JP6964102B2 - Ｍｅｍｓ梁構造およびｍｅｍｓ振動発電素子 - Google Patents

Description

本発明は、ＭＥＭＳ梁構造およびＭＥＭＳ振動発電素子に関する。

従来、シリコン基板をＭＥＭＳ（micro electro-mechanical system）加工技術により加工して形成される振動発電素子が知られている（例えば、特許文献１参照）。特許文献１に記載の振動発電素子では、櫛歯が形成された固定電極に対して、櫛歯が形成された可動電極を矩形梁構造の弾性支持部で支持している。外部からの衝撃が振動発電素子に加わると、弾性支持された可動電極が固定電極に対して振動する。その結果、発電が行われる。

特開２０１８−８８７８０号公報

ところで、発電量は電極領域の大きさに依存するので、同一素子面積で発電量の向上を図るためには、弾性支持部の領域を可能な限り小さくして電極領域の拡大を図る必要がある。また、振動発電素子の小型化を図る上でも、弾性支持部の小型化は欠かせない。

本発明の態様によるＭＥＭＳ梁構造は、第１方向に変位する可動部を弾性支持するＭＥＭＳ梁構造であって、前記第１方向に対して直交する第２方向に延在する第１梁部および第２梁部と、前記第１梁部の先端と前記可動部に接続される前記第２梁部の先端とを接続する連結部とを備え、前記第１梁部および前記第２梁部はそれぞれ平等強さの梁としての形状を有し、前記可動部の前記第１方向への変位に応じて、前記第１梁部の梁部根元に対して前記第２梁部の梁部根元が前記第１方向に相対的に位置ずれする。

本発明によれば、発電量を低減することなく弾性支持部の小型化を図ることができる。

図１は、振動発電素子の平面図である。 図２は、ＭＥＭＳ梁構造の拡大図である。 図３（ａ）はＭＥＭＳ梁構造が変形した状況を模式的に示す図であり、図３（ｂ）は片持ち梁構造のＭＥＭＳ梁構造を示す図である。 図４は、片持ち梁構造の放物線状梁と矩形状梁とを示す図である。 図５は、ＭＥＭＳ梁構造の３つのパターンを示す図である。 図６は、パターン１〜３に関する演算結果を説明する図である。 図７は、矩形状梁の場合の弾性支持部と放物線状梁の場合の弾性支持部とを示す図である。 図８は、放物線ＰＬ１，ＰＬ２の種々の関係を示す図である。 図９は、梁部を二つ用いた場合と一つ用いる場合のＭＥＭＳ梁構造を示す図である。 図１０は、Ｒ面取りと楕円面取りとを示す図である。 図１１は、第２の実施の形態を説明する図である。 図１２は、ＭＥＭＳ梁構造の変形例を示す図である。 図１３は、片持ち梁構造のＭＥＭＳ梁構造を有する振動発電素子の一例を示す図である。

以下、図を参照して本発明を実施するための形態について説明する。
−第１の実施の形態−
図１は、本実施の形態のＭＥＭＳ梁構造が用いられた振動発電素子１の平面図である。振動発電素子１の材質はＳｉであり、例えば、ＳＯＩ（Silicon On Insulator）基板を用いて一般的なＭＥＭＳ加工技術により形成される。図１に示す振動発電素子１は、一辺が１０〜数１０ｍｍ程度の微小な発電素子であり、例えば、工場内で稼働中のコンプレッサー等の機械振動（環境振動）で発電し、モニタリング用のセンサや無線端末に電力を供給する目的で使用される。ＳＯＩ基板は、Ｓｉのハンドル層とＳｉＯ_２のＢＯＸ層とＳｉのデバイス層とから成る３層構造の基板である。なお、振動発電素子１は、ＳＯＩ基板に限らずＳｉ基板等を用いて形成しても良い。

（振動発電素子１）
振動発電素子１は、ベース２と、ベース２の上に固定された４組の固定電極３と、固定電極３と対応して設けられた可動電極４と、可動電極４を弾性的に支持する弾性支持部５とを備えている。図１では、ＳＯＩ基板のハンドル層は図示裏面側に設けられており、ベース２はハンドル層に形成される。４組の固定電極３、可動電極４および４組の弾性支持部５は、図示表面側のデバイス層に形成される。可動電極４は、ベース２上に設けられた固定部６ａに弾性支持部５を介して接続されている。各固定電極３には電極パッド３１が設けられ、固定部６ａにも電極パッド６１が設けられている。

（固定電極３、可動電極４）
図１に示すように、４組の固定電極３の各々は、ｘ方向に延びる固定櫛歯３０がｙ方向に複数並ぶ櫛歯列を有している。可動電極４は、４組の固定電極３に対応する４組の可動櫛歯群４ａを有している。各可動櫛歯群４ａは、ｘ方向に延びる可動櫛歯４０がｙ方向に複数並ぶ櫛歯列を成している。固定電極３に形成された複数の固定櫛歯３０と、その固定電極３に対応する可動櫛歯群４ａの複数の可動櫛歯４０とは、静止状態(中立状態)においてｘ方向に所定の噛合長をもって、隙間を介して互いに噛合するように配置されている。

(弾性支持部５)
図１に示すように、弾性支持部５は４組設けられており、可動電極４の図示右端部は右側の２組の弾性支持部５により支持され、可動電極４の図示左端部は左側の２組の弾性支持部５により支持されている。各弾性支持部５は、４組のＭＥＭＳ梁構造５１を備えている。弾性支持部５に設けられた４組のＭＥＭＳ梁構造５１は、図示上端側が結合部５２に接続されている。

