JP4271041B2 - 空間的４次キュムラント行列束を利用したブラインド音源分離 - Google Patents

Description

発明の詳細な説明

本出願は、その内容のすべてが参照することによりここに含まれる、２００２年４月２２日に出願された米国仮特許出願第６０/３７４，１４９号「空間的４次キュムラント行列束を利用したブラインド音源分離（Ｂｌｉｎｄ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ａ Ｓｐａｔｉａｌ Ｆｏｕｒｔｈ Ｏｒｄｅｒ Ｃｕｍｕｌａｎｔ Ｍａｔｒｉｘ Ｐｅｎｃｉｌ）」に対する優先権を主張する。

本発明は、一般に、複数の音源信号から個々の音源信号を分離することに関し、より詳細には、ブラインド音源分離（ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ）に関する。

しばしばブラインド音源分離（ＢＳＳ）と呼ばれる信号処理における古典的問題は、複数の音源信号の混合からなる合成信号から個々の音源信号を復元することに関する。よく知られた例として、パーティのある参加者が会場のあらゆる声の組み合わせから１つの声を分離することができる「カクテルパーティ」効果があげられる。この分離は、信号に関する限られた情報と信号源により実行されるため、「ブラインド」と呼ばれる。

ブラインド音源分離（ＢＳＳ）は、特に、多数の周波数帯域がしばしば同一のスペクトルに共存する多数の電磁エミッタにより散在する携帯及びパーソナル無線通信技術に適用可能である。コチャネル（ｃｏ−ｃｈａｎｎｅｌ）エミッタの問題は、ブルートゥース（登録商標）などの低出力の免許不要な無線技術及び他のパーソナルエリアネットワークの進歩により、これからも悪化していくものと予想される。これらの進歩により、スペクトルモニタリングを行うための様々なセンサ及びアレー信号処理技術の利用がもたらされた。このような技術は、空間情報を利用することにより、同一チャネルの検出、分類及び識別のための分離を可能にする。さらに、低検出確率（ＬＰＤ）または低傍受確率（ＬＰＩ）に対し設計された多くの信号は、環境背景電磁放射や既知の同一チャネルエミッタを隠匿手段として利用しているかもしれない。このようなエミッタに対する必要とされる感度を有する単一のセンサ受信システムを構築することは、一般に高価なものとなる。このため、多くのアプリケーションは、ＢＳＳとセンサアレーを利用する。

ＢＳＳ問題を解決するのにいくつかの手法が提案されてきた。これらの手法は、主として２つのグループに分類することができる。第１のグループは２次統計量に基づくものであり、第２のグループは、独立成分分析（ＩＣＡ）や他の高次スペクトル推定及び空間フィルタリング技術に基づくものなどの高次統計量に基づくものである。

１つの２次ブラインド音源分離技術として、到来方向を推定するため、信号部分空間の回転不変性を利用するスペクトル推定方法がある。ＥＳＰＲＩＴ（Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｉｇｎａｌ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｖｉａ Ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ）として知られるこの手法は、キャリブレートされた要素ペアを用いて、空間相関及び相互相関行列により構成される行列束を用いる。例えば、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、Ｒ．Ｒｏｙ、Ａ．Ｐａｕｌｒａｊ及びＴ．Ｋａｉｌａｔｈによる「部分空間回転法による到来方向推定（Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ−ｏｆ−Ａｒｒｉｖａｌ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｂｙ Ｓｕｂｓｐａｃｅ Ｒｏｔａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ）」（Ｐｒｏｃ．ＩＣＡＳＳＰ８６，ｐｐ．２４９５−２４９８）、Ｒ．Ｒｏｙ及びＴ．Ｋａｉｌａｔｈによる「ＥＳＰＲＩＴ−Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｉｇｎａｌ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｖｉａ Ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ ＡＳＳＰ，Ｖｏｌ．３７，Ｎｏ．７，Ｊｕｌ．１９８９，ｐｐ．９８４−９９５）などを参照せよ。しかしながら、ＥＳＰＲＩＴの欠点は、極めて低い信号対雑音比では、信号プラス雑音部分空間及び雑音部分空間を区別することができず、空間相関行列の雑音部分空間の変換を非実用的なものにしてしまうということである。これは、部分的には、雑音部分空間を空間相関行列の零部分空間に変換するための雑音分散の推定を要し、雑音が空間白色であるということを仮定するＥＳＰＲＩＴによる。

他の２次ブラインド音源分離技術として、Ｇｏｄｄａｒｄのアルゴリズムとしても呼ばれるＣＭＡ（Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｍｏｄｕｌｕｓ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）として知られるものがある。ＣＭＡは、アダプティブな空間フィルタリング技術であり、出力信号に可能な限りユニティ（ｕｎｉｔｙ）に近接した包絡線を具備させる空間フィルタタップ重み係数群を決定することによる音源分離の実行に利用される。典型的には、すべての音源信号を逐次的に分離するため、ＣＭＡが実行される。ＣＭＡは、電話チャネル上のＦＳＫ、ＰＳＫ及びＦＭ変調信号などの定包絡線信号の符号間干渉を低減させ（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｄ．Ｎ．Ｇｏｄａｒｄによる「２次元データ通信システムにおける自己回復等化及び搬送波追跡（Ｓｅｌｆ−ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ Ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃａｒｒｉｅｒ Ｔｒａｃｋｉｎｇ ｉｎ Ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｄａｔａ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｃｏｍｍｕｎ．，Ｖｏｌ．ＣＯＭＭ−２８，Ｎｏｖ．１９８０，ｐｐ．１８６７−１８７５）、マルチパスフェージングに対抗し、同一チャネル干渉信号を抑制するため、ブラインド等化を実行する（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｂ．Ｇ．Ａｇｅｅによる「ブラインドアダプティブ信号抽出に対する属性回復アプローチ（Ｔｈｅ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ｒｅｓｔｏｒａｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｂｌｉｎｄ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｓｉｇｎａｌ Ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ）」（カリフォルニア大デービス校電子工学コンピュータサイエンス学部博士論文，１９８９）を参照せよ）ブラインド等化技術としての利用に提案されてきた。しかしながら、ＣＭＡ技術は、定包絡線を有する信号にのみ機能し、大部分の用途に対して実用的でない。実際、信号は送信側における自らのスペクトル占有を制限し、受信側における雑音帯域幅を制限するようフィルタリングされるため、真の定包絡線信号はほとんど存在しなくなってしまう。さらに、極めて低い信号対雑音比では、雑音が入力信号を凌駕し、空間フィルタの出力信号の包絡線に歪みを生じさせ、調整に用いられる誤り信号に大きな変動をもたらしてしまう。

さらなる他の２次ブラインド音源分離技術として、音源信号が周期定常的であるという仮定により、２次周期定常的統計量を用いた空間フィルタリング技術がある。この技術は、ブラインド等化において用いられるブラインドＳＩＳＯ（Ｓｉｎｇｌｅ−Ｉｎｐｕｔ Ｓｉｎｇｌｅ−Ｏｕｔｐｕｔ）チャネル識別技術として開発され（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｌ．Ｔｏｎｇ，Ｇ．Ｘｕ及びＴ．Ｋａｉｌａｔｈらによる「２次統計量に基づくブラインド識別及び等化：時間領域アプローチ（Ｂｌｉｎｄ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｅｃｏｎｄ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ：Ａ Ｔｉｍｅ−Ｄｏｍａｉｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，Ｖｏｌ．４０，Ｎｏ．２，Ｍａｒ．１９９４，ｐｐ．３４０−３４９）を参照せよ）、以降において周期定常的信号のブラインド分離を実行するのに構成されたものである（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｌ．Ｃａｓｔｅｄｏ及びＡ．Ｒ．Ｆｉｇｕｅｉｒａｓ−Ｖｉｄａｌらによる「周期定常的信号特性に基づくアダプティブビーム形成技術（Ａｎ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｃｙｃｌｏｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４３，Ｎｏ．７，Ｊｕｌ．１９９５，ｐｐ．１６３７−１６５０）を参照せよ）。この周期定常的アプローチの１つの欠点は、複数の重ね合わせされた信号を分離するのに、異なる符号レート及び/または異なる搬送波周波数が必要されるということである。さらにもう１つの欠点として、ランダムな初期位相による残留搬送波オフセットにより、信号が定常状態になり、周期定常の仮定が無効になってしまうということがあげられる。さらに他の欠点として、当該アプローチは非線形または非デジタル変調を用いる音源の分離を不可能にするというものや、当該アプローチは雑音ベクトルが時間的及び空間的に白色であるということを仮定することなどがあげられる。

さらなる他の２次統計量に基づくブラインド音源分離技術として、ＳＯＢＩ（Ｓｅｃｏｎｄ−Ｏｒｄｅｒ Ｂｌｉｎｄ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ）と呼ばれるものがあげられる。当該技術の説明として、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ａ．Ｂｅｌｏｕｃｈｒａｎｉ，Ｋ．Ａｂｅｄ−Ｍｅｒａｉｍ，Ｊ．Ｆ．Ｃａｒｄｏｓｏ及びＥ．Ｍｏｕｌｉｎｅｓらによる「２次統計量を利用したブラインド音源分離（Ｂｌｉｎｄ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｓｅｃｏｎｄ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４５，Ｎｏ．２，Ｆｅｂ．１９９７，ｐｐ．４３４−４４４）を参照せよ。当該技術は、音源信号の時間コヒーレンスを利用し、共分散行列群の同時対角化（ｊｏｉｎｔ ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ）に拠る。当該技術の欠点は、加法性雑音が時間的に白色であることを求め、ゼロラグ（ｚｅｒｏ ｌａｇ）行列の固有値を使って、雑音分散を推定し、センサ出力ベクトルを空間的に無相関化（ｗｈｉｔｅｎ）するということである。他の欠点は、低信号対雑音比において、雑音分散の推定は良くても困難なものであり、大抵の場合には不可能であるということである。さらなる他の欠点は、音源数が既知または推定されねばならないということである。さらに、他の欠点とし、空間的に相関する雑音に対し、ＳＯＢＩ技術が有効であるということがある。雑音分散の推定は、高信号対雑音比であっても極めて困難であり、当該技術を非実用的なものにしてしまう。

他の２次ブラインド音源分離技術として、空間共分散行列束の一般化固有分解に基づくものがある。当該技術は、ＥＳＰＲＩＴアルゴリズムに関するものであるが、空間共分散行列のペアの推定に時間及び/または極性ダイバーシチが利用されるため、（Ｎ−１）までの信号を分離するのに２Ｎセンサを必要としない。当該技術は、デュアル偏向アレーを使用し、行列束の生成に２つの直交偏波に関する空間共分散行列を推定する。あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ａ．Ｂｅｌｏｕｃｈｒａｎｉ，Ｋ．Ａｂｅｄ−Ｍｅｒａｉｍ，Ｊ．Ｆ．Ｃａｒｄｏｓｏ及びＥ．Ｍｏｕｌｉｎｅｓらによる「２次統計量を利用したブラインド音源分離（Ｂｌｉｎｄ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｓｅｃｏｎｄ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４５，Ｎｏ．２，Ｆｅｂ．１９９７，ｐｐ．４３４−４４４）を参照せよ。以降において、これは行列束の生成にゼロタイムラグと非ゼロタイムラグにおける空間共分散行列の利用に発展する。当該技術の１つの欠点は、Ｎのセンサにより（Ｎ−１）までの音源を分離するという制限があるということである。これは部分的には、当該アプローチがＥＳＰＲＩＴと同様の雑音分散の推定を要し、雑音が空間的及び時間的に白色であるということを仮定することによる。

最後に、他の２次ブラインド音源分離技術として、空間共分散行列の推定において２つの非ゼロタイムラグを利用するものがある。あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｃ．Ｃｈａｎｇ，Ｚ．Ｄｉｎｇ，Ｓ．Ｆ．Ｙａｕ及びＦ．Ｈ．Ｙ．Ｃｈａｎらによる「白色雑音における非白色音源のブラインド分離に対する行列束アプローチ（Ａ Ｍａｔｒｉｘ−Ｐｅｎｃｉｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｂｌｉｎｄ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎ−Ｗｈｉｔｅ Ｓｏｕｒｃｅｓ ｉｎ Ｗｈｉｔｅ Ｎｏｉｓｅ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４８，Ｎｏ．３，Ｍａｒ．２０００，ｐｐ．９００−９０７）を参照せよ。雑音ベクトルが時間的に白色であるという仮定と結び付く非ゼロタイムタグは、雑音部分空間を取り除くため、雑音分散推定の必要性を解消し、これにより、ＮのセンサによりＮまでの音源の分離を可能にする。しかしながら、当該２次行列束技術の欠点として、雑音ベクトルが時間的に白色であることが求められ、分離行列の推定が信号自己相関がその最大値にあるときのゼロタイムラグにおける空間共分散行列の１つによっては行われないということがあげられる。これらの欠点は、多くの実用例では、雑音帯域幅が雑音と信号の無相関回数をほぼ等しくする信号帯域幅のオーダに制限されるという事実により増幅される。

