JP6107333B2 - 振動子、発振器、電子機器および移動体 - Google Patents

Description

本発明は、振動子、発振器、電子機器および移動体に関する。

従来から、水晶を用いた振動子が知られている（例えば、特許文献１および２参照）。このような振動素子は、周波数温度特性が優れていることより、種々の電子機器の基準周波数源や発信源などとして広く用いられている。
特許文献１に記載の振動子の振動素子は、音叉型をなしており、基部と、基部から延出する一対の振動腕とを有している。また、各振動腕には、その上面および下面に一対の溝が形成されている。また、溝の長さは、振動素子の全長に対して２０〜６８％となるよう設定されている。このような構成にすることにより、基本モードで振動する振動素子の等価直列抵抗Ｒ_１は、第２次高調波モードでの等価直列抵抗Ｒ_２よりも小さくすることができる。
しかしながら、上記範囲に溝の長さを設定することにより、振動素子の長さに対する溝の長さが占める割合が小さくなる分、基本モードを励振する電界面積が減少し、その結果、等価直列抵抗Ｒ_１が大きくなる。

特許文献２に記載の振動子の振動素子も、音叉型をなしており、基部と、基部から延出する一対の振動腕とを有している。各振動腕には、その上面および下面に開放する一対の溝が形成されている腕部と、腕部の基部と反対側に設けられたハンマーヘッド（錘部）を有している。このハンマーヘッドの幅を腕部の幅の２倍以上に設定し、ハンマーヘッドの長さを振動腕の長さの３０％以上に設定することにより、第２高調波モードの振動を抑制することができる。

しかしながら、振動素子のハンマーヘッドが占める割合を大きく設定してあるため、ハンマーヘッドの長さが振動腕の長さの４１％を超える範囲では、振動素子のＱ値が低下することに伴ってＲ_１が増大する。また、ハンマーヘッドの長さが振動腕の長さの３０％〜４１％の範囲においても、溝が形成されている腕部の長さが短く、基本モードを励振する電界面積が小さい結果、等価直列抵抗Ｒ_１が増大する。

このように、従来の振動素子では、等価直列抵抗Ｒ１が増大するのを抑制し、かつ、等価直列抵抗Ｒ１を等価直列抵抗Ｒ_２よりも小さくするのは困難であった。換言すれば、従来の振動素子では、これを搭載した発振器が第２次高調波屈曲振動モードの共振周波数で発振してしまう誤動作の虞を小さくすることと、等価直列抵抗Ｒ_１を小さくすることを両立することは困難であった。

特開２００７−６０７２９号公報 特開２０１１−１９１５９号公報

本発明の目的は、振動素子の基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗の値が増大するのを低減しつつ、第ｎ次高調波屈曲振動モード（ｎは２以上の自然数）における等価直列抵抗の値を基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗の値よりも大きくすることにより、基本屈曲振動モードにおいて優れた振動特性を発揮する振動子、また、かかる振動子を搭載し、誤動作の虞が小さく、安定した特性を発揮する発振器、電子機器および移動体を提供することにある。

本発明は、上述の課題の少なくとも一部を解決するためになされたものであり、以下の適用例として実現することが可能である。
［適用例１］
本発明の振動子は、基部と、
前記基部と一体に設けられ、前記基部から第１の方向に延出し、前記第１の方向と直交する第２の方向に並んでいる一対の振動腕と、を含む振動素子と、
前記振動素子を支持しているベースと、
前記振動素子を前記ベースに対して固定している固着部と、を含み、
前記振動素子は、下記式（１）で示される条件を満足するよう構成されていることを特徴とする。

（式（１）中、Ｑ_Ｌｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける振動漏れのみを考慮したＱ値、Ｑ_１は、基本屈曲振動モードにおけるＱ値を示し、Ｌ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価インダクタンス、Ｌ_１は、基本屈曲振動モードにおける等価インダクタンス、ｆ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける共振周波数、ｆ_１は、基本屈曲振動モードにおける共振周波数、ｎは２以上の自然数を示す。）
こうすることによって、基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の値が増大することを抑制しつつ、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_ｎの値を基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の値よりも大きくすることができる。これにより、第ｎ次高調波屈曲振動モードの振動を抑制することができ、よって、優れた振動特性を発揮する振動子を得ることができると共に、この振動子を搭載した発振器が、第ｎ次高調波屈曲振動モードの共振周波数で発信する誤動作を起こす虞が小さくなる。

［適用例２］
本発明の振動子では、第ｎ次高調波屈曲振動モード（ｎは２以上の自然数）におけるＱ値をＱ_ｎとしたとき、Ｑ_Ｌｎ ^−１／Ｑ_ｎ ^−１は、０．５以上であるのが好ましい。
このように、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける振動漏れに起因する損失が、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける損失全体に占める割合が５０％以上となることによって、より確実に、基本屈曲振動モードの等価直列抵抗Ｒ_１の値が増大することを抑圧しつつ、第ｎ次高調波屈曲振動モードの等価直列抵抗Ｒ_ｎをＲ_１よりも大きくすることができる。

［適用例３］
本発明の振動子では、第ｎ次高調波屈曲振動モード（ｎは２以上の自然数）におけるＱ値をＱ_ｎとしたとき、Ｑ_ｎ／Ｑ_１は、１以下であるのが好ましい。
これにより、基本屈曲振動モードにおけるＱ値を、高調波屈曲振動モードにおける振動漏れのみを考慮したＱ値よりも確実に大きくすることができる。
従来の音叉型振動素子では、基本屈曲振動モードや第ｎ次高調波屈曲振動モードの各モードにおける全体の損失に対する熱弾性損失の占める割合が大きかった為に、後述する式（１０）から明らかなように、周波数の高い第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値（Ｑ_ｎ）は、基本屈曲振動モードにおけるＱ値（Ｑ_１）よりも必然的に大きくなってしまい、結果として第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_ｎは、基本屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_１よりも小さくなってしまっていたが、Ｑ_ｎを律してこれをＱ_１以下とする、即ち第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける損失を基本屈曲振動モードにおける損失以上に大きく律することによって、より確実に、基本屈曲振動モードの等価直列抵抗Ｒ_１の値が増大することを抑圧しつつ、第ｎ次高調波屈曲振動モードの等価直列抵抗Ｒ_ｎをＲ_１よりも大きくすることができる。

［適用例４］
本発明の振動子では、熱緩和周波数をｆ_ｍ０としたとき、ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２は０．０５以下であるのが好ましい。
これにより、断熱的領域（後述）において、よりＱ値の高い振動子を得ることができる。

［適用例５］
本発明の振動子では、前記振動素子は、下記式（２）で示される条件を満足するよう構成されているのが好ましい。

これにより、基本屈曲振動モードで高いＱ値を得ることができ、かつ、基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗を第２次高調波屈曲振動モードでの等価直列抵抗よりも小さくすることができ、優れた振動特性を発揮する振動子を得ることができる。特に、第２次高調波屈曲振動モードは基本屈曲振動モードに最も共振周波数が近接している高調波屈曲振動モードであることで発振誤動作の対象に成り易いため、こうすることで、この振動子を搭載した発振器が誤動作を起こす虞が小さくなる。

［適用例６］
本発明の振動子では、前記振動素子は、下記式（３）で示される条件を満足するよう構成されているのが好ましい。

これにより、基本屈曲振動モードで高いＱ値を得ることができ、かつ、基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗を第３次高調波屈曲振動モードでの等価直列抵抗よりも小さくすることができ、優れた振動特性を発揮する振動子を得ることができる。特に、第３次高調波屈曲振動モードは第２次高調波屈曲振動モードに続いて、基本屈曲振動モードに共振周波数が近接している高調は屈曲振動モードであり、かつ、第２次高調波屈曲振動モードよりも共振周波数が高い為に熱弾性損失が極めて小さいことでその等価直列抵抗が小さいために、発振誤動作の対象に成り易いため、こうすることで、この振動子を搭載した発振器が誤動作を起こす虞が小さくなる。

［適用例７］
本発明の振動子では、前記固着部を構成している材料の貯蔵弾性率、前記固着部を構成している材料の損失弾性率、前記固着部の配置数、前記振動素子に対する前記固着部の配置位置および前記振動素子に対する前記固着部の大きさのうちの少なくとも１つを設定することにより、前記振動素子は、上記式（１）で示される条件を満足するよう構成されているのが好ましい。
これにより、基本屈曲振動モードで高いＱ値を得ることができ、かつ、基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗を第ｎ次高調波モード（ｎは２以上の自然数）での等価直列抵抗よりも小さくすることができ、基本屈曲振動モードにおいて、より優れた振動特性を発揮する振動子を得ることができる。

［適用例８］
本発明の振動子では、前記振動素子は、前記一対の振動腕の間において、前記基部から前記第１の方向に沿って延出している支持腕を含み、
前記固着部は、前記支持腕を前記ベースに対して固定しているのが好ましい。
これにより、振動素子の基本屈曲振動モードにおける振動漏れを効果的に低減することができる。

