JPH0654496B2 - 曲面作成方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 Ａ産業上の利用分野 本発明は曲面作成方法に関し、特にコンピユータグラフ
イツクスにおいて、原面を構成する曲面を局所的に新た
な曲面に変形して行くようにしたものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、コンピユータグラフイツクスにおける曲面作
成方法において、曲面の一部を局所的に指定して変形さ
せて自由曲面を作成できるようにするにつき、変形対象
曲面上の作用点に基づいて変形データを指定できるよう
にすることにより、オペレータが変形後の曲面を直感的
に容易に把握し得るようにできるものである。

Ｃ従来の技術 従来コンピユータグラフイツクスにおいて、３次元の曲
面を生成する方法として、円筒、球などの基本的な曲面
（これをプリミテイブ曲面と呼ぶ）のデータを予め用意
しておき、これらのプリミテイブ曲面を必要に応じて組
み合わせることによつて新しい曲面を作成するような方
法や、新たに作成すべき曲面上の点をコントロールポイ
ントとして指定し、これらのコントロールポイントを通
る曲面をスプライン関数を用いて内挿して行く方法など
が用いられている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 これらの従来の方法は、実際上プリミテイブ曲面の外形
形状の基本的な形状として、当該基本的な形状に基づい
て曲面を変換処理することによつて所望の曲面を得よう
としており、実用上機械的な物体の外観形状を表現する
場合などで適用する限りにおいては、満足し得る曲面を
作成できると考えられている。

因にスプライン関数を用いて曲面を作成する場合におい
ても、実際には、数多くのコントロールポイントを設定
しなければならないので、当該多数のコントロールポイ
ントを形成するために、プリミテイブ曲面を用いたり、
断面図を組み合わせたりすることによつて、実用上許容
できる範囲でコントロールポイントの設定をするように
なされており、従つてこの場合も実用上はプリミテイブ
曲面を組み合わせた場合と同様の特徴をもつている。

ところが例えば人の顔面を表す曲面のように、柔らかな
印象を与え、かつプリミテイブ曲面とは異なる曲面（こ
れを自由曲面と呼ぶ）によつて表現しなければ不自然に
なるような曲面を作成しようとする場合には、原理上プ
リミテイブ曲面の特徴の影響が強く出る従来の曲面作成
方法を用いることは、実用不十分である。

また新たな曲面を作成する際には、コンピユータによつ
て処理される画像データによつて表示画面上に表示され
た画像と、オペレータがコントロール設定すべきデータ
との相関関係は、直感的に把握し易いものであれば、オ
ペレータが得たいと考えている曲面にほどよく適合した
曲面を容易に得ることができる点から考えて、オペレー
タが設定入力するパラメータと、その結果表示画面上の
曲面に現れる変化とが直感的に把握し易いような対応関
係をもつようにすることが望ましい。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、例えば人
の顔面を形成する曲面のように、プリミテイブな曲面で
は表現しきれないような自由曲面を作成するにつき、オ
ペレータが変形後の曲面を一段と直感的に把握し易いよ
うな態様で、表示画面上に表示させることができるよう
にした曲面作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため、第１の発明においては、
変形対象曲面上に作用点ＣＰ_ｉ ^＊を指定し、この作用点
ＣＰ_ｉ ^＊における変形方向及び大きさを表す変形ベクト
ルＶ_ｉ ^＊を指定し、作用点ＣＰ_ｉ ^＊において変形対象曲
面ＳＯＲに接し、かつ作用点ＣＰ_ｉ ^＊を基準とする座標
平面ＳＦＣを形成し、当該座標平面ＳＦＣ上の座標を用
いて作用点ＣＰ_ｉ ^＊を含む所定の変形領域ＶＣＦ及びこ
の変形領域ＶＣＦ内の各点における変形ベクトルＶ_ｉ ^＊
に対する変形率を表すベクトル場関数Ｆ_ｉを決め、変形
領域ＶＣＦの各点を変形対象曲面ＳＯＲ上に投影した曲
面位置について、ベクトル場関数Ｆ_ｉと変形ベクトルＶ
_ｉ ^＊との積に基づいて変形対象曲面ＳＯＲを変形するよ
うにする。

また第２の発明においては、変形対象曲面ＳＯＲ上に作
用点ＣＰ_ｉ ^＊を指定し、作用点ＣＰ_ｉ ^＊における変形方
向及び大きさを表す変形ベクトルＶ_ｉ ^＊を指定し、作用
点ＣＰ_ｉ ^＊を基準とする座標曲面を変形対象曲面ＳＯＲ
上に作成し、当該座標曲面上の座標を用いて上記作用点
ＣＰ_ｉ ^＊を含む所定の変形領域ＶＣＦ及びこの変形領域
ＶＣＦ内の各点における変形ベクトルＶ_ｉ ^＊に対する変
形率を表すベクトル場関数Ｆ_ｉを決め、ベクトル場関数
Ｆ_ｉを変形ベクトルＶ_ｉ ^＊との積に基づいて変形対象曲
面ＳＯＲを変形するようにする。

Ｆ作用 ベクトル場関数Ｆ_ｉは、変形領域ＶＣＦ内の各点におけ
る相対的な変化率を表すスカラ量として与えられてお
り、従つて変形領域ＶＣＦに含まれている各点につい
て、曲面の変形量を表す位置ベクトルＶ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉは、
変形の方向として変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の方向をもち、か
つ変形の大きさとしてベクトル場関数Ｆ_ｉによつて表さ
れる相対的な変形率に対応する大きさをもつ。

第１の発明においては、変形対象曲面ＳＯＲ上に指定さ
れた作用点ＣＰ_ｉ ^＊に変形ベクトルＶ_ｉ ^＊が指定される
と共に、作用点ＣＰ_ｉ ^＊において変形対象曲面ＳＯＲに
接する座標平面ＳＦＣが形成される。オペレータはこの
座標平面ＳＦＣを用いて、変形領域ＶＣＦの指定や当該
変形領域内の各点に対する相対的な変形率分布を表すパ
ラメータをベクトル場関数Ｆ_ｉを指定するデータとして
入力する。その結果座標平面上の各点を変形対象曲面Ｓ
ＯＲ上に投影した曲面位置について変形対象曲面が変形
処理される。