高次ブラインド音源分離技術は、２より大きな次数の統計量を用いるあらゆる方法を含むものである。これらには、独立成分分析（ＩＣＡ）法、空間フィルタリング法、空間推定に基づく方法が含まれ、３以上の次数のモーメントあるいはキュムラントが利用可能である。

独立成分分析（ＩＣＡ）法は、分離過程の出力の統計的独立を最大化する分離行列を求めるものである。あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ａ．Ｋ．Ｎａｎｄｉによる「高次統計量を利用したブラインド推定（Ｂｌｉｎｄ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ，Ｄｏｒｄｅｃｈｔ，Ｔｈｅ Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：１９９９）、Ａ．Ｈｙｖａｒｉｎｅｎによる「独立成分分析に関するサーベイ（Ｓｕｒｖｅｙ ｏｎ Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ）」（Ｎｅｕｒａｌ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｕｒｖｅｙｓ，Ｖｏｌ．２，Ｎｏ．１，１９９９，ｐｐ．９４−１２８）及びＪ．Ｆ．Ｃａｒｄｏｓｏによる「ブラインド信号分離：統計的原理（Ｂｌｉｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ：Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ）」（Ｐｒｏｃ．ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ，Ｖオｌ。９、Ｎｏ．１０，Ｏｃｔ．１９９８，ｐｐ．２００９−２０２５）を参照せよ。様々なＩＣＡが知られており、統計的独立を測定するのに用いられる目的/コントラスト（ｃｏｎｔｒａｓｔ）関数により主として区別される。ＩＣＡベースのブラインド音源分離アルゴリズムの例として、ニューラルネットワークの利用により非線形相関の相殺を介し分離を実現しようとするＪｕｔｔｅｎ−Ｈｅｒａｕｌｔアルゴリズム（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｃ．Ｊｕｔｔｅｎ及びＪ．Ｈｅｒａｕｌｔらによる「音源のブラインド分離，パートＩ：神経模倣的構成（Ｂｌｉｎｄ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｏｕｒｃｅｓ，Ｐａｒｔ Ｉ：Ａｎ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎｅｕｒｏｍｉｍｅｔｉｃ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ）」（Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．２４，１９９１，ｐｐ．１−１０）、高次固有値分解あるいはＨＯＥＶＤ法（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｐ．Ｃｏｍｏｎによる「独立成分分析，新たな概念か？（Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ａ Ｎｅｗ Ｃｏｎｃｅｐｔ？）」（Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．３６，Ｎｏ．３，Ａｐｒ．１９９４，ｐｐ．２８７−３１４）を参照せよ）、４次キュムラントテンソルの固有構造を利用するＪＡＤＥ（Ｊｏｉｎｔ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ Ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｉｇｅｎ ｍａｔｒｉｃｅｓ）アルゴリズム（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｊ．Ｆ．Ｃａｒｄｏｓｏ及びＡ．Ｓｏｕｌｏｕｍｉａｃらによる「非ガウス信号に対するブラインドビーム形成（Ｂｌｉｎｄ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ ｆｏｒ Ｎｏｎ−Ｇａｕｓｓｉａｎ Ｓｉｇｎａｌｓ）」（ＩＥＥＥ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ Ｆ，Ｖｏｌ．１４０，Ｎｏ．６，Ｄｅｃ．１９９３，ｐｐ．３６２−３７０）を参照せよ）、出力エントロピーを最大化する分離行列を求める情報最大化またはインフォマックス（ｉｎｆｏｍａｘ）手法（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ａ．Ｊ．Ｂｅｌｌ及びＴ．Ｊ．Ｓｅｊｎｏｗｓｋｉらによる「ブラインド音源分離及びブラインドデコンボリューションに対する情報最大化アプローチ（Ａｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ−Ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｂｌｉｎｄ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｂｌｉｎｄ Ｄｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ）」（Ｎｅｕｒａｌ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，Ｖｏｌ．７，１９９５，ｐｐ．１１２９−１１５９）を参照せよ）、センサ出力データでの変換が推定される混合行列での同様の変換を生成するよう混合行列の推定が選択されるエクイバリアンス（ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｃｅ）アダプティブ音源分離またはＥＡＳＩアルゴリズム（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｊ．Ｆ．Ｃａｒｄｏｓｏ及びＢ．Ｈｖａｍ Ｌａｈｅｌｄらによる「エクイバリアンスアダプティブ音源分離（Ｅｑｕｉｖａｒｉａｎｃｅ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４４，Ｎｏ．１２，Ｄｅｃ．１９９６，ｐｐ．３０１７−３０３０）を参照せよ）があげられる。これらＩＣＡ技術は、（１）プリホワイトニングステップが必要である、（２）当該技術は用途に対してパラメータ調整が必要である、及び（３）ＩＣＡベース技術は収束時間が遅くなる傾向がある、の欠点がある。

ＫＭＡ（Ｋｕｒｔｏｓｉｓ Ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）として知られる他の高次ブラインド音源分離技術は、分離手段として尖度（ｋｕｒｔｏｓｉｓ）を利用する（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｚ．Ｄｉｎｇによる「自動ビーム形成のための新しいアルゴリズム（Ａ Ｎｅｗ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ）」（Ｐｒｏｃ．２５ｔｈ Ａｓｉｌｏｍａｒ Ｃｏｎｆ．Ｓｉｇｎａｌｓ，Ｓｙｓｔ．，Ｃｏｍｐｕｔ．，Ｖｏｌ．２，１９９１，ｐｐ．６８９−６９３）、及びＺ．Ｄｉｎｇ及びＴ．Ｎｇｕｙｅｎらによる「ブラインド信号分離及びアンテナビーム形成のための尖度最大化アルゴリズムの定常点（Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ Ｋｕｒｔｏｓｉｓ Ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｂｌｉｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｎｔｅｎｎａ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４８，Ｎｏ．６，Ｊｕｎ．２０００，ｐｐ．１５８７−１５９６）を参照せよ）。ＫＭＡは、非決定性収束時間を有するアダプティブ空間フィルタリング技術である。ＫＭＡの１つの欠点は、音源信号を同時に分離できないということである。ＫＭＡは、最大尖度を有する信号から始まって、音源が逐次的に分離されることを求める。このため、信号数に関する知識は当該技術によっては与えられない。ＫＭＡの他の欠点は、雑音が空間的に白色であることが要求され、複数の信号によるその収束は雑音のない場合においてのみ保証される。

最後に、他の高次ＢＳＳ技術として、ＥＳＰＲＩＴアルゴリズムの高次のものがあげられる。この名前が含意するように、高次ＥＳＰＲＩＴは、空間相関または共分散行列を空間４次キュムラント行列と置き換える。様々なタイプの高次ＥＳＰＲＩＴ技術の説明のため、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｈ．Ｈ．Ｃｈｉａｎｇ及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓらによる「高次統計量によるＥＳＰＲＩＴアルゴリズム（Ｔｈｅ ＥＳＰＲＩＴ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（Ｐｒｏｃ．Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖａｉｌ，ＣＯ．，Ｊｕｎ．１９８９，ｐｐ．１６３−１６８）、Ｃ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク（Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ａ Ｎｏｎ−Ｌｉｎｅａｒ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ）」（ＰＴＲＰｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）、及びＭ．Ｃ．Ｄｏｇａｎ及びＪ．Ｍ．Ｍｅｎｄｅｌらによる「アレー処理に対するキュムラントの応用−パートＩ：開口拡張及びアレーキャリブレーション（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｃｕｍｕｌａｎｔｓ ｔｏ ＡｒｒａｙＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ−Ｐａｒｔ Ｉ：Ａｐｅｒｔｕｒｅ Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ Ａｒｒａｙ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇａｎｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４３，Ｎｏ．５，Ｍａｙ １９９５，ｐｐ．１２００−１２１６）を参照せよ。これら高次ＥＳＰＲＩＴ技術はいくつかの欠点を有する。これら高次ＥＳＰＲＩＴ技術の一部はＮ個のペアのセンサのキャリブレーションを必要とするが、雑音分散をもはや推定する必要がないため、Ｎまでの音源の分離が可能である。他の高次ＥＳＰＲＩＴ技術は、センサのペアが同一のマニホールドを有することを保証するため（標準的ＥＳＰＲＩＴと同様）、アレーをキャリブレーションすることが要求される。これら技術は、センサペアのマニホールドが互いに離れるに従い、パフォーマンスの大きな劣化をもたらす。

上記ブラインド音源分離技術のそれぞれは、上記欠点を有する。さらに、上記ブラインド音源分離技術の何れもが、信号対雑音プラス干渉比が低い状況では、満足に動作しない。従って、より向上したブラインド音源分離技術が所望される。

本発明の一実施例では、複数の音源から与えられ、複数の素子からなるアレーにより受信される複数の信号を分離する方法は、前記複数の素子による前記複数の信号の受信間の時間差の関数としての分離行列と、空間４次キュムラント行列束とを生成するステップを有する。本方法はまた、前記分離行列と前記複数の信号の行列表現を乗算するステップを有する。

本発明の他の実施例では、複数の音源により与えられる複数の信号を分離するシステムは、前記複数の信号の受信及び提供を行う受信機を有する。本システムはまた、前記受信した信号の受信、分離行列の生成、及び前記分離行列と前記受信した信号の行列表示の乗算を行う信号プロセッサを有する。前記分離行列は、前記受信機による前記複数の信号の受信間の時間差の関数及び空間４次キュムラント行列束の関数である。
［詳細な説明］
本発明によるブラインド音源分離（ＢＳＳ）を実行する技術は、信号部分空間のスペクトル推定に関連してキュムラントを利用することにより、狭帯域の仮定の下での低い信号対雑音比での統計的に独立な複数の信号のブラインド分離を実行する。本発明によるＢＳＳ技術は、２つの類似した空間４次キュムラント行列上で定義される行列束の一般化固有分析を活用したものである。ここで開示されるＢＳＳ技術は、空間及び/または時間相関したガウス雑音における複数の信号を分離することが可能な、低信号対雑音比において線形混合した未知の統計的に独立した定常的狭帯域信号をブラインド分離する行列束の一般化固有分析による高次統計量方法、具体的には４次キュムラントを利用したものである。本発明によるＢＳＳ技術は、例えば、音源数がセンサ数に等しい場合における低信号対雑音比において、ブラインド分離を実行する２次技術が見出されていない状況において、複数の信号をブラインド分離する方法を提供する。

本発明によるＢＳＳ技術を説明するため、一様でないゲイン及び/または方向性を有するセンサによるブラインド音源分離に適した空間４次キュムラント行列の定義と、時間情報を利用した空間４次キュムラント行列束の定義が与えられる。また、ここでの説明は、ＢＳＳ技術のパフォーマンスの尺度として分離出力効率（ＳＰＥ）の概念を利用し、行列束の間の広い意味での等価性の概念を行列代数の分野に適用する。

概観すると、ここで説明されるＢＳＳ技術は、信号部分空間のスペクトル推定に関連してキュムラントを利用することにより、低信号対雑音比での空間及び/または時間相関した雑音の存在下におけるブラインド音源分離を行う。キュムラントに基づく分離アルゴリズムを導く前に、狭帯域モデルが構成され、すべての仮定が説明され、４つのパフォーマンス尺度が定義され、空間キュムラント行列からの空間混合行列情報の抽出を可能にする関連するキュムラントの性質が与えられる。その後、新規な空間キュムラント行列の定義が構成され、混合行列に関する空間情報の抽出にどのような数学的手法が有効であるか判断するため、当該行列に関連する行列の性質が導かれる。さらに、空間４次キュムラント行列に対する他の２つの定義が述べられ、関連する性質が導かれる。さらに、２つの類似した空間４次キュムラント行列上で定義される行列束の一般化固有分析の定義、性質及び利用が検討され、音源分離問題の解法へのそれらの適用可能性が調べられる。行列束を利用した信号部分空間技術に基づくブラインド音源分離を実行するための処理が説明される。当該処理において、行列束間における広い意味での等価の概念が構成され、その後、２つの類似した空間４次キュムラント行列上で定義される行列束の一般化固有値が、タイムラグ（０，０，０）での各音源の４次キュムラントのタイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）での４次キュムラントに対する比率に等しいということを示すのに利用される。これにより、正規化４次自己キュムラント（ａｕｔｏ−ｃｕｍｕｌａｎｔ）関数が導入される。本発明によるＢＳＳ技術の理解にさらに資するため、ここで使用される記号が以下に示される。

