JP6204273B2 - 幾何学的形状装置 - Google Patents

Description

本発明は、全体として、幾何学的形状装置に関するものである。

我々は、六角形のフットプリントから得られる一セットの形状を備える幾何学的形状装置が、多数のアプリとアクティビティを効果的に提供し得ると分かった。

本発明の第一局面によると、一セットの形状を含む装置が提供される。複数の形状は六角形のフットプリントから得られ、複数の形状のそれぞれに関して、好ましくは中心点を含む前記六角形の頂点のうち少なくとも幾つかが直線で連結され、前記セットを構成する各々の形状の周長が決まる。

本発明の様々な実施形態では、二次元の相互に関連する幾何学形状の組合せにより、様々なアクティビティ及びアプリを生み出す、包括的かつ多用途のシステムを提供することが目的である。様々なアクティビティ及びアプリとは、パズル、パターン作成装置、ボードゲーム、トランプゲーム、及びさいころゲームのような物理的ゲーム、デジタルアプリ、教育用のリソース、適正及び知能テスト、数学的問題解決、並びに一般的なレクリエーションアクティビティなどである。

これら複数の形状は、形状の辺が結合／連結するように、又は、少なくとも互いに並んで配置されるように、ユーザーによって組み合わせ可能であることが好ましい。本装置の一実施形態において、互いに連結され得る辺を持つ形状ピースからなるセットが提供され、これら形状ピースは個別に移動可能／配置可能である。

本発明の一実施形態は、テンプレートの形式の形状配置領域を含み、ユーザーは、形状配置領域を敷き詰めるように形状を配置しなければならない。有利には、これら形状を配置することで非常に多数の対称的な輪郭を有する構成が形作られることが分かった。よって、形状配置領域は、それら対称的な輪郭のうち任意の輪郭を受け入れることができる。

本発明の第二局面によると、データ処理装置用のインストラクションが提供される。データ処理装置は、データ処理装置が実行する際に、画像表示装置に一セットの形状を表示させる。前記形状は六角形のフットプリントから得られ、前記形状のそれぞれに関して、好ましくは中心点を含む前記六角形の頂点のうち少なくとも幾つかが直線で連結され、前記セットを構成する各々の形状の周長が決まる。

インストラクションは、データ記憶媒体に記録されてもよいし、信号の形態、又は、ソフトウェア製品若しくは他のコンピューター可読媒体の形態であってもよい。
本発明の第三局面によると、データ処理装置、画像表示装置を含む装置が提供される。データ処理装置は、前記画像表示装置に一セットの形状を表示させるように構成される。複数の形状は六角形のフットプリントから得られ、前記複数の形状のそれぞれに関して、好ましくは中心点を含む前記六角形の頂点のうち少なくとも幾つかが直線で連結され、前記セットを構成する各々の形状の周長が決まる。

好ましくは、前記装置は、前記複数の形状のうち少なくとも幾つかの相対表示位置をユーザーが決定できるように、ユーザーによる情報提供を可能とするように構成される。好ましくは、表示装置はグラフィックのユーザーインターフェイスを表示する。

当然のことながら、全ての形状が同時に表示される必要な無い。

本発明の様々な実施形態が、以下の図面を参考に一例として説明される。
六角形のフットプリントから一セットの多角形を定義する根拠を示す図である。 一セットの形状を示す図である。 図２に示す一セットの形状のサブセットとサブセットの形状の鏡映しを示す図である。 一セットの形状を定義する根拠を示す図である。 図４に示す一セットの形状それぞれのエッジ長さを絵で説明する図である。 図４に示す形状の幾つかをつなげる様々な方法を示す図である。 図４に示す形状の幾つかの面積特性を示す図である。 様々な六角形の形をした面を示す図である。 様々な六角形の形をした面を示す図である。 形状配置領域の輪郭を示す図である。 形状を使った考えられ得る構造を示す図である。 形状を使った考えられ得る構造を示す図である。 追加の反復形状を示す図である。 形状を使った考えられ得る構造を示す図である。 形状を使った考えられ得る構造を示す図である。 形状を使った３個の考えられ得る構造を示す図である。 形状配置アクティビティを示す図である。 一セットの多角形の形状配置領域として六角形のフットプリントを示す図である。 形状配置領域内での様々な形状の配向を示す図である。 様々な追加形状を示す図である。 図１６ａの形状配置領域内に配置された形状を示す図である。 図１６ａの形状配置領域内に配置された形状を示す図である。 形状セット及びプレイボードを有する２人用装置を示す図である。 形状セット及びプレイボードを有するマルチプレイヤー用装置を示す図である。 図２１ａ又は図２１ｂに示す装置を使用する際の様々な順番を示す図である。 電子アプリ装置の画像表示装置によって表示される一連の６個のイメージを示す図である。 図２３の電子アプリ装置の異なる難易度に応じた形状を示す図である。 ゲーム装置の一連の画像を示す図である。 トランプアクティビティの様々な勝ち手を示す図である。 形状の階層を示す図である。 ３個のさいころを示す図である。 一枚のトランプと図２８のさいころを３回投げた結果必要な形状を示す図である。 一セットの形状それぞれの面積を示す図である。 複数の形状を含む装置の様々な実施形態を示す図である。 図１０ａから１０ｑに関連するアクティビティ用の形状配置テンプレートを示す図である。 図１０ａから１０ｑに関連するアクティビティ用の形状配置テンプレートを示す図である。 図１０ａから１０ｎ及び１０ｑに関連するアクティビティ用の形状配置テンプレートを示す図である。 形状配置テンプレートを示す図である。 形状を使った考えられ得る構造を示す図である。 形状を使った構造での考えられ得るデザイン特性を示す図である。

[詳細な説明]
図１に示す通り、中心点を含む頂点のうち幾つか又は全てを直線でつなげることで、正六角形のフットプリントから得られる一セットの有限の多角形を含む装置が説明される。

この原理によると、１８個の異なる多角形を作ることができ、よく知られている「正」形状もあれば、あまり知られていない主に「不規則」の形状もある。それら形状の全ては、正六角形のフットプリントの中に含まれる。幾つかのアプリ用に、図２に示す通り、本セットは、六角形自体を含む１９個の形状を含む。

１８個の多角形のうち１４個は、位数が少なくとも１である鏡映対称を有する。残りの５個の形状は線対称では無いため、これら５個の形状それぞれを反転により映し出すことで、追加の５個の形状が作られることが主張される。この点に関しては、図３が参照される。

よって、本セットは、元の六角形が含まれる場合、２４個の「六角形に基づく」多角形を含む。
図４に最もよく示される通り、多角形それぞれは、正六角形の領域つまり「フットプリント」の中で定義され、得られた多角形それぞれの各まっすぐなエッジは、六つの頂点と中心点を様々な組合せで連結する線に限定される。

各多角形に関して、３個の「エッジ」の長さのみ可能である。正六角形は、合わせられた６個の正三角形の組み合わせと同じ面積を有する。正三角形の各辺又は「エッジ」の長さを１単位と仮定すると、六角形の周長は６単位となる。よって、各多角形のエッジはいずれも、Ａ（長さが１単位）、Ｂ（長さが２単位）、又はＣ（√３、つまり二つの正三角形を二等分する（半分に切る）線）のいずれかである。（ピタゴラスの定理を用いて、２の平方−１の平方＝√３≒１．７３）。この点に関しては、図５が参照される。

