JP5386945B2 - 散布図におけるデータ点の分布領域描画方法及び散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラム - Google Patents

Description

本発明は、散布図におけるデータ点の分布領域描画方法及びそれをコンピュータに実行させるためのプログラムに関するものである。

散布図は、２つの変数が対になった複数のデータの関係を表すことを目的としてよく用いられている。また、２つの変数が対になった複数のデータについて回帰直線や回帰曲線を求めてそれらのデータの関係を数値化することもできる。散布図におけるデータ点の特徴を表現する方法として、例えば特許文献１〜３に開示されているものがある。
また、散布図において、各データ点を層別する情報がある場合などは、データ点を表す印の色や形を変えて表現することで、１つの散布図に複数の層のデータ点の分布を表現することもできる。
特許第３６３９６３６号公報 特許第３９４４４３９号公報 特開２００７−２４８１９８号公報 特許第３８８８９３８号公報

上述のように、散布図は２つの変数が対になった複数のデータの相関関係を表すのに適している。
しかし、１つの散布図に表示する層の数が多く、データ点も多い場合、データ点を表す印は重なり合い、各層における分布の特徴の認識が困難であった。
また、複数の層を表示した散布図ではなくても、図自体が小さくなるとデータ点を表す印も小さくなり、分布の特徴の認識が困難になる。
このような不具合を克服するために層ごとに確率楕円を描画する方法もあるが、確率楕円は実際の分布を精度よく表現するものではない。

本発明の目的は、確率楕円とは異なる方法でデータ点の分布領域を描画できる散布図におけるデータ点の分布領域描画方法及び散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラムを提供することである。

本発明は、対になった２つの変数をもつ複数のデータに対して、その散布図の領域をデータ点の分布領域を横切る１本又は互いに平行な複数本の分割用直線によって２つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに上記分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、上記代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含んだ散布図におけるデータ点の分布領域描画方法である。
ここで、散布図とは、対になった２つの変数をもつデータを用い、２つの変数の値を平面上の座標の縦軸と横軸にとり、２つ以上のデータを点として表したものを言う。散布図は相関図とも呼ばれる。
また、データ点の分布領域とは、散布図上で各データ点のすべてを線で結んだときの外周の線及びその内側の領域と定義する。

本発明の分布領域描画方法において、上記分布領域描画ステップは、上記代表点を上記分布領域表示線が交差しない順番に結線して上記分布領域表示線を描画する例を挙げることができる。ただし、分布領域描画ステップは、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。

また、上記分布代表点選定ステップは、散布図の一方の座標軸と平行に上記分割用直線を設定して分割領域ごとに他方の座標軸の座標値について最大値をもつデータ点と最小値をもつデータ点を上記代表点として選定する例を挙げることができる。

また、上記分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに分割領域内のデータ点のうち上記分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点候補として選定した後、上記分割用直線に交差し、かつデータ点の分布領域を横切る１本又は互いに平行な複数本の第２分割用直線によって、散布図の領域を２つ以上の領域に分割したときの各分割領域で分割領域内のデータ点のうち上記第２分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点であり、かつ上記代表点候補であるデータ点を上記代表点として選定するようにしてもよい。
ここで、上記分割用直線と上記第２分割用直線は互いに直交している例を挙げることができる。ただし、分割用直線と第２分割用直線は互いに直交していなくてもよい。
さらに、上記分割用直線は散布図の一方の座標軸と平行に設定され、上記第２分割用直線は散布図の他方の座標軸と平行に設定される例を挙げることができる。

また、上記分布代表点選定ステップは、上記分割用直線に交差し、かつ上記データ点の分布領域を横切る第３分割用直線と上記分割用直線とによって散布図の領域を分割し、分割領域ごとに上記第３分割用直線から最も離れたデータ点を上記代表点として選定するようにしてもよい。
ここで、上記分割用直線と上記第３分割用直線とが成す角度に限定はないが、その角度は９０度に近いことが好ましく、より好ましくは上記分割用直線と上記第３分割用直線は互いに直交している状態である。

さらに、上記分布代表点選定ステップは、上記第３分割用直線を挟んで対向する２つの分割領域のうち一方にデータ点がなく、他方に２つ以上のデータ点がある場合に、その２つ以上のデータ点がある分割領域のデータ点のうち上記第３分割用直線に最も近いデータ点をデータ点のない分割領域の代表点として選定するようにしてもよい。
また、上記第３分割用直線は上記複数のデータ点の回帰直線である例を挙げることができる。

また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布代表点選定ステップは、散布図の２つの座標軸のいずれか一方の座標軸について上記複数のデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の上記複数のデータ点の回帰直線上の点に代表点を追加するようにしてもよい。

また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布代表点選定ステップの前に、上記複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、上記グループ設定ステップが設定したグループごとに上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップを行なうようにしてもよい。
ここで、上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップは、上記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なうようにしてもよい。

また、本発明の分布領域描画方法において、上記分布領域描画ステップは、上記分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に上記代表点に対して仮想代表点を設定し、上記仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画するようにしてもよい。

本発明の散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラムは、本発明の分布領域描画方法の各ステップをコンピュータに実行させるためのプログラムである。

本発明の分布領域描画方法において、データ点のない分割領域は代表点がないものとして処理を行なってもよい。
また、データ点の分布状態と分割領域の設定具合によっては、１つの分割領域内にデータ点が１つしか存在しない場合がある。この場合、その分割領域が端の分割領域であれば、そのデータ点の座標を代表点として扱ってよい。しかし、その分割領域が端の分割領域でなければ、その分割領域の代表点はないものとして処理を行なうことが好ましい。

