JPH03127186A

JPH03127186A - 描画方式

Info

Publication number: JPH03127186A
Application number: JP1267029A
Authority: JP
Inventors: Kazuo Nakamura; 和夫中村
Original assignee: Mitsubishi Electric Corp
Current assignee: Mitsubishi Electric Corp
Priority date: 1989-10-12
Filing date: 1989-10-12
Publication date: 1991-05-30
Also published as: US5287441A

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】〔産業上の利用分野〕この発明はパラメトリック曲線の描画方式に関し、特に
３次式で表現されるベジェ（Ｂｅｚｉｅｒ）曲線、Ｂ−
スプライン曲線等のパラメトリック曲線を描画する描画
方式に関する。

〔従来の技術〕

一般にＸ軸とＹ軸とからなる２次元平面を描画する描画
装置において、曲線又は直線を描画するとき、それらの
座標を表現する形式に２つの形式がある。１つはノンパ
ラメトリック曲線とよばれるものであり、その座標（ｘ
、　ｙ）がｆ（ｘ、　ｙ）・Ｏという形式で表されるものである。他方はパラメトリッ
ク曲線とよばれるものであり、その座標が媒介変数をｔ
としてｘ＝ｇ（ｔ）、　　ｙ、ｈ（ｔ）という形式で表現される。

ところで、描画装置における描画面、例えばＣＲＴデイ
スプレィ又はプリンタの用紙などの座標値は連続値とし
て定義されているのではなく、整数による離散値で定義
される場合が多い。このような描画装置では曲線の座標
値をすべてもとめる必要はなく、曲線上あるいはその近
傍の整数値の座標（格子点）のみをもとめればよい。こ
の座標をもとめる方法としてノンパラメトリック曲線で
はＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムとよばれる方法が
ある。

第８図はＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムを示した図
であり、これは第８図に示す如く、ある描画点（ｘｎ。

ｙｎ）を描画し次の描画点をもとめるとき、あらかじめ
定めておいた評価方法にしたがってＸ座標、Ｙ座標の値
がそれぞれｌ異なる近傍の８個の格子点のなかから最適
な点を１つ選ぶというものである。これを描画開始点か
ら終了点まで行なえばＢＴ画する曲線の描画点がすべて
得られることになる。

しかし、この方法はパラメトリック曲線には適用しにく
い。何故ならパラメトリック面線は座標値が媒介変数ｔ
の関数で定義されているため、座標ｘｎ、座標ｙｎにつ
いて１だけ異なる点を決定することが困難になるからで
ある。例えば、文字や図形のアウトラインを表現すると
きに用いられるベジェ曲線は次のような形で定義される
。

ｘ（ｔ）＝　（−Ｘｏ　＋　３　Ｘｌ　　　３　Ｘｚ　
＋　Ｘ３　）　　・ｔ３＋　（３ｘｏ　　　６Ｘｌ　＋
３Ｘ２　）’　ｔ２＋　（３ｘｏ　＋３ｘｌ　）　　・
ｔ＋ｘ。

ｙ（ｔ）＝　　（−ｙａ　　＋３３’ｔ　　　３ｙｚ　
　＋３’３　）　　・　ｔ３＋　　（３ｙｏ　　　６ｙ
＋　　＋　３ｙｚ　）　　・　ｔ″＋　（−３ｙｏ　　
＋３ｙｔ　　）　　・　ｔ＋ｙ０　　　・・・（１）た
だしくＯ≦ｔ≦Ｉ）ｘＯｒ　ｘｎ　ｌ　ｘｚｒ　Ｘｓｒ　Ｖａ、３’ｌ　ｅ
　ｙｚ＋ｙ３は形状を決定する４個の制御点（ｘｌ、ｙ
ｏ）（Ｘ＋、ｙｔ）、　　（ｘｚｒ　　ｙｔ）、　　（
ｘｚｒ　　ｙ３）の座標値この曲線について、対象となる座標での傾きに応じてＸ
又はｙの値が１だけ異なる点のＹ又はＸ座標を求める必
要がある。Ｘ（又はｙ）の値が１だけ異なる点のＹ（又
はＸ）座標をもとめるには、まずｘ（０（又はｙ（ｔ）
）についての３次方程式を解いてｔをもとめ、それをｙ
（ｔ）（又はｘ（ｔｌ）に代入してｙ　（又はＸ）をも
とめるという手順を踏む必要がある。しかし、３次方程
式の解をもとめるには多くの時間が必要であり、高速性
を要求されるような描画装置では非現実的な手段といえ
る。そこで、従来の描画方法として特開昭６４−８２２
８２号公報に開示された発明がある。ここではベジェ曲
線にＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムを適用するため
に３次方程式を解くかわりに直線近似によって媒介変数
ｔを求めている。

