JP5076248B2 - 変換器、変換方法、プログラム、及び、記録媒体 - Google Patents

Description

本発明は、変換器、変換方法、プログラム、及び、記録媒体に関し、特にデジタル信号とアナログ信号間の変換を行う変換器等に関する。

近年のデジタル信号処理の普及に伴い、Ａ／Ｄ（Ｄ／Ａ）変換処理は、音声処理、画像処理、通信などの種々の分野で行われる。この変換処理の精度は、音声処理等の処理結果に影響を与えるため、より高いレベルが要求され続けている。例えば、精度がよいと言われる手法の一つにＰＣＭ（pulse-code modulation）というものがある。しかし、このＰＣＭはＡ／Ｄ変換器における回路素子の安定性の点で不十分であるという問題がある。動作の安定性がよいとされる方式として、ΣΔ(シグマデルタ)方式がある（非特許文献１〜７参照）。そして、これらを踏まえたβ変換という技術もある（特許文献８〜９参照）。

ここで、β変換について説明する。γ＝１／β（但し、１＜β＜２）とおくと、ｘ∈（０，１）はｂ_ｉ∈{０，１}を用いて（１）式で表現される。ただし、ｕ_１＝βｙ，ｂ_１＝Ｑ_ν（ｕ_１）であり、ｕ_ｉ＋１＝β（ｕ_ｉ−ｂ_ｉ），ｂ_ｉ＋１＝Ｑ_ν（ｕ_ｉ＋１）である。ここで、Ｑ_ν（ｚ）は量子化器であり、ν∈［１，（β−１）^−１］を満たす閾値νに対して、ｚ＜νのとき０、ｚ≧νのとき１である。

図８は、β変換器の構造を説明する図である。なお、ｚ_０＝ｙ∈［０，１）、ｉ＞０のときｚ_ｉ＝０であり、また、ｕ_０＝ｂ_０＝０とする。β変換器では、ν＝１のときは「greedy」であり、ν＝（β−１）^−１のときは「lazy」である。

上記において、α＝ν−１とおくと、β変換は、Dajani等が提案した（β，α）展開を行っていると言える（非特許文献１０参照）。β∈（１，２）のときの（β，α）展開のマップＮ_β，αは、ｘ∈［０，（α＋１）／β）のときβｘ、ｘ∈［（α＋１）／β，１／（β−１））のときβｘ−１となる。

図９（ａ）は（β，α）展開のマップを示したグラフであり、図９（ｂ）はν＝１のときの「greedy」マップを示したグラフであり、図９（ｃ）はν＝（β−１）^−１のときの「lazy」マップを示したグラフである。

Inose, H., and Yasuda, Y.,"A unity bitcoding method by negative feedback,"Proceedings of the IEEE, vol.51, no.11, pp1524-1535,Nov.1963 J.Candy"A Use ofLimit Cycle Oscillation to Obtain Robust Analog-to-Digital Converters,"Communcations,,IEEE Transactions on [legacy, pre -1988],vol.22, no.3, pp298-305, Mar. 1974 Strphen H. lewis, and paul R. gray, "A pipelined 5-Msample/s 9-bitanalog-to-digital converter,"Solid-State Circuits, IEEE Journal of, vol.22,no.6, pp954-961, Dec 1987 Robert M. Gray "Oversampled Sigma-DeltaModulation,"Communications,IEEE transactions on[legacy,pre-1988],vol.35,no.5,pp481-489,May 1987 Robert M. Gray "Spectral Analysis ofQuantization Noise ina Single-Loop Sigma-Delta Modulator with dc Input,"IEEETransactions on communications, vol.37,no.6,pp588-599,Jun. 1989 C.Gunturk,"On the robustness of sigle-loopsigma-delta modulation"IEEE Transactions on Information Theory Vol.47, no.5,pp1734-1744,2001 C.Gunturk,"One-Bit Sigma-Delta Quantizationwith Exponential Accuracy,"Commun. Pure AppliedMath.,vol.56,no.11,pp1608-1630,2003 I. Daubechies, R. Devore, C.Gunturk, and V. Vaishampayan,"A/D Conversion With Imperfrct Quantizers," IEEE Transcations onInformation Theory, vol.52,no.3,pp.874-885,Mar.2006 I.Daubechies, and O. Yilmaz, "Robust andPractical Analog-to-Digital Conversion With Exponetial Precision,"IEEE Transactionson information Theory, vol.52,no.8,pp.3533-3545,Aug.2006 K.Dajani,C.Kraaikamp,"From greedy to lazyexpansions and their driving dynamics,"Expo.Math,2002