本発明の散布図におけるデータ点の分布領域描画方法は、対になった２つの変数をもつ複数のデータに対して、その散布図の領域をデータ点の分布領域を横切る１本又は互いに平行な複数本の分割用直線によって２つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含むようにしたので、対になった２つの変数をもつ複数のデータを散布図に表示した際にデータ点の分布領域の輪郭を分布領域表示線で表すことができ、その相関関係及び分布領域をひと目で判断できる。本発明の分布領域描画方法は２つ以上の層のデータ点を重ねて１つの散布図に表現する際に特に有効である。

本発明の分布領域描画方法において、分布領域描画ステップは、代表点を分布領域表示線が交差しない順番に結線して分布領域表示線を描画するようにすれば、データ点の分布領域の輪郭のみを分布領域表示線として描画することができる。ただし、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画した場合であっても、データ点の分布領域を表現することができる。

また、分布代表点選定ステップは、散布図の一方の座標軸と平行に分割用直線を設定して分割領域ごとに他方の座標軸の座標値について最大値をもつデータ点と最小値をもつデータ点を代表点として選定するようにすれば、上記一方の座標軸の各データ点の座標値に基づいて各データ点がいずれの分割領域に属するのかを容易に分別できる。さらに、上記他方の座標軸の各データ点の座標値を比較することによって簡単な処理で代表点を選定することができる。

また、分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに分割領域内のデータ点のうち分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点候補として選定した後、分割用直線に交差し、かつデータ点の分布領域を横切る１本又は互いに平行な複数本の第２分割用直線によって、散布図の領域を２つ以上の領域に分割したときの各分割領域で分割領域内のデータ点のうち第２分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点であり、かつ代表点候補であるデータ点を代表点として選定するようにすれば、データ点の分布領域をより適切に表現することができる。
ここで、分割用直線と第２分割用直線は互いに直交しているようにすれば、データ点の分布領域をより適切に表現することができる。
さらに、分割用直線は散布図の一方の座標軸と平行に設定され、第２分割用直線は散布図の他方の座標軸と平行に設定されるようにすれば、各データ点の座標値に基づいて各データ点がいずれの分割領域に属するのかを容易に分別でき、さらに、各データ点の座標値を比較することによって簡単な処理で代表点候補及び代表点を選定することができる。

また、上記分布代表点選定ステップは、上記分割用直線に交差し、かつ上記データ点の分布領域を横切る第３分割用直線と上記分割用直線とによって散布図の領域を分割し、分割領域ごとに上記第３分割用直線から最も離れたデータ点を上記代表点として選定するようにすれば、各データ点の第３分割用直線からの距離に基づいて、分割領域ごとに分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点を代表点として選定することができる。

さらに、上記分布代表点選定ステップは、上記第３分割用直線を挟んで対向する２つの分割領域のうち一方にデータ点がなく、他方に２つ以上のデータ点がある場合に、その２つ以上のデータ点がある分割領域のデータ点のうち上記第３分割用直線に最も近いデータ点をデータ点のない分割領域の代表点として選定するようにすれば、データ点の分布領域をより適切に表現することができる。

本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップで分割用直線と第３分割用直線の設定具合によっては、データの存在しない分割領域が多く発生する場合がある。
そこで、上記第３分割用直線は上記複数のデータ点の回帰直線であるようにすれば、データ点の存在しない分割領域の発生を低減することができる。なお、第３分割用直線として回帰直線を用いる場合、データの存在しない分割領域が発生したときに、上述のように対向する分割領域のデータ点を用いてデータ点の存在しない分割領域に対応する代表点を選定してもよいが、データの存在しない分割領域は代表点なしとして扱った方がより適切な分布領域表示線を描画できる。

また、本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップは、散布図の２つの座標軸のいずれか一方の座標軸について上記複数のデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の上記複数のデータ点の回帰直線上の点に代表点を追加するようにすれば、データ点の分布領域をより適切に表現することができる。

また、本発明の分布領域描画方法において、分布代表点選定ステップの前に、複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、グループ設定ステップが設定したグループごとに分布代表点選定ステップ及び分布領域描画ステップを行なうようにすれば、データ点のグループ化を行なえるので、グループごとに分布領域表示線を得ることができる。
さらに、上記分布代表点選定ステップ及び上記分布領域描画ステップは、上記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なうようにすれば、全体のデータ点分布に対して異常な分布と思われる異常データの点を除いた分布領域表示線を描画することができる。

また、本発明の分布領域描画方法において、分布領域描画ステップは、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対して仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画するようにすれば、代表点と分布領域表示線が重なって表示されるのを防止できる。例えば、半導体ウエハにマトリクス状に配置された複数のチップ領域のうち問題のあるチップ領域の中心座標を散布図に表示する場合、分布領域表示線の輪郭を所定範囲だけ広げて表示すれば、代表点となるチップ領域全体を分布領域表示線の内側に配置することができ、問題のあるチップ領域を識別しやすくなる。

本発明の散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラムは、本発明の分布領域描画方法の各ステップをコンピュータに実行させるようにしたので、コンピュータを用いて本発明の分布領域描画方法を実施することができる。

図１は、本発明の一実施例を説明するためのフローチャートである。図２はこの実施例で用いたデータの一部を表す図表である。図３は、図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域をＹ軸方向で８分割するための分割用直線を図示した図である。図４は、図２のデータを点として表した散布図に分割用直線と分布領域表示線を図示した図である。図１から図４を参照してこの実施例を説明する。

ステップＳ１：グラフ化の対象となる関連する２種類の数値データを選択する。ここでは、図２に示す表の数値データＡと数値データＢを選択するとして説明を進める。なお、ここではデータの属性は無視した。

