JP7156024B2 - 計画作成装置、計画作成方法、及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、計画作成装置、計画作成方法、及びプログラムに関し、特に、ロットに複数の製品を纏めてロット単位で複数の製品を生産又は処理するために用いて好適なものである。

製造業において製品の生産計画を立案する場合には、複数の製品を適切な規模で適切な数のロットに纏めてロット単位で製造するように生産計画を立案することが多い。
ここで、複数の製品をロットに纏めて製造する場合の一例として、製鋼工場で連続鋳造を行う場合について説明する。

製鋼工場では、高炉から供給された溶銑を転炉に装入して、酸素を吹き付けることで溶銑中の炭素を取り除き溶鋼を製造する。これを一次精錬と呼ぶ。次に、溶鋼は取鍋と呼ばれる容器に注入され二次精錬工程へ搬送される。この取鍋一杯分の溶鋼をチャージと呼ぶ。二次精錬工程として例えばＲＨ（Ruhrstahl Heraeus）工程があり、真空管中に溶鋼を循環させることで溶鋼中の不純なガスを真空中に除去して溶鋼の成分を調整する。二次精錬工程が終了すると、取鍋は連続鋳造機へと搬送される。連続鋳造機では、取鍋から鋳型へ溶鋼を注入すると同時に冷却することで半製品である鋳片を製造する。連続鋳造機では、複数のチャージを連続して鋳造することが可能であり、連続して鋳造する複数のチャージのまとまりをキャストと呼ぶ。また、複数のチャージの溶鋼を連続して鋳造することを連々鋳と呼ぶ。この連々鋳の回数を多くし過ぎると、連続鋳造機の構成部材（タンディッシュや鋳型の耐火物、浸漬ノズルなど）の溶損が生じるため、品種などで異なる溶損具合に応じて連々鋳を実施するチャージ数を適切に定めなければならない。

連続鋳造機において製造された鋳片はスラブと呼ばれ、圧延工程へ搬送される。圧延工程においてスラブは加熱炉によって再加熱され高温の状態で圧延機によって数ミリ単位の薄さまで圧延されコイル状に巻き取られる。スラブの形状や硬さによって、圧延機で連続して圧延できるスラブ枚数に制限がある。圧延機で連続して圧延されるスラブのまとまりをチャンスと呼ぶ。
各スラブには、注文情報から成分、形状、熱延希望日などの情報が付与されていて、製鋼工程及び圧延工程における制約条件を考慮して、キャストやチャンスといったロットが編成される。

また近年、製鋼工程のロットであるキャストを圧延工程のロットであるチャンスと同じにすることで、リードタイムの短縮化、及び熱ロスの低減化の試みがされている。このような操業を行う場合においては、製鋼工程及び圧延工程における制約条件を同時に満足するキャスト編成（各キャストに含めるスラブ）を決定する必要がある。

キャスト編成においては、キャスト内に多数のスラブを取り込んで大ロット化することにより、鋳造の連々鋳回数を増加させ、連々鋳の開始及び終了時におけるスラブ不良部の低減や再鋳造開始にかかる準備時間の低減による生産量の増加が期待できる。一方で、成分、形状、及び熱延希望日などの条件によって同一キャスト内に取り込むことが可能なスラブには制限がある。このため、制約条件を満たす範囲において可能な限り大ロットとなるキャスト編成を行うことが求められる。

キャスト編成の業務では、一般に、数百又は千といった数のスラブを取り扱うため、スラブの組み合わせ数が多くなる。したがって、計画担当者が全ての制約条件を充足するキャスト編成を行うめには長時間を有する作業となる。
そこで、キャスト編成を自動で行う技術として特許文献１に記載の技術がある。
特許文献１には、各チャージを節点で表現すると共に、抱き合わせて鋳造可能なチャージ間を有向枝で表現したネットワークを作成し、最長のキャストとなるルートを前記ネットワーク上で探索することが開示されている。

特開２０１２－１１４５１号公報

久保幹雄、田村明久、松井知己編、「応用数理計画ハンドブック」、株式会社朝倉書店、２００２年５月、p.133、337、621、634

しかしながら、特許文献１に記載の技術では、スラブをチャージにまとめる方法に関しての説明がなく、与えられたチャージの情報に基づいてキャスト編成を行うことになる。したがって、チャージが適切に編成されていなければ最適なキャスト編成の結果が得られない虞がある。前述したようにスラブの組み合わせが多いため、特許文献１に記載の技術においてチャージを適切にキャストに含めようとすると、問題規模が大きくなり過ぎ、計算時間が長くなる虞がある。

以上のように従来の技術では、キャスト（ロット）に複数のスラブ（製品）を纏めてキャスト（ロット）単位でスラブ（製品）を鋳造（生産）するための鋳造（生産）計画を立案するに際し、立案結果の精度を大きく落とすことなく立案時間を短縮することが容易でなかった。
本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、ロット単位で製品を生産又は処理するための計画を、立案結果の精度を大きく落とすことなく短時間で立案できるようにすることを目的とする。

本発明の計画作成装置は、複数の製品を、所定のロット成立制約を満たすようにロットの単位で纏めて、生産又は処理するための計画を作成する問題を集合分割問題とし、該集合分割問題を、列生成法を用いて解くことにより計画を作成する計画作成装置であって、前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得手段と、前記製品を、前記ロット成立制約を満たす様に纏めたロットである複数の実現可能ロットのそれぞれについて、該実現可能ロットを解として採用するか否か決定する２値変数を決定変数として、該実現可能ロットに対する前記製品のロット纏めについての評価指標に基づき、前記複数の製品を重複することなく且つ漏れなく含む前記実現可能ロットの最適な組み合わせを求める集合分割問題を原問題とし、前記原問題の最適解を構成する実現可能ロットの候補である候補ロットを生成する列生成子問題の最適解を導出する列生成手段と、前記列生成手段により導出された候補ロットに列追加要件を満足する候補ロットが含まれる場合には、前記列生成手段により生成された前記候補ロットを前記実現可能ロットの集合に追加する列追加手段と、前記列追加手段により追加された候補ロットを含む前記実現可能ロットの集合に基づいて、前記原問題の最適解として、前記実現可能ロットの組み合わせを導出する最適解導出手段と、を有し、前記原問題及び前記列生成子問題では、目的関数の値が前記実現可能ロットのコストを用いて導出され、前記実現可能ロットのコストは、前記評価指標の値と、該評価指標に対するコスト係数とを用いて導出され、前記評価指標に対するコスト係数は、前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される該評価指標のそれぞれに対するコスト係数を含み、前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数は、該分類条件に従って分類される製造実績データから導出される製造実績値に応じて変化することを特徴とする。

本発明の計画作成方法は、複数の製品を、所定のロット成立制約を満たすようにロットの単位で纏めて、生産又は処理するための計画を作成する問題を集合分割問題とし、該集合分割問題を、列生成法を用いて解くことにより計画を作成する計画作成方法であって、取得手段により、前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得工程と、前記製品を、前記ロット成立制約を満たす様に纏めたロットである複数の実現可能ロットのそれぞれについて、該実現可能ロットを解として採用するか否か決定する２値変数を決定変数として、該実現可能ロットに対する前記製品のロット纏めについての評価指標に基づき、前記複数の製品を重複することなく且つ漏れなく含む前記実現可能ロットの最適な組み合わせを求める集合分割問題を原問題とし、列生成手段により、前記原問題の最適解を構成する実現可能ロットの候補である候補ロットを生成する列生成子問題の最適解を導出する列生成工程と、列追加手段により、前記列生成工程により導出された候補ロットに列追加要件を満足する候補ロットが含まれる場合には、前記列生成工程により生成された前記候補ロットを前記実現可能ロットの集合に追加する列追加工程と、最適解導出手段により、前記列追加工程により追加された候補ロットを含む前記実現可能ロットの集合に基づいて、前記原問題の最適解として、前記実現可能ロットの組み合わせを導出する最適解導出工程と、を有し、前記原問題及び前記列生成子問題では、目的関数の値が前記実現可能ロットのコストを用いて導出され、前記実現可能ロットのコストは、前記評価指標の値と、該評価指標に対するコスト係数とを用いて導出され、前記評価指標に対するコスト係数は、前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される該評価指標のそれぞれに対するコスト係数を含み、前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数は、該分類条件に従って分類される製造実績データから導出される製造実績値に応じて変化することを特徴とする。

本発明のプログラムは、前記計画作成装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とする。

本発明によれば、ロット単位で製品を生産又は処理するための計画を、立案結果の精度を大きく落とすことなく短時間で立案することができる。

キャスト編成装置の機能的な構成の一例を示す図である。 キャスト編成装置によるキャスト編成方法（計画作成方法）の一例を説明するフローチャートである。 スラブ情報の一例を示す図である。 スラブグループ情報の一例を示す図である。 製造順制約の一例を説明する図である。 キャスト計画の立案時間の一例を表形式で示す図である。 異なる２つの鋼種の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数を説明する図である。 本計算例で使用した実績回数を示す図である。 異なる２つの鋼種の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数の計算結果を示す図である。 キャスト候補における異鋼種連々数を鋼種の組み合わせ別に示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。以下の各実施形態では、生産計画として、連続鋳造機におけるキャスト計画を作成する（即ちキャスト編成を行う）場合を例に挙げて説明する。この場合、「スラブ」が「製品」に対応し、「キャスト」が「ロット」に対応し、「鋳造」が「製造」に対応する。また、「製品」は、原料に手が加えられた物を指し、市場に出回る最終製品等に限定されるものではない。例えば、中間製品（半製品）も「製品」に含まれる。

［第１の実施形態］
まず、第１の実施形態を説明する。
図１は、キャスト編成装置１００の機能的な構成の一例を示す図である。図２は、キャスト編成装置１００によるキャスト編成方法（計画作成方法）の一例を説明するフローチャートである。キャスト編成装置１００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、及び各種のインターフェースを備える情報処理装置や、専用のハードウェアを用いることにより実現される。

＜スラブ情報取得部１０１、スラブ情報取得ステップＳ２０１＞
スラブ情報取得部１０１は、スラブ情報を取得して記憶する。スラブ情報取得部１０１は、例えば、キャスト編成装置１００に対するオペレータによる操作、外部装置から送信されたスラブ情報の受信、又は可搬型記憶媒体に記憶されたスラブ情報の読み出しを行うことによりスラブ情報を取得する。

図３は、スラブ情報３００の一例を示す図である。
図３において、スラブ情報３００は、スラブＮｏ．、鋼種、スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚、コイル幅、コイル厚、及びコイル長さが相互に関連付けられた情報である。立案対象のスラブのそれぞれについてスラブ情報が個別に与えられる。

スラブＮｏ．は、スラブを識別する番号である。
鋼種とは、スラブの成分などに応じて定まるスラブの品種を示すものである。ここでは、鋼種を、当該鋼種を識別する記号で表すものとする。
スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚は、それぞれ、スラブの重量、幅、厚みである。鋼種、スラブ重量、スラブ幅、及びスラブ厚は、スラブを製造する工程（連続鋳造工程）における製造条件である。

コイル幅、コイル厚、コイル長さは、それぞれ、スラブＮｏ．で識別されるスラブを熱間圧延することにより得られるコイルの幅、厚み、長さである。コイル幅、コイル厚、及びコイル長さは、スラブを製造する工程よりも後の工程（熱間圧延工程）における製造条件である。

＜スラブグループ作成部１０２、スラブグループ作成ステップＳ２０２＞
スラブグループ作成部１０２は、スラブ情報取得部１０１で取得されたスラブ情報３００に基づいて、製造条件が所定の範囲内で一致するスラブが同一のスラブグループに属するように、スラブ情報３００に含まれるスラブのそれぞれをグルーピングする。
まず、スラブグループ作成部１０２は、スラブ情報３００に含まれる未選択のスラブ（レコード）のうち、未選択のスラブを１つ選択する。