しかしながら、β変換は上記のように数学的には研究されてきたが、Ａ／Ｄ（Ｄ／Ａ）変換処理に適用する上での研究は不十分であった。特に、変換器に要求される高精度且つ回路素子の不安定性をカバーするための開発の可能性が残されている状況であった。

ゆえに、本発明は、マルコフ連鎖とβ変換との関係に着目し、高精度且つ回路素子の不安定性をカバーする変換器等を提供することを目的とする。

請求項１に係る発明は、Ｌビットの数ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求める変換器であって、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘ_Ｄを(eq1)式により求める復号手段を備える変換器である。

請求項２に係る発明は、請求項１記載の変換器であって、ｘ∈（０，１）とｙ＝１−ｘ∈（０，１）をβ変換したときのビット列をそれぞれＬビットの数ｂ_ｉ、ｃ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）とし、それぞれの復号値ｘ_Ｄ、ｙ_Ｄについてｘ_Ｄを(eq1)式で表しｙ_Ｄを(eq1)式におけるｂ_ｉをｃ_ｉに代えたもので表す場合において、γが(eq2)式により与えられる方程式Ｐ（γ）＝０の根であるものである。

請求項３に係る発明は、請求項１又は２記載の変換器であって、マルコフ遷移行列を、β／（β^２−１）≦ν＜β^２／（β^２−１）ならば(eq3)式と近似し、ν＜β／（β^２−１）ならば(eq4)式と近似し、β^２／（β^２−１）≦νならば(eq5)式と近似する行列推定手段を備えるものである。

請求項４に係る発明は、請求項１から３のいずれかに記載の変換器であって、(eq6)式により与えられるｎ_００、ｎ_０１、ｎ_１０及びｎ_１１に対して、β変換の２×２マルコフ遷移行列を(eq7)式により推定する行列推定手段を備えるものである。

請求項５に係る発明は、Ｌビットの数ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求めるデジタル信号とアナログ信号間の変換を行う変換方法であって、復号手段が、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘ_Ｄを(eq1)式により求めるステップを含むものである。

請求項６に係る発明は、コンピュータを、請求項１から４のいずれかに記載の変換器として機能させるためのプログラムである。

請求項７に係る発明は、請求項６記載のプログラムを記録する記録媒体である。

本発明により、β展開の区間解析による高精度で回路素子の不安定性をカバーするＤ／Ａ変換器等を提案することができた。

さらに、本発明につき、マルコフ連鎖としてのβ変換を解析した結果、第二固有値が負であり、greedy、lazyの固有値は他のマップに比べて大きく、greedy、lazyの固有値は同じであることが判明した。

本発明の実施の形態に係る変換器１のブロック図である。 図１の変換器の動作を説明するフロー図である。 β変換の不変部分空間を示す図である。 マルコフ遷移行列を近似したときの固有値の分布を示す図である。 Ｎ＝32、β＝1.77777に対し、ｘとνの変化による変換の最悪の精度を示す図である。 βの値を出力ビット列から復元する精度を、γ＝１／βという関係と（１１）式、（１２）式とによって求め、提案した方法とDaubechiesの方法とを比較した図である。 第二固有値の推定結果を示す図である。 β変換器の構造を説明する図である。 （ａ）は（β，α）展開のマップを示したグラフであり、（ｂ）はν＝１のときの「greedy」マップを示したグラフであり、（ｃ）はν＝（β−１）^−１のときの「lazy」マップを示したグラフである。

符号の説明

１ 変換器、３ 復号部、５ 行列推定部

図１は本発明の実施の形態に係る変換器１のブロック図である。図２は図１の変換器１の動作を説明するフロー図である。変換器１は、Ｌビットの数ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値ｘ_Ｄを求めるものである（図２のステップＳＴ１及びＳＴ３参照）。変換器１は、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘ_Ｄを（２）式により求める復号部３を備える（図２のステップＳＴ２参照）。ここで、従来の技術で説明した（１）式を用いる場合には区間の下限に注目しているのに対し、（２）式を用いる場合には区間の中央に注目している点が大きく異なっている。また、ｂ_ｉに基づいてマルコフ遷移行列を求める行列推定部５を備える。