例えば、図示左上に配置されたＭＥＭＳ梁構造５１では、内側に配置された２組のＭＥＭＳ梁構造５１は、図示下端側が可動電極４に接続されると共に図示上端側が、結合部５２に接続されている。左端に配置されたＭＥＭＳ梁構造５１の図示下端側は、ベース２上に設けられた固定部６ａに接続され、右端に配置されたＭＥＭＳ梁構造５１の図示下端側は、ベース２上に設けられた固定部６ｂに接続されている。すなわち、可動電極４は内側に配置された２組のＭＥＭＳ梁構造５１により接続された結合部５２に対してｘ方向に変位し、結合部５２は左右両端の２組のＭＥＭＳ梁構造５１により接続されたベース２に対してｘ方向に変位する。他のＭＥＭＳ梁構造５１も同様の接続構造となっている。ＭＥＭＳ梁構造５１の詳細構造については後述する。

固定櫛歯３０および可動櫛歯４０の少なくとも一方にはエレクトレットが形成されており、可動電極４の振動により固定櫛歯３０と可動櫛歯４０との噛合長が変化して発電が行われる。固定櫛歯３０および可動櫛歯４０のそれぞれにエレクトレットを設けてもよい。可動電極４とベース２とはバネとして機能する弾性支持部５により接続されていて、バネ・マス共振系を構成している。外部からの衝撃が振動発電素子１に加わると、共振（正弦波振動の場合）や過渡応答（インパルス振動の場合）により弾性支持部５のＭＥＭＳ梁構造５１が変形して、可動電極４が図１のｘ方向に振動する。固定櫛歯３０に対して可動櫛歯４０が振動すると誘導電流が発生し、これを電極パッド３１，６１から外部に取り出すことで発電素子として利用できる。

発電量は電極領域の大きさに依存するので、同一素子面積で発電量の向上を図るためには、弾性支持部５の領域を可能な限り小さくして電極領域の拡大を図る必要がある。また、振動発電素子１の小型化を図る上でも、弾性支持部５の小型化は欠かせない。しかし、上述のように可動電極４と弾性支持部５とはバネ・マス共振系を構成しているので、弾性支持部５の構成は振動特性に影響する。本実施の形態では、ＭＥＭＳ梁構造５１を従来にない構成とすることで、振動特性への影響を抑えつつ弾性支持部５の小型化を図ることを可能とした。

（ＭＥＭＳ梁構造５１）
図２は、弾性支持部５に設けられたＭＥＭＳ梁構造５１の一つを拡大して示したものである。ＭＥＭＳ梁構造５１は２つの梁部５１０ａ，５１０ｂと、梁部５１０ａと梁部５１０ｂとを接続する連結部５１１と、梁部５１０ａを結合部５２に接続する接続部５１２ａと、梁部５１０ｂを固定部６ｂに接続する接続部５１２ｂとを備えている。梁部５１０ａ，５１０ｂは、梁部５１０ａ，５１０ｂの根元の幅寸法をＷ１とし、根元から梁部先端方向に測った距離をＹとした場合、距離Ｙにおける梁部５１０ａ，５１０ｂの幅寸法Ｗが次式（１）のように設定されている。αは正の定数である。
Ｗ＝√(Ｗ１^２−４Ｙ/α) …（１）

式（１）における距離Ｙに対する幅寸法Ｗの変化は、放物線ｙ＝α・ｘ^２のｘ座標を２倍した値２ｘの変化と同一である。本明細書では、振動方向（ｘ方向）の幅寸法Ｗが式（１）のように設定された梁部５１０ａ，５１０ｂを備える梁を、放物線状梁と呼ぶことにする。

図２に示す梁部５１０ａ，５１０ｂは、振動方向（ｘ方向）の幅寸法Ｗが式（１）のように設定される。梁部５１０ａの左右の側面は放物線ＰＬ１に沿って形成され、梁部５１０ｂの左右の側面は放物線ＰＬ２に沿って形成されている。なお、図２に示す例では、梁部５１０ａ，５１０ｂの輪郭も放物線形状に設定されているが、式（１）を満足する輪郭形状であれば、必ずしも輪郭まで放物線形状に設定する必要はない。連結部５１１の中央をｘｙ座標の原点とすれば、放物線ＰＬ１はｙ＝α・ｘ^２のように表され、放物線ＰＬ２はｙ＝−α・ｘ^２のように表される。梁部５１０ａ，５１０ｂのｙ方向寸法は等しい値に設定され、放物線ＰＬ１，ＰＬ２の凸部先端がｘｙ座標の原点で一致するように配置されている。放物線ＰＬ１，ＰＬ２の先端位置は連結部５１１のｙ方向中央に位置しており、ＭＥＭＳ梁構造５１の形状は、連結部中央位置を通るｘ軸に平行なラインＬ１００に対して対称な形状となっている。

図３（ａ）は、可動電極４の振動によりＭＥＭＳ梁構造５１が変形した状況を模式的に示したものである。図３（ａ）では、固定部６ｂに対して結合部５２がｘプラス方向に相対的に変位した場合を示している。図２に示したように、梁部５１０ａ，５１０ｂおよび連結部５１１からなる部分の形状は、連結部中央位置を通るｘ軸に平行なラインＬ１００に対して対称な形状となっている。そのため、変形後のＭＥＭＳ梁構造５１の形状は、図３（ａ）のように連結部中央に関して点対称な形状となる。