ステップＳ２：数値データＡをＸ軸に、数値データＢをＹ軸に展開した際のデータ点の分布領域を分割用直線Ｌ１によって例えば８つの分割領域Ｘ１〜Ｘ８に分割する（図３参照）。ここでは互いに平行な７本の分割用直線Ｌ１（図３の破線参照）をＹ軸（一方の座標軸）と平行に設定した。なお、分割領域の個数は、８つに限定されるものではなく、２つ以上であればよい。また、分割用直線をＸ軸と平行に設定してもよい。

ステップＳ３：分割領域Ｘ１〜Ｘ８ごとに、分割領域内のデータ点のうち分割用直線Ｌ１が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点として選定する。ここでは、分割領域Ｘ１〜Ｘ８ごとに、Ｙ軸座標について最大値をもつデータ点を最大値側代表点として選定し、最小値をもつデータ点を最小値側代表点として選定する。図３及び図４では、代表点となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、代表点以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。
この実施例において、本発明の分布領域描画方法における「分割用直線が延びる２方向」は図３中の白抜き矢印で示した２方向である。この実施例ではＹ軸座標のプラス方向とマイナス方向と同一である。また、本発明の分布領域描画方法における「分割領域内のデータ点のうち分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点」は分割領域内のデータ点のうちＹ軸座標について最大値をもつデータ点とＹ軸座標について最小値をもつデータ点が該当する。

各分割領域における代表点の求め方は種々の方法が考えられる。
例えば、まず、第１のデータ点のＸ軸座標値に基づいて、そのデータ点が属する分割領域を求める。そのデータ点の座標をそのデータ点が属する分割領域における最大値側代表点候補として記憶する。次のデータ点が属する分割領域を求める。そのデータ点が属する分割領域に既に最大値側代表点候補がある場合は、そのデータ点のＹ軸座標値と、代表点候補のＹ軸座標値とを比較する。そのデータ点のＹ軸座標値が最大値側代表点候補のＹ軸座標値よりも大きいときは、そのデータ点の座標をそのデータ点が属する分割領域における新たな最大値側代表点候補として記憶する。また、そのデータ点のＹ軸座標値が最大値側代表点候補のＹ軸座標値よりも小さいときは、最大値側代表点候補の情報はそのままにしておく。また、そのデータ点のＹ軸座標値が最大値側代表点候補のＹ軸座標値と等しいときは、そのデータ点の座標をそのデータ点が属する分割領域における最大値側代表点候補、もとの最大値側代表点候補の情報もそのまま記憶しておく。そのデータ点が属する分割領域に最大値側代表点候補がまだない場合は、そのデータ点が属する分割領域における最大値側代表点候補として記憶する。その後、すべてのデータ点について上記と同様の処理を繰り返し、各分割領域における最大値側代表点候補を求める。すべてのデータ点について処理が終わった後、各分割領域における代表点候補を最大値側代表点として記憶する。最小値側代表点の選定についても同様の処理を行なう。最小値側代表点の選定は、最大値側代表点の選定とはデータ点のＹ軸座標値の大小関係の比較を逆にして同等の処理を行なえばよい。

ただし、各分割領域における代表点の求め方はこれに限定されるものではない。
例えば、第１のデータ点をそのデータ点が属する分割領域における最大値側代表点候補又は最小値側代表点候補とし、次のデータ点について代表点候補のデータ点とのＹ軸座標値の比較により一方を最大値側代表点候補とし、他方を最小値側代表点候補とした後、さらに次のデータ点について最大値側代表点候補のデータ点及び最小値側代表点候補のデータ点とのＹ軸座標値を比較することによって最大値側代表点及び最小値側代表点を求めるようにしてもよい。
また、各データ点を分割領域に基づいてグループ分けして、分割領域ごとに各データ点のＹ軸座標値を比較して代表点とするようにしてもよい。
また、データ点のない分割領域は代表点がないものとして以後の処理を行なってもよい。

ステップＳ４：各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する（図４参照）。データ点の分布領域の輪郭を表す分布領域表示線を描画するためには、線が交差しないように分布領域表示線を描画する必要がある。線の交差を防ぐ例としては、分割領域Ｘ１の最大値側代表点を起点に、分割領域Ｘ２から分割領域Ｘ８へ最大値側代表点を順に結線し、次に分割領域Ｘ８の最小値側代表点を結線し、分割領域Ｘ７から分割領域Ｘ１へ最小値側代表点を順に結線し、最後に分割領域Ｘ１と最小値側代表点と分割領域Ｘ１の最大値側代表点を結線して分布領域表示線を描画する等がある。

分布領域表示線は代表点を直線で結線したものでもよいが、図４に示すように代表点を通る滑らかな曲線を描画することが好ましい。このような曲線は、例えば、Visual BasicのDrawClosedCurve関数等を用いることにより指定した点を通る滑らかな曲線を描画することができる。
このように本発明の分布領域描画方法はデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。

なお、１つの分割領域に最大値側代表点又は最小値側代表点が２つ選定されている場合には、２つとも最大値側代表点又は最小値側代表点として分布領域表示線を描画してもよいが、分布領域表示線が広がる方向にある最大値側代表点又は最小値側代表点のみを用いて分布領域表示線を描画することが好ましい。

また、データ点の分布状態と分割領域の設定具合によっては、１つの分割領域内にデータ点が１つしか存在しない場合がある。この場合、その分割領域が端の分割領域であれば、そのデータ点の座標を最大値側代表点としても最小値側代表点としてもどちらでもよい。しかし、その分割領域が端の分割領域でなければ、その分割領域の代表点はないものとしてその後の処理を行なうことが好ましい。

