JP4560117B2 - 散布図におけるデータ点の分布領域描画方法及び散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラム - Google Patents
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Description
また、散布図において、各データ点を層別する情報がある場合などは、データ点を表す印の色や形を変えて表現することで、1つの散布図に複数の層のデータ点の分布を表現することもできる。
しかし、1つの散布図に表示する層の数が多く、データ点も多い場合、データ点を表す印は重なり合い、各層における分布の特徴の認識が困難であった。
また、複数の層を表示した散布図ではなくても、図自体が小さくなるとデータ点を表す印も小さくなり、分布の特徴の認識が困難になる。
このような不具合を克服するために層ごとに確率楕円を描画する方法もあるが、確率楕円は実際の分布を精度よく表現するものではない。
ここで、散布図とは、対になった2つの変数をもつデータを用い、2つの変数の値を平面上の座標の縦軸と横軸にとり、2つ以上のデータを点として表したものを言う。散布図は相関図とも呼ばれる。
ここで、複数のデータ点の分布領域の中心とは、2つの変数が対になった複数のデータに対して変数ごとに最大値と最小値を足して2で割って求めた値の点を言う。また、複数のデータ点の分布領域の重心とは、2つの変数が対になった複数のデータに対して変数ごとに平均値を求めた値の点を言う。
さらに、上記検討領域内に上記成分の大きさが最も大きいデータ点が2つ以上ある場合は、上記分割中心点に最も近いデータ点を上記代表点として追加するようにしてもよい。ただし、上記成分の大きさが最も大きい2つ以上のデータ点の全部を代表点としてもよい。
さらに、領域を分割するのに用いた、上記分割中心点を始点とする上記線が延びる方向に上記成分の大きさが最も大きいデータ点が2つ以上ある場合は、上記分割中心点に最も近いデータ点を上記代表点として追加するようにしてもよい。ただし、上記成分の大きさが最も大きい2つ以上のデータ点の全部を代表点としてもよい。
この場合、上記分布代表点選定ステップは、最初の上記代表点の選定処理で上記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、最初の上記代表点の選定処理よりも後で行なう上記代表点の選定処理で、最初の上記代表点の選定処理における上記分割中心点に対して上記データ点のない分割領域に対向する分割領域に上記分割中心点を設定して上記代表点を選定する例を挙げることができる。
また、上記分布代表点選定ステップは、複数回の上記代表点の選定処理のうちの1回で上記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を上記分割中心点として用いる例を挙げることができる。
ここで、上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップは、上記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なうようにしてもよい。
そこで、分布代表点選定ステップは、複数のデータ点の回帰直線に対して角度をもつように分割領域を画定するための線を設定するようにすれば、このような不具合の発生を低減することができる。
特に、分布代表点選定ステップの最初の代表点の選定処理で分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に有効である。この場合、分布代表点選定ステップは、最初の代表点の選定処理よりも後で行なう代表点の選定処理で、最初の代表点の選定処理における分割中心点に対してデータ点のない分割領域に対向する分割領域に分割中心点を設定して代表点を選定するようにすればよい。
ここでも、分布代表点選定ステップは、複数回の代表点の選定処理のうちの1回で複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を分割中心点として用いるようにすれば、本発明の各ステップをコンピュータに実行させる際に、オペレータが分割中心点を設定することなく、複数のデータに適合した分割中心点を自動で設定することができる。
さらに、上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップは、上記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なうようにすれば、全体のデータ点分布に対して異常な分布と思われる異常データの点を除いた分布領域表示線を描画することができる。
例えば、まず、第1のデータ点の分割中心点からの距離の算出し、そのデータ点が属する分割領域を求める。そのデータ点の座標と分割中心点からの距離を代表点候補として記憶する。次のデータ点の分割中心点からの距離の算出し、そのデータ点が属する分割領域を求める。そのデータ点が属する分割領域に既に代表点候補がある場合は、そのデータ点の分割中心点からの距離と、代表点候補の分割中心点からの距離とを比較する。そのデータ点の分割中心点からの距離が代表点候補の分割中心点からの距離よりも大きいときは、そのデータ点の座標と分割中心点からの距離を新たな代表点候補として記憶する。また、そのデータ点の分割中心点からの距離が代表点候補の分割中心点からの距離よりも小さいときは、代表点候補の情報はそのままにしておく。また、そのデータ点の分割中心点からの距離が代表点候補の分割中心点からの距離と等しいときは、そのデータ点の座標と分割中心点からの距離を代表点候補として記憶し、もとの代表点候補の情報もそのまま記憶しておく。そのデータ点が属する分割領域に代表点候補がまだない場合は、そのデータ点座標と分割中心点からの距離を代表点候補として記憶する。その後、すべてのデータ点について上記と同様の処理を繰り返し、各分割領域における代表点候補を求める。すべてのデータ点について処理が終わった後、各分割領域における代表点候補を代表点として記憶する。