かくするにつき、オペレータは作用点ＣＰ_ｉ ^＊に関連す
る座標平面ＳＦＣ上の座標を用いてデータを入力し得る
ことにより、入力されたデータによつて得られる変形曲
面をオペレータが容易に直感的に把握できることにな
る。

また第２の発明においては、変形曲面を得るためのデー
タは、変形対象曲面ＳＯＲ上に形成された座標曲面を用
いて入力される。従つてオペレータが変形後の曲面をさ
らに一段と容易に把握し得るような手法でデータの入力
をなし得る。

Ｇ実施例 以下図面について本発明の一実施例を詳述する。本発明
による曲面作成方法は、第１図に示すように、変形対象
曲面ＳＯＲ上に作用点ＣＰ_ｉ ^＊を表す位置ベクトルを指
定し、当該作用点ＣＰ_ｉ ^＊を含む変形領域ＶＣＦの範囲
に限つて曲面の変形演算をコンピユータによつて実行す
る。その演算結果は、表示装置ＣＲＴ（第２図）上の表
示画面ＤＳＰ上に、任意に決めた視点位置から変形後の
曲面を見たと同様の変換画面ＳＣＨとして表示すること
ができる。

かかる変形領域ＶＣＦにおける曲面の変形は、次に漸化
式 Ｐ_ｉ ^＊＝Ｐ_ｉ−１ ^＊ ＋Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、ＣＰ_ｉ ^＊） ……（１） で表される変換式を用いて漸化的に演算される。

（１）式においてＰ_ｉ ^＊は３次元空間に形成される変形
後の曲面の各点を表す位置ベクトルで、この位置ベクト
ルＰ_ｉ ^＊は、変形対象曲面ＳＯＲ上にある対応する点の
位置ベクトルＰ_ｉ−１ ^＊と、当該変形前の位置ベクトル
Ｐ_ｉ−１ ^＊からの変形量Ｖ_{ｉ ＊}＊Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、Ｃ
Ｐ_ｉ ^＊）との和で表される。

この変形量は、ベクトル場関数Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、ＣＰ
_ｉ ^＊）に対して変形ベクトルＶ_ｉ ^＊を乗算して得られる
位置ベクトルで表される。

ここで、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊は、変形対象曲面ＳＯＲに
おいて作用点ＣＰ_ｉ ^＊が指定されたとき、当該作用点Ｃ
Ｐ_ｉ ^＊において変形対象曲面ＳＯＲに対して与えるべき
変形の方向及び大きさをベクトル量で表したもので、こ
れにより変形対象曲面ＳＯＲの作用点ＣＰ_ｉ ^＊は変形ベ
クトルＶ_ｉ ^＊だけ変形対象曲面ＳＯＲから持ち上げられ
るような変形を受けることになる。

またベクトル場関数Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、ＣＰ_ｉ ^＊）は、
作用点ＣＰ_ｉ ^＊を含んで決められる変形領域ＶＣＦ（そ
の大きさはパラメータを設定入力することにより指定で
きる）の各点Ｐ_ｉ−１ ^＊に対して、相対的にどの程度の
変形を与えるかを決める相対的な変形率の分布を表して
いる。この相対的な変形率の分布は、変形領域ＶＣＦの
内部にのみ値を持ち、かつ周辺部に行くと「０にな
る」、又は「０に収束する」ようなスカラ量の分布をも
つ。

このようにして変形量Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、ＣＰ
_ｉ ^＊）は、変形領域ＶＣＦの各点における変形量を表す
位置ベクトルでなり、その方向は変形ベクトルＶ_ｉ ^＊と
平行な方向をもち、かつ大きさは、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊
の大きさと、ベクトル場関数Ｆ_ｉによつて表される相対
的な変形率の分布との乗算値（スカラ量）をもつ。かく
して変形領域ＶＣＦの曲面の変形は、作用点ＣＰ_ｉ ^＊に
おいて変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の方向及び大きさで生じ、こ
の作用点ＣＰ_ｉ ^＊から周辺部に行くに従つて変形ベクト
ルＶ_ｉ ^＊の方向に、かつベクトル場関数Ｆ_ｉの変形率の
変化に対応して変化する大きさで生じる。

ここで、ベクトル場関数Ｆ_ｉとして例えばガウス分布関
数のように中心点から外側に行くに従つて対称的に徐々
に０レベルに収束するような関数が割り当てられた場合
には、変形量Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉは作用点ＣＰ_ｉ ^＊位置におい
てベクトルＶ_ｉ ^＊の方向の最大値をもち、作用点ＣＰ_ｉ
^＊から外周部に行くに従つてベクトルＶ_ｉ ^＊の方向をも
ち、かつ大きさが次第に０に収束して行くような変形面
が得られることになる。

このようにして１回の変換操作によつて変形量Ｖ_ｉ ^＊＊
Ｆ_ｉが求められ、これが変形前の位置ベクトルＰ_ｉ−１
^＊と加算されて変形後の位置ベクトルＰ_ｉ ^＊が求めら
れ、以下同様にして変形操作が行われるたびに（１）式
によつて表される漸化式を演算することによつて、変形
前の位置ベクトルに基づいて変形面を表す位置ベクトル
が繰り返し漸化的に演算されて行く。

かかる漸化的な演算がＮ回繰り返された結果、最終的な
変形点Ｐ_Ｎ ^＊を表す位置ベクトルは次式 によつて表されるように、最初の変形対象曲面ＳＯＲ
（これを原面と呼ぶ）の点Ｐ_ｏ ^＊を表す位置ベクトルに
対して、Ｎ回の変形演算（ｉ＝１〜Ｎ）によつて順次得
られた変形量の総和（すなわちトータル変形量）を加算
した位置ベクトルとして求められる。

