JPH10293859A - コンピュータディスプレイ上での曲線の形成及び修正 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 コンピュータディスプレイ上で曲線を形成し
且つ修正する技術を提供する。 【解決手段】 本発明によれば、コンピュータシステム
におけるグラフィカルユーザインターフェースを介して
ユーザの行為に応答して制御点によって画定される曲線
を修正することが可能である。各制御点はユーザの入力
に応答して固定制御点、選択制御点、又は自由制御点と
して識別される。選択された点の変位が受取られ、且つ
該曲線の自由勾配制御点をラインｔ上の点Ｔｐに対して
マッピングさせる。補間曲線ＩＣ（ｔ）をラインｔ上に
画定し、且つ点Ｔｐをｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ
（ｔ）の値に対して投影しスケールファクタを見付け出
す。このスケールファクタを選択された点の変位と乗算
させて自由制御点の変位を決定する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、コンピュータディ
スプレイ上に曲線を形成し且つ修正する技術に関するも
のである。

【０００２】

【従来の技術】例えばカリフォルニア州サンノゼにある
アドビシステムズインコーポレイテッドから市販されて
いるイラストレーター（Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｏｒ）プロ
グラムのようなグラフィックスプログラムにおける曲線
は、ユーザがマウスのフリーハンド運動を使用すること
によってコンピュータディスプレイ上に形成させること
が可能である。一般的に、このような曲線はコントロー
ルポイント（ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｉｎｔ）即ち制御点
の構造物として表現される。例えば、三次ベジェ曲線セ
グメント（図１２に示してあるようなもの）の場合に
は、４つの制御点を使用し、そのうちの、２つの制御点
Ｐ０及びＰ３はセグメント端点（それを介して曲線セグ
メントが通過する）であり、且つ他の２つの制御点Ｐ１
及びＰ２は、セグメント端点Ｐ０及びＰ３における曲線
セグメントの勾配を画定するスロープポイント（ｓｌｏ
ｐｅ ｐｏｉｎｔ）即ち勾配点である。

【０００３】複合曲線は、複数個のベジェ曲線セグメン
トを連結させることによって形成することが可能であ
る。例えばアドビイラストレーターシステムにおけるよ
うな幾つかの従来のシステムにおいては、ユーザは制御
点を選択し且つドラッグすることによって複合曲線を修
正することが可能である。次いで、捕まえた点はカーソ
ルによって特定された距離だけ移動する。例えば米国特
許第５，４１２，７７０号に記載されているようなその
他のシステムにおいては、曲線上の点は固定させること
が可能であり且つ該曲線の１つのセグメントをコンピュ
ータディスプレイ上のカーソルを移動させることによっ
て作り直すことが可能である。別の従来のシステムにお
いては、固定した点（即ち、固定点）を複合曲線上にお
いて特定した後に、制御点をドラッグすることによって
複合曲線を修正することが可能である。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、以上の点に
鑑みなされたものであって、コンピュータディスプレイ
上で曲線を形成したり修正したりする改良した技術を提
供することを目的とする。

【０００５】

【課題を解決するための手段】一般的に、１側面におい
ては、本発明は、コンピュータシステムにおけるグラフ
ィカルユーザインターフェース（ＧＵＩ）を介してユー
ザのアクション即ち行為に応答して曲線を修正するコン
ピュータによって実行される方法を提供している。該曲
線は、複数個の制御点によって画定されている。制御点
の各々は、ユーザの入力に応答して、固定されている制
御点（即ち、固定制御点）、選択された制御点（即ち、
選択制御点）、又は自由制御点として識別される。複数
個の選択された点のディスプレイスメント（ｄｉｓｐｌ
ａｃｅｍｅｎｔ）即ち変位が受取られる。該曲線の自由
制御点をラインｔ上のポイント即ち点Ｔｐに対してマッ
ピングさせる。補間曲線ＩＣ（ｔ）をラインｔ上に画定
する。点Ｔｐをｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ（ｔ）の
値に対して投影させて、スケールファクタ（ｓｃａｌｅ
ｆａｃｔｏｒ）即ち拡縮率を見つけ出す。該拡縮率を
該選択点の変位と乗算させて、自由制御点の変位を決定
する。

【０００６】一般的に、別の側面においては、本発明
は、コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザ
インターフェースを介して、ユーザの行為に応答して、
各々が複数個の制御点によって画定されている複数個の
曲線を修正するコンピュータによって実行される方法を
提供している。該制御点の各々は、ユーザの入力に応答
して、固定制御点、選択制御点、又は自由制御点として
識別される。各曲線の選択した点の変位を受取る。各曲
線の自由制御点を複数個のラインのうちの対応する１つ
の１つの点に対してマッピングさせる。各ライン上にお
いて補間曲線を画定する。各ライン上の該点を、対応す
る補間曲線に対して投影させて各自由制御点に対するス
ケールファクタ即ち拡縮率を見つけ出す。該拡縮率を選
択制御点の変位と乗算させて自由制御点の変位を決定す
る。

【０００７】一般的に、別の側面においては、本発明
は、コンピュータシステムにおいてディスプレイ上にベ
ジェ曲線セグメントを形成するコンピュータによって実
行されるグラフィカルユーザインターフェース方法を提
供している。第一セグメント端点の選択がコンピュータ
システムにおけるグラフィカルユーザインターフェース
を介して受取られる。コンピュータディスプレイ上のカ
ーソルの位置が第二セグメント端点として受取られる。
第一及び第二セグメント端点及び第一及び第二勾配点に
よって画定されるベジェ曲線が円弧を近似するように第
一及び第二勾配点を演算する。演算されたベジェ曲線セ
グメントをコンピュータディスプレイ上に表示する。

【０００８】一般的に、別の側面においては、本発明
は、コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザ
インターフェースを介してユーザの行為に応答して曲線
を修正するコンピュータによって読取可能な媒体上に存
在しているコンピュータプログラムを提供している。該
曲線は複数個の制御点によって画定される。該コンピュ
ータプログラムは、コンピュータシステムをして、ユー
ザの入力に応答して、制御点の各々を固定制御点、選択
制御点、又は自由制御点として識別させる命令を包含し
ている。該命令は、更に、コンピュータシステムをし
て、複数個の選択した点の変位を受取らせ、該曲線の自
由制御点をラインｔ上の点Ｔｐに対してマッピングさ
せ、且つラインｔ上に補間曲線ＩＣ（ｔ）を画定させ
る。該命令は、更に、コンピュータシステムをして、点
Ｔｐをｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ（ｔ）の値に対し
て投影させて拡縮率を見つけ出し、且つ該拡縮率を選択
した点の変位と乗算させて自由制御点の変位を決定させ
る。

【０００９】一般的に、別の側面においては、本発明
は、コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザ
インターフェースを介してユーザの行為に応答して複数
個の曲線を修正するためのコンピュータによって読取可
能な媒体上に存在するコンピュータプログラムを提供し
ている。各曲線は複数個の制御点によって画定される。
該コンピュータシステムは、コンピュータシステムをし
て、ユーザの入力に応答して、前記制御点の各々を、固
定制御点、選択制御点、又は自由制御点として識別させ
る命令を包含している。該命令は、更に、コンピュータ
システムをして、各曲線の選択した点の変位を受取ら
せ、各曲線の自由制御点を複数個のラインのうちの対応
する１つの１つの点に対してマッピングさせ、且つ各ラ
イン上に補間曲線を画定させる。該命令は、更に、コン
ピュータシステムをして、各ライン上の該点を対応する
補間曲線に対して投影させて各自由制御点に対する拡縮
率を見つけ出し、且つ該拡縮率を選択制御点の変位と乗
算させて自由制御点の変位を決定させる。

【００１０】一般的に、別の側面においては、本発明
は、ベジェ曲線セグメントを形成するためのコンピュー
タによって読取可能な媒体上に存在するコンピュータプ
ログラムを提供している。該コンピュータプログラム
は、コンピュータシステムをして、コンピュータシステ
ムにおけるグラフィカルユーザインターフェースを介し
て第一セグメント点の選択を受取らせ、且つ第二セグメ
ント端点としてコンピュータディスプレイ上のカーソル
の位置を受取らせる。該命令は、更に、コンピュータシ
ステムをして、第一及び第二端点及び第一及び第二勾配
点によって画定されるベジェセグメントが円弧を近似す
るように第一及び第二勾配点を演算させ、且つ演算され
たベジェ曲線セグメントをコンピュータディスプレイ上
に表示させる。

【００１１】一般的に、別の側面においては、本発明
は、コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザ
インターフェースを介して、ユーザの行為に応答して、
複数個の制御点によって画定されており且つ２つの曲線
端点を有している曲線を修正するコンピュータによって
実行される方法を提供している。勾配調節点を画定し、
且つ勾配調節点のグラフィカルユーザインターフェース
を介して変位が受取られる。該曲線の制御点をラインｔ
上の点Ｔｐに対してマッピングさせ、補間曲線ＩＣ
（ｔ）をラインｔ上に画定させる。点Ｔｐをｔ＝Ｔｐに
おいて補間曲線ＩＣ（ｔ）の値に対して投影させてスケ
ールファクタ即ち拡縮率を見い出し、且つ該拡縮率を選
択した点の変位と乗算させて、自由制御点の変位を決定
する。

【００１２】一般的に、別の側面においては、本発明
は、コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザ
インターフェースを介してユーザの行為に応答して複数
個の制御点によって画定されている曲線を修正するため
のコンピュータによって読取可能な媒体上に存在するコ
ンピュータプログラムを提供している。該コンピュータ
プログラムは、コンピュータシステムをして、勾配調節
点を画定させ且つ勾配調節点のグラフィカルユーザイン
ターフェースを介して変位を受取らさせる命令を包含し
ている。該命令は、更に、コンピュータシステムをし
て、該曲線の制御点をラインｔ上の点Ｔｐに対してマッ
ピングさせ、ラインｔ上に補間曲線ＩＣ（ｔ）を画定さ
せ、点Ｔｐをｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ（ｔ）の値
に対して投影させて拡縮率を見つけ出し、且つ該拡縮率
を選択した点の変位と乗算させて自由制御点の変位を決
定させる。