次に、スラブグループ作成部１０２は、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報３００から選択したスラブを追加できるスラブグループがあるか否かを判定する。スラブグループ作成部１０２は、スラブの製造条件が所定の範囲内で一致するスラブを同一のスラブグループに含める。
具体的に本実施形態では、スラブグループ作成部１０２は、以下の（Ａ１）～（Ｃ１）の全ての判定条件を満たす場合に、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報３００から選択したスラブを追加できるスラブグループがあると判定する。

（Ａ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）と、スラブ情報３００から選択したスラブの幅（スラブ幅）との差の最大値が１００［ｍｍ］以下である。
（Ｂ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）と、スラブ情報３００から選択したスラブの厚み（スラブ厚）との差の最大値が２［ｍｍ］以下である。
（Ｃ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの製造可能な鋼種と、スラブ情報から選択したスラブの製造可能な鋼種との少なくとも１つが重複する。

図３では、各スラブの鋼種が一種類であるもののみを示すが、複数の鋼種の何れの鋼種であっても製造できるスラブもある。このため、（Ｃ１）の判定条件を課す。このように鋼種は、選択に自由度がある（１つのスラブにおいて、複数の鋼種の中から１つの鋼種を選択し得る）。

スラブグループ作成部１０２は、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報３００から選択したスラブを追加できるスラブグループがないと判定した場合には、新たなスラブグループを作成し、当該選択したスラブを当該作成した新たなスラブグループに含める。
一方、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報３００から選択したスラブを追加できるスラブグループがある場合、スラブグループ作成部１０２は、当該スラブグループに含まれるスラブと、当該選択したスラブの枚数の合計が上限値以下であるか否かを判定する。熱延工程において圧延ロールが摩耗するため、同一のチャンスにおいて連続して熱間圧延する同幅帯のスラブの枚数に制約がある。そこで、本実施形態では、１つのスラブグループに含めるスラブの枚数に上限値を設定する。本実施形態では、この上限値を４０［枚］以下とする。

スラブグループ作成部１０２は、スラブ情報３００から選択したスラブを追加できるスラブグループに含まれるスラブと、当該選択したスラブの枚数の合計が上限値以下でない場合には、新たなスラブグループを作成し、当該選択したスラブを当該作成した新たなスラブグループに含める。
一方、スラブ情報３００から選択したスラブを追加できるスラブグループに含まれるスラブと、当該選択したスラブの枚数の合計が上限値以下である場合、スラブグループ作成部１０２は、当該選択したスラブを、当該スラブグループに含める。

スラブグループ作成部１０２は、スラブ情報３００に含まれる未選択のスラブ（レコード）を１つずつ選択して、以上の処理を繰り返し実行し、スラブ情報３００に含まれるスラブを何れかのスラブグループに含める。尚、同一のスラブが複数のスラブグループに属することはない。

図４は、図３に示したスラブ情報３００から作成されるスラブグループ情報４００の一例を示す図である。スラブグループ情報４００は、スラブグループのリストである。
図４において、スラブグループ情報４００は、スラブグループＮｏ．、鋼種、スラブ幅（最大値、最小値）、スラブ厚（最大値、最小値）、スラブ重量、コイル長さ、及びスラブ枚数が相互に関連付けられた情報である。

スラブグループＮｏ．とは、スラブグループを識別する番号である。
鋼種とは、スラブグループに属するスラブの鋼種である。図４では、各スラブグループが１つの鋼種のスラブからなる場合を示すが、１つのスラブグループには複数の鋼種のスラブが属する場合がある。
スラブ幅の最大値とは、スラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）の最大値をいう。スラブ幅の最小値とは、スラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）の最小値をいう。

スラブ厚の最大値とは、スラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）の最大値をいう。スラブ厚の最小値とは、スラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）の最小値をいう。
スラブ重量とは、スラブグループに含まれるスラブの重量（スラブ重量）の合計値である。
コイル長さとは、スラブグループに含まれるスラブのコイル長さの合計値である。
スラブグループ作成部１０２は、以上のようなスラブグループ情報４００を作成する。

スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの集合をＮ_Iと表記し、スラブグループ（Ｎ_Iの要素）をｉと表記する。本実施形態では、後述するロット（＝キャスト）として成立するための制約条件（（８）式～（２２）式を参照）を満足する複数のスラブグループ（スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの全体集合の部分集合）を纏めて１つのキャストを構成する。以下の説明では、このキャストの候補となる複数のスラブグループの纏まり（スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの全体集合の部分集合）を、必要に応じて実現可能ロットと称する。実現可能ロットの集合をＮ_Jと表記し、実現可能ロット（Ｎ_Jの要素）をｊと表記する。このように同一のキャストに含められる複数のスラブを１つのスラブグループに纏めることにより、選択し得る実現可能ロットの数を減らすことができるので、計算負荷を低減することができる。

＜初期列集合設定部１０３、初期列集合設定ステップＳ２０３＞
初期列集合設定部１０３は、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループｉの集合Ｎ_I（＝｛１,２,・・・,ｉ,・・・,ｎ｝）、即ち、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループｉから、行列（２次元配列）Ａ_i,jの初期値を設定する。行列Ａ_i,jのｉ行ｊ列の要素は、スラブグループｉを実現可能ロットｊに含むときに「１」の値を持ち、含まないときに「０」の値を持つ。このとき、初期列集合設定部１０３は、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループｉを重複なく且つ漏れなく含み、更に、後述するロットとして成立するための制約条件（（８）式～（２２）式を参照）を満足するように、行列Ａ_i,jの初期値を設定する。その一例として、本実施形態では、初期列集合設定部１０３は、ｉ＝ｊとなる要素_jにだけ「１」を持ち、それ以外の要素は「０」となる行列Ａ_i,jを初期値とする。即ち、それぞれの実現可能ロットｊが、相互に異なる任意の１つのスラブグループｉのみを要素として持つように、行列Ａ_i,jの初期値を設定する。従って、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループｉの数｜Ｎ_I｜と、実現可能ロットｊの数（行列Ａ_i,jの列数）｜Ｎ_J｜は、行列Ａ_i,jの初期値においては一致する（｜Ｎ_I｜＝｜Ｎ_J｜）。このように行列Ａ_i,jの行番号は、スラブグループｉを識別する番号になり、行列Ａ_i,jの列番号は、実現可能ロットｊを識別する番号になる。即ち、行列Ａ_i,jの１つの列が、１つの実現可能ロットｊに対応し、当該列において、「１」の値を持つ行に対応するスラブグループｉが、当該実現可能ロットｊに含まれるスラブグループとなる。

ユーザは、キャスト編成装置１００のユーザインターフェースを操作することにより、行列Ａ_i,jの初期値の情報を入力し、初期列集合設定部１０３が、キャスト編成装置１００内の記憶媒体に当該情報を記憶することにより、行列Ａ_i,jの初期値を設定することができる。ただし、必ずしもこのようにする必要はなく、例えば、初期列集合設定部１０３は、予め定められたロジックにより、行列Ａ_i,jの初期値を導出してもよい。

＜集合分割問題構築部１０４、集合分割問題構築ステップＳ２０４＞
本実施形態では、集合分割問題ＭＰ（原問題）を解くことにより、行列Ａ_i,jの各列に示される実現可能ロットｊからキャストとして採用する実現可能ロットｊを決定する。集合分割問題ＭＰとは、要素の部分集合と、当該要素のコストとが与えられたときに、各要素をちょうど１つずつ含む（即ち、各要素を漏れなく且つ重複することなく含む）部分集合の組み合わせを、当該コストの総和を最小にするように決定する問題である。本実施形態では、集合分割問題ＭＰは、実現可能ロットｊと、当該実現可能ロットｊに対するコストとが与えられたときに、各スラブグループｉをちょうど１つずつ含む（即ち、各スラブグループｉを漏れなく且つ重複することなく含む）実現可能ロットｊの組み合わせを、当該コストの総和が最小となるように決定する問題になる。

本実施形態における集合分割問題ＭＰは、以下のように表される。
<<集合>>
・ｉ∈Ｎ_I：スラブグループ
・ｊ∈Ｎ_J：実現可能ロット
<<決定変数>>
・ｚ_j＝｛０，１｝
決定変数ｚ_jは、実現可能ロットｊをキャストとして採用する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。
<<定数>>
・行列Ａ_i,j
前述したように行列Ａ_i,jは、スラブグループｉを実現可能ロットｊに含める場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる要素からなる。
・コストｃ_j
コストｃ_jは、実現可能ロットｊに含まれるスラブグループｉを構成するスラブに応じて定まる。

<<制約条件>>
前述したように、集合分割問題ＭＰでは、各スラブグループｉをちょうど１つずつ含む実現可能ロットｊの組み合わせを求める。従って、行列Ａ_i,jにおいて、任意のスラブグループｉが属する実現可能ロットｊの集合の中から、１つの実現可能ロットｊだけが選択されなければならない。この制約条件は、以下の（１）式で表される。

<<目的関数>>
前述したように、集合分割問題ＭＰでは、実現可能ロットｊに対するコストｃ_jの総和が最小となるようにする。従って、目的関数は、以下の（２）式で表される。

<<コストｃ_jの具体例>>
本実施形態では、（２）式のコストｃ_jを以下のようにする場合を例に挙げる。
・キャスト数
コストｃ_jの総和は、基本的には、キャストの総数で表される。１つの実現可能ロットｊは１つのキャストと対応する。そこで、キャストの数を評価するために、各実現可能ロットｊについて製造コストＣ_CASTが発生するものとする。各実現可能ロットｊの製造コストＣ_CASTは同じ値である。

また、コストｃ_jには、製造コストＣ_CAST以外のコストを加えてもよい。本実施形態では、以下の余材量及び鋼種数を、コストｃ_jに加える場合を例に挙げる。
・余材量
余材とは、生産量が定まっているロットに注文を割り当てても当該生産量に満たない場合に、当該ロットにおいて生産される製品であって、生産時においては、どの注文に紐付けられるのかが未定である製品をいう。余材量とは、そのような製品の量をいう。
溶鋼の成分の作り込みは転炉及び二次精錬工程において実施されることから、鋼種はチャージ単位で製造される。したがって、或る鋼種を割り当てたスラブの総重量がチャージ重量（１チャージの重量）に満たない部分については、注文と紐付かない余材として製造される。余材は注文と紐付けられるまでスラブとしてヤードに滞留することから、仕掛在庫量の増加を招く。このため、可能な限り余材量が減少するように、同一の鋼種を割り当てたスラブの総重量がチャージ重量に近づくようにすること（好ましくは一致すること）が望まれる。

このように、製鋼工場では溶鋼の成分調整をチャージ単位で実施することから、或るキャストにおいて同一鋼種として製造するスラブの重量の合計が、チャージ重量（１チャージを構成する重量）の倍数に近づくようにすること（好ましくは一致すること）が望まれる。例えば、チャージ重量が２００トンであり、実現可能ロットｊに含まれるスラブのうち、或る鋼種で製造されるスラブの重量が５００トンである場合には、当該鋼種のスラブとして３チャージ分のスラブを製造することになる。従って、余材量は、１００（＝３×２００－５００）トンとなる。

実現可能ロットｊに含まれるスラブの合計重量を製造するために必要なチャージ数をｎ_j ^CHとし、チャージ重量をＷ^CHとし、実現可能ロットｊに属するスラブグループの重量をＷ_j ^SGとすると、余材量Ｗ_j ^Yは、以下の（３）式で表される。

実現可能ロットｊには、異なる鋼種のスラブグループが含まれることがある。このように実現可能ロットｊに異なる鋼種のスラブグループが含まれる場合には、鋼種毎に（３）式の計算を行い、それらの和を当該実現可能ロットｊに対する余材量Ｗ_j ^Yとする。