以下簡単に従来方法について説明する。

第９図、第１０図は上述の方法を図示したグラフであり
、第９図は横軸に媒介変数ｔを、また縦軸にｘ　（ｔ）
又はｙ（ｔ）をとっている。第９図（ａ）はｘ　（ｔ）
を、第９図（ｂｌはｙ　（ｔ）を、第１０図は描画面を
夫々示している。第１０図において８０は描画開始点で
ある。

ここで、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムを論理的に
誤差なく適用した場合は継続する描画点として考慮する
点はＢ＋　、Ｂｚ、Ｂｚ、Ｂａとなる。そして、その近
傍点としてそれぞれ、Ａ１．Ａｔ　、Ａ３を得る。なお
このとき、Ｂ＋、Ｂｚでは前の点つまりそれぞれＢｏ、
Ｂ＋での１頃き（ｙに対するＸの微係数〉が１より大き
いのでｙの座標値が整数となっている。一方Ｂ４ではＢ
、での傾きが１以下なのでＸの座標値が整数となってい
る。これに対して、特開昭６４−８２２８２号の発明で
は、傾きが１より大きいときは第９図（ｂ）に示すｙ　
（ｔ）を直線近似して、傾きが１以下のときは第９図（
ａ）に示すｘ　（ｔ）を直線近似してＢ＋　、Ｂｚ　、
Ｂｚの近似点をもとめている。つまり、第９図０））に
おいてＢｏ（ｔ＝０）でのｙ　（ｔ）の接線りのＹ座標
の値が整数となるｔの値り、をもとめ、１＝１＋におけ
る第１０図上の点Ｔ１を８１の近似点とする。以下、こ
れを繰り返しＢ、、Ｂ３の近似点としてＴ、、Ｔ、を得
るというものである。

このほか、ベジェ曲線の描画方法としてはΔｔ＝　１／
２”　（ｎは正の整数）とし、ｔを１＝０からＬ＝１ま
でΔｔずつ増加しなからＸ座標、Ｙ座標を計算し、その
最近接の格子点を描画点（ｘ、　ｙ）とするという方法
がある。第１１図は前述の方法を図示したグラフである
が、図中Ｃｏ、Ｃ＋・・・がｔ＝０、ｔ＝Δｔ、ｔ＝２
Δｔ、ｔ＝３Δｔでの曲線上の点であり、Ｄ、、Ｄ、・
・・は近傍点としてまるめられたそれらに最近接の格子
点である。

〔発明が解決しようとする課題〕

しかし前者の方法は近似の精度が悪いため第１０図にも
明らかなようにＴ２が８２よりも離れ過ぎてしまってお
り、その近傍点として曲線の最近接の格子点Ａ２ではな
く、Ｆ２が選択されてしまっている。

また後者の方法ではΔｔをあまり小さくすると冗長点が
できてしまう。第１２図（ａ）は冗長点ができた場合を
示したグラフであるが、図中黒丸がベジェ曲線上の点で
あり、白丸とＦとがまるめられた点である。Ｆはベジェ
曲線の点Ｇの最近接の格子点にもかかわらず描画しない
方が描画結果はなめらかになる。これは、最近接の格子
点を選択するという方法でおこるもので、曲線の傾きが
ｌ以下であるにもかかわらず２つの点が同一のＸ座標の
異なるＹ座標にまるめられてしまうというものである。

またこの方法は、まるめられた溝画点が必ずしも隣接す
るとは限らないので、隣接していないときは直線等で補
間する必要がある。第１２図中）はこの例を示したグラ
フである。図においてＥｏ、Ｅ、は上記方法によってま
るめられた描画点、Ｈ８Ｈ！はＥ、　、Ｅ、を直線補間
して得られた点てありＥ６、Ｅ３を通る直線の最近接の
格子点である。

しかしこの方法は、図に示すように本来Ｈ８よりも曲線
に近い点Ｊ２が描画されなければならないにもかかわら
ずＨ２が選択され描画されてしまう。

問題点を要約すると、前者の方法では曲線に最近接の格
子点が得られないという問題が発生し、後者の方法では
冗長点が発生したり、直線補間が正しく行なわれないと
いう問題が発生する。

この発明は上記のような問題点を解決するためになされ
たものであり、冗長点を発生せず、また正しく直線補間
を行なうベジェ曲線の描画方式を提供することを目的と
する。

