JP2017211834A - 計画作成装置、計画作成方法、およびプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】 ロット単位で製品を生産または処理するための計画を、立案結果の精度を大きく落とすことなく短時間で立案できるようにする。
【解決手段】 複数のスラブグループの一部を、熱延希望日の最早日が早いものから順に選択する。そして、選択したスラブグループのうち、同一のキャストに含めることができる条件を満たすものをキャスト候補として導出する。キャスト候補を採用するか否かを示す変数である決定変数ｘ_jと、キャスト数を含む評価指標を用いて表現される評価値ｃ_iとを変数として有する目的関数ｆを最小化する決定変数ｘ_jを、最適化計算を行うことにより導出する。このような最適化計算により採用されたキャスト候補に含まれるスラブグループを新たなスラブグループとして１つに纏める。以上の処理を、最適化計算の結果が収束するまで繰り返し行う。
【選択図】 図１

Description

本発明は、計画作成装置、計画作成方法、およびプログラムに関し、特に、ロットに複数の製品を纏めてロット単位で複数の製品を生産または処理するために用いて好適なものである。

製造業において製品の生産計画を立案する場合には、複数の製品を適切な規模で適切な数のロットに纏めてロット単位で製造するように生産計画を立案することが多い。
ここで、複数の製品をロットに纏めて製造する場合の一例として、製鋼工場で連続鋳造を行う場合について説明する。

製鋼工場では、高炉から供給された溶銑を転炉に装入して、酸素を吹き付けることで溶銑中の炭素を取り除き溶鋼を製造する。これを一次精錬と呼ぶ。次に、溶鋼は取鍋と呼ばれる容器に注入され二次精錬工程へ搬送される。この取鍋一杯分の溶鋼をチャージと呼ぶ。二次精錬工程として例えばＲＨ（Ruhrstahl Heraeus）工程があり、真空管中に溶鋼を循環させることで溶鋼中の不純なガスを真空中に除去して溶鋼の成分を調整する。二次精錬工程が終了すると、取鍋は連続鋳造機へと搬送される。連続鋳造機では、取鍋から鋳型へ溶鋼を注入すると同時に冷却することで半製品である鋳片を製造する。連続鋳造機では、複数のチャージを連続して鋳造することが可能であり、連続して鋳造する複数のチャージのまとまりをキャストと呼ぶ。また、複数のチャージの溶鋼を連続して鋳造することを連々鋳と呼ぶ。この連々鋳の回数を多くし過ぎると、連続鋳造機の構成部材（タンディッシュや鋳型の耐火物、浸漬ノズルなど）の溶損が生じるため、品種などで異なる溶損具合に応じて連々鋳を実施するチャージ数を適切に定めなければならない。

連続鋳造機において製造された鋳片はスラブと呼ばれ、圧延工程へ搬送される。圧延工程においてスラブは加熱炉によって再加熱され高温の状態で圧延機によって数ミリ単位の薄さまで圧延されコイル状に巻き取られる。スラブの形状や硬さによって、圧延機で連続して圧延できるスラブ枚数に制限がある。圧延機で連続して圧延されるスラブのまとまりをチャンスと呼ぶ。
各スラブには、注文情報から成分、形状、熱延希望日などの情報が付与されていて、製鋼工程および圧延工程における制約条件を考慮して、キャストやチャンスといったロットが編成される。

また近年、製鋼工程のロットであるキャストを圧延工程のロットであるチャンスと同じにすることで、リードタイムの短縮化、および熱ロスの低減化の試みがされている。このような操業を行う場合においては、製鋼工程および圧延工程における制約条件を同時に満足するキャスト編成（各キャストに含めるスラブ）を決定する必要がある。

キャスト編成においては、キャスト内に多数のスラブを取り込んで大ロット化することにより、鋳造の連々回数を増加させ、連々鋳の開始および終了時におけるスラブ不良部の低減や再鋳造開始にかかる準備時間の低減による生産量の増加が期待できる。一方で、成分、形状、および熱延希望日などの条件によって同一キャスト内に取り込むことが可能なスラブには制限がある。このため、制約条件を満たす範囲において可能な限り大ロットとなるキャスト編成を行うことが求められる。

キャスト編成の業務では、一般に、数百または千といった数のスラブを取り扱うため、スラブの組み合わせ数が多くなる。したがって、計画担当者が全ての制約条件を充足するキャスト編成を行うめには長時間を有する作業となる。
そこで、キャスト編成を自動で行う技術として特許文献１に記載の技術がある。
特許文献１には、各チャージを節点で表現すると共に、抱き合わせて鋳造可能なチャージ間を有向枝で表現したネットワークを作成し、最長のキャストとなるルートを前記ネットワーク上で探索することが開示されている。

特開２０１２−１１４５１号公報

しかしながら、特許文献１に記載の技術では、スラブをチャージにまとめる方法に関しての説明がなく、与えられたチャージの情報に基づいてキャスト編成を行うことになる。したがって、チャージが適切に編成されていなければ最適なキャスト編成の結果が得られない虞がある。前述したようにスラブの組み合わせが多いため、特許文献１に記載の技術においてチャージを適切にキャストに含めようとすると、問題規模が大きくなり過ぎ、計算時間が長くなる虞がある。

以上のように従来の技術では、キャスト（ロット）に複数のスラブ（製品）を纏めてキャスト（ロット）単位でスラブ（製品）を鋳造（生産）するための鋳造（生産）計画を立案するに際し、立案結果の精度を大きく落とすことなく立案時間を短縮することが容易でなかった。
本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、ロット単位で製品を生産または処理するための計画を、立案結果の精度を大きく落とすことなく短時間で立案できるようにすることを目的とする。

本発明の計画作成装置は、複数の製品をロットの単位で纏めて生産または処理するための計画を作成する計画作成装置であって、前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得手段と、前記複数の製品の一部を選択する選択手段と、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合のうち、製品を同一のロットに含めることができる条件として前記製造条件を用いて表される条件を満たす部分集合をロット候補として導出するロット候補導出手段と、前記ロット候補導出手段により導出された前記ロット候補から最適なロット候補を、制約式を満足する範囲で目的関数の値を最大または最小にする最適化計算を行うことにより導出する最適化手段と、前記最適化計算の結果が収束したか否かを判定する判定手段と、前記判定手段により前記最適化計算の結果が収束していないと判定されると、前記最適化手段により導出された前記最適なロット候補に含まれる前記製品を１つの製品として再定義する再定義手段と、前記判定手段により、前記最適化計算の結果が収束したと判定された際に前記最適化手段により導出された前記最適なロット候補を最適なロットとし、当該最適なロットにどの前記製品が含まれるのかを示す情報を出力する出力手段と、を有し、前記目的関数は、少なくとも前記ロットの数を評価指標として含む目的関数であり、前記制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品の数と、前記選択手段により選択された前記製品の数とが同じであり、同一の前記製品が異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式を含み、前記選択手段は、前記再定義手段により前記製品が再定義された場合、前記再定義手段により再定義された前記製品の全てと、未選択の前記製品のうちの一部の製品を選択し、前記判定手段により、前記最適化計算の結果が収束したと判定されるまで、前記選択手段による前記製品の選択と、前記ロット候補導出手段による前記ロット候補の導出と、前記最適化手段による前記最適化計算とを行うことを特徴とする。

本発明の計画作成方法は、複数の製品をロットの単位で纏めて生産または処理するための計画を作成する計画作成方法であって、前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得工程と、前記複数の製品の一部を選択する選択工程と、前記選択工程により選択された前記製品の部分集合のうち、製品を同一のロットに含めることができる条件として前記製造条件を用いて表される条件を満たす部分集合をロット候補として導出するロット候補導出工程と、前記ロット候補導出工程により導出された前記ロット候補から最適なロット候補を、制約式を満足する範囲で目的関数の値を最大または最小にする最適化計算を行うことにより導出する最適化工程と、前記最適化計算の結果が収束したか否かを判定する判定工程と、前記判定工程により前記最適化計算の結果が収束していないと判定されると、前記最適化工程により導出された前記最適なロット候補に含まれる前記製品を１つの製品として再定義する再定義工程と、前記判定工程により、前記最適化計算の結果が収束したと判定された際に前記最適化工程により導出された前記最適なロット候補を最適なロットとし、当該最適なロットにどの前記製品が含まれるのかを示す情報を出力する出力工程と、を有し、前記目的関数は、少なくとも前記ロットの数を評価指標として含む目的関数であり、前記制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品の数と、前記選択工程により選択された前記製品の数とが同じであり、同一の前記製品が異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式を含み、前記選択工程は、前記再定義工程により前記製品が再定義された場合、前記再定義工程により再定義された前記製品の全てと、未選択の前記製品のうちの一部の製品を選択し、前記判定工程により、前記最適化計算の結果が収束したと判定されるまで、前記選択工程による前記製品の選択と、前記ロット候補導出工程による前記ロット候補の導出と、前記最適化工程による前記最適化計算とを行うことを特徴とする。

本発明のプログラムは、前記計画作成装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とする。

本発明によれば、複数の製品の一部を選択し、選択した製品の部分集合をロット候補とする。そして、最適化計算を行うことによりロット候補から最適なロット候補を導出する。この最適化計算の結果が収束していない場合には、ロット候補を１つの製品として再定義し、再定義した製品の全てと未選択の製品のうちの一部を選択する。このような処理を最適化計算の結果が収束するまで繰り返し行う。したがって、製品から一括してロットを導出する場合に比べ、ロット単位で製品を生産または処理するための計画を、立案結果の精度を大きく落とすことなく短時間で立案することができる。

キャスト計画を作成する手法の概要の一例を説明する図である。 キャスト編成装置の機能的な構成の一例を示す図である。 スラブ情報の第１の例を示す図である。 並び替え後のスラブ情報の一例を示す図である。 スラブグループ情報の一例を示す図である。 並び替え後のスラブグループ情報の一例を示す図である。 集合分割問題を解く方法の一例を概念的に示す図である。 行列を概念的に説明する図である。 再定義後のスラブグループ情報の一例を示す図である。 キャスト編成装置の処理の一例を説明するフローチャートである。 ステップＳ１００２の処理の一例を説明するフローチャートである。 発明例および比較例の結果の第１の例を表形式で示す図である。 発明例および比較例におけるスラブ数と計算時間との関係を示す図である。 発明例および比較例における評価値を示す図である。 スラブの鋼種とチャージとの関係の一例を説明する図である。 スラブ情報の第２の例を示す図である。 キャスト候補導出部の処理の一例を説明するフローチャートである。 発明例および比較例の結果の第２の例を表形式で示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。以下の各実施形態では、生産計画として、連続鋳造機におけるキャスト計画を作成する（即ちキャスト編成を行う）場合を例に挙げて説明する。この場合、「スラブ」が「製品」に対応し、「キャスト」が「ロット」に対応し、「鋳造」が「製造」に対応する。また、「製品」は、原料に手が加えられた物を指し、市場に出回る最終製品等に限定されるものではない。例えば、中間製品（半製品）も「製品」に含まれる。

［第１の実施形態］
（概要）
本実施形態の概要について説明する。
図１は、本実施形態におけるキャスト計画を作成する手法の概要の一例を説明する図である。
立案対象期間に製造予定の複数のスラブのそれぞれには、当該スラブの製造条件を含むスラブ情報が紐付けられている。このスラブ情報に基づいて、製造条件が所定の範囲内で一致するスラブが同一のスラブグループに属するように、複数のスラブのそれぞれをグルーピングする。

図１では、このようにして得られたスラブグループを識別するスラブグループＮｏ．と、当該スラブグループＮｏ．のスラブグループに属するスラブの枚数（スラブ枚数）と、当該スラブグループＮｏ．のスラブグループに属するスラブの製造条件の１つとして与えられている熱延希望日のうち最も早い日（最早日）とを示す。連続鋳造機で製造されたスラブはヤードに置かれた後、次工程の熱延工程で熱間圧延される。この熱間圧延を行う日として工場側が希望する日が熱延希望日になる。すなわち、熱延希望日は、熱延工場に対するスラブの納期である。熱延希望日は、例えば、熱間圧延により得られた熱延鋼板を巻き取ることにより得られるコイルの客先に対する納期や熱延ラインの設備の稼働状況などに基づいて設定される。

図１に示す例では、スラブグループは、熱延希望日（最早日）が早いものから順に並び替えられる。尚、図１では、説明の都合上、熱延希望日（最早日）が早いものから順にスラブグループを並べた場合の並び順とスラブグループＮｏ．とを同じにしている。
次に、複数のスラブグループの一部を選択し、選択したスラブグループの部分集合を作成する。図１に示す例では、２７個のスラブグループの中から１０個のスラブグループを熱延希望日（最早日）が早いものから選択し、これら１０個のスラブグループの部分集合を作成する。これらの部分集合のそれぞれについて、同一のキャストで製造することが可能な条件（制約条件）を満たすか否かを判定し、この条件を満たす部分集合をキャスト候補とする。

次に、キャスト候補の中から最適なキャスト候補の組み合わせを、最適化問題を解くことにより導出する。最適化問題の詳細については後述する。以下の説明では、このようにして得られた最適なキャスト候補を必要に応じて「キャスト片」と称する。
図１では、このような最適化問題の計算の結果（「１回目の分割最適化」の結果）、キャスト片１０１ａ〜１０１ｄが得られたことを示す。図１において、キャスト片１０１ａ〜１０１ｒに示されている１つの四角形は、当該キャスト片を構成するスラブグループを示し、当該四角形内の数字は、当該スラブグループのスラブグループＮｏ．を示す。

次に、キャスト片１０１ａ〜１０１ｄのそれぞれを新たなスラブグループとして再定義し、当該新たなスラブグループの全てと、未選択のスラブグループのうちの一部のスラブグループを選択し、選択したスラブグループの部分集合を作成する。図１に示す例では、未選択の１７個のスラブグループの中から６個のスラブグループを熱延希望日（最早日）が早いものから選択し、４個の新たなスラブグループと、これら６個のスラブグループの部分集合を作成する。前述したように、これらの部分集合のうち、同一のキャストに含めることができる条件（制約条件）を満たす部分集合をキャスト候補とし、キャスト候補の中から最適なキャスト候補の組み合わせ（キャスト片）を、最適化問題を解くことにより導出する。

