KR101109614B1 - 변환기, 변환방법, 프로그램 및 기록매체 - Google Patents

Abstract

본 발명은, 마르코프 연쇄와 β변환과의 관계에 착안하여 고정밀도이고 회로소자의 불안정성을 커버하는 변환기 등을 제공한다.

L비트의 수 b_i(i = 1, … , L)에 의거하는 샘플치(x)의 복호치를 구하는 변환기(1)로서, γ = 1/β(단 β는 1 < β < 2)에 있어서 복호치(xD)를 (eq1)식에 의하여 구하는 복호부(3)를 구비한다. 또한 변환기(1)는 b_i에 의거하여 마르코프 천이행렬을 구하는 행렬추정부(5)도 구비한다. 종래에는 구간의 하한에 주목하고 있는 것에 비하여, (eq1)식을 사용하는 복호부(3)는 구간의 중앙에 주목하고, 이 점이 크게 다르게 되어 있다.

Description

변환기, 변환방법, 프로그램 및 기록매체{CONVERTER, CONVERSION METHOD, PROGRAM, AND RECORDING MEDIUM}

본 발명은 변환기(變換器), 변환방법(變換方法), 프로그램(program) 및 기록매체(記錄媒體)에 관한 것으로서, 특히 디지털 신호(digital 信號)와 아날로그 신호(analog 信號) 사이의 변환을 하는 변환기 등에 관한 것이다.

최근에 있어서 디지털 신호처리(digital 信號處理)의 보급에 따라 A/D(D/A) 변환처리는 음성처리(音聲處理), 화상처리(畵像處理), 통신(通信) 등의 여러 가지 분야에서 이루어진다. 이 변환처리의 정밀도는 음성처리 등의 처리결과에 영향을 끼치기 때문에, 더 높은 레벨(level)이 계속 요구되고 있다. 예를 들면 정밀도가 좋다는 방법 중 하나로서 PCM(pulse-code modulation)이라는 것이 있다. 그러나 이 PCM은 A/D 변환기에 있어서의 회로소자(回路素子)의 안정성(安定性) 측면에서 불충분하다는 문제가 있다. 동작의 안정성이 좋다는 방식으로서, ΣΔ(시그마-델타(sigma-delta)) 방식이 있다(비특허문헌1～7 참조). 그리고 이것들을 근거로 한 β변환이라고 하는 기술도 있다(특허문헌8～9 참조).

여기에서 β변환에 대하여 설명한다. γ = 1/β(단 1 < β < 2)이라고 하면, x ∈（0, 1)는 b_i ∈ {0, 1}를 사용하여 (1)식으로 표현된다(단, 'γ'는 로마문자 「(

(감마)」와 동일한 문자이다. 이하 본원 명세서 및 청구의 범위에서 마찬가지이다). 단 u₁ = βy, b₁ = Q_v(u₁)이고, ｕ_{i + 1} = β(ｕ_i - b_i), b_{i + 1} = Q_v(ｕ_{i + 1})이다. 여기에서 Q_v(z)는 양자화기(量子化器 : quantizer)이고, v ∈［1, (β - 1)^-1]을 충족하는 임계치(臨界値)(v)에 대하여 z < v일 때에 0, z ≥ v일 때에 1이다.

(수식1)

도8은 β변환기의 구조를 설명하는 도면이다. 또 z₀ = y ∈［0, 1), i > 0일 때에 z_i = 0이고 또한 u₀ = b₀ = 0이라고 한다. β변환기에서는 v = 1일 때에는 「greedy」이고, v = (β - 1)^-1일 때에는 「lazy」이다.

상기에 있어서 α = v - 1이라고 하면, β변환은 다자니(Dajani) 등이 제안한 (β, α)전개를 하고 있다고 말할 수가 있다(비특허문헌10 참조). β ∈（1, 2)일 때의 (β, α)전개의 맵(N_{β, α})은 x ∈［0, (α + 1)/β)일 때에 βx, x ∈［（α + 1)/β, 1/(β-1))일 때에 βx - 1이 된다.