【００１３】本発明の利点としては以下に示すような１
つ又はそれ以上のものがある。複数個の固定した点を特
定することが可能であり且つ複数個の選択した点を１つ
のグループとして選択し且つ硬直的に移動させることが
可能である。複数個の曲線上の点を選択し且つ移動させ
ることが可能である。曲線上の点は元の曲線の一般的な
形状及び詳細を維持し且つ曲線のセグメント間の遷移の
滑らかさを維持するように移動される。ユーザは曲線の
任意の部分を修正するために選択することが可能であり
且つその曲線の残部の滑らかさが維持される。端点にお
ける複合曲線の勾配を調節することが可能である。

【００１４】

【発明の実施の形態】本発明を実施したグラフィックス
プログラムにおいては、複合曲線の一部がユーザによっ
て特定された態様で修正又は変形されるべき場合には、
該曲線のその他の部分は、該曲線の一般的な形状及び詳
細を維持し且つ曲線全体のセグメント間の滑らかな遷移
を維持すべく修正される。例えば、複合曲線が該曲線内
に多数の詳細部を画定する何百もの曲線セグメントを包
含している場合には、該プログラムは修正操作の後に元
の複合曲線の該詳細を維持する。このプログラムの場合
には、ユーザは曲線の詳細及び滑らかさを維持するため
に複合曲線のセグメントを手作業によって調節すること
は必要ではない。

【００１５】更に、本プログラムは、更に、ユーザが複
合曲線の勾配をその曲線端点において調節することを可
能としている。勾配調整点が設けられており、それは勾
配を任意の所望の量だけ修正するためにユーザによって
選択することが可能である。図１を参照すると、複合曲
線は端部同志が接続された多数のセグメントから構成さ
れている。曲線の部分を同定即ち識別する場合に使用さ
れる用語を説明するために、複合ベジェ曲線３０は３つ
のベジェセグメント２２，２３，２４を有している。セ
グメントの端点は文字Ｅとそれに続く数字によって識別
され、この例においては、セグメント端点はＥ１乃至Ｅ
４である。曲線端点はＥ１及びＥ４である。曲線端点で
はないセグメント端点は２つのセグメントによって共用
されており、この例においては、これらはＥ２及びＥ３
である。端点に加えて、ベジェセグメントは別の種類の
制御点である勾配点を有している。１つのセグメントに
おける各端点は１つの勾配点と関連している。図１２に
示したベジェセグメントにおいては、端点Ｐ０及びＰ３
は、夫々、勾配点Ｐ１及びＰ２と関連している。図１の
曲線３０において、端点Ｅｎと関連する勾配点はＥｎ＋
及びＥｎ−として識別される。例えば、Ｅ２と関連する
セグメント２２の勾配点はＥ２−であり、一方Ｅ２と関
連するセグメント２３の勾配点はＥ２＋である。１つの
曲線又は１つの曲線の一部が移動されると、制御点が移
動される。それらの新たな移動後の位置における制御点
はダッシュによって識別される。２つの移動が示される
場合には、２番目の位置は２つのダッシュで識別され、
以下同様である。図１においては、新たな制御点Ｅ
３′，Ｅ３＋′，Ｅ４′が示されている。セグメント端
点は、又、一般的にＰとして識別することが可能であ
り、それと関連する勾配制御点はＰ＋及びＰ−として識
別することが可能である。更に、その曲線端点において
の複合曲線の勾配も、図２Ｄ，２Ｅ，８に関連して以下
に説明する「擬似」勾配点と呼ばれるものを選択するこ
とによってユーザによって調節することが可能である。

【００１６】ユーザが曲線を移動させる場合には、ユー
ザは各制御点を、３つのタイプ、即ち選択、自由及び固
定のうちの１つのものとしてマーク付けを行なう。通
常、全ての制御点はデフォルトでは自由であり、且つユ
ーザの行為が特定の制御点を選択又は固定として明示的
にマーク付けを行なう（プログラムのグラフィカルユー
ザインターフェースを介して）。曲線セグメントの勾配
点はプログラムのグラフィカルユーザインターフェース
上ではユーザにとって見ることができないものであり、
従って選択又は固定としてマーク付けを行なうことは不
可能である。一方、セグメント端点は固定点としてデフ
ォルト設定することが可能であり（一方、勾配点は自由
点へデフォルト設定される）、ユーザはどのセグメント
端点が自由であるか又は選択であるかのマーク付けを行
なわねばならない。

【００１７】選択点はユーザによって特定されたディス
プレイスメント（ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ）即ち変位
だけ硬直的なグループとして移動する点である。固定点
は、移動しない点である。自由点は以下に説明するよう
に変位が計算即ち演算されるその他の全ての点である。
然しながら、固定点によってのみ取囲まれる自由点（勾
配点Ｅ１＋及びＥ２−を含む）はその場所に留まる。更
に、選択点によってのみ取囲まれる自由点は、通常、曲
線の修正の性質に依存して、選択点と共に移動する。自
由セグメント端点は、曲線の一般的な形状を維持するよ
うに移動される。自由勾配点は、曲線セグメント間の滑
らかな遷移を維持するように移動される。

【００１８】図２Ａ−２Ｃを参照すると、プログラムが
２ステップマッピング機能（関数）を実行するアルゴリ
ズムを使用して関連する勾配点Ｐ−及びＰ＋に沿っての
各自由端点Ｐの変位を決定する。図２Ｂを参照すると、
該プログラムは、ステップ４００において、選択した端
点又は複合曲線上の選択した端点の変位Ｖを受取る。次
いで、該プログラムは、ステップ４０１において、２つ
又はそれ以上のディスジョイント（ｄｉｓｊｏｉｎｔ）
即ち解体したグループの点が存在するか否かを決定す
る。移動されるべき複数個のディスジョイント（解体）
グループの点が関与する移動操作においては、複数個の
別個のマッピングが実行される。２つのグループの選択
点は、それらが固定点によって分離されている場合に
は、ディスジョイント即ち解体状態にあると考えられ
る。更に、複数個の複合曲線が同時に移動される場合に
は、ディスジョイントグループの制御点が発生する場合
もある。複数個の曲線の場合には、各複合曲線は、少な
くとも１つのディスジョイントグループの制御点を有し
ているものと考えられる。

【００１９】複数個のディスジョイントグループの制御
点が存在しない場合には、複合曲線上の制御点は、ステ
ップ４０２において、図２Ａに示したように、距離マッ
ピング方法（図２Ｃ）又は投影マッピング方法（図３Ａ
及び３Ｂ）のいずれかを使用して、１つの単位ラインセ
グメントｔ［０，１］上の点に対してマッピングされ
る。該複合曲線上の各セグメント端点Ｅｐ（又は、単に
Ｐ）をｔ上のＴｐと呼ばれる点に対してマッピングさ
せ、各勾配点Ｅｐ＋又はＥｐ−（又は、単に、Ｐ＋又は
Ｐ−）をパラメータＴｐ＋又はＴｐ−に対してマッピン
グさせる。

【００２０】次いで、ステップ４０３において、ｔ上に
１つの補間曲線ＩＣを画定する。点Ｔｐを、ステップ４
０４において、ｔから補間曲線ＩＣ上に垂直方向に投影
させてパラメータＣｐの値を得る。各値Ｃｐは、ｔ＝Ｔ
ｐにおいて評価した補間曲線ＩＣの縦座標である。

【００２１】勾配点Ｐ−及びＰ＋と関連する点Ｔｐ−及
びＴｐ＋（制御点に対するプレフィックスＥは簡単化の
ために省略してある）を、ステップ４０４において、ｔ
から垂直方向に投影させて、ｔ＝ＴｐにおけるＩＣに対
して接線方向に交差させてパラメータＣｐ−及びＣｐ＋
を得る。Ｃｐ−及びＣｐ＋は、該接線のｔ＝Ｔｐ−及び
Ｔｐ＋の夫々における縦座標である。

【００２２】補間曲線ＩＣ（ｔ）の形状は、パラメータ
Ｃｐ，Ｃｐ−，Ｃｐ＋の値を決定し、従って、自由点の
各々の変位の量を決定する。一般的には、三次補間曲線
ＩＣ（ｔ）が三次ベジェセグメントが関与する殆どの適
用場面に対して最適なものである。例えば五次多項式又
は正弦波のような異なる形状の補間曲線は自由点を異な
る態様で移動させる。補間曲線ＩＣ（ｔ）の形状の選択
は応用特定的であり且つ、通常、特定の応用例に対して
自由点の最適な挙動を発生させるべくグラフィクスプロ
グラムの製造業者によって行なわれる。補間曲線ＩＣ
（ｔ）が設定されると、ラインセグメントｔ上で画定さ
れる同一の補間曲線は全ての曲線変形操作に対して使用
される。

【００２３】図２Ａは複合曲線の１つの部分３００と関
連している補間曲線ＩＣを示しており、その場合に、点
Ｅｅは選択された点であり且つ点Ｅａは固定されている
点である。選択点Ｅｅから別の固定点へ延在する付加的
な自由点に対して、補間曲線ＩＣがＣｅから点Ｅｅの反
対側においてラインｔに対して引き伸ばされており、一
般的に、ベル形状の曲線を形成している。

【００２４】複数個（Ｎ）のディスジョイントグループ
が存在する場合には、各グループの制御点をステップ４
０５において単位ラインセグメントｔ１−ｔＮのうちの
対応する１つの上の点Ｔｐ，Ｔｐ−，Ｔｐ＋に対してマ
ッピングさせる。次いで、ステップ４０６において、ラ
インｔ１−ｔＮの上に、夫々、補間曲線ＩＣ（ｔ１）−
ＩＣ（ｔＮ）を画定し、且つ次いで、ラインセグメント
ｔ１−ｔＮ上の点を、ステップ４０７において、補間曲
線ＩＣ（ｔ１）−ＩＣ（ｔＮ）上のパラメータＣｐ，Ｃ
ｐ−，Ｃｐ＋に対してマッピングさせる。この場合に
も、同一の補間曲線ＩＣがラインセグメントｔ［０，
１］上で画定されるように、各場合において使用され
る。