・鋼種数
同一の実現可能ロットｊ内において複数の異なる鋼種が共存する場合には、鋼種が切り替わるチャージ間においてタンディッシュ内にて溶鋼の混合部が発生する。このような実現可能ロットにおける異なる鋼種の接続部分を異鋼種継目と呼ぶ。この異鋼種継目部分の成分がスラブに求められる要求を満足しない場合にはスラブの一部を切断して破棄する。従って、異鋼種連々鋳による操業（即ち、異なる鋼種を連続して連続鋳造すること）を実施した場合には歩留が低下する。よって、同一の実現可能ロットｊ内における異鋼種継目の数は可能な限り少ない方が望ましい。即ち、実現可能ロットｊに含まれる鋼種の数Ｎ_j ^Gは少ない方が望ましい。
以上より、実現可能ロットｊに対するコストｃ_jは、以下の（４）式で表される。

（４）式において、Ｃ^Y、Ｃ^Gは、それぞれ、余材量、鋼種の数に対するコスト係数（重み係数）である。コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gは、それぞれの評価項目をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価項目間の評価のバランスを表す。尚、（４）式の右辺第１項の製造コストＣ_CASTについて（２）式の積算を行った値は、集合分割問題ＭＰの最適解として採用される実現可能ロットｊの総数に、製造コストＣ_CASTを掛けた値になる。従って、製造コストＣ_CASTは、実現可能ロットｊの数に対するコスト係数としての役割を有する。尚、製造コストＣ_CASTを「１」とする場合、（４）式の右辺第１項の製造コストＣ_CASTについて（２）式の積算を行った値は、集合分割問題ＭＰの最適解として採用される実現可能ロットｊの総数そのものになる。
集合分割問題構築部１０４は、行列Ａ_i,jの現在値から、（４）式の計算を行うことにより、当該行列Ａ_i,jに含まれる各列（各実現可能ロットｊ）のコストｃ_jを導出する。前述したように、最初のステップＳ２０４の処理では、行列Ａ_i,jの現在値は、初期値になる。２回目以降にステップＳ２０４の処理では、集合分割問題構築部１０４は、後述する列追加部１０９により新たに追加された列（実現可能ロットｊ）のコストｃ_jを導出する。

＜線形緩和問題構成部１０５、線形緩和問題構成ステップＳ２０５＞
線形緩和問題構成部１０５は、集合分割問題ＭＰを線形緩和した線形緩和問題ＬＰを構成する。即ち、線形緩和問題構成部１０５は、（１）式及び（２）式に対し、０≦ｚ_j≦１の範囲の値をとり得るように決定変数ｚ_jを定義し直す。

＜双対解導出部１０６＞
双対解導出部１０６は、集合分割問題ＭＰ（原問題）の線形緩和問題ＬＰを主問題とした場合の双対問題ＤＬＰの最適解である双対解を導出する。
集合分割問題ＭＰ（原問題）自体は０－１整数計画問題であるが、双対問題ＤＬＰは線形緩和問題（線形計画問題）になる。０－１整数計画問題である集合分割問題ＭＰ（原問題）の線形緩和問題を主問題とした場合の双対問題ＤＬＰは、元の集合分割問題ＭＰで使用した記号を用いれば、以下の（５）式の目的関数と、以下の（６）式の制約式とで表される。

前述したように双対変数λ_iは、双対問題ＤＬＰの決定変数であり、スラブグループｉごとに定められる連続変数（－∞＜λ_i＜∞）である。（６）式のＡ_j,iの行ｊは、実現可能ロットｊに対応する。（６）式のＡ_j,iの（１つの）行ｊは、当該行ｊに対応する実現可能ロットｊがスラブグループｉを含む場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数を要素として含む。この要素は、＜列生成部１０７、ステップＳ２０７＞の項で説明する列生成子問題ＳＰの決定変数ａ_iと同じ意味の変数である。双対変数λ_iは、集合分割問題ＭＰ（原問題）の目的関数（（２）式）の値の改善量に対応するので、できるだけ大きいΣλ_iを求めれば、集合分割問題ＭＰの目的関数のより良い下限値が得られることになる。従って、双対問題ＤＬＰの目的関数（（５）式）は、最大化問題となる。

双対解導出部１０６は、CPLEX（登録商標）等の公知のソルバーを用いて線形計画法による最適化計算を行うことにより、（６）式の制約式を満足する範囲で（５）式の目的関数の値を最大にする双対変数λ_iを、双対変数λ_iの最適解（即ち、双対解）として導出する。尚、集合分割問題の線形緩和問題を主問題とする双対問題自体は、非特許文献１に記載されているように公知の技術で実現できるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。

＜列生成部１０７、列生成ステップＳ２０７＞
集合分割問題ＭＰにおいて、全ての実現可能ロットｊを列挙することは困難である。そこで、本実施形態では、行列Ａ_i,jに含める実現可能ロットｊを限定して、集合分割問題ＭＰを構成する。列生成部１０７は、双対解導出部１０６により導出された双対解（即ち、双対変数λ_iの最適解）を用いて、集合分割問題ＭＰ（即ち、行列Ａ_i,j）に追加する新たな実現可能ロットｊ（列）を生成する。

新たな実現可能ロットｊは、どのようなスラブグループｉの集まりでも良い訳ではない。即ち、新たな実現可能ロットｊは、ロット（＝キャスト）として成立するための制約条件を満足することと、集合分割問題ＭＰ（原問題）の目的関数（（２）式）の値の改善に寄与することとの双方を満足する実現可能ロットｊでなければならない。ここで、行列Ａ_i,jの列として加えられる候補となる新たな実現可能ロットｊをａ＝｛ａ₁，ａ₂，・・・，ａ_N｝とする。Ｎは、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの数である。新たな実現可能ロットａはキャストとして成立していることが前提であり、新たな実現可能ロットａがキャストとして成立していれば、新たな実現可能ロットａに対するコストｃを算出することができる。そして、新たな実現可能ロットａに対するコストｃが、以下の（７）式を満足すれば、集合分割問題ＭＰ（原問題）の目的関数（（２）式）の値の改善が期待できる。新たな実現可能ロットａに対するコストｃよりも、集合分割問題ＭＰ（原問題）の目的関数（（２）式）の値の改善量の方が大きくなるからである。

そこで、本実施形態では、集合分割問題ＭＰ（原問題）の最適解の候補、即ち新たに追加する列（新たな実現可能ロットａ）を求める列生成子問題ＳＰを以下のように定式化する。
<<集合>>
・ｉ∈Ｎ_I：スラブグループ
・ｋ∈Ｎ_K：鋼種
前述したように、Ｎ_Iは、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの集合であり、ｉは、スラブグループ（Ｎ_Iの要素）である。Ｎ_Kは、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの鋼種の集合であり、ｋは、鋼種（Ｎ_Kの要素）である。

<<決定変数>>
決定変数ａ_iは、新たな実現可能ロットａの要素であり、新たな実現可能ロットａがスラブグループｉを含む場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。以下の説明では、この決定変数ａ_iを必要に応じてロット構成製品有無変数と称する。尚、＜双対解導出部１０６＞の項で説明した（６）式のＡ_j,iの要素は、ロット構成製品有無変数ａ_iと同じ意味の変数からなる。
また、スラブグループ ｉを鋼種ｋとして製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である変数ｘ_i,kを定義する。また、当該キャストにおいて鋼種ｋのスラブを製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である変数ｇ_kを定義する。また、スラブグループｉの次にスラブグループｉ'を製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である変数ｒ_i,i'を定義する。

<<制約条件>>
［ロット構成製品有無変数定義制約］
まず、ロット構成製品有無変数ａ_iを定義する制約式として、以下の（８）式の制約式を用いる。

（８）式は、新たな実現可能ロットａにスラブグループｉを含める場合には、何れかの鋼種ｋで当該スラブグループｉを製造し、そうでない場合には、何れの鋼種ｋでも当該スラブグループｉを製造しないことを示す。

［製造有無制約］
次に、スラブグループｉは、新たな実現可能ロットａに含めるか含めないかの何れかになるので、このことを表す制約式として、以下の（９）式の制約式を用いる。

（８）式及び（９）式に示すように、新たな実現可能ロットａに含めるスラブグループｉにおいて、鋼種ｋに選択の自由度のある場合でも、当該スラブグループｉの鋼種ｋが１つに定まる。

［製造不可鋼種制約］
次に、スラブグループｉについて製造可能な鋼種の集合をＮ'_K（ｉ）と表記する。そうすると、新たな実現可能ロットａに対し、鋼種ｋ∈｛Ｎ_K－Ｎ'_K（ｉ）｝のスラブグループｉを含めることができないことを表す制約式として、以下の（１０）式の制約式を用いる。

［重量制約］
次に、スラブグループｉの重量をＳＷ_iとすると、新たな実現可能ロットａに含まれる鋼種ｋのスラブの合計重量ｗ_kは、以下の（１１）式の制約式で表される。

［チャージ数制約］
次に、１チャージに含めることができるスラブの最大重量をmaxChWとする。そうすると、鋼種ｋのスラブを重量ｗ_kだけ製造するために必要なチャージ数ｍ_kは、以下の（１２－１）式及び（１２－２）式の制約式で表される。即ち、鋼種ｋのスラブを重量ｗ_kだけ製造するために必要なチャージ数ｍ_kは、以下の（１２－１）式及び（１２－２）式で定まる範囲内になる。

［最大連々鋳回数制約］
次に、１つのキャストにおける最大連々鋳回数（連々鋳の回数の最大値）をmaxchWRenとする。そうすると、１つのキャストにおける最大連々鋳回数maxchWRenは、（１２－１）式及び（１２－２）式で定まるチャージ数ｍ_kの全ての鋼種ｋについての総和以上でなければならず、このことは、以下の（１３）式で表される。

［余材量制約］
次に、１つのキャストとして製造されるチャージの合計重量のうち、当該キャストから製造されるスラブの合計重量を超過する重量分は、注文に割り当てられない余材として製造され、注文が割り当てられるまでヤード（仮置場）に在庫として停滞する。このような余材の鋼種別の重量をｙ_kとすると、余材の鋼種別の重量ｙ_kは、以下の（１４）式の制約式で表される。

［コイル長制約］
次に、１つのキャストが１つのチャンスに対応するものとすると、同一の圧延ロールにおいて連続して圧延可能なキャストから製造されるコイルの全長に関し、以下の制約が課せられる。ここで、スラブグループｉに含まれるスラブを圧延した場合のコイルの全長をＣＬ_iとし、同一の圧延ロールにおける圧延距離の最大値をmaxCoLenとする。そうすると、１つのチャンスで圧延されるスラブから製造されるコイルの全長は、同一の圧延ロールにおける圧延距離の最大値以下でなければならないことを表す制約式として、以下の（１５）式の制約式を用いる。尚、以下の（１５）式は、（８）式を用いて、ロット構成製品有無変数ａ_iにより表現してもよい。

［変数関係制約］
次に、変数ｘ_i,k、ｇ_kの関係を規定する制約式として、以下の（１６）式の制約式を用いる。前述したように、変数ｘ_i,kは、スラブグループｉを鋼種ｋとして製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。変数ｇ_kは、当該キャストにおいて鋼種ｋのスラブを製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。

（１６）式は、スラブグループｉを鋼種ｋとして製造する場合には、当該キャストにおいて鋼種ｋのスラブを製造しなければならないことを示す。尚、或るスラブグループｉの鋼種が鋼種ｋでなくても、別のスラブグループｉの鋼種が鋼種ｋである場合がある。従って、（１６）式において、変数ｘ_i,kが「０」の場合でも変数ｇ_kは「１」をとり得る。

［製造順制約］
図５は、製造順制約の一例を説明する図である。図５に示す１つのノード（○で示すもの）は、１つのスラブグループｉに対応する。破線で示すブランチは、当該破線の両端にあるノード（スラブグループｉ）は、連続して製造することが可能なスラブグループｉのうち、キャストとして選択されていないスラブグループｉであることを示す。実線の矢印線で示すブランチは、連続して製造することが可能なスラブグループｉのうち、キャストとして選択されたスラブグループｉであることを示す。これらキャストとして選択されたスラブグループｉについて、矢印線の基端にあるノード（スラブグループｉ）の次に、当該矢印線の先端にあるノード（スラブグループｉ）を製造することを示す。

