JP5158448B2 - オイルポンプロータ - Google Patents

Description

本発明は、インナーロータとアウターロータとの間に形成されるセルの容積変化によって流体を吸入、吐出するオイルポンプロータに関する。

従来のオイルポンプは、ｎ（ｎは自然数）枚の外歯が形成されたインナーロータと、この外歯に噛み合うｎ＋１枚の内歯が形成されたアウターロータと、流体が吸入される吸入ポートおよび流体が吐出される吐出ポートが形成されたケーシングとを備えており、インナーロータを回転させることによって外歯が内歯に噛み合ってアウターロータを回転させ、両ロータ間に形成される複数のセルの容積変化によって流体を吸入、吐出するようになっている。

セルは、その回転方向前側と後側で、インナーロータの外歯とアウターロータの内歯とがそれぞれ接触することによって個別に仕切られるとともに、両側面をケーシングによって仕切られており、これによって独立した流体搬送室を構成している。そして、各セルは外歯と内歯との噛み合いの過程の途中において容積が最小となった後、吸入ポートに沿って移動するときに容積を拡大させて流体を吸入し、容積が最大となった後、吐出ポートに沿って移動するときに容積を減少させて流体を吐出する。

上記のような構成を有するオイルポンプは、小型で構造が簡単であるため自動車の潤滑油用ポンプや自動変速機用オイルポンプ等として広範囲に利用されている。自動車に搭載される場合、オイルポンプの駆動手段としてはエンジンのクランク軸にインナーロータが直結されてエンジンの回転によって駆動されるクランク軸直結駆動がある。

ところでオイルポンプには、歯形をサイクロイド曲線で形成したインナーロータとアウターロータとを使用したタイプ（例えば、特許文献１参照）、歯形をトロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線で形成したインナーロータを使用したタイプ（例えば、特許文献２参照）、あるいは、歯形を互いに接する二つの円弧で形成したインナーロータとアウターロータを使用したタイプ（例えば、特許文献３参照）、さらには、前記各タイプの歯形を修正したインナーロータとアウターロータを使用したオイルポンプが種々開示されている。

特開２００５−０７６５６３号公報 特開平０９−２５６９６３号公報 特開昭６１−００８４８４号公報

近年、エンジンの動弁系可変化や、高出力化に伴うピストン冷却用オイルジェットの追加などにより、オイルポンプの吐出容量は増加傾向にある。一方、省燃費の観点からエンジンのフリクション低減のため、オイルポンプ本体の小型化・小径化が要求されている。
オイルポンプの吐出量を多くするには歯数を少なくすることが一般的であるが、少ない歯数のオイルポンプでは一セル当りの吐出量が多いため、脈動が大きくなりポンプハウジングなどの振動により騒音が発生するという問題点があった。

脈動を小さくし騒音を抑える方法としては、一般的に、歯数を多くする方法が採用されるが、理論的なサイクロイド曲線などにより形成された歯形において歯数を多くすると吐出量が減少するので必要な吐出量を確保するためには、ロータの外径を大きくするか軸方向厚さを大きくせざるを得ず、その結果、大型化や重量増あるいはフリクション増加などの問題を誘発する。

本発明は、かかる問題点に着目してなされたものであり、その目的は、ロータを大型化することなく吐出量を増加すると共に脈動の小さい低騒音なオイルポンプロータを提供することである。

ｎ（ｎは自然数）枚の外歯が形成されたインナーロータと、前記外歯と噛み合うｎ＋１枚の内歯が形成されたアウターロータと、を備え、流体が吸入される吸入ポートおよび流体が吐出される吐出ポートが形成されたケーシングを有するとともに、両ロータが噛み合って回転するとき、前記両ロータの歯面間に形成されるセルの容積変化により流体を吸入、吐出することによって流体を搬送するオイルポンプ、に用いられるオイルポンプロータにおいて、上記課題を解決するため、本発明では、前記インナーロータの外歯形状は、数学曲線によって構成された歯形形状に対する、歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への圧縮変形と、径方向への変形とにより形成され、周方向への圧縮変形によって前記数学曲線で構成された歯形形状に対して歯数を増加させているものとした。

これにより、ロータを大型化することなく吐出量を増加させることができ、さらに、脈動の小さい低騒音なオイルポンプロータを提供することができる。

なお、ここで言うところの数学曲線とは、数学的な関数を用いて表される曲線であり、その好適な例として、サイクロイド曲線、トロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線、又は、歯先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧によって形成された円弧曲線が挙げられる。

また、前記インナーロータの好適な実施形態の一つとして、
前記周方向への変形は、Ｒ_A1＞Ｒ_C1＞Ｒ_A2を満たす半径Ｒ_C1の円Ｃ₁の外側が変形され
る場合は第１の変形率γ₁で変形されると共に、前記円Ｃ₁の内側が変形される場合は第２の変形率γ₂で変形されるものであり、
前記径方向への変形は、Ｒ_A1＞Ｒ_D1≧Ｒ_C1≧Ｒ_D2＞Ｒ_A2を満たす半径Ｒ_D1の円Ｄ₁の外
側が変形される場合は、式（１）から（４）で形成される曲線を歯先形状とし、半径Ｒ_D2の円Ｄ₂の内側が変形される場合は、式（５）から（８）で形成される曲線を歯溝形状と
するインナーロータがある。
Ｒ₁₂＝（Ｘ₁₁ ²＋Ｙ₁₁ ²）^1/2 式（１）
θ₁₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₁₁／Ｒ₁₂） 式（２）
Ｘ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｃｏｓθ₁₂ 式（３）
Ｙ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｓｉｎθ₁₂ 式（４）
但し、
（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）は径方向への変形前の歯先形状の座標、
（Ｘ₁₂、Ｙ₁₂）は径方向への変形後の歯先形状の座標、
Ｒ₁₂はインナーロータの中心から座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）までの距離、
θ₁₂はインナーロータの中心と座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
β₁₀は変形の為の修正係数、
である。
Ｒ₂₂＝（Ｘ₂₁ ²＋Ｙ₂₁ ²）^1/2 式（５）
θ₂₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₂₁／Ｒ₂₂） 式（６）
Ｘ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｃｏｓθ₂₂ 式（７）
Ｙ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｓｉｎθ₂₂ 式（８）
但し、
（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）は径方向への変形前の歯溝形状の座標、
（Ｘ₂₂、Ｙ₂₂）は径方向への変形後の歯溝形状の座標、
Ｒ₂₂はインナーロータの中心から座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）までの距離、
θ₂₂はインナーロータの中心と座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
β₂₀は変形の為の修正係数、
である。

また、前記インナーロータの別の好適な実施形態の一つとして、
前記インナーロータの、前記アウターロータとの歯先側噛合点ａを通る基準円Ｃαの外側の歯先部が、０＜ε＜１を満たす変形率εで径方向へ変形されているインナーロータがある。

これにより、インナーロータとアウターロータとの歯先部間のクリアランスを一定として、オイルポンプから吐出されるオイルの脈動をより一層低く抑えることができる。

特に、前記数学曲線としてサイクロイド曲線を用い、当該サイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対する、前記周方向及び前記径方向への変形を施したインナーロータと、当該インナーロータと噛み合うアウターロータの好適な実施形態の一つとして、
前記インナーロータの外歯形状は、基礎円半径をＲ_a、外転円半径をＲ_a1、内転円半径
をＲ_a2とするサイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対して、前記サイクロイド曲線の基礎円を前記円Ｃ₁とした前記周方向への変形と前記径方向への変形とにより形成
されており、
前記インナーロータと噛み合う前記アウターロータの内歯形状は、基礎円半径をＲ_b、
外転円半径をＲ_b1、内転円半径をＲ_b2とするサイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対する、歯溝円Ｂ₁の半径Ｒ_B1と歯先円Ｂ₂の半径Ｒ_B2との間の距離を維持しつつ施された周方向への変形と、径方向への変形とにより形成されており、
ここで、前記アウターロータの周方向への変形は、半径Ｒ_bの基礎円の外側が変形され
る場合は第３の変形率δ₃で変形されると共に、半径Ｒ_bの基礎円の内側が変形される場合は第４の変形率δ₄で変形されるものであり、かつ、
前記アウターロータの径方向への変形は、Ｒ_B1＞Ｒ_D3≧Ｒ_b≧Ｒ_D4＞Ｒ_B2を満たす半径
Ｒ_D3の円Ｄ₃の外側が変形される場合は、式（９）から（１２）で形成される曲線を歯溝
形状とし、半径Ｒ_D4の円Ｄ₄の内側が変形される場合は、式（１３）から（１６）で形成
される曲線を歯先形状とするものであり、
さらに、前記アウターロータは前記インナーロータと式（１７）〜（２１）の関係を満たすものがある。
Ｒ₃₂＝（Ｘ₃₁ ²＋Ｙ₃₁ ²）^1/2 式（９）
θ₃₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₃₁／Ｒ₃₂） 式（１０）
Ｘ₃₂＝｛（Ｒ₃₂−Ｒ_D3）×β₃₀＋Ｒ_D3｝×ｃｏｓθ₃₂ 式（１１）
Ｙ₃₂＝｛（Ｒ₃₂−Ｒ_D3）×β₃₀＋Ｒ_D3｝×ｓｉｎθ₃₂ 式（１２）
但し、
（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）は径方向への変形前の歯溝形状の座標、
（Ｘ₃₂、Ｙ₃₂）は径方向への変形後の歯溝形状の座標、
Ｒ₃₂はアウターロータの中心から座標（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）までの距離、
θ₃₂はアウターロータの中心と座標（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
β₃₀は変形の為の修正係数、
である。
Ｒ₄₂＝（Ｘ₄₁ ²＋Ｙ₄₁ ²）^1/2 式（１３）
θ₄₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₄₁／Ｒ₄₂） 式（１４）
Ｘ₄₂＝｛Ｒ_D4−（Ｒ_D4−Ｒ₄₂）×β₄₀｝×ｃｏｓθ₄₂ 式（１５）
Ｙ₄₂＝｛Ｒ_D4−（Ｒ_D4−Ｒ₄₂）×β₄₀｝×ｓｉｎθ₄₂ 式（１６）
但し、
（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）は径方向への変形前の歯先形状の座標、
（Ｘ₄₂、Ｙ₄₂）は径方向への変形後の歯先形状の座標、
Ｒ₄₂はアウターロータの中心から座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）までの距離、
θ₄₂はアウターロータの中心と座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
β₄₀は変形の為の修正係数、
である。
また、
Ｒ_a＝ｎ×（Ｒ_a1×γ₁＋Ｒ_a2×γ₂） 式（１７）
Ｒ_b＝（ｎ＋１）×（Ｒ_b1×δ₃＋Ｒ_b2×δ₄） 式（１８）
Ｒ_b＝Ｒ_a＋Ｒ_a1＋Ｒ_a2＋Ｈ１ 式（１９）
Ｒ_b2＝Ｒ_a2＋Ｈ２ 式（２０）
ｅ₁₀＝Ｒ_a1＋Ｒ_a2＋Ｈ３ 式（２１）
但し、
ｅ₁₀はインナーロータの中心とアウターロータの中心との距離（偏心量）、
Ｈ１、Ｈ２、Ｈ３はアウターロータがクリアランスをもって回動するための補正値、
である。

