照する手段を使っ
て、それらの再計算を回避しながら、セルを作成し、こ
れらのセルを記憶し、計算されたセルに対する参照を更
新する。次に、次元の和が２であり、かつ横断的である
、Ｐの各セルＣ１及びＱのセルｄについて同じプロセス
を繰り返し、横断的でないものについては、Ｃとｄによ
って結合されているすべての対、Ｐ内のＣ及びＱ内のＤ
を横断的でないとマークする。Ｐの次元とＱの次元の和
に等しい次元のＰｅＱ内のセルが作成されるまで、また
は次元ｎに達するまでのどちらかが先に起こるまで続け
る。さて、他の任意のセルの境界内にないすでに計算さ
れた各セルについては、各セル及びその境界内のすべて
のセルによって定義された多面体を作成し、最後に、こ
れらの多面体和集合をとる。第１４図は、この複合方法
を示す流れ図である。

多面体のミンコフスキー和の計算において、横断的でな
いセル対のミンコフスキー和の寄与が無視できるという
知見が、このアルゴリズムの正しさを正当化する鍵であ
る。事実、セル対のより広いクラスのミンコフスキー和
を無視すると、一般アルゴリズムの正しさに影響を与え
ずに、効率を高めることができる。この目的のために、
Ｃが多面体Ｐのセルであり、ｄが多面体Ｑのセルである
とすると、点集合として、ｃＣＣＣＰかつｄＣＤＣＱと
なる横断アフィン・セルＣとＤが存在しない場合、ある
いは同じことであるが、ｃｃｃローＰ−かつｄＣＤＣＱ
となるすべてのアフィン・セルＣとＤが横断的である場
合、Ｃとｄを、ＰとＱに関して強横断的であると定義す
る。たとえば、ｅが、Ｒ３内の多面体Ｐの凹稜である場
合には、ｅを含むＰ内に含まれるアフィン２セルがある
。このように、ｆが、Ｒ３内の多面体Ｑの面であるとす
ると、ｅとｆは、ＰとＱに関して強横断的ではない。

というのは、２つの２セルは、Ｒ３内で横断的になるこ
とはできないからである。強横断性は横断性を意味す・
るが、その逆は真ではない。稜ｅは、平行でないＱの各
面と横断的になる。２つの多面体内の２つのセルが強横
断的であるかどうかを判定するのは、それらの２つのセ
ルが横断的であるかどうかを判定するよりも複雑である
が、モデル作成システムは、この判定を支援する情報を
しばしば維持する。たとえば、３次元モデル作成システ
ムにおいては、稜及び頂点の完全３次元近傍がしばしば
入手可能であり、凹稜の例のように、この情報は、強横
断性を判定するのに充分となり得る。

非横断セル対に関する前述の検討と同様にして、２つの
多面体ＰとＱの少なくとも一方が、その凸閉包内にアフ
ィン直線を含まない場合、ＰとＱに関して強横断的であ
るセル対のミンコフスキー和のＰΦＱに対する寄与のみ
を考えればよいことを示すことができる。すなわち、横
断的であるが、強横断的ではないセル対は無視できる。

前述のように、標準ｎ次元単体を使用した分解の計算ア
ルゴリズムは、このより強力な分解を生ずるので、必要
とされる性質がＰまたはＱについても当てはまると仮定
するのにこれ以上アルゴリズムまたは解析は必要でない
。事実、強横断的なセル対のみを考えればよいというこ
の還元の利点を取り入れたアルゴリズムを得るには、第
１３図のブロック６４またはその擬似コード実施態様の
行７のみを変更するだけでよい。具体的には、ブロック
６４の第１条件または行７のサブルーチンＴｒａｎｓｖ
ｅｒｓａｌの呼出しで、まず２つのセルが横断的である
かどうか検査すればよく、ＮＯの場合には、これらのセ
ルは強横断的ではないという情報を返す。次に、２つの
セルが横断的であり、かつそれらのセルが強横断的であ
るか否か確認できない場合には、２つのセルは強横断的
であると仮定すべきであり、そのように報告される。誤
ってイエスと応答する可能性があるが、効率が影響を受
けるだけで、正しさには影響を与えない。第１３図の流
れ図の残り部分またはその擬似コード実施態様には変更
がない。第１４図の流れ図で表すアルゴリズムもまた、
強横断性による還元の使用により機能を高めることがで
きる。具体的には、第１４図の流れ図のブロック８０を
、第１３図の流れ図のブロック８４のように変更すべき
である。

ブロック８０の非横断性の伝播は、非横断的であると判
明したセル対に対しては元のままとなり得る。しかし、
セル対が横断的であるが、強横断的でない場合には、非
横断性を伝播すべきではない。

すべての横断セルではなく強横断的なセルのみを取り扱
うことに付随する還元は、効率を大きく高めることがで
きる。たとえば、次の場合を考えよう。まず、Ｘｙ平面
内の８×８個の単位正方形の基盤目パターンから始めよ
う。このパターンを２軸に沿って１単位掃引し、黒の正
方形によって掃引された３２の単位立方体を保存する。

このパターンを２軸に沿ってもう１単位掃引し、今度は
、赤い正方形によって掃引された３２の単位立方体を保
存する。このようにして、８Ｘ８×８個の単位立方体の
３次元基盤目パターンを得るまで続ける。この多面体を
Ｐと呼ぶ。Ｑを１／８Ｘ　１／８×１７８立方体とし、
いずれの稜も座標軸に平行でないとする。Ｐの多積は、
Ｑの各面に対して横断的であるので、元のアルゴリズム
は、稜と面のミンコフスキー和を計算し、ＰとＱのミン
コフスキー和を定義する和集合にその結果を使用する。

Ｐの凸ハル内にない多積は、Ｐの２つの共平面の閉包内
にあることが容易にわかるので、Ｐ内に含まれる２セル
内に含まれている。さらに、Ｐの凸ハルのワイヤ・フレ
ーム内にない各頂点は、Ｐの２つの共線稜の閉包内にあ
るので、Ｐ内に含まれる１セル内に含まれている。この
ように、これらの稜のいずれも、Ｑの任意の面に対して
強横断的にはなり得す、かつ、これらの頂点のいずれも
、Ｑの内部に対して強横断的にはなり得ないので、機能
を強化したアルゴリズムでは、これらの計算を避ける。