また、実線の矢印線で示すブランチで結ばれている２つのノード（スラブグループｉ，ｉ'）についての変数ｒ_i,i'は「１」となり、実線の矢印線で示すブランチで結ばれていないノード（スラブグループｉ，ｉ'）についての変数ｒ_i,i'は「０」となる。前述したように変数ｒ_i,i'は、スラブグループｉの次にスラブグループｉ'を製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。

尚、図５では、例えば、鋼種Ａを示す領域５０１の一部と鋼種Ｂを示す領域５０２の一部とが重複し、鋼種Ｂを示す領域５０２の一部と鋼種Ｃを示す領域５０３の一部とが重複する場合を例に挙げて示す。鋼種Ａを示す領域５０１と鋼種Ｂを示す領域５０２との重複範囲に位置するノード（スラブグループｉ）は、鋼種Ａ、Ｂの何れでも製造可能であることを示す。同様に、鋼種Ｂを示す領域５０２と鋼種Ｃを示す領域５０３との重複範囲に位置するノード（スラブグループｉ）は、鋼種Ｂ、Ｃの何れでも製造可能であることを示す。また、図５では、表記の都合上、スラブグループの集合Ｎ_Iを示す領域５０４の中に鋼種Ａ～Ｃのみを示すが、実際には、スラブ情報３００に含まれる全ての鋼種がスラブグループの集合Ｎ_Iを示す領域５０４の中に含まれる。

図５に示すように、スラブグループ作成部１０２で作成されたスラブグループの集合Ｎ_Iとは別に、製造開始を表すダミースラブグループｎ_Sと、製造終了を表すダミースラブグループｎ_Eとを用意する。ダミースラブグループｎ_S、ｎ_Eは、キャストに含まれるスラブグループではなく、仮想的なスラブグループである。ダミースラブグループｎ_Sの次には、スラブグループの集合Ｎ_Iに含まれる何れのスラブグループｉも製造することができるものとする。また、スラブグループの集合Ｎ_Iに含まれる何れのスラブグループｉであっても、当該スラブグループｉの次にダミースラブグループｎ_Eを製造することができるものとする。ダミースラブグループｎ_S、ｎ_Eには、１つのノード（スラブグループｉ）しか接続されない。これに対し、スラブグループの集合Ｎ_Iに含まれるスラブグループｉには、２つのノード（スラブグループｉ）が接続される。

ここで、スラブグループｉの始点集合をＮ_S（＝Ｎ_I＋ｎ_S）とする。始点集合とは、矢印線の基端となり得るノード（スラブグループｉ）の集合、即ち、製造順で連続する２つのスラブグループｉのうち、先に製造されるスラブグループｉとなり得るものの集合である。また、スラブグループｉの終点集合をＮ_E（＝Ｎ_I＋ｎ_E）とする。終点集合とは、矢印線の先端となり得るノード（スラブグループｉ）の集合、即ち、製造順で連続する２つのスラブグループｉのうち、後に製造されるスラブグループｉとなり得るものの集合である。

以上のことを前提として、１つのキャストに含めるスラブグループｉの製造順に関する制約（製造順制約）の一例を説明する。
まず、ダミースラブグループｎ_Sの後に、終点集合に含まれる何れかのスラブグループｉを製造することを示す制約式として、以下の（１７）式の制約式を用いる。

次に、スラブグループｉの集合Ｎ_Iにおいて、スラブグループｉを、製造順で連続する２つのスラブグループのうち先に製造されるスラブグループとして、新たな実現可能ロットａに含めるのであれば、当該スラブグループｉは必ず製造しなければならないことを示す制約式として、以下の（１８）式の制約式を用いる。

次に、スラブグループｉの集合Ｎ_Iにおいて、スラブグループｉ'を、製造順で連続する２つのスラブグループのうち後に製造されるスラブグループとして、新たな実現可能ロットａに含めるのであれば、当該スラブグループｉ'は必ず製造しなければならないことを示す制約式として、以下の（１９）式の制約式を用いる。

次に、始点集合に含まれる何れか１つのスラブグループｉの次にダミースラブグループｎ_Eを製造しなければならないことを示す制約式として、以下の（２０）式の制約式を用いる。

次に、スラブグループｉの次に製造不可能なスラブグループの集合をＮ_i ^Infとする。連続して製造することができない２つのスラブグループｉ、ｉ'を示す制約式として、以下の（２１）式の制約式を用いる。

例えば、前述した（Ａ１）及び（Ｂ１）と同様の判定条件により、スラブグループｉの次に製造不可能なスラブグループの集合Ｎ_i ^Infを定めることができる。即ち、或るスラブグループについて、当該スラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）と、その他のスラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）との差の最大値が１００［ｍｍ］を上回る場合、当該或るスラブグループｉの次に製造不可能なスラブグループの集合Ｎ_i ^Infとして当該その他のスラブグループが含まれる。また、或るスラブグループについて、当該スラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）と、その他のスラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）との差の最大値が２［ｍｍ］を上回る場合、当該或るスラブグループｉの次に製造不可能なスラブグループの集合Ｎ_i ^Infとして当該その他のスラブグループが含まれる。

次に、新たな実現可能ロットａに含める複数のスラブグループｉが１つのキャストを構成するためには、当該複数のスラブグループｉのうち最初に製造するスラブグループｉと最後に製造するスラブグループｉとが定められなければならない。このことは、図５において、矢印線の数は、当該矢印線で結ばれるノード（スラブグループｉ）の数から「１」を減算した値でなければならないことに対応する。即ち、任意のスラブグループｉの部分集合に対して、当該部分集合に含まれる２つのスラブグループｉ、ｉ'に対する変数ｒ_i,i'の総和が、当該部分集合に含まれるスラブグループの総数から「１」を減じた数と等しくなることに対応する。従って、スラブグループの集合Ｎ_Iの任意の部分集合をＮ_I ^Sとすると、以下の（２２）式の制約式が成り立つ。

<<新たな実現可能ロットａに対するコストｃ>>
本実施形態では、新たな実現可能ロットａに対するコストｃを、以下の（２３）式で表す。

（２３）式の右辺第１項は、キャストにおいて製造する各鋼種ｋの余材量の総和に関するコストを表す。ｙ_kは前出の（１４）式にて計算される。余材となるスラブは注文が割り当てられるまでヤードで保管されることから、在庫を削減する観点より、可能な限り余材量を少なくすることが望ましい。（２３）式の右辺第２項は、キャストにおいて製造する鋼種の総数に関するコストを表す。ｇ_kは（１６）式で規定される。キャストにおいて複数の鋼種を製造する際には、タンディッシュにおいて異なる溶鋼の混合部分が生じる。このため、可能な限り鋼種の切り替え回数（異鋼種継目の数）を削減することが望ましい。（２３）式の右辺第３項は、キャストを製造するにあたって必要な製造コストを表す。この項は、集合分割問題ＭＰを解く際に、可能な限りキャストの数を削減することを目的に追加する。ここで、Ｃ^Y、Ｃ^Gは、それぞれ、余材量、鋼種の数に対するコスト係数（重み係数）であり、（４）式で説明したものと同じである。また、製造コストＣ_CASTも、（４）式で説明したものと同じである。ただし、これらのコスト係数及び製造コストＣ_CASTの値は、（４）式に示すものの値と同じであっても異なっていてもよい。

<<目的関数>>
主問題と双対問題の関係（弱双対定理）から、主問題の目的関数の値は、主問題が最小化問題の場合、双対問題ＤＬＰの目的関数の値以上になる。本実施形態では、主問題の目的関数は（２）式であり、双対問題ＤＬＰの目的関数は（５）式である。従って、本来は、新たな実現可能ロットａのコストｃは、当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）以上（ｃ≧Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）になる。また、新たな実現可能ロットａのコストｃと、当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）とが等しい（ｃ＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）ときの主問題及び双対問題ＤＬＰの解はそれぞれ真の最適解となる。従って、もしｃ＜Σ_i∈NIλ_i×ａ_iを満足するような実現可能ロットａが存在するならば、そのような実現可能ロットａは集合分割問題ＭＰ（即ち、行列Ａ_i,j）に追加されなければならない。
従って、列生成子問題ＳＰの目的関数は、以下の（２４）式のように定義される。

列生成部１０７は、CPLEX（登録商標）等の公知のソルバーを用いて０－１整数計画法による最適化計算を行うことにより、（８）式～（２２）式の制約式を満足する範囲で（２４）式の目的関数の値を最小にする部分集合である新たな実現可能ロットａ（部分集合を構成するロット構成製品有無変数ａ_i）を、新たな実現可能ロットａの最適解として導出する。

＜判定部１０８、ステップＳ２０８＞
新たな実現可能ロットａのコストｃが、当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）を下回る（ｃ＜Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）場合には、双対問題ＤＬＰの双対解は、双対問題ＤＬＰの真の最適解となっていない。即ち、この場合には、実現可能ロットｊ（列）が行列Ａ_i,jに十分に追加されていないことになる。よって、新たな実現可能ロットａのコストｃが、当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）を下回る（ｃ＜Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）場合には、当該新たな実現可能ロットａは、原問題である集合分割問題ＭＰの最適解の候補となり、行列Ａ_i,jに追加される必要がある。

そこで、判定部１０８は、列生成部１０７により最適解として求められた新たな実現可能ロットａのコストｃから、当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）を減算した値が「０」を下回るか否かを判定する。即ち、判定部１０８は、以下の（２５）式が成り立つか否かを判定する。尚、以下の説明では、（２５）式の判定式を必要に応じて列追加要件と称する。

この判定の結果、列追加要件を満足する場合には、列生成部１０７により最適解として求められた新たな実現可能ロットａを、行列Ａ_i,jに追加する必要がある。一方、列追加要件を満足しない場合には、新たな実現可能ロットａをこれ以上行列Ａ_i,jに追加しても、当該新たな実現可能ロットａは、原問題である集合分割問題ＭＰの最適解の候補になることはないと見なせる。

＜列追加部１０９、ステップＳ２０９＞
列追加部１０９は、判定部１０８により列追加要件を満足すると判定されると、列生成部１０７により導出された新たな実現可能ロットａを、行列Ａ_i,jに追加する。例えば、列追加部１０９は、現在の行列Ａ_i,jの最後の列の次の列に、列生成部１０７により導出された新たな実現可能ロットａを追加する。これにより、行列Ａ_i,j（即ち、集合分割問題ＭＰにおける部分集合）が更新される。

＜新たな実現可能ロットａを追加した後の繰り返し計算＞
以上のようにして列追加部１０９により新たな実現可能ロットａが行列Ａ_i,jに追加されることにより、行列Ａ_i,jの現在値が更新される。この場合、処理はステップＳ２０５に戻り、集合分割問題構築部１０４は、新たに追加された実現可能ロットａのコストｃ_jを導出する（（４）式を参照）。そして、ステップＳプ２０６において、双対解導出部１０６は、更新後の行列Ａ_i,jを用いて、（６）式の制約式を満足する範囲で（５）式の目的関数の値を最大にする双対変数λ_iを、双対解として導出する。

更に、ステップＳ２０７において、列生成部１０７は、このようにして導出された双対変数λ_iを用いて、（８）式～（２２）式の制約式を満足する範囲で（２４）式の目的関数の値を最小にする新たな実現可能ロットａを導出する。
そして、ステップ２０８において、判定部１０８は、このようにして導出された新たな実現可能ロットａのコストｃから、当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）を減算した値が「０」を下回るか否か（列追加要件を満足するか否か）を判定する。この判定の結果、列追加要件を満足する場合には、ステップＳ２０９において、列生成部１０７により導出された新たな実現可能ロットａを行列Ａ_i,jに追加する。

以上の処理を、判定部１０８により、列追加要件を満足しないと判定されるまで繰り返し行う。尚、以上の説明において、判定部１０８は、列生成部１０７により導出された新たな実現可能ロットａが既に行列Ａ_i,jに含まれている場合にも、列生成要件を満足しないと判定するものとする。