なお、上記の各構成においては、前記数学曲線によって構成された歯形形状に対する、周方向への変形と径方向への変形とによりインナーロータの外歯形状が形成されているが、径方向への変形を省略し、周方向への圧縮変形を施してインナーロータの外歯形状を形成するようにしても良い。

すなわち、ｎ（ｎは自然数）枚の外歯が形成されたインナーロータと、前記外歯と噛み合うｎ＋１枚の内歯が形成されたアウターロータと、を備え、流体が吸入される吸入ポートおよび流体が吐出される吐出ポートが形成されたケーシングを有するとともに、両ロータが噛み合って回転するとき、前記両ロータの歯面間に形成されるセルの容積変化により流体を吸入、吐出することによって流体を搬送するオイルポンプ、に用いられるオイルポンプロータであって、前記インナーロータの外歯形状は、数学曲線によって構成された歯形形状に対する、歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への圧縮変形により、前記数学曲線によって構成された歯形形状に対して歯数が増加形成されたものとすることができる。

これにより、ロータの径が保たれたまま吐出量を増加させることができ、さらに、脈動の小さい低騒音なオイルポンプロータを提供することができる。

そして、前記数学曲線によって構成された歯形形状に対する、前記周方向及び前記径方向への変形、又は、前記周方向への圧縮変形を施して形成されたインナーロータと噛み合うアウターロータの好適な実施形態の一つとして、
前記インナーロータを、その中心から所定距離ｅ離間した位置を中心とした前記所定距離と同一の半径ｅの円Ｆの円周上を角速度ωで公転させると共に、公転方向とは逆の回転方向に前記公転の角速度ωの１／ｎ倍の角速度ω／ｎで自転させて形成される包絡線について、
前記円Ｆの中心から公転開始時の前記インナーロータの中心を見た角度を公転角度０方向として、少なくとも、前記包絡線と前記公転角度０方向の軸との交差部分近傍を外径方向に変形すると共に、前記包絡線と前記インナーロータの公転角度π／（ｎ＋１）方向の軸との交差部分近傍を外径方向に変形し、かつ、
公転角度０以上π／（ｎ＋１）以下で定められる領域に含まれる部分を部分包絡線として抽出し、
前記部分包絡線を前記円Ｆの中心を基点として公転方向に微小角度α回転すると共に、前記領域外に延出した箇所を切り取り、かつ、前記部分包絡線と前記公転角度０方向の軸との間に生じる隙間を接続して修正部分包絡線を形成し、
前記修正部分包絡線を前記公転角度０方向の軸に対して線対称に複写して部分歯形を形成し、
さらに、前記部分歯形を前記円Ｆの中心を基点として、角度２π／（ｎ＋１）ずつ回転複写して形成される歯形形状を有するアウターロータがある。

これにより、前記数学曲線によって構成された歯形形状に対する、前記周方向及び前記径方向への変形、又は、前記周方向への圧縮変形を施して形成されたインナーロータと円滑に噛み合い回転するアウターロータを容易に形成することができる。

は、本発明におけるインナーロータの周方向への変形を示す説明図である。 は、本発明におけるインナーロータの径方向への変形を示す説明図である。 は、変形サイクロイド曲線によって構成された歯形形状を有するオイルポンプを示す図である。 は、図３のインナーロータを形成するための説明図（周方向への変形）である。 は、図３のインナーロータを形成するための説明図（径方向への変形）である。 は、図３のアウターロータを形成するための説明図（周方向への変形）である。 は、図３のアウターロータを形成するための説明図（径方向への変形）である。 は、トロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線によって構成される歯形形状を示す説明図である。 は、歯先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧によって形成された円弧曲線によって構成される歯形形状を示す説明図である。 は、インナーロータとアウターロータとの噛み合い領域を示す図である。 は、径方向への第二の変形を示す説明図である。 は、インナーロータの回転角度とチップクリアランスとの関係を示すグラフである。 は、アウターロータを形成するための説明図である。

図１及び図２に、数学曲線に対して周方向への変形及び径方向への変形を施して、本発明におけるインナーロータの歯形形状（外歯形状）を形成するための工程を示す原理図を示す。なお、図１及び図２ではインナーロータに形成されている外歯のうち、１の歯先部と歯溝部とを示し、他の歯については省略しているが、もちろん全ての歯に対して同様の変形が行われる。

図１は、数学曲線によって構成された歯形形状に対する周方向への変形を示す図である。図１には、数学曲線によって構成された歯形形状Ｕ’のうち歯先形状Ｕ’₁及び歯溝形
状Ｕ’₂が点線で示されており、歯先形状Ｕ’₁と内接する歯先円Ａ₁の半径をＲ_A1と、歯溝形状Ｕ’₂と外接する歯溝円Ａ₂の半径をＲ_A2とする。そして、Ｒ_A1＞Ｒ_C1＞Ｒ_A2を満たす円Ｃ₁の半径Ｒ_C1より外側にある歯形形状Ｕ’によって歯先形状Ｕ’₁が、内側にある歯形形状Ｕ’によって歯溝形状Ｕ’₂が構成されている。

そして、この歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離（Ｒ_A1−Ｒ_A2）を維持しつつ、周方向へ所定の変形率で変形することにより、変形された歯形形状Ｕを得ることができる。図１では、半径Ｒ_C1の円Ｃ₁の外側、すなわち歯先形状Ｕ’₁が変形される場合は第１の変形率γ₁で変形され、半径Ｒ_C1の円Ｃ₁の内側、すなわち歯溝形状Ｕ’₂
が変形される場合は第２の変形率γ₂で変形される。ここで、この変形率は、インナーロ
ータの中心Ｏと歯先形状（歯溝形状）を構成する曲線の一方の端部とを結ぶ半直線と、インナーロータの中心Ｏと当該曲線の他方の端部とを結ぶ半直線とが成す角度の変形前後の比率である。図１において、歯先形状Ｕ₁については、当該角度が変形前はθ’₁、変形後はθ₁となっており、従ってこの歯先形状Ｕ₁は第１の変形率γ₁＝θ₁／θ’₁で変形され
たものである。同様に、歯溝形状Ｕ₂については、当該角度が変形前はθ’₂、変形後はθ₂となっており、従ってこの歯溝形状Ｕ₂は第２の変形率γ₂＝θ₂／θ’₂で変形されたも
のである。かかる周方向への変形により、変形された歯形形状Ｕ（歯先形状Ｕ₁及び歯溝
形状Ｕ₂）が得られる。

なお、歯形形状Ｕ’から周方向に変形された歯形形状Ｕを得るための変換式は、変形率γ₁或いはγ₂を用いることにより、次のように簡単に表すことができる。すなわち、図１の歯先形状Ｕ’₁の座標（Ｘ₁₀，Ｙ ₁₀）は、当該座標とインナーロータの中心Ｏとの距離をＲ、当該座標とインナーロータの中心Ｏとを通る直線がＸ軸となす角度をθ₁₁とすれば、（Ｒｃｏｓθ₁₁，Ｒｓｉｎθ₁₁）として表すことができるので、周方向に変形された歯先形状Ｕ₁の対応する座標（Ｘ₁₁，Ｙ ₁₁）は、変形率γ₁を用いて、（Ｒｃｏｓ（θ₁₁×
γ₁），Ｒｓｉｎ（θ₁₁×γ₁））＝（Ｒｃｏｓθ₁₂，Ｒｓｉｎθ₁₂）として表すことができる。ここで、θ₁₂はインナーロータの中心Ｏと座標（Ｘ₁₁，Ｙ ₁₁）とを通る直線がＸ
軸となす角度である。歯溝形状についても同様にして変形率γ₂を用いて表すことができ
る。

また、この周方向への変形前後のインナーロータの歯数（外歯の数）を夫々ｎ’及びｎとすると（ｎ’及びｎは自然数）、次の式、ｎ’×（θ’₁＋θ’₂）＝ｎ×（θ₁＋θ₂）が成立する。