図１では、この最適化問題の計算の結果（「２回目の分割最適化」の結果）、キャスト片１０１ｅ〜１０１ｈが得られたことを示す。図１では、既にキャスト片として導出され、新たなスラブグループとなっている部分をグレーで塗りつぶして示す。
次に、このようにして得られたキャスト片１０１ｅ〜１０１ｈのそれぞれを新たなスラブグループとして再定義する。そして、前述したのと同様の手順でキャスト片１０１ｉ〜１０１ｍ、１０１ｎ〜１０１ｒがこの順で導出される。このように、既に導出したキャスト片を維持したまま、当該キャスト片にスラブグループが徐々に追加され、キャスト片のサイズが拡大する。尚、実際には、キャストに含まれるスラブグループの並び順は、当該スラブグループに属するスラブの幅に基づいて決められるが、ここでは、既に導出したキャスト片を維持しつつ、そのサイズが拡大する様子を分かりやすく示すために、幅で並び替えを行わずに、新たに追加されるスラブグループを既に作成されているキャスト片の後ろに繋げて示す。

以上のようにして導出したキャスト片に含まれるスラブグループが所定の収束判定条件を満たす場合、当該キャスト片をキャストとして確定する。図１に示す例では、全てのスラブグループがキャスト片の何れかに含まれている場合に、収束判定条件を満たすものとする。したがって、キャスト片１０１ｎ〜１０１ｒがキャストとなる。このようにして得られたキャストから、各スラブが属するキャストをキャスト計画の立案結果として出力する。
尚、図１は、本実施形態の概念を示したものであり、以下に説明する内容とは必ずしも対応していない。例えば、図１に示すスラブグループに含まれるスラブ数や熱延希望日（最早日）の内容は、図３〜図６に示すものとは異なる。

（キャスト編成装置２００）
図２は、キャスト編成装置２００の機能的な構成の一例を示す図である。キャスト編成装置２００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを備える情報処理装置や、専用のハードウェアを用いることにより実現される。

＜スラブ情報取得部２０１＞
スラブ情報取得部２０１は、スラブ情報を取得して記憶する。スラブ情報取得部２０１は、例えば、キャスト編成装置２００に対するオペレータによる操作、外部装置から送信されたスラブ情報の受信、または可搬型記憶媒体に記憶されたスラブ情報の読み出しを行うことによりスラブ情報を取得する。

図３は、スラブ情報３００の一例を示す図である。
図３において、スラブ情報３００は、スラブＮｏ．、材質、スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚、コイル幅、コイル厚、コイル長さ、および熱延希望日が相互に関連付けられた情報である。立案対象のスラブのそれぞれについてスラブ情報が個別に与えられる。

スラブＮｏ．は、スラブを識別する番号である。
材質とは、スラブの成分などを示すものである。ここでは、材質を、当該材質を識別する記号で表すものとする。
スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚は、それぞれ、スラブの重量、幅、厚みである。材質、スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚、および熱延希望日は、スラブを製造する工程（連続鋳造工程）における製造条件である。

コイル幅、コイル厚、コイル長さは、それぞれ、スラブＮｏ．で識別されるスラブを熱間圧延することにより得られるコイルの幅、厚み、長さである。コイル幅、コイル厚、コイル長さ、および熱延希望日は、スラブを製造する工程よりも後の工程（熱間圧延工程）における製造条件である。尚、前述したように熱延希望日は、熱間圧延を行う日として工場側が希望する日である。

＜スラブグループ作成部２０２＞
スラブグループ作成部２０２は、スラブ情報取得部２０１で取得されたスラブ情報３００に基づいて、製造条件が所定の範囲内で一致するスラブが同一のスラブグループに属するように、スラブ情報３００に含まれるスラブのそれぞれをグルーピングする。
まず、スラブグループ作成部２０２は、スラブ情報３００に含まれるスラブの製造条件の少なくとも１つに基づいて、スラブ情報３００のスラブ（レコード）を並び替える。本実施形態では、熱延希望日が早いスラブから順にスラブ情報３００のスラブ（レコード）を並び替える。図４は、図３に示すスラブ情報３００のスラブ（レコード）を熱延希望日が早いものから順に並び替えられたスラブ情報４００の一例を示す図である。尚、図３と図４との関係を分かりやすく示すために、図３と図４では同じスラブに同じスラブＮｏ．を付している。ただし、図４において、最上段の行のスラブＮｏ．を「１」とし、以降昇順にスラブＮｏ．を付け直してもよい。更に熱延希望日が同じスラブ（レコード）の中で、熱延希望日の次に重視する項目に基づいてスラブをソートしてもよい。

次に、スラブグループ作成部２０２は、以上のようにして並び替えられたスラブ情報４００に含まれる未選択のスラブ（レコード）のうち、最上位にあるスラブを１つ選択する。すなわち、スラブグループ作成部２０２は、スラブ情報４００に含まれる未選択のスラブ（レコード）のうち、熱延希望日が最も早いものを１つ選択する。

次に、スラブグループ作成部２０２は、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報４００から選択したスラブを追加できるスラブグループがあるか否かを判定する。前述したように本実施形態では、スラブの製造条件が所定の範囲内で一致するスラブを同一のスラブグループに含める。
具体的に本実施形態では、スラブグループ作成部２０２は、以下の（Ａ１）〜（Ｄ１）の全ての判定条件を満たす場合に、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報４００から選択したスラブを追加できるスラブグループがあると判定する。

（Ａ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）と、スラブ情報４００から選択したスラブの幅（スラブ幅）との差の最大値が１００［ｍｍ］以下である。
（Ｂ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）と、スラブ情報４００から選択したスラブの厚み（スラブ厚）との差の最大値が２［ｍｍ］以下である。
（Ｃ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの熱延希望日と、スラブ情報４００から選択したスラブの熱延希望日との差の最大値が２［日］以下である。
（Ｄ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの材質と、スラブ情報４００から選択したスラブの材質とが同じである。

スラブグループ作成部２０２は、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報４００から選択したスラブを追加できるスラブグループがないと判定した場合には、新たなスラブグループを作成し、当該選択したスラブを当該作成した新たなスラブグループに含める。
一方、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報４００から選択したスラブを追加できるスラブグループがある場合、スラブグループ作成部２０２は、当該スラブグループに含まれるスラブと、当該選択したスラブの枚数の合計が上限値以下であるか否かを判定する。熱延工程において圧延ロールが摩耗するため、同一のチャンスにおいて連続して熱間圧延する同幅帯のスラブの枚数に制約がある。そこで、本実施形態では、１つのスラブグループに含めるスラブの枚数に上限値を設定する。本実施形態では、この上限値を４０［枚］以下とする。

スラブグループ作成部２０２は、スラブ情報４００から選択したスラブを追加できるスラブグループに含まれるスラブと、当該選択したスラブの枚数の合計が上限値以下でない場合には、新たなスラブグループを作成し、当該選択したスラブを当該作成した新たなスラブグループに含める。
一方、スラブ情報４００から選択したスラブを追加できるスラブグループに含まれるスラブと、当該選択したスラブの枚数の合計が上限値以下である場合、スラブグループ作成部２０２は、当該選択したスラブを、当該スラブグループに含める。

スラブグループ作成部２０２は、熱延希望日が早いものから順に並び替えられたスラブ情報４００に含まれる未選択のスラブ（レコード）のうち、スラブ情報４００の最上位にあるスラブを１つずつ選択して、以上の処理を実行し、スラブ情報４００に含まれるスラブを何れかのスラブグループに含める。

図５は、図４に示したスラブ情報４００から作成されるスラブグループ情報５００の一例を示す図である。スラブグループ情報５００は、スラブグループのリストである。
図５において、スラブグループ情報５００は、スラブグループＮｏ．、材質、スラブ幅（最大値、最小値）、スラブ厚（最大値、最小値）、スラブ重量、コイル長さ、熱延希望日（最早日、最遅日）、およびスラブ枚数が相互に関連付けられた情報である。

スラブグループＮｏ．とは、スラブグループを識別する番号である。
材質とは、スラブグループに属するスラブの材質である。本実施形態では前述した（Ｄ１）の条件により、１つのスラブグループには同じ材質のスラブが属する。
スラブ幅の最大値とは、スラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）の最大値をいう。スラブ幅の最小値とは、スラブグループに含まれるスラブの幅（スラブ幅）の最小値をいう。

スラブ厚の最大値とは、スラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）の最大値をいう。スラブ厚の最小値とは、スラブグループに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）の最小値をいう。
スラブ重量とは、スラブグループに含まれるスラブの重量（スラブ重量）の合計値である。

コイル長さとは、スラブグループに含まれるスラブのコイル長さの合計値である。
熱延希望日の最早日とは、スラブグループに含まれるスラブの熱延希望日のうち最も早い日をいう。熱延希望日の最遅日とは、スラブグループに含まれるスラブの熱延希望日のうち最も遅い日をいう。
スラブグループ作成部２０２は、以上のようなスラブグループ情報５００を作成する。

前述したように本実施形態では、複数のスラブグループを組み合わせてキャストを構成する。このため、１つのスラブグループに属するスラブの製造条件（例えば、スラブ厚、スラブ幅、および圧延希望日の少なくとも１つ）がばらついている場合には、これらを組み合わせたキャストにおいてもスラブの製造条件のばらつきが大きくなる。そこで、本実施形態では、スラブグループ作成部２０２は、スラブ情報３００に含まれるスラブの製造条件の少なくとも１つの値（本実施形態では熱延希望日）に従って、スラブ情報３００のレコード（スラブ）を並び替え、並び替えた順番で、スラブが属するスラブグループを決定する。このようにすれば、製造条件が大きく異なるスラブが同じスラブグループに属することを抑制することができる。

＜スラブグループ選択部２０３＞
スラブグループ選択部２０３は、熱延希望日の最早日が早いスラブグループから順にスラブグループ作成部２０２により作成されたスラブグループ情報５００のスラブグループ（レコード）を並び替える。図６は、図５に示すスラブグループ情報５００のスラブグループ（レコード）を熱延希望日の最早日が早いものから順に並び替えたスラブグループ情報６００の一例を示す図である。図５と図６との関係を分かりやすく示すために、図５と図６では同じスラブグループに同じスラブグループＮｏ．を付している。ただし、図６において、最上段の行のスラブグループＮｏ．を「１」とし、以降昇順にスラブグループＮｏ．を付け直してもよい。

スラブグループ選択部２０３は、以上のようにして並び替えられたスラブグループ情報６００に含まれるスラブグループ（レコード）の一部を、上位のスラブグループ（レコード）から順に所定の個数だけ選択する。すなわち、スラブグループ選択部２０３は、以上のようにして並び替えられたスラブグループ情報６００に含まれるスラブグループ（レコード）の一部を、熱延希望日の最早日が早いものから順に所定の個数だけ選択する。

１回当たりのスラブグループの選択数（前記所定の個数）が「５」である場合、１回目のスラブグループの選択をスラブグループ選択部２０３が行う場合は、図６に示すスラブグループ情報６００の１行目〜５行目のスラブグループを選択する。尚、２回目以降のスラブグループの選択を行う場合については後述する。選択するスラブグループの個数が多いほど最適化計算に要する計算時間が長くなるため、本計算に許容される時間に基づいてスラブグループの選択数を少なくとも２以上として定める。

＜キャスト候補導出部２０４＞
キャスト候補導出部２０４は、スラブグループ選択部２０３で選択されたスラブグループから、キャスト候補を導出する。
まず、キャスト候補導出部２０４は、スラブグループ選択部２０３で選択されたスラブグループの集合から、とり得るスラブグループの組み合わせ（部分集合）を全数列挙する。スラブグループ選択部２０３における一回当たりのスラブグループの選択数が「５」である場合、キャスト候補導出部２０４は、スラブグループの組み合わせ（部分集合）として、３２（＝２⁵）通りの組み合わせ（部分集合）を列挙する。

次に、キャスト候補導出部２０４は、列挙したスラブグループの組み合わせ（部分集合）のそれぞれについて、以下の（Ａ２）〜（Ｅ２）の全ての制約条件を満たすか否かを判定し、満たすもののみをキャスト候補として採用する。

（Ａ２）材質制約
スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブの材質の中に、同一のキャストに含めることが禁止される材質が混在していない。
例えば、材質Ａのスラブと材質Ｃのスラブを同一のキャストに含めることができない場合には、材質Ａのスラブが属するスラブグループと材質Ｃのスラブが属するスラブグループとの組み合わせは、材質制約に違反するので、キャスト候補として採用されない。

（Ｂ２）キャスト重量
スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブの総重量が、（１つの）キャストの重量の上限値を上回らない。
例えば、キャストの重量の上限値が１３００［ｔｏｎ］である場合、図６に示すスラブグループＮｏ．が「１」、「２」、「５」、「３」のスラブグループのスラブ重量の合計は１３２１．７［ｔｏｎ］であるため、これらのスラブグループの組み合わせ（部分集合）はキャスト候補として採用されない。

本実施形態では、同一のキャストに含まれるスラブは同一のロット（チャンス）として熱延工程で熱間圧延されるようにするため、熱間圧延の際に生じる制約を満足するキャストを導出する必要がある。そこで、本実施形態では、以下の（Ｃ２）〜（Ｅ２）の制約条件を採用する。

（Ｃ２）コイル長
スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブのコイル長さの合計が、上限値を上回らない。
例えば、上限値が１００［ｋｍ］である場合、図６に示すスラブグループＮｏ．が「１」、「２」、「５」、「３」のスラブグループのコイル長さの合計は１０４．７［ｋｍ］であるため、これらのスラブグループの組み合わせ（部分集合）はキャスト候補として採用されない。