＜最適解導出部１１０、ステップＳ２１０＞
最適解導出部１１０は、判定部１０８により、列追加要件を満足しないと判定されると、前述した集合分割問題ＭＰの求解を行う。具体的に説明すると最適解導出部１１０は、判定部１０８により、列追加要件を満足しないと判定された時点で得られている（最新の）行列Ａ_i,jを用いて、CPLEX（登録商標）等の公知のソルバーを用いて０－１整数計画法による最適化計算を行うことにより、（１）式の制約式を満足する範囲で（２）式の目的関数Ｊの値を最小にする決定変数ｚ_jを導出し、実現可能ロットｊ群の最適解を導出する。

本実施形態では、キャスト編成の対象となるスラブグループｉの全体集合Ｎ_Iから全ての実現可能ロットｊを生成したものを実現可能ロットｊの集合として、集合分割問題ＭＰを解くのではなく、実現可能ロットｊの初期値と、列追加部１０９により追加された新たな実現可能ロットａとを実現可能ロットｊの集合として、集合分割問題ＭＰを解く。前述したように、本実施形態では、実現可能ロットｊの集合（行列Ａ_i,j）が収束し、新たな実現可能ロットａが集合分割問題ＭＰの最適解の候補になることはないと見なせる場合には、列追加部１０９による新たな実現可能ロットａの追加は行われない。従って、計算精度を大きく落とすことなく、実現可能ロットｊの列挙数を少なくすることができる。その結果、主として計算機の主メモリが不足することにより、実現可能ロットｊの列挙ができないことや、列挙出来たとしてもその後の集合分割問題を解くことが出来ないこと等により、キャスト計画を作成することができないという事態が生じることを抑制することができる。

＜出力部１１１、ステップＳ２１１＞
各実現可能ロットｊは、それぞれキャストに対応する。出力部１１１は、最適解導出部１１０により導出された実現可能ロットｊ群の最適解に基づいて、各実現可能ロットｊに含まれるスラブグループｉを構成するスラブの情報をキャスト計画の立案結果として出力する。出力部１１１は、例えば、コンピュータディスプレイへの表示、外部装置への送信、及び、内部又は外部の記憶媒体への記憶の少なくとも何れか１つを行うことにより、それぞれのキャストに含まれるスラブの情報を出力する。例えば、出力部１１１は、図３に示したスラブ情報３００の項目として、キャストを識別する番号であるキャストＮｏ．を追加した情報を、それぞれのキャストに含まれるスラブの情報として出力することができる。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、キャスト編成装置１００は、集合分割問題ＭＰを線形緩和した線形緩和問題ＬＰを主問題とした場合の双対問題ＤＬＰの最適解である双対解（双対変数λ_iの最適解）を導出する。そして、キャスト編成装置１００は、当該双対解を用いて、列生成子問題ＳＰの最適解を導出する。即ち、キャスト編成装置１００は、新たな実現可能ロットａがロット（＝キャスト）として成立するための制約条件を満たす範囲で、新たな実現可能ロットａのコストｃから当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）を減算した値が最小になるときの新たな実現可能ロットａを、新たな実現可能ロットａの最適解として導出する。そして、キャスト編成装置１００は、当該新たな実現可能ロットａのコストｃから当該新たな実現可能ロットａに対する双対コスト（＝Σ_i∈NIλ_i×ａ_i）を減算した値が「０」以下である（即ち、列追加要件を満足する）場合に、当該新たな実現可能ロットａを、集合分割問題ＭＰにおける部分集合を示す行列Ａ_i,jに追加する。キャスト編成装置１００は、かかる新たな実現可能ロットａの追加を、列追加要件を満足しなくなるまで繰り返し行う。キャスト編成装置１００は、このようにして得られた行列Ａ_i,jを用いて集合分割問題ＭＰを解いて決定変数ｚ_jを導出し、それぞれの実現可能ロットｊに含まれるスラブグループｉの最適解を導出する。

従って、キャスト編成問題に列生成法を適用することができるようになり、可及的に過不足なく実現可能ロットの候補を列挙することができる（即ち、全ての実現可能ロットを列挙する必要がなくなる）。従って、キャスト計画を、立案結果の精度を大きく落とすことなく短時間で立案することができる。また、コイル長制約（１つのチャンスで圧延されるコイルの全長が、同一の圧延ロールにおける圧延距離の最大値以下になるという制約）を課すことにより、キャストによって生成されるスラブ群がチャンスに対応するように、連続鋳造工程及び熱間圧延工程における制約条件を考慮したキャストを編成することができる。

（変形例）
＜変形例１＞
本実施形態では、ステップＳ２０９において、列追加部１０９は、列生成子問題ＳＰの最適解のみを行列Ａ_i,jに追加する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、ステップＳ２０７において、列生成部１０７は、列生成子問題ＳＰの計算過程において得られた全ての実行可能解を記憶しておき、ステップＳ２０８において判定部１０８が前記記憶した各実行可能解に対して列追加要件を判定して、ステップＳ２０９において、列追加部１０９は、列追加要件を満足する全ての実行可能解を行列Ａ_i,jに追加してもよい。また、例えば、ステップＳ２０７において、列生成部１０７は、列生成子問題ＳＰの計算過程において得られた全ての実行可能解を記憶しておき、ステップＳ２０８において判定部１０８が前記記憶した各実行可能解に対して列追加要件を判定して、ステップＳ２０９において、列追加部１０９は、列追加要件を満足する全ての実行可能解の中からランダムに選択した複数の実行可能解、又は、所定の条件に従って選択した複数の実行可能解を行列Ａ_i,jに追加してもよい。

＜変形例２＞
本実施形態では、複数の鋼種のスラブに対するキャスト計画を作成する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、単一鋼種のスラブに対するキャスト計画を作成してもよい。このようにする場合、鋼種ｋを１種類とすればよい（即ち、列生成部１０７（ステップＳ２０７）の説明において、鋼種の集合Ｎ_KをＮ_K＝｛１｝とすればよい）。

＜変形例３＞
本実施形態では、スラブ情報３００に含まれるスラブをスラブグループｉに集約する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしも、このようにする必要はない。例えば、スラブ情報３００に含まれるスラブの数が少ない場合には、スラブグループｉを作成せずに、実現可能ロットを構成するスラブを直接求めるようにしてもよい。このようにする場合、変数ｉは、スラブグループではなく、個々のスラブを示す変数になる。

＜変形例４＞
本実施形態では、キャスト計画を作成する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、本実施形態で説明した手法は、キャスト計画以外の、ロットに複数の製品を纏めてロットの単位で生産される複数の製品の生産計画に適用することができる。
例えば、本実施形態で説明した手法を厚板生産計画（板取り問題）に適用してもよい。スラブを目標の板厚に圧延した後、圧延後のスラブを注文に応じて剪断し厚板を得る。よって、どのスラブからどの厚板を切り出すのかを決める必要がある。かかる内容を厚板生産計画として作成する。この場合、「厚板」が「製品」に対応し、「スラブ」が「ロット」に対応し、「剪断（切り出し）」が「製造」に対応し、剪断の次工程である「精整工程」が「選択の自由度がある製造条件」に対応し、切り出したスラブの「余剰部分」が「余材量」に対応する。また、本実施形態で説明した手法を熱延計画（チャンス編成問題）に適用してもよい。連続して熱間圧延する複数のスラブを決定する必要がある。この複数のスラブの単位をチャンスと呼ぶ。この場合、「熱延板（コイル）」が「製品」に対応し、「チャンス」が「ロット」に対応し、「圧延」が「製造」に対応する。
また、本実施形態で説明した手法の適用対象は、ロットの単位で纏めて複数の製品を生産するための計画に限定されず、ロットの単位で纏めて複数の製品を処理するための計画であってもよい。

（計算例）
次に、キャスト計画の計算例を説明する。
本実施形態の手法の有用性を検出するためにスラブ数を変更した複数のケースに対するキャスト計画を作成する数値実験を実施した。図６は、その結果を示す図である。図６では、各スラブ数に対するキャスト計画を作成するまでの計算時間（分）を比較例、発明例１、発明例２のそれぞれについて示す。図６において、「－」は、計算時間が１時間以上であることを示す。

比較例は、＜スラブグループ作成部１０２、ステップＳ２０２＞の項で説明したようにしてスラブ情報に含まれるスラブをスラブグループに集約して、スラブグループに対する実現可能ロットｊを全て列挙し、列挙した全ての実現可能ロットｊを部分集合とする集合分割問題により、実現可能ロットの最適解を導出する手法である。
発明例１は、本実施形態の手法である。発明例２は、＜変形例１＞の項で説明した手法のうち、本実施形態の手法に対し、ステップＳ２０９において、列追加部１０９が、列生成子問題ＳＰの列追加要件を満足する全ての実行可能解を行列Ａ_i,jに追加する手法である。
以上のこと以外は、発明例１、発明例２、及び比較例で異なるところはない。

発明例１、発明例２、及び比較例の何れの例においても、（求解することができた場合には）本実施形態で説明した全ての制約条件を満足する実行可能なキャスト計画が作成された。
しかしながら、比較例では、スラブグループｉの数によって列挙すべき実現可能ロットｊが指数関数的に増加する。このため、スラブ数が「１５０」である場合、計算時間が９．３８分となる。また、スラブ数が「２００」以上では１時間以上かかっても計算は終了しない。一方、発明例１では、スラブ数が「３５０」である場合でも、計算時間は２．７６分であり、実用規模の問題に対しても許容可能な計算時間になる。また、発明例２では、発明例１より更に高速に計算が終了するためより大規模な問題に対する適用が期待できる。

［第２の実施形態］
次に、第２の実施形態を説明する。
第１の実施形態では、実現可能ロットｊに対するコストｃ_jと、列追加部１０９により追加された新たな実現可能ロットａに対するコストｃとを、それぞれ（４）式、（２３）式で表す場合を例に挙げて説明した。即ち、実現可能ロットに対するコスト（目的関数）は、各評価指標（設計変数）のコストの和で表され、各評価指標のコストは、当該評価指標の値と、当該評価指標に対するコスト係数（重み係数）との積の和で表される。（４）式に示す例では、Ｃ^Y、Ｃ^Gは、それぞれ、（評価指標の値である）余材量Ｗ_j ^Y、鋼種の数Ｎ_j ^Gに対するコスト係数である。また、（２３）式に示す例では、Ｃ^Y、Ｃ^Gは、それぞれ、全鋼種についての余材量の和Σｙ_k、鋼種の総数Σｇ_k（ｇ_kは、或るキャストにおいて鋼種ｋのスラブを製造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である）に対するコスト係数である。また、Ｃ_CASTは、実現可能ロットｊの数に対するコスト係数になる。

第１の実施形態で説明したように、コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gは、それぞれの評価指標をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価指標間の評価のバランスを表す。コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gにより、評価指標間の評価のバランスをとることができる。例えば、最小化問題では、重要度の高い評価指標に対するコスト係数を大きくすれば、当該評価指標の値が、他の評価指標よりも優先して高い評価を示す値（小さい値）になる。

第１の実施形態では、コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gは、予め定められた一定値であるものとする。しかしながら、同一の評価指標であっても、製造条件に応じて重要度（重み）に差をつけないと、キャスト計画を、立案者が行うキャスト編成に近づけることができない虞がある。
例えば、余材量については、注文を受ける頻度が多い鋼種ならば、余材として注文に紐付かないスラブを製造したとしても、新たに受注した当該鋼種の注文に早期に紐付けすることが期待できる。このため、立案者は、余材が注文に紐付けられる可能性が高いか否かを鋼種毎に考慮しながらキャストを編成する。したがって、例えば、余材量を評価指標として用いる場合、鋼種毎に余材量に対するコスト係数を決定することが望まれる。