図１は、本発明の一実施例による空間４次キュムラント行列束を利用したブラインド音源分離を行うシステム１００の機能ブロック図である。システム１００は、受信機１１と信号プロセッサ１２から構成される。受信機１１は、複数の音源から供給される複数の信号を示す信号ｓ（ｔ）を受信し、信号ｘ（ｔ）を信号プロセッサ１２に提供する。受信機１１は、信号ｓ（ｔ）を受信するよう構成される任意の受信機であってよい。例えば、信号ｓ（ｔ）は、音響信号、光信号、地震信号、電磁信号あるいは上記の組み合わせであってもよく、受信機１１は、各自のタイプの信号を受信するよう構成されてもよい。一実施例では、受信機１１は、複数の素子を有するアレーとして構成される。信号ｓ（ｔ）は、受信され、適切に処理され（例えば、時間遅延及び多重化など）、信号ｘ（ｔ）の形で信号プロセッサ１４に与えられる。

信号プロセッサ１２は、汎用コンピュータ、ラップトップコンピュータ、特定用途向けコンピュータ、ハードウェアにより実現されるプロセッサ、あるいは上記の組み合わせなどの信号ｘ（ｔ）を処理するよう構成された任意の適切なプロセッサであってもよい。信号ｘ（ｔ）は、光信号、電磁信号、デジタル信号、アナログ信号、あるいは上記の組み合わせなどの任意の適切なフォーマットであってもよい。以下でより詳細に説明されるように、信号プロセッサ１２は、行列束推定部１３、非零有限固有値決定部１４、固有値数決定部１５、重複度決定部１６、線形独立固有ベクトル計算部１７、正規化係数計算部１８、分離ベクトル生成部１９、分離行列生成部２０及び任意的な分離パワー効率計算部２１から構成される。行列束推定部１３は、受信機１１の素子への信号ｓ（ｔ）の到来時間差の関数として、空間４次キュムラント行列束を推定するよう構成される。非零有限固有値決定部１４は、空間４次キュムラント行列束に対する非零有限固有値を決定するよう構成される。固有値数決定部１５は、相異なる固有値の個数を決定するよう構成される。重複度決定部１６は、相異なる有限の固有値のそれぞれの重複度を決定するよう構成される。線形独立固有ベクトル計算部１７は、相異なる有限の固有値のそれぞれに対して、線形独立な固有ベクトルを計算するよう構成される。正規化係数計算部１８は、重複度が１である各固有値に対して、正規化係数を計算し、当該正規化係数の関数として各自の分離ベクトルと、重複度が１である固有値に対応する固有ベクトルを生成するよう構成される。分離ベクトル生成部１９は、繰り返される固有値のそれぞれに対して、当該固有値に対応する固有ベクトルの関数として分離ベクトルを生成するよう構成される。分離行列生成部２０は、分離ベクトルの関数として分離行列を生成するよう構成される。任意的な分離パワー効率計算部２１は、式ζ_ｊ≡Ｓ_ｊ／Ｐ_ｊ（ただし、ζ_ｊは複数の音源の第ｊ音源に対する分離パワー効率を示し、Ｓ_ｊは第ｊ音源から分離された信号のパワーを示し、Ｐ_ｊは第ｊ音源からの信号の正規化されたパワーを示す。）に従って、分離過程の効率性を計算するよう構成される。

図２は、本発明の一実施例による、信号源２４、アレー素子２６、及びアレー信号処理及びＢＳＳ処理を実行するプロセッサ２２を示す。アレー信号処理は、伝搬波動場（ｗａｖｅｆｉｅｌｄ）をサンプリングする相異なる空間位置においてセンサアレーにより生成される、例えば、電磁、地震、音響、光、機械、熱、あるいは上記の組み合わせなどの信号群の処理に関する信号処理内で特化したものである。図２に示されるように、アレーは、各位置ｚ_ｊにおける波動場を示す信号ｘ_ｉ（ｔ）を生成するセンサ群２６_ｉによる位置

外１

（図２には位置ｚ_ｊのみが示される）における第ｊ音源２４_ｊにより生成される第ｊ波動場

外２

をサンプリングする。信号ｘ_ｉ（ｔ）は、プロセッサ２２による処理が可能な任意の適切なタイプの信号であってよい。適切なタイプの信号ｘ_ｉ（ｔ）の例として、電気信号、音響信号、光信号、機械信号、熱信号、あるいは上記の組み合わせがあげられる。第ｉセンサ２６_ｉにより供給される信号ｘ_ｉ（ｔ）は、各センサ位置におけるすべての音源２４からの波動場の合計からなり、それぞれは信号の

外３

到来方向におけるセンサの反応と加法性雑音項ｎ_ｉ（ｔ）とを加えたものにより重み付けされる。ここで詳細に説明されるように、プロセッサ２２は、本発明によるブラインド音源分離（ＢＳＳ）技術を介し、音源信号の個々の信号対干渉プラス雑音比を向上させるため、音源信号の特性、音源とアレー素子との間のチャネル、音源位置あるいはアレー位置を把握することなく、異なる空間位置での音源信号の干渉を抑えることにより信号ｘ（ｔ）を処理する。

本発明によるブラインド音源分離技術は、音源信号及び雑音源についてなされる基礎となる仮定を定義することにより説明される。本発明によるＢＳＳ技術で利用される狭帯域モデルもたらす異なるＭＩＭＯ（Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｉｎｐｕｔ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ）アレーチャネルモデルが説明される。

ブラインド音源分離（ＢＳＳ）は、オリジナル信号の線形的混合であり、センサ群により生成される未知の音源信号群の向上及び特徴付けを要するアレー信号処理の多くの領域に適用可能である。例えば、これらには、信号知能、スペクトルモニタリング、ジャミング抑制並びに干渉拒絶、位置決定及び認識などが含まれる。典型的には、混合変換、音源信号特性及びセンサアレーマニホールドは知られていない。このため、ブラインド音源分離は、ＭＩＭＯブラインドチャネル推定問題としてみなされてもよい。

図３は、相異なる放射パターンを有する５つの未知の音源ｓ_１，ｓ_２，ｓ_３，ｓ_４，ｓ_５と、相異なる受信パターンを有する５つのセンサｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５とを示すＭＩＭＯブラインドチャネル推定シナリオを示す。音源ｓ_１，ｓ_２，ｓ_３，ｓ_４，ｓ_５により、音響エネルギー、電磁エネルギー、光エネルギー、機械エネルギー、熱エネルギー、あるいは上記の組み合わせが与えられ、センサｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５によりこれらが受信される。図３に示されるように、相異なる放射パターンを有する５つの未知音源ｓ_１，ｓ_２，ｓ_３，ｓ_４，ｓ_５により、未知のアレーマニホールドを有する５つのセンサｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５のアレーに衝突する波動場群が生成されている。各音源ｓ_１，ｓ_２，ｓ_３，ｓ_４，ｓ_５は、各自の音源信号を与える。本発明によるＢＳＳ分離技術は、到来方向または地形の関数として、信号特性またはアレーの感度に関する知識を有することなく、相異なる空間位置において音源信号の伝搬波動場の総体（合成）をサンプリングするセンサアレー（例えば、ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５など）から音源信号群を同時に抽出する。

相対的に小さい空間的広がりを有するセンサアレーからの出力群が与えられると、狭帯域信号の分離に適したブラインド音源分離技術を確立し、その性能を評価するためには、当該アレーに対するＭＩＭＯ狭帯域チャネルモデルを構成し、課される仮定を説明し、数学的に問題を説明し、当該技術のいくつかの評価尺度が構成される。

最も一般的な畳み込みＭＩＭＯチャネルモデルから始まり、ここで利用される狭帯域モデルが構築できるように問題を簡単化するため、信号帯域幅とアレーサイズに制限を課すことにより、狭帯域ＭＩＭＯチャネルモデルが構成される。その後、信号及び雑音に関する仮定が与えられ、本発明によるブラインド音源分離技術が数学的及びグラフィカルに説明される。その後、分離パワー効率（ＳＰＥ）の新規な概念を含む性能評価に利用される２つの性能尺度が説明される。

ブラインド音源分離問題に適用可能な４つのＭＩＭＯチャネルモデルがここで説明される。これらのモデルは、一般的チャネルモデル、非分散ダイレクトパスオンリーチャネルモデル（ｎｏｎ−ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ ｄｉｒｅｃｔ ｐａｔｈ ｏｎｌｙ ｃｈａｎｎｅｌ ｍｏｄｅｌ）、ＧＦＩＲ（Ｇｅｎｅｒａｌ Ｆｉｎｉｔｅ Ｉｍｐｕｌｓｅ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ）チャネルモデル及び狭帯域チャネルモデルである。その後、本発明による狭帯域チャネルモデルを利用したＢＳＳ技術が説明される。

一般的チャネルモデル
最も一般的なケースでは、各素子の出力は、各々が音源出力とセンサ入力として参照されるセンサプラス加法性ガウス雑音の出力との間のチャネルのインパルス応答により畳み込まれるＭの音源信号の和としてモデル化される。すなわち、

となる。ただし、「＊」は畳み込みを表す。第ｊ音源の出力と第ｉセンサの出力との間のチャネルのインパルス応答ｖ_ｉｊ（ｔ）は、時間可変的であり、マルチパス伝搬、分散、センサによる時間可変的応答、音源の動き、センサの動きなどの現象を説明する。これは、ＭＩＭＯチャネルモデルとして行列形式により記述することができる。

ただし、［］^Ｔは転置を表す。

非分散ダイレクトパスオンリーチャネルモデル
マルチパス、動きあるいは分散がない場合、チャネルインパルス応答は遅延と減衰によりモデル化することができる。すなわち、

である。ただし、α_ｉｊは第ｊ音源の出力から第ｉセンサの出力までのカスケードされた減数/ゲインであり、τ_ｉｊは第ｊ音源の出力から第ｉセンサの出力までの伝搬時間（遅延）である。このモデルにおいて、デルタ関数のシフト性質が利用されるとき、第ｉセンサの出力（雑音を無視する）は、

となる。

この時点で、「差分」遅延は、第ｊ音源の出力から第ｋセンサの出力と第ｌセンサの出力までの伝搬時間の差として定義される。

この差分時間遅延は、与えられた信号に対する２つのセンサ間の到来時間差を定義するものであり、センサアレーの空間的広がりの尺度である。さらに、第ｊ音源からこれらセンサまでの最小伝搬遅延が、最大差分伝搬遅延、すなわち、

よりかなり大きい場合、状況を容易にするため、伝搬時間τ_ｉｊは「基準」遅延と「相対」遅延の２つの成分に分解される。ここで、「基準」遅延は、音源出力からセンサ出力までの平均的伝搬時間として定義され、

外４

として表され、「相対」遅延は、基準時間遅延と実際の伝搬時間との間の伝搬時間の差として定義され、

外５

として定義される。このとき、第ｊ音源から第ｉセンサまでの伝搬時間は、

として表すことができる。

図４は、センサと音源との間の時間遅延をグラフィカルに示す。図４に示されるような伝搬時間の分解は、ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５と記された５つのセンサを照射する波動場群と、第１音源ｓ_１と第３センサｘ_３に対する相対時間遅延

外６

を生成している、関連付けされた基準遅延

外７

を有するｓ_１，ｓ_２，ｓ_３，ｓ_４，ｓ_５と記された５つの音源を有する。上記定義を用いることにより、差分時間遅延は以下ように変形することができる。

狭帯域及び一般的有限インパルス応答モデルの定式化において、差分時間遅延と相対時間遅延の両方が利用される。

ＧＦＩＲチャネルモデル
第ｊ音源の出力と第ｉセンサの出力との間のチャネルｖ_ｉｊ（ｔ）をＦＩＲフィルタまたはタップドディレイライン（ｔａｐｐｅｄ ｄｅｌａｙ ｌｉｎｅ）としてモデル化することにより、一般的モデルをしばしば簡単化する。一般的モデルに関して、ＧＦＩＲモデルは、時間可変的であってもよく、マルチパス伝搬、分散、センサ時間可変的応答、システム挙動などの現象を説明することができる。ｖ_ｉｊ（ｔ）のモデル化に利用されるＦＩＲフィルタは、チャネルのマルチパス遅延スプレッドと共に、音源信号を遅延させたものを定義することにより説明される、入力されたときの「基準」遅延