かくして（２）式によればオペレータは最初の変形対象
曲面ＳＯＲ（すなわち原面）の点Ｐ_ｏ ^＊からＮ回の変形
操作を順次行う際に、その都度変形対象曲面ＳＯＲにつ
いて作用点ＣＰ_ｉ ^＊を指定することによつて、変形前の
曲面Ｐ_ｉ−１ ^＊から変形させたい位置をオペレータの判
断に基づいて任意に指定できる。またベクトル場関数Ｆ
_ｉ及び変形ベクトルＶ_ｉ ^＊を決めるパラメータを指定し
直すことによつて、変形領域ＶＣＦの大きさ、変形曲面
の変形率分布、変形の方向を、同様にオペレータの判断
に基づいて任意に設定し直すことができることになる。

かくしてオペレータは、１回の変形操作を実行するごと
に、変形対象曲面ＳＯＲに対して所望の位置に、所望の
方向に、所望の大きさをもつ変形を加えるような操作を
漸化的に積み重ねることができる。

かくするにつき、（１）式から明らかなように、変形前
の位置ベクトルＰ_ｉ−１ ^＊から変換後の位置ベクトルＰ
_ｉ ^＊を得るにつき、変形前の位置ベクトルＰ_ｉ−１ ^＊に
対して変形量Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉを単に加算するだけで済むの
で、その演算速度は実用上十分に短くできる（実験によ
れば１秒以下にし得た）。そして変形量Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉを
得るための演算については、ベクトル場関数Ｆ_ｉが周辺
部に行くに従つて０に収束し、又は０になるように、変
形領域ＶＣＦに限定するような関数に選定されているこ
とにより、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊との乗算演算を実用上リ
アルタイム処理と言い得る程度に十分に短い時間に短縮
し得る（実験によれば１／３０秒以内にし得た）。

従つて本発明による曲面作成方法によれば、オペレータ
が変形操作をするごとに、実用上リアルタイムで変換画
像を表示画面上に表示できることになり、これにより繰
り返し行う画像変換操作をコンピユータに対してインタ
ラクテイブに実行し得る。

そこで（２）式について上述したように、最初の変形対
象曲面ＳＯＲである原面の位置ベクトルＰ_ｏ ^＊から最終
変形位置ベクトルＰ_Ｎ ^＊を得るまでの間に、Ｎ回の変形
操作を積み重ねる間に、オペレータは試行錯誤的に変形
パラメータを入力し直すことによつて、前回の変形操作
によつて得られた曲面について、その変換の効果を評価
しながら変形操作を続けて行くことができ、かくして１
回の変形操作が終わるごとに、次に変形すべき操作とし
て、曲面の「どの位置について」、「どのような広さに
おいて」、「どのような方向に」、「どのような大き
さ」の変形をすれば良いかを考えながら、パラメータの
設定をすることができ、かくして最終的に得たいと考え
ている曲面に最も近い自由曲面を容易に得ることができ
る。

この変形操作時の新たな作用点ＣＰ_ｉ ^＊、ベクトル場関
数Ｆ_ｉ及び変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の指定は、次のようにし
て行われる。

第１実施例の場合、前回の変形操作によつて形成された
変形対象曲面ＳＯＲは、第３図に示すように、位置ベク
トルＰ_ｉ−１ ^＊によつて表される。新たな作用点ＣＰ_ｉ
^＊は、変形対象曲面ＳＯＲ上に選定され、この作用点Ｃ
Ｐ_ｉ ^＊位置に変形ベクトルＶ_ｉ ^＊が設定される。

ここで作用点ＣＰ_ｉ ^＊において、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊に
直交する接平面でなるｘｙ直交座標平面ＳＦＣが形成さ
れ、ｘ軸及びｙ軸方向の単位ベクトルｊ^＊及びｋ^＊が、
ｚ軸上にある変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の単位ベクトルｎ^＊に
基づいて決められる。

ここで、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊は次式 Ｖ_ｉ ^＊＝Ｖ・ｎ^＊……（３） で表されるように、単位ベクトルｎ^＊に対してスカラー
量Ｖを乗算した式によつて表される。

このようにして形成された座標平面ＳＦＣの座標（ｘ，
ｙ）を用いて、ベクトル場関数Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、ＣＰ
_ｉ ^＊）を設定すれば、当該ベクトル場関数によつて座標
平面ＳＦＣ上に指定した変形領域ＶＣＦについて、変形
率の分布を決めることができる。

座標平面ＳＦＣの座標（ｘ、ｙ）は、 ｘ＝ｊ^＊．（Ｐ_ｉ−１ ^＊−ＣＰ_ｉ ^＊）……（４） ｙ＝ｋ^＊．（Ｐ_ｉ−１ ^＊−ＣＰ_ｉ ^＊）……（５） のように、それぞれ変形対象曲面ＳＯＲを表す位置ベク
トルＰ_ｉ−１ ^＊と、新たな作用点ＣＰ_ｉ ^＊との差のベク
トルと、単位ベクトルｊ^＊及びｋ^＊との内積によつて求
めることができるような関係にある。

そして単位ベクトルｊ^＊、ｋ^＊、ｎ^＊は、次式 で表わされるように、単位行列〔ｕ〕に３次元回転行列
〔Ｒ〕を乗算した関係にある。また３次元回転行列は、
次式 で表されるように、差のベクトル（Ｐ_ｉ−１ ^＊−ＣＰ_ｉ
^＊）をｘ軸の周りを角度だけ回転させることによつて
ｘｚ平面上のベクトルを得た後（（７）式の右辺第３
項）、このベクトルをｙ軸の周りの角度δだけ回転させ
ることにより変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の方向を求めることが
できる（（７）式の右辺第２項）。

かくして単位ベクトルｎ^＊の作用点ＣＰ_ｉ ^＊からの方向
を決めることができ、これと直交する単位ベクトルｊ^＊
及びｋ^＊が形成される。そこでこの単位ベクトルｊ^＊及
びｋ^＊をｚ軸の周りに角度θだけ回転させることによ
り、接平面ＳＦＣのｘ及びｙ軸方向に単位ベクトルｊ^＊
及びｋ^＊を合わせることができる（（７）式の右辺第１
項）。