このように、歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への変形は、ロータの中心Ｏを頂点とする扇状領域に包含される歯形形状について、当該距離を維持しつつ、その頂点角度の変化に応じて施される変形である。また、頂点角度の変形前後の比率である変形率γがγ＞１のときは拡大変形、γ＜１のときは圧縮変形となる。

図２は、数学曲線によって構成された歯形形状Ｕ’に対して、上述した周方向への変形を施した歯形形状Ｕの径方向への変形を示す図である。このような径方向への変形の一例を以下に示す。これは、Ｒ_A1＞Ｒ_D1≧Ｒ_C1≧Ｒ_D2＞Ｒ_A2を満たす半径Ｒ_D1の円Ｄ₁の外側
が変形される場合は、式（１）から（４）で形成される曲線を歯先形状とし、半径Ｒ_D2の円Ｄ₂の内側が変形される場合は、式（５）から（８）で形成される曲線を歯溝形状とす
るものである。

Ｒ₁₂＝（Ｘ₁₁ ²＋Ｙ₁₁ ²）^1/2 式（１）
θ₁₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₁₁／Ｒ₁₂） 式（２）
Ｘ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｃｏｓθ₁₂ 式（３）
Ｙ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｓｉｎθ₁₂ 式（４）
但し、
（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）は径方向への変形前の歯先形状の座標、
（Ｘ₁₂、Ｙ₁₂）は径方向への変形後の歯先形状の座標、
Ｒ₁₂はインナーロータの中心から座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）までの距離、
θ₁₂はインナーロータの中心と座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
β₁₀は変形の為の修正係数、
である。

Ｒ₂₂＝（Ｘ₂₁ ²＋Ｙ₂₁ ²）^1/2 式（５）
θ₂₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₂₁／Ｒ₂₂） 式（６）
Ｘ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｃｏｓθ₂₂ 式（７）
Ｙ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｓｉｎθ₂₂ 式（８）
但し、
（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）は径方向への変形前の歯溝形状の座標、
（Ｘ₂₂、Ｙ₂₂）は径方向への変形後の歯溝形状の座標、
Ｒ₂₂はインナーロータの中心から座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）までの距離、
θ₂₂はインナーロータの中心と座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
β₂₀は変形の為の修正係数、
である。

図２（ａ）は、上述した周方向への変形により形成された歯先形状Ｕ₁（点線で図示）
に対し、上記の式（１）から（４）を用いて径方向への変形を施した場合を示す図であり、この径方向への変形により歯先形状Ｕ_1inが得られる。また、図２（ｂ）は、上述した
周方向への変形により形成された歯溝形状Ｕ₂（点線で図示）に対し、上記の式（５）か
ら（８）を用いて径方向への変形を施した場合を示す図であり、この径方向への変形により歯溝形状Ｕ_2inが得られる。すなわち、上記の式（１）から（８）において、径方向へ
の変形前の歯先形状Ｕ₁及び歯溝形状Ｕ₂の座標は夫々（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁），（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）で表され、径方向への変形後の歯先形状Ｕ_1in及び歯溝形状Ｕ_2inの座標は夫々（Ｘ₁₂、Ｙ₁₂），（Ｘ₂₂、Ｙ₂₂）で表される。ただし、Ｒ_D1とＲ_D2との間にある部分は、この径方向への変形により変形されない。

このように、数学曲線によって構成された歯形形状Ｕ’に対して、上述した周方向への変形と径方向への変形とを行うことにより、本発明におけるインナーロータの歯形形状Ｕ_in（歯先形状Ｕ_1in及び歯溝形状Ｕ_2in）を得ることができる。

なお、特に径方向への変形のための修正係数β₁₀，β₂₀については、１より大きい値だけでなく、図２に示すように１より小さい値も用いることができるが、かかる場合には、前記数学曲線によって構成され、本発明におけるインナーロータの歯数と同一の歯数ｎを有する歯形形状のインナーロータ、すなわち前記半径Ｒ_C1の円Ｃ₁を基準として前記数学
曲線によって構成されたｎ個の歯先形状と歯溝形状とを有するインナーロータと比べて、歯先形状又は歯溝形状の少なくとも一方が径方向（歯先形状の場合は外径方向、歯溝形状の場合は内径方向）に大きくなり、その吐出量が大きくなるような値が選択される。

また、周方向への変化について、図１及び図２においては、周方向への変形前後のインナーロータの歯数を夫々ｎ’及びｎとして、ｎ’＜ｎとした場合、すなわち変形率γ₁、
γ₂がともに１より小さく、圧縮変形させた場合が示されているが、この変形率γ₁、γ₂
を１より大きくして拡大変形するようにしても良い（すなわち、ｎ’＞ｎ）。なお、この場合にも上述したように、前記数学曲線によって構成され、本発明におけるインナーロータの歯数と同一の歯数ｎを有する歯形形状のインナーロータと比べて、歯先形状又は歯溝形状の少なくとも一方が径方向（歯先形状の場合は外径方向、歯溝形状の場合は内径方向）に大きくなり、その吐出量が大きくなるような径方向への変形のための修正係数β₁₀，β₂₀の値が選択される。

また、図１及び図２においては、周方向への変形の後、径方向への変形を行ったが、これを逆にして、径方向への変形の後、その歯先円の半径と歯溝円の半径との間の距離を維持しつつ、周方向への変形を行うようにしても良い。さらに、図１においてＲ_c1を設定せずに、歯先形状及び歯溝形状を同一の変形率で変形するような構成としても良い。なお、アウターロータについても同様にして周方向の変形と径方向への変形とを施すことができ、インナーロータと好適に噛み合う歯形形状（内歯形状）を形成することができる。

〔変形サイクロイド曲線により構成された歯形形状〕
次に、前記数学曲線としてサイクロイド曲線を用いた場合のインナーロータ及びアウターロータの歯形形状について、図３から図７を用いて詳細に説明する。

図３に示すオイルポンプは、サイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対して、周方向への変形と径方向への変形とを施した場合の実施形態を示したものである。９枚の外歯１１が形成されたインナーロータ１０と、インナーロータ１０の外歯１１と噛み合う１０枚の内歯２１が形成されたアウターロータ２０と、流体が吸入される吸入ポート４０および流体が吐出される吐出ポート４１が形成されたケーシング５０を備え、両ロータが噛み合って回転するとき、両ロータの歯面間に形成されるセル３０の容積変化により流体を吸入、吐出することによって流体を搬送するオイルポンプである。

図４及び図５は、図３のインナーロータ１０を形成するための説明図である。このうち図４は、サイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対して周方向への変形を施した変形後の歯形形状を示したもので上記図１に相当するものであり、図５は、周方向への変形後の歯形形状に対して径方向への変形を施した変形後の歯形形状を示したもので上記図２に相当するものである。

図４には、サイクロイド曲線によって構成された歯形形状Ｕ’_Cのうち歯先形状Ｕ’_1C
及び歯溝形状Ｕ’_2Cが点線で示されている。また、このサイクロイド曲線の基礎円半径をＲ_a、外転円半径をＲ_a1、内転円半径をＲ_a2とすると、歯先形状Ｕ’_1Cと内接する歯先円
Ａ₁の半径はＲ_a＋２Ｒ_a1、歯溝形状Ｕ’_2Cと外接する歯溝円Ａ₂の半径はＲ_a−２Ｒ_a2で表すことができる。また、図１における歯先部と歯溝部との境界を示す円Ｃ₁の半径Ｒ_C1は
、この図４では基礎円半径Ｒ_aである。すなわち、半径Ｒ_a1の外転円によるサイクロイド
曲線によって歯先形状Ｕ’_1Cが、半径Ｒ_a2の内転円によるサイクロイド曲線によって歯溝形状Ｕ’_2Cが形成されている。

なお、このような基礎円半径をＲ_a、外転円半径をＲ_a1、内転円半径をＲ_a2とする周知
のサイクロイド曲線の座標は、以下の式により表すことができる（図は省略）。
Ｘ₁₀＝（Ｒ_a＋Ｒ_a1）×ｃｏｓθ₁₀
−Ｒ_a1×ｃｏｓ〔｛（Ｒ_a＋Ｒ_a1）／Ｒ_a1｝×θ₁₀〕 式（３１）
Ｙ₁₀＝（Ｒ_a＋Ｒ_a1）×ｓｉｎθ₁₀
−Ｒ_a1×ｓｉｎ〔｛（Ｒ_a＋Ｒ_a1）／Ｒ_a1｝×θ₁₀〕 式（３２）
Ｘ₂₀＝（Ｒ_a−Ｒ_a2）×ｃｏｓθ₂₀
＋Ｒ_a2×ｃｏｓ〔｛（Ｒ_a2−Ｒ_a）／Ｒ_a2｝×θ₂₀〕 式（３３）
Ｙ₂₀＝（Ｒ_a−Ｒ_a2）×ｓｉｎθ₂₀
＋Ｒ_a2×ｓｉｎ〔｛（Ｒ_a2−Ｒ_a）／Ｒ_a2｝×θ₂₀〕 式（３４）
Ｒ_a＝ｎ×（Ｒ_a1＋Ｒ_a2） 式（３５）
ここで、インナーロータ１０の中心Ｏ₁を通る直線をＸ軸、Ｘ軸と直交しインナーロー
タ１０の中心Ｏ₁を通る直線をＹ軸とし、式（３１）から（３５）において、θ₁₀は外転円の中心とインナーロータ１０の中心Ｏ₁とを通る直線がＸ軸となす角度、θ₂₀は内転円
の中心とインナーロータ１０の中心Ｏ₁とを通る直線がＸ軸となす角度、（Ｘ₁₀、Ｙ₁₀）
は外転円により形成されるサイクロイド曲線の座標、（Ｘ₂₀、Ｙ₂₀）は内転円により形成されるサイクロイド曲線の座標である。