外８

に対する相対時間遅延

外９

を説明できるだけの十分な長さを有する必要がある。すなわち、第ｊ音源の出力とセンサアレーとの間のチャネルのモデル化に利用されるＦＩＲフィルタ群への入力は、

である。

ＦＩＲフィルタまたはタップドディレイラインモデルは、このようなチャネルのコヒーレンス帯域幅が音源信号の等価雑音帯域幅より小さい場合、すなわち、

である場合、フェージングチャネルに対し有効である。ただし、コヒーレンス帯域幅はマルチパス遅延スプレッドの逆数として定義される。この状況において、少なくとも

の遅延により分離されるチャネルのマルチパス成分は分解能であり、フェージング現象は「周波数選択的（ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｅｌｅｃｔｉｖｅ）」であると呼ばれる。これにより、チャネルインパルス応答は、

として表すことが可能であり、ここで、第ｌ成分の時間可変複素数チャネルゲインは、

として表すことができる。当該モデルの長さＬ_ｉｊは、

である分解能マルチパス成分の個数である。ただし、

外１０

は、シーリング（ｃｅｉｌｉｎｇ）関数を表す。ＧＦＩＲチャネルモデルに対し、ＦＩＲフィルタの長さは、マルチパス遅延スプレッドだけでなく相対時間遅延

外１１

もまた収容する必要がある。すなわち、式（１１）は、

となる。実際、すべてのＦＩＲフィルタの長さは、

として定義される共通の値Ｌに設定される。

コヒーレンス帯域幅が音源信号の等価雑音帯域幅より大きい場合、すなわち、

である場合、フェージングは「周波数非選択的（ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｎｏｎ−ｓｅｌｅｃｔｉｖｅ）」と呼ばれ、フェージングモデルは１つの時間可変的複素ウェートに還元される。すなわち、Ｌ_ｉｊ＝１であり、これにより、

は、時間可変的狭帯域モデルと同様となり始める。しかしながら、アレー信号処理に保持すべき単一の複素ウェートへの上記簡単化のため、音源信号は中心周波数よりかなり小さい等価雑音帯域幅を有することが必要とされ、センサアレーは相対的に小さな空間的広がりを有する必要がある。すなわち、

狭帯域チャネルモデル
信号のスペクトルサポートの尺度は、ＢＷ_ＮＥｑ［］として表される等価雑音帯域幅である。時間と周波数の双対原理により、逆等価雑音帯域幅を信号の時間サポートの尺度として利用することができる。言い換えると、信号の無相関（ｄｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）時間の標識として利用することができる。信号等価雑音帯域幅が中心周波数よりかなり小さい場合、すなわち、

（ただし、ω_ｊは第ｊ音源の中心周波数である）である場合、伝搬遅延あるいは相対伝搬遅延を位相シフトとしてモデル化することができる。この状況において、分散やマルチパスが存在しないとき、チャネルモデルは狭帯域モデルと呼ばれる。

しかしながら、中心位相に関して位相シフトがｍｏｄｕｌｏ２πであるため、帯域幅が中心周波数よりかなり小さいものでなければならないという要件は、時間遅延が位相シフトとしてモデル化され、波形を保持するためには不十分である。すなわち、無視できる符号間干渉（ＩＳＩ）がデジタル通信信号において誘導される。従って、狭帯域モデルが成り立つためには、センサアレーはまた、相対的に小さな空間的広がりを有する必要がある。すなわち、

である。

が成り立つため、

を要求することは、三角不等式を介し式（１８）が成り立つことを保証するための十分条件である。式（１７）及び（１９）に定義される狭帯域条件が成り立つ場合、相対時間遅延は、信号の無相関時間に比較して無視できるものであり、従って、

は、当該波形が保持される（位相シフト内で）ということを主張する。これにより、相対時間遅延は、位相シフト

（ただし、

であり、複素ウェートｖ_ｉｊは、

として定義される）としてモデル化することができる。この複素ウェートは、第ｊ信号に関するその他のＮ−１のウェートと共に、第ｊステアリングベクトルを構成する。

このとき、第ｊセンサの出力は、

となる。一般的な第ｊモデルに対して行われたように、これは、

としてセンサ出力のベクトルに対して行列形式に変形することができる。

エネルギーの保存により、アレーを照射する第ｊ音源からのトータルの平均信号パワーは、Ｐ_ｊを超えることはない。信号対雑音比がセンサの入力において取得されるため、トータルでは、アレイゲインは正規化されているとみなすことができる。このため、狭帯域モデルでは、混合行列Ｖの第ｊ列の内積は、

となる。ただし、［］^Ｈはエルミート転置を表す。

信号及び雑音仮定
以下の仮定は、音源信号と雑音ベクトルに関してなされるものである。この仮定は、４次キュムラントの利用を可能にし、分離技術が利用する十分な自由度を保証するのになされる。仮定Ａ１及びＡ２は、音源信号の４次キュムラントの存在を保証する。零平均（ｚｅｒｏ−ｍｅａｎ）仮定は、キュムラントの利用に必要なものではなく、実用的な電磁信号が零平均を有するため仮定されている。仮定Ａ３及びＡ４は、ＢＳＳ問題に対するキュムラントの利用に特に有用である。これらの仮定がない場合、雑音源は信号源として扱われる必要が生じ、これにより、アレーにおける追加的自由度が必要となる。雑音源が時間的または空間的に白色であると仮定されていないことに注意すべきである。これは、他の２次技術でなされる仮定と対照的である。音源信号数に関する最後の仮定は、行列束アプローチを利用した分離を行うのに十分な自由度が存在することを保証することに資するものである。

第１仮定（Ａ１）
アレーを照射するＭ個の音源信号は、統計的に独立な非ガウス定常ランダム過程である。仮定Ａ１は、数学的には以下のように表される。

音源信号は、空間４次キュムラント行列の推定期間上において、４次まで定常的であると仮定される。

第２仮定（Ａ２）
アレーを照射するＭ個の音源信号は、パワーＰ_ｊと非零４次モーメントを有する零平均を有する。仮定Ａ２は数学的には以下のように表される。

第３仮定（Ａ３）
音源信号（過程）群と雑音過程群は統計的に独立である。仮定Ａ３は数学的には以下のように表される。

第４仮定（Ａ４）
雑音過程は定常的零平均ガウスランダム過程である。それらは、空間的または時間的に独立であると仮定されていない。仮定Ａ３は数学的に以下のように表される。

第５仮定（Ａ５）
音源数は、センサの個数以下である。すなわち、Ｍ≦Ｎである。

図５は、本発明の一実施例による相対的に小さな空間的広がりを有し、未知の任意のアレー配置を備えたセンサアレーからの出力群が与えられると、Ｍ個の統計的に独立な狭帯域音源信号のブラインド音源分離（ＢＳＳ）を実行する装置の機能ブロック図である。ここで説明されるＢＳＳ技術は、混合行列Ｖを対角化する分離行列Ｗを決定する。これには、混合行列Ｖを対角化する複素成分ｗ_ｉｊを有するＮ×Ｍの分離行列Ｗ

の検出を伴う。すなわち、行列の積Ｗ^ＨＶが成分ρ_ｊを有するＭ×Ｍの対角「損失」行列となるような分離行列Ｗが所望される。

分離行列Ｗがセンサ出力のベクトルに適用されるとき、この結果は

となり、音源信号が分離される。数学的完全さを備えるため、ベクトルｒ（ｔ），ｘ（ｔ），ｎ（ｔ）と行列Ｖ，Ｗは以下の空間上からとられる。

損失行列が単位行列である場合、分離過程はアレーを照射する信号エネルギーのすべてをキャプチャし、これにより、分離された出力信号が最大到達可能信号対干渉プラス雑音比に到達したことが保証される。

狭帯域モデルにおいて以前に構成されたように、各センサの出力は、独立な音源信号プラス雑音の重み付けされた線形結合である。

分離行列をセンサ出力ベクトルに適用することにより、音源が分離される。

分離過程出力ベクトルの第ｊ成分ｙ_ｊ（ｔ）は第ｊ音源信号ｒ_ｊ（ｔ）の推定であり、分離行列の第ｊ列とセンサ出力のベクトルとの内積である。

式（４１）を式（４３）に代入すると、所望の信号、残留干渉及び出力雑音に対応する相異なる３つの項が明示される

が得られる。通信及び信号知能システムの性能評価に特に関係のあるものは、各項の２次モーメントである。第１項の２次モーメントは、所望の信号出力パワーであり、

として定義される。仮定Ａ１とＡ２を適用すると、

となり、これにより、式（４５）は、

となり、これはベクトル表記を用いることにより、

として表すことができる。

式（４４）の第２項の２次モーメントは、残留干渉パワーであり、

により与えられる。しかしながら、仮定Ａ１によって、当該信号は統計的に独立であり、このため、

となる。さらに、仮定Ａ１とＡ２の定常性を適用することにより、

となる。式（５０）を用いて、式（５１）を式（４９）に代入することにより、残留干渉パワーは、

に還元され、これはベクトル表記を用いることにより、

として表すことができる。

式（４４）の第３項の２次モーメントは、出力雑音パワーであり、

により与えられ、これはベクトル表記を用いることにより、

として表すことができる。定義と仮定Ａ４により、雑音ベクトルの外積の期待値は、雑音共分散行列

となり、これにより、出力雑音パワーは

となる。

ブラインド音源分離技術の効果を評価するため、当該分離の品質を測る尺度が利用される。前述のように、ここで説明されるブラインド音源分離は、混合行列を対角化する分離行列Ｗを決定する。ブラインド音源分離アルゴリズムの品質を評価する２つの尺度がここで構成される。ＢＳＳ技術の性能は、残留干渉とセンサアレーを照射する利用可能なすべての信号パワーの「キャプチャ処理」での当該アルゴリズムの効率性の観点から、評価されても良い。

分離品質の１つの尺度は、分離行列適用後における信号出力において検出される残留干渉量である。具体的には、すべての音源上で平均化された所望の音源の推定における所望の信号に対する残留干渉パワーと共に、同一チャネル干渉の抑制に関して分離技術を評価するためのピークあるいは最大残留干渉対信号比の利用が提起される。この尺度は、分離行列が混合行列を完全には対角化できない場合、結果として得られた行列の非対角項が信号出力における残留干渉を許容するため、重要なものとなる。

大部分の通信用途において、干渉量の共通な尺度は、所望の信号パワーのすべての干渉信号の合成パワーに対する比である信号対干渉比である。しかしながら、ブラインド音源分離の目的はすべての干渉を完全に除去することにあるため、当該比は極めて大きなものとなりうる。この結果、ブラインド音源分離アルゴリズムあるいは技術が特定の所望の信号パワーに対して抑制することができない干渉の残留パワーを定量化する干渉対信号比（ＩＳＲ）が提起される。アルゴリズムが向上するに従い、当該比もまたより小さくなる。

所望の信号のＩＳＲは、

として定義される。式（５３）と（４８）を式（５８）に代入すると、特定の信号に対するＩＳＲは

となる。この値はまた拒絶レートとして知られている。

ブラインド音源分離技術の全体的な分離性能は、すべてのｊ上における個々の音源信号ＩＳＲのζ_ｊの平均値を参照することにより測定されてもよい。これにより、残留干渉に関するブラインド音源分離アルゴリズムの性能評価に用いられる主要な尺度は、

により与えられる平均ＩＳＲとなるであろう。

残留干渉に関する補助的尺度は、

として定義されるピークまたは最大ＩＳＲとなるであろう。この補助的尺度は、すべての音源信号がＩＳＲ_ｍａｘより悪くないＩＳＲにより効果的に分離される。

分離性能の第２の尺度は、利用可能な信号パワーの利用性に関して音源分離行列の効率性を決定するのに利用される。出力信号対干渉プラス雑音比が最大化される場合、ＢＳＳ技術はより効率的であるとみなされ、これにより、出力信号対干渉プラス雑音比を最大化しないＢＳＳ技術より、より小さな信号のキャプチャ可能性に関してより大きな感度を有することとなる。