このとき、変換器１の変換誤差は、以下に示すように、（３）式のようになる。

まず、区間Ｉ_ｉを（４）式のように定義する（ただし、ｂ_０＝０とする。）。

続いて、すべてのｉについてｘ∈Ｉ_ｉであることを示す。まず、ｘ∈（０，１）より、ｘ∈Ｉ_０＝（０、（β−１）^−１）である。

次に、ｘ∈Ｉ_ｉであると仮定する。（５）式で示されるｕ_ｉ＋１＜νであるとき、すなわち、ｂ_ｉ＋１＝０のとき、（６）式が成り立ち、ｘ∈Ｉ_ｉ＋１である。他方、ｕ_ｉ＋１≧νであるとき、すなわち、ｂ_ｉ＋１＝１のとき、（７）式が成り立ち、ｘ∈Ｉ_ｉ＋１である。よって、すべてのｉについてｘ∈Ｉ_ｉである。

そして、ｘ∈Ｉ_Ｌであり、（β−１）^−１＝Σ_i=1 ^∞γ^ｉと表現できることから、変換誤差は（８）式となる。

なお、DaubechiesらのＡ／Ｄ変換法によると、β＞１．５の場合に、Ｌビットでβ変換したときの誤差は（９）式のようになる。

続いて、βの特性方程式について説明する。

Daubechiesらを参考にして、ｘ∈（０，１）とｙ＝１−ｘ∈（０，１）をβ変換したときのビット列をそれぞれｂ_ｉ、ｃ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）とすると、それぞれの復号値ｘ_Ｄとｙ_Ｄは、（１０）式となる。

ｘ_Ｄ＋ｙ_Ｄ＝１より、γの推定値は、（１１）式により与えられるγの特性方程式Ｐ（γ）＝０の根である。

なお、Daubechiesらの特性方程式Ｐ_Dau（γ）＝０は、（１２）式で与えられる。

続いて、β変換により生成されたバイナリ値列のマルコフ連鎖について説明する。βと閾値νのβ変換により生成されたバイナリ値列をｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）とする。

ここで、Ｉ＝（β（ν−１），βν）により示されるβ変換の不変部分空間が存在することを示す。ｕ_ｉ＜ｕ_ｉ＋１＜…＜ｕ_{ｉ＋ｋ−１}＜β（ν−１）＜ｕ_ｉ＋ｋ及びｕ_ｉ＞ｕ_ｉ＋１＞…＞ｕ_{ｉ＋ｋ’−１}＜βν＜ｕ_ｉ＋ｋ’となる２つの整数ｋとｋ’が存在し、これよりｕ_ｉ∈（β（ν−１），βν）である。図３は、β変換の不変部分空間を示す図である。図３（ａ）はβ（ν−１）≦νλの場合を示す図であり、図３（ｂ）はν＜λβ（ν−１）の場合を示す図である。

β変換の不変部分空間は存在する。しかし、その部分区間をマルコフ分割することは困難である。そこで、ｂ_ｉを２状態マルコフ連鎖（１次マルコフ連鎖）と近似し、マルコフ遷移行列の固有値を分析する。

ＳとＴを、それぞれ（１３）式、（１４）式のように定義する。そして、図１の行列推定部５は、遷移行列を以下のように近似する。

β／（β^２−１）≦ν＜β^２／（β^２−１）ならば、遷移行列が（１５）式となるように近似する。Ｓ＞０、Ｔ＞０より、第二固有値λは（１６）式よりλ＜０となる。頻度分布は固有値１に対する固有ベクトル、すなわち（１７）式となる。

ν＜β／（β^２−１）ならば、遷移行列が（１８）式となるように近似する。第二固有値λはλ＝−Ｓ／（βＴ）＜０となる。

β^２／（β^２−１）≦νならば、遷移行列が（１９）式となるように近似する。第二固有値λはλ＝−Ｔ／（βＳ）＜０となる。

図４は、マルコフ遷移行列を近似したときの固有値の分布を示す図である。近似した遷移行列の第二固有値は負となる。

また、図１の行列推定部５は、ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）により、β変換の２×２マルコフ遷移行列を推定する。ｎ_００、ｎ_０１、ｎ_１０、ｎ_１１を（２０）式と定義すると、推定マルコフ遷移行列は（２１）式と表される。