そして、この歯先円Ａ₁の半径Ｒ_a＋２Ｒ_a1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_a−２Ｒ_a2との間の距離を維持しつつ、周方向へ所定の変形率で変形することにより、変形された歯形形状Ｕ_Cを
得ることができる。図４では、基礎円半径Ｒ_aの外側、すなわち歯先形状Ｕ’_1Cが変形さ
れる場合は第１の変形率γ₁＝θ_1C／θ’_1Cで変形され、基礎円半径Ｒ_aの内側、すなわち歯溝形状Ｕ’_2Cが変形される場合は第２の変形率γ₂＝θ_2C／θ’_2Cで変形される。なお
、この角度θ_1Cなどの定義については、上述したとおりである。かかる周方向への変形により、変形された歯形形状Ｕ_C（歯先形状Ｕ_1C及び歯溝形状Ｕ_2C）が得られる。なお、こ
の周方向への変形前後のインナーロータの歯数を夫々ｎ’及びｎとすると、ｎ’×（θ’_1C＋θ’_2C）＝ｎ×（θ_1C＋θ_2C）という関係式が成立する。

ここで、歯形形状Ｕ’_Cから歯形形状Ｕ_Cを得るための変換式は、この変形率γ₁或いは
γ₂を用いることにより簡単に表すことができる。例えば、歯先形状については、周方向
への変形前の歯先形状Ｕ’_1Cは上記のサイクロイド曲線（Ｘ₁₀、Ｙ₁₀）であり、周方向への変形後の歯先形状Ｕ_1Cの座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）は、以下の式（３６）から（３９）のように表すことができる。
Ｒ₁₁＝（Ｘ₁₀ ²＋Ｙ₁₀ ²）^1/2 式（３６）
θ₁₁＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₁₀／Ｒ₁₁） 式（３７）
Ｘ₁₁＝Ｒ₁₁×ｃｏｓ（θ₁₁×γ₁） 式（３８）
Ｙ₁₁＝Ｒ₁₁×ｓｉｎ（θ₁₁×γ₁） 式（３９）
ここで、Ｒ₁₁はインナーロータの中心Ｏ₁から座標（Ｘ₁₀、Ｙ₁₀）までの距離、θ₁₁は
インナーロータの中心Ｏ₁と座標（Ｘ₁₀、Ｙ₁₀）とを通る直線がＸ軸となす角度である。

周方向への変形後の歯溝形状Ｕ_2Cの座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）についても、周方向への変形前の歯溝形状Ｕ’_2Cである上記のサイクロイド曲線（Ｘ₂₀、Ｙ₂₀）から、変形率γ₂を用い
ることにより、同様にして簡単に求めることができるので、ここでは省略する。

次に、この周方向に変形された歯形形状Ｕ_Cに対して、図５に示すような径方向の変形
を行なう。まず、Ｒ_a＋２Ｒ_a1＞Ｒ_D1≧Ｒ_a≧Ｒ_D2＞Ｒ_a−２Ｒ_a2を満たす半径Ｒ_D1の円Ｄ₁の外側（歯先側）では、図５（ａ）に示すように、以下の式（１）から（４）で表される座標（Ｘ₁₂、Ｙ₁₂）により形成される曲線を変形後の歯先形状とする。

Ｒ₁₂＝（Ｘ₁₁ ²＋Ｙ₁₁ ²）^1/2 式（１）
θ₁₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₁₁／Ｒ₁₂） 式（２）
Ｘ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｃｏｓθ₁₂ 式（３）
Ｙ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｓｉｎθ₁₂ 式（４）
ここで、（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）は径方向への変形前の歯先形状Ｕ_1Cの座標、（Ｘ₁₂、Ｙ₁₂）は径方向への変形後の歯先形状Ｕ_1inの座標、Ｒ₁₂はインナーロータの中心Ｏ₁から座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）までの距離、θ₁₂はインナーロータの中心Ｏ₁と座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）とを通る
直線がＸ軸となす角度、β₁₀は変形の為の修正係数である。

また、Ｒ_a＋２Ｒ_a1＞Ｒ_D1≧Ｒ_a≧Ｒ_D2＞Ｒ_a−２Ｒ_a2を満たす半径Ｒ_D2の円Ｄ₂の内側（歯溝側）では、図５（ｂ）に示すように、以下の式（５）から（８）で表される座標（Ｘ₂₂、Ｙ₂₂）により形成される曲線を変形後の歯溝形状とする。

Ｒ₂₂＝（Ｘ₂₁ ²＋Ｙ₂₁ ²）^1/2 式（５）
θ₂₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₂₁／Ｒ₂₂） 式（６）
Ｘ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｃｏｓθ₂₂ 式（７）
Ｙ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｓｉｎθ₂₂ 式（８）
ここで、（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）は径方向への変形前の歯溝形状Ｕ_2Cの座標、（Ｘ₂₂、Ｙ₂₂）は径方向への変形後の歯溝形状Ｕ_2inの座標、Ｒ₂₂はインナーロータの中心Ｏ₁から座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）までの距離、θ₂₂はインナーロータの中心Ｏ₁と座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）とを通る直
線がＸ軸となす角度、β₂₀は変形の為の修正係数である。

すなわち、図５（ａ）に示す径方向への変形により歯先形状Ｕ_1Cから歯先形状Ｕ_1inが
得られ、図５（ｂ）に示す径方向への変形により歯溝形状Ｕ_2Cから歯溝形状Ｕ_2inが得ら
れる。このようにサイクロイド曲線によって構成された歯形形状Ｕ’に対して、上述した周方向への変形及び径方向への変形を行うことにより、変形されたサイクロイド曲線によって構成されたインナーロータの歯形形状Ｕ_in（歯先形状Ｕ_1in及び歯溝形状Ｕ_2in）を得ることができ、図３に示すインナーロータ１０の外歯形状を形成することができる。

一方、図６及び図７は、図３のアウターロータ２０を形成するための説明図である。このうち図６は、サイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対して周方向への変形を施した変形後の歯形形状を示したもので、上記図１をアウターロータに適用した場合に相当するものであり、図７は、周方向への変形後の歯形形状に対して径方向への変形を施した変形後の歯形形状を示したものであり、上記図２をアウターロータに適用した場合に相当するものである。

図６には、サイクロイド曲線によって構成された歯形形状Ｕ’_Cのうち歯溝形状Ｕ’_3C
及び歯先形状Ｕ’_4Cが点線で示されている。また、このサイクロイド曲線の基礎円半径をＲ_b、外転円半径をＲ_b1、内転円半径をＲ_b2とすると、歯溝形状Ｕ’_3Cと内接する歯溝円
Ｂ₁の半径はＲ_b＋２Ｒ_b1、歯先形状Ｕ’_4Cと外接する歯先円Ｂ₂の半径はＲ_b−２Ｒ_b2で表すことができる。また、図１における歯先部と歯溝部との境界を示す円Ｃ₁の半径Ｒ_C1は
、この図６では基礎円半径Ｒ_bである。すなわち、半径Ｒ_b1の外転円によるサイクロイド
曲線によって歯溝形状Ｕ’_3Cが、半径Ｒ_b2の内転円によるサイクロイド曲線によって歯先形状Ｕ’_4Cが形成されている。

なお、このような基礎円半径をＲ_b、外転円半径をＲ_b1、内転円半径をＲ_b2とする周知
のサイクロイド曲線の座標は、以下の式により表すことができる（図は省略）。
Ｘ₃₀＝（Ｒ_b＋Ｒ_b1）ｃｏｓθ₃₀
−Ｒ_b1×ｃｏｓ〔｛（Ｒ_b＋Ｒ_b1）／Ｒ_b1｝×θ₃₀〕 式（４１）
Ｙ₃₀＝（Ｒ_b＋Ｒ_b1）ｓｉｎθ₃₀
−Ｒ_b1×ｓｉｎ〔｛（Ｒ_b＋Ｒ_b1）／Ｒ_b1｝×θ₃₀〕 式（４２）
Ｘ₄₀＝（Ｒ_b−Ｒ_b2）ｃｏｓθ₄₀
＋Ｒ_b2×ｃｏｓ〔｛（Ｒ_b2−Ｒ_b）／Ｒ_b2｝×θ₄₀〕 式（４３）
Ｙ₄₀＝（Ｒ_b−Ｒ_b2）ｓｉｎθ₄₀
＋Ｒ_b2×ｓｉｎ〔｛（Ｒ_b2−Ｒ_b）／Ｒ_b2｝×θ₄₀〕 式（４４）
Ｒ_b＝（ｎ＋１）×（Ｒ_b1＋Ｒ_b2） 式（４５）
ここで、アウターロータ２０の中心Ｏ₂を通る直線をＸ軸、Ｘ軸と直交しアウターロー
タ２０の中心Ｏ₂を通る直線をＹ軸とし、式（４１）から（４５）において、θ₃₀は外転
円の中心とアウターロータ２０の中心Ｏ₂とを通る直線がＸ軸となす角度、θ₄₀は内転円
の中心とアウターロータ２０の中心Ｏ₂とを通る直線がＸ軸となす角度、（Ｘ₃₀、Ｙ₃₀）
は外転円によるサイクロイド曲線の座標、（Ｘ₄₀、Ｙ₄₀）は内転円によるサイクロイド曲線の座標である。