センサアレーを照射する音源信号パワーのすべてを利用することにおけるブラインド音源分離アルゴリズムの効率性は、分離性能の他の重要な尺度である。この尺度は、特定音源からの利用可能な信号パワーのうちのどの程度が分離過程において浪費または損失されるか決定するものである。この損失により、信号対雑音プラス干渉比は、そうでない場合における理論的に達成可能なものより低いものとなり、これにより、システム感度の損失が生じる。所望の音源信号の利用可能な正規化パワーに対する特定の分離過程出力に対する分離パワー効率（ＳＰＥ）は、

として定義される。ただし、ζ_ｊは複数の音源の第ｊ音源に対する分離パワー効率を示し、Ｓ_ｊは第ｊ音源からの分離された信号のパワーを示し、Ｐ_ｊは第ｊ音源からの信号の正規化パワーを示す。式（４８）を分離過程出力パワーに代入することにより、特定のＳＰＥ

が第ｊ音源に対するステアリングベクトルと分離行列の第ｊ列にのみ依存するということが明らかにされる。ＩＳＲに関して、

及び

としてそれぞれ定義される平均ＳＰＥと最小ＳＰＥは、分離パワー効率の評価に利用されるであろう。

ここで、照射音源信号パワーＰ_ｊの定義により、ＳＰＥが達成可能な最大値が１であるということに着目せよ。これにより、最大となる達成可能な平均値もまた１となる。１のＳＰＥを達成する分離アルゴリズムは、対応する分離過程出力における音源信号パワーを最大化させるよう保証される。最小のＳＰＥは、すべての音源が最小分離パワー効率により良好に分離されることを保証する尺度を提供する。

本発明の一実施例によるＢＳＳ技術は、キュムラント、具体的には、空間４次キュムラント行列を利用する。ブラインド音源分離の実行におけるキュムラントの利用をより良く理解するため、キュムラントの低ごと関連する性質が以下で与えられる。

次数Ｎのランダム変数の集合｛ｓ_１，ｓ_２，・・・，ｓ_Ｎ｝の半不変量（ｓｅｍｉ−ｉｎｖａｒｉａｎｔ）として知られる結合キュムラント（ｊｏｉｎｔ ｃｕｍｕｌａｎｔ）は、第２特性関数の原点の周りのテイラー級数展開のＮ次係数として定義される。例えば、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、Ｃ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク（Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ａ Ｎｏｎ−Ｌｉｎｅａｒ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ）」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）、及びＭ．Ｒｏｓｅｎｂｌａｔｔによる「定常的シーケンス及びランダムフィールド（Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ａｎｄ Ｒａｎｄｏｍ Ｆｉｅｌｄｓ）」（Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ，Ｂｏｓｔｏｎ，ＭＡ：１９８５）を参照せよ。第２特性関数は、特性関数の自然対数として定義される。

ただし、特性関数は

として定義される。このとき、結合Ｎ次キュムラントは、

となる。

モーメントと異なりキュムラントは、データから直接的には推定することができない。例えば、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、Ａ．Ｋ．Ｎａｎｄｉによる「高次統計量を利用したブラインド推定（Ｂｌｉｎｄ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（Ｋｌｕｗｅｒ，Ａｃａｄｅｍｉｃ，Ｄｏｒｄｅｃｈｔ，Ｔｈｅ Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：１９９９）を参照せよ。しかしながら、キュムラントはモーメントとの関係を通じて検出することが可能であり、このため、まずは必要なモーメントを推定することにより間接的に推定することが可能である。キュムラントとモーメントとの関係は、Ｍ．Ｒｏｓｅｎｂｌａｔｔによる「定常的シーケンス及びランダムフィールド」（Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ，Ｂｏｓｔｏｎ，ＭＡ：１９８５）において、ランダム変数の集合｛ｓ_１，ｓ_２，・・・，ｓ_Ｎ｝のＮ次結合キュムラントに対して、

として説明される。ただし、整数の集合｛１，２，・・・，Ｎ｝を各自が

となるｇ_{ｌ，ｐ，ｎ}として表されるｐ個のグループに分割する方法は、Ｎ（ｐ）通り存在する。

一例として、Ｎ＝４の場合、分割は整数の集合｛１，２，３，４｝上で定義され、以下の表１．０に与えられるものとなる。

このとき、モーメントの関数としての４次結合キュムラントは以下のようになる。

ここで、式（７１）は、Ｎ次結合キュムラントの計算には、次数Ｎまでのすべてのモーメントを知っている必要があるということに注意せよ。

キュムラントは、空間的及び/または時間的に相関したガウス雑音における、特に低信号対雑音比での未知の統計的に独立な信号の線形結合のブラインド分離での利用に効果的ないくつかの性質を有する。

ブラインド音源分離での利用においてキュムラントを有用にする１つの性質は、ランダム変数の集合｛ｓ_１，ｓ_２，・・・，ｓ_Ｎ｝が統計的に独立な２以上のグループに分割可能である場合、それらのＮ次結合キュムラントがゼロとなるということである。従って、統計的に独立な音源のブラインド分離におけるキュムラントオペレータは、すべてのクロス音源信号キュムラント項を抑制するであろう。一般に、これは、高次モーメントに対しては成り立つものではない。ＢＳＳでの利用においてキュムラントを有用にする他の性質は、

が成り立つということである。一般に、信号項の集合｛ｓ_１，ｓ_２，・・・，ｓ_Ｎ｝と雑音項の集合｛ｎ_１，ｎ_２，・・・，ｎ_Ｎ｝は互いに統計的に独立であるため、それらのベクトル和｛ｓ_１＋ｎ_１，ｓ_２＋ｎ_２，・・・，ｓ_Ｎ＋ｎ_Ｎ｝の項のＮ次結合キュムラントは、それらの個々の結合キュムラントの和となる。従って、雑音項と信号項とのクロスキュムラントはゼロとなるであろう。この性質は、空間４次キュムラント行列が、一方は信号に対応し、他方は雑音ベクトルに対応する２つの行列の和に分解することができる。

ＢＳＳでの利用においてキュムラントを有用にする他の性質は、ガウスランダム変数の次数Ｎ＞２の結合キュムラントがゼロとなるというものである。雑音ベクトルが多変量ガウスランダム過程であるため、

それの３次以上の結合キュムラントはゼロとなるであろう。すなわち、

となる。この最後の性質は、雑音部分空間を持たない空間４次キュムラント行列をもたらし、当該行列の非零成分のみが音源信号と関連付けされる。これは、雑音ベクトルが空間的または時間的に相関している場合でさえ成り立つものである。

最後に、２より高い次数のキュムラントは、相関のような２次統計量の利用により失われる位相情報を保持する。例えば、自己相関は、最小位相信号と非最小位相信号との識別に必要な陣号を破壊してしまう。このため、２つの信号は、同一の２次統計量を有するが、異なる高次統計量を有するかもしれない。この性質は、同一の自己相関関数により信号を処理することに興味があり、音源信号のグループが異なる高次キュムラントを有するタイムラグ集合の検出のための追加的自由度を有する。この性質は、当該ＢＳＳ技術の識別可能性の条件がすべての信号が一意的な正規化４次自己キュムラントを有することであるということのため、本発明のＢＳＳ技術にとって特に効果的なものである。ここで、対称的な分布に従う過程の奇次数のキュムラントはゼロとなるため、４次キュムラントが利用される。

本発明によるＢＳＳ技術において利用されるキュムラントに関する４つの性質が以下で説明される。これらキュムラントの性質についての証明は、Ｃ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）、及びＭ．Ｒｏｓｅｎｂｌａｔｔによる「定常的シーケンス及びランダムフィールド」（Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ，Ｂｏｓｔｏｎ，ＭＡ：１９８５）において見つけることができるであろう。

第１キュムラント性質
ランダム変数の集合｛ａ_１ｓ_１，ａ_２ｓ_２，・・・，ａ_Ｎｓ_Ｎ｝のＮ次結合キュムラントは、

である。ただし、｛ａ_１，ａ_２，・・・，ａ_Ｎ｝は一定である。

第２キュムラント性質
ランダム変数の集合｛ｓ_１，ｓ_２，・・・，ｓ_Ｎ｝が統計的に独立な２以上のグループに分割可能である場合、これらのＮ次結合キュムラントはゼロとなる。

第３キュムラント性質
ランダム変数の集合｛ｓ_１，ｓ_２，・・・，ｓ_Ｎ｝及び｛ｎ_１，ｎ_２，・・・，ｎ_Ｎ｝が統計的に独立である場合、すなわち、

である場合、各成分ごとの和のＮ次結合キュムラントは、

となる。

第４キュムラント性質
ランダム変数の集合｛ｎ_１，ｎ_２，・・・，ｎ_Ｎ｝が結合ガウスに従う場合、次数Ｎ＞２の結合キュムラントは等しくゼロとなる。すなわち、

である場合、

となる。

本発明によるＢＳＳ技術は、４次空間キュムラント行列を利用する。以下において、空間４次キュムラント行列の３つの定義及び関連する性質が与えられる。

空間４次キュムラント行列は、理論的に雑音部分空間を持たないため、雑音が相関していたとしても、低信号対雑音比において、空間的及び時間的に相関した雑音の存在の下、分離行列を推定する基礎として利用される。これは、行列束の生成のため除去されねばならない雑音部分空間の推定のための自由度及び/または補助的センサデータの利用の必要性を解消する。以下で説明されるように、雑音部分空間の欠如は、高次キュムラント、すなわち、２より高い次数のキュムラントを用いた直接的な結果であり、本発明によるブラインド音源分離技術に特に効果的である。

これら３つの空間４次キュムラント行列の定義とそれらに関連する性質は、センサが実際には全方位的なものでなく、同一のマニホールド有するものでないという事実、及び異なるタイムラグの集合が行列束の生成のため空間４次キュムラント行列のペアを推定するのに必要とされるという事実を考慮して、ここで与えられる。上記の考慮は、空間４次キュムラント行列の以前の処理とは明らかに区別される。例えば、Ｈ．Ｈ．Ｃｉａｎｇ及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓらによる「高次統計量によるＥＳＰＲＩＴアルゴリズム（Ｔｈｅ ＥＳＰＲＩＴ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（Ｐｒｏｃ．Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖａｉｌ，ＣＯ．，Ｊｕｎ．１９８９，ｐｐ．１６３−１６８）、Ｃ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）、Ｍ．Ｃ．Ｄｏｇａｎ及びＪ．Ｍ．Ｍｅｎｄｅｌらによる「アレー処理に対するキュムラントの応用−パートＩ：開口拡張及びアレーキャリブレーション」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇａｎｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４３，Ｎｏ．５，Ｍａｙ １９９５，ｐｐ．１２００−１２１６）、及びＮ．Ｙｕｅｎ及びＢ．Ｆｒｉｅｄｌａｎｄｅｒらによる「ＥＳＰＲＩＴ、高次ＥＳＰＲＩＴ及びバーチャルＥＳＰＲＩＴアルゴリズムの漸近的性能分析（Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＥＳＰＲＩＴ，Ｈｉｇｈｅｒ−ｏｒｄｅｒ ＥＳＰＲＩＴ，ａｎｄ Ｖｉｒｔｕａｌ ＥＳＰＲＩＴ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ）」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇａｎｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４４，Ｎｏ．１０，Ｏｃｔ．１９９６，ｐｐ．２５３７−２５５０）を参照せよ。ランク、零空間などの空間４次キュムラント行列の性質、及びそれと混合行列との関連は、本発明による４次キュムラント及び行列束を利用した信号部分空間ブラインド分離技術の構築に有益である。

本発明によるＢＳＳ技術における利用性の理解に役立つように、空間相関行列及びその性質が概観される。センサアレー出力の空間相関行列は、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、Ｄ．Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ及びＤ．Ｅ．Ｄｕｄｇｅｏｎらによる「アレー信号処理：概念及び技術（Ａｒｒａｙ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ：Ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ）」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ，ＮＪ：１９９３）において、

として定義される。ベクトルｘ（ｔ）に対して、式（２５）を式（７２）に代入し、仮定Ａ１及びＡ３を適用することにより、空間相関行列は、

となり、当該行列は成分

を有する。ただし、添え字ｒｃは、当該成分が第ｒ行第ｃ列にあるということを示している。信号過程と雑音過程は仮定Ａ２及びＡ４より零平均であると仮定されているため、式（７２）で定義される空間相関行列は空間共分散行列に等しくなり、これにより、当該項は交換可能に利用される。