〔課題を解決するための手段〕

この発明に係る描画方式は曲線を媒介変数を用いて表す
場合に、曲線上の第１の点（ｘ、　ｙ）が媒介変数ｔの
関数としてｘ＝ｆ（ｔ）、　　　ｙ＝ｇ（ｔ）として与えられたとき、実数Ｕを基本単位、ｒとＳとを
夫々座標Ｘとｙとの実数Ｕに関するまるめ誤差とし、実
数Ｕの絶対値より小さい正の実数として、Ｘとｙとをｐｕ＝ｘ−ｒｑｕ””ｙ−ｓで表現されるｐ及びｑなる整数にまるめ、前記第１の点
（ｘ、　ｙ）におけるｙに対するＸの微係数の絶対値が
１より大きいときはＸ座標をｐｕとし、Ｙ座標をｑｕ又
はそれよりＵだけ大きいか又は小さい点から近似点を選
択し、前記微係数の絶対値が１より小さいときはＹ座標
をｑｕとし、Ｘ座標をｐｕ又はそれよりＵだけ大きいか
又は小さい点から近似点を選択するようにしたものであ
り、別の発明に係る描画方式は前記近似点と第３の点と
の間を直線によって補間するとき、前記直線が第１の点
の最近接を通るように補間するものである。

〔作用〕

この発明の描画方式ではパラメトリック曲線を描画する
場合に媒介変数ｔを等分割して得られた各々の点を近傍
の格子点にまるめるとき、最近接の格子点を選択するの
ではなく、その点の傾きが１より大きいときはＸ座標が
整数である近傍の点を近似的にもとめ、１以下のときは
Ｘ座標が整数である近傍の点を近似的にもとめ、もとめ
た点に最近接の格子点を選択する。また、直線補間をす
るときはまるめたあとの点を通る直線ではなく、まるめ
る前の点を通る直線で補間する。従って描画の向きに垂
直な方向に２個の描画点が選択されることがなくなり、
冗長点が描画されることがなくなる。また、直線補間が
行なわれるときは常に描画すべき曲線に最近接の直線で
補間される。

〔発明の実施例〕

以下本発明の実施例について説明する。第１図は本発明
に係る描画方式における描画点のまるめの方法と直線補
間の方法について示した図である。

第１図では描画すべき曲線を破線で示しである。

第１図（ａ）においてＢｏは描画開始点すなわちｔ＝０
の点であるが、この点のまるめは次のようにして行なう
。まずＢ６における曲線の傾きは１以下であるので最近
接の整数の座標値をもつｘＭｘ。

を選択する。次に、Ｂｏにおける曲線の接線とｘｏの交
点Ｔ０をもとめ、さらにＴｏに最も近い格子点Ａｏを選
択し描画点とする。つまり直線近似によって整数のＸ座
標をもつ最近接の点を近似的に求め、その最近接格子点
を選ぶわけである。以下同様の方法でＢ＋、Ｂｔの描画
点としてＡＩを、Ｂ、の描画点としてＡ、壱Ｂ４の描画
点としてＡ４を得る。なお、Ｂ４における曲線の傾きは
１より大きいので８４では接線とＹ軸ｙ、との交点を求
めている０次に直線の補間の方法であるがこの方法を第
１図（ｂ）に示す。図においてＥ、、Ｅ３はまるめられ
た描画点Ｈ，、Ｈ２はＥ、　、Ｅ、の補間点である。こ
こでは補間に使う直線としてＥｏではなくまるめる前の
点Ｂ０を通る直線を使用する。

この結果、補間点Ｈ＋　、Ｈｚは直線に最近接の格子点
であると同時に、描画すべき曲線にも最近接の格子点と
なっている。なお、直線の傾きはＢ。

を通るように決定してもよいし、Ｂｏにおける曲線の傾
きとＢ、における曲線の傾きとの平均値をとってもよい
。

ここで、本発明の梅雨方式の実施に用いる装置の説明を
行なう前に、本発明に関する数学的背景について説明す
る。最初に、ベジェ曲線上の点の座標の計算方法である
が、ここではベジェ曲線上の点ととしてｔがＯ１１／１
６．２／１６、・・・１５／１６．１の場合の値を求め
るものとする。そこで、前記（１）式で示したベジェ曲
線の式においてｔ＝ｉ／１６としｘ　（ｔ）に２　”（
＝１６’）を掛けると下記（２）式が得られる。

２”ｘ（ｉ）＝（ｘｏ＋３ｘ＋　　　３ｘｔ＋ｘｚ）・
　ｉ３＋２’（３Ｘｓ　　　６　ＸＩ　＋３　ｘｚ）　
・　ｉ”＋　２’（３ｘｏ　＋３　ｘｌ）　・ｉ　＋２
”Ｘ０＝ａ　　ｉ３＋ｂ　ｉ”　　＋ｃ　ｉ＋ｄ　　・
（２）ａ”　　　Ｘｏ　　＋　３　ＸＩ　　　３　Ｘｔ
　　＋ｘ。