このようにすれば実際上オペレータは、パラメータにつ
いてのデータとして、変形対象曲面ＳＯＲ上の位置ベク
トルＰ_ｉ−１ ^＊から作用点ＣＰ_ｉ ^＊までのベクトルにつ
いてのデータを入力した後、角度、δ、θのデータを
入力すれば、作用点ＣＰ_ｉ ^＊に接する座標平面ＳＦＣを
設定し得ることになる。

従つてこの座標平面ＳＦＣ上の変形領域ＶＣＦのパラメ
ータを入力すると共に、作用点ＣＰ_ｉ ^＊における変形ベ
クトルＶ_ｉ ^＊のスカラー量Ｖについてのデータを入力す
れば、（１）式の第２項の式で表される変形量Ｖ_ｉ ^＊＊
Ｆ_ｉ（Ｐ_ｉ−１ ^＊、ＣＰ_ｉ ^＊）を指定し得たことにな
る。

その結果変形対象曲面ＳＯＲに生ずる変形は、座標平面
ＳＦＣ上に形成された変形領域ＶＣＦの各座標点を、変
形対象曲面ＳＯＲ上に投影した各点において、変形領域
ＶＣＦについて形成された変形率の分布に相当する変形
量だけ単位ベクトルｎ^＊の方向に変形が生ずることにな
る。

このように第３図の方法によれば、座標平面ＳＦＣにつ
いて、ベクトル場関数Ｆ_ｉの設定をなし得るようになさ
れているので、変形対象曲面ＳＯＲをどの程度変形させ
ることができるかを直接的に予測できるようなパラメー
タの設定をすることができ、かくしてオペレータが曲面
の変形を直感的に把握し易いような自由曲面作成装置を
実現し得る。

実際上、座標平面ＳＦＣ上の各位置を指定するにつき、
円を単位に設定できるようにベクトル場関数Ｆ_ｉを選定
すれば、設定すべきパラメータとしては、作用点ＣＰ_ｉ
^＊からの距離だけで良いことになり、このことは、１次
元のパラメータを設定するだけで済むことを意味してい
る。

これに対して一般的には、ｘｙ平面上にある座標平面Ｓ
ＦＣの各位置を指定するためには、ｘ及びｙ方向の２次
元のデータを入力する必要がある。

なお第３図においては、座標平面ＳＦＣとして接平面を
用いた場合について述べたが、これに代え、変形ベクト
ルＶ_ｉ ^＊の方向を変更することにより、変形対象曲面Ｓ
ＯＲに対する座標平面ＳＦＣの角度を必要に応じた大き
さだけ傾けるようにしても、座標平面ＳＦＣ上において
指定した位置についてベクトル場関数を形成することが
できる。

第３図の方法によつて変形量についてのパラメータを入
力する場合、第４図に示すように作用点ＣＰ_ｉ ^＊を表側
の曲面ＳＯＲ１上に指定して座標平面ＳＦＣを形成し、
この座標平面上に形成された変形ベクトルＶ_ｉ ^＊及びベ
クトル場関数Ｆ_ｉによる変形分布率Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉに基づ
いて表面側の変形対象曲面ＳＯＲ１を変形させるような
データを入力することができる。

しかしこのとき、座標平面ＳＦＣ上のベクトル場関数Ｆ
_ｉを、変形対象曲面ＳＯＲ上に投影する際に、この投影
方法に裏側の変形対象曲面ＳＯＲ２があれば、これも同
じように、ベクトル場関数Ｖ_ｉ ^＊＊Ｆ_ｉによつて変形さ
れるといつた望ましくない変形が生ずる結果になる。

このような裏側の変形対象曲面ＳＯＲ２に対する変形を
防止するには、最初の変形対象曲面ＳＯＲすなわち原面
上のテクスチヤ座標系を用いて、第４図のように互いに
重なり合うおそれがある曲面部分については、ベクトル
場関数Ｆ_ｉの影響が及ばないように予め制限するような
条件を設定しておけば良い。このようにすれば、第４図
の問題点を容易に解決することができる。

第５図は本発明の他の実施例を示す。第３図の場合は、
作用点ＣＰ_ｉ ^＊に接する座標平面ＳＦＣ上に設定したベ
クトル場関数Ｆ_ｉに基づいて決まる変形領域及び変形率
分布を、変形対象曲面ＳＯＲ上に投影することによつ
て、変形対象曲面ＳＯＲ上の対応する点の指定及びその
変形量の指定を行うようにした。これに対して第５図の
場合は作用点ＣＰ_ｉ ^＊を通つて変形対象曲面ＳＯＲ上に
延長する座標軸ｕ及びｖでなる座標曲面ＳＦＤを設定
し、この座標軸ｕ及びｖによつて指定される変形対象曲
面ＳＯＲ上の各位置について、ベクトル場関数Ｆ_ｉを設
定するようにする。

ここで座標軸ｕ及びｙは、作用点ＣＰ_ｉ ^＊位置で互いに
直交するようになされ、かくして座標軸ｕ及びｖの座標
を指定することによつて、作用点ＣＰ_ｉ ^＊を基準に変形
対象曲面ＳＯＲ上の各点を指定できるようになされてい
る。

このようにすれば、オペレータが変形しようとする変形
対象曲面ＳＯＲに対して直接的に変形領域ＶＣＦ及びベ
クトル場関数Ｆ_ｉを指定することができるので、オペレ
ータがさらに一段と容易に、直感的に変形結果を予測し
ながら変形操作を行うことができることになる。