このことから、ＭＥＭＳ梁構造５１を２分割した図３（ｂ）に示すような構造の片持ち梁に関して、自由端である梁先端部分に荷重ｆが加わった場合の特性を考察することで、ＭＥＭＳ梁構造５１の特性を推定することができる。以下では、図３（ｂ）に示す片持ち梁構造をＭＥＭＳ梁構造５１Ａと呼ぶことにし、半分の長さの連結部については連結部５１１Ａと呼ぶ。ＭＥＭＳ梁構造５１Ａは、放物線状梁を構成している。なお、変位時の弾性変形した梁の形状が梁中央部に関して点対称な形状となることは、特許文献１に記載のような幅寸法が一定の矩形状梁についても同様であり、矩形状梁を２分割した片持ち梁の特性から推定することができる。

（ＭＥＭＳ梁構造５１Ａ）
弾性梁であるＭＥＭＳ梁構造５１Ａの特性としては、バネ定数ｋと最大たわみＸmaxとが挙げられる。バネ定数ｋは、荷重−たわみ特性や系の共振周波数などに影響する。また、弾性梁を大きくたわませると材料の一部の応力が上昇し、やがて許容応力を上回ってしまう。その許容応力を上回らない限界の変形量が上述の最大たわみＸmaxである。すなわち、同じバネ定数ｋと最大たわみＸmaxとを持つ弾性梁であれば、バネとしての性能は同等とみなせる。従って、バネ定数ｋおよび最大たわみＸmaxを要求される値に保ちつつＭＥＭＳ梁構造５１Ａを小さくすることで、サイズのより小さな弾性支持部５を得ることができる。

一例として、振動発電素子１において外部振動が単一周波数の正弦波であるときを考える。振動発電素子１を外部振動により共振状態にして発電する場合、その発電電力の上限は次式（２）で表される。ただし、Ｐmaxは発電電力上限、ｍは可動部（ここでは可動電極４）の質量、ωは外部振動の角振動数、Ｘ０は可動部の振動振幅上限、Ｂは外部振動の振幅、ｋｘはｘ方向のバネ定数である。
Ｐmax＝(１/２)ｍω^３Ｘ０・Ｂ＝(１/２)ｋｘ・Ｘ０・ω・Ｂ …（２）

式（２）において、角振動数ωと振幅Ｂは外部振動条件から与えられ、バネ定数ｋｘは弾性梁の形状と材質から決まる。振動振幅上限Ｘ０は振動発電素子１のサイズや櫛歯３０，４０の長さから概ね上限が決まるが、最大たわみＸmaxよりも小さくなくてはならない。発電電力上限Ｐmaxは理論上の出力上限であるが、「櫛歯」＋「エレクトレット」のエネルギー変換効率は非常に高いため、実際の出力電力も、Ｐmaxと同程度になることが分かっている。出力電力はｋｘ・Ｘ０によって決まるので、ＭＥＭＳ梁構造５１Ａのバネ定数ｋｘと最大たわみＸmaxによって決まるとも言える。すなわち、同じバネ定数ｋｘと最大たわみＸmaxを持つＭＥＭＳ梁構造５１Ａであれば、形状やサイズに関わらず同じ出力電力となる。

一方、デバイスサイズは材料やパッケージのコストに関わるため、極力小さい事が求められる。従って、ＭＥＭＳ梁構造５１に求められる要件は、「バネ定数ｋｘ、最大たわみＸmaxの特性を持つなるべく小さいバネ」ということになる。

（放物線状梁と矩形状梁との比較）
以下では、図４（ａ），（ｂ）に示す片持ち梁に関して、図３（ｂ）のように荷重ｆが加わった場合の応力とバネ定数を算出することで、従来の矩形状梁と本実施の形態の放物線状梁とを比較する。図４（ａ）は従来の矩形状梁のモデルを示し、図４（ｂ）は放物線状梁のモデルを示す。図３において説明したように、放物線状梁モデルおよび矩形状梁モデルのいずれの場合も、図４（ａ），（ｂ）の片持ち梁のモデルを用いて取り扱うことができる。なお、図３（ｂ）では、放物線形状でない連結部５１１を備えているが、ここでの比較では、図４（ｂ）のように連結部５１１を備えていない理想的な放物線状梁をモデルとして用いる。

（矩形状梁モデル）
先ず、図４（ａ）に示す従来の矩形状梁モデルの場合について説明する。梁の長さをＬ２、梁根元のｘ方向の幅寸法をＷ２、高さ寸法をｂとする。矩形状梁の先端（自由端）に印加した荷重ｆとたわみδ２との間には次式（３）の関係がある。Ｅはヤング率である。
δ２＝４Ｌ２^３・ｆ/ＥｂＷ２^３ …（３）

矩形状梁の場合、先端から根元まで断面形状が一定なため、曲げモーメントが最も大きくなる梁根元が最も変形ひずみが大きくなる。従って、引張応力の絶対値が最も大きくなるのは梁根元の表面となる。梁根元の応力（応力最大値）σmax2は次式（４）で求められる。
σmax2＝(６ｆ/ｂ)(Ｌ２/Ｗ２^２)
＝(６ｆ/ｂ)(Ｌ２/Ｗ２)(１/Ｗ２） …（４）
梁先端に荷重ｆを加えた場合のｘ方向のバネ定数ｋ2xは、次式（５）で表される。
ｋ2x＝ｆ/δ２
＝(Ｅｂ/４)(Ｗ２/Ｌ２)^３ …（５）