そして、この歯溝円Ｂ₁の半径Ｒ_b＋２Ｒ_b1と歯先円Ｂ₂の半径Ｒ_b−２Ｒ_b2との間の距離を維持しつつ、周方向へ所定の変形率で変形することにより、変形された歯形形状Ｕ_Cを
得ることができる。図６では、基礎円半径Ｒ_bの外側、すなわち歯溝形状Ｕ’_3Cが変形さ
れる場合は第３の変形率δ₃＝θ_3C／θ’_3Cで変形され、基礎円半径Ｒ_bの内側、すなわち歯先形状Ｕ’_4Cが変形される場合は第４の変形率δ₄＝θ_4C／θ’_4Cで変形される。なお
、この角度θ_3Cなどの定義については、インナーロータの場合と同様である。かかる周方向への変形により、変形された歯形形状Ｕ_C（歯溝形状Ｕ_3C及び歯先形状Ｕ_4C）が得られ
る。なお、この周方向への変形前後のアウターロータの歯数を夫々（ｎ’＋１）及び（ｎ＋１）とすると、（ｎ’＋１）×（θ’_3C＋θ’_4C）＝（ｎ＋１）×（θ_3C＋θ_4C）という関係式が成立する。

ここで、歯形形状Ｕ’_Cから歯形形状Ｕ_Cを得るための変換式は、インナーロータにおいて説明したとおり、この変形率δ₃或いはδ₄を用いることにより簡単に表すことができる。例えば、歯溝形状については、周方向への変形前の歯溝形状Ｕ’_3Cは上記のサイクロイド曲線（Ｘ₃₀、Ｙ₃₀）であり、周方向への変形後の歯溝形状Ｕ_3Cの座標（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）は、以下の式（４６）から（４９）のように表すことができる。
Ｒ₃₁＝（Ｘ₃₀ ²＋Ｙ₃₀ ²）^1/2 式（４６）
θ₃₁＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₃₀／Ｒ₃₁） 式（４７）
Ｘ₃₁＝Ｒ₃₁×ｃｏｓ（θ₃₁×δ₃） 式（４８）
Ｙ₃₁＝Ｒ₃₁×ｓｉｎ（θ₃₁×δ₃） 式（４９）
ここで、Ｒ₃₁はアウターロータの中心Ｏ₂から座標（Ｘ₃₀、Ｙ₃₀）までの距離、θ₃₁は
アウターロータの中心Ｏ₂と座標（Ｘ₃₀、Ｙ₃₀）とを通る直線がＸ軸となす角度である。

周方向への変形後の歯先形状Ｕ_4Cの座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）についても、周方向への変形前の歯先形状Ｕ’_4Cである上記のサイクロイド曲線（Ｘ₄₀、Ｙ₄₀）から、変形率δ₄を用い
ることにより、同様にして簡単に求めることができるので、ここでは省略する。

次に、この周方向に変形された歯形形状Ｕ_Cに対して、図７に示すような径方向への変
形を行なう。まず、Ｒ_b＋２Ｒ_b1＞Ｒ_D3≧Ｒ_b≧Ｒ_D4＞Ｒ_b−２Ｒ_b2を満たす半径Ｒ_D3の円
Ｄ₃の外側（歯溝側）では、図７（ａ）に示すように、以下の式（９）から（１２）で表
される座標（Ｘ₃₂、Ｙ₃₂）により形成される曲線を変形後の歯溝形状とする。

Ｒ₃₂＝（Ｘ₃₁ ²＋Ｙ₃₁ ²）^1/2 式（９）
θ₃₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₃₁／Ｒ₃₂） 式（１０）
Ｘ₃₂＝｛（Ｒ₃₂−Ｒ_D3）×β₃₀＋Ｒ_D3｝×ｃｏｓθ₃₂ 式（１１）
Ｙ₃₂＝｛（Ｒ₃₂−Ｒ_D3）×β₃₀＋Ｒ_D3｝×ｓｉｎθ₃₂ 式（１２）
ここで、（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）は径方向への変形前の歯溝形状Ｕ_3Cの座標、（Ｘ₃₂、Ｙ₃₂）は径方向への変形後の歯溝形状Ｕ_3outの座標、Ｒ₃₂はアウターロータの中心Ｏ₂から座標（
Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）までの距離、θ₃₂はアウターロータの中心Ｏ₂と座標（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）とを通
る直線がＸ軸となす角度、β₃₀は変形の為の修正係数である。

また、Ｒ_b＋２Ｒ_b1＞Ｒ_D3≧Ｒ_b≧Ｒ_D4＞Ｒ_b−２Ｒ_b2を満たす半径Ｒ_D4の円Ｄ₄の内側（歯先側）では、図７（ｂ）に示すように、以下の式（１３）から（１６）で表される座標（Ｘ₄₂、Ｙ₄₂）により形成される曲線を変形後の歯先形状とする。

Ｒ₄₂＝（Ｘ₄₁ ²＋Ｙ₄₁ ²）^1/2 式（１３）
θ₄₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₄₁／Ｒ₄₂） 式（１４）
Ｘ₄₂＝｛Ｒ_D4−（Ｒ_D4−Ｒ₄₂）×β₄₀｝×ｃｏｓθ₄₂ 式（１５）
Ｙ₄₂＝｛Ｒ_D4−（Ｒ_D4−Ｒ₄₂）×β₄₀｝×ｓｉｎθ₄₂ 式（１６）
ここで、（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）は径方向への変形前の歯先形状Ｕ_4Cの座標、（Ｘ₄₂、Ｙ₄₂）は径方向への変形後の歯先形状Ｕ_4outの座標、Ｒ₄₂はアウターロータの中心Ｏ₂から座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）までの距離、θ₄₂はアウターロータの中心Ｏ₂と座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）とを通
る直線がＸ軸となす角度、β₄₀は変形の為の修正係数である。

なお、このアウターロータ２０は上記インナーロータ１０と式（１７）から（２１）の関係を満たしている。
Ｒ_a＝ｎ×（Ｒ_a1×γ₁＋Ｒ_a2×γ₂） 式（１７）
Ｒ_b＝（ｎ＋１）×（Ｒ_b1×δ₃＋Ｒ_b2×δ₄） 式（１８）
Ｒ_b＝Ｒ_a＋Ｒ_a1＋Ｒ_a2＋Ｈ１ 式（１９）
Ｒ_b2＝Ｒ_a2＋Ｈ２ 式（２０）
ｅ₁₀＝Ｒ_a1＋Ｒ_a2＋Ｈ３ 式（２１）
ここで、ｅ₁₀はインナーロータの中心Ｏ₁とアウターロータの中心Ｏ₂との距離（偏心量）、Ｈ１、Ｈ２、Ｈ３はアウターロータがクリアランスをもって回動するための補正値である。

すなわち、図７（ａ）に示す径方向への変形により歯溝形状Ｕ_3Cから歯溝形状Ｕ_3outが得られ、図７（ｂ）に示す径方向への変形により歯先形状Ｕ_4Cから歯先形状Ｕ_4outが得られる。このようにサイクロイド曲線によって構成された歯形形状Ｕ’に対して、上述した周方向への変形及び径方向への変形を行うことにより、変形されたサイクロイド曲線によって構成されたアウターロータの歯形形状Ｕ_out（歯溝形状Ｕ_3out及び歯先形状Ｕ_4out）
を得ることができ、図３に示すアウターロータ２０の内歯形状を形成することができる。

なお、このインナーロータ１０、アウターロータ２０の形成についても、図１及び図２における説明で述べた種々の条件及び変更が適用可能である。

〔他の数学曲線によって構成された歯形形状の場合〕
本発明における数学曲線としては、もちろんサイクロイド曲線に限られるものではない。これ以外にも、前記数学曲線として、例えば、トロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線、又は、歯先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧によって形成された円弧曲線を用いることができる。

そして、これらトロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線、又は、歯先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧により形成された円弧曲線によって構成された歯形形状に対して、上記図１及び図２で説明したような周方向への変形及び径方向への変形を施すことにより、本発明における歯形形状を得ることができる。その際、図１及び図２における説明で述べた種々の条件及び変更が適用可能である。

なお、図８及び図９に、上記周方向への変形及び径方向への変形を施す前の歯形形状、すなわち数学曲線によって構成された歯形形状を示しておく。図８（ａ）には、トロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線によって構成された変形前のインナーロータの歯形形状（外歯形状）が、図８（ｂ）には、変形前の前記インナーロータと噛み合うアウターロータの歯形形状（内歯形状）が示されている。

図８（ａ）において、変形前のインナーロータの歯形形状Ｕ’_Tinを構成する周知のト
ロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線の座標は、以下の式（５１）から（５６）で表される。なお、この図８（ａ）において、歯先円Ａ₁及び歯溝円Ａ₂の半径が、夫々Ｒ_A1及びＲ_A2で示されている。

Ｘ₁₀₀＝（Ｒ_H＋Ｒ_I）×ｃｏｓθ₁₀₀−ｅ_K×ｃｏｓθ₁₀₁ 式（５１）
Ｙ₁₀₀＝（Ｒ_H＋Ｒ_I）×ｓｉｎθ₁₀₀−ｅ_K×ｓｉｎθ₁₀₁ 式（５２）
θ₁₀₁＝（ｎ＋１）×θ₁₀₀ 式（５３）
Ｒ_H＝ｎ×Ｒ_I 式（５４）
Ｘ₁₀₁＝Ｘ₁₀₀±Ｒ_J／｛１＋（ｄＸ₁₀₀／ｄＹ₁₀₀）²｝^1/2 式（５５）
Ｙ₁₀₁＝Ｙ₁₀₀±Ｒ_J／｛１＋（ｄＹ₁₀₀／ｄＸ₁₀₀）²｝^1/2 式（５６）
ここで、インナーロータの中心Ｏ₁を通る直線をＸ軸、Ｘ軸と直交しインナーロータの
中心Ｏ₁を通る直線をＹ軸とし、式（５１）から（５６）において、（Ｘ₁₀₀，Ｙ₁₀₀）は
トロコイド曲線Ｔ上の座標、Ｒ_Hはトロコイド基礎円の半径、Ｒ_Iはトロコイド創成転円の半径、ｅ_Kはトロコイド創成転円の中心Ｏ_Tとトロコイド曲線Ｔを創成する点との距離、θ₁₀₀はトロコイド創成転円の中心Ｏ_Tとインナーロータの中心Ｏ₁とを通る直線がＸ軸とな
す角度、θ₁₀₁はトロコイド創成転円の中心Ｏ_Tとトロコイド曲線Ｔを創成する点とを通る直線がＸ軸となす角度、（Ｘ₁₀₁，Ｙ₁₀₁）は包絡線上の座標、Ｒ_Jは包絡線を形成する円
弧Ｃ_Eの半径である。