（Ｄ２）幅移行制約
圧延順に並び替えた際に相前後する２つのスラブの幅の差が上限値以下である。
熱延工程においては、幅が大きいスラブから順に熱間圧延する、いわゆるナローダウンとしなければならないという制約が課せられる場合がある。この場合、スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブをスラブ幅が広いものから順に並び替えた場合に相前後する２つのスラブの幅（スラブ幅）の差が上限値以下である必要がある。例えば、この上限値が１５０［ｍｍ］である場合に、スラブグループＮｏ．が「２」と「５」のスラブグループ（部分集合）をキャスト候補として採用できるか否かを考える。スラブグループＮｏ．が「２」のスラブグループのスラブ幅の最小値は１６００［ｍｍ］であり、スラブグループＮｏ．が「５」のスラブグループのスラブ幅の最大値は１４００［ｍｍ］である。このため、これらのスラブグループに含まれるスラブを、ナローダウンとなるように並び替えると、何れかのスラブの間で、スラブ幅の差として２００［ｍｍ］以上の差が生じる。したがって、これらのスラブグループの組み合わせ（部分集合）はキャスト候補として採用されない。

（Ｅ２）同幅本数制約
幅の差が一定値以下のスラブの枚数が上限値以下である。
幅の差が一定値以下の多数のスラブを同じチャンスに含めると、圧延ロールの摩耗により、コイルの形状不良が生じ、コイルの品質が劣る虞がある。そこで、幅の差が一定値以下のスラブの枚数が上限値以下であるという制約条件を設ける。例えば、幅の差が１００［ｍｍ］以下のスラブの枚数が４０［枚］以下になることを同幅本数制約とする場合、スラブグループＮｏ．が「２」と「４」のスラブグループ（部分集合）では、スラブ幅が１６００［ｍｍ］〜１７００［ｍｍ］の範囲のスラブの枚数が４９［枚］ある。したがって、これらのスラブグループの組み合わせ（部分集合）はキャスト候補として採用されない。

＜最適化部２０５＞
最適化部２０５は、キャスト候補導出部２０４により導出されたキャスト候補の中から、最適なキャスト候補（キャスト片）の組み合わせを、最適化問題を解くことにより導出する。本実施形態では、最適化問題として集合分割問題を用いる。

図７は、集合分割問題を解く方法の一例を概念的に示す図である。
図７に示すように、ｍ個の要素からなる集合Ｍが与えられているとする（図７の黒丸が１つの要素である）。図７に示す例では１０個の要素が与えられている（ｍ＝１０）。本実施形態では、１つの要素が１つのスラブグループに対応する。

次に、集合Ｍの部分集合としてｎ個の部分集合を導出する。例えば、要素の組み合わせとしてとり得る全ての組み合わせを部分集合とする。ただし、要素の組み合わせとしてとり得る全ての組み合わせを部分集合とせずに、一部の組み合わせを部分集合としてもよい。図７では、表記の都合上、部分集合７０１ａ〜７０１ｇのみを示す。本実施形態では、１つの部分集合が１つのキャスト候補に対応する。
次に、これらｎ個の部分集合のそれぞれについて評価指標（コスト）を導出する。

次に、評価指標（コスト）の値の総和が最適となる部分集合の組み合わせを最適解とする。評価指標の値が小さいほど望ましい問題設定の場合は、最小値が最適であり、逆に、評価指標の値が大きいほど望ましい問題設定の場合は、最大値が最適である。図７では、部分集合７０１ａ、７０１ｄ、７０１ｆが最適解であることを示す。本実施形態では、このような部分集合のそれぞれがキャスト片に対応する。
集合分割問題では、一般に、同じ要素が重複して複数の部分集合に含まれないようにするという制約条件の下で、最適解を導出する。図７に示すように、１０個の要素は、何れか１つの部分集合にのみ含まれる。
尚、集合分割問題自体は公知の技術で実現することができるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。

以上のことを前提として、最適化部２０５が行う処理の一例を説明する。
本実施形態では、最適なキャスト（キャスト片）を導出する最適化問題（集合分割問題）を以下の（１）式〜（３）式で定式化する。すなわち、本実施形態では、最適化部２０５は、以下の（１）式の目的関数ｆの値を、以下の（２）式および（３）式の制約式を満たす範囲で最小化するときの決定変数ｘ_jを導出する。尚、最適化問題（集合分割問題）は、例えば、公知の混合整数計画法により解くことができ、その際に商用のソルバー（cplexなど）を用いることも可能である。

ここで、キャスト候補ｊに含まれるスラブグループｉの集合をｉ∈Ｎ_I、キャスト候補ｊの集合をｊ∈Ｎ_Jとする。また、決定変数ｘ_jは、キャスト候補ｊをキャスト片として採用する場合に「１」となり、採用しない場合に「０」となる０−１変数（ｘ_j∈｛０，１｝）であるとする。また、ｃ_jは、キャスト候補ｊの評価値を表す。本実施形態では、評価値ｃ_jを以下の（４）式で表す。
ｃ_j＝Ｃ_W×Ｗ＋Ｃ_T×Ｔ＋Ｃ_D×Ｄ＋Ｃ_N−Ｃ_S×Ｓ ・・・（４）

（４）式において、Ｗは、キャスト候補ｊに含まれるスラブの幅（スラブ幅）の最大値と最小値との差である。Ｃ_Wは、Ｗに対する重み係数である。
Ｔは、キャスト候補ｊに含まれるスラブの厚み（スラブ厚）の最大値と最小値との差である。Ｃ_Tは、Ｔに対する重み係数である。
Ｄは、キャスト候補ｊに含まれるスラブの熱延希望日の平均値と最早日との差である。Ｃ_Dは、Ｄに対する重み係数である。

Ｃ_Nは、キャスト数に対する重み係数である。前述したように決定変数ｘ_jは、キャスト候補ｊをキャスト片として採用する場合に「１」となり、採用しない場合に「０」となる０−１変数である。したがって、（１）式の計算において、決定変数ｘ_jの積算値がキャスト数になる。よって、決定変数ｘ_jに重み係数Ｃ_Nを乗算した値を積算することにより、キャスト数を評価することができる。
Ｓは、キャスト候補ｊに含まれるスラブの枚数である。Ｃ_Sは、Ｓに対する重み係数である。１つのキャスト内に含まれるスラブの枚数が多いほど、歩留まりが改善することから、キャスト候補ｊの評価値ｃ_jは、評価が高いことを示す値になる（（４）式では値が小さくなる）。
重み係数Ｃ_W、Ｃ_T、Ｃ_D、Ｃ_N、Ｃ_Sは、それぞれの評価項目をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価項目間の評価のバランスを表す。

例えば、図５、図６に示したスラブグループ情報５００、６００のスラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループからなるキャスト候補ｊの評価値ｃ_jは以下のようになる。まず、Ｗは、２００（＝１７００−１５００）である。また、Ｔは、０（＝２５０−２５０）である。また、Ｄは、０．４（＝１．４−１）である。ここで、Ｄを求めるに際し、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループに含まれるスラブの熱延希望日の平均値は６月１．４日であるものとしている。また、Ｓは、３７（＝９＋２８）である。
以上のことから、例えば、Ｃ_W＝１、Ｃ_T＝１、Ｃ_D＝２００、Ｃ_N＝１０００、Ｃ_S＝１である場合、評価値ｃ_jは、１２４３（＝１×２００＋１×０＋２００×０．４＋１０００−１×３７）になる。

（２）式および（３）式において、Ｍ_iは、キャスト候補ｊとして選択されたスラブグループｉに属するスラブの枚数である。Ｈ_MAXは、スラブの枚数の上限値である。（２）式のｉ∈Ｎ_IａｎｄＭ_i≧Ｈ_MAXは、キャスト候補ｊに含まれるスラブグループｉのそれぞれについて、当該スラブグループｉに属するスラブの枚数Ｍ_iが上限値Ｈ_MAX以上である場合には、（２）式を適用することを意味する。また、（３）式のｉ∈Ｎ_IａｎｄＭ_i＜Ｈ_MAXは、キャスト候補ｊに含まれるスラブグループｉのそれぞれについて、当該スラブグループｉに属するスラブの枚数Ｍ_iが上限値Ｈ_MAX未満である場合には、（３）式を適用することを意味する。

（２）式および（３）式のＡ_ijは、スラブグループｉを行、キャスト候補ｊを列とする行列であって、「０」または「１」を要素とする行列である。
図８は、行列Ａ_ijを概念的に説明する図である。
図８において、各列は、１つのキャスト候補ｊに含まれるスラブグループｉを示す。当該キャスト候補ｊに含まれるスラブグループｉに対応する行に「１」が、当該キャスト候補ｊに含まれないスラブグループｉに対応する行に「０」が与えられる。例えば、キャスト候補１（ｊ＝１）には、スラブグループ１、２（ｉ＝１、２）が含まれ、その他のスラブグループは含まれない。

キャスト候補導出部２０４で導出されたキャスト候補ｊのそれぞれについて、このような「１」または「０」の割り当てが行われた結果が行列Ａ_ijになる。尚、図８の矢印線の下の部分は、各キャスト候補ｊに対して評価値ｃ_jと決定変数ｘ_jが得られることを示す。
図８に示す例では、行列Ａ_ijは、以下の（５）式のように表される。

したがって、（２）式の制約条件は、属するスラブの枚数Ｍ_iが上限値Ｈ_MAX以上であるスラブグループｉは、キャスト片に含めるスラブグループとして必ず１回採用されることを表す。
一方、（３）式の制約条件は、属するスラブの枚数Ｍ_iが上限値Ｈ_MAX未満であるスラブグループｉは、キャスト片に含めるスラブグループとして１回採用されるか、または１回も採用されない（採用回数が０（ゼロ）である）ことを表す。
最適化部２０５は、以上のようにして決定変数ｘ_jを導出することを、キャスト候補導出部２０４によりキャスト候補が導出される度に実行する。「１」が与えられた決定変数ｘ_jに対応するキャスト候補ｊがキャスト片になる。

＜判定部２０６＞
判定部２０６は、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすか否かを判定する。
本実施形態では、「１」が与えられた決定変数ｘ_jに対応する各キャスト候補ｊ（キャスト片）の何れかに、スラブグループ作成部２０２または後述するスラブグループ再定義部２０７において作成された(最新の)スラブグループの全てが１つずつ含まれている場合に、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすと判定し、そうでない場合に、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たさないと判定するものとする。

この判定の結果、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たす場合、判定部２０６は、当該最適化部２０５における最適化計算の結果において「１」が与えられた決定変数ｘ_jに対応するキャスト候補ｊ（キャスト片）をキャストとして確定する。そして、判定部２０６は、出力部２０８を起動する。
一方、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たさない場合、判定部２０６は、スラブグループ再定義部２０７を起動する。

＜スラブグループ再定義部２０７＞
スラブグループ再定義部２０７は、最適化部２０５における最適化計算の（最新の）結果として「１」が与えられた決定変数ｘ_jに対応するキャスト候補ｊ（キャスト片）に含まれる複数のスラブグループを１つのスラブグループとして再定義することを、キャスト候補ｊ（キャスト片）のそれぞれについて個別に行う。
図９は、スラブグループを再定義した後のスラブグループ情報９００の一例を示す図である。
図９では、図５に示したスラブグループ情報５００において、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループが第１のキャスト片に含められ、スラブグループＮｏ．が「３」と「４」のスラブグループが第２のキャスト片に含められ、スラブグループＮｏ．が「５」のスラブグループが第３のキャスト片に含められた場合を例に挙げて示す。

第１のキャスト片に含められたスラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループを１つに纏めて新たなスラブグループを再定義する場合を例に挙げて、図５に示したスラブグループ情報５００と図９に示すスラブグループ情報９００との関係を説明する。

スラブグループ再定義部２０７は、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループのスラブ幅の最大値、最小値から、新たなスラブグループのスラブ幅の最大値、最小値として、それぞれ１７００、１５００を導出する。
スラブグループ再定義部２０７は、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループのスラブ厚の最大値、最小値から、新たなスラブグループのスラブ厚の最大値、最小値として、それぞれ２５０、２５０を導出する。

スラブグループ再定義部２０７は、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループのスラブ重量を加算して、新たなスラブグループのスラブ重量として７３６．４（＝１８５．３＋５５１．１）を導出する。
スラブグループ再定義部２０７は、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループのコイル長さを加算して、新たなスラブグループのコイル長さとして６２．２（＝２５．４＋３６．８）を導出する。

スラブグループ再定義部２０７は、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループの圧延希望日の最早日・最遅日から、新たなスラブグループの圧延希望日の最早日・最遅日として、それぞれ６月１日、６月２日を導出する。
スラブグループ再定義部２０７は、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループのスラブ枚数を加算して、新たなスラブグループのスラブ枚数として３７（＝９＋２８）を導出する。
尚、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループの材質は「Ａ」であるので変更されない。

スラブグループ再定義部２０７は、図５に示したスラブグループ情報５００のスラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループを削除し、以上のようにして導出した材質、スラブ幅、スラブ厚、スラブ重量、コイル長さ、熱延希望日、およびスラブ枚数からなるスラブグループ（レコード）を新たに生成し、当該スラブグループ（レコード）を識別するスラブグループＮｏ．を当該スラブグループ（レコード）に付与する。図９では、スラブグループＮｏ．が「１」と「２」のスラブグループから再定義された新たなスラブグループのスラブグループＮｏ．として「１」が付与された場合を例に挙げて示す。

第２のキャスト片に含められたスラブグループＮｏ．が「３」と「４」のスラブグループについても同様にして新たなスラブグループが得られる。図９では、図５に示したスラブグループ情報５００のスラブグループＮｏ．が「３」と「４」のスラブグループから再定義された新たなスラブグループのスラブグループＮｏ．として「２」が付与された場合を例に挙げて示す。

また、第３のキャスト片に含められたスラブグループは、スラブグループＮｏ．が「５」のスラブグループのみである。したがって、スラブグループＮｏ．が「５」のスラブグループについては、スラブグループＮｏ．のみが変更される。図９では、図５に示したスラブグループ情報５００のスラブグループＮｏ．が「５」のスラブグループから再定義された新たなスラブグループのスラブグループＮｏ．として「３」が付与された場合を例に挙げて示す。

また、図５に示したスラブグループ情報５００のスラブグループＮｏ．が「６」〜「１０」のスラブグループについても、スラブグループＮｏ．のみが変更される。図９では、図５に示したスラブグループ情報５００のスラブグループＮｏ．が「６」〜「１０」のスラブグループから再定義された新たなスラブグループのスラブグループＮｏ．として「４」〜「８」が付与された場合を例に挙げて示す。