第１５図は、上述の多面体Ｐの一部分を表したものであ
る。頂点８５は、どの立体に対しても強横断的になるこ
とができないように、８５と共線稜８６及び８７の和集
合によって定義された線分の内部に含まれている。同様
に、面９０が、その境界内に稜８８及び９１をもつ面で
ある場合は、稜８８は、８８と共平面８９及び９０の和
集合によって定義される２セルの内部にあるので、稜８
８は、どの面に対しても強横断的になることはできない
。

上記のことをｍｘｍの基盤目と、ｍＸｍＸｍ個の立方体
の集まりに一般化する場合には、稜の数は３ｍ　（ｍ＋
１）　２−８ｍであり、考慮する必要のある（凸ハル内
にある）稜の数は１２ｍ　（ｍ＋１）−１８ｍである。

このように、前者はｍ３に比例して増加し、後者はｍ２
に比例して増加する。

さらに、（ｍ＋１）３−４個の頂点があり、そのうち１
２ｍ−８個のみを考えればよい。すなわち、それだけが
凸ハルのワイヤ・フレーム内にある。

たとえば、ｍ＝８の場合には、２つの稜の数は１８９８
及び７２０、すなわち約３０％である。ｍ＝１００の場
合には約４％である。たとえば、２つの頂点の数は７２
５及び８８、すなわち約１２％である。ｍ＝１００の場
合は約０．１％である。

一般アルゴリズムの実施例の説明をこれで完了したので
、より簡単でより効率的なアルゴリズムを提供できる、
２つのよく見られる特殊なケースを考えることにする。

すなわち、多面体の１つが全次元である場合と、多面体
の１つが凸である場合である。まず、全次元多面体から
始める。このクラスの多面体は、実際に最もしばしば出
会うものである。

Ｐのｎセルの閉包の和集合がＰをもたらす場合、Ｒ’内
の多面体Ｐは全次元である。Ｋ内の各にセルが、すべて
のｋＳｎについてＫの（ｋ＋１）セルの境界内にある場
合　Ｒｎ内の全次元多面体Ｐの分解には全次元分解であ
る。多くの商用多面体立体モデラは、全次元分解によっ
て表されるＲ３内の全次元多面体のみを支援している。

全次元多面体のどんな分解も、「クリーン化」または「
単純化」して全次元分解を生ずることができる。説明を
簡単にするために、全次元多面体の話をするときは、そ
れが単純化された、すなわち全次元の分解によって表さ
れるものと仮定する。

第１６図は、全次元分解をもつ全次元多面体である立方
体１００を示している。第１７図は、多面体Ｐを形成す
るように追加された稜１０１及び頂点１０２をもつ立方
体１００を示している。稜１０１及び頂点１０２は、Ｐ
内のどの３セルの境界にも属していないので、Ｐは全次
元ではない。

第１８図は、第１６図の分解とは異なる立方体１００の
セル分解を生ずるために、面１０５に追加された頂点１
０４をもつ立方体１００を図示している。頂点１０４は
Ｏセルであるが、どの稜の境界内にもないので、すなわ
ち、立方体１００のセル分解の１セルなので、このセル
分解は、全次元分解ではない。この分解を単純化すると
、第１６図が得られる。

２つの多面体のミンコフスキー和の計算用の一般アルゴ
リズムでは、次元の和がｎ以下である横断セルのすべて
の対を考慮する必要がある。しかし、多面体の少なくと
も１つが、全次元多面体であることがわかっている場合
には、事態はより単純である。（１つの多面体を、その
凸閉包内にアフィン直線を含まない多面体の和に還元す
る方法を全次元多面体に適用すると、全次元多面体の集
まりが返され、したがって必要なら、この方法が適用さ
れたと仮定することができる。）ＰとＱをＲｒＩ内の多
面体とし、それらの少なくとも一方は、その凸閉包内に
アフィン直線を含まないものとする。Ｐが全次元であり
、かつＣが、ｄに対して横断的なＰ内のｊセル、Ｑ内の
にセルである場合には（ｊ＋ｋ＜ｎ）　、Ｃはｄに対し
て強横断的ではなく、シたがってＣΦｄは無視できるか
、あるいはＣは、Ｃの閉包、Ｐの（ｎ−ｋ）セル内にあ
り、すなわちｄに対して強横断的であることを示すこと
ができる。これは、一般アルゴリズムを２通りに単純化
できることを暗示している。第１に、次元の和がｎにな
らないセルの対からＰｅＱへの寄与は、無視できる。第
２に、セル対を以前出会ったとマークすることによる効
率上の利得は、境界セルを作成するのに使用される横断
セル対に適用され、かつしたがってそれらの和はｎより
小さくなければならないので、それらは、第１の知見の
故に処理されないことになる。このように、次元の和が
ｎになり、マークをしない横断（または強横断的）セル
対のミンコフスキー和の和集合としてミンコフスキー和
を計算することができる。このように、第１９図の流れ
図に示した修正は、第１３図の一般アルゴリズムの流れ
図の修正を含み、次のコードは、一般アルゴリズムの実
施態様を修正したものである。