【００２５】ステップ４０４又は４０７から、本プログ
ラムはパラメータＣｐ，Ｃｐ−，Ｃｐ＋を使用して、各
自由制御点Ｐ，Ｐ−，Ｐ＋に対する変位を計算する。次
いで、本プログラムは、ステップ４１２において、計算
した変位だけ自由点を移動させる。

【００２６】ステップ４１０において、該変位はベクト
ル変位Ｖをスケーリングするために、スケールファクタ
即ち拡縮率として、パラメータＣｐ−，Ｃｐ，Ｃｐ＋を
使用して新たな位置Ｐ−′，Ｐ′，Ｐ＋′で表現され
る。各スケーリングされた変位は対応する元の点へ付加
されて、図１−３に示したように、新たな点Ｐ−′，
Ｐ′，Ｐ＋′を派生させる。

【００２７】 Ｐ−′ ＝ Ｐ− ＋ Ｖ × Ｃｐ− （１） Ｐ′ ＝ Ｐ ＋ Ｖ × Ｃｐ （２） Ｐ＋′ ＝ Ｐ＋ ＋ Ｖ × Ｃｐ＋ （３） 複合曲線を画定する制御点のシーケンスをラインセグメ
ントｔに対してマッピングする場合の１つの拘束条件
は、該マッピングは単調的なもので且つ軸独立性のもの
でなければならないということである。従って、任意の
与えられたセグメント端点Ｐに対して、次式（４）が満
足されねばならない。

【００２８】 （Ｔｐ＋ − Ｔｐ）／（Ｔｐ − Ｔｐ−）＝｜（Ｐ＋ − Ｐ）｜／｜（Ｐ − Ｐ−）｜ （４） 式４は、ベクトル（Ｐ＋ − Ｐ）及び（Ｐ − Ｐ
−）が元の複合曲線において同一直線上にある場合には
（滑らかなベジェ曲線に対して必要とされるように）、
該ベクトルは変形された曲線において同一直線状態を維
持することを確保する。

【００２９】図２Ａを参照すると、図２Ｂのプロセスは
以下のように複合曲線の「屈曲可能な」セクション３０
０、即ち固定点Ｅａと選択点Ｅｅとの間のセクションに
対して適用される。その他のセグメント端点Ｅｂ，Ｅ
ｃ，Ｅｄ及び勾配点Ｅａ＋，Ｅｂ−，Ｅｂ＋，Ｅｃ−，
Ｅｃ＋，Ｅｄ−，Ｅｄ＋，Ｅｅ−は、それらの変位が計
算される自由点である。最初のマッピングステップにお
いて（ステップ４０２）、固定セグメント端点Ｅａ及び
選択セグメント端点ＥｅをパラメータＴａ及びＴｅに対
してマッピングさせ、且つ自由点Ｅａ＋，Ｅｂ−，Ｅ
ｂ，Ｅｂ＋，Ｅｃ−，Ｅｃ，Ｅｃ＋，Ｅｄ−，Ｅｄ，Ｅ
ｄ＋，Ｅｅ−をラインｔに沿って、それぞれ、パラメー
タＴａ＋，Ｔｂ−，Ｔｂ，Ｔｂ＋，Ｔｃ−，Ｔｃ，Ｔｃ
＋，Ｔｄ−，Ｔｄ，Ｔｄ＋，Ｔｅ−に対してマッピング
させる。

【００３０】図２Ａにおいて、距離マッピングを使用し
て、曲線３００の制御点をラインｔに対してマッピング
させる。更に図２Ｃを参照すると、ステップ４２０にお
いて、最初に、制御点Ｅａ，Ｅａ＋，Ｅｂ−，Ｅｂ，Ｅ
ｂ＋，Ｅｃ−，Ｅｃ，Ｅｃ＋，Ｅｄ−，Ｅｄ，Ｅｄ＋，
Ｅｅ−，Ｅｅを介して通過するラインセグメントを包含
するポリライン（ｐｏｌｙｌｉｎｅ）３０２を画定す
る。

【００３１】次に、ポリライン３０２の全長Ｌをステッ
プ４２２において計算する。次いで、各点Ｐ，Ｐ−又は
Ｐ＋に対して、ステップ４２４において、長さＤｐ，Ｄ
ｐ−又はＤｐ＋（点Ｅａから点Ｅｐ，Ｅｐ−又はＥｐ＋
へのポリライン３０２の長さ）を計算する。パラメータ
Ｔｘ（ｘ＝ａ，ａ＋，ｂ−，ｂ，ｂ＋，ｃ−，ｃ，ｃ
＋，ｄ−，ｄ，ｄ＋，ｅ−，ｅ）を、ステップ４２６に
おいて、距離Ｄｘ（点Ｅａから点Ｅｘへのポリライン３
０２の長さ）をポリライン３０２の全長Ｌで割算するこ
とによって計算する。従って、例えば、パラメータＴａ
は値０を有している。なぜならば、点Ｅａからそれ自身
への距離はゼロだからである。パラメータＴａ＋は点Ｅ
ａから点Ｅａ＋へのポリライン３０２の長さＤａ＋をポ
リライン３０２の全長Ｌで割算したものである。パラメ
ータＴｄ−は、点Ｅａから点Ｅａ＋及びＥａ＋からＥｂ
−へのポリライン３０２の長さＤｂ−をポリライン３０
２の全長Ｌで割算したものである。他のパラメータＴｂ
乃至Ｔｅは同様の態様で計算される。ラインセグメント
ｔは０と１との間で画定されるので、パラメータＴｅの
値は１である。

【００３２】実効的に、距離マッピングは、各点間のユ
ークリッド距離に従って、点Ｅａ乃至Ｅｅを直線ｔ上に
マッピングさせる。

【００３３】図２Ａは値０と１との間でのラインセグメ
ントｔへのマッピングを示している。一方、該マッピン
グは、ポリライン上の制御点間の距離関係が維持される
限り、任意の二つの値の間でのラインセグメントｔに対
するものとすることが可能である。

【００３４】距離マッピングの一つの利点は簡単である
ことであるが、それは制限も有している。距離マッピン
グの一つの制限は、複合曲線の変形が可逆的ではないと
いう点である。従って、例えば、選択制御点が曲線を変
形させるためにベクトルＶを介して移動され、且つ該点
が反対のベクトル−Ｖを介して移動されると、曲線制御
点は、距離マッピングが使用される場合には、常にそれ
らの元の位置へ復帰するとは限らない。

【００３５】点をラインｔ上にマッピングさせる別のマ
ッピング技術である投影マッピングは、ある場合におい
てこの制限を回避している。図３及び４を参照すると、
該プログラムは、最初に、ステップ４５０において、選
択した一つ又は複数個の点の運動方向を画定するベクト
ルＵを受取る。従って、セグメント端点Ｅｆ，Ｅｇ，Ｅ
ｈ，Ｅｉ，Ｅｊ（及び関連する勾配点Ｅｆ＋，Ｅｇ−，
Ｅｇ＋，Ｅｈ−，Ｅｈ＋，Ｅｉ−，Ｅｉ＋，Ｅｊ−）に
よって画定される複合曲線３０４の場合に、セグメント
端点Ｅｈは選択された点であり且つ点Ｅｆ及びＥｊは最
初の隣の固定した点であり、ベクトルＵはセグメント端
点Ｅｈの移動方向に指向している。

【００３６】パラメータＴｆ，Ｔｇ，Ｔｈ，Ｔｉ，Ｔｊ
を決定するために投影マッピングを使用すると、ライン
ｔはステップ４５２においてベクトルＵに対して垂直に
画定される。次いで、制御点Ｅｆ，Ｅｆ＋，Ｅｇ−，Ｅ
ｇ，Ｅｇ＋，Ｅｈ−，Ｅｈ，Ｅｈ＋，Ｅｉ−，Ｅｉ，Ｅ
ｉ＋，Ｅｊ−，Ｅｊの各々は、ステップ４５４におい
て、ベクトルＵに対して平行な経路に沿ってラインｔ上
に投影され、対応するパラメータＴｆ，Ｔｆ＋，Ｔｇ
−，Ｔｇ，Ｔｇ＋，Ｔｈ−，Ｔｈ，Ｔｈ＋，Ｔｉ−，Ｔ
ｉ，Ｔｉ＋，Ｔｊ−，Ｔｊを得る。

【００３７】従って、距離マッピングは複合曲線上の制
御点の相対的な距離に従ってパラメータＴｐ，Ｔｐ−，
Ｔｐ＋を画定せんとするものであるが、投影マッピング
は対応する平行なベクトルに沿っての制御点を直交する
ラインｔに対してマッピングさせる。

【００３８】ラインｔ上にマッピングさせるために別の
マッピング技術を使用することが可能である。この３番
目の技術においては、Ｎ＋１個の制御点があるものと仮
定すると、これらの制御点は、各制御点間の距離が等し
い点即ち、各制御点間の距離が１／Ｎであるように直線
上にマッピングされる。この３番目のマッピング技術
は、それが完全に可逆的であるという利点を有してい
る。しかしながら、変形操作から得られる複合曲線の形
状は高度に制御点の位置に依存するものである。制御点
が複合曲線全体に亘ってほぼ等しく分散されている場合
には、該曲線の変形はその全長に亘って滑らかである。
しかしながら、幾つかの制御点がクラスタ上に固まって
おり、一方その他の制御点がかなり離れている場合に
は、変形操作を行った後の曲線の形状にはより急激的な
変化が存在する場合がある。