［適用例９］
本発明の振動子では、各前記振動腕は、表裏の関係にある一対の主面と、各前記主面に開放している有底の溝と、を含んでいるのが好ましい。
これにより、各前記振動腕の剛性と前記基部の剛性とに大きな差が生じると共に、各前記振動腕に対する前記基部の質量が相対的に増大して、各前記振動腕の屈曲振動が前記基部に伝わり難くなるため、振動素子の基本屈曲振動モードにおける振動漏れをより効果的に低減することができる。

［適用例１０］
本発明の振動子では、各前記振動腕は、腕部と、前記腕部の前記基部と反対側に位置し、前記腕部よりも前記第２の方向に沿った長さが大きい広幅部と、を含んでいるのが好ましい。
このように広幅部を含んでいることによって、各前記振動腕の先端が重くなる分を、基本屈曲振動モードの共振周波数を一定に保つように前記腕部の幅（第２の方向の長さ）を拡げることができるので、屈曲振動時に前記腕部で発生する熱が流れる経路が長くなり、振動素子の熱弾性損失を低減させることができる。

［適用例１１］
本発明の発振器は、本発明の振動子と、
発振回路とを含むことを特徴とする。
これにより、信頼性の高い発振回路を得ることができる。
［適用例１２］
本発明の電子機器は、本発明の振動子を含むことを特徴とする。
これにより、信頼性の高い電子機器を得ることができる。
［適用例１３］
本発明の移動体は、本発明の振動子を含むことを特徴とする。
これにより、信頼性の高い移動体を得ることができる。

本発明の第１実施形態にかかる振動子の平面図である。 図１中のＡ−Ａ線断面図である。 振動漏れ低減の原理を説明する平面図である。 図１中のＢ−Ｂ線断面図である。 屈曲振動時の熱伝導について説明する振動腕の断面図である。 Ｑ値とｆ／ｆｍの関係を示すグラフである。 図１に示す振動素子の第２次高調波屈曲振動モードおよび第３次高調波屈曲振動モードを示す斜視図である。 図１に示す振動素子およびシミュレーションに用いる振動素子を示す平面図である。 本発明の発振器の好適な実施形態を示す断面図である。 本発明の振動子を備える電子機器を適用したモバイル型（またはノート型）のパーソナルコンピューターの構成を示す斜視図である。 本発明の振動子を備える電子機器を適用した携帯電話機（ＰＨＳも含む）の構成を示す斜視図である。 本発明の振動子を備える電子機器を適用したディジタルスチルカメラの構成を示す斜視図である。 本発明の移動体の一例としての自動車を概略的に示す斜視図である。

以下、本発明の振動子、発振器、電子機器および移動体の好適な実施形態について、添付図面を参照しつつ説明する。
１．振動子
まず、本発明の振動子について説明する。
＜第１実施形態＞
図１は、本発明の第１実施形態にかかる振動子の平面図、図２は、図１中のＡ−Ａ線断面図、図３は、振動漏れ低減の原理を説明する平面図、図４は、図１中のＢ−Ｂ線断面図、図５は、屈曲振動時の熱伝導について説明する振動腕の断面図、図６は、Ｑ値とｆ／ｆｍの関係を示すグラフ、図７は、図１に示す振動素子およびシミュレーションに用いる振動素子を示す平面図、図８は、図１に示す振動素子の第２次屈曲振動モードおよび第３次屈曲振動モードを示す斜視図である。なお、以下では、説明の便宜上、図１に示すように、互いに直交する３軸をＸ軸（水晶の電気軸）、Ｙ軸（水晶の機械軸）およびＺ軸（水晶の光学軸）とし、以下、特に断りのない限りｎは２以上の自然数とする。
図１および図２に示す振動子１は、振動素子２と、振動素子２を収納するパッケージ９とを有している。以下、振動素子２およびパッケージ９について、詳細に説明する。

（パッケージ）
パッケージ９は、上面に開放する凹部９１１を有する箱状のベース９１と、凹部９１１の開口を塞ぐようにベース９１に接合されている板状のリッド９２とを有している。このようなパッケージ９は、凹部９１１がリッド９２にて塞がれることにより形成された収納空間を有しており、この収納空間に振動素子２が気密的に収納されている。振動素子２は、支持腕７１にて、例えば、エポキシ系、アクリル系、ポリイミド系、ビスマスレイド系、ポリエステル系、ポリウレタン系、シリコン系の樹脂に導電性フィラーを混合した導電性接着剤１１を介して凹部９１１の底面に固定されている。この導電性接着剤１１のヤング率は、５０〜６０００ＭＰａが好ましく、１００〜５０００ＭＰａがより好ましい。後述するように、振動素子２を構成する材料は、この導電性接着剤１１よりも十分に硬い材料であるため、このようなヤング率の上限にすることで、支持腕７１と導電性接着剤１１との界面に到達する第ｎ次高調波モードにおける振動は、導電性接着剤１１によって反射されることが殆どなく、その多くが振動漏れとして外部に漏洩する。これに対して基本屈曲振動モードでは、後述する基部４における振動の相殺効果によって、支持腕７１と導電性接着剤１１との界面に到達する振動は極めて小さいために振動漏れも極めて小さい。この結果、基本屈曲振動モードにおけるＱ値は劣化することなく、第ｎ次屈曲振動モードにおけるＱ値のみを意図的に劣化させることができるので、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_ｎの値を基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の値よりも十分に大きくすることができる。また、余りにヤング率が小さいと、振動子１に外部から衝撃が加わった際の導電性接着剤１１の変形が大きく、振動素子２の＋Ｙ軸方向先端に形成されているハンマーヘッド５９、６９が、ベース９１やリッド９２に衝突することで破損し、基本屈曲振動モードの共振周波数が上昇してしまう虞があるため、このようなヤング率の下限にすることで、振動子１に外部から衝撃が加わった際にも、基本屈曲振動モードの共振周波数が殆ど変化しない、安定した振動子１を得ることができる。

ここでは、振動素子２が支持腕７１にて、導電性接着剤１１を例にこれを介して凹部９１１の底面に固定されていることを説明したが、これに限られるものではなく、２つある導電性接着剤１１の一方あるいは両方に代えて、非導電性の接着剤を介して固定しても同様の効果がある。また、導電性接着剤に比べて固着部としての形状作成時の寸法精度が高いＡｕなどの金属材料を介して固定してもよい。

なお、収納空間内は、減圧（好ましくは真空）状態となっていてもよいし、窒素、ヘリウム、アルゴン等の不活性ガスが封入されていてもよい。これにより、振動素子２の振動特性が向上する。
ベース９１の構成材料としては、特に限定されないが、酸化アルミニウム等の各種セラミックスを用いることができる。また、リッド９２の構成材料としては、特に限定されないが、ベース９１の構成材料と線膨張係数が近似する部材であると良い。例えば、ベース９１の構成材料を前述のようなセラミックスとした場合には、コバール等の合金とするのが好ましい。なお、ベース９１とリッド９２の接合は、特に限定されず、例えば、接着剤を介して接合してもよいし、シーム溶接等により接合してもよい。

また、ベース９１の凹部９１１の底面には、接続端子９５１、９６１が形成されている。図示しないが、振動素子２の第１駆動用電極８４は、支持腕７１のＹ軸方向の途中まで引き出されており、当該部分にて、導電性接着剤１１を接続端子９５１と電気的に接続されている。同様に、図示しないが、振動素子２の第２駆動用電極８５は、支持腕７１のＹ軸方向の途中まで引き出されており、当該部分にて、導電性接着剤１１を介して接続端子９６１と電気的に接続されている。

また、接続端子９５１は、ベース９１を貫通する貫通電極９５２を介してベース９１の底面に形成された外部端子９５３に電気的に接続されており、接続端子９６１は、ベース９１を貫通する貫通電極９６２を介してベース９１の底面に形成された外部端子９６３に電気的に接続されている。
接続端子９５１、９６１、貫通電極９５２、９６２および外部端子９５３、９６３の構成としては、それぞれ、導電性を有していれば、特に限定されないが、例えば、Ｃｒ（クロム）、Ｗ（タングステン）などのメタライズ層（下地層）に、Ｎｉ（ニッケル）、Ａｕ（金）、Ａｇ（銀）、Ｃｕ（銅）などの各被膜を積層した金属被膜で構成することができる。

（振動素子２）
図１、図２および図４に示すように、振動素子２は、水晶基板３と、水晶基板３上に形成された第１、第２駆動用電極８４、８５とを有している。なお、図１および図２では、説明の便宜上、第１、第２駆動用電極８４、８５の図示を省略している。
水晶基板３は、Ｚカット水晶板で構成されている。これにより、振動素子２は、優れた振動特性を発揮することができる。Ｚカット水晶板とは、Ｚ軸を厚さ方向とする水晶基板である。なお、Ｚ軸は、水晶基板３の厚さ方向と一致しているのが好ましいが、常温近傍における周波数温度変化を小さくする観点から、厚さ方向に対して若干傾けてもよい。