図５は、本発明の他の実施例を説明するためのフローチャートである。図６は、図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域をＸ軸方向で８分割するための第２分割用直線を図示した図である。図７は、図２のデータを点として表した散布図にＸ軸方向及びＹ軸方向の分割用直線及び第２分割用直線と分布領域表示線を図示した図である。図３及び図５から図７を参照してこの実施例を説明する。

ステップＳ１１〜Ｓ１３：上記の実施例で説明したステップＳ１〜Ｓ３と同様にして、Ｙ軸（一方の座標軸）と平行な分割用直線Ｌ１を設定して最大値側代表点と最小値側代表点を選定し、それらの代表点を第１代表点候補として設定する（図３参照）。図３では、第１代表点候補となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、第１代表点候補以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。

ステップＳ１４：データ点の分布領域をＸ軸（他方の座標軸）と平行な第２分割用直線Ｌ２（図６の破線参照）によって例えば８つの分割領域Ｙ１〜Ｙ８に分割する（図６参照）。ここでは互いに平行な７本の第２分割用直線Ｌ２を設定した。なお、分割領域の個数は、８つに限定されるものではなく、２つ以上であればよい。

ステップＳ１５：分割領域Ｙ１〜Ｙ８ごとに、第２分割用直線Ｌ２が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の第２代表点候補として選定する。ここでは、分割領域Ｙ１〜Ｙ８ごとに、Ｘ軸座標について最大値をもつデータ点を最大値側代表点として選定し、最小値をもつデータ点を最小値側代表点として選定し、それらの代表点を第２代表点候補とする。図６では、第２代表点候補となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、第２代表点候補以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。

ステップＳ１６：ステップＳ１３で求めた第１代表点候補であり、かつステップＳ１５で求めた第２代表点候補であるデータ点を代表点として選定する（図７参照）。図７では、代表点となるデータ点を白抜きの丸印で図示し、代表点以外のデータ点を黒塗りの丸印で図示している。

ステップＳ１７：各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する（図７参照）。データ点の分布領域の輪郭を表す分布領域表示線を描画するためには、線が交差しないように分布領域表示線を描画する必要がある。線の交差を防ぐ例として以下の方法を挙げることができる。
分割領域Ｘ１の最大値側の第１代表点候補として求めたデータ点が代表点となっていれば起点とし、なっていなければ、起点として分割領域Ｘ２から順に分割領域Ｘ８へ最大値側の第１代表点候補であり代表点となっているデータ点を探す。起点が決まれば、起点となる代表点が属する分割領域Ｘａ（ａは２〜８の自然数）から順に分割領域Ｘ８側へ最大値側の第１代表点候補であり代表点となっているデータ点を探し、起点から順に結線する。次に分割領域Ｘ８から分割領域Ｘ１へ最小値側の第１代表点候補であり代表点になっているデータ点を探し、順に結線し、最後に起点を結線して分布領域表示線の描画を完成する。分布領域表示線は代表点を直線で結線したものでもよいが、図７に示すように代表点を通る滑らかな曲線を描画することが好ましい。

このように、この実施例でもデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。
なお、データ点の分布状態と分割領域の設定具合によっては、Ｙ軸方向での分割領域Ｘ１〜Ｘ８、又はＸ軸方向での分割領域Ｙ１〜Ｙ８にデータ点が１つしか存在しない場合がある。その場合、１つのデータ点しか存在しない分割領域について、そのデータ点を最大値側、最小値側のいずれの代表点候補としてもよい。

また、図１，図５のフローチャートを参照して説明した２つの上記実施例において分割領域Ｘ２〜Ｘ７を均等な幅で設け、図５のフローチャートを参照して説明した上記実施例において分割領域Ｙ２〜Ｙ７を均等な幅で設けているが、本発明はこれに限定されるものではなく、各分割領域の幅は均等でなくてもよい。また、分割領域の個数は２つ以上であれば、いくつであってもよい。

また、上記実施例では、分割用直線Ｌ１は散布図のＹ座標軸と平行に設定され、第２分割用直線Ｌ２は散布図のＸ座標軸と平行に設定されているが、本発明はこれに限定されるものではなく、分割用直線が散布図のＸ座標軸と平行に設定され、第２分割用直線が散布図のＹ座標軸と平行に設定されてもよい。
また、分割用直線と第２分割用直線は互いに直交していなくてもよい。さらに、分割用直線と第２分割用直線の一方又は両方は、散布図の座標軸に対して平行に設定されなくてもよい。

図８は、本発明のさらに他の実施例を説明するためのフローチャートである。図９は、図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域を１２分割するための分割用直線及び第３分割用直線を図示した図である。図１０は、図２のデータを点として表した散布図に分割用直線及び第３分割用直線と分布領域表示線を図示した図である。図８から図１０を参照してこの実施例を説明する。

ステップＳ２１：上記の実施例で説明したステップＳ１と同様にしてグラフ化の対象となる関連する２種類の数値データを選択する。

ステップＳ２２：図２の数値データＡをＸ軸に数値データＢをＹ軸に展開した際の散布図におけるデータ点の分布領域を横切る第３分割用直線Ｌ３を設定する（図９参照）。分布領域を横切る第３分割用直線Ｌ３は任意の線でよい。図９では第３分割用直線Ｌ３はＸ軸及びＹ軸に対して角度をもっているが、本発明において第３分割用直線はＸ軸又はＹ軸に対して平行であってもよい。

ステップＳ２３：第３分割用直線Ｌ３に直交する分割用直線Ｌ１を設定し、データ点の分布領域を分割する。この実施例では、図９に示すように、第３分割用直線Ｌ３に直交する互いに平行な５本の分割用直線Ｌ１を設定してデータ点の分布領域を分割領域Ａ１〜Ａ１２に分割した。