【００３９】複合曲線３０４の制御点に対するパラメー
タＴｙ（ｙ＝ｆ，ｆ＋，ｇ−，ｇ，ｇ＋，ｈ−，ｈ，ｈ
＋，ｉ−，ｉ，ｉ＋，ｊ−，ｊ）が派生されると、該プ
ログラムは、ステップ４５６において、ラインｔに沿っ
てのパラメータが単調的であるか否か、即ち、ＴｆがＴ
ｆ＋より小さく、Ｔｆ＋がＴｇ−より小さく、Ｔｇ−が
Ｔｇより小さく、以下同様であるか否かを決定する。パ
ラメータＴｙが単調的である場合には、それ以上何も行
われない。そうでない場合には、非単調的な点Ｔｐ，Ｔ
ｐ−又はＴｐ＋が、ステップ４５８において、投影マッ
ピングが非単調的なものとなった点Ｔｐに関してフリッ
プ即ち引繰り返される。従って、図３Ａにおいて、パラ
メータＴｆ及びＴｆ＋は点Ｅｇに対するパラメータＴｇ
よりもより大きな値である。マッピングを単調的なもの
とさせるために、パラメータＴｆ及びＴｆ＋は、マッピ
ングが方向を逆転する点（この場合は、パラメータＴｇ
−）に関して新たなパラメータＴｆ′及びＴｆ＋′へそ
れぞれ「アンフォルド（ｕｎｆｏｌｄ）」即ち展開され
る。展開されると、Ｔｇ−とＴｆ′との間の距離は、Ｔ
ｇ−とＴｆとの間の距離と同一であり、且つＴｇ−とＴ
ｆ＋′との間の距離はＴｇ−とＴｆ＋との間の距離と同
一である。

【００４０】投影マッピングは可逆的である。なぜなら
ば、反対方向における変位の場合、点が投影されるライ
ンｔは同一であり（即ち、選択された点がドラッグされ
るベクトルに対して垂直）、且つ従って、ｔの値は同一
であるからである。従って、該曲線の変形は、曲線を最
初にベクトルＵを介してドラッグし、次いで中間に何ら
の操作を行うことなしにベクトル−Ｕを介してドラッグ
した場合には、完全に逆転される。

【００４１】投影マッピングは距離マッピングよりも一
層計算（演算）集約的である。典型的なユーザのインタ
ラクション即ち相互作用において、選択された点をドラ
ッグして複合曲線を変形させるための経路は直線に従う
可能性はなく、むしろ、単一のドラッグ操作におけるカ
ーソルの経路は共通点からの相次ぐ複数個のベクトル変
位Ｖ１，Ｖ２，．．．，Ｖｎとして近似される。複合曲
線の中間位置が曲線変形操作期間中に表示されるべき場
合には、パラメータＣｐ−，Ｃｐ＋，Ｃｐは各ベクトル
変位Ｖ１，Ｖ２，．．．，Ｖｎに対して再度適用されね
ばならない。投影マッピングの場合には、パラメータＴ
ｐ及びＣｐは各ベクトル変位Ｖ１，Ｖ２，．．．，Ｖｎ
に対して再度計算されねばならない。なぜならば、直交
ラインセグメントｔが各新たなベクトルに対して変化す
るからである。これと対照的に、距離マッピングが使用
される場合には、ファクタＣｐ−，Ｃｐ，Ｃｐ＋はドラ
ッグの開始時（即ち、ユーザがマウスボタンを押圧する
時）において一度計算することが必要であるに過ぎず、
マウスボタンを押下げたまま、移動操作の経路が方向を
変化させる場合に、ベクトル変位Ｖ１，Ｖ２，．．．，
Ｖｎの各新たな値に対して適用される。その結果、各単
一の移動操作に対する計算の量は距離マッピングの場合
に最小とされる。

【００４２】再度図２Ａの例を参照すると、複合曲線の
制御点を直線ｔに対してマッピングさせた後に、該マッ
ピング技術の第二ステップ（図２Ｂのステップ４０４）
はパラメータＴｐ，Ｔｐ−，Ｔｐ＋をＥａとＥｅとの間
の制御点に対する補間曲線ＩＣから派生したスケールフ
ァクタ即ち拡縮率Ｃｐ，Ｃｐ−，Ｃｐ＋に対してマッピ
ングさせる。各自由セグメント端点と関連しているパラ
メータＴｂ，Ｔｃ，Ｔｄは補間曲線ＩＣ上の点に対して
マッピングされる。パラメータＣｅの値は１である。な
ぜならば、点Ｅｅはカーソルで変位Ｖを介してドラッグ
された選択点であるからである。又、パラメータＣａの
値は０である。なぜならば、それは固定点Ｅａと関連し
ているからである。

【００４３】勾配点と関連しているパラメータＴａ＋，
Ｔｂ−，Ｔｂ＋，Ｔｃ−，Ｔｃ＋，Ｔｄ−，Ｔｄ＋，Ｔ
ｅ−の場合には、これらの値はｔ＝Ｔａ，Ｔｂ，Ｔｃ，
Ｔｄ，Ｔｅのそれぞれにおいて補間曲線ＩＣに対して接
線方向のラインＹａ，Ｙｂ，Ｙｃ，Ｙｄ，Ｙｅにおいて
評価される。その結果、値Ｃａ＋，Ｃｂ−，Ｃｂ＋，Ｃ
ｃ−，Ｃｃ＋，Ｃｄ−，Ｃｄ＋，Ｃｅ−は補間曲線ＩＣ
上にはない。

【００４４】図２Ａの補間曲線ＩＣは以下の拘束条件を
満足する。

【００４５】ＩＣ（０）＝０ ＩＣ（１）＝１ ｄＩＣ（０）／ｄｔ＝０ ｄＩＣ（１）／ｄｔ＝０ 最初の二つの拘束条件は、点Ｅａが固定されており（従
って、移動しない）且つ点Ｅｅが選択されたもの（従っ
て、ユーザによって特定された量だけ移動する）である
という事実から得られる。最後の二つの拘束条件は、ｔ
＝０及びｔ＝１における補間曲線の勾配が０であること
を特定し、そのことは、実効的に、その曲線端点におけ
る複合曲線の勾配が変化しないことを特定する。補間曲
線ＩＣの三次多項式解を図５に与えてある。点Ｃｐ＋及
びＣｐ−を接線Ｙｐに沿って配置させることにより、ラ
イン（Ｐ− − Ｐ）及び（Ｐ − Ｐ＋）の共直線性
が維持される。

【００４６】 ＩＣ（ｔ）＝ｔ×ｔ×（３．０−２．０×ｔ） （５） パラメータＣａ＋乃至Ｃｅ−の値は、各々、Ｃａ及びＣ
ｅの値の間、即ち０と１との間である。注意すべきこと
であるが、勾配点Ｅａ＋及びＥｅ−は技術的には自由点
であるが、Ｃａ＋及びＣｅ−の値は、ｔ＝０，１におけ
る補間曲線ＩＣ（ｔ）の勾配がゼロであるという条件に
よって拘束される。従って、Ｃａ＋の値は０であり且つ
Ｃｅ−の値は１である。

【００４７】一つの選択したセグメント端点又は複数個
の端点をドラッグすることによって曲線を移動させるこ
との能力に加えて、その曲線端点における複合曲線の勾
配を調節することも可能である。図２Ｄ及び２Ｅを参照
すると、複合曲線３１０が単一のベジェ曲線を近似する
セグメント３１２と関連しており、それは複合曲線３１
０からサンプルした点に対する最小二乗当て嵌めを使用
して複合曲線３１０を近似する。近似用ベジェセグメン
ト３１２は、セグメント端点Ｐ０及びＰ３及び勾配点Ｐ
１及びＰ２（以後、複合曲線３１０の「擬似」勾配点Ｐ
１及びＰ２と呼称する）によって画定される。近似用セ
グメント３１２は、厳格には、複合曲線３１０の曲線端
点Ｅａか又は曲線端点Ｅｅの何れかにおける勾配をユー
ザが調節することを可能とするユーザインターフェース
機能である。曲線端点における勾配を変更するためにそ
の他の方法を使用することも可能である。例えば、より
簡単なユーザインターフェース方法は、端点Ｐ０とＰ３
との間に画定されるラインに沿って擬似勾配点Ｐ１及び
Ｐ２を画定することであり、点Ｐ１は該ラインに沿って
の１／３の位置であり且つ点Ｐ２は２／３の位置であ
る。別の例としては、該プログラムは、勾配調節モード
へ入るためにユーザによって選択可能なユーザインター
フェースにおけるボタンを提供することである。従っ
て、ユーザはどの曲線端点が修正されるべきかをマーク
付けすることが可能であり且つ任意の勾配調節点をドラ
ッグして、その曲線端点のうちの一つにおいて複合曲線
の勾配を調節するために勾配調節点の変位ベクトルを与
えることが可能である。

【００４８】複合曲線端点（Ｅａ又はＥｅ）における勾
配を修正するために、ユーザはベジェセグメント３１２
の擬似勾配点Ｐ１又はＰ２を選択し且つドラッグする。
Ｐ１の選択は、Ｅａにおける勾配を修正し且つＰ２の選
択はＥｅにおける勾配を修正する。対照的に、前述した
ように、特定のセグメント端点又は複合曲線３１０の端
点が移動されるべき場合には、ユーザはセグメント端点
Ｅａ，Ｅｂ，Ｅｃ，Ｅｄ又はＥｅを選択し且つそれらを
所望の変位だけドラッグする。擬似勾配点Ｐ１又はＰ２
は変位ベクトルによってドラッグされ（図８において例
示した如く）、端点Ｅａ又はＥｅにおいて該曲線の勾配
を修正する。擬似勾配点Ｐ１又はＰ２の変位に応答し
て、該プログラムは、セグメント端点の移動について上
述したのと同様の２ステップマッピング技術を使用し
て、該複合曲線の制御点に対する変位を計算する。その
違いは勾配修正マッピングステップにおいて使用される
補間曲線に存在している。補間曲線は点Ｐ１近くの制御
点の変位は他の制御点のものより大きいように画定され
ねばならない。一つの曲線端点における勾配のみが調節
され、反対側の曲線端点における勾配は不変のままであ
る。

【００４９】図２Ｅにおいて、擬似勾配点Ｐ１の変位ベ
クトルＢがステップ４４０において受取られる。次い
で、該プログラムは制御点Ｅａ，Ｅａ＋，Ｅｂ−，Ｅ
ｂ，Ｅｂ＋，Ｅｃ−，Ｅｃ，Ｅｃ＋，Ｅｄ−，Ｅｄ，Ｅ
ｄ＋，Ｅｅ−，Ｅｅを、距離マッピングか又は投影マッ
ピング（距離マッピングを図２Ｄに示してある）を使用
して、ラインセグメントｔ上へマッピングさせる。次い
で、ステップ４４４において、ラインセグメントｔ上に
補間曲線ＩＣ（ｔ）（それはセグメント端点を移動させ
るための補間曲線とは異なる）が画定され、該補間曲線
ＩＣ（ｔ）は以下の条件を満足せねばならない。