ｂ＝２’（３ＸＯ６ＸＩ　　＋３　ｘｔ）ｃ＝２”（３
ＸＩ　　＋３　ｘｌ）ｄ＝２０ｘ０ただし、ここで２　”　ｘ　（ｉ）＝　α（ｉ）　　　”・（３）とし
てα（ｉ）のｌについての１次、２次、３次微係数をそ
れぞれα°（ｉ）、α”（ｉ）、α”°（ｉ）とすれば
α（ｉ＋１）　　＝α（ｉ）十α”（ｉ）＋α”　（ｉ
）／２＋α″”’（ｉ）／６・・・（４） α’　（ｉ＋１）　＝α′（ｉ）＋α”　（ｉ）＋α°
”’（ｉ）／２　　・・・（５）ところで α”（ｉ）−６ａ　ｉ＋２ｂ、　　ｃｒ”’　＝６ａ　
、・・・（６）であるからｃｒ（ｉ＋１）　　＝ｃｒ（ｉ）＋ｃｒ’（ｉ）−＋−
ｃｒ”（ｉ）／２＋ａ　　＝（７）α’（ｉ＋１）＝ｃ
ｒ’（ｉ）＋２（α”（ｉ）／２）　＋３ａ　　”ＡＳ
）α”（ｉ＋１）／２　＝　α”（ｉ）／２＋　３　ａ
　　　　　　−（９）である、したがってα（ｉ）、α
゛（ｉ）、α”　（ｉ）／２はｉ−〇のときの初期値をｃｒ（０）　＝ｄ、　　α’（０）＝ｃ、　　α”（０
）／２　＝ｂとしてｌが１増すごとにそれぞれα゛（ｉ
）＋α”（ｉ）／２＋　ａ　％　２　（α”　（ｉ）／
２）　＋　ａ　ａ、３ａを加算していけば順次その値を
もとめていくことができる。ここで、α（ｉ）はｘ　（
ｉ）を２１８倍したものであり、２進数で表現すれば単
にｘ（ｉ）を左に１２ビツトシフトしただけのものであ
る。つまり、α（ｉ）をもとめ、その小数点位置を左に
１２ビツトずらせて考えればｘ　（ｉ）を得たことにな
る。これはＸ”（ｉ）、ｘｌ　ｌ　（ｉ）についても同
様である。

そして、上記の演算は２．２’、２’あるいは２１２の
乗算と加算とだけですむのでＸ０１ＸＩ、ＸＩ、Ｘｆｆ
が整数であたえられれば整数の加算とシフトとですべて
の演算を行なうことができる。

また、仮にｘｏ　、ＸＩ　ｓ　ｘｉ　、Ｘ３が小数点以
下をもつ固定小数点であたえられたとしても、それらを
前もって左にシフトし整数になおしてから演算を行ない
、ｘ　（ｉ）を考える時点で小数点位置をずらせば、や
はり整数の加算とシフトとですべての演算ができる。例
えば、小数点以下３ビツトまでもつ固定小数点形式でＸ
ｌｌ　、Ｘｔ　、Ｘｔ　、Ｘ３があたえられたときは、
それらを３ビツト左にシフトしてから上記の演算を行な
いα（ｉ）、α゛（ｉ）からｘ　（ｉ）、ｘ’（ｉ）を
考えるときに小数点位置を１２ビツトではなく１５ビツ
ト左にずらせて考えればよいわけである。要約すれば、
ｔを等分割すれば上記のベジェ曲線の座標値は整数加算
とシフト演算とのみで得ることができるということであ
る。なお、ここではＸ座標についてのみ説明したが、こ
れはＹ座標についても同じである。

つぎに、直線の補間について説明する。第２図は本発明
の描画方式の直線補間の原理を示す図であり、第２図（
ａ）は直線の描画例であるが、点（ｘ。

ｙｏ）通り傾きｄｙ／ｄｘ　（ｄｘ、　ｄｙは正の整数
かつｄｘ＞ｄｙ）の右上がり直線は、ｅをｅ＝ｄｘ（ｋ
−ｊ２）と定義し、始点におけるｅの初期値ｅｌをｅｔ
　＝２ｄｙ−ｄｘとしＸ座標が１増加した次の描画点のＹ座標として、ｅ
ｇｏならば現在のＹ座標を選び、次のｅとしてｅに２ｄ
ｙを加え、ｅ≧０ならば現在のＹ座標に１を加えたもの
を選び、次のｅとしてｅに２ｄｙ−２ｄｘを加えるとい
う操作を繰り返すことによって得られる。なお、傾きが
−１以上で右下がりの直線はｅ≧０のとき２ｄｙ　　２
ｄｘの代りに２．ｄｙ＋２ｄｘを加えればよい。ただし
、ｄｘ＞０１ａｙ＜ｏである。

また左向きの描画を行なうときは、ｄｘは正のままこれ
と全く同じ判定、処理を行ないＸ座標を１増加する代り
にＸ座標を１減ずればよい。さらに、傾きの絶対値が１
より大きい直線の場合はＸ座標とＹ座標とを入れ換えて
同じ議論を行ない、描画時点で描画点のＸ座標とＹ座標
とを入れ換えて描画すればよい。なお、このことは「コ
ンピュータ・グラフィクス（日本コンピュータ協会）」
の第４４３頁〜第４４５頁に詳しく説明されている。