すなわち、傾ける角度をθ度（−５度≦θ≦１５度）とした場合、前記水晶の電気軸としてのＸ軸、機械軸としてのＹ軸、光学軸としてのＺ軸からなる直交座標系の前記Ｘ軸を回転軸として、前記Ｚ軸を前記Ｙ軸の−Ｙ方向へ＋Ｚ側が回転するようにθ度傾けた軸をＺ’軸、前記Ｙ軸を前記Ｚ軸の＋Ｚ方向へ＋Ｙ側が回転するようにθ度傾けた軸をＹ’軸としとき、Ｚ’軸に沿った方向を厚さとし、Ｘ軸とＹ’軸を含む面を主面とする水晶基板３となる。

図１に示すように、水晶基板３は、基部４と、基部４の先端（第１の端部）側において、基部４から延出する一対の振動腕５、６と、振動腕５、６の間において、これらと同じ側に基部４から延出する支持腕（支持部）７１とを有している。したがって、基部４と、振動腕５、６と、支持腕７１とは、一体に形成されている。
基部４は、ＸＹ平面に広がりを有し、Ｚ軸方向に厚さを有する板状をなしている。基部４は、振動腕５、６を支持・連結する部分（本体部４１）と、振動漏れを低減する縮幅部４２とを有している。

縮幅部４２は、本体部４１の基端（第２の端部）側、すなわち、振動腕５、６が延出している側とは反対側に設けられている。また、縮幅部４２は、その幅（Ｘ軸方向に沿った長さ）が、振動腕５、６の間の中心線Ｃ１に沿って、振動腕５、６から、すなわち、基部４の中央（本体部４１のＸＹ平面中央）から離れるに従い漸減し、その輪郭（縁部）がアーチ状（円弧状）をなしている。このような縮幅部４２を有することにより、振動素子２の振動漏れを効果的に抑制することができる。

具体的に説明すると次のようになる。なお、説明を簡単にするために、振動素子２の形状は、Ｙ軸に平行な所定の軸（中心線Ｃ１）に対して対称であるとする。
まず、図３（ａ）に示すように、縮幅部４２が設けられていない場合について説明する。振動腕５、６が互いに離間するように略ＸＹ平面内で屈曲変形した場合、振動腕５が接続されている付近の本体部４１では、矢印で示したように時計回りの回転運動に近い変位が発生し、振動腕６が接続されている付近の本体部４１では、矢印で示したように反時計回りの回転運動に近い変位が発生する（ただし、厳密には回転運動ということができるような運動ではないため、便宜的に「回転運動に近い」とする）。

これらの変位のＸ軸方向成分は、互いに反対方向を向いているから、本体部４１のＸ軸方向中央部において相殺され、＋Ｙ軸方向の変位が残ることになる（ただし、厳密にはＺ軸方向の変位も残るが、ここでは省略する）。すなわち、本体部４１は、Ｘ軸方向中央部が＋Ｙ軸方向に変位するような屈曲変形をする。この＋Ｙ軸方向の変位を有する本体部４１のＹ軸方向中央部に接着剤を形成し、接着剤を介してパッケージに固定すると、＋Ｙ軸方向変位に随伴する弾性エネルギーが接着剤を介して外部に漏洩する。これが振動漏れという損失であり、Ｑ値の劣化の原因となり、結果としてＣＩ値の劣化となる。

これに対して、図３（ｂ）に示すように、縮幅部４２が設けられている場合では、縮幅部４２がアーチ状（曲線状）の輪郭を有しているため、上述した回転運動に近い変位は、縮幅部４２において互いにつっかえることになる。すなわち、縮幅部４２のＸ軸方向中央部においては、本体部４１のＸ軸方向中央部と同様にＸ軸方向の変位が相殺され、それと共に、Ｙ軸方向の変位が抑制されることになる。さらに、縮幅部４２の輪郭がアーチ状であるから、本体部４１で発生しようとする＋Ｙ軸方向の変位をも抑制することになる。この結果、縮幅部４２が設けられた場合の基部４のＸ軸方向中央部の＋Ｙ軸方向の変位は、縮幅部４２が設けられていない場合に比べて遥かに小さくなる。即ち、振動漏れの小さい振動素子を得ることができる。

なお、ここでは縮幅部４２の輪郭がアーチ状をしているが、上述のような作用を呈するものであればこれに限るものではない。例えば、輪郭が複数の直線によって、段差状（階段状）に形成されている縮幅部、輪郭が２本以上の直線によって、山状（三角形状）や円弧状に形成されている縮幅部等であってもよい。
振動腕５、６は、Ｘ軸方向（第２の方向）に並び、かつ、互いに平行となるように基部４の先端からＹ軸方向（第１の方向）に延出している。これら振動腕５、６は、それぞれ、長手形状をなし、その基端が固定端となり、先端が自由端となる。また、振動腕５、６は、それぞれ、腕部５１、６１と、腕部５１、６１の先端（基部４と反対側）に設けられ、ＸＹ平面視にて略矩形状のハンマーヘッド（腕部５１、６１よりもＸ軸方向に沿った長さが大きい広幅部）５９、６９とを有している。

図４に示すように、腕部５１は、ＸＹ平面で構成された一対の主面５１１、５１２と、ＹＺ平面で構成され、一対の主面５１１、５１２を接続する一対の側面５１３、５１４とを有している。また、腕部５１には、主面５１１に開放する有底の溝５２と、主面５１２に開放する有底の溝５３とを有している。各溝５２、５３は、Ｙ軸方向に延在し、先端が腕部５１とハンマーヘッド５９との境界部に位置し、基端が基部４に位置している。このような腕部５１は、溝５２、５３が形成されている部分では、略Ｈ型の横断面形状をなしている。

このように、振動腕５に溝５２、５３を形成することによって、熱弾性損失の低減を図ることができ、優れた振動特性を発揮することができる（後に詳述する）。溝５２、５３の長さは限定されるものではなく、本実施形態のように、各溝５２、５３の先端が腕部５１とハンマーヘッド５９との境界部に位置してもよいが、各溝５２、５３の先端がハンマーヘッド５９まで延びるように構成すると、各溝５２、５３の先端周辺で発生する応力集中が緩和されるから、衝撃が加わった際に発生する折れや欠けの虞が減少する。あるいは、各溝５２、５３の先端が本実施形態よりも基部側に位置するように構成すると、腕部５１とハンマーヘッド５９の境界付近で発生する応力集中が緩和されるから、衝撃が加わった際に発生する折れや欠けの虞が減少する。また、各溝５２、５３の基端が基部４まで延びていることによって、これらの境界部での応力集中が緩和される。そのため、衝撃が加わった際に発生する折れや欠けの虞が減少する。あるいは、各溝５２、５３の基端が基部４と腕部５１の境界よりもＹ軸方向（振動腕５の延びる方向）に位置するように構成すると、基部４と腕部５１の境界付近で発生する応力集中が緩和されるため、衝撃が加わった際に発生する折れや欠けの虞が減少する。

なお、溝５２、５３は振動腕５の断面重心が振動腕５の断面形状の中心と一致するように、振動腕５の位置に対して溝５２、５３の位置をＸ軸方向に調整して形成されているのが好ましい。こうすることによって、振動腕５の不要な振動（具体的には、面外方向成分を有する斜め振動）を低減するので、振動漏れを低減することができる。またこの場合、余計な振動をも駆動してしまうことを低減することになるので、相対的に駆動領域が増大してＣＩ値を小さくすることができる。
また、ハンマーヘッド５９のＸ軸方向中心を振動腕５のＸ軸方向中心から多少ずらしておくとよい。こうすることによって、屈曲振動時に振動腕５が捩れることによって生じてしまう基部４のＺ軸方向の振動を低減することができるので、振動漏れを抑制することができる。

以上、振動腕５について説明した。振動腕６は、振動腕５と同様の構成である。すなわち、腕部６１は、ＸＹ平面で構成された一対の主面６１１、６１２と、ＹＺ平面で構成され、一対の主面６１１、６１２を接続する一対の側面６１３、６１４とを有している。また、腕部６１は、主面６１１に開放する有底の溝６２と、主面６１２に開放する有底の溝６３とを有している。各溝６２、６３は、Ｙ軸方向に延在し、先端が腕部６１とハンマーヘッド６９との境界部に位置し、基端が基部４に位置している。このような腕部６１は、溝６２、６３が形成されている部分では、略Ｈ型の横断面形状をなしている。
また、ハンマーヘッド６９のＸ軸方向中心を振動腕６のＸ軸方向中心から多少ずらしておくとよい。こうすることによって、屈曲振動時に振動腕６が捩れることによって生じてしまう基部４のＺ軸方向の振動を低減することができるので、振動漏れを抑制することができる。