０１　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　Ｓｕｍ　ｗｉｔｈ　Ｆｕｌ
ｌ　ＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＰｏ　１ｙｈｅｄｒｏｎ　
（Ｐ　、　Ｑ）０２　ｓｕｍ＝）ｌａｋｅ　Ｈｅｗ　Ｐ
ｏ１ｙｈｅｄｒｏｎ０３　ｆｏｒ　ｊ：ｏ　ｔｏ　ｎ　
ｒｅｐｅａｔ０４　　ｆｏｒ　ｃ　ｔｎ　Ｃｅ１ｌｓ（
Ｐ、ｊ）　ｒｅｐｅａｔ０５　　　ｆｏｒ　ｄ　ｉｎ　
Ｃｅ１ｌｓ（Ｑ、ｎ−ｊ）　ｒｅｐｅａｔ０６　　　　
ｉｆ　Ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ（ｃ、ｄ）０７　　　　
　　　　　ｔｈｅｎ　　［ｎｅｗ　　ｓｕｍ＝Ｔｒａｎ
ｓｖｅｒｓａ１Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　Ｓｕｍ（ｃ、ｄ）
０８　　　　　　　　　　　　ｓｕｍ＝Ｕｎｉｏｎ（ｓ
ｕｍ、ｎｅｖ　　ｓｕｍ））０９　　ｒｅｔｕｒｎ（ｓ
ｕｎ） 強横断性による実施態様は、一般アルゴリズムの対応す
る機能強化について検討した際に上述したように、ブロ
ック１１０及びその行６による実施態様を変更すること
によって得られる。

多面体モデル作成のほとんどの応用例は、現在、Ｒ３に
対して実施されている。Ｒ３においては、０．１．２．
３セルは、頂点、凹稜、平面、及び開立体と呼ばれ、１
．２．３セルの閉包は、単に、稜、面、及び立体と呼ば
れる。関与する多面体が、すべて全次元である場合は、
それらの多面体は、通常、立体と呼ばれ、これらの立体
の使用及び操作は立体モデル作成と呼ばれる。ＡとＢが
２つの３次元多面体である場合、ｖＡでＡの頂点を表し
、Ｖ８でＢの頂点を表す。同様に、ＥＡｌＥｅ、ＦＡＮ
ＦＢでＡとＢのそれぞれ稜と面を表す。ＡまたはＢが立
体であり、かつその一方が、その凸閉包内にアフィン直
線を含まない（たとえば、有界である）場合は、前述の
アルゴリズムは記号的に次のように表すことができる。

Ａ■Ｂ　”　　（Ａｅ　”　Ｖａ）Ｕ　　（ＦＡΦ’　
　Ｅｅ）Ｕ（ＥＡｅ　’　　Ｆｓ）Ｕ　　（ＶＡｅ　’
　　Ｂ　）上式でｅ“は、２つのオペランドからの横断
（または強横断的）セルのすべての対のミンコフスキー
和の和集合をとるプロセスを表している。凹稜は面に対
して決して強横断的にはならないので、ミンコフスキー
和が和集合全体に分布することを利用することによって
、次のように示すことができる。

Ａ■Ｂ＝　　（ＡｅＥ　　’　　Ｂ）Ｕ　　（Ｅ　　’
Ａ■Ｂ）上式でＥＴ９はＡの非凹稜の集合を表し、Ｅ′
８はＢのそれを表す。頂点と立体のミンコフスキー和は
、平行移動にすぎない。面と横断稜のミンコフスキー和
は、一般に、稜に沿っての面の掃引と呼ばれている。立
体と稜のミンコフスキー和は、−般に、稜に沿っての立
体の掃引と呼ばれている。

多面体立体モデル作成をサポートする市販の実施態様は
多数ある。それらの多くは、和集合、平行移動、及び掃
引を実行することができる。したがって、これらのいず
れをも本ケースにおける実施手段として利用することが
できる。

強横断性を使用する機能強化なしで全次元多面体に関す
るミンコフスキー和を求めるアルゴリズムを説明してき
たが、その適用によって効率向上の可能性も得られる。

事実、強横断性について検討した際に提示した潜在的利
点を示す３次元基盤目の例は、全次元３次元多面体、す
なわち立体に関するものであった。

ミンコフスキー和の適用において、しばしば、対象の１
つが凸であることがわかっている。たとえば、成形操作
及びオフセット操作ではしばしば球の多面体近似を使用
する。多くの経路計画アルゴリズムでは、まず楕円体の
多面体近似で対象物を囲む。これら及びその他の応用例
は重要なので、より大きい効率をもたらす改善されたア
ルゴリズムを提供することが望ましい。前と同じように
、考慮しなければならないセル対の数を減らすことによ
り、この場合、５多面体の性質を活用することにより、
より大きな計算効率が得られる。

まず、必要ないくつかの用語を定義する。線形変換りは
、Ｌ　（ｘ）＝Ｏであり、Ｘが部分空間Ｗ内にある場合
に限り、Ｗの零化群である。すべての部分空間は零化群
をもつ。ＬがＷの零化群である場合、二点ｐとｑの差は
、Ｌ　（ｐ）　＝Ｌ　（Ｑ）である場合に限りＷのベク
トルであるということになる。ＬがＷの零化群であり、
かつＳとＴがＬ（Ｓ）＝Ｌ　（Ｔ）となるような２つの
集合である場合は、Ｌ’　（Ｓ）＝Ｌ’　（Ｔ）である
ことは容易にわかる。ただし　Ｌ　ｌはＷの任意の零化
群である。このように　ｖＷの任意の零化群Ｌ１及び任
意の２つの集合（または、集合の集まり）ＳとＴについ
て、Ｌ　（Ｓ）　＝Ｌ　（Ｔ）である場合、ＳとＴは、
Ｗを法として等価であると定義する。