도9(a)는 (β, α)전개의 맵을 나타내는 그래프이고, 도9(b)는 v = 1 일 때의 「greedy」맵을 나타내는 그래프이며, 도9(c)는 v = (β - 1)^-1일 때의 「lazy」맵을 나타내는 그래프이다.

비특허문헌 1 : Inose, H., and Yasuda, Y., "A unity bitcoding method by negative feedback," Proceedings of the IEEE, vol.51, no.11, pp1524-1535, Nov.1963

비특허문헌 2 : J. Candy "A Use of Limit Cycle Oscillation to Obtain Robust Analog-to-Digital Converters," Communcations,, IEEE Transactions on [legacy, pre-1988], vol.22, no.3, pp298-305, Mar.1974

비특허문헌 3 : Strphen H. lewis, and paul R. gray, "A pipelined 5-Msample/s 9-bitanalog-to-digital converter," Solid-State Circuits, IEEE Journal of, vol.22, no.6, pp954-961, Dec 1987

비특허문헌 4 : Robert M. Gray "Oversampled Sigma-DeltaModulation, "Communications, IEEE transactions on [legacy, pre-1988], vol.35, no.5, pp481-489, May 1987

비특허문헌 5 : Robert M. Gray "Spectral Analysis of Quantization Noise ina Single-Loop Sigma-Delta Modulator with dc Input, "IEEE Transactions on communications, vol.37, no.6, pp588-599, Jun. 1989

비특허문헌 6 : C. Gunturk, "On the robustness of sigle-loopsigma-delta modulation" IEEE Transactions on Information Theory Vol.47, no.5, pp1734- 1744, 2001

비특허문헌 7 : C. Gunturk, "One-Bit Sigma-Delta Quantization with Exponential Accuracy, "Commun. Pure AppliedMath., vol.56, no.11, pp1608-1630, 2003

비특허문헌 8 : I. Daubechies, R. Devore, C. Gunturk, and V. Vaishampayan, "A/D Conversion With Imperfrct Quantizers," IEEE Transcations on Information Theory, vol.52, no.3, pp.874-885, Mar. 2006

비특허문헌 9 : I. Daubechies, and O. Yilmaz, "Robust and Practical Analog-to-Digital Conversion With Exponetial Precision," IEEE Transactions on information Theory, vol.52, no.8, pp.3533-3545, Aug. 2006

비특허문헌 10 : K. Dajani, C. Kraaikamp, "From greedy to lazy expansions and their driving dynamics,"Expo. Math, 2002

(해결하고자 하는 과제)

그러나 β변환은 상기한 바와 같이 수학적으로는 연구되어 왔지만, A/D(D/A) 변환처리에 적용하는 것에 대한 연구는 불충분하였다. 특히 변환기에 요구되는 고정밀도(高精密度)이고 회로소자(回路素子)의 불안정성을 커버(cover)하기 위한 개발의 가능성이 남겨져 있는 상황이었다.

따라서 본 발명은, 마르코프 연쇄(Markov chain)와 β변환과의 관계에 착안하여 고정밀도이고 회로소자의 불안정성을 커버하는 변환기 등을 제공하는 것을 목적으로 한다.

(과제해결수단)

청구항 1에 관한 발명은, L비트(L bit)의 수 bi(i = 1, …, L)에 의거하는 샘플치(sample value)x의 복호치(decoded value)를 구하는 변환기(變換器)로서, γ = 1/β(단 β는 1 < β < 2)에 있어서 복호치x_D를 (eq1)식에 의하여 구하는 복호수단(復號手段)을 구비하는 변환기이다.

청구항 2에 관한 발명은, 청구항 1에 기재된 변환기로서, x ∈（0, 1)과 y = 1 - x ∈（0, 1)을 β변환하였을 때의 비트열(bit列)을 각각 L비트의 수 b_i, c_i(i = 1, … , L)로 하고, 각각의 복호치 x_D, y_D에 있어서 x_D를 (eq1)식로 나타내고 y_D를 (eq1)식에 있어서의 b_i를 c_i로 바꾼 것으로 나타내는 경우에 있어서, γ는 (eq2)식에 의하여 주어지는 방정식P(γ) = 0의 근(根)이다.