一般に、大部分の２次技術は、ゼロの遅延ラグ｛τ＝０｝においてのみ空間相関または共分散行列を利用する。このような場合、空間相関行列は、エルミート非負定値となる。例えば、「アレー信号処理：概念及び技術」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ，ＮＪ：１９９３）、Ｃ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）、及びＡ．Ｐａｐｏｕｌｉｓによる「確率、ランダム変数及び確率過程（Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，Ｒａｎｄｏｍ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｎｄ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ）」（ＷＣＢ/ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ，Ｂｏｓｔｏｎ，ＭＡ：１９９１）を参照せよ。さらに、センサ出力が線形独立である場合、すなわち、

である場合、空間相関行列は正定値となる。空間相関行列がτ＝０に対して非負定値となる結果として、その行列式は非負の実数となり、センサ出力が線形独立である場合かつその場合に限って厳密に正となるであろう。しかしながら、τ≠０である場合、空間共分散行列は不定値かつエルミートではない。

空間４次キュムラント行列の第１定義
与えられる空間４次キュムラント行列の第１の定義は、１のノルムを有するステアリングベクトルを利用したものである。これは、数学的には式（２６）により記述される。図示されるように、これは、センサが同一のマニホールドを有する全方位的なものでないとき、空間４次キュムラント行列をエルミート形式に因数分解するのに利用される。第１空間４次キュムラント行列は、タイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）において、

として定義され、第１空間４次キュムラント行列と呼ばれる。

式（７５）で定義される第１空間４次キュムラント行列は、一般に、

（ただし、｛｝^＊は共役複素数を示す）により与えられる第ｒ行第ｃ列の成分を有するＮ×Ｎの複素行列である。式（２４）を式（７６）に代入することにより、成分ｒｃは、

となる。従って、キュムラントの第３性質と仮定Ａ３により、式（７７）は、

となる。ただし、項は並び替えされている。しかしながら、仮定Ａ４とキュムラントの第４性質により、

であり、これにより、式（７８）は、

となる。このとき、仮定Ａ１の音源信号の統計的独立と、キュムラントの第３性質を繰り返し適用することにより、式（８０）は、

に還元される。

キュムラントの第１性質を利用することにより、複素ウェートは、

を与えるため、式（８１）のキュムラント演算子の前に置かれるようにしてもよい。和を並び替えることにより、

が生成される。しかしながら、ステアリングベクトルが１のノルムを有するため、すなわち、

であるため、式（８３）は、

に還元される。

式（８４）から、第１空間４次キュムラント行列は、空間相関行列の場合と同様に、エルミート形式に分解することができる。

ただし、行列Ｃ^４ _ｒ（τ_１，τ_２，τ_３）は成分

を有するＭ×Ｍの対角行列である。式（８５）を展開すると、第１空間４次キュムラント行列は、個々の音源信号の４次キュムラントによりスケーリングされたステアリングベクトルの外積の和

として記述することができるということがわかる。ただし、行列Ｃ^４ _ｒ（τ_１，τ_２，τ_３）は、各自が複数の音源の１つから複数の素子の１つへの時間遅延を示す第１タイムラグτ_１と、第２タイムラグτ_２と、第３タイムラグτ_３を有する空間４次キュムラント行列であり、Ｍは、複数の音源におけるある個数の音源を示し、

外１２

は、遅延ラグτ_１，τ_２及びτ_３を有する複数の音源の１つからの第ｊ音源信号の４次キュムラントであり、

外１３

は、第ｊステアリングベクトルの外積を示す。式（８７）から、第１空間４次キュムラント行列がステアリングベクトルの集合により張られる信号部分空間に存在することは明らかである。ここで、空間４次キュムラント行列は、空間相関行列において与えられる雑音部分空間を持たないということに注意せよ。空間共分散行列で雑音部分空間であったものが、現時点では、空間４次キュムラント行列の零空間となっている。この性質は、与えられたその他の空間４次キュムラント行列に対して真であることが示されるであろう。

空間４次キュムラント行列の第１性質
第１空間４次キュムラント行列Ｃ^４ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３）は、いくつかの性質を備え、当該性質の理解が分離行列Ｗの推定方法の構築を容易にするであろう。第１空間４次キュムラント行列を確立することは、２つのタイムラグにおける第１空間４次キュムラント行列のペアにより構成される行列束の一般化固有分解の利用への第１ステップである。ランクや混合行列の部分空間との関係などは、信号部分空間分離アルゴリズムの構成に効果的である。各センサが、衝突する各音源信号の波動場に対して同一の指向性を有する全方位的なものであるとは仮定されていないという事実が注目される。

性質１
第１空間４次キュムラント行列がエルミート行列であるということは、τ_１＝τ_２＝τかつτ_３＝０、すなわち、Ｃ^４ _ｘ（τ，τ，０）であることと同値である。

性質２
第１空間４次キュムラント行列のトレースは、対角行列Ｃ^４ _ｒ（τ_１，τ_２，τ_３）のトレース

である信号４次キュムラントの和に等しい。

性質３
Ｃ（Ｃ^４ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３））として示される第１空間４次キュムラント行列の列空間は、ステアリングベクトルの集合

により張られる。さらに、混合行列がフルの列ランクを有する場合、ステアリングベクトルの集合は線形独立であり、第１空間４次キュムラント行列の列空間の基底を形成する。

性質４
行列Ｖがフルの列ランクを有する場合、第１空間４次キュムラント行列のランクは、混合行列のランクに等しくなる。すなわち、ρ（Ｖ）＝Ｍとしたとき、

となる。ただし、ρ（）はランクを示す。

性質５
第１空間４次キュムラント行列の「右」零空間と混合行列の「左」零空間は、混合行列がフルの列ランクを有する場合、等しくなる。

空間４次キュムラント行列の第２定義
空間４次キュムラント行列の第２定義は、Ｈ．Ｈ．Ｃｈｉａｎｇ及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓらによる「高次統計量によるＥＳＰＲＩＴアルゴリズム」（Ｐｒｏｃ．Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖａｉｌ，ＣＯ．，Ｊｕｎ．１９８９，ｐｐ．１６３−１６８）、Ｃ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク」（ＰＴＲＰｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）に記載された定義から修正されたものである。これらの定義が利用され、タイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）が第２空間４次キュムラント行列

を取得するよう含まれる。

第２空間４次キュムラント行列は、第ｒ行第ｃ列の成分

を有するＮ×Ｎの行列である。ｘ_ｉ（ｔ）に対して、式（２４）を式（９３）に代入すると、成分ｒｃは、

となる。第１空間４次キュムラント行列の簡単化に続いて、キュムラントの第３性質と仮定Ａ３が式（９４）を還元するのに適用される。

しかしながら、仮定Ａ４とキュムラントの性質４により、

が成り立ち、式（９５）は、

に還元される。その後、仮定Ａ１の音源信号の統計的独立と、キュムラントの第３性質を繰り返し適用することにより、式（９７）は、

に還元される。

キュムラントの第１性質を利用することにより、複素ウェートは、

を与えるため、式（９８）のキュムラント演算子の前に置かれるようにしてもよい。しかしながら、

であり、式（９９）は、

に還元される。

式（１００）から、第２空間４次キュムラント行列は、一般に、第１空間４次キュムラント行列と空間共分散行列の場合と同様に、エルミート形式に分解することができない。しかしながら、

が定義されている場合、それは双一次形式（ｂｉｌｉｎｅａｒ ｆｏｒｍ）

に分解することができる。ただし、Ｎ×Ｍの「修正された」混合行列

外１４

の第ｒ行第ｃ列の成分は、

である。式（１０２）を展開すると、第２空間４次キュムラント行列は、「修正された」ステアリングベクトル

外１５

と、各音源信号の４次キュムラントによりスケーリングされたステアリングベクトルとの外積の和として、

記述することができる。ここで、「修正された」ステアリングベクトル

外１６

は、行列

外１７

の第ｊ列である。

第２空間４次キュムラント行列に関する問題は、それがランク不足であるかどうかということである。第１空間４次キュムラント行列のランクの導出に従って、第２空間４次キュムラント行列のランクは、「修正された」混合行列

外１８

と混合行列の両方がフルの列ランクを有する場合、混合行列のランクに等しいものとなるであろう。混合行列Ｖは、アレーの構成により保証することが可能であるため、フルの列ランクを有すると仮定することができる。しかしながら、

外１９

のランクは設計により保証することは不可能であり、現時点では、混合行列がフルの列ランクを有することを保証することは、「修正された」混合行列がフルの列ランクを有することを保証するのに十分であるかどうかは不確かである。「修正された」混合行列

外２０

はアダマール積

であるが、混合行列のランクは必ずしも保持されない。例えば、Ｊ．Ｒ．Ｓｃｈｏｔｔによる「統計のための行列分析（Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）」（Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ａｎｄ Ｓｏｎｓ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，ＮＹ：１９９７）を参照せよ。これに関して、アダマール積は混合行列のランクを保持し、これにより、フルの列ランクを有する混合行列は「修正された」混合行列がフルの列ランクを有することを保証するのに十分であると仮定される。「修正された」混合行列がフルの列ランクを持たないということを意味することは、以降のセクションにおいて明らかとなるであろう。

「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する場合、式（１０４）を考察することにより、第２空間４次キュムラント行列が、「修正された」ステアリングベクトルの集合により張られる信号部分空間に存在するということが明らかである。再び、空間共分散行列の雑音部分空間は、第２部分４次キュムラント行列の零空間となる。ここで、Ｈ．Ｈ．Ｃｈｉａｎｇ及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓらによる「高次統計量によるＥＳＰＲＩＴアルゴリズム」（Ｐｒｏｃ．Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖａｉｌ，ＣＯ．，Ｊｕｎ．１９８９，ｐｐ．１６３−１６８）、及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）において、素子/センサは、α_ｉｊ ^２＝１となるよう単位ゲインによる全方位的なものであり、第２空間４次キュムラント行列と第１空間４次キュムラント行列は等しいものとなり、「修正された」混合行列はフルの列ランクを有するものとなるであろう。しかしながら、これは、実際のセンサが全方位的なものではないため、非現実的な仮定である。

空間４次キュムラント行列の第２性質
「修正された」混合行列

外２１

がフルの列ランクを有する場合、第２空間４次キュムラント行列は第１空間４次キュムラント行列と同様の性質の多くを有するであろう。以降のセクションは、「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する仮定により、行列束信号部分空間分離技術の構築に関連する主要な性質を導出する。

性質１
第２空間４次キュムラントは、一般に、エルミートではない。それがエルミートとなるのは、τ_１＝τ_２＝τかつτ_３＝０、すなわち、Ｃ^４’ _ｘ（τ，τ，０）であり、かつセンサが与えられた信号に対して同一のゲインを有する場合、かつその場合に限る。

性質２
第２空間４次キュムラント行列のトレースは、４乗のセンサ量の和によってスケーリングされた信号４次キュムラントの和に等しい。

性質３
Ｃ（Ｃ^４’ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３））として表される第２空間４次キュムラント行列の列空間は、「修正された」ステアリングベクトルにより張られる。

さらに、「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する場合、「修正された」ステアリングベクトルの集合は線形独立であり、第２空間４次キュムラント行列の列空間の基底を形成する。

性質４
第２空間４次キュムラント行列のランクは、Ｖと

外２２

がフルの列ランクを有する場合、混合行列のランクに等しくなる。すなわち、

である場合、

となる。ただし、ρ（）はランクを示す。

性質５
第２空間４次キュムラント行列の「右」零空間と混合行列の「左」零空間は、混合行列と「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する場合、等しくなる。

第３空間４次キュムラント行列
空間４次キュムラント行列の第３及び最後の定義は、タイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）を含み、以下の式をもたらす。

第３空間４次キュムラント行列は、再び、第ｒ行第ｃ列の成分

を有するＮ×Ｎの行列である。ｘ_ｉ（ｔ）に対して、式（８１）を式（１１１）に代入すると、成分ｒｃは、

となる。第２空間４次キュムラント行列の簡単化に続き、キュムラントの第３性質と仮定Ａ３が式（１１２）を還元するのに適用される。

しかしながら、仮定Ａ４とキュムラントの第４性質により、

となり、これにより、式（９５）は、

に還元される。このとき、仮定Ａ１の音源信号の統計的独立と、キュムラントの第３性質を繰り返し適用することにより、式（１１４）は、

に還元される。

キュムラントの第１性質を利用して、その後、複素ウェートが、

を与えるため、キュムラント演算子の前に置かれるようにしてもよい。しかしながら、

であり、式（１１６）は、

に還元される。

式（１１７）から、第３空間４次キュムラント行列は、一般に、第１空間４次キュムラント行列と空間共分散行列の場合と同様に、エルミート形式に分解することは不可能である。しかしながら、「修正された」ステアリングベクトルの成分が、再び、