そして、スラブグループ選択部２０３は、以上のようにして再定義されたスラブグループからなるスラブグループ情報９００から一部のスラブグループを選択し、キャスト候補導出部２０４は、当該選択されたスラブグループから、キャスト候補を導出し、最適化部２０５は、当該キャスト候補から、キャスト片を導出し、判定部２０６は、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすか否かを判定し、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たさない場合には、スラブグループ再定義部２０７は、最適化部２０５で得られたキャスト片に含まれる複数のスラブグループを１つのスラブグループとして再定義する。以上の処理が、判定部２０６により、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすと判定されるまで繰り返し行われる。ここで、１回当たりのスラブグループの選択数が「５」である場合、２回目以降のスラブグループの選択をスラブグループ選択部２０３が行う場合は、図９に示すスラブグループ情報９００の１行目〜５行目のスラブグループを選択する。

このようにすることによって、図１に示したように、最適化部２０５における最適化計算が行われる度に、キャスト片１０１ａ〜１０１ｄ→キャスト片１０１ｅ〜１０１ｈ→キャスト片１０１ｉ〜１０１ｍのようにキャスト片のサイズが徐々に拡大し、最終的にキャスト片１０１ｎ〜１０１ｒがキャストとなる。

スラブグループ情報５００に含まれるスラブグループの全てから一度にキャストを導出しようとすると、スラブグループの組み合わせ数が膨大な数になり（すなわち問題規模が大きくなり）、実用的な計算時間内にキャストを導出することが容易でない。これに対し、本実施形態では、スラブグループ情報５００に含まれるスラブグループの一部を選択してキャスト片を導出し、導出したキャスト片に含まれるスラブグループを１つのスラブグループとして再定義した上で未選択のスラブグループを取り込んでキャスト片を最導出することを繰り返すことでキャスト片のサイズを徐々に拡大する。したがって、大規模な問題であっても、実用的な計算時間でキャスト計画を導出することができる。また、操業上において重要な項目で事前にスラブグループをソートして、ソートした順にキャスト片の生成とスラブグループの再定義を繰り返すため、生成されたキャスト片における前記重視した項目のばらつきを抑制することができ、上記の様に問題を分割して解を求めることによる精度の低下を最小限に抑えることが可能となる。

＜出力部２０８＞
出力部２０８は、判定部２０６により、最適化部２０５における最適化計算の結果が収束判定条件を満たすと判定され、キャストが確定されると、それぞれのキャストに含まれるスラブの情報をキャスト計画の立案結果として出力する。出力部２０８は、例えば、コンピュータディスプレイへの表示、外部装置への送信、および、内部または外部の記憶媒体への記憶の少なくとも何れか１つを行うことにより、それぞれのキャストに含まれるスラブの情報を出力する。例えば、出力部２０８は、図３に示したスラブ情報３００の項目として、キャストを識別する番号であるキャストＮｏ．を追加した情報を、それぞれのキャストに含まれるスラブの情報として出力することができる。

（３）式に示したように、本実施形態では、キャストに含まれないスラブグループが存在し得る。出力部２０８は、このようなスラブグループの情報を合わせて出力することができる。これにより、オペレータは、当該スラブグループ（に含まれるスラブ）を、前述したようにして導出されたキャスト計画のどのキャストに組み込むのかをキャスト編成装置２００の操作により指示することができる。これにより、キャスト編成装置２００は、当該スラブグループを当該指示されたキャストに含めることができる。また、このようにせずに、当該スラブグループを、次の立案対象期間におけるキャスト計画に含めるようにしてもよい。

（フローチャート）
図１０のフローチャートを参照しながら、キャスト編成装置２００の処理の一例を説明する。
まず、ステップＳ１００１において、スラブ情報取得部２０１は、スラブ情報３００を取得する（図３を参照）。
次に、ステップＳ１００２において、スラブグループ作成部２０２は、ステップＳ１００１で取得されたスラブ情報３００に含まれるスラブのそれぞれをグルーピングしてスラブグループを作成し、スラブグループ情報５００を導出する（図５を参照）。ステップＳ１００２の詳細については図１１を参照しながら後述する。

次に、ステップＳ１００３において、スラブグループ選択部２０３は、熱延希望日の最早日が早いスラブグループから順にステップＳ１００２で作成されたスラブグループ情報５００のスラブグループ（レコード）を並び替えたスラブグループ情報６００から（図６を参照）、スラブグループの一部を、熱延希望日の最早日が早いものから順に所定の個数だけ選択する。
次に、ステップＳ１００４において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１００３で選択されたスラブグループから、前述した（Ａ２）〜（Ｅ２）の全ての制約条件を満たすものをキャスト候補として導出する。

次に、ステップＳ１００５において、最適化部２０５は、（１）式の目的関数ｆの値を、（２）式および（３）式の制約式を満たす範囲で最小にするときの決定変数ｘ_jを導出することにより、キャスト片を導出する。
次に、ステップＳ１００６において、判定部２０６は、ステップＳ１００５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすか否かを判定する。

この判定の結果、最適化計算の結果が、収束判定条件を満たさない場合には、ステップＳ１００７に進む。ステップＳ１００７に進むと、スラブグループ再定義部２０７は、ステップＳ１００５の最適化計算の結果として「１」が与えられた決定変数ｘ_jに対応するキャスト候補ｊ（キャスト片）に含まれる複数のスラブグループを１つのスラブグループとして再定義することを、キャスト候補ｊ（キャスト片）のそれぞれについて個別に行い、スラブグループを再定義し、スラブグループ情報９００を生成する（図９を参照）。そして、ステップＳ１００３の処理に戻り、再定義されたスラブグループのスラブグループ情報９００を用いて、ステップＳ１００３の処理が行われる。

ステップＳ１００６において、最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすと判定され、キャストが確定されると、ステップＳ１００８に進む。ステップＳ１００８に進むと、出力部２０８は、それぞれのキャストに含まれるスラブの情報をキャスト計画の立案結果として出力する。そして、図１０のフローチャートによる処理を終了する。

図１１は、図１０のステップＳ１００２の処理の一例を説明するフローチャートである。
まず、ステップＳ１１０１において、スラブグループ作成部２０２は、図１０のステップＳ１００１で取得されたスラブ情報３００に含まれるスラブ（レコード）を、熱延希望日が早いスラブから順に並び替える（図４に示すスラブ情報４００を参照）。
次に、ステップＳ１１０２において、スラブグループ作成部２０２は、並び替えられたスラブ情報４００の行を指定する変数ｋに「０（ゼロ）」を設定する。

次に、ステップＳ１１０３において、スラブグループ作成部２０２は、並び替えられたスラブ情報４００の行を指定する変数ｋに「１」を加算する。
次に、ステップＳ１１０４において、スラブグループ作成部２０２は、スラブグループ作成部２０２は、既に作成されているスラブグループの中に、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブを追加できるスラブグループがあるか否かを判定する。前述したように本実施形態では、（Ａ１）〜（Ｄ１）の全ての判定条件を満たす場合に、既に作成されているスラブグループの中に、選択したスラブを追加できるスラブグループがあると判定する。

この判定の結果、既に作成されているスラブグループの中に、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブを追加できるスラブグループがない場合には、ステップＳ１１０５に進む。ステップＳ１１０５に進むと、スラブグループ作成部２０２は、新たなスラブグループを作成し、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブを、当該作成した新たなスラブグループに含める。そして、後述するステップＳ１１０８に進む。

一方、ステップＳ１１０４の判定の結果、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブを追加できるスラブグループがある場合には、ステップＳ１１０６に進む。ステップＳ１１０６に進むと、スラブグループ作成部２０２は、ステップＳ１１０４で追加できると判定されたスラブグループに含まれるスラブと、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブの枚数の合計が上限値以下であるか否かを判定する。

この判定の結果、スラブの枚数の合計が上限値以下である場合には、ステップＳ１１０７に進む。ステップＳ１１０７に進むと、スラブグループ作成部２０２は、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブを、ステップＳ１１０４において当該スラブを追加できると判定されたスラブグループに含める。そして、後述するステップＳ１１０８に進む。

一方、ステップＳ１１０６において、スラブの枚数の合計が上限値以下でないと判定された場合には、前述したステップＳ１１０５に進む。前述したようにステップＳ１１０５では、スラブグループ作成部２０２は、新たなスラブグループを作成し、並び替えられたスラブ情報４００のｋ行目に登録されているスラブを、当該作成した新たなスラブグループに含める。そして、ステップＳ１１０８に進む。

ステップＳ１１０８に進むと、スラブグループ作成部２０２は、並び替えられたスラブ情報４００に含まれる全てのスラブが、何れかのスラブグループに割り当てられたか否かを判定する。この判定の結果、並び替えられたスラブ情報４００に含まれる全てのスラブが、何れかのスラブグループに割り当てられていない場合には、ステップＳ１１０３に戻る。そして、並び替えられたスラブ情報４００に含まれる全てのスラブが、何れかのスラブグループに割り当てられるまで、ステップＳ１１０３〜Ｓ１１０８の処理を繰り返し行う。

以上のようにして並び替えられたスラブ情報４００に含まれる全てのスラブが、何れかのスラブグループに割り当てられると、スラブグループ情報５００が得られる（図５を参照）。そして、ステップＳ１１０９において、スラブグループ作成部２０２は、スラブグループ情報５００をスラブグループ選択部２０３に出力する。そして、図１０のステップＳ１００３に進む。

（実施例）
次に、実施例を説明する。
本実施例では、スラブ数が「５０」、「１００」、「１５０」、「２００」、「２５０」、「３００」の６つのケースのそれぞれについてキャスト計画を作成した。発明例では、スラブグループの一部を１５個ずつ選択して、キャスト候補を導出し、最適化計算を行って最適なキャスト候補（キャスト片）を導出することを繰り返し行い、キャスト計画を作成した。一方、比較例では、図１０のステップＳ１００３において、ステップＳ１００２で作成される全てのスラブグループを選択する方法で、ステップＳ１００６の分岐からステップＳ１００７を経由することなく、１回の最適化計算によって最適なキャスト計画を作成した。発明例でも比較例でも、最適化問題として集合分割問題を採用し、目的関数として（１）式を、制約式として（２）式および（３）式を用いた。また、評価値ｃ_jは、（４）式で表されるものとした。ここで重み係数Ｃ_W、Ｃ_T、Ｃ_D、Ｃ_N、Ｃ_Sの値を、それぞれ「０」、「０」、「１」、「１００」、「１０」とした（Ｃ_W＝０、Ｃ_T＝０、Ｃ_D＝１、Ｃ_N＝１００、Ｃ_S＝１０）。

図１２は、発明例および比較例の結果を表形式で示す図である。図１３は、図１２に示すスラブ数と計算時間との関係を示す図である。図１４は、前述した６つのケースのそれぞれにおける評価値を示す図である。
図１２において、ケースＮｏ．は、前述した６つのケースを識別する番号である。図１２に示すケースＮｏ．と図１４に示すケースＮｏ．は同じものである。
立案対象スラブ枚数は、キャスト計画の立案対象となるスラブの枚数である。前述したように、本実施例では、「５０」、「１００」、「１５０」、「２００」、「２５０」、「３００」の６つのケースについて検討するので、これらが立案対象スラブ枚数になる。
スラブグループ数は、キャスト計画の立案対象となるスラブをスラブグループ作成部２０２の処理でグルーピングすることにより得られたスラブグループの数である。

キャスト数は、最終的に得られたキャストの数である。また、スラブ枚数は、最終的に得られたキャストの何れかに含まれるスラブの数である。本実施例では、本実施形態で説明したのと同様に、スラブグループの全てが何れかのキャスト（キャスト片）に含まれた場合に最適化計算を終了させた。したがって、図１２において、元の立案対象スラブ枚数とスラブ枚数は同じになる。

繰り返し数は、最適化計算の繰り返し数である。尚、最適化計算の繰り返し数は、図１０のステップＳ１００６の実行回数と同じである。比較例では、何れのケースにおいても最適化計算の回数は「１」である（すなわち、最適化計算は１回しか行われない）。
計算時間は、キャスト計画が得られるまでに要した時間である。

図１２、図１３に示すように、発明例では、計算時間を１秒程度にすることができる。これに対し、比較例では、計算時間が数十秒〜数百秒になる。また、図１４に示すように、発明例では、比較例に対し、評価値を大きく悪化させていない。尚、本実施例では、（１）式の目的関数ｆの値を最小化するので、評価値は小さい方が良い結果となる。
このように、発明例は比較例に比べ、評価値を大きく悪化させることなく１秒程度の計算時間によりキャスト計画を得ることができる。オペレータにおける最適化計算時間の待ち時間としては数分程度が許容される。したがって、本実施形態で説明した手法により、このような待ち時間以内に実用上十分な精度を有するキャスト計画を作成して出力することができる。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、スラブ情報３００に含まれるスラブのうち、製造条件が所定の範囲内で一致するスラブ（（Ａ１）〜（Ｄ１）の全ての判定条件を満たすスラブ）が同一のスラブグループに属するように、スラブ情報３００に含まれるスラブのそれぞれをグルーピングする。したがって、キャスト計画の立案対象のスラブが多い場合であっても、計算時間が増大することを抑制することができる。

また、本実施形態では、複数のスラブグループの一部を、熱延希望日の最早日が早いものから順に選択する。そして、選択したスラブグループのうち、同一のキャストに含めることができる条件（（Ａ２）〜（Ｅ２）の制約条件の全て）を満たすものをキャスト候補として導出する。キャスト候補を（キャスト片またはキャストとして）採用するか否かを示す変数である決定変数ｘ_jと、キャスト数を含む評価指標を用いて表現される評価値ｃ_iとを変数として有する目的関数ｆを最小化する決定変数ｘ_jを、最適化計算を行うことにより導出する。最適化計算の際の制約条件として、最適なキャスト候補に含まれるスラブグループの数と、キャスト候補を導出するのに先立って選択されるスラブグループの数とが同じであり、同一のスラブグループが異なるキャスト候補に含まれないという条件を採用する。このような最適化計算により採用されたキャスト候補に含まれるスラブグループを新たなスラブグループとして１つに纏める（すなわちスラブグループを再定義する）。以上の処理を、最適化計算の結果が収束するまで繰り返し行う。