図４に示すように、振動腕５には、一対の第１駆動用電極８４と一対の第２駆動用電極８５とが形成されている。具体的には、第１駆動用電極８４の一方は、溝５２の内面（側面）に形成されており、他方は、溝５３の内面（側面）に形成されている。また、第２駆動用電極８５の一方は、側面５１３に形成されており、他方は、側面５１４に形成されている。同様に、振動腕６にも、一対の第１駆動用電極８４と一対の第２駆動用電極８５とが形成されている。具体的には、第１駆動用電極８４の一方は、側面６１３に形成されており、他方は、側面６１４に形成されている。また、第２駆動用電極８５の一方は、溝６２の内面（側面）に形成されており、他方は、溝６３の内面（側面）に形成されている。
これらの第１、第２駆動用電極８４、８５の間に交番電圧を印加すると、振動腕５、６が互いに接近、離間を繰り返すように面内方向（ＸＹ平面方向）に所定の周波数で振動する。

第１、第２駆動用電極８４、８５の構成としては、特に限定されず、金（Ａｕ）、金合金、白金（Ｐｔ）、アルミニウム（Ａｌ）、アルミニウム合金、銀（Ａｇ）、銀合金、クロム（Ｃｒ）、クロム合金、ニッケル（Ｎｉ）、ニッケル合金、銅（Ｃｕ）、モリブデン（Ｍｏ）、ニオブ（Ｎｂ）、タングステン（Ｗ）、鉄（Ｆｅ）、チタン（Ｔｉ）、コバルト（Ｃｏ）、亜鉛（Ｚｎ）、ジルコニウム（Ｚｒ）等の金属材料、酸化インジウムスズ（ＩＴＯ）等の導電材料により形成することができる。

第１、第２駆動用電極８４、８５の具体的な構成としては、例えば、７００Å以下のＣｒ層上に７００Å以下のＡｕ層を形成した構成とすることができる。特に、ＣｒやＡｕは熱弾性損失が大きいので、Ｃｒ層、Ａｕ層は、好ましくは２００Å以下とされる。また、絶縁破壊耐性を高くする場合には、Ｃｒ層、Ａｕ層は、好ましくは１０００Å以上とされる。さらに、Ｎｉは、水晶の熱膨張係数に近いので、Ｃｒ層に替えてＮｉ層を下地にすることで、電極に起因する熱応力を減少させ、長期信頼性（エージング特性）の良い振動素子２を得ることができる。
上述したように、振動素子２では、振動腕５、６に溝５２、５３、６２、６３を形成することによって、熱弾性損失の低減を図っている。以下、このことについて、振動腕５を例にして具体的に説明する。

振動腕５は、前述したように、第１、第２駆動用電極８４、８５間に交番電圧を印加することにより面内方向に屈曲振動する。図５に示すように、この屈曲振動の際、腕部５１の側面５１３が収縮すると側面５１４が伸張し、反対に、側面５１３が伸張すると側面５１４が収縮する。振動腕５がＧｏｕｇｈ−Ｊｏｕｌｅ効果を発生しない（エネルギー弾性がエントロピー弾性に対して支配的な）場合、側面５１３、５１４のうち、収縮する面側の温度は上昇し、伸張する面側の温度は下降するため、側面５１３と側面５１４との間、つまり腕部５１の内部に温度差が発生する。このような温度差から生じる熱伝導によって振動エネルギーの損失が発生し、これにより振動素子２のＱ値が低下する。このようなＱ値の低下に伴うエネルギーの損失を熱弾性損失と言う。

振動素子２のような構成の屈曲振動モードで振動する振動素子において、振動腕５の屈曲振動周波数（機械的屈曲振動周波数）ｆが変化したとき、振動腕５の屈曲振動周波数が熱緩和周波数ｆｍと一致するときにＱ値が最小となる。この熱緩和周波数ｆｍは、ｆｍ＝１／（２πτ）で求めることができる（ただし、式中πは円周率であり、ｅをネイピア数とすれば、τは温度差が熱伝導によりｅ^−１倍になるのに要する緩和時間である）。
また、振動腕５が平板構造（断面形状が矩形の構造）であると見做したときの熱緩和周波数をｆ_ｍ０とすれば、ｆ_ｍ０は下記式で求めることができる。

なお、πは円周率、ｋは振動腕５の振動方向の熱伝導率、ρは振動腕５の質量密度、Ｃｐは振動腕５の熱容量、ａは振動腕５の振動方向の幅（実効幅）である。上記式（１）の熱伝導率ｋ、質量密度ρ、熱容量Ｃｐに振動腕５の材料そのもの（すなわち水晶）の定数を入力した場合、求まる熱緩和周波数ｆ_ｍ０は、振動腕５に溝５２、５３を設けていない場合の値となる。

振動腕５では、側面５１３、５１４の間に位置するように溝５２、５３が形成されている。そのため、振動腕５の屈曲振動時に生じる側面５１３、５１４の温度差を熱伝導により温度平衡させるための熱移動経路が溝５２、５３を迂回するように形成され、熱移動経路が側面５１３、５１４間の直線距離（最短距離）よりも長くなる。そのため、振動腕５に溝５２、５３を設けていない場合と比較して緩和時間τが長くなり、熱緩和周波数ｆｍが低くなる。

図６は、屈曲振動モードの振動素子のＱ値のｆ／ｆｍ依存性を表すグラフである。同図において、点線で示されている曲線Ｆ１は、振動素子２のように振動腕に溝が形成されている場合（振動腕の横断面形状がＨ型の場合）を示し、実線で示されている曲線Ｆ２は、振動腕に溝が形成されていない場合（連結腕の横断面形状が矩形の場合）を示している。同図に示すように、曲線Ｆ１、Ｆ２の形状は変わらないが、前述のような熱緩和周波数ｆｍの低下に伴って、曲線Ｆ１が曲線Ｆ２に対して周波数低下方向へシフトする。したがって、振動素子２のように振動腕に溝が形成されている場合の熱緩和周波数をｆｍ１とすれば、下記式（５）を満たすことにより、常に、振動腕に溝が形成されている振動素子のＱ値が振動腕に溝が形成されていない振動素子のＱ値に対して高くなる。

更に、ｆ／ｆ_ｍ０＞１の関係に限定すれば、より高いＱ値を得ることができる。
なお、図６において、ｆ／ｆｍ＜１の領域を等温的領域とも言い、この等温的領域ではｆ／ｆｍが小さくなるにつれてＱ値が高くなる。これは、振動腕の機械的周波数が低くなる（振動腕の振動が遅くなる）につれて前述のような振動腕内の温度差が生じ難くなるためである。したがって、ｆ／ｆｍを０（零）に限りなく近づけた際の極限では、等温準静操作となって、熱弾性損失は限りなく０（零）に接近する。一方、ｆ／ｆｍ＞１の領域を断熱的領域とも言い、この断熱的領域ではｆ／ｆｍが大きくなるにつれてＱ値が高くなる。これは、振動腕の機械的周波数が高くなるにつれて、各側面の温度上昇・温度効果の切り替わりが高速となり、前述のような熱伝導が生じる時間がなくなるためである。したがって、ｆ／ｆｍを限りなく大きくした際の極限では、断熱操作となって、熱弾性損失は限りなく０（零）に接近する。このことから、ｆ／ｆｍ＞１の関係を満たすとは、ｆ／ｆｍが断熱的領域にあるとも言い換えることができる。

なお、第１、第２駆動用電極８４、８５の構成材料（金属材料）は、振動腕５、６の構成材料である水晶と比較して熱伝導率が高いため、振動腕５では、第１駆動用電極８４を介する熱伝導が積極的に行われ、振動腕６では、第２駆動用電極８５を介する熱伝導が積極的に行われる。このような第１、第２駆動用電極８４、８５を介する熱伝導が積極的に行われると、緩和時間τが短くなってしまう。そこで、振動腕５では、溝５２、５３の底面にて第１駆動用電極８４を側面５１３側と側面５１４側とに分割し、振動腕６では、溝６２、６３の底面にて第２駆動用電極８５を側面６１３側と側面６１４側とに分割することにより、上記のような熱伝導が起きるのを防止または抑制するのが好ましい。その結果、緩和時間τが短くなるのを防ぎ、より高いＱ値を有する振動素子２が得られる。

次に、振動腕５、６の全長と、ハンマーヘッド５９、６９の長さおよび幅の関係について説明する。振動腕５、６は、互いに同様の構成であるため、以下では、振動腕５について代表して説明し、振動腕６については、その説明を省略する。
図１に示すように、振動腕５の全長（Ｙ軸方向の長さ）をＬ［μｍ］とし、ハンマーヘッド５９の長さ（Ｙ軸方向の長さ）をＨ［μｍ］としたとき、振動腕５は、０．０１２＜Ｈ／Ｌ＜０．３なる関係を満足しているのが好ましく、０．０４６＜Ｈ／Ｌ＜０．２２３なる関係を満足しているのがより好ましい。このような関係を満足することによって、振動素子２の基本屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_１が低く抑えられるため、振動損失が少なく、優れた振動特性を有する振動素子２となる。