【００５０】ＩＣ（０）＝０ ＩＣ（１）＝０ ｄＩＣ（０）／ｄｔ＞０ ｄＩＣ（１）／ｄｔ＝０ 該条件は、ｔ＝０，１における補間曲線ＩＣ（ｔ）の値
は０であり、ｔ＝１におけるＩＣ（ｔ）の勾配は０であ
り、且つｔ＝０におけるＩＣ（ｔ）の勾配は０より大き
いことを特定する。

【００５１】特定された条件を満足する一つのタイプの
多項式はバーンスタイン（Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ）多項式
であり、それは次式（６）のように表わされる。

【００５２】 ＩＣ（ｔ）＝３×ｔ×（１．０−ｔ）² （６） 次いで、ステップ４４６において、点Ｔａ＋，Ｔｂ−，
Ｔｂ，Ｔｂ＋，Ｔｃ−，Ｔｃ，Ｔｃ＋，Ｔｄ−，Ｔｄ，
Ｔｄ＋，Ｔｅ−が補間曲線ＩＣ（ｔ）上にマッピングさ
れる。該マッピングは図２Ａのマッピング技術に関連し
て説明したものと同一であり、その場合には、セグメン
ト端点と関連するパラメータＴｐが補間曲線ＩＣ（ｔ）
上にマッピングされ、且つ勾配点に関連するパラメータ
Ｔｐ−及びＴｐ＋がｔ＝Ｔｐにおいて接線Ｙｐに対して
マッピングされる。次いで、該プログラムは、ステップ
４４８において、スケールファクタ即ち拡縮率Ｃｐ，Ｃ
ｐ−，Ｃｐ＋の値を計算して、制御点Ｅａ乃至Ｅｅの変
位を決定する。次いで、ステップ４４９において、該制
御点は、計算された変位だけ該プログラムによって移動
される。

【００５３】式６のバーンシタイン多項式を使用して、
最大移動はラインセグメントｔに沿って１／３の点にお
いてであり、即ちｔ＝１／３においてである。この様な
点は必ずしも複合曲線制御点と関連する点Ｔｐ，Ｔｐ＋
又はＴｐ−に対応するものではない。

【００５４】図２Ｄの例は、複合曲線３１０の曲線端点
Ｅａにおける勾配の修正を示している。曲線端点Ｅｅに
おける勾配が修正されるべき場合には、擬似勾配点Ｐ２
が選択され且つ移動される。その場合には、補間曲線に
対する条件は異なり、ｔ＝０におけるＩＣ（ｔ）の勾配
は０に等しく且つｔ＝１におけるＩＣ（ｔ）の勾配は０
より小さい。その結果、式６の補間曲線はラインセグメ
ントｔ上に鏡像関係に構成される。

【００５５】別の実施例においては、複合曲線における
任意のセグメント端点の勾配を修正することが可能であ
る。このことを可能とするために、該プログラムは、ユ
ーザが選択を希望する複合曲線の部分の他方の端部にお
けるセグメント端点とそのセグメント端点との間の近似
する曲線を表示する。例えば、図２Ｄにおいて、影響さ
れるべき複合曲線の部分が点ＥｂとＥｄとの間であり、
且つＥｂにおける勾配が修正されるべき場合には、近似
用曲線は点ＥｂとＥｄとの間に画定される。

【００５６】次いで、この短縮された近似用曲線の擬似
勾配点Ｐ１をドラッグしてセグメント端点Ｅｂにおける
勾配を修正する。注意すべきことであるが、セグメント
端点Ｅｂにおける勾配の修正は（それが曲線端点ではな
いので）影響を受ける曲線セグメント（ＥｂとＥｃとの
間）とその隣接する曲線セグメント（ＥａとＥｂとの
間）の間における滑らかな遷移を破壊する。

【００５７】例示的な曲線の変形を図５乃至８に示して
あり、その場合に、元の曲線は太線で表わしてあり且つ
修正された即ち変形された曲線は点線で表わしてあり、
それらは元の曲線とは異なっている。

【００５８】図５を参照すると、マルチセグメント複合
曲線２００を、複合曲線２００′を発生させるための本
発明の技術によって修正することが可能である。固定点
はセグメント端点Ｅ２０６であり、選択点はセグメント
端点Ｅ２００，Ｅ２０１，Ｅ２０２，Ｅ２０３，Ｅ２０
４，Ｅ２０５であり、それらはグループとして新たなセ
グメント端点Ｅ２００′−Ｅ２０５′へそれぞれドラッ
グされる。固定セグメント端点Ｅ２０６と選択セグメン
ト端点Ｅ２０５との間の自由点の変位は、元の曲線２０
０の一般的な形状と詳細及び曲線セグメント間の遷移の
滑らかさを維持するために該プログラムによって決定さ
れる。

【００５９】図６を参照すると、該経路修正技術は、更
に、セグメント端点Ｅ１２０，Ｅ１２１，Ｅ１２２，Ｅ
１２３及びＥ１２４間における四つのベジェセグメント
１２２，１２３，１２４，１２５によって画定される長
円形１２０のような循環的な又は閉じた曲線に対しても
適用することが可能である。唯一の新たな考慮事項は、
点を繰返し取扱うことが必要となり、即ち最初の点と最
後の点が隣接しているものと考える。長円形１２０は元
の経路１２０から新たな経路１２０′へ修正されてお
り、セグメント端点Ｅ１２０は固定点であり且つセグメ
ント端点Ｅ１２３は選択点である。残りの点は自由点で
あって、それらの変位は複合曲線１２０′の円形形状を
維持すべく該プログラムによって計算される。

【００６０】図７Ａ及び７Ｂは該プログラムによって移
動される制御点のディスジョイント（解体）グループを
例示している。図７Ａにおいて、６個のセグメントから
なる複合曲線３２０が曲線３２０′へ変形されており、
セグメント端点Ｅ３２０，Ｅ３２３，Ｅ３２６は固定点
であり且つセグメント端点Ｅ３２１及びＥ３２４は選択
点である。固定点Ｅ３２０とＥ３２３との間の制御点は
第一グループの制御点を形成しており、且つ固定点Ｅ３
２３とＥ３２６との間の制御点は第二グループの制御点
を形成している。これら二つのグループに対して別個の
マッピングを実行して、自由制御点の変位を決定する。

【００６１】図７Ｂは四つのディスジョイントグループ
の制御点を例示しており、即ち複合曲線２２０における
二つのグループと複合曲線２３０における二つのグルー
プとを示している。固定点はセグメント端点Ｅ２２０，
Ｅ２２３，Ｅ２２５，Ｅ２３１，Ｅ２３５であり、且つ
選択点はセグメント端点Ｅ２２１，Ｅ２２４，Ｅ２３
０，Ｅ２３４である。単一移動操作において、これら四
つのディスジョイントグループにおける自由点の変位
は、四つの別々のマッピングを使用して計算される（こ
の場合に画定されるマッピングは二つの固定点の間の制
御点に対して必要とされるマッピングである）。この場
合も、勾配点は二つの複合曲線２２０′及び２３０′に
おける曲線セグメントの滑らかな遷移を維持するために
調節される。図８は曲線端点Ｐ０における複合曲線３２
０の勾配の修正を例示している。複合曲線３２０は複数
個のベジェ曲線セグメント（簡単化のために示していな
い）を包含している。共通の端点Ｐ０及びＰ３を共用し
ており且つ擬似勾配点Ｐ１及びＰ２を有する単一のベジ
ェセグメントである近似用曲線３２２も複合曲線３２０
と共に表示されている。擬似勾配点Ｐ１は、変位ベクト
ルＶによって点Ｐ１′へ移動され、且つ複合曲線３２０
の勾配は複合曲線３２０′を形成するように調節され
る。近似用曲線３２２は曲線３２２′へ移動される。複
合曲線端点の何れかにおいての勾配のさらなる修正のた
めには、擬似勾配点Ｐ１′及びＰ２を更に移動させるこ
とが可能である。

【００６２】図９Ａ及び９Ｂを参照すると、曲線セグメ
ントは移動されるのみならず描画されることを必要とす
る。上述したように、ベジェセグメントは四つの制御点
Ｐ０，Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３によって画定され、その場合
に、点Ｐ０及びＰ３はセグメント端点であり且つ点Ｐ１
及びＰ２は勾配点である。描画操作期間中にユーザに対
してフィードバックを与えるために、該プログラムは、
マウスボタンが押された時に、セグメント端点Ｐ０とカ
ーソルとの間に曲線を形成し且つ表示し、且つ現在のカ
ーソル位置をセグメント端点Ｐ３の瞬間的な位置として
且つ以下に説明するように勾配点Ｐ１及びＰ２に対する
計算した位置を使用して、「輪ゴム」ベジェセグメント
でカーソルを追跡する。

【００６３】図９Ａを参照すると、該プログラムは、ス
テップ５００において、マウスボタンが押されたか否か
を決定する。押された場合には、該プログラムは、ステ
ップ５０１において、カーソルが既存のベジェ曲線セグ
メントの制御点の所定の半径内に位置されているか否か
をチェックする。位置されている場合には、該プログラ
ムは、ステップ５０２において、制御点をカーソルによ
って示されている位置へ移動させる。

【００６４】マウスボタンが押された時にカーソルが制
御点の所定の範囲内にない場合には、該プログラムは、
曲線セグメントの形成が所望されていることを認識し、
次いで、該プログラムは、ステップ５０３において、修
正キー（例えば、Ｃｔｒｌキー）が押されたか否か、又
はコンピュータスクリーン上にその他の曲線が表示され
ていないかどうかを決定する。