ステップＳ２４：分割領域Ａ１〜Ａ１２ごとに、第３分割用直線Ｌ３から最長の距離となるデータ点を代表点として求める。図９において、分割領域Ａ１〜Ａ１２の代表点を白抜きの丸印で示した。データ点のない分割領域Ａ１，Ａ２，Ａ７においては代表点がないものとしその後の処理を行なう。

ステップＳ２５：各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する（図１０参照）。データ点の分布領域の輪郭を表す分布領域表示線を描画するためには、線が交差しないように分布領域表示線を描画する必要がある。線の交差を防ぐ例としては、分割領域Ａ１、Ａ２、Ａ３、・・・、Ａ１０、Ａ１１、Ａ１２の順で各代表点を通過する線を描画する等がある。

分布領域表示線は代表点を直線で結線したものでもよいが、図１０に示すように代表点を通る滑らかな曲線を描画することが好ましい。
このように、この実施例によってもデータ点分布領域を線で囲んで表現することができる。

なお、代表点のなかった分割領域、つまりデータ点のない分割領域について、第３分割用直線を挟んでその分割領域に対向する分割領域に２つ以上のデータ点がある場合、その２つ以上のデータ点がある分割領域のデータ点のうち第３分割用直線に最も近いデータ点をデータ点のない分割領域の代表点としてもよい。

図１１は図９のデータ点分布に対して追加で代表点を求めて分布領域表示線を描画した結果を示す図である。
図８のフローチャートのステップＳ２４で、分割領域Ａ１〜Ａ１２ごとに、第３分割用直線Ｌ３より最長の距離となるデータ点を代表点として求め、さらにデータ点のない分割領域Ａ１，Ａ２，Ａ７に対する代表点を求める。分割領域Ａ１〜Ａ１２ごと代表点を求める処理と、データ点のない分割領域Ａ１，Ａ２，Ａ７に対する代表点を求める処理はどちらが先であってもよい。

図１１に示すように、分割領域Ａ１にはデータ点がなく、第３分割用直線Ｌ３を挟んで分割領域Ａ１に対向する分割領域Ａ１２に２つ以上のデータ点があるので、分割領域Ａ１２のデータ点のうち第３分割用直線Ｌ３に最も近いデータ点Ｔ１を分割領域Ａ１の代表点として選定する。
分割領域Ａ２にはデータ点がなく、第３分割用直線Ｌ３を挟んで分割領域Ａ２に対向する分割領域Ａ１１に２つ以上のデータ点があるので、分割領域Ａ１１のデータ点のうち第３分割用直線Ｌ３に最も近いデータ点Ｔ２を分割領域Ａ２の代表点として選定する。
分割領域Ａ７にはデータ点がなく、第３分割用直線Ｌ３を挟んで分割領域Ａ７に対向する分割領域Ａ６に２つ以上のデータ点があるので、分割領域Ａ６のデータ点のうち第３分割用直線Ｌ３に最も近いデータ点Ｔ３を分割領域Ａ１の代表点として選定する。

その後、ステップＳ２５で、代表点Ｔ１〜Ｔ３を含む各代表点を通過する線を描画することにより分布領域表示線を描画する（図１１参照）。代表点Ｔ１は分割領域Ａ１の代表点、代表点Ｔ２は分割領域Ａ２の代表点、代表点Ｔ３は分割領域Ａ７の代表点とすることにより、分割領域Ａ１、Ａ２、Ａ３、・・・、Ａ１０、Ａ１１、Ａ１２の順で各代表点を通過する分布領域表示線を描画することにより、線の交差を防ぐことができる。

図８のフローチャートを参照して説明した実施例において、第３分割用直線としてデータ点の回帰直線を用いてもよい。
図１２に、図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域を１２分割するための分割用直線及び回帰直線と分布領域表示線を図示した図を示す。

また、本発明の分布領域描画方法において、散布図の２つの座標軸のいずれか一方の座標軸についてデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の回帰直線上の点に代表点を追加するようにしてもよい。

図１３は、図１２の代表点に回帰直線上の代表点を追加して分布領域表示線を描画した図である。
ここでは、散布図のＸ軸についてデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の回帰直線上に代表点Ｔ４，Ｔ５（＋印参照）を追加した。データ点の分布領域の輪郭を表す分布領域表示線が交差しないようにするには、分割領域Ａ１、Ａ２、・・・、Ａ５、Ａ６、代表点Ｔ４、Ａ７、Ａ８、・・・、Ａ１１、Ａ１２、代表点Ｔ５の順で各代表点を通過する線を描画する等がある。
なお、散布図のＹ軸についてデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の回帰直線上の点に代表点を追加してもよい。

また、回帰直線上に代表点を設定する場合、端の分割領域において代表点を求めないか、端の分割領域の代表点を無視するようにしてもよい。
図１４は、図１２の代表点に回帰直線上の代表点を追加し、かつ端の分割領域の代表点を無視して分布領域表示線を描画した図である。
図１４では、回帰直線上の代表点Ｔ４，Ｔ５を追加し、端の分割領域Ａ１，Ａ６，Ａ７，Ａ１２の代表点を無視して分布領域表示線を描画している。図１４で分割領域Ａ１，Ａ６，Ａ７，Ａ１２の代表点は、代表点でないデータ点と同様に黒塗りの丸印で示している。なお、分割領域Ａ１，Ａ６，Ａ７，Ａ１２で代表点を求める処理をしてもよいし、しなくてもよい。

なお、本発明の分布領域描画方法において、散布図の２つの座標軸のいずれか一方の座標軸についてデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の回帰直線上の点に代表点を追加する局面は、第３分割用直線として回帰直線を用いた局面に限定されるものではく、本発明の分布領域描画方法のいずれの局面にも適用することができる。例えば、図１、図５、図８のフローチャートを参照して説明した各実施例において、データ点の回帰直線、及び散布図の２つの座標軸のいずれか一方の座標軸についてデータ点の分布領域の最大値と最小値を別途求め、その最大値と最小値の回帰直線上の点に代表点を追加するようにしてもよい。