バネ定数ｋ2xを一定に保ちながら梁のサイズを小さくするには、（Ｗ２/Ｌ２）の値を一定に保ちつつＷ２およびＬ２を小さくすればよい。一方、そのようにＷ２を小さくしていくと、式（４）に示すようにσmax2はＷ２に反比例して大きくなる。そして、σmax2が許容応力に達するときのＷ２、Ｌ２がＷ２、Ｌ２の最小値である。

（放物線状梁モデル）
図４（ｂ）の放物線状梁モデルについて説明する。梁の形状は理想的な放物線状であり、根元から先端までの長さはＬ１である。梁根元のｘ方向の幅寸法はＷ１、高さ寸法は矩形状梁と同様にｂである。放物線状梁の先端（自由端）に荷重ｆが印加されると、そのときのたわみδ１は次式（６）で表される。矩形状梁と同じサイズＬ１＝Ｌ２，Ｗ１＝Ｗ２とした場合には、放物線状梁のたわみδ１は矩形状梁のたわみδ２の２倍の値になる。
δ１＝８Ｌ１^３・ｆ/ＥｂＷ１^３ …（６）

放物線状梁は、曲げモーメントが大きくなるにつれて断面二次モーメントも調和して大きくなり、表面のひずみが全域で等しくなる特性を持つ。したがって、引張応力の絶対値が最大となる点は根元から先端までの表面に均一に分布し、応力最大値σmax1は次式（７）で表される。そのため、この形状の梁は平等強さの梁と呼ばれている。
σmax1＝(６ｆ/ｂ)(Ｌ１/Ｗ１^２) …（７）

本実施の形態では、図２のように平等強さの梁（梁部５１０ａ，５１０ｂ）を放物線の頂点を一致させるように接続した構成とすることで、両持ち梁構造であっても片持ちの平等強さの梁と同様の特性となる。放物線状梁のサイズを矩形状梁と同じサイズＬ１＝Ｌ２，Ｗ１＝Ｗ２とした場合には、式（７）で算出される放物線状梁の応力最大値σmax1は、矩形状梁の場合の応力最大値σmax2と等しい値となる。放物線状梁の先端に荷重ｆを加えた場合のｘ方向のバネ定数ｋ1xは次式（８）で表されるので、上述した矩形状梁と同じサイズＬ１＝Ｌ２，Ｗ１＝Ｗ２であれば、放物線状梁のバネ定数ｋ1xは矩形状梁のバネ定数ｋ2xの半分の値となる。
ｋ1x＝ｆ/δ１
＝(Ｅｂ/８)(Ｗ１/Ｌ１)^３ …（８）

次に、放物線状梁と矩形状梁とが同じバネ定数を持つ場合を考える。すなわち、ｋ1x＝ｋ2xの場合には、寸法Ｌ１，Ｗ１と寸法Ｌ２，Ｗ２との間には、次式（９）の関係が成り立つ。
(Ｌ２/Ｌ１)^３・(Ｗ１/Ｗ２)^３＝２ …（９）
また、同じ荷重ｆを加えた時の応力最大値σmax1，σmax2が等しいとすると、次式（１０）の関係が成り立つ。
(Ｌ２/Ｌ１)・(Ｗ１/Ｗ２)^２＝１ …（１０）

式（９），（１０）が同時に成り立つとすると、次式（１１），（１２）が得られる。なお、ｋ1x＝ｋ2x、かつ、σmax1＝σmax2であることは、放物線状梁と矩形状梁とで最大たわみＸmaxが同じであることに相当する。
Ｌ１/Ｌ２＝２^{−（２／３）}≒０．６３ …（１１）
Ｗ１/Ｗ２＝２^{−（１／３）}≒０．７９ …（１２）

式（１１），（１２）から分かるように、放物線状梁とすることで、ＭＥＭＳ梁構造５１Ａのｙ方向寸法およびｘ方向寸法を小さくすることができる。なお、ＭＥＭＳ梁構造５１の変形方向であるｘ方向に関しては、変形のためのスペースを設ける必要があるため、複数のＭＥＭＳ梁構造５１で構成される弾性支持部５については小型化の効果が小さくなり、小型化率は式（１２）に示す値より大きくなってしまう。そのため、弾性支持部５の小型化は、式（１１）で示すｙ方向の小型化が支配的になる。

式（１１）、（１２）で示した小型化率は、図４（ｂ）に示すように連結部５１１の無い理想的な放物線梁を想定した場合の値である。しかしながら、実際には二つの放物線状梁の先端部分を機械的に接続する連結部５１１が必須であり、小型化率も若干の修正が必要となる。図３（ｂ）に示すように、連結部５１１Ａを備えた片持ち梁であるＭＥＭＳ梁構造５１Ａの先端に荷重ｆを加えた場合のバネ定数ｋ3x、応力最大値σmax3は、次式（１３），（１４）で表される。
ｋ3x＝(Ｅｂ/８)(Ｗ１/Ｌ１)^３[１−(Ｌ３/Ｌ１)^{（３／２）}
＋(１/２)(Ｗ１/Ｗ３)^３(Ｌ３/Ｌ１)^３]^−１ …（１３）
σmax3＝(６ｆ/ｂ)(Ｌ１/Ｗ１^２) …（１４）

（連結部５１１）
まず、ＭＥＭＳ梁構造５１Ａのｙ方向の小型化に着目して、連結部５１１Ａの小型化への影響を調べる。ここでは、代表的な連結部５１１Ａの形状に関して、図５（ａ）〜（ｃ）に示す３つのパターンについて比較する。梁部５１０ｂの根元の幅寸法をＷ１、連結部５１１Ａのｘ方向およびｙ方向の寸法をそれぞれＷ３，Ｌ３とした場合、図５（ａ）のパターン１はＷ３/Ｗ１＝２に、図５（ｂ）のパターン２はＷ３/Ｗ１＝１に、図５（ｃ）のパターン３はＷ３/Ｗ１＝√(Ｌ３/Ｌ１)にそれぞれ設定されている。