また、図８（ｂ）に示す、変形前のアウターロータの歯形形状Ｕ’_Toutを構成する円弧曲線は、以下の式（５７）から（６０）で表される。なお、この図８（ｂ）において、歯溝円Ｂ₁及び歯先円Ｂ₂の半径が、夫々Ｒ_B1及びＲ_B2で示されている。

（Ｘ₂₀₀−Ｘ₂₁₀）²＋（Ｙ₂₀₀−Ｙ₂₁₀）²＝Ｒ_J ² 式（５７）
Ｘ₂₁₀ ²＋Ｙ₂₁₀ ²＝Ｒ_L ² 式（５８）
Ｘ₂₂₀ ²＋Ｙ₂₂₀ ²＝Ｒ_B1 ² 式（５９）
Ｒ_B1＝（３×Ｒ_A1−Ｒ_A2）／２＋ｇ₁₀ 式（６０）
ここで、アウターロータの中心Ｏ₂を通る直線をＸ軸、Ｘ軸と直交し、アウターロータ
の中心Ｏ₂を通る直線をＹ軸とし、式（５７）から（６０）において、（Ｘ₂₀₀、Ｙ₂₀₀）
は歯先部を形成する円弧の座標、（Ｘ₂₁₀、Ｙ₂₁₀）はその円弧が歯先部を形成する円の中心の座標、（Ｘ₂₂₀、Ｙ₂₂₀）は歯溝部を形成する歯溝円Ｂ₁の円弧の座標、Ｒ_Lはアウターロータの中心Ｏ₂とその円弧が歯先部を形成する円の中心との距離、Ｒ_B1は歯溝部を形成
する歯溝円Ｂ₁の半径、ｇ₁₀はアウターロータがクリアランスをもって回動するための補
正値である。

次に、図９（ａ）には、歯先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧により形成された円弧曲線によって構成された変形前のインナーロータの歯形形状（外歯形状）が、図９（ｂ）には、変形前の前記インナーロータと噛み合うアウターロータの歯形形状（内歯形状）が示されている。

図９（ａ）において、変形前のインナーロータの歯形形状Ｕ’_Sinを構成する周知の歯
先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧によって表される円弧曲線の座標は、以下の式（７１）から（７６）で表される。なお、この図９（ａ）において、歯先円Ａ₁及び歯溝
円Ａ₂の半径が、夫々Ｒ_A1及びＲ_A2で示されている。

（Ｘ₅₀−Ｘ₆₀）²＋（Ｙ₅₀−Ｙ₆₀）²＝（ｒ₅₀＋ｒ₆₀）² 式（７１）
Ｘ₆₀＝（Ｒ_A2＋ｒ₆₀）×ｃｏｓθ₆₀ 式（７２）
Ｙ₆₀＝（Ｒ_A2＋ｒ₆₀）×ｓｉｎθ₆₀ 式（７３）
Ｘ₅₀＝Ｒ_A1−ｒ₅₀ 式（７４）
Ｙ₅₀＝０ 式（７５）
θ₆₀＝π／ｎ 式（７６）
ここで、インナーロータの中心Ｏ₁を通る直線をＸ軸、Ｘ軸と直交し、インナーロータ
の中心Ｏ₁を通る直線をＹ軸とし、（Ｘ₅₀、Ｙ₅₀）は歯先部を形成する円弧の中心の座標
、（Ｘ₆₀、Ｙ₆₀）は歯溝部を形成する円弧の中心の座標、ｒ₅₀は歯先部を形成する円弧の半径、ｒ₆₀は歯溝部を形成する円弧の半径、θ₆₀は歯先部を形成する円弧の中心とインナーロータの中心Ｏ₁とを通る直線と、歯溝部を形成する円弧の中心とインナーロータの中
心Ｏ₁とを通る直線とがなす角度である。

また、図９（ｂ）に示す、変形前のアウターロータの歯形形状Ｕ’_Soutを構成する円弧曲線は、以下の式（７７）から（８２）で表される。なお、この図９（ｂ）において、歯溝円Ｂ₁及び歯先円Ｂ₂の半径が、夫々Ｒ_B1及びＲ_B2で示されている。

（Ｘ₇₀−Ｘ₈₀）²＋（Ｙ₇₀−Ｙ₈₀）²＝（ｒ₇₀＋ｒ₈₀）² 式（７７）
Ｘ₈₀＝（Ｒ_B2＋ｒ₈₀）×ｃｏｓθ₈₀ 式（７８）
Ｙ₈₀＝（Ｒ_B2＋ｒ₈₀）×ｓｉｎθ₈₀ 式（７９）
Ｘ₇₀＝Ｒ_B1−ｒ₇₀ 式（８０）
Ｙ₇₀＝０ 式（８１）
θ₈₀＝π／（ｎ＋１） 式（８２）
ここで、アウターロータの中心Ｏ₂を通る直線をＸ軸、Ｘ軸と直交し、アウターロータ
の中心Ｏ₂を通る直線をＹ軸とし、（Ｘ₇₀、Ｙ₇₀）は歯溝部を形成する円弧の中心の座標
、（Ｘ₈₀、Ｙ₈₀）は歯先部を形成する円弧の中心の座標、ｒ₇₀は歯溝部を形成する円弧の半径、ｒ₈₀は歯先部を形成する円弧の半径、θ₈₀は歯先部を形成する円弧の中心とアウターロータの中心Ｏ₂とを通る直線と、歯溝部を形成する円弧の中心とアウターロータの中
心Ｏ₂とを通る直線とがなす角度である。

〔径方向への第二の変形がなされた歯形形状の場合〕
これまで説明したような実施の形態により得られるインナーロータの歯先部の歯形形状に対して、径方向へ更に第二の変形がなされていることも、本発明の好適な実施形態の一つである。以下では、図１０及び図１１を参照して径方向への第二の変形について説明する。

図１０は、第二の変形を行うための基準点の決定方法の説明図である。この図に示されたオイルポンプロータは、数学曲線によって構成された歯形形状に対する、歯先円Ａ₁の
半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への変形と、
径方向への変形とにより形成されている。このインナーロータ１０及びアウターロータ２０の歯形形状に基づき、これらが噛み合う領域が求められる。例えば図１０に示すようなオイルポンプの例では、歯溝側噛合点ｂと歯先側噛合点ａとを結ぶ曲線が、インナーロータ１０及びアウターロータ２０が噛み合う領域となる。つまり、インナーロータ１０が回転したとき、一の外歯１１ａにおいては歯溝側噛合点ｂでインナーロータ１０とアウターロータ２０とが噛み合い始める（図１０（ａ））。その後、噛合点は徐々に外歯１１ａの歯先側へとスライドしていき、最終的には歯先側噛合点ａでインナーロータ１０とアウターロータ２０とが噛み合わなくなる（図１０（ｂ））。
なお、図１０ではインナーロータ１０に形成されている外歯１１のうち、一の外歯１１ａの歯先部についてのみ歯先側噛合点ａ及び歯溝側噛合点ｂを示し、他の歯については省略しているが、もちろん全ての歯に対して同様の歯先側噛合点ａ及び歯溝側噛合点ｂが決まる。

図１１は、径方向への第二の変形を説明するための説明図である。図１１には、数学曲線によって構成された歯形形状のうち歯先形状が周方向に変形された歯形形状Ｕが破線で、更にそれが径方向に変形（以下、説明の便宜上、第一の変形とする。）された歯形形状Ｕ_inが実線で示されている。歯形形状Ｕ及び歯形形状Ｕ_inへの変形については、図１及び図２を参照して既に説明した通りである。図１１には更に、インナーロータの歯先側噛合点ａを通る半径Ｒαの円Ｃαが示されている。

径方向への第二の変形では、円Ｃαを基準円として、第一の変形後の歯形形状Ｕ_inのうち基準円Ｃαの外側の歯先部を変形率εで変形する。ここで、変形率εは０＜ε＜１を満たす定数であり、第二の変形は常に径方向内側への変形となる。かかる径方向への第二の変形により、図１１に太実線で示すような変形された歯形形状Ｕ_in2が得られる。このよ
うにして得られるインナーロータの、歯先側噛合点ａ通る基準円Ｃαの外側の歯先部の歯形形状Ｕ_in2は、式（８３）から（８６）で形成される曲線を歯形形状とするものである
。

Ｒ₄₀₀＝（Ｘ₃₀₀ ²＋Ｙ₃₀₀ ²）^1/2 式（８３）
θ₄₀₀＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₃₀₀／Ｒ₄₀₀） 式（８４）
Ｘ₄₀₀＝｛（Ｒ₄₀₀−Ｒα）×ε＋Ｒα｝×ｃｏｓθ₄₀₀ 式（８５）
Ｙ₄₀₀＝｛（Ｒ₄₀₀−Ｒα）×ε＋Ｒα｝×ｓｉｎθ₄₀₀ 式（８６）
ここで、（Ｘ₃₀₀、Ｙ₃₀₀）は径方向への第一の変形後の歯先形状Ｕ_inの座標、（Ｘ₄₀₀
、Ｙ₄₀₀）は径方向への第二の変形後の歯先形状Ｕ_in2の座標、Ｒ₄₀₀はインナーロータの
中心Ｏ₁から座標（Ｘ₃₀₀、Ｙ₃₀₀）までの距離、θ₄₀₀はインナーロータの中心Ｏ₁と座標
（Ｘ₃₀₀、Ｙ₃₀₀）とを通る直線がＸ軸となす角度である。