本発明において、実際のデータの座標を代表点の座標とすると、散布図において、分布の輪郭を表す分布領域表示線とデータ点を表す印が重なってしまう。これが好ましくない場合は、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対して仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画するようにすればよい。上記の実施例では、ステップＳ４、ステップＳ１７又はステップＳ２５でこの処理を行なう。

例えば、仮想代表点を設ける方向は、図７に示した分布領域表示線に対して図１５に示すように、分割領域Ｘ１かつＹ１又はＹ８の領域に位置する代表点及び分割領域Ｘ８かつＹ１又はＹ８の領域に位置する代表点と、分割領域Ｘ３かつＹ３、分割領域Ｘ３かつＹ８、分割領域Ｘ６かつＹ３、分割領域Ｘ６かつＹ８の４つの領域及びその４つの領域で囲まれた領域に位置する代表点に対しては斜め４５°方向に、その他の領域に位置する代表点に対してはそれぞれＸ軸方向、Ｙ軸方向などと定義すればよい。

仮想代表点を設ける具体的な実施例として半導体装置製造プロセスにおけるウエハテスト工程のテスト結果の不良チップ集中分布の表現が挙げられる。
半導体装置製造プロセスではウエハと呼ばれるシリコン基板上にマトリックス状にチップと呼ばれる半導体装置が形成される。半導体装置製造プロセスにおけるウエハテスト工程は、ウエハ上の各チップに対して電気的な検査を行ない、予め定めた電気的基準を満たしているチップと満たしていないチップを分別する工程である。一般的に、予め定めた電気的基準を満たしているチップは良品チップと呼ばれ、基準を満たしていないチップは不良チップと呼ばれる。

図１６は、ウエハテスト結果の一例を示す図である。
ウエハ１にチップがマトリクス状に配列されている。各チップはＸ座標情報とＹ座標情報によってウエハ１上での位置が明確になっている。良品チップ３は無印で示されている。不良チップ５は斜線で示されている。

半導体装置製造プロセスにおいて不良チップが少ないことが好ましい。よって、半導体装置製造プロセスに従事する組織において、常に不良チップを減少させる活動が行われている。
不良チップを減少するための活動として、まず、不良チップの分布状況の把握を行なう。特に不良チップが集中的に分布している場合、不良チップ減少対策の糸口を見つけられることが多い。

ウエハ上の不良チップの分布状況に基づいて不良チップをグループに分類する方法がある。例えば、隣接する不良チップの存在を確認することにより、ウエハ上の不良チップをいくつかのグループに分類し、グループに属する不良チップの数で不良チップが集中的に分布しているかどうかを判断する方法が特許文献４で述べられている。これによると、図１６の不良チップ５は３つのグループに分類することができる。

不良チップの分布状況に基づいて同一のグループと判断された不良チップのＸ座標情報とＹ座標情報を本発明の分布領域描画方法で表現することにより、その不良チップのグループの分布を表現することができる。この際、用いる座標情報は１チップを１としたチップ配列の座標情報を用いてよいが、チップの平面形状は縦方向の長さと横方向の長さが等しいとは限らない。そこで、チップの座標情報は、メートル法など、チップ形状に依存しない座標が好ましい。例えば、ウエハの中心を原点とし、各チップの中心のＸＹ座標をメートル法の長さで表した座標情報を用いる。

図１６での不良グループ７に属する不良チップ５のチップ中心の座標情報を用い、本発明の分布領域描画方法により代表点を求め、不良グループ７に属する不良チップ５の分布を表現した図を図１７に示した。図１７で代表点は白抜き丸印で示されている。代表点を結んだ線が分布領域表示線である。

また、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対してＸ軸方向又はＹ軸方向に仮想代表点を設定して不良チップ５の分布を表現した図を図１８に示した。図１８で仮想代表点も白抜き丸印で示されている。仮想代表点を結んだ線が分布領域表示線である。

また、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対してＸ軸方向及びＹ軸方向の斜め４５°の方向に仮想代表点を設定して不良チップ５の分布を表現した図を図１９に示した。図１９で仮想代表点も白抜き丸印で示されている。仮想代表点を結んだ腺が分布領域表示線である。

図１７を見てわかるように、仮想代表点を用いなかった場合、不良グループ７に属する不良チップ５を十分に囲い込むことができないことがある。これに対し、図１８及び図１９に示すように、分布領域表示線が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対して仮想代表点を定義し、仮想代表点を通る線で分布領域表示線を描画すれば、不良グループ７に属する不良チップ５を十分に囲い込むことができる。

このように表現する分布によっては、仮想代表点を定義し、仮想代表点を通る曲線でデータ点の分布を表現したほうが好ましい場合もある。
また、半導体装置製造プロセスには、ウエハ上の異物や欠陥を測定する工程がある。これらの工程の情報もＸＹ座標情報で表されるものであり、本発明の分布領域描画方法を用いて異物や欠陥の分布を表現することが可能である。

また、図２０に示すようなデータ点の分布においては、上記の実施例のいずれの方法を用いても、分布の輪郭を表す分布領域表示線は特異な３点のデータ点を囲む形となる。一例として、図２０に示したデータ点の分布に対して図１のフローチャートを参照して説明した実施例を用いて描画した分布領域表示線を図２１に示す。