図６は演算結果をグラフで示したものであり、小型化率を表すＬ1/Ｌ２が連結部５１１Ａのｙ方向寸法の割合Ｌ３/Ｌ１に対してどのように変化するかを示している。曲線Ｐ１，Ｐ２およびＰ３は、それぞれパターン１，２および３の演算結果を示したものである。パターン１〜３のいずれの場合にも、Ｌ３/Ｌ１＝０のときは連結部５１１Ａの無い理想的な放物線状梁になるので、Ｌ1/Ｌ２は上述した０．６３となる。パターン２および３の場合には、Ｌ３/Ｌ１＝１のときの梁形状は幅寸法Ｗ１の矩形梁と同じになるので、Ｌ1/Ｌ２＝１となる。一方、パターン１の場合には、Ｌ３/Ｌ１＝１のときの梁形状は幅寸法Ｗ３＝２Ｗ１の矩形梁となり、図６では図示していないが、Ｌ３/Ｌ１＝１ではＬ1/Ｌ２＝４となる。

小型化の観点から見た場合、パターン３の形状が最も良いことがわかる。パターン１〜３のいずれの形状であっても、Ｌ３/Ｌ１をほぼ０.３に設定すれば矩形梁の場合の約７０％に小型化される。連結部５１１Ａの幅寸法Ｗ３が梁部５１０ｂの幅寸法Ｗ１以下であるパターン２、３に限れば、Ｌ３/Ｌ１を約０．５とすることで８０％以下に小型化できる。

図７は、矩形状梁の場合と、ＭＥＭＳ梁構造５１Ａの形状をパターン３の形状とした場合の、弾性支持部５の大きさの一例を示す図である。図７において、（ａ）は矩形状梁の場合を示し、（ｂ）はパターン３の放物線状梁の場合を示す。なお、図７示す構成は、図１の右側または左側の上下一対の弾性支持部５から成る構成を示したものである。放物線状梁とすることで、弾性支持部５のｙ方向寸法は約７４％まで小型化されている。図７（ａ），（ｂ）のいずれの場合も梁根元付近の応力が最も大きいが、放物線状梁の場合には、梁部５１０ａ，５１０ｂの表面全体がほぼ一様に応力が高くなっている。一方、矩形状梁の場合には、梁根元付近に応力が集中している。

ところで、図１のようにｘ方向に振動する可動電極４を支持する弾性支持部５としては、ｘ方向の変位に関する特性（バネ定数ｋ1x、最大たわみＸmax）が発電特性に影響する。このような構成の場合、可動電極４のｙ方向への変位は不要な変位であり、ｙ方向のバネ定数ｋ1yは不要変位を招かない程度に大きい方が好ましい。図２に示すようにＭＥＭＳ梁構造５１が変形していない場合には、連結部５１１の幅寸法Ｗ３が小さくてもｙ方向の変位をある程度防止できる。しかし、図３（ａ）のように変形した状態では連結部５１１が傾き、その傾きの大きさは最大たわみＸmaxが大きいほど大きくなる。その場合、連結部５１１の幅寸法Ｗ３や、連結部５１１と梁部５１０ａ，５１０ｂの接続部分の幅寸法が小さ過ぎると、ｙ方向のバネ定数ｋ1yが小さくなって不要変位を招くという問題が生じる。

例えば、小型化の目安を７０％とした場合、図５に示すパターン１，２の場合にはＬ３/Ｌ１＝０．３なので、梁部５１０ｂが連結部５１１Ａと接続する部分の幅寸法は√０．３・Ｗ１≒０．５５Ｗ１となる。パターン３の場合にはＬ３/Ｌ１は約０．５なので、梁部５１０ｂが連結部５１１Ａと接続する部分の幅寸法はＷ３＝√０．５・Ｗ１≒０．７１Ｗ１となる。そのため、ｙ方向のバネ定数ｋ1yを大きくする観点からはパターン３が好ましい。すなわち、パターン３の形状で連結部５１１Ａの長さＬ３はＬ３＝０．５Ｌ１と設定するのが好ましい。

（放物線ＰＬ１，ＰＬ２の関係）
図２から図７までの説明では、梁部５１０ａに関する放物線ＰＬ１と梁部５１０ｂに関する放物線ＰＬ２は、図２に示すように二次の係数の絶対値が等しく、放物線の頂点が一致するように設定されていた。図８は、放物線ＰＬ１，ＰＬ２の関係が図２に示す関係と異なる場合を例示したものである。結論から言えば、シミュレーション結果は図２に示す放物線ＰＬ１，ＰＬ２の関係が最も好ましく、図８に示すような形状の場合には応力分布の均一性が低下し、結果として小型化の効果が減少する。

図８（ａ），（ｂ）は、放物線ＰＬ１の頂点と放物線ＰＬ２の頂点とが一致しない場合の梁形状を示したものであり、図８（ａ）は頂点が離れている場合で、図８（ｂ）は頂点が反対側の放物線内に入っている場合を示す。図８（ｃ）は放物線の一致点がｙ正方向にずれている場合で、その結果、根元幅寸法は下側の梁部５１０ｂの方が大きくなっている。図８（ｄ）は、放物線の二次の係数ａ１，ａ２がａ１＜ａ２のように設定されている場合である。この場合、上側の梁部５１０ａの方が二次の係数が小さいので、根元幅寸法は上側の梁部５１０ａの方が大きくなっている。