このように本発明の分布領域描画方法はデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。
他の実施例を図1、図5及び図6を参照して説明する。
ステップS3で、分割中心点より放射線状に領域を8分割する。ここでは、領域を分割するための線として、分割中心点を通り、X軸に平行な線とY軸に平行な線とその線に斜め45度の線とを用いた(図5参照)。
1つの対策としては、分割領域を画定するための線の角度を狭める、つまり領域の分割数を増やす方法がある。例として、分布領域を放射線状に8分割し、図8より分割領域を画定するための線の角度を狭めて代表点を求めた結果を図9に示す。図9中の白抜きの丸印は各分割領域の代表点である。図9では、図8での不具合はなく分布領域表示線を上手く表現できている。
また、検討領域内での代表点のうち上記成分の大きさが最も大きい代表点を比較代表点として用いるようにしてもよい。この場合、検討領域内において比較代表点よりも上記成分の大きさが大きいデータ点のうち上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する。
図11において、4つの分割領域をA1〜A4とし、分割領域A1〜A4における代表点をT1〜T4とする。
(上記成分の大きさ)=(分割中心点とデータ点との距離)×cosθ
分割領域A11と分割領域A12からなる検討領域には追加すべき代表点はない。また、分割領域A12と分割領域A13からなる検討領域にも追加すべき代表点はない。分割領域A11と分割領域A13からなる検討領域ではデータ点T11が追加すべき代表点となる。始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに、図15に白抜き丸印で示した4つの代表点を通過するように線を描画すると、図16に示す分布領域表示線が得られる。これにより、より適切な分布領域表示線を描画できる。
追加すべき代表点の求め方の第2の方法は、次の通りである。
追加すべき代表点の求める際、分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、領域を分割するのに用いた、分割中心点を始点とする線が延びる方向の成分の大きさを指標とする。この場合、上記検討領域の概念は必要ない。そして、上記成分の大きさがいずれの代表点の上記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、上記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する。また、分割するのに用いた、分割中心点を始点とする線が延びる方向は複数あるので、その方向ごとに各データ点の上記成分の大きさを指標とし代表点を追加する。仮に、各方向においてこの条件にあうデータ点が2つ以上ある場合は、分割中心点に最も近い座標をもつデータ点を追加する代表点として採用する。
図17に示すように、2つの分割領域ごとに求めた2つの代表点を線で結んだ分布領域表示線はデータ点分布を表しているが、より適切な分布領域表示線を描画するには追加で代表点を求めることが好ましい。
この実施例では追加すべき代表点の求め方の第2の方法を用いた。具体的には、分割するのに用いた、分割中心点を始点とする線が延びる方向、ここでは図18に示す方向B,Cごとに追加で代表点を求めた。
しかし、図17及び図18のように、領域を分割するための線が座標軸に対して直交又は平行でない場合、上記成分の大きさの算出は各データ点の座標情報や分割中心点の座標情報を用いた加減算だけでは求めることができない。
上記三角関数を用いた上記成分の大きさの算出方法により、方向Bの追加すべき代表点はデータ点Tbとなる。また、方向Cの追加すべき代表点はデータ点Tcとなる。始点となる代表点から時計周り又は反時計周りに、図17に示した2つの代表点と図18に示す代表点Tb,Tcの4つの代表点を通過するように線を描画すると、図18に示す分布領域表示線が得られる。これにより、より適切な分布領域表示線を描画できる。
基本的に任意の点を第2の分割中心点としてよい。好ましくは、最初の代表点の選定処理における分割中心点に対してデータ点のなかった分割領域に対向する分割領域に第2の分割中心点を設定する。
図19のデータ点に対して、図1のステップS1〜S5を行なった結果を図20に示す。図20では領域を8分割して分割領域A21〜A28とした。
図20では、分割領域A21,A22にデータ点がないので代表点はない。このように、データ点のない分割領域が設定される場合には分布領域表示線が必要以上に大きく描画される。
分割領域A21,A22にデータ点がないことに対して、分割中心点を代表点として追加することにより、適切な分布領域表示線を描画できる。