なお、図１１ではインナーロータに形成されている外歯のうち、一の歯先部のみを示し、他の歯については省略しているが、もちろん全ての歯に対して同様の変形が行われる。

図１２は、インナーロータの回転に伴うチップクリアランスの変動の様子を示すグラフである。本例では、一例として、サイクロイド曲線を周方向及び径方向に変形した後、更にインナーロータの歯先側噛合点ａを通る基準円Ｃαの外側の歯先部を変形率ε＝０．５で変形した場合のデータを示している。なお、このグラフにおいてインナーロータの回転角度は、互いに偏心したインナーロータの軸心Ｏ₁とアウターロータの軸心Ｏ₂とを結ぶ直線上に、インナーロータの歯溝部とアウターロータの歯溝部がともに並んだ位置を基準としている。

これによれば、径方向への第二の変形前の歯形形状のものでは、インナーロータの回転角度が０度の時にチップクリアランスが最大となり、半歯分回転した時に最小となるように、インナーロータの回転に伴って三角関数的に変動している。一方、第二の変形後の歯形形状のものでは、インナーロータの回転角度によらずチップクリアランスは一定である。したがって、径方向への第二の変形を行ったものでは、インナーロータ１０及びアウターロータ２０の歯先部間でのオイルの漏れ量が安定するため、オイルポンプから吐出されるオイルの脈動をより一層低く抑えることが可能となる。

〔周方向への圧縮変形の場合〕
上記の各構成においては、数学曲線によって構成された歯形形状に対する、周方向への変形と径方向への変形とによりインナーロータの外歯形状が形成されているが、径方向への変形を省略し、周方向への圧縮変形を施してインナーロータの外歯形状を形成するようにしても良い。上記のように周方向への変形と径方向への変形とを施すことにより、ロータを大型化することなく（大型化を抑制して）吐出量を増加させることができ、さらに歯数を増やして脈動の小さい低騒音なオイルポンプロータを提供することができるが、このように周方向への圧縮変形のみとしても、ロータの径が保たれたまま吐出量を増加させることができ、さらに歯数を増やして脈動の小さい低騒音なオイルポンプロータを提供することができる。

このとき、歯先形状及び歯溝形状を同一の変形率（図１でγ₁＝γ₂）で変形するような構成としても良い。また、アウターロータについても同様の変形を施すことができるのはもちろんである。

〔アウターロータの歯形形状の別実施形態〕
上述した実施の形態のように、数学曲線によって構成された歯形形状に対する種々の変形、すなわち、歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への変形と径方向への変形、又は、当該周方向への圧縮変形を施した外歯形状を有するインナーロータと好適に噛み合うアウターロータについては、インナーロータの変形と合わせて同様の変形をアウターロータに施すことにより形成することもできるが、以下に説明する別実施形態のように形成することもできる。これは任意のインナーロータに適用可能であり、図１３を用いて、この別実施形態について詳細に説明する。

図１３（ａ）に示すように、まず、インナーロータ１０の中心Ｏ₁を通る直線をＸ軸、
Ｘ軸と直交しインナーロータ１０の中心Ｏ₁を通る直線をＹ軸、インナーロータ１０の中
心Ｏ₁を原点とする。また、インナーロータ１０の中心Ｏ₁から所定距離ｅ離間した位置として座標（ｅ，０）をとり、この座標（ｅ，０）を中心とした半径ｅの円を円Ｆとする。

まず、インナーロータ１０の中心Ｏ₁をこの円Ｆの円周上に沿って角速度ωで時計周り
に公転させると共に、反時計周りに角速度ω／ｎ（ｎはインナーロータの歯数）で自転させると図１３（ａ）に示すように、包絡線Ｚ₀を形成することができる。なお、図１３に
おいては、円Ｆの中心（ｅ，０）から公転開始時のインナーロータ１０の中心Ｏ₁を見た
角度、すなわちＸ軸の負方向を公転角度０方向として、時計周りの回転に対して値が増加するように公転角度をとっている。

ここで、この包絡線Ｚ₀について、少なくとも、包絡線Ｚ₀と公転角度０方向の軸との交差部分近傍を外径方向に変形すると共に、包絡線Ｚ₀と公転角度θ₂（＝π／（ｎ＋１））方向の軸との交差部分近傍を、公転角度０方向の軸との交差部分近傍における外径方向の変形よりも小さく、若しくは等しく外径方向に変形した曲線を得るため、以下のような操作を行なう。

上述したようにインナーロータ１０の中心Ｏ₁を円Ｆの円周上に沿って自転させながら
公転させるとき、公転角度０以上θ₁以下の間は、インナーロータ１０の歯先形状を拡張
修正係数β₁で外径方向に変形し、公転角度θ₁以上２πの間は、インナーロータ１０の歯先形状を拡張修正係数β₂で外径方向に変形させる。ただし、本実施形態では、拡張修正
係数β₂の値が拡張修正係数β₁の値よりも小さい場合を説明したが、拡張修正係数β₂の
値と拡張修正係数β₁の値とは、この関係にとらわれることなく任意に設定できる。

かかる操作により、図１３（ａ）に示すように、インナーロータ１０が点線Ｉ₀の位置
にあるときには、拡張修正係数β₁により外径方向に変形され、点線I₁の位置にあるとき
には、拡張修正係数β₂によりβ₁の場合より小さく外径方向に変形されるので、この場合に得られる包絡線Ｚ₁は、包絡線Ｚ₀と比べて、公転角度０方向の軸との交差部分近傍が外径方向に変形すると共に、公転角度θ₂方向の軸との交差部分近傍が公転角度０方向の軸
との交差部分近傍における外径方向の変形よりも小さく外径方向に変形した形状となる。なお、拡張修正係数β₂の値を拡張修正係数β₁の値と等しくした場合は、等しく外径方向に変形される。

次に、図１３（ｂ）に示すように、この包絡線Ｚ₁のうち、公転角度０以上θ₂以下の角度で定められる領域Ｗ（公転角度０方向の軸と公転角度θ₂方向の軸との間の領域）に含
まれる部分を部分包絡線ＰＺ₁として抽出する。

そして、抽出された部分包絡線ＰＺ₁を円Ｆの中心（ｅ，０）を基点として公転方向に
微小角度α回転すると共に、回転により領域Ｗ外に延出した箇所を切り取り、かつ、部分包絡線ＰＺ₁と公転角度０方向の軸との間に生じる隙間Ｇを接続して修正部分包絡線ＭＺ₁を形成する。なお、この実施形態では隙間Ｇを直線で接続しているが、直線に限らず曲線で接続しても良い。

さらに、この修正部分包絡線ＭＺ₁を公転角度０方向の軸に対して線対称に複写して部
分歯形ＰＴを形成し、この部分歯形ＰＴを円Ｆの中心（ｅ，０）を基点として、角度２π／（ｎ＋１）ずつ回転複写することにより、アウターロータ２０の歯形形状が形成される。

包絡線Ｚ₀を変形した上記の如く構成された包絡線Ｚ₁を用いてアウターロータを形成することにより、インナーロータ１０とアウターロータ２０の間の適正なクリアランスが確保される。また、部分包絡線ＰＺ₁を微小角度αで回転することにより、適正なバックラ
ッシュを得ることができる。これにより、変形したインナーロータ１０と円滑に噛み合い回転するアウターロータ２０を得ることができる。

〔その他の実施形態〕
上述した各実施の形態においては、数学曲線によって構成された歯形形状に対して、周方向への変形と径方向への変形、又は、周方向への圧縮変形を施して、オイルポンプロータにおけるインナーロータ１０（アウターロータ２０）の外歯形状（内歯形状）を形成したが、径方向への変形のみを施して、インナーロータ１０（アウターロータ２０）の外歯形状（内歯形状）を形成するようにしても良い。また、径方向への変形は、歯先側と歯溝側の両方に対する変形に限られず、歯先側又は歯溝側のいずれか一方を変形するようにしても良い。

本発明は、インナーロータとアウターロータとの間に形成されるセルの容積変化によって流体を吸入、吐出するオイルポンプロータに利用することができる。

Claims (7)