また、異鋼種連々鋳については、立案者は、異鋼種連々数だけを評価するのではなく、連続して鋳造される異なる２つの鋼種の組み合わせとして、操業上及び品質上において問題のない組み合わせを優先して選ぶ。したがって、例えば、異鋼種連々数を評価指標として用いる場合、連続して鋳造される異なる２つの鋼種の組み合わせ毎に異鋼種連々数に対するコスト係数を決定することが望まれる。尚、異鋼種連々数は、第１の実施形態の「・鋼種数」の項で説明した異鋼種継目の数である。

そこで、鋼種に応じて（１つの）評価指標を分類し、分類した評価指標のそれぞれによる評価を実現しようとすると、分類したそれぞれの評価指標に対してコスト係数を定めなければならない。例えば、余材量に対するコスト係数を、鋼種毎に設定したり、異鋼種連々数に対するコスト係数を、連続して鋳造される異なる２つの鋼種の組み合わせに応じて決定したりしなければならない。製鋼工場における鋼種には、一般に１００以上の種類がある。このため、鋼種別にコスト係数を立案者が設定するには多大な手間を要する。仮に或る時点においてコスト係数を鋼種毎に設定したとしても多数のコスト係数をその都度の操業条件に対応するようにメンテナンスし続けるため、多大な時間を必要とする。

そこで、本実施形態では、評価指標による評価を鋼種に応じて異なせるようにするためのコスト係数の決定を、多大な労力を立案者に課すことなくキャスト編成装置により行うことができるようにする。このように本実施形態は、実現可能ロットに対するコストを導出する方法が、第１の実施形態と異なる。従って、本実施形態の説明において、第１の実施形態と同一の部分については、図１～図６に付した符号と同一の符号を付す等して詳細な説明を省略する。

ここで、本実施形態では、複数の評価指標のうち異鋼種連々数を鋼種に応じて分類し、分類した異鋼種連々数に対するコスト係数をそれぞれ導出する場合を例に挙げて説明する。異鋼種連々数以外の評価指標に対するコスト係数ついては、第１の実施形態と同様に予め定められた一定値とする。

そこで、本実施形態では、（４）式に代えて、以下の（２６）式を用いる。

（２６）式において、Ｃ_CASTは、製造コストであり、Ｃ^Yは、余材量に対するコスト係数であり、Ｃ^Gは、鋼種の数に対するコスト係数であり、（４）式に示したものと同じである。（２６）式において、Ｗ_j ^Yは、余材量であり、（４）式に示したものと同じである。尚、コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gは、他の評価指標との間の評価のバランスを表すものであり、同一の評価指標における鋼種間の評価のバランスを表すものではない。したがって、コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gは、余材量、異鋼種連々数、及び実現可能ロットｊの数の相対的な重要度により決定することができるので、これらについては、立案者が容易に設定することができる。

Ｃ^G _k,k´は、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する（異鋼種連々鋳をする）場合のコスト係数であり、以下の（２７）式で表される。ｎ_k,k´は、実現可能ロットｊにおける異鋼種連々数である。

図７を参照しながら、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合（異鋼種連々鋳をする場合）のコスト係数Ｃ^G _k,k´について説明する。図７は、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´の一例を説明する図である。以下の説明では、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、必要に応じてコスト係数Ｃ^G _k,k´と略称する。
相互に異なる２つの鋼種の溶鋼を連続して鋳造すると、それら２つの鋼種の溶鋼がタンディッシュ内で混合する。この混合する部分がスラブとなった場合に、当該スラブが価値ある製品になる場合と、製品にはなり得ない無価値な製品になる場合とがある。以下の説明では、この価値ある製品を必要に応じて製品鋼材と称し、無価値な製品を必要に応じて非製品鋼材と称する。

一般に立案者は、非製品鋼材よりも製品鋼材を製造する方がよいと考える。すなわち、立案者は、異鋼種連々鋳を行う場合には、相互に異なる２つの鋼種の組み合わせが、製品鋼材となるようにするのが好ましいと考える。第１の実施形態で説明した原問題及び列生成子問題では、（２）式、（２４）式に示すように、目的関数の値を最小化するときの決定変数ｚ_j、ａ_iを導出する。したがって、非製品鋼材になる鋼種の組よりも、製品鋼材になる鋼種の組が多く含まれる実現可能ロットｊが選ばれ易くなるようにするためには、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´に対する重み係数が、非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を下回るようにすればよい。尚、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´と、非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´は、既知であり、キャスト編成装置に予め設定されるものである。

そこで、コスト係数Ｃ^G _k,k´の最小値を定めるコスト係数として、製品鋼材に対するコスト係数をＣ_G1とし、コスト係数Ｃ^G _k,k´の最大値を定めるコスト係数として、非製品鋼材に対するコスト係数をＣ_G2（Ｃ_G1＜Ｃ_G2）とする。
図７において、グラフ７０１は、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2を表す。また、ＮＰ_k,k´は、過去の一定期間（例えば一年間）において、鋼種ｋの溶鋼の後に続けて鋼種ｋ´の溶鋼を連続鋳造した実績回数である。図７に示すように、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2は一定値になる。以下の説明では、過去の一定期間において、鋼種ｋの溶鋼の後に続けて鋼種ｋ´の溶鋼を連続鋳造した実績回数ＮＰ_k,k´を、必要に応じて、実績回数ＮＰ_k,k´と略称する。

一方、相互に異なる２つの鋼種の組であって、製品鋼材になる組については、操業上及び品質上の観点から、発生頻度が高い組とそうでない組とがある。一般に立案者は、相互に異なる２つの鋼種の組であって、製品鋼材になる組については、発生頻度が高い組が多くなるようにするのが好ましいと考える。そこで、図７のグラフ７０２ａ、７０２ｂに示すように、実績回数ＮＰ_k,k´が「０」であるときに最大値をとり、且つ、実績回数ＮＰ_k,k´が多くなるほど小さな値をとり、且つ、最小値が製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G1となるように、コスト係数Ｃ^G _k,k´を表す。

前述したように非製品鋼材になる鋼種の組よりも、製品鋼材になる鋼種の組が多く含まれる実現可能ロットｊが選ばれ易くなるようにする必要がある。したがって、実績回数ＮＰ_k,k´が「０」であるときに、コスト係数Ｃ^G _k,k´が、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2を下回るようにする。このため、（２７）式において、定数Ｌとして「１」を上回る値（Ｌ＞１）とする。このようにすれば、どのような鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせであっても、コスト係数Ｃ^G _k,k´が、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2を下回るようにすることができる。尚、グラフ７０２ａは、相対的に定数Ｌが小さい場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を示し、グラフ７０２ｂは、相対的に定数Ｌが大きい場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を示す。また、定数Ｌを「１」（Ｌ＝１）とすると、実績回数ＮＰ_k,k´が「０」であるときに、コスト係数Ｃ^G _k,k´は、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2と等しくなる（Ｃ^G _k,k´＝Ｃ_G2）。

以上のようにコスト係数Ｃ^G _k,k´が、実績回数ＮＰ_k,k´が多くなるほど小さな値をとることにより、製品鋼材になる鋼種の組のうち、実績回数ＮＰ_k,k´が多い鋼種の組が多く含まれる実現可能ロットｊが選ばれ易くなる。したがって、立案者が行うキャスト編成に近づけることができる。

コスト係数Ｃ_G1、Ｃ_G2は、それぞれ、コスト係数Ｃ^G _k,k´の最小値、最大値を定めるものであり、予め設定される。定数Ｌは、実績回数ＮＰ_k,k´が「０」であるときのコスト係数Ｃ^G _k,k´の値を調整するためのものであり、予め設定される。

キャスト編成装置１００は、過去の一定期間（例えば一年間）において鋼種ｋの溶鋼の後に続けて鋼種ｋ´の溶鋼を連続鋳造した実績回数ＮＰ_k,k´を特定することができる製造実績データを、連続鋳造機で製造した全ての鋼種ｋについて予め取得して記憶する。また、キャスト編成装置１００は、製品鋼材となる鋼種の組み合わせと非製品鋼材となる鋼種の組み合わせとを予め取得して記憶する。キャスト編成装置１００は、例えば、キャスト編成装置１００に対するオペレータによる操作、外部装置から送信されたスラブ情報の受信、又は可搬型記憶媒体に記憶されたスラブ情報の読み出しを行うことにより、これらの情報（実績回数ＮＰ_k,k´を特定することができる製造実績データ）を取得することができる。例えば、キャスト編成装置１００は、鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせについての実績回数ＮＰ_k,k´を、かかる製造実績データから得ることができる。

（２６）式の計算の際には、まず、集合分割問題構築部１０４は、行列Ａ_i,jの現在値から、実現可能ロットｊを特定する。そして、集合分割問題構築部１０４は、（３）式により、実現可能ロットｊに対する余材量Ｗ_j ^Yを導出し、（２６）式に与える。余材量に対するコスト係数Ｃ^Y、鋼種の数に対するコスト係数Ｃ^G、及び製造コストＣ_CASTは、予め定められているので、集合分割問題構築部１０４は、これらを（２６）式に与える。

また、コスト係数Ｃ_G1、Ｃ_G2と、定数Ｌは、予め定められているので、集合分割問題構築部１０４は、これらを（２７）式に与える。また、集合分割問題構築部１０４は、製造実績データから実績回数ＮＰ_k,k´を導出して（２７）式に与える。これにより、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´が導出される。一方、集合分割問題構築部１０４は、非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´については、実績回数ＮＰ_k,k´に関わらず、非製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G2とする。また、集合分割問題構築部１０４は、実現可能ロットｊに含まれるスラブグループの鋼種に基づいて、鋼種ｋ、ｋ´の組の数を異鋼種連々数ｎ_k,kとして導出する。

集合分割問題構築部１０４は、以上のようにして導出したコスト係数Ｃ^G _k,k´と、異鋼種連々数ｎ_k,kとを、（２６）式に与える。以上のようにして、各実現可能ロットｊのコストｃ_jが導出される。
尚、第１の実施形態では、行列Ａ_i,jの初期値は、ｉ＝ｊとなる要素_jにだけ「１」を持ち、それ以外の要素は「０」となる行列である。従って、異鋼種連々数ｎ_k,kは「０」になる。

以上のように本実施形態では、（４）式に代えて（２６）式を用いることにより、各実現可能ロットｊのコストｃ_jを導出する。
また、本実施形態では、（２３）式に代えて、以下の（２８）式～（３０）式を用いる。

（２８）式において、Ｃ_CASTは、製造コストであり、Ｃ^Yは、余材量に対するコスト係数であり、Ｃ^Gは、鋼種の数に対するコスト係数であり、それぞれ、（２３）式に示したものと同じである。尚、前述したようにコスト係数Ｃ^Y、Ｃ^Gは、他の評価指標との間の評価のバランスを表すものであり、同一の評価指標における鋼種間の評価のバランスを表すものではない。また、（２８）式において、ｙ_kは、余材の鋼種別の重量であり、（２３）式に示したものと同じである。

（２８）式において、ｇは、異鋼種連々数に対する評価値であり、（２９）式で表される。（２９）式において、ｃｒ_i,i´は、スラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合（異鋼種連々鋳をする場合）の評価値（コスト）である（尚、スラブグループｉ、ｉ´は異なるスラブグループである）。

（３０）式において、Ｃ^G _k,k´は、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´であり、（２６）式に示したものと同じであり、図７を参照しながら説明したようにして定められる（（２６）式に与えるときと同じようにして（３０）式に与えられる）。ｒ_i,i´は、スラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。Ｍは、十分に大きな正の値であり、予め定められている。ｘ_i,kは、スラブグループｉを鋼種ｋとして鋳造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数であり、ｘ_i´,k´は、スラブグループｉ´を鋼種ｋ´として鋳造する場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数である。

（３０）式は、スラブグループｉを鋼種ｋとして鋳造し、且つ、スラブグループｉ´を鋼種ｋ´として鋳造し、且つ、スラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合には、スラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合の評価値ｃｒ_i,i´は、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´以上でなければならないことを表す。