ここで、本実施形態では、振動腕５の基端を、側面５１４が基部４と接続されている箇所と、側面５１３が基部４と接続されている箇所を結んだ線分の、振動腕５の幅（Ｘ軸方向の長さ）中心に位置する箇所に設定している。また、腕部５１の自由端部は、幅が自由端側に向けて漸増するテーパ状をなしているが、このテーパ部分の幅（Ｘ軸方向の長さ）が腕部５１の幅（Ｘ軸方向の長さ）の１．５倍以上となっている部分を腕部５１が有している場合には、この部分もハンマーヘッド５９の長さＨに含まれることとしている。

また、振動腕５は、腕部５１の幅（Ｘ軸方向の長さ）をＷ１［μｍ］とし、ハンマーヘッド５９の幅（Ｘ軸方向の長さ）をＷ２［μｍ］としたとき、１．５≦Ｗ２／Ｗ１≦１０．０なる関係を満足しているのが好ましく、１．６≦Ｗ２／Ｗ１≦７．０なる関係を満足しているのがより好ましい。このような関係を満足することにより、ハンマーヘッド５９の幅を広く確保することができる。そのため、ハンマーヘッド５９の長さＨが上述のように比較的短くても（Ｌの３０％未満であっても）、ハンマーヘッド５９による質量効果を十分に発揮することができる。したがって、１．５≦Ｗ２／Ｗ１≦１０．０なる関係を満足することによって、振動腕５の全長Ｌが抑えされ、振動素子２の小型化を図ることができる。
このように、振動腕５では、０．０１２＜Ｈ／Ｌ＜０．３なる関係と、１．５≦Ｗ２／Ｗ１≦１０．０なる関係とを満足することによって、これら２つの関係の相乗効果によって、小型化でＣＩ値が十分に抑えられている振動素子２が得られる。

なお、Ｌを２ｍｍ以下、好ましくは１ｍｍ以下とすることで、携帯型音楽機器やＩＣカードのようなものに搭載する発振器に使用する、小型な振動素子２を得ることができる。また、Ｗ１を１００μｍ以下、好ましくは５０μｍ以下とすることで、上記Ｌの範囲においても、低消費電力を実現する発振回路に使用する、低周波で共振する振動素子２を得ることができる。

また、断熱的領域であれば、Ｚカット水晶板でＹ軸方向に振動腕が延び、Ｘ軸方向に屈曲振動する場合、Ｗ１は１２．８μｍ以上であることが好ましく、Ｚカット水晶板でＸ軸方向に振動腕が延び、Ｙ軸方向に屈曲振動する場合、Ｗ１は１４．４μｍ以上であることが好ましく、Ｘカット水晶板でＹ軸方向に振動腕が延び、Ｚ軸方向に屈曲振動する場合、Ｗ１は１５．９μｍ以上であることが好ましい。こうすることによって、確実に断熱的領域にすることができるので、溝５２、５３の形成により熱弾性損失が減少してＱ値が向上し、それと共に溝５２、５３が形成されている領域で駆動することにより（電界効率が高く、駆動面積が稼げる）ＣＩ値が低くなる。

以上説明したような一対の振動腕５、６（腕部５１、６１）の間には、基部４（本体部４１）から中心線Ｃ１（Ｙ軸方向）に沿って延出する支持腕７１が設けられている。支持腕７１は、ＸＹ平面視にて略矩形状をなし、振動素子２は、図１および２に示すように、支持腕７１にて導電性接着剤１１、１１を介してパッケージ９に固定されている。このような構成とすることによって、振動素子２の振動漏れをより効果的に低減することができる。

また、支持腕７１は、その基部４との境界部付近に、Ｘ軸方向に沿った長さ（幅）が小さくなっているクビレ部７１１を有している。これにより、振動腕５、６が互いに略ＸＹ平面内で離間および接近するように屈曲振動する基本屈曲振動モードの共振周波数から、振動腕５、６が略ＸＹ面内で同一の方向に屈曲振動するＸ同相モードの共振周波数を離すことができる。その結果、基本屈曲振動モードとＸ同相モードとが結合する虞が減少し、振動素子２を基本屈曲振動モードで屈曲振動する際に、Ｘ同相モードが有する振動姿態が重複した振動が生じ難くなり、振動漏れを低減することができる。なお、クビレ部７１１は図１のような形に限られるものではなく、支持腕７１に対して幅（Ｘ軸方向長さ）の狭い領域が、Ｙ軸方向に沿って延びた部分を含んでいてもよい。特にクビレ部７１１の最小幅は支持腕７１のクビレ部を除いた領域の平均幅に対して２０％以上５０％以下であり、且つ、クビレ部７１１の長さ（Ｙ軸方向長さ）をＬ０、支持腕７１の長さをＬ１、腕部５１の長さをＬ２、とした場合、０．１＜Ｌ０／Ｌ２≦０．９、Ｌ１＜Ｌ２の関係を満たしていることが望ましい。こうすることによって、Ｘ同相モードの共振周波数を基本屈曲振動モードの共振周波数から十分に離すことができるので、結果として基本屈曲振動モードにおける振動漏れを十分に低減することができる。

このような振動素子２は、水晶基板を、例えば、アルカリウェットエッチングのようなウェットエッチング法、レーザービームエッチング、反応性ガスエッチングのようなドライエッチング法の何れか、あるいは複数の方法を複合することにより加工して得ることができるが、特に、ウェットエッチング法により加工することにより得るのが好ましい。ウェットエッチング法によれば、簡便な装置で精度よく水晶基板を加工することができる。

また、水晶基板３は、Ｚカット水晶基板として説明したが、本発明ではこれに限定されない。振動素子２を形成するのに用いる基板には、例えば、ニオブ酸リチウム（ＬｉＮｂＯ３）、タンタル酸リチウム（ＬｉＴａＯ３）、リチウムテトラボレーと（Ｌｉ２ｂ４Ｏ７）、ニオブ酸カリウム（ＫＮｂＯ３）、リン酸ガリウム（ＧａＰＯ４）、ランガサイト（Ｌａ３Ｇａ５ＳｉＯ１４）、ガリウムヒ素（ＧａＡｓ）、窒化アルミニウム（ＡｌＮ）、酸化亜鉛（ＺｎＯ、Ｚｎ２Ｏ３）、チタン酸バリウム（ＢａＴｉＯ３）、チタン酸鉛（ＰｂＰＯ３）、チタン酸ジルコン酸鉛（ＰＺＴ）、シリコン（Ｓｉ）などを主材料として構成される基板を用いることができる。
以上説明したような振動素子２は、下記式（１）で示される条件を満足するよう構成されている。

（式（１）中、Ｑ_Ｌｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける振動漏れのみを考慮したＱ値、Ｑ_１は、基本屈曲振動モードにおけるＱ値を示し、Ｌ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価インダクタンス、Ｌ_１は、基本屈曲振動モードにおける等価インダクタンス、ｆ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける共振周波数、ｆ_１は、基本屈曲振動モードにおける共振周波数を示す。）

この上記式（１）を満たすように振動素子２を設計することにより、その基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の値が増大するのを抑制しつつ、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_ｎの値を基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の値よりも大きくすることができる。これにより、振動素子２の第ｎ次高調波屈曲振動モードの振動を抑制することができ、よって、優れた振動特性を発揮する振動子１を得ることができると共に、この振動子を搭載した発振器が、第ｎ次高調波屈曲振動モードの共振周波数で発信する誤動作を起こす虞が小さくなる。
ここで、上記式（１）で示される条件を満足する振動素子２は、固着部の構成材料（導電性接着剤１１）の貯蔵弾性率、固着部の構成材料（導電性接着剤１１）の損失弾性率、固着部の配置数、振動素子２に対する固着部の配置位置および振動素子２に対する固着部の大きさのうちの少なくとも１つを設定することにより得ることができる。

以下、上記式（１）の算出方法について説明する。
振動漏れによるＣＩ値の制御において、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_ｎは、下記式（６）で表すことができる。

（式（６）中、ω_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける角振動数、Ｃ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価キャパシタンス、Ｑ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値を示す。）

また、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値（Ｑ_ｎ）は、前述したＱ_Ｌｎと、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける熱弾性損失のみを考慮したＱ値（Ｑ_Ｔｎ）とを用いて、下記式（７）で表すことができる（ただし、空気の粘性抵抗やその他の損失は十分に小さいものとする）。

なお、上記式（６）と式（７）においてｎの換わりに１とすれば、基本屈曲振動モードにおける関係式が得られる。
ここで、本発明では、基本屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_１に対する第ｎ次高調波屈曲振動モードの等価直列抵抗Ｒ_ｎが１より大きくする必要がある。すなわち、下記式（８）を満たすように設計して、本発明の振動子を搭載した発振器が、第ｎ次高調波屈曲振動モードの共振周波数で発振してしまう誤動作を起こす虞を小さくする必要がある。

また、ω_ｎ＝２πｆ_ｎ（ｆ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲モードにおける共振周波数［Ｈｚ］）であるため、上記式（６）〜（８）より、下記式（９）を導くことができる。