そしてこの場合も、ｕ及びｖ座標軸を利用して作用点Ｃ
Ｐ_ｉ ^＊から一定の距離（変形対象曲面ＳＯＲの表面に沿
つて測つた距離）をもつ点を指定することによつて、ベ
クトル場関数Ｆ_ｉを指定できるようにベクトル場関数Ｆ
_ｉを選定しておけば、１次元的なパラメータの設定によ
つて変形すべき点を指定することができ、それ以外の場
合は、ｕ軸及びｖ軸の値を２次元的なパラメータとして
指定することによつて変形すべき点を簡易な操作によつ
て指定することができる。

これに加えて第５図の方法によれば、第３図の場合のよ
うに座標平面上の変形データを変形対象曲面ＳＯＲ上に
投影するような処理を必要としないので、第４図につい
て上述したように表側の変形対象曲面ＳＯＲ１へデータ
を投影したために裏側の変形対象曲面ＳＯＲ２にまで影
響が生ずるようなおそれがなく、従つてその対策を講ず
る必要がない分全体としての構成を簡易化し得る。

上述の曲面作成方法において、例えば人の顔面について
の曲面を作成する実施例においては、上述（１）式及び
（２）式のベクトル場関数Ｆ_ｉとしてガウス分布関数を
用いると共に、変形領域ＶＣＦとして円又は楕円形状を
選定し得る。

例えば第３図について上述した第１の実施例の場合、座
標平面ＳＦＣ上の座標（ｘ、ｙ）の点についての変形位
置ベクトルＰ_ｉ ^＊（ｘ、ｙ）及びＰ_Ｎ ^＊（ｘ、ｙ）は、
（１）式及び（２）式にそれぞれ対応させて（８）式及
び（９）式に示すようになる。

このようにした場合、ベクトル場関数Ｆ_ｉは次式 で表されるように、ｘｙ平面上の作用点（Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ）
を中心として、ｘ方向及びｙ方向の半径がα_ｉ及びβ_ｉ
の楕円について、第６図に示すように、ｘ方向及びｙ方
向にガウス分布関数を呈することになる。

このようにするとき、オペレータは、ベクトル場関数Ｆ
_ｉについて、作用点ＣＰ_ｉ ^＊のパラメータを座標
（Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ）に設定し、また変形領域ＶＣＦのパラメ
ータとしてｘ方向及びｙ方向の直径α_ｉ及びβ_ｉを設定
すると共に、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊のパラメータを設定す
る。

かくしてオペレータは、作用点ＣＰ_ｉ ^＊（Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ）
を中心として、半径α_ｉ及びβ_ｉの円又は楕円の変形領
域ＶＣＦについて、作用点ＣＰ_ｉ ^＊（Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ）に立
てられた変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の方向に、当該変形ベクト
ルＶ_ｉ ^＊を中心にして周辺部に行くに従つてガウス分布
曲線を描くように変形率が０に滑らかに収束して行くよ
うな変形曲面を得ることができる。

従つて変形後の位置ベクトルＰ_ｉ ^＊（ｘ、ｙ）又はＰ_Ｎ
^＊（ｘ、ｙ）で表される曲面は、変形対象曲面のうち作
用点ＣＰ_ｉ ^＊を中心とした局所的な領域について、変形
ベクトルＶ_ｉ ^＊の方向にガウス分布関数で示されるよう
な滑らかな自由曲面を呈するような曲面になる。

かくして人の顔面のように柔らかさをもつた自由曲面に
ついて、これに適応して不自然さを生じさせないような
曲面を作成することができる。

以上の説明は、第６図に示すベクトル場関数を、第３図
の座標平面ＳＦＣに適用した場合について述べたが、こ
れと同様にして、第５図の座標曲面ＳＦＤに適用し得、
この場合パラメータの指定を座標軸ｕ及びｖによって決
まる座標を用いて行うようにすれば良い。

第１図ないし第５図について上述した曲面作成方法は、
第７図に示すような構成の曲面作成装置によつて実現し
得る。なお、この場合ベクトル場関数Ｆ_ｉは、楕円の変
形領域について、ガウス分布関数で表される変形率分布
をもつように設定されている。

第７図において、１はコンピユータ構成の曲面演算装置
で、（８）式及び（９）式に基づく演算の結果得られる
位置情報が、曲面表示コントロール装置２によつて映像
信号に変換した後、陰極線管構成の表示装置３に表示さ
れる。

曲面演算装置１には、（８）式及び（９）式の演算に必
要なパラメータを入力するための入力操作子として、マ
ウス４、レバー５、６、７、トラツクボール８が設けら
れている。

マウス４はｘｙ平面上に作用点ＣＰ_ｉ ^＊を設定するため
のパラメータＸ_ｉ、Ｙ_ｉを入力し、これにより、（８）
式及び（９）式において、作用点ＣＰ_ｉ ^＊（Ｘ_ｉ、
Ｙ_ｉ）を指定する。

またレバー５及び６は、変形領域ＶＣＦの大きさを決め
るためのパラメータを入力するもので、（８）式及び
（９）式におけるｘ方向及びｙ方向の半径α_ｉ及びβ_ｉ
を設定し得る。

さらにレバー７は、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊を設定するもの
で、作用点ＣＰ_ｉ ^＊（Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ）に立てられた変形ベ
クトルＶ_ｉ ^＊の方向及び高さについてのパラメータを設
定し得る。

さらにトラツクボール８は、曲面に対する視点位置を設
定するもので、トラツクボール８によつて設定した視点
位置から見た曲面が表示装置３に表示される。

マウス４、及びレバー５〜７による設定が済むと、曲面
演算装置１は（８）式及び（９）式の演算を実行する。
その演算結果は、トラツクボール８から入力される視点
位置情報によつて回転変換された後、曲面表示コントロ
ール装置２を介して表示装置３に表示される。かくして
表示装置３の表示画面上には、マウス４によつて設定さ
れた作用点ＣＰ_ｉ ^＊（Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ）を中心にして、レバ
ー５及び６によつて設定された変形領域ＶＣＦについ
て、レバー７によつて設定された変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の
方向及び高さに応じた量だけ中央部分が高く盛り上が
り、その周辺部に行くに従つて次第に０に収束して行く
ような変形を受けた曲面が表示されることになる。