辺Ｂの長さが辺Ａの長さの２倍であるように、辺Ａ及び辺Ｂは長さの点で関連がある。長さＡ及び長さＢの辺を一つ以上有する形状は、Ａ−Ａ、Ａ−Ｂ、又はＢ−Ｂの組み合わせで互いに連結する。長さＣの辺を持つ形状は、図６にてＣ−Ｃで示す通り、長さＣの辺を少なくとも一つ有する他の形状とのみ連結できる。

このセットを使用する後述のアクティビティ及びアプリのいずれにおいても、セットを構成する２４個の二次元の幾何学的な多角形の幾つか又は全てを連結させる必要がある。よって、これら幾何学的な多角形において、各々の形状の特性、特に「面積」が重要な要素となる。（形状を構成する）元の六角形が６個の正三角形から構成されているので、各正三角形は、１平方単位（１ｙ）の面積を有すると仮定される。一つの正三角形を二等分し、結果の形状を連結すると、同じく１平方単位の面積を有する一つの二等辺三角形が形成される。これら三角形は、セットを構成する２４個の元の多角形のうちの二つであって、両三角形とも、１平方単位の面積を有するので、セットを構成する他の全ての部材の「面積」特性を演算し理解するのに役に立つ。図７が参照される。

セットを構成する２４個の多角形の平方単位での総面積は、７８平方単位（７８ｙ）である。このセットに含まれる多角形の全ての内面積が図３０に示される。
セットを用いるアプリ及びアクティビティを開発する出発点は、形状を置く面（ボード）の考えられる設計を探求することである。隙間を残すことなく少なくとも２４個全ての形状を一度に使用するためには（これら形状が適切に組み合わせ可能な構造であると仮定して）、７８平方単位の面積のボードが必要である。六角形の形をした面を使用するには、面の面積は、６、２４、５４、９６、１５０…と増加する。図８ａが参照される。

７８平方単位の面積を有する２４個の形状は、５４のボードには大きすぎ、かつ、９６のボード上では隙間又はスペースが残る。
しかし、これらパラメーターの範囲内で、一方の面積が１８平方単位で、他方の面積が７２平方単位である、二つの六角形を追加してもよい。図８ｂが参照される。

プレイ用の面又は「ボード」上で形状を組み合わせる際に柔軟性を持たせるには、図９ａで選択されたデザインが好ましい。この形状内で利用可能な総単位面積は、１１４平方単位である。プレイ用の面の他のオプションが、図９ｂ及び図９ｃに示される。

面積７２平方単位の六角形は、面積が６平方単位の元の六角形を差し引いた総面積７８の、２４個の形状を含むセットが、面積７２平方単位の六角形パターンを完成するように組み合わされ得ることを理論上意味する。図１０ａにて、この理論上の可能性が実現され解が輪郭で示される。この結果は、面積７２を有するより大きな六角形が、元のより小さい六角形（２４番目の形状）から得られる２３個のユニークな形状から構成されていることを実証するので、極めて重要である。

参考のために、前述の「解」はパズル解１（ＰＳ１）として参照される。重要であると見なされる全ての他の解とパターンも同様に名前がつけられる。
図１０ｂのＰＳ２は、二十四角形であるであって、「星形」に類似する。これは、共通の中心の周りで３０度の変位にて互いに重なり合う、一方が大きく他方が小さい２個の六線星形を有する。

図１０ｃのＰＳ３は、三十六角形であって、３個の頂点を有するクラスター６個を有する。外側エッジは全て同じ単位長さである。
図１０ｄのＰＳ４は、三十角形であって、正六角形に類似し、４単位のクラスター６個が各々の「角」から取り除かれたものである。

図１０ｅのＰＳ５は、二十四角形であって、正六角形に類似し、３単位のクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれ、かつ、１単位の「二等辺」三角形が６個の「角」それぞれから取り除かれたものである。

図１０ｆのＰＳ６は、二十四角形であって、正六角形に類似し、４単位のクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれたものである。
図１０ｇのＰＳ７は、１つの六角形が中心から取り除かれた３０個の辺を有する形状である。これは、正六角形に類似し、３単位のクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれたものである。外側エッジは全て同じ長さである。

図１０ｈのＰＳ８は、１つの六角形が中心から取り除かれた３０個の辺を有する形状である。これは、正六角形に類似し、２単位のクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれ、１単位の「二等辺」三角形が６個の「角」それぞれから取り除かれたものである。

図１０ｉのＰＳ９は、１８個の辺を有する形状であって、正六角形に類似し、２単位のクラスター６個が各々の「角」から取り除かれ、かつ、六線星形の「穴」を真ん中に有するものである。

図１０ｊのＰＳ１０は、３６個の辺を有する形状であって、正六角形に類似し、２単位のクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれ、かつ、六線星形の「穴」を真ん中に有するものである。

図１０ｋのＰＳ１１は、６個の辺を有する形状であって、正六角形に類似し、同様に六角形の「穴」を真ん中に有するものである。
図１０ａ‐１０ｑで実証される解は、元の２３個の形状全てを必要とし、元の六角形を含まない。ＰＳ１‐ＰＳ１１（図１０ａ‐１０ｋ）は、面積７２を有する２３個の形状が組み合わされ、位数６の回転対称および線対称の両方を有する構成を作る最良の解であると思われる。これら解はすべて、正六角形の改良形に類似する。

このカテゴリにおける残り６個の解のうち４個において、ＰＳ１２‐１４（図１０ｌ‐１０ｎ）はそれぞれ、３個の線対称及び位数３の回転対称を有する。ＰＳ１５（図１０ｏ）は、２個の線対称及び位数２の回転対称を実証し、この特性は独特である。

図１０ｐのＰＳ１６もまた、３個の線対称及び位数３の回転対称を有する。しかし、ＰＳ１４用の輪郭テンプレートは、このカテゴリでの他の解で提供された面とは異なる形状の面が必要である。図３２ｐ参照。

図１０ｑのＰＳ１７は、線対称を有さず、位数６の回転対称を示す代表例的な解にすぎず、この特性を有する他の形状を作ることは可能である。２３個の元の形状を用いて面積７２平方単位を有し、３個の線対称及び／又は位数３の回転対称を有する、このカテゴリの他の形状を作ることは可能と思われる。

ＰＳ１‐ＰＳ１７用の形状配置テンプレートが図３２ａから３２ｑに示され、ＰＳ１‐１４、１７用に異なる形状配置テンプレートが、図３３ａから３３ｏにて提供される。各テンプレートは、形状が配置され得る有界の領域を有する。

全ての２４個の形状（元の六角形を含む）を用いる他５個の解は、図１１ａ‐１１ｅに記載される。
図１１ａのＰＳ１８は、ＰＳ７に類似するが、本実施例においては、中心が中空でない多角形である。他の特性は全てＰＳ７と同様である。