청구항 3에 관한 발명은, 청구항 1 또는 청구항 2에 기재된 변환기로서, 마르코프 천이행렬(Markov transition matrix)을, β/(β²-1）≤ v < β²/(β²-1)이면 (eq3)식으로 근사(近似)하고, v < β/(β²-1)이면 (eq4)식으로 근사하고, β²/(β²-1）≤ v이면 (eq5)식로 근사하는 행렬추정수단(行列推定手段)을 구비하는 것이다.

청구항 4에 관한 발명은, 청구항 1 내지 청구항 3 중 어느 하나의 항에 기재된 변환기로서, (eq6)식에 의하여 주어지는 ｎ₀₀, n₀₁, n₁₀ 및 n₁₁에, β변환의 2×2 마르코프 천이행렬을 (eq7)식에 의하여 추정하는 행렬추정수단을 구비한다.

청구항 5에 관한 발명은, L비트의 수 bi(i = 1, … , L) 에 의거하는 샘플치x의 복호치를 구하는 디지털 신호(digital 信號)와 아날로그 신호(analog 信號) 사이의 변환을 하는 변환방법으로서, 복호수단이, γ = 1/β(단 β는 1 < β < 2)에 있어서 복호치x_D를 (eq8)식에 의하여 구하는 스텝을 포함한다.

청구항 6에 관한 발명은, 컴퓨터(computer)를, 청구항 1로부터 청구항 4의 어느 하나의 항에 기재된 변환기로서 기능시키기 위한 프로그램(program)이다.

청구항 7에 관한 발명은, 청구항 6에 기재된 프로그램을 기록하는 기록매체(記錄媒體)이다.

(수식2)

(발명의 효과)

본 발명에 의하여 β전개의 구간해석(區間解析)에 의한 고정밀도로 회로소자의 불안정성을 커버하는 D/A 변환기 등을 제안할 수 있었다.

또한 본 발명에 관한 마르코프 연쇄로서의 β변환을 해석한 결과, 제2고유치(第二固有値)가 마이너스(minus)이고, greedy, lazy의 고유치는 다른 맵에 비하여 크며, greedy, lazy의 고유치는 동일하다는 것이 판명되었다.

도1은 본 발명의 실시예에 관한 변환기(1)의 블럭도이다.

도2는 도1에서의 변환기의 동작을 설명하는 흐름도이다.

도3은 β변환의 불변부분공간을 나타내는 도면이다.

도4는 마르코프 천이행렬을 근사하였을 때의 고유치의 분포를 나타내는 도면이다.

도5는 N = 32, β = 1.77777에 대하여 x와 v의 변화에 의한 변환에 있어서의 최악의 정밀도를 나타내는 도면이다.

도6은 β의 값을 출력 비트열로부터 복원하는 정밀도를, γ = 1/β이라는 관계와 (11)식, (12)식에 의하여 구하여 제안한 방법과 도비쉬에의 방법을 비교한 도면이다.

도7은 제2고유치의 추정결과를 나타내는 도면이다.

도8은 β변환기의 구조를 설명하는 도면이다.

도9(a)는 (β, α)전개의 맵을 나타내는 그래프이고, 도9(b)는 v = 1일 때의 「greedy」맵을 나타내는 그래프이며, 도9(c)는 v = (β-1)^-1일 때의 「lazy」맵을 나타내는 그래프이다.