かかる変形操作は、曲面演算装置１がそのＣＰＵによつ
て第８図の処理手順を実行することにより得られる。

すなわち曲面演算装置１のＣＰＵは、ステツプＳＰ１に
おいて当該処理手順をスタートした後、ステツプＳＰ２
において最初の変形対象曲面ＳＯＲすなわち原面を表す
位置ベクトルＰ_ｏ ^＊を、曲面演算装置１に設けられてい
る曲面データメモリ１２（第９図（Ａ））に設定する。

続いてＣＰＵは、次のステツプＳＰ３に移つて、オペレ
ータによつて設定されたパラメータを取り込む。このと
きオペレータは、マウス４によつて作用点データＸ_ｉ、
Ｙ_ｉを入力し、レバー５及び６によつて半径データα_ｉ
及びβ_ｉを入力し、レバー７によつて変形ベクトルＶ_ｉ
^＊を入力する。

曲面演算装置１のＣＰＵは、次のステツプＳＰ４におい
てオペレータによつてトラツクボール８から入力される
視点位置データを取り込んだ後、ステツプＳＰ５に移
る。

このステツプＳＰ５は（８）式について上述した演算を
実行する。ここで変形前の位置ベクトルＰ
_ｉ−１ ^＊（ｘ、ｙ）は曲面データメモリ１２に設定され
ているものを用い、また各パラメータα_ｉ、β_ｉ、
Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ、Ｖ_ｉ ^＊はステツプＳＰ３において設定され
たものを用いる。

続いて曲面演算装置１は、ステツプＳＰ６において、ス
テツプＳＰ５で演算された変形後の位置ベクトルＰ_ｉ ^＊
によつて表される曲面を曲面表示コントロール装置２を
介して表示装置３に表示させる。

この状態において、曲面演算装置１のＣＰＵは曲面Ｐ_ｉ
^＊の表示を継続させることにより、次のステツプＳＰ７
においてオペレータが表示装置３の表示を見ながら変形
の程度がオペレータの要求に適応したものであるか否か
を確認させる。その後ＣＰＵは、次のステツプＳＰ８に
移つてオペレータが確認信号を入力したか否かの判断を
する。

ここで否定結果が得られると、曲面演算装置１のＣＰＵ
は上述のステツプＳＰ３に戻つて新たなパラメータの設
定を待ち受ける状態に戻る。

このときオペレータは、ステツプＳＰ３、ＳＰ４におい
て、新たなパラメータの設定をし直すことによりステツ
プＳＰ５、ＳＰ６において変形演算式の演算をし直した
後表示装置３に表示させ、ステツプＳＰ８において、再
度オペレータに対して変形が要求通りであるか否かの判
断をさせる。

かくして曲面演算装置１のＣＰＵは、ステツプＳＰ３−
ＳＰ４−ＳＰ５−ＳＰ６−ＳＰ７−ＳＰ８−ＳＰ３のル
ープＬＯＯＰ１によつて、オペレータが自分の要求に合
う変形ができるまで繰り返し作用点ＣＰ_ｉ ^＊の位置、変
形領域ＶＣＦの大きさ、変形ベクトルＶ_ｉ ^＊の方向及び
高さを設定し直すことができる。

やがてオペレータが自分の設定操作に満足して設定終了
信号を曲面演算装置１に入力すると、曲面演算装置１の
ＣＰＵは、次のステツプＳＰ９に移つて設定されたデー
タα_ｉ、β_ｉ、Ｘ_ｉ、Ｙ_ｉ、Ｖ_ｉ ^＊を曲面演算装置１内
に設けられたコマンドリストメモリ（第９図（Ｂ））１
１の第１回目の設定操作に対応するパラメータメモリエ
リアＮ＝１に、α_１、β_１、Ｘ_１、Ｙ_１、Ｖ_１ ^＊として
格納した後、ステツプＳＰ１０に移つて操作回数ｉに
「＋１」加算して（ｉ＝２）、ステツプＳＰ１１に移
る。

このステツプＳＰ１１は、オペレータが変形操作を終了
したか否かを確認するステツプで、オペレータからの操
作終了指令が入力されていないとき、曲面演算装置１の
ＣＰＵは、ステツプＳＰ１１において否定結果を得るこ
とにより上述のステツプＳＰ３に戻つて、オペレータに
よる第２回目の変形操作（ｉ＝２）を待ち受ける状態に
なる。

この状態において、オペレータは新たな曲面作成意図の
下に、第１回目の曲面の変形操作によつて作成した曲面
に対して、第２回目の曲面の変形操作をし得る。かくし
て、第１回目の変形操作によつて変形した作用点ＣＰ_１
^＊とは異なる作用点ＣＰ_２ ^＊について、オペレータは再
度、自分の要求に合う変形操作を実行し得る。

すなわち曲面演算装置１は、オペレータがステツプＳＰ
３、ＳＰ４においてパラメータの設定をすると、続くス
テツプＳＰ５、ＳＰ６において（８）式について位置ベ
クトルＰ_２ ^＊（ｘ、ｙ）の演算を実行した後当該曲面を
表示装置３に表示させる。この変形操作は、ステツプＳ
Ｐ３−ＳＰ４−ＳＰ５−ＳＰ６−ＳＰ７−ＳＰ８−ＳＰ
３のループＬＯＯＰ１によつてオペレータが満足するま
で繰り返される。

やがてステツプＳＰ８においてオペレータによる変形操
作の終了が確認されると、曲面演算装置１はステツプＳ
Ｐ９において新たに入力されたパラメータデータα_２、
β_２、Ｘ_２、Ｙ_２、Ｖ_２ ^＊をコマンドリストメモリ１１
の第２回目の設定操作に対応するパラメータメモリエリ
アＮ＝２に格納した後、ステツプＳＰ１０において操作
回数ｉに「＋１」加算して（ｉ＝３）、ステツプＳＰ１
１に移る。