図19のデータ点分布に対してデータ点分布の重心を分割中心点とし、図1を参照して説明したステップS1からステップS4を行なうと、図20に示す代表点(白抜きの丸印)が得られる。分割領域A21,A22にデータ点がないので、分割中心点に対して分割領域A21,A22に対向する分割領域A26,A27内に第2の分割中心点を設定する。ここでは、図22に示すように、図20の分割領域A26,A27の境界線上に第2の分割中心点を設定した。第2の分割中心点に対して、図1を参照して説明したステップS3及びS4を行なうと、図22に示す白抜きの代表点が得られる。ここでは、第2の分割中心点からX軸のマイナス方向とY軸のプラス方向に線を引き、それらの線の間の領域を4つの分割領域に等分割した。
2回の代表点選定処理で重複する代表点は1つの代表点と考え、ステップS5を行なって分布領域表示線を描画すると図23に示す結果が得られる。
このように本発明の分布領域描画方法はデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。
また、データ点分布状態と領域の分割方法によっては、分割領域内のデータ点が1つしか存在しない場合がある。この場合、その分割領域が端の分割領域であれば、そのデータ点を分割中心点から最も離れた位置の代表点として用いても、分割中心点に最も近い位置の代表点として用いても、どちらでもよい。しかし、データ点が1つしか存在しない分割領域が端の分割領域でなければ、その分割領域の代表点はないものとしてその後の処理を行なうことが好ましい。
半導体装置製造プロセスではウエハと呼ばれるシリコン基板上にマトリックス状にチップと呼ばれる半導体装置が形成される。半導体装置製造プロセスにおけるウエハテスト工程は、ウエハ上の各チップに対して電気的な検査を行ない、予め定めた電気的基準を満たしているチップと満たしていないチップを分別する工程である。一般的に、予め定めた電気的基準を満たしているチップは良品チップと呼ばれ、基準を満たしていないチップは不良チップと呼ばれる。
ウエハ1にチップがマトリクス状に配列されている。各チップはX座標情報とY座標情報によってウエハ1上での位置が明確になっている。良品チップ3は無印で示されている。不良チップ5は斜線で示されている。
不良チップを減少するための活動として、まず、不良チップの分布状況の把握を行なう。特に不良チップが集中的に分布している場合、不良チップ減少対策の糸口を見つけられることが多い。
また、半導体装置製造プロセスには、ウエハ上の異物や欠陥を測定する工程がある。これらの工程の情報もXY座標情報で表されるものであり、本発明の分布領域描画方法を用いて異物や欠陥の分布を表現することが可能である。
図38に示すように、属性Z1,Z2のデータ点の分布領域が重なっている場合、属性Z1,Z2のデータ点の分布領域はわかりにくい。
図39を見ると分かるように、属性Z1,Z2ごとに分布領域表示線を求めることにより、属性Z1,Z2のデータ点の分布領域が分かりやすくなる。
図40において、数値データB,Cのデータ点の分布領域が重なっているので、数値データB,Cのデータ点の分布領域はわかりにくい。
図41を見ると分かるように、数値データB,Cごとに分布領域表示線を求めることにより、数値データB,Cのデータ点の分布領域が分かりやすくなる。
このように、本発明の分布領域描画方法は2つ以上の層のデータ点を重ねて1つの散布図に表現する際に特に有効である。
例えば、図5に示した代表点に対して、図42に示すように、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。この場合でも、データ点の分布領域の輪郭を適切に表現することができる。図42では代表点と代表点を直線で結んでいるが、分布領域表示線の輪郭を現す線は図6と同様に曲線であってもよい。
例えば、上記の実施例では、分割中心点より放射線状に領域を分割すると表現しているが、分割中心点を中心とする極座標を仮定し、極座標を角度で分割して分割領域を設定した場合も上記の実施例と同様の結果が得られる。
また、各実施例の説明において、描画された散布図に領域を分割するための線を図示したが、本発明の各ステップにおいて、この線の図示も必ずしも必要ではない。
また、本発明において、分割領域の数に限定はない。また、分割領域の大きさは均等でなくてもよい。
T1〜T4,T31a〜T34a,T31b〜T34b 代表点
T5,T6,T11,Tb,Tc 追加の代表点
1 ウエハ
3 良品チップ
5 不良チップ
7 不良グループ
Claims (17)
- 対になった2つの変数をもつ複数のデータに対してコンピュータにより実行される方法であって、
前記複数のデータの散布図の領域を任意の点である領域の分割中心点から放射線状に2つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに前記分割中心点から最大距離にあるデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、