特異なデータの点を除いた分布領域表示線を描画したい場合は、分布代表点選定ステップの前に、複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、グループ設定ステップが設定したグループごとに分布代表点選定ステップ及び分布領域描画ステップを行ない、データ点の最も多いグループのデータ点に絞り込んで、分布領域表示線を描画すればよい。ここで、距離しきい値は、予め定められた値でもよいが、データ点分布に依存して変わる値を用いてもよい。例えば、各データ点の相互の最短距離を求め、最短距離の平均＋３σ（σは標準偏差）を距離しきい値として用いてもよい。

図２０に示したデータ点に対して、データ点のグループ化を行ない、データ点数の最も多いグループに関して図１のフローチャートを参照して説明した実施例を用いて描画した分布領域表示線を図２２に示す。また、図２０に示したデータ点に対して、データ点のグループ化を行ない、各グループに関して図１のフローチャートを参照して説明した実施例を用いて描画した分布領域表示線を図２３に示す。

図２４は、図２に示した数値データＡと数値データＢの散布図を属性Ｚ１，Ｚ２で層として表示したものである。図２４中で、属性Ｚ１のデータ点は丸印で示され、属性Ｚ２のデータ点は四角印で示されている。
図２４に示すように、属性Ｚ１，Ｚ２のデータ点の分布領域が重なっている場合、属性Ｚ１，Ｚ２のデータ点の分布領域はわかりにくい。

図２５は、図２４に示したデータ点に対して図５のフローチャートを参照して説明した実施例を用いて属性Ｚ１，Ｚ２ごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。実線は属性Ｚ１のデータ点の分布領域表示線を示し、破線は属性Ｚ２のデータ点の分布領域表示線を示している。
図２５を見ると分かるように、属性Ｚ１，Ｚ２ごとに分布領域表示線を求めることにより、属性Ｚ１，Ｚ２のデータ点の分布領域が分かりやすくなる。

図２６は、図２に示した数値データＡに対する数値データＢと数値データＣの散布図を層として表示したものである。図２６中で、数値データＢのデータ点は丸印で示され、数値データＣのデータ点は四角印で示されている。
図２６において、数値データＢ，Ｃのデータ点の分布領域が重なっているので、数値データＢ，Ｃのデータ点の分布領域はわかりにくい。

図２７は、図２６に示したデータ点に対して図５のフローチャートを参照して説明した実施例を用いて数値データＢ，Ｃごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。実線は数値データＢのデータ点の分布領域表示線を示し、破線は数値データＣのデータ点の分布領域表示線を示している。

図２７を見ると分かるように、数値データＢ，Ｃごとに分布領域表示線を求めることにより、数値データＢ，Ｃのデータ点の分布領域が分かりやすくなる。
このように、本発明の分布領域描画方法は２つ以上の層のデータ点を重ねて１つの散布図に表現する際に特に有効である。

上記の実施例では、代表点を分布領域表示線が交差しない順番に結線して分布領域表示線を描画しているが、本発明はこれに限定されるものではなく、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。
例えば、図７に示した代表点に対して、図２８に示すように、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画してもよい。この場合でも、データ点の分布領域の輪郭を適切に表現することができる。図２８では代表点と代表点を直線で結んでいるが、分布領域表示線の輪郭を現す線は図７と同様に曲線であってもよい。

上記で説明した実施例の各ステップは、各ステップを処理するためのプログラムを作製し、コンピュータを用いてそのプログラムを実行させることによって実現できる。

以上、本発明の実施例を説明したが、本発明はこれらに限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載された本発明の範囲内で種々の変更が可能である。
例えば、各実施例の説明において描画された散布図を用いたが、本発明の各ステップにおいて描画済みの散布図が必要なわけではない。すなわち、対になった２つの変数をもつ複数のデータがあれば各ステップの処理を行なえる。
また、各実施例の説明において、描画された散布図に領域を分割するための分割用直線を図示したが、本発明の各ステップにおいて、分割用直線の図示も必ずしも必要ではない。

また、本発明において、分割領域に代表点がない場合は、その分割領域は代表点がないものとしてそれ以後の処理を行なえばよい。
また、本発明において、分割領域の数に限定はない。また、分割領域の大きさは均等でなくてもよい。

一実施例を説明するためのフローチャートである。 同実施例で用いたデータの一部を表す図表である。 図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域をＹ軸方向で８分割するための分割用直線を図示した図である。 同実施例で求めた分布領域表示線を描画した結果を示す図である。 他の実施例を説明するためのフローチャートである。 図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域をＸ軸方向で８分割するための第２分割用直線を図示した図である。 同実施例で求めた分布領域表示線を描画した結果を示す図である。 さらに他の実施例を説明するためのフローチャートである。 図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域を１２分割するための分割用直線及び第３分割用直線を図示した図である。 同実施例で求めた分布領域表示線を描画した結果を示す図である。 図９のデータ点分布に対して追加で代表点を求めて分布領域表示線を描画した結果を示す図である。 図２のデータを点として表した散布図にデータ点の分布領域を１２分割するための分割用直線及び回帰直線と分布領域表示線を図示した図である。 図１２の代表点に回帰直線上の代表点を追加して分布領域表示線を描画した図である。 図１２の代表点に回帰直線上の代表点を追加し、かつ端の分割領域の代表点を無視して分布領域表示線を描画した図である。 図７に示した代表点に対して分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画した状態を示す図である。 ウエハテスト結果の一例を示す図である。 図１６での不良グループ７に属する不良チップ５のチップ中心の座標情報を用い、本発明の分布領域描画方法により代表点及び分布領域表示線を求めた結果を示す図である。 図１７の代表点に対して、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向にＸ軸方向又はＹ軸方向に仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画した状態を示す図である。 図１７の代表点に対して、分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に代表点に対してＸ軸方向及びＹ軸方向の斜め４５°の方向に仮想代表点を設定し、仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画した状態を示す図である。 散布図のさらに他の例を示す図である。 図２０の散布図に対して、図１のフローチャートを参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。 図２０の散布図に対して、データ点のグループ化を行ない、データ点数の最も多いグループに関して図１のフローチャートを参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。 図２０の散布図に対して、データ点のグループ化を行ない、各グループに関して図１のフローチャートを参照して説明した実施例と同様の工程で描画した分布領域表示線を示す図である。 図２に示した数値データＡと数値データＢの散布図を属性Ｚ１，Ｚ２で層として表示した散布図である。 図２４に示したデータ点に対して、図５のフローチャートを参照して説明した実施例と同様の工程で属性Ｚ１，Ｚ２ごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。 図２に示した数値データＡに対する数値データＢと数値データＣの散布図を層として表示した散布図である。 図２６に示したデータ点に対して、図５のフローチャートを参照して説明した実施例と同様の工程で数値データＢ，Ｃごとに分布領域表示線を求めた結果を示す図である。 図７に示した代表点に対して、各代表点から他のすべての代表点に線を結んで分布領域表示線を描画した結果を示す図である。