図３（ｂ）や図４（ｂ）のように自由端として扱えるためには、ＭＥＭＳ梁構造５１が図３（ａ）のように対称形状に変形し、上下単独で変形した場合と等しい変形形状となる必要がある。図８（ｃ）や図８（ｄ）の形状の場合、上下の梁部５１０ａ，５１０ｂを自由端として考えて等しい荷重をそれぞれに加えた場合、自由端における角度が上下で異なってしまう。そのため、自由端条件が満たされなくなり応力分布が不均一になり、小型化の効果が減少してしまう。また、図８（ａ），（ｂ）のように放物線ＰＬ１，ＰＬ２の頂点位置をずらした場合、各部分の曲げモーメントと幅寸法との関係が「平等強さの梁」から崩れるため、表面応力が均一にならなくなってしまう。その結果、小型化の効果が減少してしまう。

なお、上述したＭＥＭＳ梁構造５１においては、図９（ａ）に示すように、自由端条件が満たされるように二つの放物線状梁（梁部５１０ａ，５１０ｂ）を放物線ＰＬ１，Ｐｌ２の頂点が一致するように配置する形状とした。このように二つの放物線状梁を組み合わせて両持ち梁構成とすることで、頂点が一致する点Ａでは変形の際にも曲げモーメントがゼロとなり、上述したように自由端とみなすことができる。その結果、変形部である梁部５１０ａ，５１０ｂが理想的な放物線状梁と同じ特性を持つことができる。

一方、図９（ｂ）に示すように一つの放物線状梁で両持ち梁構成のＭＥＭＳ梁構造を形成した場合、次のような理由で応力分布の均一性が得られない。すなわち、図９（ｂ）の構成の場合も放物線ＰＬ２の頂点Ｂの位置は確かに力点になっているが、両持ち梁構成となっているので、頂点Ｂを含む領域の変形角度は抑制されてしまっている。従って、自由端とは異なる条件になり、この構成で狙い通りの特性を得ることは難しい。

−第２の実施の形態−
上述した第１の実施の形態では、ＭＥＭＳ梁構造５１の梁部５１０ａ，５１０ｂを放物線状梁とすることで応力分布を均一化して、弾性支持部５の主にｙ方向の小型化を図るようにした。ところで、図２に示したＭＥＭＳ梁構造５１では、ＭＥＭＳ梁構造５１の両端を結合部５２および固定部６ｂに接続しており、ＭＥＭＳ梁構造５１の接続部５１２ａ，５１２ｂでは変形時のひずみが有限の大きさから急激にゼロに変化し、局所的に応力が過大となる傾向にある。

上述した第１の実施の形態では、接続部５１２ａ，５１２ｂに図１０（ａ）に示すようなＲ面取りを施すことで応力の上昇を緩和していた。Ｒ面取りの半径Ｒは大きいほど効果が大きいが、大きくしすぎるとデバイスサイズに影響するため、おおむね梁部５１０ｂの幅寸法と同等の大きさの半径Ｒに設定する場合が多い。そこで、第２の実施の形態では、面取り部分の形状をＲ面取りの円形状から図１０（ｂ）に示すような楕円形状に変更することで、円形状の場合よりも応力上昇を緩和し、かつ、弾性支持部５のｘ方向寸法のサイズ低減を図ることを可能とした。

図１１は、梁部５１０ｂの根元から接続部５１２ｂへの形状急変影響により、応力σmaxがどこまで上昇するかをシミュレーションした結果である。図１１では、Ｌ１＝５００μｍ、Ｗ１＝３０μｍ、ｂ＝５０μｍ、ｆ＝１．５ｍＮという条件において、円形状の半径Ｒを変化させた場合の応力σmax（ラインＬ１０）と、楕円形状の長半径Ｒ２をＲ２＝３０μｍに固定して短半径Ｒ１を変化させた場合の応力σmax（ラインＬ２０）とを示す。上述した条件においては、放物線状梁に関する式（７）により算出される梁部根元の応力σmaxは１００ＭＰａであり、それより増加した分が根元形状影響による応力集中とみなすことができる。

Ｒ面取りの場合、半径Ｒを５μｍから３０μｍまで増加させると、半径Ｒが増加するにしたがって応力σmaxが減少する。応力の増加分で見ると、５３．２ＭＰａから１５．６ＭＰａへと減少している。図１０（ａ）に示すように、接続部５１２ｂにおける梁部５１０ｂの側面と接続部５１２ｂのＲ面との接点の近傍領域の曲率は、半径Ｒが大きい方が小さい。そのため、その近傍領域のひずみの変化割合は半径Ｒが大きい方が小さくなり、応力σmaxの増加を抑えることができる。ただし、半径Ｒが大きくなるほど、複数のＭＥＭＳ梁構造５１で構成される弾性支持部５のｙ方向およびｘ方向のサイズが大きくなり、弾性支持部５の小型化を阻害する。

一方、楕円面取りの場合には、長半径Ｒ２をＲ２＝３０μｍに固定して短半径Ｒ１をＲ１＝３０μｍから減少させると、Ｒ面取りの場合とは逆にＲ１が小さくなるにしたがって応力σmaxが低下することが分かる。理想応力からの増加分で比較すると、Ｒ１＝３０μｍのときの１５．６ＭＰａからＲ１＝５μｍのときの３．９ＭＰａへと大きく減少している。楕円面取りの場合、長半径Ｒ２を一定にして短半径Ｒ１を小さくすると接続部５１２ｂの接点近傍の曲率が小さくなるので、局所的にはＲ面取りの半径Ｒが大きくなったことと同等の効果があるものと考えられる。