凸条面体に関するミンコフスキー和の計算は、部分空間
を法とした等偏性の概念を使用することにより、より簡
単な部分集合に関するミンコフスキー和に還元すること
ができる。具体的には、ｄをＲｎ内の多面体のセルとし
、Ｓを多面体Ｐの部分集合の集まりとすれば、それはＴ
　（ｄ）を法としてＰと等価である。Ｐの任意の点ｐに
ついて、Ｔ　（ｄ）を法として等価であるということは
、Ｔ　（ｄ）内のあるベクトルＶについて、Ｓの部分集
合の１つの中に、ｐ＋Ｖ：Ｓとなるような点Ｓがなけれ
ばならないことを意味する。Ｐが凸である場合には、ｐ
とｐ＋ｖを結合する線分中の各点もまたＰ内にある。ｑ
がｄの任意の点である場合には、ｐ＋ｑ＝　（ｐ＋ｔＶ
）＋　（ｑ　ｔ　Ｖ）なので、ｐ＋ｑがＳｅｄ内に含ま
れるか、あるいはｐ＋ｑがＰΦ′ａｄ内に含まれること
になる。このようにして、これまでに提示した一般アル
ゴリズムによるＰｅｄの計算において、ＰｅｄをＳｅｄ
で置き換えることができる。アフィン・セルｃ１及び多
面体Ｑについて、集合（または集合の集まり）Ｔが、Ｃ
に対するＱの代用物であると定義する場合、Ｑｅτ＝　
（Ｔｅｃ）Ｕ　（Ｑｅａｃ）（７）とき、上記のことは
、Ｔ　（ｄ）を法としてＰと等価なＰの部分集合、また
は部分集合の集まりが、ｄに対するＰの代用物であるこ
とを意味する。もちろん、Ｓが、Ｐより簡単なＰの代用
物である場合は、ＰではなくＳを使えば、Ｐ６９Ｈのよ
り効率的な計算ができる。

ｋセルｄについて、ＬをＴ　（ｄ）の零化群とする。ｄ
に対する凸条面体Ｐのより簡単な代用物を決定するため
に、Ｌは２通りに利用することができる。Ｐがアフィン
直線を含む場合は、アフィン直線を含まない多面体の和
集合として分解を行なうために前述のアルゴリズムを適
用すると、凸集合の集まりが返される。これらの集合の
それぞれについて代用物を得る場合、これらの代用物の
連結がｄに対するＰの代用物を形成するので、今後は、
Ｐはアフィン直線を含まないと仮定できる。

ｊがＰの次元であり、かつｍがＴ　（Ｐ）とＴ　（ｄ）
の交わりの次元である場合には、Ｐがアフィン直線を含
まないかぎり、Ｌ　（Ｐ）　＝ ［Ｌ（セル（Ｐ、ｊ−ｍ））コを示すことができる。さ
らに、部分集合の要素のＬの下で像の単位ｎの閉包が、
Ｌ（セル（Ｐ、ｊ−ｍ））をカバーするようなセル（Ｐ
、ｊ−ｍ）のどんな部分集合でもよい。ｄに対して横断
的なセルからなるこのような部分集合は容易に決定でき
る。というのは、この状態は、モデラ内で容易に検査で
きるからである。このように、Ｐの分解内のセルに関し
てより簡単な代用物を得ることができる。言い換えると
、より簡単な代用物が、Ｐの分解には属さず、むしろＬ
　（Ｐ）の分解によって決定されるセルに関して、形成
できる。Ｐが有界である場合には、Ｌ　（Ｐ）も有界で
ある。したがって、Ｌ（Ｐ）は、（ｊ−ｍ）単体の集ま
り（Ｔ　Ｉ）として分解できる。この集まり内の各車体
Ｔ＋について、Ｌ　（Ｓｔ）”　Ｔ　＋となる（ｊ−ｍ
）単体Ｓ＋Ｐが見つかることがわかる。したがって、集
まり（Ｓ、）はｄに対するＰの代用物である。Ｐが有界
でない場合は、単体の代わりに、半直線と点の集合の凸
閉包を使用する同様の技法を使用できる。あるいは問題
を射影変換により有界なケースに還元することができる
。

次の３つのケースにふれておかなければならない。第１
に、ｊ−ｍ＝０の場合は、Ｔ　ＣＰ）はＴ（ｄ）の部分
集合であり、したがってＬ　（Ｐ）は単一点に還元され
る。Ｐ内のすべての点は、この点に写像されるので、Ｐ
内の任意の点ｐは、ｄに対してＰの代用物として働（こ
とができる。このヨウニシテ、Ｐ　ｅ　ｄ　ハ、ＰｅＴ
Ｘｐｅ″２ｒ）計算装置き換えることができる。すなわ
ち、■はｐによって平行移動される。具体的には、■が
全次元である場合は、Ｔ（ｄ）はＲ’と一致する。した
がって、ｊ−ｍ＝０、かつＰの任意の点は、ｄに対して
Ｐの代用物として働くことができる。第２に、ｊ　−ｍ
＝　１の場合、Ｌ（Ｐ）は直線の部分集合である。Ｐは
凸である。したがって、Ｐは結合されているので、Ｌ　
（Ｐ）は、直線、半直線、または線分である。Ｐはアフ
ィン直線を含まないので、Ｐは頂点を含まなければなら
ず、各頂点が稜と境界を接する。ｆが、ｆ　（Ｐ）が点
に還元されないようなＴ（−ｄ）を暗示的に定義する線
形関数の１つである場合には、ｆ　（Ｖ、。）がＰのす
べての頂点にわたってｆの値を最大にするようなＰの頂
点をＶ□８とし、ｆ　（Ｖ、ｌ、、）がＰのすべての頂
点にわたってｆの値を最小にするようなＰの頂点をＶ　
ｍ　ｌ　ｎとする。　Ｖ＋＋ｔａｘが、ｆ　（ｐ）＞　
ｆ　（Ｖ、、ｘ）の点ｐを含むセル（Ｐ、ｌ）内で１本
の開半直線と境界を接する場合、そのような半直線を１
本Ｓに追加する。Ｖ＋ｓ　ｌ　ｎが、ｆ　（ｐ）　＜ｆ
　（Ｖ、＋ｎ）の点ｐを含むセルＣＰ、１）内で１本の
開半直線と境を接する場合には、そのような半直線を１
本Ｓに追加する。ｆ　（Ｖ−ｘ）　＝ｆ　（Ｖ−＋ｎ）
の場合は、Ｖ、、ａｘをＳに追加し、その他の場合には
、Ｖ□８、■、１、及びそれらを結合する開校をＳに追
加する。Ｓは、このときｄに対するＰの代用物である。

第３に、Ｐが有界であり、かつＬ　（Ｐ）の頂点の数が
ｊ−ｍ＋１に等しい場合には、Ｌ　（Ｐ）は単体である
。したがって、Ｐは、ｄに対するＰの代用物であるＰの
ｍ−ｊ＋１個の頂点によって定義される単体を含む。