【００６５】ユーザが修正キー（例えば、Ｃｔｒｌキ
ー）又は何らかのその他の活性化手段を押した場合、一
方別の曲線セグメントが既に形成されている場合にはマ
ウスボタンを押しつつ、それは、既存のセグメントとは
別に曲線セグメントを形成することのユーザの希望を表
わしている。そうでない場合には、該プログラムは新た
なセグメントを既存のセグメントへ連結させて一連の曲
線セグメントを形成する。

【００６６】別の曲線セグメントが所望される場合には
（即ち、修正キーが押されるか又はその他の曲線セグメ
ントが形成されていない場合）、第一セグメント端点Ｐ
０がステップ５０４において、ユーザがマウスボタンを
押した場合のカーソルの点として画定される。次いで、
該プログラムは、ステップ５０６において、何時マウス
ボタンが解放されるかを検知する。マウスボタンが解放
されると、解放時におけるカーソルの位置が、ステップ
５０８において、図１０Ａに示したように、中間勾配点
Ｓ１として画定される。この点Ｓ１は、点Ｐ０から点Ｓ
１へのベクトルＳの方向を表わすためにユーザによって
選択される。勾配点Ｐ１は、ベクトルＳの方向における
ラインに沿って位置される。更に、該曲線セグメントは
セグメント端点Ｐ０においてベクトルＳに対して接線方
向である。

【００６７】点Ｓ１をステップ５０８において画定した
後に、該プログラムは、ステップ５１０において、マウ
スボタンが再度押されたか否かを決定する。押された場
合には、カーソルの現在の位置が、ステップ５１２にお
いて、セグメント端点Ｐ３の位置として画定される。勾
配点Ｐ１及びＰ２は、又、ステップ５１２において、セ
グメント端点Ｐ３の現在の位置に対して計算され、且つ
該曲線セグメントは該曲線セグメントの形状のユーザの
フィードバックを与えるために表示される。

【００６８】点Ｐ１及びＰ２の位置は、ステップ５１２
において、その曲線が、図９Ｂに示したように、Ｐ０と
カーソルとを通過する円の円弧の近似であるように該プ
ログラムによって計算される。カーソルがユーザによっ
てドラッグされると、セグメント端点Ｐ３の瞬間的な位
置は該カーソルに追従し（点Ｐ３，Ｐ３′，Ｐ３″によ
って示されているように）、且つ勾配点Ｐ１及びＰ２は
再計算されて（点Ｐ１，Ｐ２；Ｐ１′，Ｐ２′；Ｐ
１″，Ｐ２″によって示されているように）円弧の近似
を維持する。

【００６９】次いで、該プログラムは、ステップ５１４
において、マウスボタンが解放されたか否かを決定す
る。解放された場合には、カーソルの現在の位置はセグ
メント端点Ｐ３の位置を継続して表わす。マウスボタン
が解放されると、セグメント端点Ｐ３の最終的な位置
が、ステップ５１６において、マウスボタンが解放され
た時のカーソルの位置として特定される。勾配点Ｐ１及
びＰ２の最終的な位置も計算され且つ該曲線セグメント
が表示される。

【００７０】ステップ５０２において、修正キーが押し
下げられず且つ曲線セグメントが既に形成されている場
合には、該プログラムは、ユーザが複合曲線の次のセグ
メントを形成することを所望しているものと仮定する。
図１０Ｂに示したように、第一曲線セグメント６００の
点Ｐ２は点Ｐ３を介して反映されて、次の曲線セグメン
ト６０２に対する中間勾配点Ｓ１′の位置を画定する。
ライン（Ｐ２−Ｐ３）はライン（Ｐ３−Ｓ１′）と共直
線性であり、曲線セグメント６００と６０２との間に滑
らかな遷移を形成する。マウスボタンが押されると、カ
ーソルの現在の位置が新たな曲線セグメント６０２のセ
グメント端点Ｐ３′の瞬間的な位置として使用され、且
つ曲線セグメント６０２の勾配点Ｐ１′及びＰ２′の位
置が、セグメント端点Ｐ３′が位置を変える毎に計算さ
れる。次いで、該プログラムは、ステップ５１４におい
て、マウスボタンが解放されたか否かを検知し、その時
に、セグメント端点Ｐ３′の最終的な位置が決定され
る。上述したプロセスは、該複合曲線に対して付加すべ
き付加的な曲線セグメントを形成するために適用するこ
とが可能である。

【００７１】再度図１０Ａを参照すると、勾配点Ｐ１及
びＰ２の位置を計算するための数式を式７−１３として
示してある。これらの式において、点Ｐ０，Ｐ１，Ｐ
２，Ｐ３，Ｓ１は任意の座標系におけるベクトルとして
表現されている。

【００７２】 Ｗ＝Ｐ３−Ｐ０ （７） Ｓ＝Ｓ１−Ｐ０ （８） ＣＯＳＡ＝Ｗ・Ｓ／｜Ｗ｜×｜Ｓ｜ （９） ｍ＝２×｜Ｗ｜／｛３×（１＋ｃｏｓＡ）｝ （１０） ｖ＝１−（２×ｍ×ｃｏｓＡ／｜Ｗ｜） （１１） Ｐ１＝Ｐ０＋ｍ×Ｓ／｜Ｓ｜ （１２） Ｐ２＝Ｐ１＋ｖ×Ｗ （１３） ＷはベクトルＰ３とＰ０との間の差として定義されるベ
クトルであり、且つＳはベクトルＳ１とＳ０との間の差
として定義されるベクトルである。角度ＡはベクトルＷ
とベクトルＳとの間の角度として定義される。式９及び
１０はスカラ値ｍ及びｖを計算し、値ｍは式１１におけ
るベクトルＰ１を派生するためのＳベクトルの方向に指
向する単位ベクトルのスケールファクタ（拡縮率）とし
て使用され、且つ値ｖは式１２におけるベクトルＰ２を
派生するためにベクトルＷのスケールファクタ（拡縮
率）として使用される。

【００７３】図１１を参照すると、本明細書に基づいて
曲線を形成し且つ修正するためのプログラムをデジタル
電子回路において又はコンピュータファームウエア、ソ
フトウエア又は例えばコンピュータシステム５００にお
けるようにそれらの組合わせにおいて実現することが可
能である。コンピュータシステム５００は、内部システ
ムバス５０４へ接続している中央処理装置（ＣＰＵ）５
０２を包含している。コンピュータシステム５００にお
ける格納媒体は、メインメモリ５０６（ダイナミックラ
ンダムアクセスメモリ装置で実現することが可能であ
る）、大量格納用のハードディスクドライブ５０８、電
気的に消去可能でプログラム可能なリードオンリーメモ
リ（ＥＥＰＲＯＭ）５１０を包含している。メインメモ
リ５０６及びＥＥＰＲＯＭ５１０はバス５０４へ接続し
ており、且つハードディスクドライブ５０８はハードデ
ィスクドライブコントローラ５１２を介してバス５０４
へ結合している。

【００７４】本発明の装置は、ＣＰＵ５０２によって実
行するために機械読取り可能な格納装置（例えば、ハー
ドディスクドライブ５０８、メインメモリ５０６、又は
ＥＥＰＲＯＭ５１０）において明確に具体化されたコン
ピュータプログラムプロダクトの形態で実現することが
可能である。適宜のプロセサは、例示として、汎用及び
特定目的マイクロプロセサの両者を包含している。一般
的に、プロセサは、命令及びデータをリードオンリーメ
モリ５１０及び／又はメインメモリ５０６から受取る。
コンピュータプログラム命令を明確に具現化するのに適
した格納装置は、例示として、例えばＥＰＲＯＭ，ＥＥ
ＰＲＯＭ及びフラッシュメモリ装置などの半導体メモリ
装置、例えば内部ハードディスクドライブ５０８などの
磁気ディスク及び着脱自在なディスク、磁気・光学ディ
スク、ＣＤ−ＲＯＭディスクを包含する全ての形態の非
揮発性メモリを包含している。前述したものの何れかが
特別に設計されたＡＳＩＣ（応用特定集積回路）によっ
て補充されるか又はその中に組込むことが可能である。

【００７５】コンピュータシステム５００は、更に、バ
ス５０４へ接続している入力／出力（Ｉ／Ｏ）コントロ
ーラ５１４を包含しており、それは、キーボードインタ
ーフェース５１６（外部キーボードへ接続するため）、
マウスインターフェース５１８（外部マウス又はその他
のポインタデバイスへ接続するため）、及びパラレルポ
ートインターフェース５２０（プリンタへ接続するた
め）を提供している。更に、バス５０４はビデオコント
ローラ５２２へ接続しており、それは外部コンピュータ
モニタ又はディスプレイ５２４へ結合している。コンピ
ュータモニタ５２４上で表示するための画像（例えば、
曲線）と関連するデータはアプリケーションプログラム
によってシステムバス５０４を介してビデオコントロー
ラ５２２へ供給される。

【００７６】以上、本発明の具体的実施の態様について
詳細に説明したが、本発明は、これら具体例にのみ限定
されるべきものではなく、本発明の技術的範囲を逸脱す
ることなしに種々の変形が可能であることは勿論であ
る。例えば、本発明のステップは当業者によって適宜変
更させることが可能であり尚且つ所望の結果を得ること
が可能である。種々の受取られるコマンドは、多数の異
なる態様でコンピュータへ供給することが可能であり、
例えば、マウスジェスチャ、キーボードストローク、及
びグラフィカルユーザインターフェースを使用してコマ
ンドをコンピュータシステムと通信することが可能であ
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】 コンピュータディスプレイ上の複合曲線の移
動を示した概略図。