* 도면의 주요부분에 대한 부호의 설명 *

1 : 변환기 3 : 복호부

5 : 행렬추정부

도1은 본 발명의 실시예에 관한 변환기(1)의 블럭도이다. 도2는 도1 에서의 변환기(1)의 동작을 설명하는 흐름도이다. 변환기(變換器)(1)는 L비트의 수 b_i(i = 1, … , L)에 의거하는 샘플치(sample value)(x)의 복호치(decoded value)(x_D)를 구하는 것이다(도2에서의 스텝(ST1) 및 스텝(ST3) 참조). 변환기(1)는, γ = 1/β(단 β는 1 < β < 2)에 있어서 복호치(x_D)를 (2)식에 의하여 구하는 복호부(3)를 구비한다(도2에서의 스텝(ST2) 참조). 여기에서 종래의 기술에서 설명한 (1)식을 사용하는 경우에는 구간(區間)의 하한(下限)에 주목하고 있는 것에 비하여, (2)식을 사용하는 경우에는 구간의 중앙(中央)에 주목하고 있는 점이 크게 다르게 되어 있다. 또한 b_i에 의거하여 마르코프 천이행렬(Markov transition matrix)을 구하는 행렬추정부(行列推定部)(5)를 구비한다.

이 때에 변환기(1)의 변환오차(變換誤差)는 이하에 나타나 있는 바와 같이 (3)식이 된다.

우선 구간(I_i)을 (4)식과 같이 정의한다(단 b₀ = 0이라고 한다).

계속하여 모든 i에 대하여 x ∈ I_i인 것을 나타낸다. 우선 x ∈（0, 1)로부터 x ∈ I₀ = (0, (β-1)^-1)이다.

다음에 x ∈ I_i라고 가정한다. (5)식에 나타나 있는 ｕ_i+1 < v일 때에 즉 b_{i +1} = 0일 때에 (6)식이 성립하며 x ∈ I_{i +1}이다. 한편 ｕ_i+1 ≥ v일 때에 즉 b_{i +1} = 1일 때에 (7)식이 성립하며 x ∈ I_{i +1}이다. 따라서 모든 i에 대하여 x ∈ I_i이다.

그리고 x ∈ I_L이고, (β-1)^-1 = Σ_i=1 ^∞γⁱ라고 표현할 수 있기 때문에 변환오차는 (8)식이 된다.

(수식3)

또 도비쉬에(Daubechies) 등의 Ａ/D변환법에 의하면, β > 1.5인 경우에 L비트로 β변환하였을 때의 오차는 (9)식과 같이 된다.

(수식4)

계속하여 β의 특성방정식에 대하여 설명한다.

도비쉬에 등을 참고로 하여 x ∈（0, 1)과 y = 1 - x ∈（0, 1)을 β변환하였을 때의 비트열(bit 列)을 각각 b_i, c_i(i = 1,…, N)라고 하면, 각각의 복호치(x_D)와 복호치(y_D)는 (10)식이 된다.

x_D + y_D = 1로부터 γ의 추정치(推定値)는 (11)식에 의하여 주어지는 γ의 특성방정식P(γ) = 0의 근(根)이다.

또 도비쉬에 등의 특성방정식P_Dau(γ) = 0은 (12)식으로 주어진다.

(수식5)

계속하여 β변환에 의하여 생성된 바이너리치열(binary値列)의 마르코프 연쇄(Markov chain)에 대하여 설명한다. β와 임계치(v)의 β변환에 의하여 생성된 바이너리치열을 b_i(i = 1, … , N)라고 한다.

여기에서 I = (β(v-1), βv)에 의하여 나타나 있는 β변환의 불변부분공간(不變部分空間)이 존재하는 것을 나타낸다. ｕ_i < ｕ_i+1 < … < ｕ_i+k-1 < β(v-1) < ｕ_i+k 및 ｕ_i > ｕ_i+1 > … > ｕ_{i+ k' －1} < βv < ｕ_{i+ k'}가 되는 2개의 정수(整數) k와 k'가 존재하고, 이것으로부터 ｕ_i ∈（β(v-1), βv)이다. 도3은 β변환의 불변부분공간을 나타내는 도면이다. 도3(a)는 β(v-1）≤ vλ인 경우를 나타내는 도면이고, 도3(b)는 v < λβ(v-1)인 경우를 나타내는 도면이다.