ところで、上記Ｑ_Ｔｎは、下記式（１０）で表されることが知られている。

（式（１０）中、ρは、質量密度［ｋｇ／ｍ^３］、ｃ_２２は、振動腕の長さ方向の圧縮・伸張に関する弾性スチフネス定数［Ｎ／ｍ^２］、α_２２は、振動腕の長さ方向に関する熱膨張係数［１／Ｋ］、Ｃｐは、熱容量［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］、Θ_０は、環境の絶対温度［Ｋ］を示す。したがって、上記式（１０）中の下記式（Ａ）で表される部分は定数である。）
なお、上記式（１０）においてｎの換わりに１とすれば、基本屈曲振動モードにおける関係式が得られる。

この式（１０）より、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける熱弾性損失のみを考慮したＱ値（Ｑ_Ｔｎ）と基本屈曲振動モードにおける熱弾性損失のみを考慮したＱ値（Ｑ_Ｔ１）との比は、下記式（１１）で表すことができる。

ここで、Ｚカット水晶板を用いて作成され、その振動腕５の延びる方向がＹ軸方向であって、屈曲振動する方向がＸ軸方向を主体とする振動素子２の場合、その質量密度ρは２６４９［ｋｇ／ｍ^３］、屈曲振動時の振動方向に関する熱伝導率ｋ（ｋ_１１）は６．６５であり、熱容量Ｃｐは７３５．４［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］であるので、これらの数値を上記式（４）に代入することで、下記式（１２）が得られる。

基本屈曲振動モードにおける共振周波数は限定されるものではないが、例えば振動素子２が基本屈曲振動モードにおいて共振周波数が３２．７６８ｋＨｚ（ｆ１＝３２．７６８ｋＨｚ）で振動する場合、振動腕５の振動方向の幅（実効幅）ａが１２．８μｍより大きい領域は、断熱的領域となる。このため、振動素子２では、熱弾性損失が大きくなるとともに、ｆ_ｍ０は小さくなる。ここで、断熱的領域となるａを２７．０［μｍ］として上記式（１２）に代入すると、ｆ_ｍ０は７．４ｋＨｚであって、ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２＝０．０５と計算されるから、下記式（１３）のような近似が成立つ。

また、第ｎ次高調波屈曲振動モードの共振周波数ｆ_ｎは、ｆ_１＜ｆ_ｎの関係があるから、上記式（１３）と同様に下記式（１３’）の関係が成立つ。

なお、ａの値が大きくなれば、ｆ_ｍ０は、７．４ｋＨｚよりさらに小さくなるため、基本屈曲振動モードの共振周波数が３２．７６８ｋＨｚの場合には、ａ≧２７．０［μｍ］の範囲で上記式（１３）、上記式（１３’）は常に成立つ。同様にして、基本屈曲振動モードが３２．７６８ｋＨｚであって、屈曲振動モードにおける振動腕５の屈曲振動方向がＹ軸方向の場合にはａ≧３０．５［μｍ］、Ｚ軸方向の場合にはａ≧３３．７［μｍ］の範囲とすることによって上記式（１３）、上記式（１３´）が得られる。
これにより、上記式（１１）は、下記式（１４）となる。

また、上記式（１４）を下記式（１５）に変形し、上記式（９）に代入すると、下記式（１６）が得られる。

上記式（１６）を順次変形していくと、下記式（１７）を得ることができる。

一般的な振動素子では、基本屈曲振動モードの振動漏れは十分に小さくなるように、好ましくはＱ_Ｔ１／Ｑ_Ｌ１≦０．０５となるように設計される。このため、Ｑ_Ｌ１≫Ｑ_Ｔ１と考えることができる。このため、Ｑ_Ｌ１／Ｑ_Ｔ１は、非常に大きい値となり、よって、Ｑ_Ｌ１／Ｑ_Ｔ１＋１≒Ｑ_Ｌ１／Ｑ_Ｔ１と見做すことができる。したがって、式（１７）より、下記式（１８）を得ることができる。

また、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価キャパシタンスＣ_ｎは、下記式（１９）で表すことができる。

この式（１９）と上記式（１８）とを用いて、下記式（２０）を得ることができる。

前述したように、基本屈曲振動モードでは振動漏れは十分に小さく設計され、Ｑ_Ｌ１≫Ｑ_Ｔ１と考えることができるため、上記式（７）より、Ｑ_Ｔ１＝Ｑ_１と見做すことができる。よって、式（２０）において、Ｑ_Ｔ１をＱ_１によって置き換えることができ、本発明で規定する式（１）を導くことができる。
なお、第ｎ次屈曲振動モードにおける、振動漏れのみを考慮したＱ値（Ｑ_Ｌｎ）は、次のようにして実際に測定することができる。
まず、導電性接着剤１１を介してベース９１と接続されている状態の振動素子２、即ち振動子１の第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値を測定してこれをＱ_ａとする。
次に、ベース９１とは導電性接着剤１１を介して接続されていない振動素子２を用意し、Ａｕ、Ａｌ、Ｃｕなどの金属ワイヤーによって素子２を宙吊りの状態でベース９１の接続端子９５１、９６１に固定する。この際には、振動素子２に導電性接着剤１１が接続されていても接続されていなくても、あるいは振動素子２に導電性接着剤１１の一部が残留して接続されている状態でもよい。これは、この状態の導電性接着剤１１はベース９１に接続されていないため、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおいて導電性接着剤１１を介して弾性エネルギーが外部に漏洩することがないので損失には関与せず、また変形も極めて小さいので単に等価直列抵抗Ｒ_ｎを若干大きくするのみであるためである。
また、素子２側のワイヤーは、素子２において最も振動の影響を受けない領域、即ち支持腕７１に接続される。なお、支持腕のない振動素子の場合には、基部などの、固着部が設けられるべき領域周辺にワイヤーが接続される。また、ワイヤーは振動素子２の第ｎ次屈曲振動が漏洩しないよう十分な細さと長さをもたせておけばよく、例えば直径５μｍ〜３０μｍ、長さは振動素子２のＹ軸方向長さに対して１．５倍〜５倍程度であるとよい。
この状態で測定された第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値をＱ_ｂとする。
式（７）によれば、Ｑ_ａ ^−１＝Ｑ_Ｔｎ ^−１＋Ｑ_Ｌｎ ^−１、Ｑ_ｂ ^−１＝Ｑ_Ｔｎ ^−１であるから、これら２つの式によって、Ｑ_Ｌｎ＝（Ｑ_ａ ^−１−Ｑ_ｂ ^−１）^−１が得られることになる。
なお、固着部が導電性接着剤ではない場合も同様にして測定することができる。また、振動漏れの影響を受けない方法であれば他の方法でもよいし、Ｑ_ａのみを測定しておき、振動素子２の形状を模したモデルを用いてシミュレーションによりＱ_Ｔｎを算出し、式（７）によってＱ_Ｌｎ＝（Ｑ_ａ ^−１−Ｑ_Ｔｎ ^−１）^−１として求めてもよい。

このように、式（１）を満足するよう構成された振動素子２は、下記３つの条件［１］〜［３］のうちの少なくとも１つ（好ましくは２つ、より好ましくは３つ）を満足するよう構成されているのが好ましい。

［１］Ｑ_Ｌｎ ^−１／Ｑ_ｎ ^−１は、０．５以上であるのが好ましく、０．９以上であるのがより好ましい。これにより、振動素子２の第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける全体の損失に占める振動漏れによる損失の割合を十分に大きくすることができる。基本屈曲振動モードにおいて最適に設計された振動腕５、６の形状によって、自ずと第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける熱弾性損失は決定されるため、この条件を満たすことによって第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値を十分に低下させることができる。その結果、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_２を、基本屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_１よりも大きくすることができ、その結果、振動素子２の基本屈曲振動モードにおいて、より優れた振動特性を発揮する振動子１を得ることができると共に、この振動子を搭載した発振器が、第ｎ次高調波屈曲振動モードの共振周波数で発信する誤動作を起こす虞が小さくなる。

［２］Ｑ_ｎ／Ｑ_１は、１以下であるであるのが好ましく、０．５以下であるのがより好ましく、０．３以下であるのがさらに好ましい。すなわち、Ｑ_１をＱ_ｎに対して十分に大きくすることが好ましい。これにより、振動素子２の基本屈曲モードでの等価直列抵抗Ｒ_１より第ｎ次高調波屈曲モードでの等価直列抵抗Ｒ_ｎを十分に大きくすることができる。その結果、振動素子２の基本屈曲振動モードにおいて、より優れた振動特性を発揮する振動子１を得ることができる。
［３］ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２は０．０５以下であるのが好ましく、０．００１以下であるのがより好ましく、さらに０．０００１以下であるのがより好ましい。例えば、ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２＝０．０５である場合、下記表１に示すように、基本屈曲振動モードのＱ値（Ｑ_１）は、熱弾性損失が最大となるｆ_１＝ｆ_ｍ０でのＱ値８０２に対して十分に高くなる。

ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２が０．０５を下回れば、さらに基本屈曲振動モードのＱ値（Ｑ_１）は高くなる。したがって、ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２≦０．０５を満足することによって、高いＱ値を有する振動素子２を得ることができる。すなわち、基本屈曲モードにおける等価直列抵抗Ｒ_１の低い振動素子２を得ることができる。その結果、振動素子２の基本屈曲振動モードにおいて、低消費電力で優れた振動特性を発揮する振動子１を得ることができる。

なお、振動腕５の幅（Ｘ軸方向の長さ）をａ_０としてこれを式（４）の実効腕幅ａの代わりに代入して得られるｆ_ｍ０の値をｆ_０とすれば、これは振動腕５の表裏に溝５２、５３が形成されていない場合の熱緩和周波数に他ならない。溝５２、５３を設けた場合の熱緩和周波数ｆ_ｍは、実効腕幅ａを式（４）に代入して得られるｆ_ｍ０であり（ｆ_ｍ＝ｆ_ｍ０）、また、上述したように断熱的領域においては、溝５２、５３を設けた場合の熱緩和周波数ｆ_ｍは、溝５２、５３を設けていない場合の熱緩和周波数ｆ_０よりも低くなる、即ち、ｆ_ｍ０＜ｆ_０となる。したがって、ｆ_０ ^２／ｆ_１ ^２≦０．０５を満足すればｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２≦０．０５をも満足することになるから、ｆ_０ ^２／ｆ_１ ^２≦０．０５を満足することによって、より高いＱ値を有する振動素子２を得ることができる。

また、本発明者の検討によれば、以上説明したような振動素子２では、基本屈曲振動モードの振動に対して、各種の高調波屈曲モードの振動のうち、特に第２次高調波屈曲振動モードの振動および第３次高調波屈曲振動モードの振動が大きく影響を及ぼすことが確認されている。ここで、第２次高調波屈曲振動モードとは、基本屈曲振動モードに続いて共振周波数が低い高調波屈曲振動モードで、略ＸＹ平面内で振動腕５、６の基部４側が互いに離間と近接とを繰り返す際に、振動腕５、６の先端側（基部４とは反対側）が互いに近接と離間とを繰り返す屈曲振動をし、図８（ａ）に示すように、振動腕５、６が長手方向の途中の一ヶ所を中心に湾曲する振動モードのことを言う。また、第３次高調波屈曲振動モードとは、第２次高調波屈曲振動モードに続いて共振周波数が低い高調波屈曲振動モードで、略ＸＹ平面内で振動腕５、６の基部４側と先端側が互いに離間と近接を繰り返す際に、振動腕５、６の基部４側と先端側との間に位置する振動腕５、６の部分が近接と離間とを繰り返す屈曲振動をし、図８（ｂ）に示すように、振動腕５、６が長手方向の途中の二ヶ所を中心にＳ字状に湾曲する振動モードのことを言う。

したがって、本発明では、振動素子２は、下記式（２）や下記式（３）を満足するように構成されていることが好ましい。これにより、振動素子２の基本屈曲振動モードでの振動に、第２次高調波屈曲振動モードが有すえる振動姿態や第３次高調波屈曲振動モードが有する振動姿態が混在し、振動素子２の振動特性が低下するのを好適に防止することができる。

以上のような効果を、本発明者が行ったシミュレーション結果に基づいて具体的に示す。なお、本シミュレーションでは、ウェットエッチングによってＺカット水晶板をパターニングした振動素子２および振動素子Ｘを用いている。
本シミュレーションで用いた振動素子２の各部の寸法は、水晶基板３の厚さが１３０μｍ、溝６２、６３の深さが６０μｍ、その他は図７（ａ）に示す通りである。なお、図７（ｂ）に示す振動素子Ｘは、縮幅部４２および支持腕７１を省略したこと以外は、図７（ａ）に示す振動素子２と略同様である。

また、本シミュレーションは、これらの振動素子２および振動素子Ｘを、厚さ２０μｍのビスマスレイド系接着剤（ヤング率：３．４ＧＰａ、ポアソン比：０．３３、質量密度：４０７０ｋｇ／ｍ^３）を用いて２ヶ所でベース（ヤング率：３２０ＧＰａ、ポアソン比：０．２３、質量密度：３８００ｋｇ／ｍ^３）に接着した場合について行った。なお、振動素子２は、支持腕７１にてベースに固定され、振動素子Ｘでは、基部（図７（ｂ）中下端部）にてベースに固定されており、接着剤とベースとの界面に到達したエネルギーは、ベース側へ漏洩することで発生する損失を振動漏れとして計算し、実測結果から得られている補正係数を乗ずることによって、第２次高調波屈曲振動モードにおける振動漏れのみを考慮したＱ値（Ｑ_Ｌ２）を得ている。
このような振動素子２および振動素子Ｘについてシミュレーションを行い、基本屈曲振動モードおよび第２次高周波屈曲振動モードにおける特性値を計算した。以下、この計算結果を下記表２に示す。

表２からわかるように、振動素子２では、シミュレーションで得られた特性値を式（２）の右辺に代入して計算された値は４３８３であり、式（２）の左辺であるＱ_Ｌ２の値（１８１６）より大きくなっている。すなわち、振動素子２は、上記式（２）を満足するよう構成されている。また、基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１と第２次高調波屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_２との比Ｒ_２／Ｒ_１は２．３であり、Ｒ_２はＲ_１に対して十分に大きくなっている。このため、かかる振動素子２を備える振動子１は、優れた振動特性を発揮することができると共に、かかる振動素子２を備える振動子１を搭載した発振器が、第２次高調波屈曲振動モードの共振周波数において発振してしまう誤動作の発生を抑制することができる。

一方、振動素子Ｘでは、シミュレーションで得られた特性値を式（２）の右辺に代入して計算された値は１４５９４５であり、式（２）の左辺であるＱ_Ｌ２の値（１８０４１１）より小さくなっている。すなわち、振動素子Ｘは、上記式（２）を満足するよう構成されていない。また、基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１と第２次高調波屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_２との比Ｒ_２／Ｒ_１は０．８であり、Ｒ_１はＲ_２よりも大きくなっている。このため、かかる振動素子Ｘを備える振動子を搭載した発振器が、第２次高調波屈曲振動モードの共振周波数において発振してしまう誤動作の虞がある。

なお、本発明者の検討によれば、ｎ＝３のとき、すなわち、第３次高調波屈曲振動モードについても、第２次高調波屈曲振動モードで得られたシミュレーション結果と同様の結果が得られている。
このように、本発明で規定する式（１）を満足するように振動素子２を構成（設計）することで、その基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の増大を抑制しつつ、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価直列抵抗Ｒ_ｎを基本屈曲振動モードでの等価直列抵抗Ｒ_１の値よりも大きくすることができる。その結果、優れた振動特性を発揮する振動子１を得ることができると共に、振動子１を搭載した発振器が、第ｎ次高調波屈曲振動モードの共振周波数において発振してしまう誤動作の発生を抑制することができる。

２．発振器
次に、本発明の振動子を適用した発振器（本発明の発振器）について説明する。
図９は、本発明の発振器の好適な実施形態を示す断面図である。
図９に示す発振器１０は、振動子１と、振動素子２を駆動するためのＩＣチップ８とを有している。以下、発振器１０について、前述した振動子との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。

図９に示すように、パッケージ９は、凹部９１１を有する箱状のベース９１と、凹部９１１の開口を塞ぐ板状のリッド９２とを有している。また、ベース９１の凹部９１１は、ベース９１の上面に開放する第１凹部９１１ａと、第１凹部９１１ａの底面の中央部に開放する第２凹部９１１ｂと、第２凹部９１１ｂの底面の中央部に開放する第３凹部９１１ｃとを有している。

第１凹部９１１ａの底面には、接続端子９５、９６が形成されている。また、第３凹部９１１ｃの底面には、ＩＣチップ８が配置されている。ＩＣチップ８は、振動素子２の駆動を制御するための発振回路を有している。ＩＣチップ８によって振動素子２を駆動すると所定の周波数の信号を取り出すことができる。
また、第２凹部９１１ｂの底面には、ワイヤーを介してＩＣチップ８と電気的に接続された複数の内部端子９３が形成されている。これら複数の内部端子９３には、ベース９１に形成された図示しないビアを介してパッケージ９の底面に形成された外部端子９４に電気的に接続された端子と、図示しないビアやワイヤーを介して接続端子９５に電気的に接続された端子と、図示しないビアやワイヤーを介して接続端子９６に電気的に接続された端子とが含まれている。
なお、図９の構成では、ＩＣチップ８が収納空間内に配置されている構成について説明したが、ＩＣチップ８の配置は、特に限定されず、例えば、パッケージ９の外側（ベースの底面）に配置されていてもよい。

３．電子機器
次に、本発明の振動子を適用した電子機器（本発明の電子機器）について説明する。
図１０は、本発明の振動子を備える電子機器を適用したモバイル型（またはノート型）のパーソナルコンピューターの構成を示す斜視図である。この図において、パーソナルコンピューター１１００は、キーボード１１０２を備えた本体部１１０４と、表示部２０００を備えた表示ユニット１１０６とにより構成され、表示ユニット１１０６は、本体部１１０４に対しヒンジ構造部を介して回動可能に支持されている。このようなパーソナルコンピューター１１００には、フィルター、共振器、基準クロック等として機能する振動素子２が内蔵されている。