ＰＳ１８は、位数６の回転対称と鏡映対称との両方を有する「多角形」内で２４個全ての形状を組み合わせる、第１かつ今のところ最良の解である。この解は、六角形が真ん中に構成されるので、特に美しい。

図１１ｂのＰＳ１９は、ＰＳ１１に類似するが、真ん中の六角形の「穴」が、面積に関してより小さく、かつ、中心点周りにて３０度変位している点が異なる。
図１１ｃのＰＳ２０は、ＰＳ９に類似するが、真ん中の抜けている「穴」が、六角形である点が異なる。他の特性は全てＰＳ９と同様である。完全な「多角形」では無いが（真ん中が抜けている）、ＰＳ２０もまた、位数６の対称（回転及び鏡映）構造内に２４個全ての形状を含む解である。

図１１ｄのＰＳ２１は、位数３の回転対称及び鏡映対称との両方を有する構成で、２４個全ての形状を組み合わせることで得られる「多角形」である。
図１１ｅのＰＳ２２もまた、位数２の回転対称及び鏡映対称との両方を有し、各列に４個、５個、及び４個配列された１３個の連結された六角形の概観を呈する構成で、２４個全ての形状を組み合わせることで得られる「多角形」である。

図１１ｆのＰＳ２３は、真ん中に六角形の穴を有し、位数２の回転対称及び鏡映対称との両方を有する。
ＰＳ１からＰＳ２３に描かれるパターンそれぞれを作るのに使われた形状の組合せは、２３個又は２４個の形状を組み合わせた場合に考えられる多くの構成の一つを提供し、全体的な解を実現する。いくつの異なる組み合わせが各パターンをもたらすかは正確には分からない。

セットを構成する２３個又は２４個の形状を使用し、線対称及び／又は回転対称の両方を呈する、ＰＳ１からＰＳ２３に明示される構成は、「特別」解と呼ばれる。（注：任意の形状内で「穴」を有する形状の解はいずれも、多角形ではない。）
アクセスのしやすさを高め、考え得る解のフレキシビリティを高め、かつ、難易度のレベルの幅を広げるために、決められた数の追加の「複製」形状を取り入れる。図１２に示す通り、追加の形状の４タイプは全て、セットを構成する元の２４個の形状から得られる複製形状である。

追加の２０個の形状は、３０平方単位の面積を追加する。全形状を使用する構成の総面積は、１０８（＝７８＋３０）となる。拡張されたセットは拡張セットと呼ばれる。
追加の形状を使用する必要があり、並びに、形状の特性及び構成を実験及び研究する目的の、アプリ及びアクティビティにおいて、使用する形状の数は限定されない。しかしながら、「解」と表示される結果それぞれに関して、セットを構成する２４個すべての形状は、少なくとも一回は使用されるものとする。さらに、各解は、少なくとも位数２の回転対称、及び／又は少なくとも一つの鏡写対称を有するものとする。解の面積は、７８から１０８である。

ＰＳ２４からＰＳ４６の代表例は、図１３ａから１３ｗに示す通り、（基本）セットと拡張セットを用いて構成できる多数の考え得る複合構成を実証する。注目すべきは、各パズルに関して同一の結果をもたらす他の形状の組み合わせもあり、上記に示す解に限らない。

複合「解」は、１００平方単位の正三角形、９６平方単位の六角形、１０８平方単位の六線星形（ダビデの星）、１０８平方単位の正三角形、様々な寸法の長方形（注：正方形は不可能）、連結された２個の六角形、面積がそれぞれ５４平方単位の２個の六角形、面積がそれぞれ２４平方単位の４個の六角形、複数の六角形、「不規則」台形、突出した領域を有する六角形、面積が１０８平方単位の「セットアップ」構成、面積が１０２平方単位の六線星形、「円形」、ひし形、台形、３６個のエッジを持つ多角形、４８個のエッジを持つ多角形、及び、４２個のエッジを持つ多角形を含む。

（基本）セット及び拡張セットは、多数の考え得る結果と可能性を提供する。形状の様々な組み合わせを試みることで、図１４に例示される通り、異なるかつ予期しない結果が生まれる。

形状の使用及び操作に関するガイドライン／インストラクションは、形状を使った様々な構造の輪郭テンプレートと共にユーザーに提供される。課題は、隙間を残すことなく、同時に、最小限の数の形状を用いて、パターンの内側を埋めることである。図１５参照。前述した図１０、１１、及び１３の例は、様々な難易度を提供する輪郭テンプレートフォーム（上記のとおり）内にて、課題又はパズルとして提示されてもよい。

上記形状の物理的なピースを使う１人用アクティビティが、以下にまとめられる。
ＰＡ１‐形状の詳細を文字で提供する。ユーザーは、その形状を再現しなければならない。この形式は、例えば、元の六角形のピースを除いた、基本セットを構成する２３個全ての形状を使用する六角形を作る等、競争の基本として用いられる。

ＰＡ２‐ガイドライン／インストラクションと共に輪郭テンプレートを提供する。ユーザーは、例えば図１５に示す通り、形状を組み合わせて輪郭を埋めなければならない。
ＰＡ３‐拡張セットを提供する。ユーザーは、従来のレンガとモザイクの組み立ての拡張版である形状を様々に組み合わせて実験やプレイをする。

形状配置テンプレートは、難易度の異なるアクティビティを提供し、以下のとおり分類される。
１．（基本）セットを構成する形状のうち２個以上の形状を、テンプレート内にて隙間を残すことなく組み合わせることとするテンプレート
２．（基本）セットを構成する形状、及び拡張セットを構成するピースのうちの幾つか又は全てを必要とするテンプレート
３．（形状を構成する）元の六角形のピースを除いた、（基本）セットを構成する形状を必要とし、面積が７２ｙであるテンプレート
４．（形状を構成する）元の六角形のピースを含めた、（基本）セットを構成する形状を必要とし、面積が７８ｙであるテンプレート
カテゴリ３及び４用であって、図１０及び１１に関係する形状配置テンプレートの詳細な特性を以下に記載する。