多面体の１つが凸である場合に使用される技法の最後の
ものとして、セルの接空間の零化群を決定するための方
法が必要である。幸いに、境界表現に基づくモデル作成
システムでは、多面体の任意のにセルｄに対して、常に
Ｔ　（ｄ）の固定零化群が決定できる。境界に基づく多
面体モデル作成システムでは、Ｔ　（ｄ）は、ｎ−に個
の線形関数の解集合として暗示的に、またはに個の基底
ベクトルによって明示的に表される。明示表現は、（た
とえば、Ｇｒａｍ−８ｃｈｍｉｄｔ過程の適用によって
）暗示表現に変換できるので、いずれのケースにおいて
も、ｄを暗示的に表す線形関数の集合を（ｆ＋）とする
。Ｌが　Ｒｎ中のＸを（ｆ＋（ｘ）、・・・、　　ｆｎ
−ｋ　（ｘ）　）に写像する変換である場合は、Ｌは、
Ｔ　（ｄ）の零化群である。

第２０図は、凸条面体と一般多面体のミンコフスキー和
を計算するための、本性の実施態様の高水準制御を示す
流れ図である。ブロック１２０は、前板で述べた方法に
よるより簡単な代用物の計算を意味している。次の擬似
コード断片は、この流れ図の実施態様の例である。この
擬似コードでは、Ｐは凸条面体、Ｑは一般多面体と仮定
されている。

行４のサブルーチンＳｉｍｐｌｅｒ　　５ｕｒｒ。

ｇａｔｅは、入力として、凸条面体Ｐとセルｄを受は入
れ、ｄに対するＰのより簡単な代用物であるセルの集合
を表すセル構造のリストを返す。このより簡単な代用物
は、ここに説明した方法によって見つけられる。

０１　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　Ｓｕ＋ｗυｉｔｈ　Ｃｏｎ
ｖｅｘ　Ｐｏ１ｙｈｅｄｒｏｎ（Ｐ、Ｑ）０２　ｓｕｍ
＝Ｍａｋｅ　Ｎｅｗ　Ｐｏ１ｙｈｅｄｒｏｎ０３　ｆｏ
ｒ　ｄ　ｉｎ　Ｃｅ１ｌｓ（Ｑ）　ｒｅｐｅａｔ０４　
　（ｌｉｓｔ　ｏｆ　ｃｅｌｌｓ＝ｓｉｎ＋ｐｌｅｒ　
Ｓｕｒｒｏｇａｔｅ（Ｐ、ｄ）０５　　ｆｏｒ　ｓ　ｉ
ｎ　１ｉｓｔ　ｏｆ　ｃｅｌｌｓ　ｒｅｐｅａｔ０６　
　　　　　ｓｕｍ＝ｌＪｎｉｏｎ　（ｓｕｍ、Ｔｒａｎ
ｓｖｅｒｓａｌ　　旧ｎｋｏｖｓｋ　ｉＳｕ＋＊（ｓ、
ｄ）） ０７　　ｒｅｔｕｒｎ（ｓｕｎ） ＡとＢがＲ３内の多面体であり、Ａが凸で有界である場
合には、前の方法はより明示的に記述できる。Ｂの体積
、すなわちＢの３セルは、全次元であるので、Ａの任意
の点は、体積の任意の１つに対するＡの代用物として働
く。このように、ＢとＡの任意の体積によるＡ■Ｂへの
寄与は、Ａの点によって平行移動された体積で置き換え
ることができるが、これらは同時に、Ａの任意の点によ
るＢの平行移動によって取り扱うことができる。

各面、Ｂのｆは２次元なので、Ｔ　（ｆ）は、１つの１
次方程式によって暗示的に定義される。これは、しばし
ば、法ベクトル（内部または外部）として記憶され、あ
るいはそれから法ベクトルを容易に導き出すことができ
る。Ａはを界なので、Ａ内には半直線は存在しえない。

このように、ＶｍａｘがＡの頂点であり、そのＶとの点
乗積、ｆの法ベクトルが、Ａのすべての頂点に対して得
られた最大値であり、ＶｌｎがＡの頂点であり、そのＶ
との点乗積が、Ａのすべての頂点に対して得られた最小
値である場合、Ｖ＋ｓａｘとＶ＋ｓｌｎを結合している
線分は、ｆに対するＡの代用物である。事実、得られた
最大値と最小値が等しい場合は、代用物としてはＶ□Ｘ
（またはＶ、、＋、１）のみで充分である。

第２１図は、この技法の例である。セル１２５は、法ベ
クトル１２６をもつ面である。凸条面体１２８は、ベク
トル１２θとの点乗積を最大にする頂点１２９をもつ。

凸条面体１２８はまた、ベクトル１２６との点乗積を最
小にする頂点１３０をもつ。頂点１２９とベクトル１２
６の点乗積の値は、頂点１３０とベクトル１２６の点乗
積の値より大きいので、頂点１３０と１２９を結合して
いる線分１３２は、面１２５に対する凸条面体１２８の
代用物である。

ここで、ｅをＢの稜、■をその両端点の差によって定義
されるベクトルとする。Ｂの面の場合と同じように、Ａ
の面に対する法ベクトルは容易に得ることができる。Ａ
の次元が３の場合には、その法ベクトルは内部法ベクト
ルであると仮定でき、したがって、法ベクトルがＶと正
の点乗積をもつ面の閉包の集合が、ｅに対するＡの代用
物部分集合である。Ａの次元が３未満の場合は、Ａは凸
なので、ｅに対して横断的なＡの面はｅによって掃引さ
れなければならない。他方、ｅに対して横断的でないＡ
の面ｆについては、より前車な代用物を見つけることが
できる。事実、Ｗが、Ｖとｆに対する法線のクロス積で
ある場合には、ｖｆｆｉａｘがＡの頂点であれば、その
Ｗとの点乗積は、Ａのすべての頂点に対して得られた最
大値であり、Ｖｍ　Ｉ　ｎがＡの頂点であれば、そのＷ
との点乗積は、Ａのすべての頂点に対して得られた最小
値であり、Ｖｍａｘとｖｌ、、を結ぶ線分が、ｅに対す
るＡの代用物である。最後に、ｅと、Ａへの法線の点乗
積が０でない場合にのみ、Ａはｅに対して横断的である
。