前記代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含んだ散布図におけるデータ点の分布領域描画方法。 - 前記分布領域描画ステップは、前記代表点を前記分布領域表示線が交差しない順番に結線して前記分布領域表示線を描画する請求項1に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、前記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を前記分割中心点として用いる請求項1又は2に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、前記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、前記分割中心点を前記代表点として選定する請求項1から3のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、前記複数のデータ点の回帰直線に対して角度をもつように前記分割領域を画定するための線を設定する請求項1から4のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、前記代表点を選定した後、隣り合う2つの前記分割領域を検討領域とし、前記検討領域内において、前記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの、前記検討領域における2つの前記分割領域が接する線が前記分割中心点を始点として延びる方向の成分の大きさがいずれの前記代表点の前記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、前記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する請求項1から5のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
- 前記検討領域内に前記成分の大きさが最も大きいデータ点が2つ以上ある場合は、前記分割中心点に最も近いデータ点を前記代表点として追加する請求項6に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、前記代表点を選定した後、領域を分割するのに用いた、前記分割中心点を始点とする線が延びる方向ごとに、前記分割中心点を始点とし各データ点を終点とするベクトルの前記方向の成分の大きさがいずれの前記代表点の前記成分の大きさよりも大きいデータ点のうち、前記成分の大きさが最も大きいデータ点を代表点として追加する請求項1から5のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
- 領域を分割するのに用いた、前記分割中心点を始点とする前記線が延びる方向に前記成分の大きさが最も大きいデータ点が2つ以上ある場合は、前記分割中心点に最も近いデータ点を前記代表点として追加する請求項8に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、前記代表点の選定を、前記分割中心点の値を互いに異ならせて複数回行なう請求項1又は2に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、最初の前記代表点の選定処理で前記分割領域のうちデータ点のない分割領域がある場合に、最初の前記代表点の選定処理よりも後で行なう前記代表点の選定処理で、最初の前記代表点の選定処理における前記分割中心点に対して前記データ点のない分割領域に対向する分割領域に前記分割中心点を設定して前記代表点を選定する請求項10に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、複数回の前記代表点の選定処理のうちの1回で前記複数のデータ点の分布領域の中心又は重心を前記分割中心点として用いる請求項10又は11に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに前記分割中心点から最小距離にあるデータ点も代表点として選定する請求項1又は2に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布代表点選定ステップの前に、前記複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、
前記グループ設定ステップが設定したグループごとに前記分布代表点選定ステップ及び前記分布領域描画ステップを行なう請求項1から13のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。 - 前記分布代表点選定ステップ及び前記分布領域描画ステップは、前記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なう請求項14に記載の分布領域描画方法。
- 前記分布領域描画ステップは、前記分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に前記代表点に対して仮想代表点を設定し、前記仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画する請求項1から15のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
- 請求項1から16のいずれか一項に記載の各ステップをコンピュータに実行させるための、散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラム。
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