７２ｙの形状配置領域は、以下のうち少なくとも一つの形状の中に形状が収容されるように配置された輪郭を有することが好ましい。正六角形のパターンで面積が７２ｙに渡る六角形。２個の六線星形を含む、１２個の頂点を持つ「星形」のパターンの二十四角形であって、前述２個の六線星形の一方は大きく他方は小さく、共通の中心周りで３０度変位してお互いに重なり合い、面積が７２ｙに渡る二十四角形。３個の頂点を有するクラスター6個を有し、全ての外側のエッジが同じ単位長さであって、面積が７２ｙに渡る三十六
角形。９６ｙの完全な六角形に類似し、４ｙのクラスター６個が各々の「角」から取り除かれた、面積が７２ｙに渡る三十角形。９６ｙの完全な六角形に類似し、３ｙのクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれ、かつ、１ｙのクラスター６個が「角」それぞれから取り除かれた、面積が７２ｙに渡る二十四角形。９６ｙの完全な六角形に類似し、４ｙのクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれた、面積が７２ｙに渡る二十四角形。９６ｙの完全な六角形に類似し、３ｙのクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれ、中心で六角形が６ｙ取り除かれた、面積が７２ｙに渡る３０個の辺を有する形状。９６ｙの完全な六角形に類似し、２ｙのクラスター６個が各々の「辺」から取り除かれ、１ｙのクラスター６個が「角」それぞれから取り除かれ、中心で六角形が６ｙ取り除かれた、面積が７２ｙに渡る３０個の辺を有する形状。９６ｙの完全な六角形に類似し、２ｙのクラスター６個が各々の「角」から取り除かれ、中心で六線星形が１２ｙ取り除かれた、面積が７２ｙに渡る１８個の辺を有する形状。９６ｙの完全な六角形に類似し、２ｙのクラスター６個が「辺」それぞれから取り除かれ、中心で六線星形が１２ｙ取り除かれた、面積が７２ｙに渡る３６個の辺を有する形状。９６ｙの正六角形に類似し、中心で１個の六角形２４ｙが取り除かれた、面積が７２ｙに渡る６個の辺を有する形状。各列に２個、３個、４個、及び３個配列された１２個の連結された六角形の形状であって、面積が７２ｙに渡るパターン。面積が９６ｙに渡る六角形のパターンで、８ｙのクラスター３個の面積を１２０度の間隔で取り除き、面積が７２ｙに渡るパターン。面積が９６ｙに渡る六角形のパターンで、１ｙのクラスター６個が「角」それぞれから差し引かれ、６ｙのクラスター３個の形状で１８ｙを中心から取り除き、面積が７２ｙに渡るパターン。面積が７２ｙに渡る長方形のパターン。三角形に類似し、三角形の辺の中点３箇所それぞれで１ｙを取り除き、面積が７２ｙに渡るパターン。及び、面積が９６ｙに渡る六角形のパターンで、２ｙのクラスター６個が「角」それぞれから取り除かれ、さらに、２ｙのクラスター６個が隣接する「辺」それぞれから取り除かれ、面積が７２ｙに渡るパターン。

７８ｙの形状配置領域は、以下のうち少なくとも一つの形状の中に形状が収容されるように準備された輪郭を有することが好ましい。６個の「辺」それぞれで面積３ｙが差し引かれ、面積が７８ｙに渡る９６ｙの六角形。中心で正六角形の形状で面積１８ｙが差し引かれ、面積が７８ｙに渡る９６ｙの正六角形。中心で面積６ｙが差し引かれ、６個の「角」それぞれで２ｙが差し引かれ、面積が７８ｙに渡る９６ｙの六角形。三角形に類似し、該三角形の３辺各々の中心点に１ｙの追加箇所を有し、面積が７８ｙに渡るパターン。面積が７８ｙに渡り、各列に４個、５個、及び４個配列された１３個の連結された六角形のパターン。面積が９６ｙに渡る六角形で、中心で面積６ｙが差し引かれ、１ｙが６箇所それぞれで更に差し引かれ、３ｙが２箇所それぞれで更に差し引かれた、面積が７８ｙに渡る六角形。

形状配置領域のパターンは、線対称及び／又は回転対称を有してもよい。
複合形状は、セットを構成する形状のそれぞれ及び複製形状の一つ以上を用いることで形成され得ることが好ましい。

複合形状は、少なくとも位数２の回転対称及び／又は少なくとも一つの線の鏡映対称を有することが好ましい。
基本セット及び拡張セットにより、本装置は、様々なアプリ及びアクティビティを作り出すことができる。これらの幾つかは、面積が２４、５４、７２、及び９６である六角形の面の中でパターンを作ることを伴う。また、これら形状は、他の正及び不規則形状を作るために使われている。次のステップは、出来るだけ最小の六角形に基づくアクティビティ及びアプリを開発することである。図１６に示す通り、面積が６平方単位の六角形。

「単位」六角形は、形状セットを開発するために作られ得るすべての形状を含む。
形状は、六角形のフットプリント内で、６個の「回転」位置で正しく配置される。単位「二等辺」三角形のような特有なケースの場合、１２個の位置に配置され得る。図１６ｂが参照される。

六角形のフットプリント又は形状配置領域からアプリを開発するために、二つの方法が適応され得る。最初の方法は、六角形を「敷き詰める」又は「仕上げる」ことに関係する。例えば、２４個の特有な形状を含む基本セットが容器Ａに納められ、２０個の「追加」形状が容器Ｂに納められる（図１７参照）。

容器Ａから無作為に形状を一つ選び、容器Ｂからも無作為に適当な形状（一つ以上）を選び、六角形を仕上げることが目的である。本実施例は、失敗結果と成功結果の両方を示す。図１８が参照される。

２番目の方法は、基本セットを構成する形状を再現することに関係する。容器Ａから無作為に形状が一つ選ばれ、参加者は、容器Ｂの形状を用いて同じ形状を再現する。図１９が参照される。結果である課題とアプリをより詳細に説明する。

２人用アプリでは、六角形が最後に残るように、プレイ面から全ての形状を取り除くことが目的である。２４個の元の形状だけが加点できる形状（加点形状）である。図３０に示す通り、形状はそれぞれ、その形状の面積に応じたポイントを有する。２０個の「追加」形状は、２人のプレイヤー間で均等に分配され、かつ、各プレイヤーが、加点形状、相手プレイヤーの形状、及び自身の形状を見分けることができるように異なる印が付されている。形状は、図２０ａ又は２０ｂいずれかの図形に従って、プレイ面に配置される。各プレイヤーは、自身の戦略の中心となる「加点」形状を選び、自分が選んだその形状を相手プレイヤーには教えない。各プレイヤーは交代で形状を動かす。形状は、加点形状を含むことが可能なように配置される。「加点」形状は取り除くことだけでき、隙間を残さずに小さな六角形にしっくりはまるとポイントを得ることができる。プレイヤーの「追加」形状も、「加点」形状と同じ方法にて取り除かれるが、「追加」形状は加点対象ではないが、戦略的には有用である。プレイヤーが形状に触れて動かすことは交代で行われる。プレイヤーは、最後の六角形が取り除かれる前に、メインプレイ面から追加形状の全てを取り除かなければならない。プレイヤーは、適宜、プレイ面から「追加」形状と取り除くことができるが、常に交代で行われるものとする。

両プレイヤーにとっての本ゲームの拡張は、最後の六角形を含む全ての形状を取り除いた後に、順番に一つずつそれらを元の位置に戻すことである。嵌らない手持ちの形状のポイントが各プレイヤーの得点から差し引かれる。追加点が獲得できる特別な状況がある。プレイヤーが、一方の形状が他方の形状の「鏡映」である２個の形状を獲得した場合、追加ポイントが加点される。プレイヤーが、一つに組み合わされることで完全な六角形を形成する２個の形状を獲得した場合、追加ポイントが加点される。

マルチプレイヤーゲームの場合、六角形が最後に残るように、プレイエリアから全ての形状を取り除くことが目的である。
最高得点のプレイヤーが勝ちとなる。２４個の元の形状だけが加点できる形状（加点形状）である。形状それぞれ、その形状の面積に応じたポイントを有する（図３０）。全ての形状が、図２１ａ又は２１ｂいずれかの図形に従って、プレイ面に配置される。