1. ｎ（ｎは自然数）枚の外歯が形成されたインナーロータと、
   前記外歯と噛み合うｎ＋１枚の内歯が形成されたアウターロータと、を備え、
   流体が吸入される吸入ポートおよび流体が吐出される吐出ポートが形成されたケーシングを有するとともに、両ロータが噛み合って回転するとき、前記両ロータの歯面間に形成されるセルの容積変化により流体を吸入、吐出することによって流体を搬送するオイルポンプ、に用いられるオイルポンプロータであって、
   前記インナーロータの外歯形状は、数学曲線によって構成された歯形形状に対する、歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への圧縮変形と、径方向への変形とにより形成され、周方向への圧縮変形によって前記数学曲線で構成された歯形形状に対して歯数を増加させていることを特徴とするオイルポンプロータ。
2. 前記数学曲線が、サイクロイド曲線、トロコイド曲線上に中心を有する円弧群の包絡線、又は、歯先部と歯溝部とが互いに接する二つの円弧によって形成された円弧曲線のいずれかであることを特徴とする請求項１に記載のオイルポンプロータ。
3. 前記周方向への変形は、Ｒ_A1＞Ｒ_C1＞Ｒ_A2を満たす半径Ｒ_C1の円Ｃ₁の外側が変形され
   る場合は第１の変形率γ₁で変形されると共に、前記円Ｃ₁の内側が変形される場合は第２の変形率γ₂で変形されるものであり、
   前記径方向への変形は、Ｒ_A1＞Ｒ_D1≧Ｒ_C1≧Ｒ_D2＞Ｒ_A2を満たす半径Ｒ_D1の円Ｄ₁の外
   側が変形される場合は、式（１）から（４）で形成される曲線を歯先形状とし、半径Ｒ_D2の円Ｄ₂の内側が変形される場合は、式（５）から（８）で形成される曲線を歯溝形状と
   するものであることを特徴とする請求項１に記載のオイルポンプロータ。
   Ｒ₁₂＝（Ｘ₁₁ ²＋Ｙ₁₁ ²）^1/2 式（１）
   θ₁₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₁₁／Ｒ₁₂） 式（２）
   Ｘ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｃｏｓθ₁₂ 式（３）
   Ｙ₁₂＝｛（Ｒ₁₂−Ｒ_D1）×β₁₀＋Ｒ_D1｝×ｓｉｎθ₁₂ 式（４）
   但し、
   （Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）は径方向への変形前の歯先形状の座標、
   （Ｘ₁₂、Ｙ₁₂）は径方向への変形後の歯先形状の座標、
   Ｒ₁₂はインナーロータの中心から座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）までの距離、
   θ₁₂はインナーロータの中心と座標（Ｘ₁₁、Ｙ₁₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
   β₁₀は変形の為の修正係数、
   である。
   Ｒ₂₂＝（Ｘ₂₁ ²＋Ｙ₂₁ ²）^1/2 式（５）
   θ₂₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₂₁／Ｒ₂₂） 式（６）
   Ｘ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｃｏｓθ₂₂ 式（７）
   Ｙ₂₂＝｛Ｒ_D2−（Ｒ_D2−Ｒ₂₂）×β₂₀｝×ｓｉｎθ₂₂ 式（８）
   但し、
   （Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）は径方向への変形前の歯溝形状の座標、
   （Ｘ₂₂、Ｙ₂₂）は径方向への変形後の歯溝形状の座標、
   Ｒ₂₂はインナーロータの中心から座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）までの距離、
   θ₂₂はインナーロータの中心と座標（Ｘ₂₁、Ｙ₂₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
   β₂₀は変形の為の修正係数、
   である。
4. 前記インナーロータの、前記アウターロータとの歯先側噛合点ａを通る基準円Ｃαの外側の歯先部が、０＜ε＜１を満たす変形率εで径方向へ変形されていることを特徴とする請求項１に記載のオイルポンプロータ。
5. 前記インナーロータの外歯形状は、基礎円半径をＲ_a、外転円半径をＲ_a1、内転円半径
   をＲ_a2とするサイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対して、前記サイクロイド曲線の基礎円を前記円Ｃ₁とした前記周方向への変形と前記径方向への変形とにより形成
   されており、
   前記インナーロータと噛み合う前記アウターロータの内歯形状は、基礎円半径をＲ_b、
   外転円半径をＲ_b1、内転円半径をＲ_b2とするサイクロイド曲線によって構成された歯形形状に対する、歯溝円Ｂ₁の半径Ｒ_B1と歯先円Ｂ₂の半径Ｒ_B2との間の距離を維持しつつ施された周方向への変形と、径方向への変形とにより形成されており、
   ここで、前記アウターロータの周方向への変形は、半径Ｒ_bの基礎円の外側が変形され
   る場合は第３の変形率δ₃で変形されると共に、半径Ｒ_bの基礎円の内側が変形される場合は第４の変形率δ₄で変形されるものであり、かつ、
   前記アウターロータの径方向への変形は、Ｒ_B1＞Ｒ_D3≧Ｒ_b≧Ｒ_D4＞Ｒ_B2を満たす半径
   Ｒ_D3の円Ｄ₃の外側が変形される場合は、式（９）から（１２）で形成される曲線を歯溝
   形状とし、半径Ｒ_D4の円Ｄ₄の内側が変形される場合は、式（１３）から（１６）で形成
   される曲線を歯先形状とするものであり、
   さらに、前記アウターロータは前記インナーロータと式（１７）から（２１）の関係を満たすことを特徴とする請求項３に記載のオイルポンプロータ。
   Ｒ₃₂＝（Ｘ₃₁ ²＋Ｙ₃₁ ²）^1/2 式（９）
   θ₃₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₃₁／Ｒ₃₂） 式（１０）
   Ｘ₃₂＝｛（Ｒ₃₂−Ｒ_D3）×β₃₀＋Ｒ_D3｝×ｃｏｓθ₃₂ 式（１１）
   Ｙ₃₂＝｛（Ｒ₃₂−Ｒ_D3）×β₃₀＋Ｒ_D3｝×ｓｉｎθ₃₂ 式（１２）
   但し、
   （Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）は径方向への変形前の歯溝形状の座標、
   （Ｘ₃₂、Ｙ₃₂）は径方向への変形後の歯溝形状の座標、
   Ｒ₃₂はアウターロータの中心から座標（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）までの距離、
   θ₃₂はアウターロータの中心と座標（Ｘ₃₁、Ｙ₃₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
   β₃₀は変形の為の修正係数、
   である。
   Ｒ₄₂＝（Ｘ₄₁ ²＋Ｙ₄₁ ²）^1/2 式（１３）
   θ₄₂＝ａｒｃｃｏｓ（Ｘ₄₁／Ｒ₄₂） 式（１４）
   Ｘ₄₂＝｛Ｒ_D4−（Ｒ_D4−Ｒ₄₂）×β₄₀｝×ｃｏｓθ₄₂ 式（１５）
   Ｙ₄₂＝｛Ｒ_D4−（Ｒ_D4−Ｒ₄₂）×β₄₀｝×ｓｉｎθ₄₂ 式（１６）
   但し、
   （Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）は径方向への変形前の歯先形状の座標、
   （Ｘ₄₂、Ｙ₄₂）は径方向への変形後の歯先形状の座標、
   Ｒ₄₂はアウターロータの中心から座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）までの距離、
   θ₄₂はアウターロータの中心と座標（Ｘ₄₁、Ｙ₄₁）とを通る直線がＸ軸となす角度、
   β₄₀は変形の為の修正係数、
   である。
   また、
   Ｒ_a＝ｎ×（Ｒ_a1×γ₁＋Ｒ_a2×γ₂） 式（１７）
   Ｒ_b＝（ｎ＋１）×（Ｒ_b1×δ₃＋Ｒ_b2×δ₄） 式（１８）
   Ｒ_b＝Ｒ_a＋Ｒ_a1＋Ｒ_a2＋Ｈ１ 式（１９）
   Ｒ_b2＝Ｒ_a2＋Ｈ２ 式（２０）
   ｅ₁₀＝Ｒ_a1＋Ｒ_a2＋Ｈ３ 式（２１）
   但し、
   ｅ₁₀はインナーロータの中心とアウターロータの中心との距離（偏心量）、
   Ｈ１、Ｈ２、Ｈ３はアウターロータがクリアランスをもって回動するための補正値、
   である。
6. ｎ（ｎは自然数）枚の外歯が形成されたインナーロータと、
   前記外歯と噛み合うｎ＋１枚の内歯が形成されたアウターロータと、を備え、
   流体が吸入される吸入ポートおよび流体が吐出される吐出ポートが形成されたケーシングとを有するとともに、両ロータが噛み合って回転するとき、前記両ロータの歯面間に形成されるセルの容積変化により流体を吸入、吐出することによって流体を搬送するオイルポンプ、に用いられるオイルポンプロータであって、
   前記インナーロータの外歯形状は、数学曲線によって構成された歯形形状に対する、歯先円Ａ₁の半径Ｒ_A1と歯溝円Ａ₂の半径Ｒ_A2との間の距離を維持しつつ施された周方向への圧縮変形により、前記数学曲線によって構成された歯形形状に対して歯数が増加形成されていることを特徴とするオイルポンプロータ。
7. 前記インナーロータと噛み合う前記アウターロータは、
   前記インナーロータを、その中心から所定距離ｅ離間した位置を中心とした前記所定距離と同一の半径ｅの円Ｆの円周上を角速度ωで公転させると共に、公転方向とは逆の回転方向に前記公転の角速度ωの１／ｎ倍の角速度ω／ｎで自転させて形成される包絡線について、
   前記円Ｆの中心から公転開始時の前記インナーロータの中心を見た角度を公転角度０方向として、少なくとも、前記包絡線と前記公転角度０方向の軸との交差部分近傍を外径方向に変形すると共に、前記包絡線と前記インナーロータの公転角度π／（ｎ＋１）方向の軸との交差部分近傍を外径方向に変形し、かつ、
   公転角度０以上π／（ｎ＋１）以下で定められる領域に含まれる部分を部分包絡線として抽出し、
   前記部分包絡線を前記円Ｆの中心を基点として公転方向に微小角度α回転すると共に、前記領域外に延出した箇所を切り取り、かつ、前記部分包絡線と前記公転角度０方向の軸との間に生じる隙間を接続して修正部分包絡線を形成し、
   前記修正部分包絡線を前記公転角度０方向の軸に対して線対称に複写して部分歯形を形成し、
   さらに、前記部分歯形を前記円Ｆの中心を基点として、角度２π／（ｎ＋１）ずつ回転複写して形成される歯形形状を有することを特徴とする請求項１又は６に記載のオイルポンプロータ。

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