ところで上記のｅは、次の描画点における直線の真のＹ
座標とそれぞれ現在のＹ座標との距離におよび現在のＹ
座標に１を加えた座標と距Ｍｌとの差にｄｘをかけたも
のとなっている。この初期値ｅ、は第２図（ａ）に示す
如く格子点を描画開始点とする直線については上記のよ
うに表されるが、第２図（ｂ）に示すように格子点以外
の点Ｂを描画開始点とする直線についてはつぎのような
補正をする必要がある。つまり、第２図（ロ）において
ｋはｋ　＝ｙｆ十（１−ｘｆ）　ｄｙ／ｄｘであり、ｅ
、はｅ、＝ｄｘ（ｋ−ｆ）＝ｄｘ　（ｋ　−（１−ｋ）　）＝ｄｘ　（２ｋ　　ｌ　）＝ｄｘ　（２ｙ　（ｙｆ＋　（１−ｘｆ）　ｄｙ／ｄｘ
　）　−１）＝　２ｄｘ−ｙｆ　−２ｄｘ−ｘｆ＋　２
ｄｙ−ｄｘとなる。したがって、ｅ、は２ｄｘ−ｙｆ−
２ｄｙ−ｘｆだけ補正をしてやる必要があるわけである
。

次に、本発明の描画方式の実施に用いる描画装置につい
て構成を動作と共に説明する。

第３図は描画装置の構成を示すブロック図である。なお
本装置で扱われる整数及び固定小数点数はすべて２の補
数表現となっている。図において、３はクロック発生器
であり、ここで発生するクロックが制御器２に与えられ
、制御器２はその周期毎に制御信号を発生し、後述する
マイクロプロセッサｌと画像メモリ２１とを除く他のハ
ードウェアを制御する。

マイクロプロセッサ１はまずベジェ曲線の形状を決定す
る４個の制御点（ｘ６．ｙｏ）、（ｘｌ。

ｙ＋）、（ｘｔ、ｙ８）、（Ｘ３　＊　）’ｘ　）より
関数発生に必要な定数ａ、ｂ、ｃ、ｄをもとめ、さらに
α（０）、α゛（０）、α″′（０）／２．３ａを計算
し、定数ａとともに関数発生器４、関数発生器５に与え
る。そして制御器２に描画の開始を指示する。

なおここでは、後の処理のことを考え、α（０）はｄ　
　２１１とし、予め０．５Ｘ　２　”だけずらせてお＜
（ｘ（ｔ）、ｙ　（ｔ）で０．５に相当）。第４図は関
数発生器４、関数発生器５の構成を示すブロック図であ
り、関数発生器４及び同５はレジスタ４１．５１と加算
器４２．５２とから構成されており、制御器２の制御信
号にしたがって上述した加算を繰り返し順次α（０）、
α°（０）、α”（０）／２、α（１）、α゛（１）、
α”（１）／２、・・・、α（ｉ）、α°（ｉ）、α”
（ｉ）／２、・・・、α００、α”０６）、α”’０６
）／２を発生する。

第５図は関数発生器の出力のビット列について示した図
であり、α（ｉ）はｘ　（ｉ）あるいはｙ　（ｉ）の小
数点位置を左に１２ビツト移動しただけなので、第５図
に示すようにそれらを整数部ｘｎ（ｉ）、ｙｎ（ｉ）と
小数点以下部ｘｆ（ｉ）、ｙ　ｆ　（ｉ）とに各別に分
けることができる。このとき、α（ｉ）はあらかじめ０
．５Ｘ　２　”ずらせであるのでｘｎ（ｉ）、　ｙｎ（
ｉ）はそれぞれｘ　（ｉ）、　　ｙ　（ｉ）に最も近い
整数となり、ｘｆ（ｉ）、　ｙｆ（ｉ）はそれぞれｘ（
ｉ）とｘｎ（ｉ）との差、ｙ　（ｉ）とｙｎ（ｉ）との
差となる。

またｘ’（ｉ）、ｙ’（ｉ）については、以後の処理で
は常に両者の比が問題となり絶対的な値は不用なのでα
゛（ｉ）をそのままＸ“（ｉ）、ｙ”（ｉ）として扱う
。

次に比較器６であるが、比較器６はｘ’（ｉ）、ｙ’（
ｉ）を比較し、ｌ　ｙ’（ｆ）　ｌ　＞　ｌに’（ｆ）
ｌ、即ち直線の傾きが１以上のときは論理的“１ｍを、
それ以外のときは論理的“Ｏ”をｃｈｇ（ｉ）として出
力する。交換器７はｃｈｇ（ｉ）をうけ、もし　ｙ’　
（ｉ）　　＞　　ｘ’　（ｉ）　　のときは入力される
信号をＸとｙとですべて交換する。つまりｘｎ（ｉ）と
ｙｎ（ｉ）、ｘｆ（ｉ）とｙ　ｆ　（ｉ）、ｘ’（ｉ）
とｙ’（ｉ）の３対を各々交換して出力するわけである
。それ以外のときはそのままｘｎ（ｉ）、ｙｎ（ｉ）、
ｘｆ（ｉ）、ｙ　ｆ　（ｉ）、ｘ’（ｉ）、ｙ’（ｉ）
を出力する。