交代で、各プレイヤーは、１平方単位の面積を有する２個の三角形の「追加」形状のうちの一方を取り除く。プレイヤーは、必要に応じて、自分の順番の際に、各自が累積した「追加」形状の幾つか又は全てをより大きい「追加」形状と交換しても良い。例えば、２個の正三角形又は２個の二等辺三角形は、１個のひし形と交換できる。１個のひし形及び正三角形又は２個の二等辺三角形及び正三角形は、１個の台形と交換でき、逆も同じである。プレイヤーは、前もって特定した「加点」形状を他のプレイヤーに開示することなく、その「加点」形状を再現するのに充分な数の「追加」形状の獲得を狙う。プレイヤーが加点を意図している場合、自分の順番が始まったときに「プレイ」と宣言し、意図した形状を取り除き、プレイ面の中心にその形状を置く。図２２が参照される。

本実施例において、プレイヤーＡは、３回の順番の間に、３個の「追加」形状を集めることとする。順番４の初めに、プレイヤーは、「プレイ」と宣言することで「加点」の意図を宣言し、再現するつもりの「加点」形状を取り除き、真ん中のスペースに置く。その後、プレイヤーＡは、３個の「追加」形状を手に取り、その選んだ「加点」形状と再現される形状が同一であるように、それらの位置を合わせる。「プレイ」の間に、形状を再現する試みが失敗した場合、プレイヤーはその３個の追加の形状すべてとその形状をプレイ面に戻す。「プレイ」が成功し、再現された形状が選ばれた「加点」形状と同一な場合、そのプレイヤーは、その形状の単位面積に応じたポイントを得て（例えば、形状が３単位の面積を有する場合３ポイント）、ゲームの最後にポイントを正確に総計するために、プレイヤーはその形状を取り除き手元に残す。本実施例では、プレイヤーＡは、自身が意図する「加点」形状は３個より大きいまたは小さい数の「追加」形状が必要であると判断し得り、その場合、遅かれ早かれ「加点」の動きを宣言できたであろう。「プレイ」が宣言された後、成功又は失敗に関わらず、「プレイ」中に使われた全ての「追加」形状は、プレイ面に戻すことでプレイに戻されることとする。

２人用アプリと同様に、両プレイヤーにとっての本ゲームの拡張は、最後の六角形を含む全ての形状を取り除いた後に、順番に一つずつそれらを元の位置に戻すことである。嵌らない手持ちの形状のポイントが各プレイヤーの得点から差し引かれる。追加点が獲得できる特別な状況がある。プレイヤーが、一方の形状が他方の形状の「鏡映」である２個の形状を獲得した場合、追加のポイントが加点される。プレイヤーが、一つに組み合わされることで完全な六角形を形成する２個の形状を獲得した場合、追加のポイントが加点される。一方のプレイヤーが「プレイ」と宣言した場合、他方のプレイヤーは、より少ない形状を用いて加点形状を再現できる場合は、チャレンジしても良い。この筋書きでは、チャレンジしたプレイヤーは「加点」形状及び配分ポイントを獲得する。「プレイ」と宣言したが失敗に終わったプレイヤーは、「プレイ」中に使用した形状を没収され、プレイ面にそれらを戻す。

任意の適当な材料から作られ得る上記のような物理的形状を用いるアクティビティのうち全部とは言わなくてもその多くは、デジタルアプリとして実現可能である。デジタル的に開発されたアプリ（「Ａｐｐｓ」）により、１）携帯端末‐iPod(登録商標)、iPhone(登録商標)、Nintendo DS(登録商標)のような小型ディスプレイ、２）コンピューター及び「タブレット型」端末‐iPad(登録商標)のような中型ディスプレイ、３）対話型ディスプレイ‐対話型ホワイトボード及び水平卓上デバイスのような大型ディスプレイを介して、形状が操作される。最も効率的にデジタルアプリを使用するには、「タッチ」技術を内蔵するデバイスを用いることができる。これらのデバイスは、データ処理装置、画像ディスプレイ、及び画像ディスプレイに適した表示をさせるデータ処理装置用のインストラクションを含む。

電子アプリ１‐このアプリでは、拡張セットを構成する一セットの「デジタル」形状を作ることが必要である。ユーザーは、形状を様々な構成に動かすことができる。二つのタイプのアクティビティが提供される。１）「六角形の形状の中で、元の六角形を含まない、セットを構成する２３個の形状すべてを用いてある図を作りなさい。」のような言葉で表示される挑戦。２）隙間を残すことなく、必要最小限の数の形状を使ってテンプレートの内側を埋めるようにユーザーに要求する輪郭テンプレート。これは、時間を計測してもしなくてもどちらでもよい。

電子アプリ２‐このアプリは、一つの六角形単位のプレイ面が必要である。プレイヤーは、開始時点で既に６ポイントのクレジットスコアを有する。ボタンＡを選択すると、２４個の形状のうちの１個が六角形のフットプリント内に不規則に現れる。可能性のある得点は、出現した形状の面積による。六角形そのものが現れた場合、プレイヤーは自動的に６ポイント獲得する。しかし、他の形状のいずれに関しても、プレイヤーは、「追加」形状の１個をプレイ面の側に出現させるために、ボタンＢを選択するものとする。出現した「追加」形状は、最終的に隙間が無くなるまで、六角形のフットプリント内で操作される。単位六角形が仕上がると、プレイヤーは「加点」形状のポイントを獲得する。出現した「追加」形状が六角形のフットプリントに「はまらない」場合、獲得ポイント無しでゲーム終了か、又は、プレイヤーはゲーム続行を選択しても良いが、その場合、適合しない形状が出現する度に「追加」形状を破棄するのに１ポイント没収される。

電子アプリ３‐上記の２人用アプリのデジタル版
電子アプリ４‐上記のマルチユーザーアプリのデジタル版
電子アプリ５‐このアプリでは、プレイヤーは、基本セットを構成する２４個の形状のうちの様々な形状を用いて、プレイ面の外に在る６個の六角形のセルを埋めて仕上げなければならない。無作為に、１個の形状が真ん中の六角形の中に出現する。そして、図２３に示す通り、６個のルートのうちの１個のルートに沿って、プレイ面の外側へ移動し始める。プレイヤーは、画像ディスプレイスクリーンをタップして形状を選択し、一つの連続的な動きで六角形セルのうちの１個のセル中で好位置に動かす。形状がタップされても、適当な／所定の時間内に外側のセルの一つに配置されない場合、形状は、前述「タッチ」から解放され、プレイ面の外側まで移動し続ける。形状は、いずれの方向に移動してもよく、回転してもよい。六角形が完成すると、その六角形セルの中身は消えて無くなり、６ポイントが加点される。タップ又は選択されることなく、形状が「外側」へ到達した場合、加点形状の値に応じたポイントが失われる。外側の「セル」が長い間部分的にのみ埋められていると、そのセルが振動し始める。セルが速やかに完成されない場合、そのセルは爆発し、他の５個のセルだけが残る。外側のセル全てが無くなると、ゲームオーバーとなる。プレイヤーの得点がゼロを下回ると、ゲームオーバーとなる。