【図２Ａ】 選択したセグメント端点の移動に応答して
複合曲線を定義する制御点の変位を計算するために使用
される２ステップマッピング技術を示した概略図。

【図２Ｂ】 ２ステップマッピング技術を示したフロー
チャート。

【図２Ｃ】 ２ステップマッピング技術において使用さ
れる距離マッピング方法を示したフローチャート。

【図２Ｄ】 曲線端点における複合曲線の勾配の修正の
２ステップマッピング技術を示した概略図。

【図２Ｅ】 曲線端点における複合曲線の勾配の修正の
２ステップマッピング技術を示したフローチャート。

【図３】 複合曲線上の点を直交するラインに対してマ
ッピングする投影マッピング方法を示した概略図。

【図４】 投影マッピング方法のフローチャート。

【図５】 複数個の制御点が選択され且つ一つのグルー
プとして硬直的に移動される場合の複合曲線の移動を示
した概略図。

【図６】 閉じた経路の曲線の移動を示した概略図。

【図７Ａ】 ディスジョイントグループの移動される点
を有する複合曲線の移動を示した概略図。

【図７Ｂ】 二つの複合曲線の移動を示した概略図。

【図８】 曲線端点における複合曲線の勾配の修正を示
した概略図。

【図９Ａ】 ベジェ曲線セグメントを形成する方法のフ
ローチャート。

【図９Ｂ】 ユーザによって形成中のベジェ曲線セグメ
ントを示した概略図。

【図１０Ａ】 関連する制御点及びベクトルと共にベジ
ェ曲線セグメントを示した概略図。

【図１０Ｂ】 複数個のベジェ曲線セグメントを有する
複合曲線を示した概略図。

【図１１】 コンピュータシステムを示した概略ブロッ
ク図。

【図１２】 ベジェ曲線セグメントを示した概略図。

【符号の説明】

２２，２３，２４ ベジェセグメント ３０ 複合ベジェ曲線 Ｅ１−Ｅ４ セグメント端点 Ｐ０，Ｐ３ 端点 Ｐ１，Ｐ２ 勾配点 ｔ ラインセグメント Ｅｐ セグメント端点 Ｅｐ＋，Ｅｐ− 勾配点 Ｔｐ＋，Ｔｐ− パラメータ ＩＣ 補間曲線