以下同様にして曲面演算装置１のＣＰＵは、オペレータ
が新たな変形操作をするごとに上述の変形処理ループＬ
ＯＯＰ１の処理を実行した後、当該設定されたパラメー
タデータをコマンドリストメモリ１１に格納すると共
に、変形演算の結果得られた位置ベクトルＰ_ｉ ^＊を曲面
データメモリに格納、更新して行く。従つて曲面データ
メモリ１２には、Ｎ回の変形操作によつて生じたトータ
ル変形量の変形を受けた曲面Ｐ_Ｎ ^＊（ｘ、ｙ）（（９）
式）が得られる。

やがてオペレータがすべての変形処理を終了すると、曲
面演算装置１のＣＰＵはステツプＳＰ１１からＳＰ１２
に移つて当該プログラムを終了する。

従つて第７図の曲面作成装置によれば、オペレータは１
回の変形操作をする際に、マウス４、レバー５、６、
７、トラツクボール８を操作しながら曲面作成装置１に
変換パラメータを入力することにより、曲面の変形処理
を実行させることができる。かくするにつき、（１）式
及び（２）式、又は（８）式及び（９）式について上述
したように、変形演算に必要な演算時間はたかだか１秒
程度で済むので、実質上オペレータが変形操作をすると
直ちにその変換操作は表示装置３の表示画面上に表示で
きることにより、オペレータが変形前の曲面のうちの一
部を必要に応じて選択して所望の形に変形させるような
パラメータを設定入力することができ、かくして全体と
してインターラクテイブに所望の曲面を部分的に手直し
を加えながら作成して行くことができる。

また第７図の曲面作成装置は、第９図（Ｂ）に示すよう
なコマンドリストメモリ１１を有することにより、曲面
データメモリ１２に記憶している最も新しい変形位置ベ
クトルＰ_Ｎ ^＊（（９）式）から、１つ前の変形処理にお
いて用いたパラメータを読み出して当該１つ前の変形操
作によつて加えられた変形量を演算して曲面データメモ
リのデータから減算演算することによつて、当該１つ前
の変形操作を実行する前の曲面を再現させることができ
る。かくするにつき、データメモリとしては、１フレー
ム分の画面データメモリ１２をもつていれば良いので、
曲面作成装置全体としての構成が簡単で済む。

なお上述の実施例においては、（８）式及び（９）式の
ベクトル場関数Ｆ_ｉとしてガウス分布関数を用いた実施
例について述べたが（(10)式）、ベクトル場関数Ｆ_ｉと
しては、これに限らず以下に述べるような種々の関数を
用いることができる。そしてこのような種々のベクトル
場関数Ｆ_ｉを選択できるような曲面作成装置を構成すれ
ば、第８図について上述した変形処理ループＬＯＯＰ１
において各変形ループにおける変形演算式（ステツプＳ
Ｐ５）を順次切り換えて行くようにしておくことによ
り、曲面の変形を、種々の特性をもつた変形曲面を組み
合わせながら実行して行くことにより、オペレータの要
求に最適に適応できるような曲面を作成することができ
る。

因に、変形曲面を必要に応じて切り換えて行くことは、
あたかも、刃先の形が異なる彫刻刀を順次変換しなが
ら、面を彫刻して行くのと同様の効果を生じさせること
ができる。

第１０図はｘｙ平面における変形領域ＶＣＦが円又は楕
円でなる筒体の外表面を表すベクトル場関数Ｆ_ｉを用い
た場合、ベクトル場関数Ｆ_ｉは、 のとき Ｆ_ｉ＝１……(12) となり、また のとき Ｆ_ｉ＝０……(14) となる。

第１０図に示すようなベクトル場関数Ｆ_ｉを用いれば、
変形領域ＶＣＦの中央部において最大値をもち、かつ周
辺部において一挙に０になるような変形率の分布を呈し
ながら、円柱面に近似の形状をもつ変形曲面を得ること
ができ、従つて、変形領域を細かく区切りながら変形操
作を重ねて行くことにより、所望の曲面を形成すること
ができる。

第１１図はｘｙ平面上の変形領域ＶＣＦが長方形でなる
ベクトル場関数Ｆ_ｉを用いた場合の実施例で、この場合
ベクトル場関数Ｆ_ｉは、ｘ軸及びｙ軸方向について、 −ａ≦ｘ≦ａ……(15) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(16) のとき Ｆ_ｉ＝１……(17) となる。これに対して変形領域ＶＣＦ以外の領域につい
ては、 −ａ≦ｘ≦ａ……(18) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(19) のとき Ｆ_ｉ＝０……(20) となり、また ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(21) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(22) のとき Ｆ_ｉ＝０……(23) となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(24) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(25) のとき Ｆ_ｉ＝０……(26) となる。

このようなベクトル場関数Ｆ_ｉを用いれば、変形前の曲
面を局所的に四角柱の表面形状とするような角柱状の変
形曲面によつて変形して行くことができる。

第１２図はベクトル場関数Ｆ_ｉとして、ｘｙ平面上の形
状が円又は楕円の錐体の表面を表す関数を用いた場合の
実施例で、ベクトル場関数Ｆ_ｉは、 のとき、 になり、また のとき Ｆ_ｉ＝０……(30) となる。

これにより変形前の曲面を、(27)式で表される変形領域
ＶＣＦの範囲に限つて、(28)式で表される錐体の表面の
形状を有する変形曲面によつて変形させて行くことがで
きる。従つてこの場合に変形率の分布は、変形領域ＶＣ
Ｆの中央部において最大で、周辺部に行くに従つて０に
収束することになる。

第１３図はベクトル場関数Ｆ_ｉとして、ｘｙ平面上の形
状が四辺形の変形領域ＶＣＦに対して立てた錘体の外表
面を表す関数を用いた場合の実施例で、この場合のベク
トル場関数Ｆ_ｉは、 −ａ≦ｘ≦ａ……(31) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(32) のとき で表されるベクトル場関数Ｆ_ｉを用いる。これに対して
変形領域ＶＣＦ以外の領域については、 −ａ≦ｘ≦ａ……(34) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(35) のとき Ｆ_ｉ＝０……(36) となり、また ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(37) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(38) のとき Ｆ_ｉ＝０……(39) となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(40) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(41) のとき Ｆ_ｉ＝０……(42) になる。