β변환의 불변부분공간은 존재한다. 그러나 그 부분구간을 마르코프 분할(Markov 分割)하는 것은 곤란하다. 여기에서 b_i를 2상태 마르코프 연쇄(1차 마르코프 연쇄)와 근사하여 마르코프 천이행렬의 고유치를 분석한다.

S와 T를 각각 (13)식, (14)식과 같이 정의한다. 그리고 도1의 행렬추정부(5)는 천이행렬을 아래와 같이 근사한다.

β/(β²- 1）≤ v < β²/(β²- 1)이면, 천이행렬이 (15)식이 되도록 근사한다. S > 0, T > 0으로부터 제2고유치(λ)는 (16)식으로부터 λ < 0이 된다. 빈도분포(嚬度分布)는 고유치1에 대한 고유벡터(固有 vector) 즉 (17)식이 된다.

v < β/(β²-1)이면, 천이행렬이 (18)식이 되도록 근사한다. 제2고유치(λ)는 λ = -S/(βT) < 0이 된다.

β²/(β²-1）≤v이면, 천이행렬이 (19)식이 되도록 근사한다. 제2고유치(λ)는 λ = -T/(βS) < 0이 된다.

(수식6)

도4는 마르코프 천이행렬을 근사하였을 때의 고유치 분포를 나타내는 도면이다. 근사한 천이행렬의 제2고유치는 마이너스가 된다.

또한 도1에서의 행렬추정부(5)는 b_i(i = 1, … , N)에 의하여 β변환의 2×2 마르코프 천이행렬을 추정한다. n₀₀, n₀₁, n₁₀, n₁₁을 (20)식이라고 정의하면, 추정 마르코프 천이행렬은 (21)식으로 표현된다.

(수식7)

이하에서는 제안한 알고리즘(algorithm)에 의한 변환과 도비쉬에의 방법을 비교한다. 평가하기 위하여 x와 양자화 임계치(v)(cautious parameter)의 변화에 대한 x와 복호치(x_D)의 최악의 근사오차(近似誤差)를 비교한다. 도5는 N = 32, β = 1.77777일 때에 x와 v의 변화에 의한 변환의 최악 정밀도를 나타내는 도면이다. 도5에 의하면, β = 1.77777일 때에 제안한 알고리즘의 정밀도가 도비쉬에의 알고리즘의 것보다 우수하다는 것을 알 수 있다. 그리고 제안한 알고리즘에 있어서, cautious scheme이 다른 scheme보다 더 정확하다는 것을 알 수 있다.

다음에 도6은 β의 값을 출력 비트열로부터 복원하는 정밀도를 γ = 1/β이라는 관계와 (11)식, (12)식에 의하여 구하고, 제안한 방법과 도비쉬에의 방법을 비교한 도면이다. 이 도면에서는, 제안한 방법이 β의 복원 정밀도가 높은 것으로 나타나 있다.

계속하여 2상태 마르코프 천이행렬의 제2고유치의 추정에 대하여 설명한다. β ∈（1, 2)와 v ∈［1, (β-1)-1]과 x ∈（0, (β-1)-1)에 관한 β변환에 의하여 바이너리 비트열(binary bit 列)(b_i)(i = 1, … , N)이 출력되고, b_i는 2상태 마르코프 연쇄인 것으로 한다. 이 때에 (21)식에 의하여 b_i로부터 제2고유치를 추정할 수 있다. 도7은 제2고유치의 추정결과를 나타내는 도면이다. λ_D는, N = 256, x = v - π/10이라고 하는 조건에 의하여 b_i로부터 추정된 제2고유치이다. 이 도면으로부터 대부분의 제2고유치는 마이너스인 것으로 나타나 있다. greedy와 lazy의 스킴(scheme)에 의한 대부분의 λ_D는 cautious 스킴에 의한 값보다 크고, 이들은 동일한 값을 갖는다는 것을 도7로부터 알 수 있다.