目的は、できるだけ多くのポイントを獲得することである。
基本セットを構成する形状が８段階の難易度を示す間隔でゲームに導入される。図２４が参照される。「追加」形状と「加点」形状の両方が、現実的に成功するチャンスを保証するようにグループで現れる。このアプリの複雑さと難易度を高める他の方法は、真ん中から出現する形状の出現速度を上げる、及び／又は形状の移動速度を上げることである。

レベル８が完了するまでには、２４個の「加点」形状の幾つか及び２０個の「追加」形状の全てが、プレイ中であり、真ん中の六角形から現れる。
電子アプリ６‐図２５が参照される。このアプリでは、１人又は複数のプレイヤーが、グリッドパターンの中に「トークン」を置く。トークンは、その後、出現したセットの形状を支配するルールに従うグリッド内での移動によって、排除される。最も多くのトークンが残っているプレイヤーが勝ちとなる。「プレイ」の開始時に、交点Ａ−Ｇが順不同に次々に点灯する。最後に点灯する点がゲームの第１ラウンドの開始点となり、この実施例では、Ｅである。プレイヤーはグリッド内の２４箇所にトークンを置くことができる。本実施例では、２人のプレイヤーそれぞれが、６個のトークンを有し、図形に従ってセクターに置く。トークンがグリッド上に配置されると、ゲームが開始する。Ｅと示される交点から始まるランダムなパスが出現し、グリッドの直線に沿って、他の交点に到達するまで進む。他の交点に到達すると、方向を変えて次へ進む。これは、パスがＥの交点に戻るまで続く。パスを構成する唯一のルールは、ａ）交点間の既存の線と交差しない、ｂ）既存の線のパスを再度たどらない、及びｃ）多角形を形成してＥに戻るルートを取る。このように、直線の組み合わせが、セットを構成する２４個の形状の一つである多角形の輪郭を描く。その形状の中にあるトークンはそのまま残り、その形状の外にあるトークンは取り除かれる。時には、形状が出現すると、その形状は、回転して、得点と失点が決定される最終位置に落ち着くか、又は、プレイヤーは、勝ちの「トークン」を形状の更なる移動まで残すというリスクを敢えて取る前に、それら勝ちの「トークン」を取り除くと決断してもよい。トークンが残っているプレイヤーが勝ちとなり、又は、最も多くのトークンが残っているプレイヤーが勝ちとなる。本実施例では、プレイヤー２が一つの残りのトークンを有している場合、プレイヤー２が勝ちとなる。

上に記載のアプリの多くが、４個の考えられる変形を有するトランプアクティビティとして適応される。
タイプＡ：「加点」カードが、２４個の形状を表す２４枚のカードからなる１パックである。

タイプＢ：「加点」カードが、２４個の形状を表す２４枚のカードからなる１パック、及び「追加」形状を表し２０枚のカードからなる第２のパックである。
タイプＣ：「追加」カード及び「加点」カードの両方が、４４枚のカードからなる１パックである。

タイプＤ：「追加」カードが、２０枚のカードからなる１パックである。
適切な場合には、個別のゲームの要件によっては、各タイプのパックに関して一つ以上のパックを使っても良い。

トランプアプリ１‐スナップ‐タイプＡ‐２４枚の「加点」カード全てが裏向きで２人のプレイヤーに配られる。カードが順に置かれ、２個の類似した形状又は六角形を成す２個の形状を待つ。「スナップ」又は最初に決められた他の言葉を最初に発したプレイヤーがカードの山を獲得する。他のプレイヤーが手持ちのカードが無くなった時に、全てのカードを先取したプレイヤーが勝ちである。プレイヤーの人数が多い場合は、２パック以上使用してもよい。

トランプアプリ２‐ペア‐タイプＡ‐６×４の長方形グリッド内に、２４枚全ての「加点」カードが裏向きでそれぞれ置かれる。プレイヤーは、交代で、２枚のカードを引っくり返し、一組の同一の形状を獲得する。成功しなかった場合、カードを元に戻す。成功した場合、カードを取り除く。最も多数のペアを獲得したプレイヤーが勝ちである。プレイヤーの人数が多い場合は、２パック以上使用してもよい。

トランプアプリ３‐ブラックジャック又は「２１」‐タイプＢ‐二つのカードのセットが二箇所別々にスタックされる。プレイヤーはそれぞれ、「加点」カードの山からカード１枚を取る。「追加」カードの第２のスタックからカードを追加し、六角形を完成することが目的である。プレイヤーは、ブラックジャック又は「２１」を従来のトランプカードを使ってプレイすると同じ方法で、ツイスト、スティック、又はバーストできる。プレイヤーの人数が多い場合は、２パック以上使用してもよい。

トランプアプリ４‐Hex-it‐タイプＢ‐二つのカードのセットが二箇所別々にスタックされる。「加点」カードのスタックからのカード１枚を表向きにする。「追加」カードの第２のスタックからカードを集め、六角形を完成することが目的である。プレイヤーは、交代で、手持ちのカードを合計６枚まで集める。その際、相手プレイヤーにはカードを見えないようにする。７枚目のカードを取る時になると、カードを取らないか、又は、カードを１枚取って手持ちのカード１枚をスタックの一番下へ戻すことができる。六角形を完成するのに適した形状を手持ちに持っている場合は、次の順番まで待ち、「ピックアップ」の変わりに「プレイ」と宣言する。プレイヤーが成功して、六角形を仕上げるのに必要な形状を「プレイ」した場合、このカードを取り除き、取り除かれた形状の単位面積に応じたポイントを獲得する。次のカードを引っくり返し、次のラウンドを開始する。プレイヤーが成功しなかった場合、カードを表向きにしたままでプレイを続行する。失敗した場合、プレイ中に使用されてたまったカードが没収され、スタックに戻される。プレイヤーの人数が多い場合は、２パック以上使用してもよい。

トランプアプリ５‐「ポーカー」‐タイプＡ‐「加点」カードだけを表す二つのカードのセットがセットされる。各プレイヤーは、相手に見えないようにした３枚のカードをもらう。スタックから３枚のカードが表示される。その３枚のカードは、６枚のカードが並べられるまで一つずつ追加される。１「ラウンド」は、スタックから３枚から６枚のカードが並べられている間続行される。あがり手と形状の階層が図２６と２７に示される。プレイヤーの人数が多い場合は、２パック以上使用してもよい。

上記に記述したアプリの名前は、実用的なタイトルにすぎず、これら名前が、通常のトランプゲームを連想させる場合、同じコンセプトを有しているからである。
一般的なルールは以下の通りである。

‐本ゲームには二つの開始位置がある。カード５枚のバージョンとカード６枚のバージョンが実行可能である。カード６枚のバーションは上に記載されている。カード５枚のバージョンでは、各プレイヤーは、３枚ではなく２枚のカードをもらい、その２枚のカードが表示され、最大５枚のカードが並べられるまで追加される。カード５枚バージョンでの勝ち手「Ｈｅｘ Ｒｕｎ」は、「六角形」のカードを含めない。