図７を参照しながら説明したように、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は、製品鋼材になる鋼種の組が多く含まれる実現可能ロットｊが選ばれ易くなり、且つ、実績回数ＮＰ_k,k´が多い鋼種ｋ、ｋ´が選ばれ易くなるように定められる。新たな実現可能ロットａに対するコストｃは小さいほど好ましいので、（３０）式の制約式を設けることにより、スラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合の評価値ｃｒ_i,i´が、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´に近い値になるように、（２９）式で定められる異鋼種連々数に対する評価値ｇが制約される。従って、製品鋼材になる鋼種の組のうち、実績回数ＮＰ_k,k´が多い鋼種の組が多く含まれる実現可能ロットｊが選ばれ易くなる。

列生成部１０７は、（８）式～（２２）式と（３０）式の制約式を満足する範囲で、（２４）式の目的関数の値を最小にする部分集合である新たな実現可能ロットａを、新たな実現可能ロットａの最適解として導出する。このとき、（２４）式の新たな実現可能ロットａのコストｃは、（２８）式及び（２９）式に示すように定められるものを用いる。尚、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は、（２６）式の計算を行うときと同じ方法で得られる。また、Ｍは、予め定められている。（スラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合の評価値ｃｒ_i,i´（異鋼種連々数に対する評価値ｇ）、０－１変数ｒ_i,i´、ｘ_i,kは、最適解を導出する過程で決定される従属変数である。

（２６）式を解く際には、実現可能ロットｊが定まっている。これに対し、（２８）式を解く際には、新たな実現可能ロットａを導出するため、実現可能ロットは定まらない。実現可能ロットが定まらないと、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を定めることはできない。したがって、ここでは、（２６）式のように、コスト係数Ｃ^G _k,k´を、評価指標の値（実現可能ロットｊにおける異鋼種連々数ｎ_k,k´）に乗算するものとすることはできない。よって、異鋼種となるスラブグループｉ、ｉ´を連続して鋳造する場合の評価値ｃｒ_i,i´を、コスト係数Ｃ^G _k,k´に近づけるような制約式を設けることで、評価指標の値が、立案者がキャスト編成を行う際に選択する実現可能ロットに近い実現可能ロットを選択し易い値になるようにすることができる。

尚、コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^G、Ｃ^G _k,k´は、それぞれの評価指標をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価指標間の評価のバランスを表すものである。コスト係数Ｃ^Y、Ｃ^G、Ｃ^G _k,k´のうちの１つ又は複数の値が「１」となることがある。

（計算例）
次に、計算例を説明する。
本計算例では、キャスト候補ｊに含まれる鋼種が、鋼種Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの何れかであるものとしてキャスト計画を作成した。
図８は、本計算例で使用した実績回数ＮＰ_k,k´を表形式で示す図である。図８において、行要素に示す鋼種は前鋼種ｋであり、列要素に示す鋼種は後鋼種ｋ´である。後鋼種ｋ´は、前鋼種ｋに対して製品鋼材となる鋼種であって、前鋼種ｋと異なる鋼種ｋ´である（前鋼種ｋの溶鋼に続けて後鋼種ｋの溶鋼が鋳造された場合に、当該溶鋼の混合する部分のスラブが製品鋼材となる）。また、前鋼種ｋと後鋼種ｋ´とが同じ場合には、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は「０」になるものとする。このような場合の実績回数ＮＰ_k,k´は不要となるので、図８では、該当する要素を「－」と示す。

本計算例では、製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G1を「１０」とし、非製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G2を「１００」とした。また、定数Ｌを「１．０」とした。そうすると、（２７）式より、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は、図９（ａ）に示すようになる。尚、前述したように、前鋼種ｋと後鋼種ｋ´とが同じ場合には、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は「０」になる。

一方、図９（ｂ）は、（２７）式のようにせず、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´か否かによって２つの値をもつようにした鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を示す。すなわち、図９（ｂ）では、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´については、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、一律に製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G1（＝１０）とし、非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´については、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、一律に非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2（＝１００）とした場合の、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を示す。

図１０は、キャスト編成装置１００で導出されたキャスト候補ｊにおける異鋼種連々数を鋼種の組み合わせ別に表形式で示す図である。図１０中に示す「１」は、異鋼種連連々数が「１」であることを示している（例えば、図１０（ａ）では、鋼種Ｃの次に鋼種Ｅを連続鋳造する回数が「１」であることと、鋼種Ｅの次に鋼種Ａを連続鋳造する回数が「１」であることとを示している）。図１０（ａ）は発明例を示し、図１０（ｂ）は比較例を示す。発明例では、図９（ａ）に示すように、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、（２７）式により導出し、異鋼種連々数に対する評価値ｇを導出し、最終的に得られた実現可能ロット群の最適解から異鋼種連々数を導出した。一方、比較例では、図９（ｂ）に示すように、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2を「１００」とし、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を全て製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G1を「１０」として、異鋼種連々数に対する評価値ｇを導出し、最終的に得られた実現可能ロット群の最適解から異鋼種連々数を導出した。

図１０（ａ）に示すように、本実施形態のように、製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G1以上、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2以下の範囲で、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を実績回数ＮＰ_k,k´が多いほど小さい値にして異鋼種連々を詳細に評価することにより、異鋼種連々数の総数が減り、且つ、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´が小さくなる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせが選択される。すなわち、実績回数ＮＰ_k,k´が多い鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせが選択されるため、キャスト編成装置１００で導出されたキャスト計画を、立案者の意図するキャスト計画に近づけることができる。これに対し、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を一定値にすると、図１０（ｂ）に示すように、異鋼種連々数の総数が増えてしまう。このため、立案者の意図するキャスト計画が得られない。図１０（ａ）に示す発明例では、異鋼種連々数に対する評価値ｇは、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´の積算値と等しくなったことから（すなわち、（３０）式の右辺と等しくなるように左辺が定まったことから）、「１１０．５（＝１００＋１０．５）」になる。一方、図１０（ｂ）に示す比較例における異鋼種連々数に対する評価値ｇは「２１０（＝１００＋１００＋１０）」になる。従って、比較例に比べ発明例では、異鋼種連々数に対する評価値ｇが大幅に改善することが分かる。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G1以上、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2以下の範囲で、実績回数ＮＰ_k,k´が多いほど小さい値とする。非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は、非製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G2で一定値とする。従って、最適な実現可能ロットｊに含まれる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせとして、非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせよりも、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせが含まれやすくなる。また、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせについては、実績回数ＮＰ_k,k´が多い鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせが最適なキャスト候補ｊに含まれる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせに含まれやすくなる。このようにするためのコスト係数Ｃ_Gk,k´を立案者が手作業で設定することは現実的ではない。以上のように本実施形態では、第１の実施形態で説明した効果に加えて、キャスト編成装置１００で導出されたキャスト計画を、立案者の意図するキャスト計画に近づけることを、多大な労力をかけずに実現することができるという効果を奏する。

（変形例）
＜変形例５＞
本実施形態では、製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´と非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせがある場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、製品鋼材を更に高品質の製品鋼材と低品質の製品鋼材とに分類してもよい。このようにする場合、鋼種ｋ、ｋ´を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´は、例えば、以下の（３１）式、（３２）式で表される。

ここで、Ｃ_G3は、低品質の製品鋼材に対するコスト係数であり、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2未満の値（Ｃ_G3＜Ｃ_G2）である。Ｃ_G4は、高品質の製品鋼材に対するコスト係数であり、低品質の製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G3未満の値（Ｃ_G4＜Ｃ_G3）である。低品質の製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G3と、高品質の製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G4は、予め設定される。定数Ｌ１、Ｌ２は、それぞれ、「１」を上回る値（Ｌ１、Ｌ２＞１）であり、予め設定される。定数Ｌ１、Ｌ２は、それぞれ、実績回数ＮＰ_k,k´が０（ゼロ）であるときの、低品質の製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^GL _k,k´、高品質の製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^GH _k,k´を調整するためのものである。このように、低品質の製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´に対しては、（３１）式（低品質の製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^GL _k,k´）を、（２６）式、（３０）式に与え、高品質の製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´に対しては、（３２）式（高品質の製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^GH _k,k´）を、（２６）式、（３０）式に与える。非製品鋼材となる鋼種ｋ、ｋ´を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^GL _k,k´については、本実施形態で説明したように、非製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G2を、（２６）式、（３０）式に与える。

＜変形例６＞
本実施形態では、鋼種ｋを用いて表される分類条件に従って分類する評価指標が鋼種の数（異鋼種連々数）である場合を例に挙げて説明した。しかしながら、鋼種ｋを用いて表される分類条件に従って分類する評価指標は鋼種の数（異鋼種連々数）に限定されない。
例えば、余材の鋼種別の重量ｙ_kのそれぞれに対するコスト係数を導出してもよい。このようにする場合、コスト係数は鋼種ｋ毎に導出される。鋼種ｋ毎のコスト係数は、例えば、予め設定された最大値と最小値との範囲内で、余材量が多いほど値が小さくなる関数で表される。キャスト編成装置１００は、過去の一定期間（例えば一年間）における余材量（の実績）の鋼種ｋ毎の合計を取得し、当該取得した鋼種ｋの余材量の合計に対応するコスト係数を、前述した関数を使って、当該鋼種ｋの余材量に対するコスト係数として導出する。立案者は、過去に余材量が多くなった鋼種ｋについてはキャストに含めてもよいと判断する。従って、以上のようにすれば、キャスト編成装置１００で導出されたキャスト計画を、立案者の意図するキャスト計画に近づけることができる。尚、このようにする場合、例えば、（４）式の右辺第２項の「Ｃ^Y×Ｗ_j ^Y」、（２３）式の右辺第１項の「「Ｃ^Y×Σ_k∈Nkｙ_k」を、それぞれ「Ｃ^Y×Σ_k∈Nk（Ｃ^Y _k×Ｗ_j ^Y）」「Ｃ^Y×Σ_k∈Nk（Ｃ^Y _k×ｙ_k）」とすればよい。ここで、Ｃ^Y _kは、前述したようにして導出される鋼種ｋの余材量に対するコスト係数である。
また、２つ以上の評価指標を分類してもよい（例えば、（２６）式の右辺第２項、（２８）式の右辺第１項を本変形例で説明したように変形してもよい）。

＜変形例７＞
本実施形態では、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G1以上、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2以下の範囲で、実績回数ＮＰ_k,k´が多いほど小さい値にする場合を例に挙げて説明した。しかしながら、或る製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される評価指標に対するコスト係数は、当該分類条件に従って分類された製造実績データから導出される製造実績値に応じて変化していれば、必ずしも実績回数ＮＰ_k,k´に応じて変化するものでなくてもよく、例えば、余材量（の実績）、製造コスト（の実績）、納期差（の実績）に応じて変化してもよい。ここで、納期差とは、例えば、スラブの熱延希望日の平均値と最早日との差である。

この他、例えば、評価指標に対するコスト係数は、前述した製造実績値の一例である製品の品質を示す値に応じて変化するものでもよい。このようにする場合、例えば、製造したスラブについて製造条件（例えば鋼種）毎に疵個数を集計して、評価指標に対するコスト係数が、予め設定された最大値と最小値との範囲内で、疵個数が少ないほど小さくなるようにしてもよい。評価指標の値が異鋼種連々数である場合を例に挙げて説明すると、鋼種ｋの溶鋼の後に続けて鋼種ｋ´の溶鋼を連続して鋳造（異鋼種連々鋳）することにより製造されたスラブの疵個数をＮＤ_k、_k´とすると、異鋼種連々数ｇに対する重み係数Ｃ_Gは、例えば、以下の（３３）式で表される。

（３３）式において、Ｃ_NDは、スラブの疵個数ＮＤ_j、_j´に対するコスト係数であり、予め設定される。スラブの疵個数ＮＤ_j、_j´に対するコスト係数Ｃ_NDは、スラブの疵個数ＮＤ_j、_j´をどのくらい重要視して評価するかに応じて定められる。
（３３）式に示す例では、スラブの疵個数が少ない鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせであるほど、（３３）式の小括弧内の値は小さくなるため、本実施形態のような最小化問題では、このような鋼種ｋ、ｋ´の組み合わせが、最適な実現可能ロットに含まれやすくなる。