以下では、提案したアルゴリズムによる変換について、Daubechiesの方法と比較する。評価のため、ｘと量子化閾値ν（cautious
parameter）の変化に対するｘと復号値ｘ_Ｄの最悪近似誤差を比較する。図５は、Ｎ＝32、β＝1.77777に対し、ｘとνの変化による変換の最悪の精度を示す図である。図５によれば、β＝1.77777のとき、提案したアルゴリズムの精度がDaubechesのアルゴリズムのものよりも優れていることが分かる。そして、提案したアルゴリズムにおいて、cautious schemeが他のschemeよりもより正確であることがわかる。

次に、図６は、βの値を出力ビット列から復元する精度を、γ＝１／βという関係と（１１）式、（１２）式とによって求め、提案した方法とDaubechiesの方法とを比較した図である。この図では、提案した方法のほうが、βの復元精度が高いことが示されている。

続いて、二状態マルコフ遷移行列の第二固有値の推定について説明する。β∈（１，２）とν∈［１，（β−１）−１］とｘ∈（０，（β−１）−１）に関するβ変換によりバイナリービット列ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）が出力され、ｂ_ｉは二状態マルコフ連鎖であるとする。このとき、（２１）式によりｂ_ｉから第二固有値を推定することができる。図７は、第二固有値の推定結果を示す図である。λ_Ｄは、Ｎ＝256、ｘ＝ν−π／１０という条件でｂ_ｉから推定された第二固有値である。この図より、ほとんどの第二固有値は負であることが示される。図７より、greedyとlazyのスキームによるほとんどのλ_Ｄは、cautiousスキームによる値よりも大きく、これらは同様の値をとることがわかる。

以上より、マルコフ連鎖としてのβ変換を解析した結果、第二固有値は負であり、greedy、lazyの固有値は他のマップに比べて大きく、greedy、lazyの固有値は同様の値をとる。

なお、閾値の推奨値としては、パラメータνの許容範囲である１から１／(β−１)の中間値に設定することが好ましい。その理由としては、従来はlazyよりもgreedyの場合が復元精度がよいとされていたが、ν＝（１＋１／（β−１））／２に設定すればlazyとgreedyの復元精度は同等に得られ、同精度の結果の観点及びロバスト性の観点からも良好の結果が得られているからである。

なお、本願発明のハードウエアとしての実現については、（２）式等を用いた点での相違はあるものの図８と同様な構成で可能である。

Claims (7)

1. Ｌビットの数ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求める変換器であって、
   γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘ_Ｄを(eq1)式により求める復号手段を備える変換器。
   
2. ｘ∈（０，１）とｙ＝１−ｘ∈（０，１）をβ変換したときのビット列をそれぞれＬビットの数ｂ_ｉ、ｃ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）とし、それぞれの復号値ｘ_Ｄ、ｙ_Ｄについてｘ_Ｄを(eq1)式で表しｙ_Ｄを(eq1)式におけるｂ_ｉをｃ_ｉに代えたもので表す場合において、γは(eq2)式により与えられる方程式Ｐ（γ）＝０の根である、請求項１記載の変換器。
   
3. マルコフ遷移行列を、β／（β^２−１）≦ν＜β^２／（β^２−１）ならば(eq3)式と近似し、ν＜β／（β^２−１）ならば(eq4)式と近似し、β^２／（β^２−１）≦νならば(eq5)式と近似する行列推定手段を備える、請求項１又は２記載の変換器。
   
4. (eq6)式により与えられるｎ_００、ｎ_０１、ｎ_１０及びｎ_１１に対して、β変換の２×２マルコフ遷移行列を(eq7)式により推定する行列推定手段を備える、請求項１から３のいずれかに記載の変換器。
   
5. Ｌビットの数ｂ_ｉ（ｉ＝１，…，Ｌ）に基づくサンプル値ｘの復号値を求めるデジタル信号とアナログ信号間の変換を行う変換方法であって、
   復号手段が、γ＝１／β（ただし、βは１＜β＜２）に対し復号値ｘ_Ｄを(eq8)式により求めるステップを含む変換方法。
   
6. コンピュータを、請求項１から４のいずれかに記載の変換器として機能させるためのプログラム。
7. 請求項６記載のプログラムを記録する記録媒体。