이상으로부터 마르코프 연쇄로서의 β변환을 해석한 결과, 제2고유치는 마이너스이고, greedy, lazy의 고유치는 다른 맵에 비하여 크고, greedy, lazy의 고유치는 동일한 값을 갖는다.

또 임계치의 권장값으로서는, 파라미터(v)의 허용범위인 1로부터 1/(β-1)의 중간값으로 설정하는 것이 바람직하다. 그 이유로서는, 종래에는 lazy보다 greedy인 경우가 복원 정밀도가 좋다고 되어 있었지만, v = (1 + 1/(β-1))/2로 설정하면 lazy와 greedy의 복원 정밀도는 동등하게 얻어지고, 동(同) 정밀도의 결과에 대한 관점 및 로바스트성(robust 性)에 대한 관점으로부터도 양호한 결과가 얻어지고 있기 때문이다.

또 본원 발명의 하드웨어(hardware)로서의 실현에 대해서는, (2)식 등을 사용한 점에서의 차이점은 있지만 도8과 같은 구성에 의하여 가능하다.

Claims (7)

1. γ = 1/β(단 β는 1 < β < 2)에 있어서 (eq1)식을 충족하는 bi 중 L비트(L bit)의 수 bi(i = 1, …, L)에 의거하는 샘플치(sample value)x의 복호치(decoded value)를 구하는 변환기(變換器)로서,

   복호치x_D를 (eq2)식에 의하여 구하는 복호수단(復號手段)을 구비하는 것을 특징으로 하는 변환기.

   
2. 제1항에 있어서,

   x ∈（0, 1)과 y = 1 - x ∈（0, 1)을 β변환하였을 때의 비트열(bit列)을 각각 L비트의 수 b_i, c_i(i = 1, … , L)로 하고, 각각의 복호치 x_D, y_D에 있어서 x_D를 (eq2)식으로 나타내고 y_D를 (eq2)식에 있어서의 b_i를 c_i로 바꾼 것으로 나타내는 경우에 있어서, γ는 (eq3)식에 의하여 주어지는 방정식P(γ) = 0의 근(根)인 것을 특징으로 하는 변환기.

   
3. 제1항 또는 제2항에 있어서,

   마르코프 천이행렬(Markov transition matrix)을, β/(β²-1）≤ v < β²/(β²-1)이면 (eq4)식으로 근사(近似)하고, v < β/(β²-1)이면 (eq5)식으로 근사하고, β²/(β²-1）≤ v이면 (eq6)식으로 근사하는 행렬추정수단(行列推定手段)을 구비하는 것을 특징으로 하는 변환기.

   
4. 제1항 또는 제2항에 있어서,

   (eq7)식에 의하여 주어지는 ｎ₀₀, n₀₁, n₁₀ 및 n₁₁에, β변환의 2×2 마르코프 천이행렬을 (eq8)식에 의하여 추정하는 행렬추정수단을 구비하는 것을 특징으로 하는 변환기.

   
5. 제3항에 있어서,

   (eq9)식에 의하여 주어지는 ｎ₀₀, n₀₁, n₁₀ 및 n₁₁에, β변환의 2×2 마르코프 천이행렬을 (eq10)식에 의하여 추정하는 행렬추정수단을 구비하는 것을 특징으로 하는 변환기.

   
6. γ = 1/β(단 β는 1 < β < 2)에 있어서 (eq11)식을 충족하는 bi 중 L비트의 수 bi(i = 1, …, L)에 의거하는 샘플치x의 복호치를 구하는 디지털 신호(digital 信號)와 아날로그 신호(analog 信號) 사이의 변환을 하는 변환방법으로서,

   복호수단이, 복호치x_D를 (eq12)식에 의하여 구하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 변환방법.

   
7. 컴퓨터(computer)를 제1항 또는 제2항에 기재된 변환기로서 기능시키기 위한 프로그램(program)을 기록하는, 컴퓨터 판독가능한 기록매체(記錄媒體).

Images