このように、スラブグループの一部を取り込んでキャスト片のサイズを徐々に拡大して最終的キャスト計画を作成するので、スラブグループから一度にキャストを導出してキャスト計画を作成する場合に比べ、実用的な計算時間でキャスト計画を導出することができ、キャスト計画の作成に要する計算時間を短縮することができる。また、熱延希望日の最早日といった、操業上において重要な項目で事前にスラブグループをソートして、ソートした順にキャスト片の生成とスラブグループの再定義を繰り返すため、生成されたキャスト片における前記重視した項目のばらつきを抑制することができ、キャスト編成の問題を分割して解を求めることによる精度の低下を最小限に抑えることが可能となる。

また、本実施形態では、最適化計算の際の制約条件を、スラブグループに含まれるスラブの数が上限値Ｈ_MAX以上であるか否かによって異ならせる。
すなわち、含まれるスラブの数が上限値Ｈ_MAX以上であるスラブグループに対しては、以下の制約を課す。すなわち、同じ内容のスラブグループについて、最適なキャスト候補に含まれるスラブグループの数と、キャスト候補を導出するのに先立って選択されるラブグループの数とを同じにする制約を課す。したがって、多数のスラブが属するスラブグループがキャスト片として採用されやすくなる。よって、計算時間をより一層短縮することができる。

一方、含まれるスラブの数が上限値Ｈ_MAX以上でないスラブグループに対しては、以下の制約を課す。即ち、同じ内容のスラブグループについて、最適なキャスト候補に含まれるスラブグループの数を、キャスト候補を導出するのに先立って選択されるスラブグループの数以下にする制約を課す。これにより、キャスト候補を導出するのに先立って選択したスラブグループを、最適なキャスト候補の中に含めないことが許容される。したがって、少数のスラブが属するスラブグループが、好ましくないキャスト片に含まれることを抑制することができる。

また、本実施形態では、スラブグループのうち、（Ｃ２）コイル長、（Ｄ２）幅移行制約、および（Ｅ２）同幅本数制約の制約条件を満たすものをキャスト候補として採用する。したがって、製鋼工程のロットであるキャストを、熱延工程のロットであるチャンスと同じにすることができる。よって、例えば、熱延工程で熱間圧延される前にスラブがヤードに長時間滞在することを抑制することができる。これにより、例えば、製造工期を短縮することと、スラブの温度が低下することにより熱延工程における加熱炉の燃料原単位を抑制することとを実現することができる。

［第２の実施形態］
次に、第２の実施形態を説明する。第１の実施形態では、キャスト計画の作成対象となるスラブが全て同一の鋼種であることを前提とする場合を例に挙げて説明した。これに対し、本実施形態では、キャスト計画の作成対象となるスラブの少なくとも１つについて、鋼種の選択に自由度がある（複数の鋼種の中から鋼種を選択し得る）場合について説明する。このように本実施形態は第１の実施形態に対し、スラブの鋼種に選択の自由度があることによる構成および処理が主として異なる。したがって、本実施形態の説明において、第１の実施形態と同一の部分については、図１〜図１４に付した符号と同一の符号を付すなどして詳細な説明を省略する。

背景技術で説明したように、製鋼工場の一次精錬（転炉）および二次精錬工程（ＲＨ等）では、取鍋単位で成分調整が施されることから、１チャージ（取鍋一杯分）に相当する重量のスラブの集まりを同じ鋼種のスラブとして製造しなければならない。連続して鋳造する複数のチャージのまとまりがキャストとなるので、キャストに含まれるスラブの構成と各スラブの鋼種を決定する問題においては、キャストを構成するスラブを選択する際に、同じ鋼種として製造可能なスラブを集約してチャージ単位で鋼種を決定する必要がある。ここで、製造可能な鋼種は、各チャージに定められた成分規格（溶鋼の成分）によって定められる。

図１５は、スラブの鋼種とチャージとの関係の一例を説明する図である。図１５に示すように、鋼種Ｉ、II、IIIには、それぞれ、成分ａの範囲として、図１５に示す両矢印線の範囲が定められているものとする。この場合、チャージ１に含められる成分ａの範囲内に収まる鋼種Ｉまたは鋼種IIとしてチャージ１を製造することはできるが、この範囲内に収まらない鋼種IIIとしてチャージ１を製造することはできない。

以上のように各チャージに定められている成分規格により製造可能な鋼種が決定される。また、成分規格によっては、１つのスラブに対して製造可能な鋼種が複数設定される場合がある。また、例えば、溶鋼の成分範囲が狭く、当該成分の調整が困難である鋼種である場合や、溶鋼に合金を投入して溶鋼の成分値を調整する必要がある場合には、製造コストがかかる。このように、製造する鋼種によって製造コストが異なるため、成分規格を満足する範囲で可能な限り安価に製造したいという要望がある。
以上のことを踏まえ、以下に本実施形態のキャスト編成装置の一例を説明する。

＜スラブ情報取得部２０１＞
スラブ情報取得部２０１は、図３に示したスラブ情報３００に含まれる情報に加え、各スラブを製造可能な鋼種に関する情報を、スラブ情報として取得して記憶する。図１６は、本実施形態でスラブ情報取得部２０１が取得するスラブ情報１６００の一例を示す図である。

図１６に示すように、スラブ情報１６００は、スラブＮｏ．、材質、スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚、コイル幅、コイル厚、コイル長さ、および熱延希望日に加え、当該スラブを製造可能な鋼種（鋼種Ｉ、II、III）が相互に関連付けられた情報である。図１６に示す例では、各スラブは、「○」で示している鋼種での製造が可能であることを示す。例えば、スラブＮｏ．が「１」のスラブは、鋼種Ｉのみでの製造が可能であるのに対し、スラブＮｏ．が「２」のスラブは、鋼種Ｉと鋼種IIの何れかでの製造が可能である。このように、材質、スラブ重量、スラブ幅、スラブ厚、コイル幅、コイル厚、コイル長さ、および熱延希望日には、与えられたスラブ情報１６００に対して選択の自由度がない。これに対し、製造可能な鋼種には、与えられたスラブ情報１６００に対して選択の自由度を持たせたり、持たせなかったりすることができる。
また、スラブ情報１６００には、製造可能な鋼種（鋼種Ｉ、II、III）に加え、当該鋼種のスラブを製造する際の製造コスト（不図示）が含まれる。

＜スラブグループ作成部２０２＞
スラブグループ作成部２０２は、スラブ情報取得部２０１で取得されたスラブ情報１６００に基づいて、製造条件が所定の範囲内で一致するスラブが同一のスラブグループに属するように、スラブ情報１６００に含まれるスラブのそれぞれをグルーピングすることによりスラブグループを作成する。本実施形態では、スラブグループ作成部２０２は、第１の実施形態で説明した（Ａ１）〜（Ｄ１）の判定条件に加えて、以下の（Ｅ１）の判定条件も満たす場合に、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報から選択したスラブを追加できるスラブグループがあると判定する。尚、第１の実施形態で説明したように、このスラブ情報は、図１６に示したスラブ情報１６００のスラブ（レコード）を熱延希望日が早いものから順に並び替えたものである（図４のスラブ情報４００を参照）。

（Ｅ１）既に作成されているスラブグループに含まれるスラブの製造可能な鋼種と、スラブ情報から選択したスラブの製造可能な鋼種との少なくとも１つが重複する。
例えば、図１６のスラブＮｏ．が「１」のスラブと、スラブＮｏ．が「４」のスラブとが同じスラブグループに含まれている場合、製造可能な鋼種として重複する鋼種は鋼種Ｉである。したがって、スラブＮｏ．が「５」のスラブは、当該スラブグループに追加できるが、スラブＮｏ．が「６」のスラブは、当該スラブグループに追加できない。
その他のスラブグループ作成部２０２の処理は、第１の実施形態で説明した処理と同じである。尚、スラブグループ作成部２０２は、第１の実施形態と同じようにしてスラブグループを作成してもよい（即ち、（Ａ１）〜（Ｄ１）の判定条件を考慮し、（Ｅ１）の判定条件を考慮しなくてもよい）。

＜キャスト候補導出部２０４＞
キャスト候補導出部２０４は、スラブグループ選択部２０３で選択されたスラブグループから、キャスト候補を導出する。
図１７は、キャスト候補導出部２０４の処理の一例を説明するフローチャートである。図１７のフローチャートの処理は、例えば、第１の実施形態で説明した図１０のステップＳ１００４の処理に置き換わる処理である。図１７のフローチャートを参照しながら、本実施形態のキャスト候補導出部２０４の処理の一例を説明する。

ステップＳ１７０１において、キャスト候補導出部２０４は、スラブグループ選択部２０３で選択されたスラブグループの集合から、とり得るスラブグループの組み合わせ（部分集合）を全数列挙する。この処理は、第１の実施形態と同じである。
次に、ステップＳ１７０２において、キャスト候補導出部２０４は、列挙したスラブグループの組み合わせ（部分集合）のうち、第１の実施形態で説明した（Ａ２）〜（Ｅ２）の全ての制約条件を満たすものを抽出する。

第１の実施形態では、これら（Ａ２）〜（Ｅ２）の全ての制約条件を満たすものがキャスト候補となるが、本実施形態では、これら（Ａ２）〜（Ｅ２）の制約条件に加えて以下の（Ｆ２）の制約条件を満たすものをキャスト候補とする。

（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約
スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブを鋼種毎に分け、鋼種毎に分けたスラブを、スラブの幅が昇順または降順になるようにソートしたときに、各鋼種において相隣り合うスラブの幅の差が上限値以下である。
上限値としては、例えば１００［ｍｍ］を採用することができる。

第１の実施形態で説明した「（Ｄ２）幅移行制約」は、圧延時におけるスラブの幅の移行に関する制約であるのに対し、「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」は、鋳造時における鋼種毎のスラブの幅の移行に関する制約である。「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」は、連続鋳造機における鋳型の幅を急激に変更することができないことから要請される制約である。

「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」の充足を判定するためには、スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれる各スラブについて、製造可能な鋼種の中から、適切な鋼種を決定しなければならない。しかしながら、図１６に示したように、製造可能な鋼種が一意に定まらないスラブが存在する（例えば、スラブＮｏ．が「２」のスラブ）。「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」を充足するように鋼種を決定する問題は、最適化問題として捉えることができる。そこで、本実施形態では、以下のステップＳ１７０３以降の処理のようにして、製造可能な鋼種の中から、適切な鋼種を決定し、各スラブの鋼種が決定した鋼種であるものとして、「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」の充足を判定する。

まず、ステップＳ１７０３において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０２で抽出したスラブグループの組み合わせ（部分集合）のうち、未選択のものを１つ選択する。
次に、ステップＳ１７０４において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれる各スラブの鋼種として、当該スラブを製造可能な鋼種のうち製造コストが最も安価な鋼種を仮決定する。例えば、図１６において、鋼種Ｉが鋼種IIよりも製造コストが安価な場合、スラブＮｏ．が「２」のスラブについては、鋼種Ｉが仮決定される。鋼種の選択肢が１つであるスラブについては、当該スラブについては当該鋼種が仮決定される。例えば、図１６において、スラブＮｏ．が「６」のスラブについては、鋼種IIが仮決定される。

次に、ステップＳ１７０５において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブのうち、製造可能な鋼種として複数の鋼種がスラブ情報１６００に設定されているスラブを抽出する。図１６に示す例では、スラブＮｏ．が「２」、「３」、「５」、「８」、「１０」〜「１２」のスラブが抽出される。このステップＳ１７０５で抽出されるスラブの数をＮ_sとする。
次に、ステップＳ１７０６において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０５で抽出したＮ_s個のスラブを、製造コストにより昇順または降順にソートする。このときの製造コストとして、ステップＳ１７０４で仮決定した鋼種についての製造コストを用いる。

次に、ステップＳ１７０７において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０５で抽出したＮ_s個のスラブのうち、未選択のスラブｓを、ステップＳ１７０６でソートした順に１つ選択する。
次に、ステップＳ１７０８において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして、ステップＳ１７０４で仮決定した鋼種ｋについての評価値ｃ_kを算出する。

ここで、評価値ｃ_kについて説明する。
本実施形態では、以下の（Ａ３）〜（Ｄ３）の４つの評価指標を用いて、各スラブの鋼種を決定する。
（Ａ３）鋼種数
同一のキャスト内において複数の異なる鋼種が共存する場合には、鋼種が切り替わるチャージ間においてタンディッシュ内にて溶鋼の混合部が発生する。このため、混合部の成分がスラブに求められる要求を満足しない場合にはスラブの一部を切断して破棄する。したがって、異鋼種連々鋳（以下同じ）による操業を実施した場合には歩留が低下することから、同一キャスト内における異鋼種連々の数は可能な限り少ない方が望ましい。尚、異鋼種連々とは、異なる鋼種を連続して連続鋳造することをいう。よって、スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブの鋼種の数は少ない方が望ましい。

（Ｂ３）余材量
余材とは、生産量が定まっているロットに注文を割り当てても当該生産量に満たない場合に、当該ロットにおいて生産される製品であって、生産時においては、どの注文に紐付けられるのかが未定である製品をいう。余材量とは、そのような製品の量をいう。
溶鋼の成分の作り込みは転炉および二次精錬工程において実施されることから、鋼種はチャージ単位で製造される。したがって、ある鋼種を割り当てたスラブの総重量がチャージ重量（１チャージの重量）に満たない部分については、注文と紐付かない余材として製造される。余材は注文と紐付けられるまでスラブとしてヤードに滞留することから、仕掛在庫量の増加を招く。このため、可能な限り余材量が減少するように、ある鋼種を割り当てたスラブの総重量がチャージ重量に近づくようにすること（好ましくは一致すること）が望まれる。