図１１は、本発明の振動子を備える電子機器を適用した携帯電話機（ＰＨＳも含む）の構成を示す斜視図である。この図において、携帯電話機１２００は、複数の操作ボタン１２０２、受話口１２０４および送話口１２０６を備え、操作ボタン１２０２と受話口１２０４との間には、表示部２０００が配置されている。このような携帯電話機１２００には、フィルター、共振器等として機能する振動素子２が内蔵されている。

図１２は、本発明の振動子を備える電子機器を適用したディジタルスチルカメラの構成を示す斜視図である。なお、この図には、外部機器との接続についても簡易的に示されている。ここで、通常のカメラは、被写体の光像により銀塩写真フィルムを感光するのに対し、ディジタルスチルカメラ１３００は、被写体の光像をＣＣＤ（Charge Coupled Device）などの撮像素子により光電変換して撮像信号（画像信号）を生成する。

ディジタルスチルカメラ１３００におけるケース（ボディー）１３０２の背面には、表示部が設けられ、ＣＣＤによる撮像信号に基づいて表示を行う構成になっており、表示部は、被写体を電子画像として表示するファインダーとして機能する。また、ケース１３０２の正面側（図中裏面側）には、光学レンズ（撮像光学系）やＣＣＤなどを含む受光ユニット１３０４が設けられている。

撮影者が表示部に表示された被写体像を確認し、シャッターボタン１３０６を押下すると、その時点におけるＣＣＤの撮像信号が、メモリー１３０８に転送・格納される。また、このディジタルスチルカメラ１３００においては、ケース１３０２の側面に、ビデオ信号出力端子１３１２と、データ通信用の入出力端子１３１４とが設けられている。そして、図示されるように、ビデオ信号出力端子１３１２にはテレビモニター１４３０が、デ−タ通信用の入出力端子１３１４にはパーソナルコンピューター１４４０が、それぞれ必要に応じて接続される。さらに、所定の操作により、メモリー１３０８に格納された撮像信号が、テレビモニター１４３０や、パーソナルコンピューター１４４０に出力される構成になっている。このようなディジタルスチルカメラ１３００には、フィルター、共振器等として機能する振動素子２が内蔵されている。

なお、本発明の振動子を備える電子機器は、図１５のパーソナルコンピューター（モバイル型パーソナルコンピューター）、図１６の携帯電話機、図１７のディジタルスチルカメラの他にも、例えば、インクジェット式吐出装置（例えばインクジェットプリンター）、ラップトップ型パーソナルコンピューター、テレビ、ビデオカメラ、ビデオテープレコーダー、カーナビゲーション装置、ページャ、電子手帳（通信機能付も含む）、電子辞書、電卓、電子ゲーム機器、ワードプロセッサー、ワークステーション、テレビ電話、防犯用テレビモニター、電子双眼鏡、ＰＯＳ端末、医療機器（例えば電子体温計、血圧計、血糖計、心電図計測装置、超音波診断装置、電子内視鏡）、魚群探知機、各種測定機器、計器類（例えば、車両、航空機、船舶の計器類）、フライトシュミレーター等に適用することができる。

４．移動体
次に、本発明の振動子を適用した移動体（本発明の移動体）について説明する。
図１３は、本発明の移動体の一例としての自動車を概略的に示す斜視図である。自動車１５００には、振動素子２が搭載されている。振動素子２は、キーレスエントリー、イモビライザー、カーナビゲーションシステム、カーエアコン、アンチロックブレーキシステム（ＡＢＳ）、エアバック、タイヤ・プレッシャー・モニタリング・システム（ＴＰＭＳ：Tire Pressure Monitoring System）、エンジンコントロール、ハイブリッド自動車や電気自動車の電池モニター、車体姿勢制御システム、等の電子制御ユニット（ＥＣＵ：electronic control unit）に広く適用できる。
以上、本発明の振動子、振動子、発振器、電子機器および移動体について、図示の実施形態に基づいて説明したが、本発明はこれに限定されるものではなく、各部の構成は、同様の機能を有する任意の構成のものに置換することができる。また、本発明に、他の任意の構成物が付加されていてもよい。また、各実施形態を適宜組み合わせてもよい。

１…振動子 １０…発振器 １１…導電性接着剤 １２…ワイヤー ２…振動素子 ３…水晶基板 ４…基部 ４１…本体部 ４２…縮幅部 ５…振動腕 ５１…腕部 ５１１、５１２…主面 ５１１ａ、５１２ａ…土手部 ５１３、５１４…側面 ５２、５３…溝 ５９…ハンマーヘッド ６…振動腕 ６１…腕部 ６１１、６１２…主面 ６１１ａ、６１２ａ…土手部 ６１３、６１４…側面 ６２、６３…溝 ６９…ハンマーヘッド ７１…支持腕 ８…ＩＣチップ ８４、８５…駆動用電極 ９…パッケージ ９１…ベース ９１１…凹部 ９１１ａ…第１凹部 ９１１ｂ…第２凹部 ９１１ｃ…第３凹部 ９２…リッド ９２１…凹部 ９３…内部端子 ９４…外部端子 ９５、９６…接続端子 ９５１、９６１…接続端子 ９５２、９６２…貫通電極 ９５３、９６３…外部端子 １１００…パーソナルコンピューター １１０２…キーボード １１０４…本体部 １１０６…表示ユニット １２００…携帯電話機 １２０２…操作ボタン １２０４…受話口 １２０６…送話口 １３００…ディジタルスチルカメラ １３０２…ケース １３０４…受光ユニット １３０６…シャッターボタン １３０８…メモリー １３１２…ビデオ信号出力端子 １３１４…入出力端子 １４３０…テレビモニター １４４０…パーソナルコンピューター １５００…自動車 ２０００…表示部 Ｌ…全長 Ｈ…ハンマーヘッド長 Ｗ１、Ｗ２、Ｗ３…幅 ｔ…深さ Ｔ…厚さ

Claims (12)

1. 基部、及び前記基部と一体に設けられ、前記基部から第１の方向に延出し、前記第１の方向と直交する第２の方向に並んでいる一対の振動腕を含む振動素子と、
   前記振動素子が支持されているベースと、
   前記振動素子を前記ベースに固定している固着部と、
   を含み、
   前記振動素子は、下記式（１）で示される条件を満足するよう構成されていることを特徴とする振動子。
   

   

   （式（１）中、Ｑ_Ｌｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける振動漏れのみを考慮したＱ値、Ｑ_１は、基本屈曲振動モードにおけるＱ値を示し、Ｌ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける等価インダクタンス、Ｌ_１は、基本屈曲振動モードにおける等価インダクタンス、ｆ_ｎは、第ｎ次高調波屈曲振動モードにおける共振周波数、ｆ_１は、基本屈曲振動モードにおける共振周波数、ｎは２以上の自然数を示す。）
2. 第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値をＱ_ｎとしたとき、Ｑ_Ｌｎ ^−１／Ｑ_ｎ ^−１は、０．５以上である請求項１に記載の振動子。
3. 第ｎ次高調波屈曲振動モードにおけるＱ値をＱ_ｎとしたとき、Ｑ_ｎ／Ｑ_１は、１以下である請求項１または２に記載の振動子。
4. 熱緩和周波数をｆ_ｍ０としたとき、ｆ_ｍ０ ^２／ｆ_１ ^２は０．０５以下である請求項１ないし３のいずれか１項に記載の振動子。
5. 前記振動素子は、下記式（２）で示される条件を満足するよう構成されている請求項１ないし４のいずれか１項に記載の振動子。
   

   
6. 前記振動素子は、下記式（３）で示される条件を満足するよう構成されている請求項１ないし５のいずれか１項に記載の振動子。
   

   
7. 前記振動素子は、前記一対の振動腕の間において、前記基部から前記第１の方向に沿って延出している支持腕を含み、
   前記固着部を介して、前記支持腕が前記ベースに固定されている請求項１ないし６のいずれか１項に記載の振動子。
8. 各前記振動腕は、表裏の関係にある一対の主面と、各前記主面に有底の溝と、を含んでいる請求項１ないし７のいずれか１項に記載の振動子。
9. 各前記振動腕は、
   腕部と、
   前記腕部の前記基部と反対側に位置し、前記腕部よりも前記第２の方向に沿った長さが大きい広幅部と、
   を含む請求項１ないし８のいずれか１項に記載の振動子。
10. 請求項１ないし９のいずれか１項に記載の振動子と、
    発振回路と、
    を含むことを特徴とする発振器。
11. 請求項１ないし９のいずれか１項に記載の振動子を含むことを特徴とする電子機器。
12. 請求項１ないし９のいずれか１項に記載の振動子を含むことを特徴とする移動体。

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