第２２図は、１つの多面体が有界であり、凸であり、全
次元である場合のこの技法のアルゴリズムの展開を示す
流れ図である。次の擬似コードは１つの多面体が凸であ
り、有界であるが、必ずしも全次元ではない場合のこの
技法の、市販のモデル作成システムで普通に使用できる
機能による実施態様である。具体的には、行１のＡは、
Ｒ３の凸有界多面体と仮定され、ＢはＲ３の多面体と仮
定されている。

０１　　Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ　　Ｓｕｍ　　Ｉｎ　　３
　５ｐａｃｅ　　Ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ　　ＡＢｏｕｎｄ
ｅｄ ０２　　Ｃｏｎｖｅｘ　Ｐｏ１ｙｈｅｄｒｏｎ（Ａ、Ｂ
）０３　ｓｕｍ＝Ｔｒａｎｓｌａｔ（Ｂ、　Ｐｏ１ｎｔ
　０ｆ（Ａ））０４　ｆｏｒ　ｆ　ｉｎ　Ｆａｃｅｓ（
Ｂ）　ｒｅｐｅａｔ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ （ｕ＝Ｈｏｒｖａｌ　　Ｔｏ（ｆ） ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ　　ｖｅｒｔｅｘ＝Ｖｅｒｔｅｘ
　　Ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇｏｔ ｐｒｏｄｕｃｔ（Ａ、ｕ） ｍａｘｉｍｕｍ　ｖａｌｕｅ＝Ｄｏｔ　Ｐｒｏｄｕｃｔ
（ｕ、ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇｖｅｒｔｅｘ） ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ　　ｖｅｒｔｅｘ＝Ｖｅｒｔｅｘ
　　旧ｎｉｍｉｚｉｎｇ　　ＤｏｔＰｒｏｄｕｃｔ（Ａ
、ｕ） ｍｉｎｉｍｕｍ　ｖａｌｕｅ＝Ｄｏｔ　Ｐｒｏｄｕｃｔ
（ｕ、ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｖｅｒｔｅｘ） ｉｆ　　（ｍｉｎｉｍｕｍ　　ｖａｌｕｅ＜ｍａｘｉｍ
ｕｍ　　ｖａｌｕｅ）ｔｈｅｎ　　（ｅｄｇｅ＝Ｍａｋ
ｅ　Ｅｄｇｅ（ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇｖｅｒｔｅｘ。

ｍ１ｎｉｎ＋ｉｚｉｎｇ　ｖｅｒｔｅｘ）ｓｕｍ＝Ｕｎ
ｉｏｎ（ｓｕｍ、Ｓｗｅｅｐ（ｆ、ｅｄｇｅ）））ｅｌ
ｓｅ　ｓｕｍ＝ｔｌｎｉｏｎ（ｓｕｎ、Ｔｒａｎｓｌａ
ｔｅ（ｆ。

ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ　ｖｅｒｔｅｘ）））ｆｏｒ　ｅ
　　ｉｎ　Ｅｄｇｅｓ（Ｂ）　　ｒｅｐｅａｔｖ＝Ｍａ
ｋｅ　　Ｖｅｃｔｏｒ　　Ｆｒｏｍ　Ｅｎｄ　　Ｐａ１
ｎｔｅｒｓ（ｅ）ｉｆ　　（Ｄｉｍ（Ａ）＝３） ｆｏｒ ｔｈｅｎ　ｆｏｒ　ｆ　　ｉｎ　Ｆａｃｅｓ（Ａ）　　
ｒｅｐｅａｔ（ｕ＝Ｈｏｒｍａｌ　Ｔｏ（ｆ） ｉｆ　　（Ｄｏｔ　Ｐｒｏｄｕｃｔ（ｕ、ｖ）＞０）ｔ
ｈｅｎ　ｓｕｍ＝Ｕｎｉｏｎ（ｓｕｎ、ｓｗｅｅｐ（ｆ
＋ｅ）））ｅｌｓｅ　　（ｇ＝Ｆａｃｅ　Ｏｆ（Ａ）ｕ
ｇＮｏｒｍａｌ　　Ｔｏ（ｇ） ｉｆ　　（Ｄｏｔ　Ｐｒｏｄｕｃｔ（ｕ、ｖ）＝Ｏｔｈ
ｅｎ　（ｖ＝ｃｒｏｓｓ　Ｐｒｏｄｕｃｔ（ｕ、ｖ）ｍ
ａｘｉｍｉｚｉｎｇ　ｖｅｒｔｅｘ＝ＶｅｒｔｅｘＭａ
ｘｉｍｉｚｉｎｇ Ｄｏｔ　Ｐｒｏｄｕｃｔ（Ａ、ｗ） ｍｉｎｆｉｚｉｎｇ　ｖｅｒｔｅｘ＝Ｖｅｒｔｅｘ−Ｍ
ａｘｉｍｉｚｉｎｇ　Ｄｏｔ　Ｐｒｏｄｕｃｔ（Ａ、ｗ
）ｅｄｇｅ＝Ｍａｋｅ　Ｅｄｇｅ（ｍａｘｉｍｉｚｉｎ
ｇｖｅｒｔｅｘ＊ ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ　ｖｅｒｔｅｘ）ｓｕｍ＝ｔｌｎ
ｉｏｎ（ｓｕｎ、Ｓｗｅｅｐ（ｅｄｇｅ＊ｅ）））ｅｌ
ｓｅ　ｆｏｒ　ｆ　　ｉｎ　Ｆａｃｅｓ（Ａ）　　ｒｅ
ｐｅａｔｓｕｍ＝ｔｌｎ　ｉｏｎ　（ｓｕｎ　、　Ｓｗ
ｅｅｐ　（ｆ　、　ｅ）　）　）ｖ　　ｉｎ　Ｖｅｒｔ
ｉｃｅｓ（Ｂ）ｒｅｐｅａｔ３６　　　ｓｕｍ＝Ｕｎｉ
ｏｎ（ｓｕｍ、Ｔｒａｎｓｌａｔｅ（Ａ、ｖ））３７　
　ｒｅｔｕｒｎ（ｓｕ＋＋） Ｆ０発明の効果 本発明により、ｎ次元空間の２つの一般多面体のミンフ
フスキー和を形成するために、ＣＡＤ／ＣＡＭシステム
の標準ツールを一般化し使用する手順及び技法が提供さ
れる。