（Ｃ３）製造コスト
前述したように、成分範囲の正確な調整作業や、合金の投入が必要であることから、成分範囲の狭い鋼種や、合金などの投入が必要な鋼種は、より多くの製造コストを要する。このため、あるスラブについて鋼種の選択肢がある場合には、可能な限り安価な鋼種として製造する方が望ましい。
しかしながら、製造コストが安価な低位の鋼種をより高価な鋼種として製造することで鋼種を集約することが可能であり、鋼種数および余材量を低減することが可能な場合がある。一方、製造コストが安価な低位の鋼種を高価な鋼種に集約することは、製造コストを悪化させる。このため、「（Ａ３）鋼種数」および「（Ｂ３）余材量」と「（Ｃ３）製造コスト」とはトレードオフの関係にある。

（Ｄ３）鋼種内における幅移行制約の改善量
前述したように、連続鋳造機における連続鋳造を可能にするため、各鋼種において前述した「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」）違反がなくなるように、鋼種を変更するのが望ましい。

本実施形態では、以上の（Ａ３）〜（Ｄ３）の評価指標を用いて、鋼種ｋについての評価値ｃ_kを、以下の（６）式で表す。
ｃ_k＝Ｗ_W−Ｗ_N−Ｗ_Y−Ｗ_P ・・・（６）
（６）式において、Ｗ_Wは、鋼種内幅移行制約違反改善量である。スラブｓの鋼種ｋを変更することにより鋼種ｋ内における幅移行制約（前述した「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」）違反が解消する場合には、鋼種内幅移行制約違反改善量Ｗ_Wを予め設定された正の値を有する数Ｃ_W（Ｗ_W＝Ｃ_W（＞０））とする。スラブｓの鋼種ｋの変更前後の双方において鋼種ｋ内における幅移行制約違反がない場合、または、スラブｓの鋼種ｋを変更しても鋼種ｋ内における幅移行制約違反が解消しない場合には、鋼種内幅移行制約違反改善量Ｗ_Wを０（Ｗ_W＝０）とする。

Ｗ_Nは、鋼種数コストである。スラブｓの鋼種を鋼種ｋとしたときの、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブの鋼種の数をＮ_kとし、Ｎ_kに対する重み係数をＣ_Nとすると、鋼種数コストＷ_Nは、これらの積（Ｗ_N＝Ｎ_k×Ｃ_N）で表される。
Ｗ_Yは、余材量コストである。スラブｓの鋼種を鋼種ｋとしたときの、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれる鋼種ｋのスラブの総重量をＱ_kとし、チャージ重量をＱ_chとすると、総重量Ｑ_kのスラブを製造するためにはn_ch（＝Ｑ_k÷Ｑ_chの値の整数部分＋１）杯分のチャージが必要になる。すると余材量Ｑ_Yは、n_ch×Ｑ_ch−Ｑ_kになる。そうすると、余材量コストＷ_Yは、余材量Ｑ_Yと、Ｑ_Yに対する重み係数Ｃ_Yとの積（Ｗ_Y＝Ｑ_Y×Ｃ_Y）で表される。

Ｗ_Pは、製造コストである。鋼種毎の製造コストの積算値をＥ_kとし、Ｅ_kに対する重み係数をＣ_Pとすると、スラブｓの鋼種を鋼種ｋとしたときの製造コストＷ_Pは、これらの積（Ｗ_P＝Ｅ_k×Ｃ_P）となる。
重み係数Ｃ_N、Ｃ_Y、Ｃ_Pは、それぞれの評価項目をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価項目間の評価のバランスを表す。

ステップＳ１７０８において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの、ステップＳ１７０４で仮決定した鋼種ｋについての評価値ｃ_kを、以上の（６）式により算出する。

次に、ステップＳ１７０９において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして、当該スラブｓを製造可能な鋼種であって、ステップＳ１７０４で仮決定した鋼種以外の未選択の鋼種を１つ選択する。例えば、キャスト候補導出部２０４は、このような未選択の鋼種のうち、何らかの予め定めた順序（例えば、製造コストが最も安価または高価な鋼種）に従い１つの鋼種を選択することができる。尚、スラブｓを製造可能な鋼種は、スラブ情報１６００から特定することができる。

次に、ステップＳ１７１０において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして、ステップＳ１７０９で選択した鋼種ｋについての評価値ｃ_kを、（６）式により算出する。
次に、ステップＳ１７１１において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして、当該スラブｓを製造可能な鋼種であって、ステップＳ１７０４で仮決定した鋼種以外の鋼種を全て選択したか否かを判定する。この判定の結果、全ての鋼種を選択していない場合には、ステップＳ１７０９に戻る。そして、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして、当該スラブｓを製造可能な鋼種の全てについての評価値ｃ_kを算出するまで、ステップＳ１７０９〜Ｓ１７１１の処理を繰り返し行う。

そして、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして、当該スラブｓを製造可能な鋼種の全てについての評価値ｃ_kを算出すると、ステップＳ１７１２に進む。
ステップＳ１７１２に進むと、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの各鋼種ｋについての評価値ｃ_kのうち、最も大きな値の評価値ｃ_kを抽出する。そして、キャスト候補導出部２０４は、抽出した評価値ｃ_kを得たときに用いた鋼種ｋを、ステップＳ１７０７で選択したスラブｓの鋼種ｋとして決定する。

次に、ステップＳ１７１３において、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０５で抽出したＮ_s個のスラブｓの全てを選択したか否かを判定する。この判定の結果、全てのスラブを選択していない場合には、ステップＳ１７０７に戻る。そして、ステップＳ１７０５で抽出したＮ_s個のスラブｓの鋼種ｋを決定するまで、ステップＳ１７０７〜Ｓ１７１３の処理を繰り返し行う。

そして、ステップＳ１７０５で抽出したＮ_s個のスラブｓの鋼種ｋを決定すると、ステップＳ１７１４に進む。
ステップＳ１７１４に進むと、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれる各スラブが、前述した「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」を満たすか否かを判定する。この判定には、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれる各スラブｓについての、ステップＳ１７１２で決定した鋼種ｋが用いられる。

この判定の結果、「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」を満たす場合には、ステップＳ１７１５に進み、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）をキャスト候補として採用する。そして、ステップＳ１７１７に進む。一方、「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」を満たさない場合には、ステップＳ１７１６に進み、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０３で選択したスラブグループの組み合わせ（部分集合）をキャスト候補として採用しない。そして、ステップＳ１７１７に進む。

ステップＳ１７１７に進むと、キャスト候補導出部２０４は、ステップＳ１７０２で抽出したスラブグループの組み合わせ（部分集合）の全てを選択したか否かを判定する。この判定の結果、全てのスラブグループの組み合わせ（部分集合）を選択していない場合には、ステップＳ１７０３に戻る。そして、全てのスラブグループの組み合わせ（部分集合）について、キャスト候補として採用するか否かを決定するまでステップＳ１７０３〜Ｓ１７１７の処理を繰り返し行う。そして、全てのスラブグループの組み合わせ（部分集合）について、キャスト候補として採用するか否かを決定すると、図１７のフローチャートによる処理を終了し、図１０のステップＳ１００５に進む。

＜最適化部２０５＞
最適化部２０５は、キャスト候補導出部２０４により導出されたキャスト候補の中から、最適なキャスト候補（キャスト片）の組み合わせを、最適化問題を解くことにより導出する。
本実施形態では、第１の実施形態で説明した（４）式に代えて、以下の（７）式でキャスト候補ｊの評価値ｃ_jを表す。
ｃ_j＝Ｃ_W×Ｗ＋Ｃ_T×Ｔ＋Ｃ_D×Ｄ＋Ｃ_N−Ｃ_S×Ｓ−Ｃ_n×ｎ−Ｃ_y×ｙ−Ｃ_p×ｐ ・・・（７）

（７）式の右辺第１項〜第５項は、（４）式と同じである。
ｎは、キャスト候補ｊに含まれるスラブの鋼種の総数である。Ｃ_nは、ｎに対する重み係数である。
ｙは、キャスト候補ｊにおける余材量の総和である。Ｃ_yは、ｙに対する重み係数である。

ｐは、キャスト候補ｊに含まれるスラブの製造コストの総和である。Ｃ_pは、ｐに対する重み係数である。
重み係数Ｃ_W、Ｃ_T、Ｃ_D、Ｃ_N、Ｃ_S、Ｃ_n、Ｃ_y、Ｃ_pは、それぞれの評価項目をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価項目間の評価のバランスを表す。
その他の最適化部２０５の処理は、第１の実施形態で説明した処理と同じである。

（実施例）
次に、実施例を説明する。
本実施例では、スラブ数が「５０」、「１００」、「１５０」、「２００」、「２５０」、「３００」、「３５０」、「４００」、「４５０」の９つのケースのそれぞれについてキャスト計画を作成した。何れのケースにおいても、複数の鋼種の何れかを選択し得るスラブと、１つの鋼種のみが指定されているスラブとが含まれるようにし、複数の鋼種の何れかを選択し得るスラブについては本実施形態で説明したようにして鋼種を決定した。発明例では、スラブグループの一部を２０個ずつ選択して、キャスト候補を導出し、最適化計算を行って最適なキャスト候補（キャスト片）を導出することを繰り返し行い、キャスト計画を作成した。一方、比較例では、図１０のステップＳ１００３において、ステップＳ１００２で作成される全てのスラブグループを選択する方法で、ステップＳ１００６の分岐からステップＳ１００７を経由することなく、１回の最適化計算によって最適なキャスト計画を作成した。

発明例でも比較例でも、最適化問題として集合分割問題を採用し、目的関数として（１）式を、制約式として（２）式および（３）式を用いた。また、評価値ｃ_jは、（７）式で表されるものとした。ここで重み係数Ｃ_W、Ｃ_T、Ｃ_D、Ｃ_N、Ｃ_S、Ｃ_n、Ｃ_y、Ｃ_pの値を、それぞれ「０」、「０」、「１」、「１００」、「1０」、「１」、「１」、「１」とした（Ｃ_W＝０、Ｃ_T＝０、Ｃ_D＝１、Ｃ_N＝１００、Ｃ_S＝1０、Ｃ_n＝１、Ｃ_y＝１、Ｃ_p＝１）。

図１８は、発明例および比較例の結果を表形式で示す図である。
図１８において、比較例では、スラブ枚数が２００以上の場合に、計算時間が１時間を超え、実用的な計算時間内においてキャスト編成結果が得られなかったため、最適化計算を打ち切った。一方、発明例では、全てのケースにおいて１０分以内という実用的な計算時間内においてキャスト編成結果が得られている。

したがって、オペレータにおける最適化計算時間の待ち時間としては数分程度が許容されるため、本実施形態で説明した計算手法により十分可能な待ち時間にて最適なキャスト編成結果を得ることができる。
また、各スラブへ鋼種を割り当てた結果、前述した「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」を充足するスラブグループの組み合わせ（部分集合）のみをキャスト候補として登録することで、（Ａ２）〜（Ｆ２）の全ての制約条件を充足したキャスト編成結果を得ることが可能である。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、（Ａ１）〜（Ｄ１）に加えて（Ｅ１）の判定条件を満たすスラブが同一のスラブグループに属するように、スラブ情報１６００に含まれるスラブのそれぞれをグルーピングする。また、複数のスラブグループの一部を、熱延希望日の最早日が早いものから順に選択し、選択したスラブグループのうち、（Ａ２）〜（Ｅ２）の制約条件に加えて、（Ｆ２）の制約条件を満たすものをキャスト候補として導出する。そして、スラブの幅の最大値と最小値との差、スラブの厚みの最大値と最小値の差、スラブの熱延希望日の平均値と再早日との差、およびキャスト数に加えて、鋼種数、余材量、および製造コストを評価指標として、キャスト候補ｊの評価値を導出する。したがって、第１の実施形態で説明した効果に加え、鋳造に関する制約条件を順守し、且つ、異鋼種連々の回数、余材量、および製造コストも含めて最適なキャスト計画を実用的な時間内で作成することができる。

また、本実施形態では、複数の鋼種で製造できるスラブについては、同一の鋼種内における幅移行制約違反量と、スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれるスラブの鋼種の総数と、スラブグループの組み合わせ（部分集合）における余材の総量と、製造コストを評価指標として、当該複数の鋼種の中から１つを決定する。したがって、各スラブの鋼種をこれらの評価指標に従って適切に決定することができる。
また、本実施形態では、（Ａ２）〜（Ｅ２）の制約条件を満たすスラブグループの組み合わせ（部分集合）の中から、（Ｆ２）の制約条件を満たすスラブグループの組み合わせ（部分集合）を探索する。したがって、（Ａ２）〜（Ｆ２）の制約条件を満たすか否かを一度に判定する場合に比べ、計算時間を短くすることができる。

また、本実施形態では、スラブグループの組み合わせ（部分集合）に含まれる各スラブの鋼種として、当該スラブを製造可能な鋼種のうち製造コストが最も安価な鋼種を仮決定する。したがって、「（Ｆ２）鋼種内における幅移行制約」を満足させる本実施形態の手法においても、各スラブの鋼種として製造コストが安価な鋼種が選択され易くなるようにすることができる。

［変形例］
＜変形例１＞
前述した第１、第２の実施形態では、スラブ情報３００のスラブ（レコード）を熱延希望日が早いスラブから順に並び替える場合を例に挙げて説明した。しかしながら、スラブ情報３００に含まれるスラブの製造条件に基づいてスラブ情報３００のスラブ（レコード）を並び替えるようにしていれば、必ずしもこのようにする必要はない。圧延工程においては一般に幅が広いスラブから狭いスラブへと圧延する操業をしているが、前後に圧延されるスラブ幅の変化量が小さいほど操業が安定する傾向がある。そこで、例えば、スラブ幅が狭いスラブ（レコード）から順に並び替えるようにしてもよい。このようにすることで、同一キャスト内におけるスラブ幅のばらつきが抑制され、操業が安定化する。尚、スラブ幅、スラブ厚、およびスラブ重量のように数値で表されているものについては、例えば、当該数値が降順または昇順になるようにスラブ（レコード）を並び替える。一方、材質のように記号で表されているものについては、例えば、辞書順（アルファベット順や五十音順）に従って記号が昇順または降順になるようにスラブ（レコード）を並び替える。
以上のことは、スラブグループ選択部２０３においてスラブグループ情報５００のスラブグループ（レコード）を並び替える場合についても同じである。