かくしてこの実施例の場合は、変形例の曲面の対して、
角錐の外表面の形状を有する変形曲面を用いて曲面の変
形をなし得る。

第１４図はベクトル場関数Ｆ_ｉとして、ｘｙ平面上の形
状が円又は楕円である球面を表す関数を用いた場合の実
施例で、この場合ベクトル場関数Ｆ_ｉは、 で表される変形領域ＶＣＦについて、 になる。

これに対してその他の領域については、 のとき Ｆ_ｉ＝０……(46) となる。

かくして変形前の曲面に対して、球面の外形形状をもつ
変形曲面を使つて比較的柔らかい変形を加えて行くこと
ができる。

第１５図は、ベクトル場関数Ｆ_ｉとしてｘｙ平面上の変
形領域ＶＣＦの形状が四辺形のプリズム形柱体の外表面
を表す関数を用いた場合の実施例で、この場合ベクトル
場関数Ｆ_ｉは、 −ａ≦ｘ≦ａ……(47) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(48) のとき になる。これに対してそれ以外の領域についてベクトル
場関数Ｆ_ｉは、 −ａ≦ｘ≦ａ……(50) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(51) のとき Ｆ_ｉ＝０……(52) になり、また ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(53) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(54) のとき Ｆ_ｉ＝０……(55) となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(56) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(57) のとき Ｆ_ｉ＝０……(58) となる。

このようにすれば、変形前の曲面に対してプリズム形柱
状の外表面の形状で、ｙ軸方向に稜線をもつような方向
性をもつた変形曲面を用いて曲面の変形をすることがで
きる。

第１６図は、第１５図に対してベクトル場関数Ｆ_ｉを構
成する曲面の形を稜線の延長方向を90°回転させてｘ軸
方向に延長するように変更した場合の実施例で、この場
合ベクトル場関数Ｆ_ｉは、 −ａ≦ｘ≦ａ……(59) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(60) のとき となるのに対して、それ以外の領域については、 −ａ≦ｘ≦ａ……(62) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(63) のとき Ｆ_ｉ＝０……(64) となり、また ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(65) −ｂ≦ｙ≦ｂ……(66) のとき Ｆ_ｉ＝０……(67) となり、さらに ｘ＜−ａ、ｘ＞ａ……(68) ｙ＜−ｂ、ｙ＞ｂ……(69) のとき Ｆ_ｉ＝０……(70) となる。

このようにしても第１５図について上述したと同様の効
果を得ることができる。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、変形対象曲面ＳＯＲ上の
作用点ＣＰ_ｉ ^＊を指定し、この作用点ＣＰ_ｉ ^＊を基準に
して変形ベクトルＶ_ｉ ^＊及びベクトル場関数Ｆ_ｉを指定
することによつて、ベクトル場関数Ｆ_ｉによつて指定さ
れた変形領域に限つて部分的に変形演算をすることによ
り、実質上リアルタイムで変形曲面を発生することがで
きる。かくするにつき特に本発明によれば、作用点ＣＰ
_ｉ ^＊の位置、変形領域ＶＣＦの形及び大きさ、変形ベク
トルＶ_ｉ ^＊の方向、大きさを変形対象曲面ＳＯＲを基準
にして決まる座標を用いていれば変形対象曲面ＳＯＲ上
で設定できるようにしたことにより、オペレータが変形
後の曲面を容易に直感的に予測できるようなパラメータ
の設定入力操作をなし得、かくして自由曲面を作成する
につき、一段と遣い易い曲面作成装置を容易に実現し得
る。

【図面の簡単な説明】

第１図ないし第３図は、本発明による曲面作成方法の第
１実施例の説明に供する略線図、第４図はその動作態様
の説明に供する略線図、第５図は第２実施例の説明に供
する略線図、第６図はベクトル場関数Ｆ_ｉの説明に供す
る略線図、第７図は本発明の曲面作成方法を実施する曲
面作成装置を示すブロツク図、第８図はその処理手順を
示すフローチャート、第９図は第７図の曲面演算装置１
に設けられている曲面データメモリ及びコマンドリスト
メモリを示す略線図、第１０図〜第１６図は、ベクトル
場関数Ｆ_ｉのその他の例を示す略線図である。 １……曲面演算装置、２……曲面表示コントロール装
置、３……表示装置、４……マウス、５〜７……レバ
ー、８……トラツクボール。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】(a)変形対象曲面上に作用点を指定し、 (b)上記作用点における変形方向及び大きさを表す変形
   ベクトルを指定し、 (c)上記作用点において上記変形対象曲面に接しかつ上
   記作用点を基準とする座標平面を形成し、当該座標平面
   上の座標を用いて上記作用点を含む所定の変形領域及び
   この変形領域内の各点における上記変形ベクトルに対す
   る相対的な変形率を表すベクトル場関数を決め、 (d)上記変形領域の各点を上記変形対象曲面上に投影し
   た曲面位置について、上記ベクトル場関数と上記変形ベ
   クトルとの積に基づいて上記変形対象曲面を変形する ことを特徴とする曲面作成方法。
2. 【請求項２】(a)変形対象曲面上に作用点を指定し、 (b)上記作用点における変形方向及び大きさを表す変形
   ベクトルを指定し、 (c)上記作用点を基準とする座標曲面を上記変形対象曲
   面上に形成し、当該座標曲面上の座標を用いて上記作用
   点を含む所定の変形領域及びこの変形領域内の各点にお
   ける上記変形ベクトルに対する相対的な変形率を表すベ
   クトル場関数を決め、 (d)上記ベクトル場関数と上記変形ベクトルとの積に基
   づいて上記変形対象曲面を変形する ことを特徴とする曲面作成方法。