図１１に示すラインＬ２０の場合、Ｒ１＝５μｍで最小値１０３．９ＭＰａに達した後、さらにＲ１を小さくすると応力σmaxが急激に上昇する。すなわち、楕円面取りでは、応力σmaxが最低となる比Ｒ１/Ｒ２が存在する。応力σmaxが最低となる比Ｒ１/Ｒ２の値は梁部５１０ｂの幅寸法Ｗ１等に依存し、その値は０．２〜０．５程度の範囲となる。

すなわち、楕円面取りの場合には、Ｒ１＜Ｒ２と設定することにより、応力σmaxを半径Ｒ２のＲ面取りの場合の応力σmaxよりも小さくすることができる。さらに、ＭＥＭＳ梁構造５１をｘ方向に複数配置する場合、楕円面取りはＲ１＜Ｒ２なので、半径Ｒ２のＲ面取りとする場合よりもＭＥＭＳ梁構造５１の間隔をより小さくすることが可能である。なお、楕円面取りとした場合の応力集中の低減効果は、放物線状梁に限らず矩形状梁やその他の形状の梁においても効果を奏する。

上述した実施の形態の作用効果をまとめると以下のようになる。
（１）図２に示すＭＥＭＳ梁構造５１の場合、固定部６ｂに対して結合部５２がｘ方向に変位するので、結合部５２が可動部であってＭＥＭＳ梁構造５１により弾性支持される。ＭＥＭＳ梁構造５１は、ｘ方向に対して直交するｙ方向に延在する梁部５１０ａおよび梁部５１０ｂと、梁部５１０ｂの先端と結合部５２に接続される梁部５１０ａの先端とを接続する連結部５１１とを備え、梁部５１０ａ，５１０ｂはそれぞれ平等強さの梁としての形状を有し、結合部５２のｘ方向への変位に応じて、梁部５１０ｂの梁部根元に対して梁部５１０ａの梁部根元がｘ方向に相対的に位置ずれする。

このように、ＭＥＭＳ梁構造５１は、平等強さの梁である梁部５１０ａの先端と梁部５１０ｂの先端とを連結部５１１で接続した構成としているので、梁部５１０ｂの梁部根元に対して梁部５１０ａの梁部根元がｘ方向に相対的に位置ずれして変形した場合に、梁部５１０ａ，５１０ｂの各部の応力の上昇を均一にすることができる。その結果、弾性エネルギーが変形部である梁部５１０ａ，５１０ｂの各部にまんべんなく保有させることが可能となり、図４（ａ）のような矩形梁を用いた場合に比べてＭＥＭＳ梁構造５１を小型化することができる。

（２）平等強さの梁としての形状としては、例えば、図２に示すような放物線状梁がある。梁部５１０ａのｘ方向の幅寸法Ｘ１は、梁部根元寸法をＷ１、梁部根元からの距離をＹ１、Ａ１を正の係数としたとき、Ｘ１＝√（Ｗ１^２−Ｙ１/Ａ１）に設定され、梁部５１０ｂのｘ方向の幅寸法Ｘ２は、梁部根元寸法をＷ２、梁部根元からの距離をＹ２、Ａ２を正の係数としたとき、Ｘ２＝√（Ｗ２^２−Ｙ２/Ａ２）に設定される。

（３）さらに、図２に示す梁部５１０ａ，５１０ｂのように、梁部根元寸法Ｗ１，Ｗ２は等しく設定され、かつ、係数Ａ１，Ａ２は等しく設定され、さらに、梁部５１０ａの根元と梁部５１０ｂの根元との中間位置において式「√（Ｗ２^２−Ｙ２/Ａ２）」の値がゼロとなるように、設定するのが好ましい。このように梁部５１０ａ，５１０ｂを設定することにより、梁部５１０ａ，５１０ｂの各々は、図３（ｂ）で示すような片持ちの放物線状梁の自由端に荷重ｆが印加された場合と同様の特性を示すことになり、放物線状梁の効果を最も発揮することができる。すなわち、曲げモーメントが大きくなるにつれて断面二次モーメントも調和して大きくなって、表面のひずみが全域で等しくなる特性を持ち、引張応力絶対値が最大となるポイントは梁部５１０ａ，５１０ｂの全域に均一に分布するようになる。その結果、従来の矩形梁形状の場合と同一特性を有するＭＥＭＳ梁構造５１のサイズを、より小さくすることができる。

なお、図２に示すＭＥＭＳ梁構造５１では、梁部５１０ａ，５１０ｂの図示左右両側の輪郭形状が放物線形状となっているが、図１２に示すように、梁部５１０ａ，５１０ｂの片側の輪郭形状を直線状としても良い。この場合も、梁部５１０ａ，５１０ｂの幅寸法は放物線状に変化している。図１２では、図示左側の輪郭形状が直線状となっている。

（４）さらに、図５（ｃ）のパターン３のように、連結部５１１Ａのｘ方向の幅寸法Ｗ３を、連結部５１１Ａと梁部５１０ｂとの接続部における梁部５１０ｂの幅寸法に等しく設定するのが好ましい。そのように設定することにより、ＭＥＭＳ梁構造５１をより小型化することができる。