‐特に指定のない限り、同じ色の組み合わせが、二つの色の組み合わせより常に優位である。
‐プレイヤーが「Ｈｅｘ」カードをもらうか、又は、「Ｈｅｘ」カードがプレイに参加すると、完全な六角形を作ることが、「Ｈｅｘ Ｒｕｎ」を除いて他の全ての手札に打ち勝つ。

‐同等の手札の場合、カードの価値は、図２７に示す形状テーブルの階層に従って計算される。
既に記載された媒体のいくつか（形状ピース、トランプ及びさいころ等）を組み合わせる物理的アプリ（デジタルアプリと反して）が以下に提案される。

組み合わせアプリ１‐基本セットの２４個の「加点」形状を有するトランプカード、及び、４個の「追加」形状を表示する３個のさいころを使用するゲーム。図２８が参照される。

このアクティビティでは、基本セットを含むカードの１パックが裏向きで置かれる。一番上のカードを引っくり返す。プレイヤーは、その六角形を「仕上げる」ために、１個、２個又は３個のさいころをふる。図２９の例を参照。

このアプリの拡張版は、さいころだけを使い、ある六角形を完成するために組み合わされる形状を投げる。
組み合わせアプリ２‐このアクティビティは、セットを有するカードのパックから現れる形状を再現するために、１個から３個の間のさいころをプレイヤーが振る点を除いては、組み合わせアプリ１と類似する。このゲームでのパック内の「ジョーカー」は、さいころ上の形状では再現できない長方形である。よって、プレイヤーが「長方形」を引き、３個のさいころを振った後にも依然ゲームに参加している場合、そのプレイヤーはもう一度さいころを振ることができる。

組み合わせアプリ３‐このアクティビティでは、プレイ面、及び２パックのカードを用いた全形状ピース（２４個の元の加点形状と２０個の追加形状）が必要である。
２４枚の元の加点形状のパックの一番上のカードを表向きに引っくり返す。このカードは、両方のプレイヤーが２０枚の追加形状の第２のパックから形状を順番に集めることで再現する形状である。その形状はボード上で表示され、プレイ面の真ん中に置かれ、本アクティビティにおいて従うべき焦点である。プレイヤーが加点形状を再現するのに充分な数の「追加」形状を有するまで、交代で、各プレイヤーが「追加」カードを取る。「加点」を目的としている場合、そのプレイヤーは、自分の順番が始まるときに「プレイ」と宣言することとする。プレイヤーは、プレイ面から形状を選択し、真ん中の形状を再現するのに使用する意図のあるカードを宣言する。その「追加」形状は、ボードの真ん中の形状のレプリカを作るためにある位置へ操作される。試みが成功した場合、プレイヤーはその形状を真ん中に置き、そのポイント価値に応じたポイントを獲得する。その形状を再現するためにプレイヤーが使用したカードは、パックの一番下に戻される。プレイヤーの試みが成功しなかった場合、形状がプレイに戻され、プレイヤーのカードが没収されパックへ戻される。

本発明の他の実施形態は、２４個の形状及び結果として生成され得る様々な構成の幾何学的性質を反映する「教育」パックを有する。個人、ペア、及びグループアクティビティから構成される。各形状の幾何学的特性の解析に焦点を合わせるアクティビティ及びタスクを提供する。これらは以下を含む。

‐多角形の特性
‐特別な呼称‐三角形、四角形など
‐特別な特性‐正/不規則、凹/凸
‐角度‐鋭角、鈍角、優角、直角
‐対称‐線、点／回転
‐測定‐周長、面積
‐切りばめ
‐用語
基礎レベルでは、生徒は、形状を用いて「プレイ」し、かつ、実験を通して、数学的な水準を満たす慣れ親しんだ構成を生み出すように促される。

教育パックは、地域及び国の要件に応じて学習ターゲットに関係するタスクを提供する。
ありとあらゆる形状各々の二つの相反するの「面」である上面と底面にデザインを追加する様々な方法を実施することで、形状セットの「見て感じる」を高めることができる。

（ｉ）無地
（ｉｉ）シンボル‐図３１ａに例として示される通り、形状毎に個別のシンボル
（ｉｉｉ）イメージ‐図３１ｂに例として示される通り、形状毎に個別のイメージ
（ｉｖ）パターン‐図３１ｃに例として示される通り、２つ以上の形状が任意の組み合わせで合わせられる時にうまくいくパターン
（ｖ）ジグソーパズル‐図３１ｄに例として示される通り、特定の組み合わせで形状が合わせられた時にのみ明らかになるイメージ
（ｖｉ）アプリ指向‐アプリでの形状の使用に必須である模様又は色彩
図３４ａ、３４ｂ、３４ｃ及び３４ｄの形状の構成は、形状構成、形状配置、及び追加されたパターンデザインの最も美しい実施形態及び組み合わせを示す。ＰＳ４７用の形状配置テンプレートが図３４ａに示される。そのテンプレートは、７個の境界のある領域又はサブ領域から構成され、それぞれの領域内には、サブセットの形状を置くことができる。各領域が凹んであると便利である。ＰＳ４７と付され３４ｂに示される形状構成は、２３個の元の形状全てが必要であるが、元の六角形は含まない。図３４ｃでは、個別のデザインが各形状に付される。図３４ｄでは、一つのデザインパターンが、形状構成全体に付される。この場合、そのデザインパターンの構成部分が各形状に付される。

各形状は２個の面を有するので、基本セットは上記のうちのいずれか二つを表示できる。例えば、一組は、一側面で形状が組み合わされ、全体で一つのパターンを有し、他側面は各形状に固有のシンボルを有する（ｉｖ）及び（ｉｉ）。他の例では、形状がある固有の組み合わせで構成される時のみに一側面をきれいに覆う絵柄を用い、他側面は無地であってもよい（ｖ）及び（ｉ）。必要に応じて、上記いずれの変形例も色づけされてもよい。

上記実施形態は、正（ｒｅｇｕｌａｒ）単位六角形のフットプリントに由来する幾何学装置の実現を示す。このセットを構成する特有且つ有限の形状が組み合わさることで、仕上がりが正及び不規則（ｉｒｒｅｇｕｌａｒ）の様々な解が提供される。形状の特性及び形状の組み合わせ方法により、物理的及びデジタル両方の多くのアプリが有利に生み出される。アプリの多くが、配信機構としての様々な媒体を使って楽しまれる。本発明に由来するアプリ及びアクティビティのいずれも、「文字」又は「数字」指向とは異なる「形状」指向である。「値」又は「階層」の関連付けるための形状の比較は、形状の内面積又は別の数学的な性質のいずれかによって決まる。

Claims (25)