したがって、　ｙ”（ｉ）　　＞　　ｘ’（ｉ）　　の
ときはＸ座標とＹ座標とが入れ換えられ　ｙ゛　≦　×
°　のときと同じ手続きが行われることになる。なお第
３図では信号名の添え字ｉは省略しである。

次に演算器８はｘ　＝ｘｎ（ｉ）におけるｙの座標ｙｍ
（ｉ）についてチエツクする。というのはｙｍ（ｉ）に
最も近い整数はｙ　ｎ　（ｉ）だけではなく　ｙｎ（ｉ
）　＋　１、ｙｎ（ｉ）−１である可能性もあるからで
ある。

第６図は描画開始点の近傍点の求め方を説明する図であ
り、第６図に−示すように直線近似によってｙｍ（ｆ）
を次式のように近似する。

ｙｍ（ｉ）＝ｙｎ（ｉ）＋ｙｆ（ｉ）　−（ｙ’（ｉ）
／ｘ’（ｉ））　Ｘｘｆ（ｉ）ここで１ｙ”（ｉ）１≦
１ｘ”（ｉ）　　なのでｙｍ（ｉ）−ｙｎ（ｉ）＝ｙｆ
（ｉ）　−（ｙ’（ｉ）／ｘ’（ｉ））　Ｘｘｆ（ｉ）
はｙｆ（ｉ）≧０のときは０．５＜ｙｍ（ｉ）＝ｙｎ（
ｉ）＜　１となり、ｙｆ（ｉ）＜Ｏのときは−１＜ｙｍ
（ｉ）　　ｙｎ（ｉ）＜０．５となる。

そこで、演算器８はｙｍ（ｉ）−ｙｎ（ｉ）＝ｙｆ（ｉ）　−（ｙ’（ｉ）
／ｘ’（ｉ））　ｘｘｒ（ｉ）を計算し、ｙｆ（ｉ）≧
Ｏのときはその結果と０．５とを比較し、ｙｆ（ｉ）＜
Ｏのときはその結果と−０，５とを比較する。そして、
ｙｍ（ｉ）　−ｙｎ（ｉ）≧０．５のときは”１”を、
ｙ＋ｎ（ｉ）　−ｙｎ（ｉ）　＜　−０，５のときは“
−１＃を、それ以外のときは“０″をｙａとして出力す
る。

このときもしｙａが“Ｏ′以外のときはｙｎ（ｉ）とｙ
　ｆ　（ｉ）とを補正する必要がある。加算器９と減算
器１０とはそのためのものであり、加算器９はｙｎ（ｉ
）にｙａを加算し、減算器９はｙｆ（ｉ）からｙａを減
算する。

次に比較器１１とレジスタ１２とであるが、比較器１１
はｉ＝０のときはレジスタＩ２がｃｈｇ（ｉ）、ｘｎ（
ｉ）、ｙｎ（ｉ）、ｘｆ（ｉ）、ｙｆ（ｉ）、ｘ゛０）
、ｙ　’　（ｉ）を記憶するように制御する。レジスタ
１２はそれらを記憶し、夫々のＣｈｇｐｚ　Ｘ０９％　
ＶｎｐＳｘｆｐ　ｓ　Ｖｆｐ％　Ｘ　ｐｓ　Ｖ’ｐとし
て出力する。ｉ〉０のときはｃｈｇ（ｉ）、ｘｎ（ｉ）
、ｘｆ（ｉ）とレジスタに記憶されているそれらの以前
の値であるｃｈｇｐ、ｘｎｐ　、　ｘｆｐとを比較する
。

そしてｃｈｇ（ｉ）、ｘｎ（ｉ）のいずれかがか夫々前
の値ｃｈｇｐ、　ｘｎｐと異なれば、レジスタ１３がレ
ジスタ１２の内容を記憶し、レジスタ１２がｃｈｇ（ｉ
）、ｘｎ（ｉ）、ｙｎ（ｉ）、ｘｆ（ｉ）、ｙｆ（ｉ）
、ｘ’（ｉ）、ｙ’（ｉ）を記憶するように制御する。