Claims (35)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 コンピュータシステムにおけるグラフィ
   カルユーザインターフェースを介してユーザの行為に応
   答して複数個の制御点によって定義される曲線を修正す
   るコンピュータによって実行される方法において、 ユーザの入力に応答して、前記制御点の各々を固定制御
   点、選択制御点、又は自由制御点として識別し、 複数個の選択点の変位を受取り、 前記曲線の自由制御点をラインｔ上の点Ｔｐへマッピン
   グさせ、 ラインｔ上の補間曲線ＩＣ（ｔ）を画定し、 拡縮率を見つけ出すためにｔ＝Ｔｐにおける補間曲線Ｉ
   Ｃ（ｔ）の値に対して点Ｔｐを投影させ、 前記拡縮率を前記選択点の変位と乗算して前記自由制御
   点の変位を決定する、ことを特徴とする方法。
2. 【請求項２】 請求項１において、更に、 前記曲線の複数個の自由制御点をラインｔ上の対応する
   点に対してマッピングし、 ラインｔ上の前記点を補間曲線ＩＣ（ｔ）の対応する値
   へ投影させて対応する拡縮率を見つけ出し、 前記拡縮率を前記選択点の変位と乗算させて前記自由制
   御点の対応する変位を決定する、ことを特徴とする方
   法。
3. 【請求項３】 請求項１において、前記制御点がセグメ
   ント端点と勾配点とを包含しており、且つ前記ラインｔ
   上の点Ｔｐに対してマッピングされた自由制御点が自由
   セグメント端点であり、更に、 自由勾配点をラインｔ上の点Ｔｐ＋に対してマッピング
   し、 ｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ（ｔ）に対して接線方向
   のラインＹｐを画定し、 点Ｔｐ＋をｔ＝Ｔｐ＋においてラインＹｐの値へ投影さ
   せて前記自由勾配点に対する拡縮率を見つけ出し、 前記自由セグメント端点及び自由勾配点の拡縮率を前記
   選択点の変位と乗算させて前記自由セグメント端点及び
   自由勾配点の変位を決定する、ことを特徴とする方法。
4. 【請求項４】 請求項１において、前記拡縮率がｔ＝Ｔ
   ｐにおける補間曲線ＩＣ（ｔ）の値に等しいことを特徴
   とする方法。
5. 【請求項５】 請求項４において、更に、 ＩＣ（ｔ）の値を０から１の範囲内となるように画定
   し、その際に前記自由制御点を前記選択点の変位より小
   さな変位だけ移動させることを特徴とする方法。
6. 【請求項６】 請求項１において、更に、 ユーザ入力に応答して、選択制御点と自由制御点とを有
   する第一グループ及び選択制御点と自由制御点とを有す
   る第二グループを識別し、前記第一グループの制御点は
   固定制御点だけ前記第二グループの制御点から離隔して
   おり、 前記第一グループの選択制御点及び前記第二グループの
   選択制御点の変位を受取り、 前記第一グループの自由制御点を第一ラインｔ１上の点
   Ｔｐ１に対してマッピングし、且つ前記第二グループの
   自由制御点を第二ラインｔ２上の点Ｔｐ２に対してマッ
   ピングし、 第一ラインｔ１上の第一補間曲線ＩＣ（ｔ１）を画定し
   且つ第二ラインｔ２上の第二補間曲線ＩＣ（ｔ２）を画
   定し、 ｔ１＝Ｔｐ１における第一補間曲線ＩＣ（ｔ１）に対し
   て点Ｔｐ１を投影させて第一拡縮率を見つけ出し、且つ
   ｔ２＝Ｔｐ２における第二補間曲線ＩＣ（ｔ２）に対し
   て点Ｔｐ２を投影させて第二拡縮率を見つけ出し、 前記第一拡縮率を前記第一及び第二グループの選択点の
   変位と乗算させて前記第一グループ自由制御点の変位を
   決定し、且つ前記第一及び第二グループの選択点の変位
   と前記第二拡縮率を乗算させて前記第二グループ自由制
   御点の変位を決定する、ことを特徴とする方法。
7. 【請求項７】 請求項１において、前記曲線がベジェセ
   グメントを有する複合曲線であることを特徴とする方
   法。
8. 【請求項８】 請求項１において、前記曲線が第一制御
   点を有しており、更に、 前記曲線の制御点を通過するポリラインを画定し、 前記ポリラインの全長を計算し、その場合に点Ｔｐは第
   一点と点Ｔｐに対応する点との間の長さを前記ポリライ
   ンの全長で割算したものに等しい、ことを特徴とする方
   法。
9. 【請求項９】 請求項１において、更に、 ラインｔを前記変位の方向に対して垂直であるように画
   定し、その場合に前記第一マッピングステップが前記曲
   線の制御点をラインｔ上に垂直に投影させる、ことを特
   徴とする方法。
10. 【請求項１０】 請求項１において、前記補間曲線が三
    次曲線として画定されることを特徴とする方法。
11. 【請求項１１】 コンピュータシステムにおけるグラフ
    ィカルユーザインターフェースを介してユーザの行為に
    応答して、各曲線が複数個の制御点によって画定される
    複数個の曲線を修正するコンピュータによって実行され
    る方法において、 ユーザ入力に応答して、前記制御点の各々を固定制御
    点、選択制御点、又は自由制御点として識別し、 各曲線の選択点の変位を受取り、 各曲線の自由制御点を複数個のラインの対応する１つの
    点に対してマッピングし、 各ライン上に補間曲線を画定し、各ライン上の点を対応
    する補間曲線に対して投影して各自由制御点に対する拡
    縮率を見つけ出し、 前記拡縮率を前記選択制御点の変位へ乗算して前記自由
    制御点の変位を決定する、ことを特徴とする方法。
12. 【請求項１２】 請求項１１において、前記曲線が複数
    個のベジェセグメントを有する複合曲線であることを特
    徴とする方法。
13. 【請求項１３】 コンピュータシステムにおけるディス
    プレイ上にベジェ曲線セグメントを形成するコンピュー
    タによって実行されるグラフィカルユーザインターフェ
    ース方法において、 コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザイン
    ターフェースを介して第一セグメント端点の選択を受取
    り、 コンピュータディスプレイ上のカーソルの位置を第二セ
    グメント端点として受取り、 前記第一及び第二セグメント端点及び第一及び第二勾配
    点によって画定されるベジェセグメントが円弧を近似す
    るように第一及び第二勾配点を演算し、 前記演算されたベジェ曲線セグメントをコンピュータデ
    ィスプレイ上に表示する、ことを特徴とする方法。
14. 【請求項１４】 請求項１３において、更に、 カーソルをコンピュータディスプレイ上で移動させて第
    二セグメント端点の新たな位置を再画定する、ことを特
    徴とする方法。
15. 【請求項１５】 請求項１３において、更に、 中間勾配点の選択を受取り、 コンピュータディスプレイ上で位置決めされる第一勾配
    点に沿っての方向を特定するために前記セグメント端点
    と中間勾配点との間のベクトルを画定する、ことを特徴
    とする方法。
16. 【請求項１６】 請求項１３において、更に、 第二ベジェ曲線セグメントを第一ベジェ曲線セグメント
    へ連結させるコマンドを受取り、 第二曲線セグメントの第一セグメント端点として第一曲
    線セグメントの第二セグメント端点を画定し、 第二曲線セグメントの第二セグメント端点としてコンピ
    ュータディスプレイ上のカーソルの位置を受取り、 第一及び第二セグメント端点及び第一及び第二勾配点に
    よって画定される第二ベジェ曲線セグメントが円弧を近
    似するように第二曲線セグメントの第一及び第二勾配点
    を演算し、 前記連結された第一及び第二ベジェ曲線セグメントをコ
    ンピュータディスプレイ上に表示する、ことを特徴とす
    る方法。
17. 【請求項１７】 請求項１６において、更に、 第一曲線セグメントに対する中間勾配点の選択を受取
    り、 第一曲線セグメントの第一勾配点がコンピュータディス
    プレイ上に位置決めされる方向を特定するために第一曲
    線セグメントの第一セグメント端点と中間勾配点との間
    の第一ベクトルを画定し、 第二勾配点と第一曲線セグメントの第二セグメント端点
    とを通過するラインを画定し、 第一曲線セグメントの第二セグメント端点の反対側のラ
    イン上の点として第二曲線セグメントに対する中間勾配
    点を画定する、ことを特徴とする方法。
18. 【請求項１８】 請求項１４において、コンピュータシ
    ステムにおけるグラフィカルユーザインターフェースを
    介してユーザの行為に応答して、複数個の制御点によっ
    て画定される曲線を修正するためのコンピュータによっ
    て読取可能な媒体上に存在するコンピュータプログラム
    において、コンピュータシステムをして、 ユーザの入力に応答して、前記制御点の各々を、固定制
    御点、選択制御点、又は自由制御点として識別させ、 複数個の選択点の変位を受取らせ、 前記曲線の自由制御点をラインｔ上の点Ｔｐに対してマ
    ッピングさせ、 ラインｔ上に補間曲線ＩＣ（ｔ）を画定させ、 拡縮率を見つけ出すためにｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線Ｉ
    Ｃ（ｔ）の値に対して点Ｔｐを投影させ、 前記拡縮係数を前記選択点の変位と乗算させて前記自由
    制御点の変位を決定させる、上記各命令を有することを
    特徴とするコンピュータプログラム。
19. 【請求項１９】 請求項１８において、更に、コンピュ
    ータシステムをして、 前記曲線の複数個の自由制御点をラインｔ上の対応する
    点へマッピングさせ、ラインｔ上の該点を補間曲線ＩＣ
    （ｔ）の対応する値に対して投影させて対応する拡縮率
    を見つけ出させ、 前記拡縮率を前記選択点の変位と乗算させて前記自由制
    御点の対応する変位を決定させる、上記各命令を有する
    ことを特徴とするコンピュータプログラム。
20. 【請求項２０】 請求項１８において、前記制御点がセ
    グメント端点及び勾配点を包含しており、ラインｔ上の
    点Ｔｐに対してマッピングさせた自由制御点が自由セグ
    メント端点であり、更に、コンピュータシステムをし
    て、 ラインｔ上の点Ｔｐ＋に対して自由勾配点をマッピング
    させ、 ｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ（ｔ）に対して接線方向
    のラインＹｐを画定させ、 ｔ＝Ｔｐ＋においてラインＹｐの値に対して点Ｔｐ＋を
    投影させて自由制御点に対する拡縮率を見つけ出し、 前記自由セグメント端点及び自由勾配点の拡縮率を前記
    選択点の変位と乗算させて自由セグメント端点及び自由
    勾配点の変位を決定させる、上記各命令を有することを
    特徴とするコンピュータプログラム。
21. 【請求項２１】 請求項４において、更に、コンピュー
    タシステムをして、 ＩＣ（ｔ）の値を０から１の範囲内あるように画定さ
    せ、その際に自由制御点を選択点の変位より少ない変位
    だけ移動させる、上記命令を有することを特徴とするコ
    ンピュータプログラム。
22. 【請求項２２】 請求項１８において、更に、コンピュ
    ータシステムをして、 ユーザの入力に応答して、選択制御点と自由制御点とを
    有する第一グループ及び選択制御点と自由制御点とを有
    する第二グループを識別させ、尚前記第一グループの制
    御点は固定制御点だけ第二グループの制御点から離隔さ
    れており、 前記第一グループの選択制御点及び前記第二グループの
    選択制御点の変位を受取らせ、 前記第一グループの自由制御点を第一ラインｔ１上の点
    Ｔｐ１に対してマッピングさせ且つ前記第二グループの
    自由制御点を第二ラインｔ２上の点Ｔｐ２に対してマッ
    ピングさせ、 第一ラインｔ１上に第一補間曲線ＩＣ（ｔ１）を画定さ
    せ且つ第二ラインｔ２上に第二補間曲線ＩＣ（ｔ２）を
    画定させ、 ｔ１＝Ｔｐ１において第一補間曲線ＩＣ（ｔ１）に対し
    て点Ｔｐ１を投影させて第一拡縮率を見つけ出し、且つ
    ｔ２＝Ｔｐ２において第二補間曲線ＩＣ（ｔ２）に対し
    て点Ｔｐ２を投影させて第二拡縮率を見つけ出させ、 前記第一拡縮率を前記第一及び第二グループの選択点の
    変位と乗算させて第一グループ自由制御点の変位を決定
    させ、且つ前記第二拡縮率を前記第一及び第二グループ
    の選択点の変位と乗算させて第二グループ自由制御点の
    変位を決定させる、上記各命令を有することを特徴とす
    るコンピュータプログラム。
23. 【請求項２３】 請求項１８において、前記曲線がベジ
    ェセグメントを有する複合曲線であることを特徴とする
    コンピュータプログラム。
24. 【請求項２４】 コンピュータシステムにおけるグラフ
    ィカルユーザインターフェースを介してユーザの行為に
    応答して、各曲線が複数個の制御点によって画定されて
    いる複数個の曲線を修正するコンピュータによって読取
    可能な媒体上に存在するコンピュータプログラムにおい
    て、コンピュータシステムをして、 ユーザの入力に応答して、前記制御点の各々を固定制御
    点、選択制御点、又は自由制御点として識別させ、 各曲線の選択点の変位を受取らせ、 各曲線の自由制御点を複数個のラインのうちの対応する
    １つの点に対してマッピングさせ、 各ライン上の補間曲線を画定させ、 各ライン上の該点を対応する補間曲線に対して投影させ
    て各自由制御点に対する拡縮率を見つけ出させ、 前記拡縮率を前記選択制御点の変位と乗算させて自由制
    御点の変位を決定させる、上記各命令を有することを特
    徴とするコンピュータプログラム。
25. 【請求項２５】 請求項２４において、前記曲線が複数
    個のベジェセグメントを有する複合曲線であることを特
    徴とするコンピュータプログラム。
26. 【請求項２６】 ベジェ曲線セグメントを形成するため
    のコンピュータによって読取可能な媒体上に存在するコ
    ンピュータプログラムにおいて、コンピュータシステム
    をして、 コンピュータシステムにおけるグラフィカルユーザイン
    ターフェースを介して第一セグメント端点の選択を受取
    らせ、 コンピュータディスプレイ上のカーソルの位置を第二セ
    グメント端点として受取らせ、 第一及び第二セグメント端点及び第一及び第二勾配点に
    よって画定されるベジェセグメントが円弧を近似するよ
    うに第一及び第二勾配点を演算させ、 演算されたベジェ曲線セグメントをコンピュータディス
    プレイ上に表示させる、上記各命令を有することを特徴
    とするコンピュータプログラム。
27. 【請求項２７】 請求項２６において、更に、コンピュ
    ータシステムをして、 第二ベジェ曲線セグメントを第一ベジェ曲線セグメント
    へ連結させるコマンドを受取らせ、 第一曲線セグメントの第二セグメント端点を第二曲線セ
    グメントの第一セグメント端点として画定させ、 コンピュータディスプレイ上のカーソルの位置を第二曲
    線セグメントの第二セグメント端点として受取らせ、 その第一及び第二セグメント端点及びその第一及び第二
    勾配点によって画定される第二ベジェ曲線セグメントが
    円弧を近似するように第二曲線セグメントの第一及び第
    二勾配点を演算させ、 連結させた第一及び第二ベジェ曲線セグメントをコンピ
    ュータディスプレイ上に表示させる、上記各命令を有す
    ることを特徴とするコンピュータプログラム。
28. 【請求項２８】 コンピュータシステムにおけるグラフ
    ィカルユーザインターフェースを介してユーザの行為に
    応答して、複数個の制御点によって画定されており且つ
    ２つの曲線端点を有する曲線を修正するコンピュータに
    よって実行される方法において、 勾配調節点を画定し、 前記勾配調節点のグラフィカルユーザインターフェース
    を介して変位を受取り、 前記曲線の制御点をラインｔ上の点Ｔｐに対してマッピ
    ングし、 ラインｔ上の補間曲線ＩＣ（ｔ）を画定し、 点Ｔｐをｔ＝Ｔｐにおいて補間曲線ＩＣ（ｔ）の値に対
    して投影させて拡縮率を見つけ出し、 前記拡縮率と前記選択点の変位とを乗算させて自由制御
    点の変位を決定する、ことを特徴とする方法。
29. 【請求項２９】 請求項２８において、前記補間曲線Ｉ
    Ｃ（ｔ）がバーンスタイン（Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ）多項
    式であることを特徴とする方法。
30. 【請求項３０】 請求項２８において、前記曲線がベジ
    ェ曲線セグメントを有する複合曲線であることを特徴と
    する方法。
31. 【請求項３１】 請求項２８において、更に、 前記曲線端点と一致するセグメント端点を有するベジェ
    曲線セグメントを画定し、 前記勾配調節点として前記ベジェ曲線セグメントの勾配
    点のうちの１つを使用する、ことを特徴とする方法。
32. 【請求項３２】 コンピュータシステムにおけるグラフ
    ィカルユーザインターフェースを介してユーザの行為に
    応答して、複数個の制御点によって画定される曲線を修
    正するコンピュータによって読取可能な媒体上に存在す
    るコンピュータプログラムにおいて、コンピュータシス
    テムをして、 勾配調節点を画定させ、 前記勾配調節点のグラフィカルユーザインターフェース
    を介して変位を受取らせ、 ラインｔ上の点Ｔｐに対して前記曲線の制御点をマッピ
    ングさせ、 ラインｔ上に補間曲線ＩＣ（ｔ）を画定させ、 ｔ＝Ｔｐにおいて点Ｔｐを補間曲線ＩＣ（ｔ）の値に対
    して投影させて拡縮率を見つけ出させ、 前記拡縮率を前記選択点の変位と乗算させて自由制御点
    の変位を決定させる、上記各命令を有することを特徴と
    するコンピュータプログラム。
33. 【請求項３３】 請求項３２において、前記補間曲線Ｉ
    Ｃ（ｔ）がバーンスタイン（Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ）多項
    式であることを特徴とするコンピュータプログラム。
34. 【請求項３４】 請求項３２において、前記曲線がベジ
    ェ曲線セグメントを有する複合曲線であることを特徴と
    するコンピュータプログラム。
35. 【請求項３５】 請求項３２において、更に、コンピュ
    ータシステムをして、 前記曲線端点と一致するセグメント端点を有するベジェ
    曲線セグメントを画定させ、 前記勾配調節点として前記ベジェ曲線セグメントの勾配
    点のうちの１つを使用させる、上記各命令を有すること
    を特徴とするコンピュータプログラム。