1. 一セットの形状を有する物理的ピースのセットであって、
   前記複数の形状は、６つの直線により囲まれて内部に中心点が設定された領域である六角形のフットプリントのみから得られ、前記複数の形状のそれぞれに関して、前記六角形の頂点のうち少なくとも幾つかが直線で連結されることで、前記セットを構成する各々の形状の周長が決まり、
   前記複数の形状は、ｘ、２ｘ又は√３ｘのいずれかの長さの辺を有し、ｘ又は２ｘの長さの一辺を有する形状は、ｘ又は２ｘの長さの一辺を有する他のいずれの形状とも連結され得、√３ｘの長さの一辺を有する形状は、√３ｘの長さの一辺を有する形状と連結され得、第１サブセットの形状は２ｘの長さの一辺を有し、第２サブセットの形状は√３ｘの長さの一辺を有し、
   ｘは、前記六角形のフットプリントの辺の長さであることを特徴とする物理的ピースのセット。
2. 前記複数の形状のうち少なくとも幾つかに関して、前記六角形のフットプリントの前記中心点が二つの頂点に連結されることを特徴とする請求項１に記載の物理的ピースのセット。
3. 前記各々の形状は、前記六角形のフットプリントの頂点又は前記中心点に出発点を選び、前記出発点を一つ以上の他の頂点又は前記中心点に順番に連結し、そして、前記出発点に戻ることで得られ、前記順番によって前記形状が決まることを特徴とする請求項１又は２に記載の物理的ピースのセット。
4. １８個の形状を有し、六角形が含まれる場合は１９個の形状を含むことを特徴とする請求項３に記載の物理的ピースのセット。
5. 前記１９個の形状のうち５個は非対称反射であって、さらに５個の形状が前記５個の非対称反射の形状を鏡映することで定まり、結果、２４個の形状を有するセットが前記六角形のフットプリントの中に提供されることを特徴とする請求項４に記載の物理的ピースのセット。
6. 前記２４個の定まった形状の総面積は７８ｙであって、ｙは、前記六角形のフットプリントを形作るのに組み合わせ可能な６個の正三角形のうちの１個の面積であることを特徴とする請求項５に記載の物理的ピースのセット。
7. 前記フットプリント及び前記複数の形状は、二次元で定義されることを特徴とする請求項１から６のいずれか一項に記載の物理的ピースのセット。
8. 前記複数の形状を受けるために配置された任意の輪郭を有する有界な領域を含むことを特徴とする前記請求項のうちいずれか一項に記載の物理的ピースのセット。
9. 全ての形状を同時に展開できるように配置された形状配置領域を含むことを特徴とする請求項８に記載の物理的ピースのセット。
10. 前記形状配置領域は、少なくとも７２ｙの面積を有し、ｙは、前記六角形のフットプリントを形作るのに組み合わせ可能な６個の正三角形のうちの１個の面積であることを特徴とする請求項８又は請求項９に記載の物理的ピースのセット。
11. 前記形状配置領域は、少なくとも７８ｙの面積を有することを特徴とする請求項１０に記載の物理的ピースのセット。
12. 前記形状配置領域は、実質的には六角形であることを特徴とする請求項８から１１のいずれか一項に記載の物理的ピースのセット。
13. 前記形状配置領域は、９６ｙ以上の面積を有する六角形のフットプリントを備えることを特徴とする請求項１２に記載の物理的ピースのセット。
14. 前記形状配置領域に収容され得る前記形状からなる複数の組み合わせを備えることを特徴とする請求項８から１３のいずれか一つに記載の物理的ピースのセット。
15. 多数の追加形状を更に含み、該多数の追加形状は、前記一セットの形状のうちの一つ以上形状の複製形状であることを特徴とする前記請求項のうちいずれか一項に記載の物理的ピースのセット。
16. 複合形状は、前記一セットの形状のうちの各々の形状及び前記複製形状のうちの一つ以上の形状を用いて形成され得ることを特徴とする請求項１５に記載の物理的ピースのセット。
17. 請求項４に記載の前記１９個の形状からなる前記セットのサブセットを含む物理的ピースのセットであって、
    前記サブセットは、前記サブセットの形状を選択することで、請求項１２に記載の前記形状配置領域の六角形の輪郭内で六角形を構成できるように配置されたことを特徴とする物理的ピースのセット。
18. ゲーム及びパズルのうちの少なくとも一つとして、前記複数の形状の使用に関するインストラクションを含むことを特徴とする前記請求項のうちいずれか一項に記載の物理的ピースのセット。
19. 前記複数の形状の相対位置をユーザーが設定できるように準備されたことを特徴とする前記請求項のうちいずれか一項に記載の物理的ピースのセット。
20. 前記複数の形状を受けるために配置された任意の輪郭を有する有界な領域を含み、請求項１から７のいずれか一項に記載された前記複数の形状と共に使用されることを特徴とする形状配置テンプレート。
21. 多数の形状配置サブ領域を含むことを特徴とする請求項２０に記載の形状配置テンプレート。
22. コンピュータを、
    一セットの形状を表示するように構成された表示部、及び、
    前記表示部により表示された前記形状のうち少なくとも幾つかの相対表示位置をユーザーが決定できるように、ユーザーによる情報提供を可能とするように構成された位置決定部
    として機能させ、
    前記形状は、６つの直線により囲まれて内部に中心点が設定された領域である六角形のフットプリントのみから得られ、前記形状のそれぞれに関して、前記六角形の頂点のうち少なくとも幾つかが直線で連結され、形状の周長が決まり、
    前記複数の形状は、ｘ、２ｘ又は√３ｘのいずれかの長さの辺を有し、ｘ又は２ｘの長さの一辺を有する形状は、ｘ又は２ｘの長さの一辺を有する他のいずれの形状とも連結され得、√３ｘの長さの一辺を有する形状は、√３ｘの長さの一辺を有する形状と連結され得、第１サブセットの形状は２ｘの長さの一辺を有し、第２サブセットの形状は√３ｘの長さの一辺を有し、
    ｘは、前記六角形のフットプリントの辺の長さであることを特徴とするプログラム。
23. 一セットの形状を表示するように構成された表示部と、
    前記表示部により表示された前記形状のうち少なくとも幾つかの相対表示位置をユーザーが決定できるように、ユーザーによる情報提供を可能とするように構成された位置決定部とを備え、
    前記形状は、６つの直線により囲まれて内部に中心点が設定された領域である六角形のフットプリントのみから得られ、前記形状のそれぞれに関して、前記六角形の頂点のうち少なくとも幾つかが直線で連結され、形状の周長が決まり、
    前記複数の形状は、ｘ、２ｘ又は√３ｘのいずれかの長さの辺を有し、ｘ又は２ｘの長さの一辺を有する形状は、ｘ又は２ｘの長さの一辺を有する他のいずれの形状とも連結され得、√３ｘの長さの一辺を有する形状は、√３ｘの長さの一辺を有する形状と連結され得、第１サブセットの形状は２ｘの長さの一辺を有し、第２サブセットの形状は√３ｘの長さの一辺を有し、
    ｘは、前記六角形のフットプリントの辺の長さであることを特徴とする装置。
24. 前記表示部は、更に、ユーザーが前記形状を配置する形状配置領域を表示するように構成されることを特徴とする請求項２３に記載の装置。
25. ゲーム装置、及び教育的な装置のうちの少なくとも一つとして、前記複数の形状の使用に関するインストラクションを含むことを特徴とする請求項２３又は請求項２４に記載の装置。