として定義されると、それは双一次形式に分解することができる。

ただし、Ｎ×Ｍの「修正された」混合行列

外２３

の第ｒ行第ｃ列の成分は、

である。式（１１９）を展開すると、第３空間４次キュムラント行列は、「修正された」ステアリングベクトル

外２４

の共役と各音源信号の４次キュムラントによりスケーリングされたステアリングベクトルとの外積の和

として記述することができるということがわかる。

前述のように、フルの列ランクを有する混合行列Ｖは、「修正された」混合行列

外２５

がフルの列ランクを有するということを保証するのに十分であるか証明されるであろう。しかしながら、アダマール積が混合行列のランクを保持し、従って、フルの列ランクを有する混合行列が、「修正された」混合行列がフルの列ランクを有すると保証するのに十分であるということが仮定される。

「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する場合、式（１２０）を考察することにより、第３空間４次キュムラント行列が共役の「修正された」ステアリングベクトルの集合により張られる信号部分空間に存在するということが明らかであろう。再び、第２空間４次キュムラント行列と同様に、第３空間４次キュムラント行列は、雑音部分空間を持たない。Ｎ．Ｙｕｅｎ及びＢ．Ｆｒｉｅｄｌａｎｄｅｒらによる「ＥＳＰＲＩＴ、高次ＥＳＰＲＩＴ及びバーチャルＥＳＰＲＩＴアルゴリズムの漸近的性能分析」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇａｎｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４４，Ｎｏ．１０，Ｏｃｔ．１９９６，ｐｐ．２５３７−２５５０）、Ｈ．Ｈ．Ｃｈｉａｎｇ及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓらによる「高次統計量によるＥＳＰＲＩＴアルゴリズム」（Ｐｒｏｃ．Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｈｉｇｈｅｒ−Ｏｒｄｅｒ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖａｉｌ，ＣＯ．，Ｊｕｎ．１９８９，ｐｐ．１６３−１６８）、及びＣ．Ｌ．Ｎｉｋｉａｓ及びＡ．Ｐ．Ｐｅｔｒｏｐｕｌｕらによる「高次スペクトル分析：非線形信号処理フレームワーク」（ＰＴＲ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ，Ｕｐｐｅｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｒｉｖｅｒ，ＮＪ：１９９３）において、素子/センサは，α_ｉｊ ^２＝１となるよう単位ゲインによる全方位的になものであると仮定される。

第３空間４次キュムラント行列の性質
第２空間４次キュムラント行列と同様に、「修正された」混合行列

外２６

がフルの列ランクを有する場合、第３空間４次キュムラント行列は、第１空間４次キュムラント行列と共通した多くの性質を有するであろう。行列束の構築と関連した性質と、「修正された」混合行列がフルの列ランクを有するという仮定に関連した分離技術が以下で導出される。

性質１
第３空間４次キュムラント行列は、一般に、エルミートではない。それがエルミートとなるのは、τ_１＝τ_３＝τかつτ_２＝０、すなわち、Ｃ^４’’ _ｘ（τ，０，τ）であり、かつすべてのセンサが与えられた信号に対して同値宇野ゲインを有する場合、かつその場合に限られる。

性質２
第３空間４次キュムラント行列のトレースは、センサ量の和により４乗にスケーリングされた信号の４次キュムラントの和に等しい。

性質３
Ｃ（Ｃ^４’’ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３））として示される第３空間４次キュムラント行列の列空間は、共役の「修正された」ステアリングベクトルの集合により張られる。

さらに、「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する場合、共役の「修正された」ステアリングベクトルの集合は線形独立であり、第３空間４次キュムラント行列の列空間に対する基底を形成する。

性質４
第３空間４次キュムラント行列のランクは、行列Ｖと

外２７

がフルの列ランクを有する場合、混合行列のランクに等しい。すなわち、

である場合、

となる。ただし、ρ（）はランクを表す。

性質５
第３空間４次キュムラント行列の「右」零空間と混合行列の「左」零空間の共役は、混合行列と「修正された」混合行列がフルの列ランクを有する場合、等しくなる。

与えられた空間４次キュムラント行列の３つの定義のすべてが、雑音部分空間を持たないという主要な属性を有する。この特徴により、雑音空間を推定するためアレーの自由度を利用する必要性、あるいは雑音部分空間が非ゼロタイムラグにおいてなくなるよう時間白色を仮定する必要性を回避することを可能にする。しかしながら、定義１、２及び３の間には２つの主要な相違点がある。

第１に、定義２及び３は、定義１に対して計算上の利点を有する。これは、式（７６）を式（９３）及び（１１１）と比較することにより確認することができる。ここでは、定義２及び３はＮ^２のキュムラントが推定される必要があるが、定義１はＮ^３のキュムラントの推定が必要とされる。第２に、混合行列がフルの列ランクを有する場合、第１空間４次キュムラント行列が信号数に等しいランクを有するということが厳密に証明されていないままであるが、混合行列がフルの列ランクを有する場合、第２及び第３空間４次キュムラント行列が信号数に等しいランクを有することはまだ証明されなかった。この第２の相違点は、アダマール積がランクを保持するという証明がまだわかっていないとい事実から生じるものである。従って、「修正された」混合行列の特別な場合では、第２の相違点は生じ、このため、第２及び第３空間４次キュムラント行列は、ブラインド音源分離を実行するのに必要とされる導き出された性質群を有するということが仮定される。しかしながら、この仮定が真でないと判明した場合、アレーのセンサが同一のマニホールドを持たなければ、第２あるいは第３空間４次キュムラント行列は、分離を実行するだけの十分な自由度を持たないかもしれない。

アレーのセンサのすべてが同一のマニホールドを有するとき、センサの反応量｜ν_ｉｊ｜＝α_ｉｊは、各信号に対して一定となる。すなわち、

式（２６）から、

となり、これにより、すべてのセンサが同一のマニホールドを有するとき、式（１２５）は、

を取得するため、式（１２６）に代入され、これにより、

となる。さらに、マニホールドが同一である場合、すべてのｊに対して、

となる。従って、第２空間４次キュムラント行列に対して、センサが同一のマニホールドを有するとき、式（１２９）を式（１００）に代入して、双一次形式に分解することにより、

が導かれ、これにより、第２空間４次キュムラント行列と第１空間４次キュムラント行列は、実数スケーリング係数の範囲内で等しくなる。第３空間４次キュムラント行列に対する同一のパスに続き、

となることがわかり、これにより、センサが同一のマニホールドを有するとき、第３空間４次キュムラント行列は、実数スケーリング係数の範囲内において、第１空間４次キュムラント行列の共役に等しくなる。残念なことに、すべてのセンサが同一の空間反応を有するという仮定は、物理的に非現実的なものであり、ＥＳＰＲＩＴアルゴリズムとその高次の対応するものを破壊するものであるとわかるであろう。

最後に、Ｎ．Ｙｕｅｎ及びＢ．Ｆｒｉｅｄｌａｎｄｅｒらによる「ＥＳＰＲＩＴ、高次ＥＳＰＲＩＴ及びバーチャルＥＳＰＲＩＴアルゴリズムの漸近的性能分析」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｓｉｇａｎｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．４４，Ｎｏ．１０，Ｏｃｔ．１９９６，ｐｐ．２５３７−２５５０）では、定義２に対する定義３の利点は、有限長のデータが空間４次キュムラント行列の推定に利用されるとき、第３空間４次キュムラント行列は、第１の性質に述べられた条件の下、それのエルミート対称性を保持するということであると主張される。この性質は、以降の章で与えられる行列束アプローチに対して価値あるものであると知られておらず、従って、その有効性に対する評価がなされていない。

以下において、空間４次キュムラント行列束の定義と関連する性質が与えられる。空間４次キュムラント行列の標準的な固有分析の不定性が、証明することにより空間４次キュムラント行列束の利用を動機付けるのに説明される。特異束の処理及び広い意味での等価の新規な概念の構築を含む行列束の定義、性質及びスペクトル理論が与えられる。空間４次キュムラント行列束が定義され、その性質が空間４次キュムラント行列の３つすべての定義に対して導かれる。最後に、空間４次キュムラント行列束のスペクトル分析が、個々の音源信号をブラインド分離するための基礎として利用可能な一般化固有ベクトルの集合を提供することが示される。

ブラインド音源を実行するための分離行列の定式化は、各自が１つを除いたすべてのステアリングベクトルに一意的に直交するベクトルの集合を検出することを含む。おそらく正規化係数によりスケーリングされるこれらベクトルの集合は、混合行列Ｖを対角化する分離行列Ｗの列を形成する。ブラインド音源分離の概念は前述されたが、以下においては、空間４次キュムラントを利用して分離行列を求める技術の構築が与えられる。

ブラインド分離を実行する空間４次キュムラント行列部分空間に基づくスペクトル推定技術が求められる。行列部分空間に関して、スペクトル推定は、固有分析を伴い、項スペクトルと固有が交互に利用されるであろう。数学的には、固有値はまたしばしば「プロパー値（ｐｒｏｐｅｒ ｖａｌｕｅ）とも呼ばれる。例えば、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、Ｐ．Ｒ．Ｈａｌｍｏｓによる「有限次元ベクトル空間（Ｆｉｎｉｔｅ−Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｖｅｃｔｏｒ Ｓｐａｃｅｓ）」（Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，ＮＹ：１９８７）を参照せよ。残念なことに、一般には、空間４次キュムラント行列の標準スペクトル分解は、混合行列を対角化する固有ベクトルの集合を直接的に与えるものではない。混合行列を対角化する空間４次キュムラント行列に対する固有ベクトルの集合は存在するが、しかしながら、信号部分空間全体は、この一意的な固有ベクトル集合を求めるために探索される必要があるであろう。このため、空間４次キュムラント行列の標準固有分解は、それを望ましくないものにする不定性を有する。標準固有分析の不定性は、セクション５．２において詳細に説明される。
標準固有分解の不定性は、空間４次キュムラント行列束の一般化固有分析の利用により克服することができる。従って、２つの空間４次キュムラント行列の空間４次キュムラント行列束は、異なる２つのタイムラグ（０，０，０）と（τ_１，τ_２，τ_３）を利用することにより定義される。

標準的固有分析の不定性
統計的に独立な音源信号の混合をブラインド分離する信号部分空間に基づくスペクトル推定方法の定式化は、第１空間４次キュムラント行列Ｃ^４ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３）の標準固有ベクトルを利用して、ブラインド音源分離を実行するときに存在する不定性をチェックすることにより開始される。一般に、第１空間４次キュムラント行列に対し与えられる結果は、第２及び第３空間４次キュムラント行列に直接的に適用可能であり、このため、第１空間４次キュムラント行列のみが提示されるであろう。しかしながら、第２及び第３空間４次キュムラント行列に対して存在する相違点または例外点は、適切に与えられるであろう。

第１空間４次キュムラント行列に対する標準固有ベクトルの問題は、

として定義される。スカラーλは、式（１３２）の等号がゼロでない固有ベクトルｅと関連する固有ベクトルに対して成り立つ場合に、第１空間４次キュムラント行列の固有値であると言われる。式（１３２）を書き換えると、第１空間４次キュムラント行列の固有ベクトルが、行列束の「右」零空間にあるということがわかる。すなわち、

であり、これにより、

となる。行列束

は、λが固有値でないとき、行列Ｃ^４ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３）がランクＭを有したとしても、ランクＮの非特異行列となる。このため、固有値λは、固有値λの「幾何的重複度」と呼ばれ、

により与えられる値η^ｇｅｏｍだけ、行列束｛Ｃ^４ _ｘ（τ_１，τ_２，τ_３），Ｉ_Ｎ｝のランクを減少させるであろう。

λが固有値となるのは、行列束のランクが減少する場合、かつその場合に限られるため、固有値は特性方程式の根を探索することにより求めることができる。すなわち、行列束の行列式をゼロにする値

が固有値である。

式（１３７）の行列式は、積の和

として定義される。ただし、集合｛ｃ_１，ｃ_２，・・・，ｃ_Ｎ｝は最初のＮ個の正の整数のｌ番目の順列であり、この和はすべてのＬ＝Ｎ！の順列上で行われ、スカラーδ_ｒｃは単位行列Ｉ_Ｎの第ｒ行第ｃ列の成分を表す。式（１３８）の指数は、