【図面の簡単な説明】

第１図は、２つの多面体の例を示す図である。 第２図は、第１図の多面体の一方を他方に対して開いた
結果を示す図である。 第３図は、多面体のホール内のピアノの多面体近似を示
す図である。 第４図は、本発明によって可能な計算の例を示す図であ
る。 第５図は、ワークセル内のロボットのグリッパの多面体
近似を示す図である。 第６図は、本発明によって可能な計算の例を示す図であ
る。 第７図は、球のＣＴＳ近似の例を示す図である。 第８図は、代替方法による球の非ＣＴ’Ｓ近似の例を示
す図である。 第９図は、第７図の対象物をシミュレーション操作にお
けるオフセッタとして使用した結果の表現を示す図であ
る。 第１０図は、第８図の対象物を、シミュレーション操作
におけるオフセッタとして使用したより平滑な結果の表
現を示す図である。 第１１図は、２つの横断セルのミンコフスキー和を形成
する過程を示す流れ図である。 第１２図は、代用物の概念を示す２つの面の透視図であ
る。 第１３図は、ｎ次元空間における２つの一般多面体のミ
ンコフスキー和を形成する過程を示す流合わせて合体し
た過程を示す流れ図である。 第１５図は、基盤目パターンを平行移動させることによ
って形成される多面体の一部分の図である。 第１８図は、立方体の図である。 第１７図は、立方体、稜、頂点によって形成される多面
体の図である。 第１８図は、立方体と頂点によって形成される多面体の
図である。 第１９図は、全次元多面体の場合の、第１３図の一般的
過程の修正を示す流れ図である。 第２０図は、凸条面体と一般多面体のミンフフスキー和
の計算を示す流れ図である。 第２１図は、例として第２０図の技法を示す平面対象物
と凸条面体の透視図である。 第２２図は、有界凸多面体を含む３次元空間内のミンコ
フスキー和の計算を示す流れ図である。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 （１）ｎ次元空間内の幾何的対象物をモデル化するため
   のコンピュータを含むＣＡＤ／ＣＡＭシステムにおいて
   、一般多面体のミンコフスキー和を計算するための方法
   であって、プール演算及びより簡単な多面体のミンコフ
   スキー和を使って前記一般多面体のミンコフスキー和を
   形成する計算機実行段階、及び 前記ミンコフスキー和によって表される幾何的対象物の
   像または内部計算機表現を生成する計算機実行段階、 を含む前記方法。 （２）プール演算及びより簡単な多面体のミンコフスキ
   ー和を使って、前記一般多面体のミンコフスキー和を形
   成する段階が、 前記一般多面体をセルに分解する段階、及び前記一般多
   面体のセルのミンコフスキー和の和集合を形成する段階
   、 を含むという、特許請求の範囲第（１）項に記載の方法
   。 （３）プール演算及びより簡単な多面体のミンコフスキ
   ー和を使って前記ミンコフスキー和を形成する段階を可
   能にするために、さらにｎ次元空間内の一般多面体の前
   記セルの横断性を検査する段階を含むという、特許請求
   の範囲第（２）項に記載の方法。 （４）さらにｎ次元空間内の一般多面体の前記セル間の
   横断性を検査する段階を含むという、特許請求の範囲第
   （２）項に記載の方法。 （５）より簡単な多面体の前記ミンコフスキー和が、線
   形並進掃引の一般化を使ってｎ次元空間内の横断多面体
   から形成されるという、特許請求の範囲第（２）項に記
   載の方法。（６）より簡単な多面体のミンコフスキー和
   が、最低次元から始め最高次元セルで終わるようにセル
   を処理することによって形成され、それによって冗長な
   計算の大部分をなくせるという、特許請求の範囲第（２
   ）項に記載の方法。 （７）さらにセルの横断性に関する情報を伝播させ、そ
   れによって、この情報を計算する必要性を減らす段階を
   含むという、特許請求の範囲第（２）項に記載の方法。 （８）前記の伝播段階が、 ２つのセルが非横断的であるかどうか判定し、ＹＥＳで
   あれば、それらが接するセル対は横断的にはなりえない
   と宣言する段階、及び ２つのセルが横断的であるかどうか判定し、ＹＥＳであ
   れば、それらのそれぞれの境界内のすべてのセル対が横
   断的であると宣言する段階を含むという、特許請求の範
   囲第（７）項に記載の方法。 （９）さらに２つのセルが強横断的ではないかどうか判
   定し、ＹＥＳであれば、これら２つのセルのミンコフス
   キー和を計算せず、それによってミンコフスキー和の不
   必要な計算を回避する段階を含むという、特許請求の範
   囲第（２）項に記載の方法。 （１０）さらに、特定次元の他の任意のセルに対して強
   横断的でないセルに対して充分な条件を確立する段階を
   含むという、特許請求の範囲第（９）項に記載の方法。 （１１）前記条件の１つが、３次元空間内の凸稜は３次
   元空間内の立体または面に対して決して強横断的でない
   ということである、特許請求の範囲第（１０）項に記載
   の方法。 （１２）前記の一般多面体の１つが凸であり、さらに前
   記のミンコフスキー和を計算するために代用物セルを使
   用する段階を含むという、特許請求の範囲第（２）項に
   記載の方法。 （１３）前記のミンコフスキー和を計算する過程が、前