＜変形例８＞
本実施形態では、（２）式及び（２４）式で最小化問題を解く場合を例に挙げて説明したが、最大化問題としてもよい。このようにする場合には、例えば、（２）式、（４）式の右辺全体に（－１）を掛けたものを目的関数として用いる。また、（５）式では最大化問題となる。また、製品鋼材に対するコスト係数を（Ｃ_G1ではなく）Ｃ_G5とし、製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G5を、非製品鋼材に対するコスト係数Ｃ_G2を上回る値（Ｃ_G5＞Ｃ_G2）とする。そして、鋼種ｋ、ｋ´の溶鋼を連続して鋳造する場合のコスト係数Ｃ^G _k,k´を、非製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G2を上回り、製品鋼材に対する重み係数Ｃ_G5以下の範囲で、実績回数ＮＰ_k,k´が多いほど大きい値とする。

＜その他の変形例＞
以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ－ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、又はその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１００：キャスト編成装置、１０１：スラブ情報取得部、１０２：スラブグループ作成部、１０３：初期列集合設定部、１０４：集合分割問題構築部、１０５：線形緩和問題構成部、１０６：双対解導出部、１０７：列生成部、１０８：判定部、１０９：列追加部、１１０：最適解導出部、１１１：出力部

Claims (18)

1. 複数の製品を、所定のロット成立制約を満たすようにロットの単位で纏めて、生産又は処理するための計画を作成する問題を集合分割問題とし、該集合分割問題を、列生成法を用いて解くことにより計画を作成する計画作成装置であって、
   前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得手段と、
   前記製品を、前記ロット成立制約を満たす様に纏めたロットである複数の実現可能ロットのそれぞれについて、該実現可能ロットを解として採用するか否か決定する２値変数を決定変数として、該実現可能ロットに対する前記製品のロット纏めについての評価指標に基づき、前記複数の製品を重複することなく且つ漏れなく含む前記実現可能ロットの最適な組み合わせを求める集合分割問題を原問題とし、
   前記原問題の最適解を構成する実現可能ロットの候補である候補ロットを生成する列生成子問題の最適解を導出する列生成手段と、
   前記列生成手段により導出された候補ロットに列追加要件を満足する候補ロットが含まれる場合には、前記列生成手段により生成された前記候補ロットを前記実現可能ロットの集合に追加する列追加手段と、
   前記列追加手段により追加された候補ロットを含む前記実現可能ロットの集合に基づいて、前記原問題の最適解として、前記実現可能ロットの組み合わせを導出する最適解導出手段と、を有し、
   前記原問題及び前記列生成子問題では、目的関数の値が前記実現可能ロットのコストを用いて導出され、
   前記実現可能ロットのコストは、前記評価指標の値と、該評価指標に対するコスト係数とを用いて導出され、
   前記評価指標に対するコスト係数は、前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される該評価指標のそれぞれに対するコスト係数を含み、
   前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数は、該分類条件に従って分類される製造実績データから導出される製造実績値に応じて変化する
   ことを特徴とする計画作成装置。
2. 前記原問題の線形緩和問題を主問題とした場合の双対問題の最適解である双対解を導出する双対解導出手段と、
   前記列生成手段により導出された前記候補ロットが、列追加要件を満足するか否かを判定する判定手段と、を更に有し、
   前記列追加手段は、前記判定手段により、前記列生成手段により導出された前記候補ロットが、前記列追加要件を満足すると判定されると、前記列生成手段により生成された前記候補ロットを前記実現可能ロットの集合に追加し、
   前記最適解導出手段は、前記判定手段により、前記列生成手段により導出された前記候補ロットが、前記列追加要件を満足しないと判定されると、その時点で得られている前記実現可能ロットの集合に基づいて、前記原問題の最適解として、前記実現可能ロットの組み合わせを導出し、
   前記判定手段は、前記双対解導出手段による前記双対解の導出と、前記列生成手段による前記列生成子問題の最適解の導出と、前記判定手段による前記判定とを繰り返す収束計算を、前記列追加要件を満足しないと判定するまで実行し、
   前記列生成子問題は、前記双対解と、前記ロット成立制約とを用いて、前記実現可能ロットの集合に追加する前記候補ロットを求める問題であることを特徴とする請求項１に記載の計画作成装置。
3. 前記決定変数は、前記複数の実現可能ロットのそれぞれについて、該実現可能ロットを解として採用する場合に「１」となり、該実現可能ロットを解として採用しない場合に「０」となる０－１変数であり、
   前記原問題は、前記複数の製品のそれぞれについて、前記実現可能ロットの集合の中から、該製品を含む前記実現可能ロットが必ず１つ選択されるという制約を表す制約式であって、前記決定変数を用いて表される制約式と、前記実現可能ロットの集合に含まれる前記実現可能ロットのコストの総和を求める目的関数であって、前記決定変数及び前記実現可能ロットのコストを用いて表される目的関数と、を用いて、該制約式を満足する範囲で該目的関数の値が最小になる前記決定変数を決定する０－１整数計画問題であり、
   前記実現可能ロットのコストは、前記実現可能ロットに対する前記製品のロット纏めについての評価指標として、前記決定変数の加算値として得られる、前記集合分割問題の解として採用される前記実現可能ロットの総数を含むことを特徴とする請求項２に記載の計画作成装置。
4. 前記双対問題は、前記実現可能ロットの集合に含まれる前記実現可能ロットのそれぞれのコストが、該実現可能ロットに対する双対コスト以上であるという制約を表す制約式であって、該実現可能ロットのコスト、該実現可能ロットに対応するロット構成製品有無変数、及び双対変数を用いて表される制約式と、前記複数の製品についての該双対変数の総和を求める目的関数であって、該双対変数を用いて表される目的関数と、を用いて、該制約式を満足する範囲で該目的関数の値が最大になる該双対変数の値を前記双対解として決定する線形計画問題であり、
   前記双対変数は、前記製品毎に定められる変数であり、
   前記実現可能ロットに対する双対コストは、前記製品に対する前記双対変数の値と、該製品と該実現可能ロットに対応するロット構成製品有無変数との積の、前記複数の製品についての総和で表され、
   前記ロット構成製品有無変数は、前記製品毎に定められる０－１変数であって、前記実現可能ロットに前記製品が含まれる場合に「１」となり、そうでない場合に「０」となる０－１変数であることを特徴とする請求項３に記載の計画作成装置。
5. 前記列生成子問題は、前記ロット成立制約を表す制約式であって、前記実現可能ロットについて、該実現可能ロットを構成する製品の合計重量が上限値以下であるという重量制約式と、該実現可能ロット内で隣接して生産又は処理される製品の寸法差が上限値以下であるという寸法制約式と、該実現可能ロットのコストとから、該実現可能ロットに対する前記双対コストを減算した値を求める目的関数であって、前記双対変数及び前記ロット構成製品有無変数を用いて表される目的関数と、を用いて、該制約式を満足する範囲で該目的関数の値が最小になる該ロット構成製品有無変数を決定する０－１整数計画問題であることを特徴とする請求項４に記載の計画作成装置。
6. 前記製造条件は、選択に自由度がある製造条件である品種を含み、
   前記列生成手段は、前記製品にそれぞれ前記品種を割り当て、
   前記実現可能ロットのコストは、該実現可能ロットに含まれる前記製品の品種の総数をさらに含むことを特徴とする請求項３～５の何れか１項に記載の計画作成装置。
7. 前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数のうち、所定の分類先に分類される前記評価指標に対するコスト係数は、該分類条件に従って分類される前記評価指標に対するコスト係数と、該分類条件に従って分類される前記製造実績データから導出される製造実績値との関係を示す関係式を用いて導出されることを特徴とする請求項１～６の何れか１項に記載の計画作成装置。
8. 前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数のうち、所定の分類先に分類される前記評価指標に対するコスト係数は、一定値であり、該所定の分類先と異なる分類先に分類される前記評価指標に対するコスト係数の少なくとも１つは、該分類条件に従って分類される製造実績データから導出される製造実績値に応じて変化することを特徴とする請求項１～７の何れか１項に記載の計画作成装置。
9. 前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数のとり得る範囲が予め定められていることを特徴とする請求項１～８の何れか１項に記載の計画作成装置。
10. 前記実現可能ロットのコストは、前記評価指標の値と、該評価指標に対するコスト係数との積を用いて導出されることを特徴とする請求項１～９の何れか１項に記載の計画作成装置。
11. 前記評価指標は、前記ロットの量と、該ロットに含まれる前記製品の量との差に関する指標を含むことを特徴とする請求項１０に記載の計画作成装置。
12. 前記実現可能ロットのコストは、前記評価指標の値が、該評価指標に対するコスト係数を用いて表される制約式を満足するように定められることを特徴とする請求項１～１１の何れか１項に記載の計画作成装置。
13. 前記評価指標は、前記ロットに含まれる、異なる品種の前記製品の数に関する指標を含むことを特徴とする請求項１２に記載の計画作成装置。
14. 前記取得手段により取得された前記製品情報に含まれる前記製品の製造条件に基づいて前記複数の製品をグルーピングすることにより複数の製品グループを作成するグループ作成手段をさらに有し、
    前記製品を前記製品グループとして、少なくとも、前記列生成手段と、前記列追加手段と、前記最適解導出手段による処理を実行することを特徴とする請求項１～１３の何れか１項に記載の計画作成装置。
15. 前記列生成手段は、複数の前記候補ロットを生成し、
    前記列追加手段は、前記列追加要件を満足する前記候補ロットが複数ある場合には、該複数の候補ロットを前記実現可能ロットの集合に追加することを特徴とする請求項１～１３の何れか１項に記載の計画作成装置。
16. 前記製品は、連続鋳造機で鋳造されるスラブであり、
    前記ロットは、連続して鋳造する複数のチャージのまとまりであるキャストであり、
    前記計画は、前記スラブが属する前記キャストを示すキャスト計画であることを特徴とする請求項１～１５の何れか１項に記載の計画作成装置。
17. 複数の製品を、所定のロット成立制約を満たすようにロットの単位で纏めて、生産又は処理するための計画を作成する問題を集合分割問題とし、該集合分割問題を、列生成法を用いて解くことにより計画を作成する計画作成方法であって、
    取得手段により、前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得工程と、
    前記製品を、前記ロット成立制約を満たす様に纏めたロットである複数の実現可能ロットのそれぞれについて、該実現可能ロットを解として採用するか否か決定する２値変数を決定変数として、該実現可能ロットに対する前記製品のロット纏めについての評価指標に基づき、前記複数の製品を重複することなく且つ漏れなく含む前記実現可能ロットの最適な組み合わせを求める集合分割問題を原問題とし、
    列生成手段により、前記原問題の最適解を構成する実現可能ロットの候補である候補ロットを生成する列生成子問題の最適解を導出する列生成工程と、
    列追加手段により、前記列生成工程により導出された候補ロットに列追加要件を満足する候補ロットが含まれる場合には、前記列生成工程により生成された前記候補ロットを前記実現可能ロットの集合に追加する列追加工程と、
    最適解導出手段により、前記列追加工程により追加された候補ロットを含む前記実現可能ロットの集合に基づいて、前記原問題の最適解として、前記実現可能ロットの組み合わせを導出する最適解導出工程と、を有し、
    前記原問題及び前記列生成子問題では、目的関数の値が前記実現可能ロットのコストを用いて導出され、
    前記実現可能ロットのコストは、前記評価指標の値と、該評価指標に対するコスト係数とを用いて導出され、
    前記評価指標に対するコスト係数は、前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される該評価指標のそれぞれに対するコスト係数を含み、
    前記製品の製造条件を用いて表される分類条件に従って分類される前記評価指標のそれぞれに対するコスト係数は、該分類条件に従って分類される製造実績データから導出される製造実績値に応じて変化する
    ことを特徴とする計画作成方法。
18. 請求項１～１６の何れか１項に記載の計画作成装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とするプログラム。

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