＜変形例２＞
前述した第１、第２の実施形態では、前述した（Ａ１）〜（Ｄ１）の全ての判定条件を満たす場合に、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報４００から選択したスラブを含める場合を例に挙げて説明した。しかしながら、スラブ情報３００に含まれるスラブの製造条件に基づいて定められる判定条件に基づいて、既に作成されているスラブグループの中に、スラブ情報４００から選択したスラブを含めるか否かを判定するようにしていれば、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、条件（Ｄ１）を省略してもよい。

＜変形例３＞
前述した第１、第２の実施形態では、列挙したスラブグループの組み合わせ（部分集合）のそれぞれについて、前述した（Ａ２）〜（Ｅ２）の全ての制約条件を満たすもののみをキャスト候補として採用する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、同一のキャストに含めることができる条件（制約条件）を満たすものをキャスト候補として採用していれば、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、（Ｂ２）〜（Ｅ２）のうちの少なくとも何れか１つを採用していればよい。

＜変形例４＞
前述した第１、第２の実施形態では、スラブグループ選択部２０３で選択するスラブグループの数が一定である場合を例に挙げて説明した。しかしながら、スラブグループ選択部２０３で選択するスラブグループの数を異ならせてもよい。図１０に示したステップＳ１００３〜Ｓ１００６の処理を繰り返すと、スラブグループの再定義によって、スラブグループに属するスラブ枚数が増加する。すると、前述した（Ａ２）〜（Ｅ２）の制約条件を満たさなくなるキャスト候補が発生しやすくなることから、キャスト候補の数が減少し、ステップＳ１００３〜Ｓ１００６の１回当たりの処理の時間が短くなる傾向となる。したがって、図１０で示したステップＳ１００３〜Ｓ１００７に示す処理を繰返し、スラブグループに含まれるスラブ数が多くなるにつれて、スラブグループ選択部２０３で選択するスラブグループの数を大きくしてもよい。これにより、ステップＳ１００４において導出されるキャスト候補数の減少を抑制して、より多数の組合せの中からキャスト片を最適化結果として得るとともに、収束に要するまでのステップＳ１００３〜Ｓ１００７の繰返し計算回数を抑制することが可能となる。

＜変形例５＞
前述した第１、第２の実施形態では、同一のキャストに含まれるスラブは同一のロット（チャンス）として熱延工程で熱間圧延されるようにするための制約条件として、（Ｃ２）〜（Ｅ２）の制約条件を例に挙げて説明した。しかしながら、同一のキャストに含まれるスラブは同一のロット（チャンス）として熱延工程で熱間圧延されるようにするための制約条件は、（Ｃ２）〜（Ｅ２）の制約条件の少なくとも１つを含んでいればよい。例えば、熱延対象のスラブや設備に応じて、（Ｃ２）〜（Ｅ２）の制約条件のうち、何れの制約条件を採用するかを決定することができる。

＜変形例６＞
前述した第１、第２の実施形態では、キャスト候補ｊに含まれるスラブのスラブ幅の最大値と最小値との差Ｗ、キャスト候補ｊに含まれるスラブのスラブ厚の最大値と最小値との差Ｔ、キャスト候補ｊに含まれるスラブの熱延希望日の平均値と最早日との差Ｄ、およびキャスト数を、キャスト候補ｊの評価指標として用いる場合を例に挙げて説明した。しかしながら、ロット単位で生産される製品の生産計画を作成する場合には、ロットの数を評価していれば、その他の評価指標は適宜決定すればよい。すなわち、本実施形態の例では、評価指標には、少なくともキャスト数が含まれていればよい。また、キャスト候補ｊに含まれるスラブの熱延希望日の平均値と最早日との差Ｄに加えてまたは代えて、キャスト候補ｊに含まれるスラブの熱延希望日の最遅日と最早日との差を評価指標として用いてもよい。また、材質を評価指標に含めてもよい。

＜変形例７＞
前述した第１、第２の実施形態では、同じ内容のスラブグループｉ（すなわち、構成するスラブの組み合わせが同じスラブグループｉ）が複数存在しないことを前提としているため、（２）式および（３）式の制約式の右辺の値を「１」にした。しかしながら、例えば、同じ内容のスラブグループｉが複数ある場合には、（２）式および（３）式の制約式の右辺の値は、その数になる。例えば、同じ内容のスラブグループｉが２つある場合、当該スラブグループｉに対する制約式として、（２）式および（３）式の制約式の右辺の値を「２」にした制約式が与えられる。このようにすることによって、同じ内容のスラブグループｉが複数ある場合であっても、最適なキャスト候補に含めるスラブグループを、属するスラブの数に応じて決定することができる。

＜変形例８＞
前述した第１、第２の実施形態では、判定部２０６は、「１」が与えられた決定変数ｘ_jに対応する各キャスト候補ｊ（キャスト片）の何れかに、スラブグループ作成部２０２またはスラブグループ再定義部２０７において作成された(最新の)スラブグループの全てが１つずつ含まれている場合に、最適化部２０５における最適化計算の結果が、収束判定条件を満たすと判定する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、収束判定条件は、このようなものに限定されない。

スラブをいずれのキャスト片にも取り込むことが制約上できない、いわゆる組み余りが生じた際においても計算収束を判定するために、例えば、スラブグループｉの総数に対する、キャスト片の何れかに含まれるスラブグループｉの総数の割合（すなわち、スラブグループｉのキャスト片への採用率）が所定の割合以上である場合に、収束判定条件を満たすと判定してもよい。また、スラブグループｉ内のスラブの総数に対する、キャスト片の何れかに含まれるスラブグループｉ内のスラブの総数の割合（すなわち、スラブのキャスト片への採用率）が所定の割合以上である場合に、収束判定条件を満たすと判定してもよい。

その他、前回の最適化計算の結果として得られた目的関数ｆの値と、今回の最適化計算の結果として得られた目的関数ｆの値との差が所定値以下、または、前回の最適化計算の結果として得られた目的関数ｆの値と、今回の最適化計算の結果として得られた目的関数ｆの値とが同じである場合に、収束判定条件を満たすと判定してもよい。

＜変形例９＞
キャスト計画の対象となるスラブの数が多い場合には、第１、第２の実施形態で説明したようにスラブグループを作成するのが好ましい。前述したように計算時間を短縮することができるからである。しかしながら、例えば、キャスト計画の対象となるスラブの数が多くない場合には、スラブグループを作成しなくてもよい。

＜変形例１０＞
前述した第１、第２の実施形態において、１回の最適化計算における計算時間の上限値を設け、１回の最適化計算における計算時間が当該上限値になった場合には、その時点で得られている解を最適なキャスト候補と見なすようにしてもよい。

＜変形例１１＞
前述した第２の実施形態では、鋼種内幅移行制約違反改善量Ｗ_W、鋼種数コストＷ_N、余材量コストＷ_Y、および製造コストＷ_Pを用いて鋼種ｋについての評価値ｃ_kを表す場合を例に挙げて説明した（（６）式を参照）。しかしながら、鋼種ｋについての評価値ｃ_kは、鋼種内幅移行制約違反改善量Ｗ_W、鋼種数コストＷ_N、余材量コストＷ_Y、および製造コストＷ_Pの少なくとも１つを用いて表していればよい。例えば、キャスト計画の立案方針に応じて、これらのうちの何れを採用するかを決定することができる。

＜変形例１２＞
前述した第１、第２の実施形態では、キャスト計画を作成する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、本実施形態で説明した手法は、キャスト計画以外の、ロットに複数の製品を纏めてロット単位で生産される複数の製品の生産計画に適用することができる。

例えば、本実施形態で説明した手法を厚板生産計画（板取り問題）に適用してもよい。スラブを目標の板厚に圧延した後、圧延後のスラブを注文に応じて剪断し厚板を得る。よって、どのスラブからどの厚板を切り出すのかを決める必要がある。かかる内容を厚板生産計画として作成する。この場合、「厚板」が「製品」に対応し、「スラブ」が「ロット」に対応し、「剪断（切り出し）」が「製造」に対応し、剪断の次工程である「精整工程」が「選択の自由度がある製造条件」に対応し、切り出したスラブの「余剰部分」が「余材量」に対応する。

スラブ情報に相当する厚板情報には、例えば、厚板の材質、サイズ、および納期などの製造条件が含まれる。（Ａ２）〜（Ｅ２）に相当する条件として、厚板を同一のスラブから切り出すことが可能な条件（制約条件）が与えられる。この制約条件には、例えば、同一のスラブに所定の材質と異なる厚板が含まれないことや、厚板の総重量が上限値を上回らないことや、同一のスラブに含まれる厚板の厚みが所定の範囲内の厚みであることを含めることができる。この制約条件を満たすスラブがスラブ候補になる。尚、厚板をグルーピングすることもできる。例えば、本実施形態で説明した「圧延希望日」を「納期」に置き換えてスラブグループ作成部２０２の項で説明した処理を行うことにより厚板グループを作成することができる。最適化の際の評価指標としては、スラブの数に加え、例えば、スラブの余剰部分などを含めることができる。スラブの余剰部分とは、スラブからの切り出し後、何れの厚板にもならないスラブの部分である。このスラブの余剰部分が小さいほど、評価値は、評価が高いことを示すようにする。この他、本実施形態で説明したように、製品（厚板）のサイズや納期を用いた評価指標を採用することができる。また、最適化計算の際の制約式は、キャスト計画における制約式と同様に設定することができる（（２）式、（３）式を参照）。例えば、（２）式に対応する制約式として、同じ内容の厚板（または厚板グループ）について、最適なスラブ候補に含まれる厚板（または厚板グループ）の数と、スラブ候補を導出するのに先立って選択される厚板（または厚板グループ）の数とが同じであることが定式化された制約式を採用することができる。また剪断された厚板は、塗装、手入れ、徐冷など異なる精整工程に送られるため、板取り問題においては、第２の実施形態で説明した「鋼種」を「精整工程」に置き換えて、各精整工程における処理に関する制約条件の下で処理効率を最大化するように、同一スラブから剪断される厚板を精整工程に割り当てればよい。

また、本実施形態で説明した手法を熱延計画（チャンス編成問題）に適用してもよい。連続して熱間圧延する複数のスラブを決定する必要がある。この複数のスラブの単位をチャンスと呼ぶ。この場合、「熱延板（コイル）」が「製品」に対応し、「チャンス」が「ロット」に対応し、「圧延」が「製造」に対応し、「加熱炉の炉号選択」が「選択の自由度がある製造条件」に対応する。スラブ情報に対応する熱延板情報には、例えば、熱延板（コイル）の材質、スラブのサイズ、熱延板（コイル）のサイズ、および熱延希望日などの製造条件が含まれる。（Ａ２）〜（Ｅ２）に相当する条件として、例えば、（Ｃ２）〜（Ｅ２）を用いることができる。この制約条件を満たすチャンスがチャンス候補になる。尚、熱延板をグルーピングすることもできる。例えば、スラブグループ作成部２０２の項で説明した処理を行うことにより熱延板グループを作成することができる。最適化の際の評価指標としては、チャンスの数を用いることができる。この他、本実施形態で説明したように、製品（熱延板）のサイズや熱延希望日を用いた評価指標を採用することができる。また、最適化計算の際の制約式は、キャスト計画における制約式と同様に設定することができる（（２）式、（３）式を参照）。例えば、（２）式に対応する制約式として、同じ内容の熱延板（または熱延板グループ）について、最適なチャンス候補に含まれる熱延板（または熱延板グループ）の数と、チャンス候補を導出するのに先立って選択される熱延板（または熱延板グループ）の数とが同じであることが定式化された制約式を採用することができる。また、チャンスを構成するスラブを複数の加熱炉に振り分けて加熱する場合は、第２の実施形態で説明した「鋼種」を「加熱炉」に置き換えて、加熱炉の能力に応じて定まる加熱炉制約の下で加熱に関する効率が最大となるように加熱炉ごとにスラブを割り当てればよい。

また、本実施形態で説明した手法の適用対象は、ロット単位で纏めて複数の製品を生産するための計画に限定されず、ロット単位で纏めて複数の製品を処理するための計画であってもよい。
例えば、本実施形態で説明した手法を山立て作成計画（山立て問題）に適用してもよい。鋼材置場（ヤード）においてクレーン等の搬送機器を用いて複数のスラブを複数の山に分けて山積みする際の各スラブが属する山と各山における各スラブの位置（積段）とを決定する必要がある。かかる内容を山立て計画として作成する。この場合、「スラブ」が「製品」に対応し、「山」が「ロット」に対応し、「山立て（搬送機器によるスラブの搬送）」が「処理」に対応する。スラブ情報は、本実施形態で説明したスラブ情報３００を用いることができる。（Ａ２）〜（Ｅ２）に相当する条件（制約条件）として、（Ａ２）〜（Ｅ２）の「キャスト」を「山」に置き換えた条件を含めることができる。この制約条件を満たす山が山候補になる。尚、本実施形態と同様にスラブをグルーピングしてスラブグループを作成することができる。最適化の際の評価指標としては、山の数に加え、例えば、山繰りの回数などを含めることができる。山繰りとは、山を作る際に、最終的な場所とは異なる場所にスラブを一旦仮置きすることをいう。山繰りの回数が小さいほど、評価値は、評価が高いことを示すようにする。この他、本実施形態で説明したように、スラブのサイズや熱延希望日を用いた評価指標を採用することができる。また、最適化計算の際の制約式は、キャスト計画における制約式と同様に設定することができる（（２）式、（３）式を参照）。