   記の複雑多面体の代用物をセルに関して計算する段階を
   含むという、特許請求の範囲第（１２）項に記載の方法
   。 （１４）凸３次元多面体の代用物を、面または稜に関し
   て計算するという、特許請求の範囲第（１３）項に記載
   の方法。 （１５）前記の一般多面体の１つが全次元であり、より
   簡単な多面体の前記ミンコフスキー和を形成する段階を
   、次元の和が空間の次元になるセル対のみを考慮するこ
   とによって実行するという、特許請求の範囲第（２）項
   に記載の方法。 （１６）前記の両方の一般多面体が３次元空間内の全次
   元多面体であり、ミンコフスキー和の和集合が他方の多
   面体の頂点による各多面体の平行移動、及び他方の多面
   体の稜による各多面体の面の掃引に還元されるという、
   特許請求の範囲第（１５）項に記載の方法。（１７）強
   横断的な面稜対のみが、前記の平行移動及び掃引の過程
   で使用されるという、特許請求の範囲第（１６）項に記
   載の方法。 （１８）ミンコフスキー和が、他方の多面体の非凸稜に
   沿った各多面体の線形並進掃引の和集合として３次元空
   間内で形成されるという、特許請求の範囲第（１７）項
   に記載の方法。 （１９）さらに、非有界多面体を、それぞれがアフィン
   直線を含まない有限個数の多面体の和集合に還元する段
   階を含むという、特許請求の範囲第（１）項に記載の方
   法。 （２０）３次元内の幾何的対象物をモデル化するための
   コンピュータを含むＣＡＤ／ＣＡＭシステムにおいて、
   一般多面体のミンコフスキー和を計算するための方法で
   あって、 少なくとも一方が有界な２つの多面体ＡとＢのミンコフ
   スキー和Ａ■Ｂを線形並進掃引の和集合として計算する
   計算機実行段階を含み、前記ミンコフスキー和は Ａ■Ｂ＝（Ａ■Ｖ＿Ｂ）Ｕ（Ｆ＿Ａ■Ｅ＿Ｂ）Ｕ（Ｅ＿
   Ａ■Ｆ＿Ｂ）Ｕ（Ｖ＿Ａ■Ｂ） で表され、Ｖ＿Ａ、Ｅ＿Ａ、Ｆ＿Ａ、及びＶ＿Ｂ、Ｅ＿
   Ｂ、Ｆ＿Ｂは、それぞれＡ及びＢの頂点、稜、及び面の
   和集合を表すという、前記の方法。 （２１）前記の計算段階が、 凸でない他方の多面体の稜に沿って各多面体を掃引し、
   それによって第１及び第２の中間多面体を形成する段階
   、及び 前記の第１及び第２の中間多面体の多面体和集合を形成
   する段階 によって実行されるという、特許請求の範囲第（２０）
   項に記載の方法。 （２２）前記多面体Ｂが凸であり、かつ計算段階が、多
   面体Ａの稜に沿って多面体Ｂを掃引し、第１中間多面体
   を形成する段階、 Ｂの代用稜に沿って多面体Ａの面を掃引し、それによっ
   て多面体Ａの面を多面体Ｂによってもち上げ、第２中間
   多面体を形成する段階、及び第１多面体と第２多面体の
   多面体和集合を形成する段階 によって実行されるという、特許請求の範囲第（２０）
   項に記載の方法。 （２３）多面体Ａの特徴をもつ基板上に多面体Ｂの特徴
   を反映する層を付着する過程をシミュレートするために
   、ミンコフスキー和Ａ■Ｂを計算する段階によって、多
   面体Ａが多面体Ｂによって拡大されるという、特許請求
   の範囲第（２０）項に記載の方法。 （２４）シミュレートされた付着過程が、半導体製造に
   おける１段階を表し、像を生成する段階が、前記付着過
   程の結果の視覚表現または内部コンピュータ表現をもた
   らすという、特許請求の範囲第（２３）項に記載の方法
   。 （２５）多面体Ａが多面体Ｂによって侵食されるという
   、 まず多面体Ｂの原点を通る反射を Ｂ′＝｛−ｂ：ｂεＢ｝ として計算する段階、及び 次に、ミンコフスキー和Ａ■Ｂ′を計算する段階 を含む、特許請求の範囲第（２０）項に記載の方法。 （２６）多面体Ｂによって多面体Ａを侵食する過程が、
   半導体製造におけるエッチング過程をシミュレートし、
   像を生成する段階が、前記エッチング過程の視覚表現ま
   たは内部コンピュータ表現をもたらすという、特許請求
   の範囲第（２５）項に記載の方法。 （２７）多面体Ａが多面体Ｂによって開かれるという、
   まず多面体Ｂの原点を通る反射をＢ′＝｛−ｂ：ｂεＢ
   ｝ として計算する段階、及び 次に、（Ａ■Ｂ′）■Ｂのミンコフスキー和を計算する
   段階 を含む、特許請求の範囲第（２０）項に記載の方法。 （２８）多面体Ａが多面体Ｂによって閉じられるという
   、 まず多面体Ｂの原点を通る反射を Ｂ′＝｛−ｂ：ｂεＢ｝ として計算する段階、及び 次に、（Ａ■Ｂ′）■Ｂのミンコフスキー和を計算する
   段階 を含む、特許請求の範囲第（２０）項に記載の方法。 （２９）多面体Ａ内での多面体Ｂの並行移動自由空間を
   決定する過程が使用され、さらに、 まずＢの原点を通る反射を Ｂ′＝｛−ｂ：ｂεＢ｝ として計算する段階、及び 次に、Ａ■Ｂ′のミンコフスキー和を計算する段階 を含む、特許請求の範囲第（２０）項に記載の方法。 （３０）多面体Ｂがロボットのグリッパであり、多面体
   Ａがそのグリッパを含むワークセルであり、像を生成す
   る段階で、そのワークセル内でのそのグリッパの平行移
   動自由空間の視覚表現を生成するという、特許請求の範
   囲第（２９）項に記載の方法。