なお、レジスタ１３はレジスタ１２の内容を記憶し、各
々ｃｈｇｓＳｘｎｓ　、　ｙｎｓ　５ｘｆｓ　ｓ　ｙｆ
ｓ　、　ｘ’ｓｙ′３として出力する。ｃｈｇ（ｉ）、
ｘｎ（ｉ）がともにそれぞれｃｈｇｐ、ｘｎｐと等し′
い場を、即ち第７図に示す如く傾きが同じ状態で、前の
値と同じ場所にまるめられた場合はｘｆ（ｉ）の絶対値
とｘｆｐの絶対値とを比較し、もしｘｆ（ｉ）の絶対値
の方が小さいときはレジスタ１２がｃｈｇ（ｉ）、ｙｎ
（ｉ）、ｙｆ（ｉ）、ｘｎ（ｉ）、ｙｎ（ｉ）を記憶す
るように制御し、逆の場合は既に記憶されているので何
も行なれ力い。第７図は同一座標軸にまるめられる２以
上の描画点の選択方法を示す図であり、以上の結果、も
しｃｈｇが同じで同一のにｎにまるめられる点が複数存
在するときは第７図に示すようにＩｎに最も近い点（図
中Ｂ＋）のみが選ばれ他の点（図中Ｂｚ）は無視される
されることになる。また、レジスタ１３にはまるめられ
た描画点の情報が記憶されることになる。

次に直線描画器１７はレジスタ１３にレジスタ１２の内
容が記憶される毎にその出力ｙｎｓ　、　ｘｎｓを描画
開始点としてｘｎｓ　とｙｎｐとの差、ｙｎｓ　とｙｎ
ｐとの差の大きい方の数の点だけ直線の描画を行なう。

このとき、演算器１４は直線描画器１７に傾きをあたえ
るもので前述したｄｘ、　ｄｙとしてｄｘ　＝　ｘ　ｓ
　＋　ｘ　ｐｄｙ　＝　Ｖ　Ｓ　＋　Ｖ　Ｉ）を計算する。なおこの値は描画しようとする直線の両端
におけるベジェ曲線の傾きの平均値についての近似値と
なる。同様に演算器１５はｅの初期値ｅ＋　＝　２ｄｘ
−ｙｆｓ　−２ｄｙ−ｘｆｓ　＋２ｄｙ　−ｄｘを計算
し直線描画器１７にあたえる。同時に比較器１６はｙｎ
ｓとｙｎｐとを比較し、両者が等しいときはｄｙを０に
するように演算器１４に制御信号を出力する。これは水
平な直線で補間を行なうとき描画結果が蛇行するのを防
ぐ。直線描画器１７は前述した手順にしたがって描画点
の座標を発生する。そして、それを画像メモリ制御器１
９に与えるがこのときｃｈｇｓがＯならばＸ座標、Ｙ座
標をそのまま出力し、ｃｈｇｓが１のときはＸ座標、Ｙ
座標を交換して出力する。

さらにアドレス監視器２０はＸ座標、Ｙ座標を監視し、
その値が直前に描画した値と同じであれば描画禁止信号
を画像メモリ制御器１９に出力する（これはｃｈｇのみ
が変化したときに起こる）。最後に画像メモリ制御器１
９はＸ座標、Ｙ座標があたえられる度にその点の画像メ
モリ２１上のアドレスを計算し、画像メモリ２１に描画
する。

なお、比較器１８はｃｈｇｓとｃｈｇｐとが異なってい
るときににｎｐとｙｎｆｌ　％　Ｘ’ｌ）とｙ’ｐとを
それぞれ交換するための交換器である。

なお、上記実施例では描画点の座標とし０≦ｔ≦１の範
囲を１６等分する例を示したが必ずしも１６である必要
はない。例えば、制御点（ｘｃ＋、ｙｃ＋）、（ＸＩｎ
）’ｔ）、（Ｘｔ、ｙｔ）、（Ｘｌ、）’３）の間隔が
小さいときは分割を粗くしてもよいし、逆に間隔が大き
いときは分割を細かくしないと直線補間による誤差が大
きくなる。

また、上記実施例ではｘｆ（ｉ）、ｙｆ（ｉ）、ｘ’（
ｉ）、ｙ’（ｉ）の有効なビット全てを扱うものとして
説明したが、これらについては上位数ビットだけを計算
し、下位ビットを切捨てても描画結果にほとんど影響を
あたえない。

さらに、以上の説明はベジェ曲線を描画する場合の例を
示したが、パラメトリック曲線であれば全てに適用でき
、例えばベジェ曲線と同様Ｘ座標とＹ座標がｔについて
次の３次式で表現されるＢ−スプライン曲線についても
上記の方法が適用できる。