＜その他の変形例＞
尚、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

（請求項との関係）
本実施形態で説明した事項と請求項との関係を以下に列挙する。尚、本発明が以下のものに限定されるものではないことは、変形例などで説明した通りである。
計画作成装置は、例えば、キャスト編成装置２００に対応する。
取得手段は、例えば、スラブ情報取得部２０１を用いることにより実現される。
製品情報は、例えば、スラブ情報３００に対応する。
選択手段は、例えば、スラブグループ選択部２０３を用いることにより実現される。
ロット候補導出手段は、例えば、キャスト候補導出部２０４を用いることにより実現される。
第１のロット包含可能条件は、例えば、（Ａ２）〜（Ｅ２）の制約条件により実現され、第２のロット包含可能条件は、例えば、（Ｆ２）の制約条件により実現される（図１７のステップＳ１７０２、Ｓ１７１４も参照）。
最適化手段は、例えば、最適化部２０５を用いることにより実現される。
目的関数は、例えば（１）式により実現される。
ロット候補導出評価指標は、例えば、（４）式の各項により実現される。
第１の制約式は、例えば（２）式により実現され、第２の制約式は、例えば（３）式により実現される。
判定手段は、例えば、判定部２０６を用いることにより実現される。
再定義手段は、例えば、スラブグループ再定義部２０７を用いることにより実現される。
出力手段は、例えば、出力部２０８を用いることにより実現される。
グループ作成手段は、例えば、スラブグループ作成部２０２を用いることにより実現される。
製品グループは、スラブグループに対応する。
判定条件は、例えば、（Ａ１）〜（Ｄ１）の判定条件により実現される。
製造条件選択評価指標は、例えば、（Ａ３）〜（Ｄ３）の評価指標（（６）式の右辺第２項〜第４項）により実現される。

２００：キャスト編成装置、２０１：スラブ情報取得部、２０２：スラブグループ作成部、２０３：スラブグループ選択部、２０４：キャスト候補導出部、２０５：最適化部、２０６：判定部、２０７：スラブグループ再定義部、２０８：出力部、３００：スラブ情報、４００：並び替え後のスラブ情報、５００：スラブグループ情報、６００：並び替え後のスラブグループ情報、９００：再定義後のスラブグループ情報

Claims (16)

1. 複数の製品をロットの単位で纏めて生産または処理するための計画を作成する計画作成装置であって、
   前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得手段と、
   前記複数の製品の一部を選択する選択手段と、
   前記選択手段により選択された前記製品の部分集合のうち、製品を同一のロットに含めることができる条件として前記製造条件を用いて表される第１のロット包含可能条件を満たす部分集合をロット候補として導出するロット候補導出手段と、
   前記ロット候補導出手段により導出された前記ロット候補から最適なロット候補を、制約式を満足する範囲で目的関数の値を最大または最小にする最適化計算を行うことにより導出する最適化手段と、
   前記最適化計算の結果が収束したか否かを判定する判定手段と、
   前記判定手段により前記最適化計算の結果が収束していないと判定されると、前記最適化手段により導出された前記最適なロット候補に含まれる前記製品を１つの製品として再定義する再定義手段と、
   前記判定手段により、前記最適化計算の結果が収束したと判定された際に前記最適化手段により導出された前記最適なロット候補を最適なロットとし、当該最適なロットにどの前記製品が含まれるのかを示す情報を出力する出力手段と、を有し、
   前記目的関数は、少なくとも前記ロットの数をロット候補導出評価指標として含む目的関数であり、
   前記制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品の数と、前記選択手段により選択された前記製品の数とが同じであり、同一の前記製品が異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式を含み、
   前記選択手段は、前記再定義手段により前記製品が再定義された場合、前記再定義手段により再定義された前記製品の全てと、未選択の前記製品のうちの一部の製品を選択し、
   前記判定手段により、前記最適化計算の結果が収束したと判定されるまで、前記選択手段による前記製品の選択と、前記ロット候補導出手段による前記ロット候補の導出と、前記最適化手段による前記最適化計算とを行うことを特徴とする計画作成装置。
2. 前記取得手段により取得された前記製品情報に含まれる前記製品の製造条件に基づいて前記複数の製品をグルーピングすることにより複数の製品グループを作成するグループ作成手段をさらに有し、
   前記選択手段は、前記グループ作成手段により作成された前記製品グループの一部を選択し、
   前記ロット候補導出手段は、前記選択手段により選択された前記製品グループの部分集合のうち、製品グループを同一のロットに含めることができる条件を満たす部分集合をロット候補として導出し、
   前記制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品グループの数と、前記選択手段により選択された前記製品グループの数とが同じであり、同一の前記製品グループが異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式を含み、
   前記再定義手段は、前記判定手段により前記最適化計算の結果が収束していないと判定されると、前記最適化手段により導出された前記最適なロット候補に含まれる前記製品グループを１つの製品グループとして再定義し、
   前記判定手段により、前記最適化計算の結果が収束したと判定されるまで、前記選択手段による前記製品グループの選択と、前記ロット候補導出手段による前記ロット候補の導出と、前記最適化手段による前記最適化計算とを行うことを特徴とする請求項１に記載の計画作成装置。
3. 前記制約式は、含まれる製品の数が所定値以上である前記製品グループに対する第１の制約式と、含まれる製品の数が前記所定値未満である前記製品グループに対する第２の制約式とを含み、
   前記第１の制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品グループの数と、前記選択手段により選択される前記製品グループの数とが同じであり、同一の前記製品グループが異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式であり、
   前記第２の制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品グループの数が、前記選択手段により選択される前記製品グループの数以下であり、同一の前記製品グループが異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式であることを特徴とする請求項２に記載の計画作成装置。
4. 前記グループ作成手段は、前記取得手段により取得された前記製品情報に含まれる前記製品の製造条件に基づいて、前記複数の製品を並び替え、並び替えた前記複数の製品を、当該並び順において昇順または降順に１つずつ選択し、選択した前記製品を、既に作成された製品グループに含めるか否かを、前記製品の製造条件に基づいて定められる判定条件に従って判定することを特徴とする請求項２または３に記載の計画作成装置。
5. 前記グループ作成手段は、前記複数の製品グループを、前記取得手段により取得された前記製品情報に含まれる前記製品の製造条件に基づいて並び替え、
   前記選択手段は、前記グループ作成手段により並び替えられた前記複数の製品グループの一部を、当該並び順において昇順または降順に、予め設定された数だけ選択することを特徴とする請求項２〜４の何れか１項に記載の計画作成装置。
6. 前記グループ作成手段は、１つの前記製品グループに含まれる前記製品の数が予め指定される上限値を上回らないようにすることを特徴とする請求項２〜５の何れか１項に記載の計画作成装置。
7. 前記ロット候補導出手段は、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合に含まれる前記製品のうち、選択に自由度がある前記製造条件を有する前記製品については、当該選択に自由度がある製造条件の複数の異なる選択肢それぞれに対して、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合に含まれる前記製品の前記製造条件に基づいて製造条件選択評価指標を導出し、導出した前記製造条件選択評価指標に基づいて、前記選択の自由度がある製造条件の選択を決定する第１の製造条件選択手段と、
   前記選択の自由度がある製造条件の選択を前記第１の製造条件選択手段によって決定したものであるとして、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合が、製品を同一のロットに含めることができる条件として前記製造条件を用いて表される第２のロット包含可能条件を満たすか否かを判定し、その判定の結果に基づいて、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合の中から、前記ロット候補を導出する第２の製造条件選択手段とを更に有し、
   前記製造条件選択評価指標は、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合に含まれる前記製品の製造条件であって、前記選択の自由度がある製造条件の選択肢のうちの、選択された異なる選択肢の数に関する評価指標と、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合に含まれる前記製品を生産する場合に生じる余材量に関する評価指標と、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合に含まれる前記製品を生産する場合の製造コストに関する評価指標と、前記製造条件の選択により実現する前記第２のロット包含可能条件に対する違反の改善に関する評価指標と、のうち少なくとも１つを含むことを特徴とする請求項１〜６の何れか１項に記載の計画作成装置。
8. 前記ロット候補導出手段における前記第１の製造条件選択手段は、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合に含まれる前記製品の製造条件であって、前記選択の自由度がある製造条件の選択を、当該製品を生産する場合の製造コストが最も安価になるものに仮決定し、前記選択の自由度がある製造条件の選択を前記仮決定した内容から順次異ならせて前記製造条件選択評価指標を導出することを特徴とする請求項７に記載の計画作成装置。
9. 前記製造条件には、前記製品の材質、サイズ、重量、および納期の少なくとも何れか１つが含まれ、
   前記ロット候補導出評価指標は、前記製品の材質、サイズ、重量、および納期の少なくとも何れか１つを評価する評価指標をさらに含むことを特徴とする請求項１〜８の何れか１項に記載の計画作成装置。
10. 前記判定手段は、前記最適なロットに前記複数の製品のうち所定の割合以上の製品が含まれた場合と、前記最適化計算により最大または最小にされた前記目的関数の前回の前記最適化計算における値と今回の前記最適化計算における値との差が所定値以下である場合とのうちの何れか１つの場合に、前記最適化計算の結果が収束したと判定することを特徴とする請求項１〜９の何れか１項に記載の計画作成装置。
11. 前記製品は、連続鋳造機で鋳造されるスラブであり、
    前記ロットは、連続して鋳造する複数のチャージのまとまりであるキャストであり、
    前記計画は、前記スラブが属する前記キャストを示すキャスト計画であることを特徴とする請求項１〜１０の何れか１項に記載の計画作成装置。
12. 前記製品は、連続鋳造機で鋳造されるスラブであり、
    前記ロットは、連続して鋳造する複数のチャージのまとまりであるキャストであり、
    前記計画は、前記スラブが属する前記キャストを示すキャスト計画であり、
    前記製品を同一のロットに含めることができる条件は、前記スラブの総重量が予め指定される上限値を超えていないこと、前記スラブを圧延することにより製造されるコイルの長さの和が予め指定される上限値を超えていないこと、前記スラブを圧延順に並び替えた場合に相前後する前記スラブの幅の差が予め指定される上限値以下であること、および、幅の差が一定値以下のスラブの枚数が予め指定される上限値以下であることの少なくとも何れか１つを含むことを特徴とする請求項１〜６の何れか１項に記載の計画作成装置。
13. 前記製品は、連続鋳造機で鋳造されるスラブであり、
    前記ロットは、連続して鋳造する複数のチャージのまとまりであるキャストであり、
    前記計画は、前記スラブが属する前記キャストを示すキャスト計画であり、
    前記選択の自由度がある製造条件は、溶鋼の成分に基づいて予め指定される鋼種であり、
    前記第１のロット包含可能条件は、前記鋼種に依存せずに定まる、前記スラブを製造する際の制約を含み、
    前記第２のロット包含可能条件は、前記鋼種に依存して定まる、前記スラブを製造する際の制約を含み、
    前記ロット候補導出手段における前記第１の製造条件選択手段は、前記選択手段により選択された前記製品の部分集合のうち、前記第１のロット包含可能条件を満たす前記製品の部分集合を抽出し、抽出した前記製品の部分集合に含まれる前記製品のうち、前記鋼種の選択に自由度がある前記製品については、当該選択に自由度がある製造条件の複数の異なる選択肢それぞれに対して、前記抽出した前記製品の部分集合に含まれる前記製品の前記製造条件に基づいて前記製造条件選択評価指標を導出し、導出した前記製造条件選択評価指標に基づいて、前記鋼種のうちの１つを決定し、
    前記ロット候補導出手段における前記第２の製造条件選択手段は、前記選択の自由度がある鋼種を前記決定した鋼種であるものとして、前記抽出した前記製品の部分集合が、前記第２のロット包含可能条件を満たすか否かを判定し、前記抽出した前記製品の部分集合のうち、前記第２のロット包含可能条件を満たす部分集合を前記ロット候補として導出することを特徴とすることを特徴とする請求項７または８に記載の計画作成装置。
14. 前記第１のロット包含可能条件は、前記スラブの部分集合であるスラブグループの組み合わせに含まれる前記スラブの材質の中に、同一のキャストに含めることが禁止される材質が混在していないことと、前記スラブの部分集合であるスラブグループの組み合わせに含まれる前記スラブの総重量が、キャストの重量の上限値を上回らないことと、前記スラブを圧延することにより製造されるコイルの長さの和が予め指定される上限値を超えていないことと、前記スラブを圧延順に並び替えた場合に相前後する前記スラブの幅の差が予め指定される上限値以下であることと、幅の差が一定値以下の前記スラブの枚数が予め指定される上限値以下であることとのうち、少なくとも何れか１つを含み、
    前記第２のロット包含可能条件は、前記選択手段により選択された前記スラブの部分集合に含まれる前記スラブを、前記鋼種ごとに、鋳造順に並び替えた場合に相隣り合う前記スラブの幅の差が予め指定される上限値以下であることを含むことを特徴とする請求項１３に記載の計画作成装置。
15. 複数の製品をロットの単位で纏めて生産または処理するための計画を作成する計画作成方法であって、
    前記複数の製品の情報であって、前記製品の製造条件を含む製品情報を取得する取得工程と、
    前記複数の製品の一部を選択する選択工程と、
    前記選択工程により選択された前記製品の部分集合のうち、製品を同一のロットに含めることができる条件として前記製造条件を用いて表される第１のロット包含可能条件を満たす部分集合をロット候補として導出するロット候補導出工程と、
    前記ロット候補導出工程により導出された前記ロット候補から最適なロット候補を、制約式を満足する範囲で目的関数の値を最大または最小にする最適化計算を行うことにより導出する最適化工程と、
    前記最適化計算の結果が収束したか否かを判定する判定工程と、
    前記判定工程により前記最適化計算の結果が収束していないと判定されると、前記最適化工程により導出された前記最適なロット候補に含まれる前記製品を１つの製品として再定義する再定義工程と、
    前記判定工程により、前記最適化計算の結果が収束したと判定された際に前記最適化工程により導出された前記最適なロット候補を最適なロットとし、当該最適なロットにどの前記製品が含まれるのかを示す情報を出力する出力工程と、を有し、
    前記目的関数は、少なくとも前記ロットの数をロット候補導出評価指標として含む目的関数であり、
    前記制約式は、前記最適なロット候補に含まれる前記製品の数と、前記選択工程により選択された前記製品の数とが同じであり、同一の前記製品が異なる前記ロット候補に含まれないことが定式化された式を含み、
    前記選択工程は、前記再定義工程により前記製品が再定義された場合、前記再定義工程により再定義された前記製品の全てと、未選択の前記製品のうちの一部の製品を選択し、
    前記判定工程により、前記最適化計算の結果が収束したと判定されるまで、前記選択工程による前記製品の選択と、前記ロット候補導出工程による前記ロット候補の導出と、前記最適化工程による前記最適化計算とを行うことを特徴とする計画作成方法。
16. 請求項１〜１４の何れか１項に記載の計画作成装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とするプログラム。

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