符号の説明

Ａ１〜Ａ１２，Ｘ１〜Ｘ８，Ｙ１〜Ｙ８ 分割領域
Ｌ１ 分割用直線
Ｌ２ 第２分割用直線
Ｌ３ 第３分割用直線
Ｔ１〜Ｔ３ データ点のない分割領域に対する代表点
Ｔ４，Ｔ５ 回帰直線上の代表点
１ ウエハ
３ 良品チップ
５ 不良チップ
７ 不良グループ

Claims (15)

1. 対になった２つの変数をもつ複数のデータに対してコンピュータにより実行される方法であって、
   前記複数のデータの散布図の領域をデータ点の分布領域を横切る１本又は互いに平行な複数本の分割用直線によって２つ以上の領域に分割し、分割領域ごとに分割領域内のデータ点のうち前記分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点として選定する分布代表点選定ステップと、
   前記代表点を結線して分布領域表示線を描画する分布領域描画ステップと、を含んだ散布図におけるデータ点の分布領域描画方法。
2. 前記分布領域描画ステップは、前記代表点を前記分布領域表示線が交差しない順番に結線して前記分布領域表示線を描画する請求項１に記載の分布領域描画方法。
3. 前記分布代表点選定ステップは、散布図の一方の座標軸と平行に前記分割用直線を設定して分割領域ごとに他方の座標軸の座標値について最大値をもつデータ点と最小値をもつデータ点を前記代表点として選定する請求項１又は２に記載の分布領域描画方法。
4. 前記分布代表点選定ステップは、分割領域ごとに分割領域内のデータ点のうち前記分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点をデータ点分布の代表点候補として選定した後、前記分割用直線に交差し、かつデータ点の分布領域を横切る１本又は互いに平行な複数本の第２分割用直線によって、散布図の領域を２つ以上の領域に分割したときの各分割領域で分割領域内のデータ点のうち前記第２分割用直線が延びる２方向でそれぞれ最も外側に位置するデータ点であり、かつ前記代表点候補であるデータ点を前記代表点として選定する請求項１又は２に記載の分布領域描画方法。
5. 前記分割用直線と前記第２分割用直線は互いに直交している請求項４に記載の分布領域描画方法。
6. 前記分割用直線は散布図の一方の座標軸と平行に設定され、前記第２分割用直線は散布図の他方の座標軸と平行に設定される請求項５に記載の分布領域描画方法。
7. 前記分布代表点選定ステップは、前記分割用直線に交差し、かつ前記データ点の分布領域を横切る第３分割用直線と前記分割用直線とによって散布図の領域を分割し、分割領域ごとに前記第３分割用直線から最も離れたデータ点を前記代表点として選定する請求項１又は２に記載の分布領域描画方法。
8. 前記分割用直線と前記第３分割用直線は互いに直交している請求項７に記載の分布領域描画方法。
9. 前記分布代表点選定ステップは、前記第３分割用直線を挟んで対向する２つの分割領域のうち一方にデータ点がなく、他方に２つ以上のデータ点がある場合に、その２つ以上のデータ点がある分割領域のデータ点のうち前記第３分割用直線に最も近いデータ点をデータ点のない分割領域の代表点として選定する請求項７又は８に記載の分布領域描画方法。
10. 前記第３分割用直線は前記複数のデータ点の回帰直線である請求項７から９のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
11. 前記分布代表点選定ステップは、散布図の２つの座標軸のいずれか一方の座標軸について前記複数のデータ点の分布領域の最大値と最小値を求め、その最大値と最小値の前記複数のデータ点の回帰直線上の点に代表点を追加する請求項１から１０のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
12. 前記分布代表点選定ステップの前に、前記複数のデータ点について相互間距離を求め、予め定められた距離しきい値以下の相互間距離をもつデータ点同士をグループ化するグループ設定ステップを含み、
    前記グループ設定ステップが設定したグループごとに前記分布代表点選定ステップ及び前記分布領域描画ステップを行なう請求項１から１１のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
13. 前記分布代表点選定ステップ及び前記分布領域描画ステップは、前記グループ設定ステップが設定したグループのうち一番多くのデータ点を含むグループについてのみ処理を行なう請求項１２に記載の分布領域描画方法。
14. 前記分布領域描画ステップは、前記分布領域表示線の輪郭が所定範囲だけ広がる方向に前記代表点に対して仮想代表点を設定し、前記仮想代表点を結線して分布領域表示線を描画する請求項１から１３のいずれか一項に記載の分布領域描画方法。
15. 請求項１から１４のいずれか一項に記載の各ステップをコンピュータに実行させるための、散布図におけるデータ点の分布領域描画プログラム。

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