６ｘ（ｔ）＝　（Ｘｏ　＋　３　Ｘｏ　　　３　Ｘｉ　
＋Ｘ３）　・ｔ’＋　（３ｘｏ　−６ＸＩｎ３　ｘｚ）
・ｔ”＋　（３ｘｏ　＋３ｘｚ）・ｔ。

＋　（Ｘ−ｏ　＋　４　Ｘｌ　＋　Ｘｌ）６ｙ（ｔ）”
”　　（）’ｏ　　＋３３’＋　　　３）’ｚ　　＋ｙ
ｚ）・ｔ３＋（３）’ｏ　　６）’＋　＋３ｙｚ）・ｔ
２＋　（３）’ｏ　　＋３ｙｚ）・　ｔ＋　　（３’ｏ　　＋　４ｙ＋　　＋　３’ｚ）　　　
　・・・αωただしく０≦ｔ≦１）Ｘｏ　　Ｓ　Ｘｏ　　、　Ｘｚ　　、　Ｘｉ　　、　）
’ｏ　　、　？＋　　、ｙ２、ｙ３は形状を決定する点
（ｘｏ。

３Ｆ６）、（ｘ＋　、ｙｔ）、（ｘｚ、ｙｚ）、（Ｘ　
３＋　３’　ｓ）の座標値この場合、ｘ　（ｔ）、ｙ（ｔ）をもとめるには６で割
るという演算が必要になるが、これはあらかじめｘ０Ｘ
＋　、Ｘｚ　、Ｘｌ　、ｙｏ　％　）’ｌ　Ｓｙｚ　Ｘ
ｙ３を６で割っておけば済む。又は第３図において関数
発生器４、関数発生器５の出力部に６で割るための演算
器を付加してもよい。

さらに本実施例においては基本単位Ｕを１としたが、本
発明はこれに限るものではなく、基本単位Ｕは実数であ
ればどのような値でもよい。

〔発明の効果〕

以上のように、この発明ではパラメトリック曲線の描画
において、ｔを等分割して得られた曲線上の各々の点を
近傍の格子点にまるめるとき、自近接の格子点を選択す
るのではなく、その点のＩＩきがｌより大きいときはＸ
座標が整数である返上の点を、１以下のときはＹ座標が
整数である返上の点を近似的にもとめ、もとめた点に最
近接の４１子点を選択するようにしたので冗長点を描画
す【ことなく、滑らかな曲線を描くことができる。ｊた
、直線補間をするときはまるめたあとの点を釘る直線で
はなく、まるめる前の点を通る直線でネ１間をするよう
にしたので、より真の曲線に近い＋１間を行なうことの
できる描画方式を得ることが【きる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明に係る描画方式を示した図、負２図は本
発明による直線補間の原理を示した図、第３図は本発明
に係る描画方式の実施に用いるＩ凸画装置のブロック図
、第４図は描画装置内の関部発生器の構成を示すブロッ
ク図、第５図は関数炙生器の出力のビット列について示
した図、第６区は描画装置の描画開始点の近傍点のもと
め方について示した図、第７図は梅雨装置において同一
座標軸にまるめられる２以上の描画点の選択方法を示し
た図、第８図はｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムにつ
いて示した図、第９図、第１０図は従来の描画方法を示
した図、第１１図は別の従来の描画方法を示した図、第
１２図は第１１図に示した従来の描画方法の問題点を示
した図である。 ■・・・マイクロプロセッサ　２・・・制御器４．５・
・・関数発生器　６．１１．１６・・・比較器７．１８
・・・交換器　８．１４．１５・・・演算器９・・・加
算器　１０・・・減算器　１２．１３・・・レジスタ１
７・・・直線描画器なお、図中、同一符号は同一、又は相当部分を示す。

Claims

【特許請求の範囲】

（１）第１の座標軸と第２の座標軸とで構成される２次
元座標系に曲線を描画する描画方式において、曲線上の第１の点（ｘ、ｙ）が媒介変数ｔの関数としてｘ＝ｆ（ｔ）ｙ＝ｇ（ｔ）としてあたえられたとき、実数ｕを基本単位、ｒとｓを
それぞれｘとｙとの実数ｕに関するまるめ誤差とし、実
数ｕの絶対値より小さい正の実数として、ｘとｙとをｐｕ＝ｘ−ｒｑｕ＝ｙ−ｓで表現されるｐおよびｑなる整数にまるめ、前記第１の
点（ｘ、ｙ）におけるｙのｘに関する微係数の絶対値が
１より小さいときは（ｐｕ、ｑｕ−ｕ）、（ｐｕ、ｑｕ）、（ｐｕ、ｑｕ＋
ｕ）のうちいずれかを前記第１の点（ｘ、ｙ）の近似点（ｘ２、ｙ２）として選択し、前記微係数の絶対値が１より大きいときは（ｐｕ−ｕ、ｑｕ）、（ｐｕ、ｑｕ）、（ｐｕ＋ｕ、ｑ
ｕ）のいずれかを前記第１の点（ｘ、ｙ）の近似点（ｘ
２、ｙ２）として選択する曲線の描画方式。
（２）請求項１の描画方式において、前記近似点（ｘ２、ｙ２）と第３の点（ｘ３、ｙ３）と
の間を直線によって補間するとき、前記直線が前記第１
の点（ｘ、ｙ）の最近傍を通るように補間をすることを
特徴とする描画方式。