（５）図２に示すように、ＭＥＭＳ梁構造５１の梁部５１０ａ，５１０ｂの根元には、接続対象である結合部５２および固定部６ｂに接続するための接続部５１２ａ，５１２ｂがそれぞれ設けられており、接続部５１２ａ，５１２ｂのｘ方向の側面に、梁部５１０ａ，５１０ｂの根元のｘ方向の側面に連続する楕円形状の面取りを形成するのが好ましい。楕円形状の面取りを形成することにより、接続部５１２ａ，５１２ｂにおける応力σmaxを半径Ｒ２のＲ面取りの場合の応力σmaxよりも小さくすることができる。ｘ方向に複数配置されたＭＥＭＳ梁構造５１の間隔、すなわち、弾性支持部５のｘ方向サイズをより小さくすることが可能である。

上述した実施形態では、振動発電素子１の可動電極４を支持する弾性支持部５に、放物線状梁のＭＥＭＳ梁構造を採用したことにより、振動発電素子１の小型化を図っている。しかし、放物線状梁のＭＥＭＳ梁構造は、振動発電素子に限らず、アクチュエータやセンサなど可動部を支持する梁にも適用することができ、同様の効果を奏することができる。例えば、加速度センサ等のように可動部をＭＥＭＳ梁構造を介して支持枠に固定する場合、一方の接続対象である支持枠に梁部５１０ａの根元を接続し、他方の接続対象である可動部に梁部５１０ｂの根元を接続すれば良い。

なお、上述した実施の形態では二つの放物線状梁を組み合わせて、両持ち梁構造のＭＥＭＳ梁構造５１とした場合について説明したが、片持ち梁構造のＭＥＭＳ梁構造であっても、図１３に示すように振動発電素子の弾性支持部として用いることは可能である。図１３に示す振動発電素子１００では、片持ち梁構造の梁部５１０ｂの先端に可動櫛歯４０を有する可動電極４が設けられ、可動電極４に対して、固定櫛歯３０を有する一対の固定電極３が設けられている。櫛歯３０，４０の形状は円弧状になっており、梁部５１０ｂが変形して可動電極４がＲ方向に振動することにより櫛歯３０、４０の噛合量が変化する。その結果、発電が行われる。

上記では、種々の実施の形態および変形例を説明したが、本発明はこれらの内容に限定されるものではない。本発明の技術的思想の範囲内で考えられるその他の態様も本発明の範囲内に含まれる。

１…振動発電素子、３…固定電極、４…可動電極、５…弾性支持部、６ａ，６ｂ…固定部、３０…固定櫛歯、４０…可動櫛歯、５１，５１Ａ…ＭＥＭＳ梁構造、５２…結合部、５１０ａ，５１０ｂ…梁部、５１１，５１１Ａ…連結部、５１２ａ，５１２ｂ…接続部

Claims (6)

1. 第１方向に変位する可動部を弾性支持するＭＥＭＳ梁構造において、
   前記第１方向に対して直交する第２方向に延在する第１梁部および第２梁部と、
   前記第１梁部の先端と前記可動部に接続される前記第２梁部の先端とを接続する連結部とを備え、
   前記第１梁部および前記第２梁部はそれぞれ平等強さの梁としての形状を有し、
   前記可動部の前記第１方向への変位に応じて、前記第１梁部の梁部根元に対して前記第２梁部の梁部根元が前記第１方向に相対的に位置ずれする、ＭＥＭＳ梁構造。
2. 請求項１に記載のＭＥＭＳ梁構造において、
   前記第１梁部の前記第１方向の幅寸法Ｘ１は、梁部根元寸法をＷ１、梁部根元からの距離をＹ１、Ａ１を正の係数としたとき、Ｘ１＝√（Ｗ１^２−Ｙ１/Ａ１）に設定され、
   前記第２梁部の前記第１方向の幅寸法Ｘ２は、梁部根元寸法をＷ２、梁部根元からの距離をＹ２、Ａ２を正の係数としたとき、Ｘ２＝√（Ｗ２^２−Ｙ２/Ａ２）に設定される、ＭＥＭＳ梁構造。
3. 請求項２に記載のＭＥＭＳ梁構造において、
   前記梁部根元寸法Ｗ１およびＷ２は等しく設定され、かつ、前記係数Ａ１，Ａ２は等しく設定され、
   前記第１梁部および前記第２梁部は、前記第１梁部の梁部根元と前記第２梁部の梁部根元との中間位置において式「√（Ｗ２^２−Ｙ２/Ａ２）」の値がゼロとなるように、設定されている、ＭＥＭＳ梁構造。
4. 請求項３に記載のＭＥＭＳ梁構造において、
   前記連結部の前記第１方向の幅寸法は、前記連結部と前記第１梁部および前記第２梁部との接続部における、前記第１梁部および前記第２梁部の前記第１方向の幅寸法と等しく設定されている、ＭＥＭＳ梁構造。
5. 請求項１から請求項４までのいずれか一項に記載のＭＥＭＳ梁構造において、
   前記第１および第２梁部の梁部根元には接続対象にＭＥＭＳ梁構造を接続するための接続部がそれぞれ設けられており、
   前記接続部の前記第１方向の側面には、前記梁部根元の前記第１方向の側面に連続する楕円形状の面取りが形成されている、ＭＥＭＳ梁構造。
6. 固定電極と、可動電極と、前記可動電極を弾性支持する支持部とを備えるＭＥＭＳ振動発電素子であって、
   前記支持部は、請求項１から請求項５までのいずれか一項に記載のＭＥＭＳ梁構造を有する、ＭＥＭＳ振動発電素子。

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