により集合｛ｃ_１，ｃ_２，・・・，ｃ_Ｎ｝の関数として定義されるスカラーである。ただし、ξ_ｎはｃ_ｎより小さいシーケンスｃ_ｎ＋１，・・・，ｃ_Ｎの整数の個数である。式（８４）を式（１３８）に代入すると、

となるため、式（１４０）の行列式をゼロにするλのゼロでない各値が、各音源信号の４次キュムラントの線形結合であることが明らかとなるであろう。このため、各固有値が音源信号の４次キュムラントの線形結合であるため、当該固有ベクトルが関連するステアリングベクトルの線形結合となることを予想することは妥当である。実際、これは真であることを示すことができる。空間４次キュムラント行列に対し、式（８７）を式（１３２）に代入することにより、式（１３２）は、

となる。ベクトルの内積ｖ_ｊ ^Ｈｅは、

として定義されるスカラーに等しくなるであり、このとき、式（１４１）は、

となる。

あるいは、ある固有ベクトルに対して式（１４１）の等号が成り立つ固有値は一意的に存在するため（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｄ．Ａ．Ｈａｒｖｉｌｌｅによる「統計学者の視点からの行列代数（Ｍａｔｒｉｘ Ａｌｇｅｂｒａ ｆｒｏｍ ａ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｉａｎ‘ｓ Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ）」（Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，ＮＹ：１９９９）を参照せよ）、固有ベクトルのエルミート転置と前から乗算させ、内積ｅ^Ｈｅと除算させることにより、各固有値が音源信号の４次キュムラントの線形結合となることを示すことができる。これにより、各固有値は、明らかに個々の音源信号の４次キュムラントの線形結合である

として表現することができる。

混合行列Ｖがフルの列ランクを有すると仮定される場合、第１空間４次キュムラント行列は、第４の性質によりランクＭを有することになるであろう。従って、空間４次キュムラント行列のトレースに等しい和を有するＭ個のゼロでない固有値が存在することになる。すなわち、第１空間４次キュムラント行列の第２の性質を利用して、

となる。式（１４４）を式（１４５）に代入することにより、

を得ることができる。

明らかに、
第１空間４次キュムラント行列の標準固有分析には、不定性が存在する。同様の不定詞は第２及び第３の定義にも存在し、これは、一般に、単位行列が第１空間４次キュムラント行列と「類似」でないという事実から生じるものである。従って、新たな行列Ｂと呼ぶことができる空間４次キュムラント行列と「類似」の新たな行列を、行列束の単位行列を置き換え、これにより、第１空間４次キュムラント行列の一般化固有分析に移行するため、求める必要がある。ここでの「類似」とは、行列Ｂが第１空間４次キュムラント行列に対して実行されたことと同様に、双一次形式に因数分解可能であるということを意味し、定義２及び３に対する修正された混合行列が３つの因数の２つであり、ある対角行列が３番目にくる。すなわち、

である。ただし、行列Ｄは対角行列である。

行列束の定義、性質及びスペクトル理論
行列束は、数学的には多項式演算子束（ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｅｎｃｉｌ）として知られるものの特別な場合である。多項式演算子束とそれに関連するスペクトル問題は、微分方程式、境界値問題、制御理論、ハーモニックシステム分析、波動、弾性理論、回路シミュレーション及びモデリング、流体力学などの多様な領域で生じるものである。あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ａ．Ｓ．Ｍａｒｋｕｓによる「多項式演算子束のスペクトル理論へのイントロダクション，数学モノグラフの翻訳，第７１巻（Ｉｎｔｏｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｐｅｎｃｉｌｓ，Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｎｏｇｒａｐｈｓ，Ｖｏｌ．７１）」（Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｉｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ：１９８８）を参照せよ。一般に、ｎ次多項式演算子束は、

の形式をとる。ただし、λはスペクトルパラメータであり、Ａ_ｉはヒルベルト空間上の線形演算子である。行列束Ｐ（λ）は、

の形式を有する１次多項式演算子束である。

一般に、行列束は、正則または特異として分類される。あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ａ．Ｓ．Ｍａｒｋｕｓによる「多項式演算子束のスペクトル理論へのイントロダクション，数学モノグラフの翻訳，第７１巻」（Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｉｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ：１９８８）、Ｚ．Ｂａｉ、Ｊ．Ｄｅｍｍｅｌ、Ｊ．Ｄｏｎｇａｒｒａ、Ａ．Ｒｕｈｅ及びＨ．ｖａｎ ｄｅｒ Ｖｏｒｓｔらによる「代数的固有値問題の解法テンプレート：実践ガイド（Ｔｅｍｐｌａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ：Ａ Ｐｒａｃｔｉｃａｌ Ｇｕｉｄｅ）」（ＳＩＡＭ，Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＰＡ：２０００）、Ｋ．Ｋａｎａｔａｎｉによる「幾何計算のための統計的最適化：理論及び実践（Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ：Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｐｒａｃｔｉｃｅ）」（Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｂ．Ｖ．，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｔｈｅ Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：１９９６），Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ及びＣ．Ｆ．Ｖａｎ Ｌｏａｎによる「行列計算（Ｍａｔｒｉｘ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ）」（Ｔｈｅ Ｊｏｈｎｓ Ｈｏｐｋｉｎｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ，ＭＤ：１９９６）、Ｆ．Ｒ．Ｇａｎｔｍａｃｈｅｒによる「行列理論，第１巻（Ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｍａｔｒｉｃｅｓ，Ｖｏｌｕｍｅ Ｉ）」（ＡＭＳ Ｃｈｅｌｓｅａ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ，１９７７）、及びＦ．Ｒ．Ｇａｎｔｍａｃｈｅｒによる「行列理論，第２巻（Ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｍａｔｒｉｃｅｓ，Ｖｏｌｕｍｅ ＩＩ）」（ＡＭＳ Ｃｈｅｌｓｅａ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ，１９８９）を参照せよ。２つの行列ＡとＢは正方行列であり、行列束の行列式はλのすべての値に対してゼロでない場合、すなわち、

である場合、当該行列束は正則であり、そうでない場合、当該行列束は特異である。正則束は、行列Ａ及びＢの関数として連続的に変化する明確な固有値を有する。他方、特異束は、行列Ａ及びＢの不連続関数である固有値を有する。何れのタイプの束も実際上生じるものであり、本発明によるＢＳＳ技術に適用可能である。ここで、標準固有問題はＢ＝Ｉ_Ｎによる正則行列束となる。

正則行列束の性質及びスペクトル理論
正則束はさらに、エルミートまたは非エルミートとして分類することができる。非エルミート行列束とそれに関連する一般化非エルミート固有問題は、行列ＡまたはＢがエルミートでないとき、あるいは行列Ｂが正定値でないとき、生じるものである。空間４次キュムラント行列の第１の性質により、一般に、空間４次キュムラント行列束はエルミートではない。これは、３つすべての定義に対して成り立つことが示される。従って、非エルミート正則束にのみ着目し、これにより、項正則束が利用されるとき、非エルミート束が意味される。エルミート束の説明のため、あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｚ．Ｂａｉ、Ｊ．Ｄｅｍｍｅｌ、Ｊ．Ｄｏｎｇａｒｒａ、Ａ．Ｒｕｈｅ及びＨ．ｖａｎ ｄｅｒ Ｖｏｒｓｔらによる「代数的固有値問題の解法テンプレート：実践ガイド」（ＳＩＡＭ，Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＰＡ：２０００）、Ｋ．Ｋａｎａｔａｎｉによる「幾何計算のための統計的最適化：理論及び実践」（Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｂ．Ｖ．，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｔｈｅ Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：１９９６），Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ及びＣ．Ｆ．Ｖａｎ Ｌｏａｎによる「行列計算」（Ｔｈｅ Ｊｏｈｎｓ Ｈｏｐｋｉｎｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ，ＭＤ：１９９６）、Ｆ．Ｒ．Ｇａｎｔｍａｃｈｅｒによる「行列理論，第１巻」（ＡＭＳ Ｃｈｅｌｓｅａ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ，１９７７）を参照せよ。

正則なＮ×Ｎの行列束の特性多項式は、

定義により、λのすべての値に対してゼロでない。ｐ（λ）の次数は高々Ｎである。これは、行列束の有限の固有値であるｐ（λ）＝０の根を有する、有限または無限であってもよいＮ個の固有値が存在するということを意味する。行列束Ｐ（λ）の固有値の集合は、行列Ｂに関する行列Ａの「一般化」固有値として通常には知られ、

として定義される。

正則束の固有値は行列Ａ及びＢの連続関数であり、このため、行列Ａ及びＢのわずかな変化は固有値のわずかな変化を生じさせる。特性多項式の次数がＮ未満である場合、当該束は、（Ｎ−Ｍ）の無限固有値を有すると言われる。ただし、Ｍは特性多項式ｐ（λ）の次数である。行列束のすべての固有値λ（Ａ，Ｂ）の集合は、それのスペクトルと呼ばれる。あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｆ．Ｒ．Ｇａｎｔｍａｃｈｅｒによる「行列理論，第２巻」（ＡＭＳ Ｃｈｅｌｓｅａ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ，１９８９）、Ａ．Ｓ．Ｍａｒｋｕｓによる「多項式演算子束のスペクトル理論へのイントロダクション，数学モノグラフの翻訳，第７１巻」（Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｉｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ：１９８８）、Ｚ．Ｂａｉ、Ｊ．Ｄｅｍｍｅｌ、Ｊ．Ｄｏｎｇａｒｒａ、Ａ．Ｒｕｈｅ及びＨ．ｖａｎ ｄｅｒ Ｖｏｒｓｔらによる「代数的固有値問題の解法テンプレート：実践ガイド」（ＳＩＡＭ，Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＰＡ：２０００）、Ｋ．Ｋａｎａｔａｎｉによる「幾何計算のための統計的最適化：理論及び実践」（Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｂ．Ｖ．，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｔｈｅ Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：１９９６），Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ及びＣ．Ｆ．Ｖａｎ Ｌｏａｎによる「行列計算」（Ｔｈｅ Ｊｏｈｎｓ Ｈｏｐｋｉｎｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ，ＭＤ：１９９６）、Ｆ．Ｒ．Ｇａｎｔｍａｃｈｅｒによる「行列理論，第１巻」（ＡＭＳ Ｃｈｅｌｓｅａ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ，１９７７）を参照せよ。ここで、標準固有値に関して、固有値は、固有値λの「幾何重複度」と呼ばれる値η^ｇｅｏｍだけ束のランクを減少させる。

各有限固有値に対して、当該固有値において評価される行列束の右零空間に存在する任意の非零ベクトルは、当該固有値に対する「右」固有ベクトルとして定義される。

すなわち、

に対して、

を満たす任意のベクトルｅは、当該固有値に対応する固有ベクトルである。行列束の固有値に関して、固有ベクトルはしばしば「一般化」固有ベクトルと呼ばれる。無限固有値に対して、行列Ｂの右零空間に存在する任意のゼロでないベクトルは、固有ベクトルとなる。すなわち、

を満たす任意のゼロでないベクトルは、固有値λ＝∞に対応する。Ｎ×Ｎの正則行列束は、Ｎ個の線形独立な固有ベクトルを有していないかもしれない。しかしながら、相異なる各固有ベクトルに対して、少なくとも１つの独立な固有ベクトルが存在するであろう。標準固有ベクトルに関して、一般化固有値λ（Ａ，Ｂ）の集合は一意的であるが、固有ベクトルの集合は一意的とはならない。

各正則行列束は、Ｘ及びＹと記される同一の次元を有し、

を満足する２つの関連する部分空間を有する。これらの部分空間は、右及び左収縮（ｄｅｆｌａｔｉｎｇ）部分空間とそれぞれ呼ばれる。さらに、

が成り立ち、これにより、

となる。収縮部分空間は、稠密な非エルミート正則一般化固有問題を解くための最も強力な技術と現在考えられているＱＺアルゴリズムなどの正則一般化固有問題を解くための技術の進展において重要なものである（あたかもここで提示されたかのようにその内容のすべてが参照することによりここに含まれる、例えば、Ｐ．Ｖａｎ Ｄｏｏｒｅｎによる「縮小部分空間：定義、性質及びアルゴリズム（Ｒｅｄｕｃｉｎｇ Ｓｕｂｓｐａｃｅｓ：Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ａｎｄ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ）」（Ｍａｔｒｉｘ Ｐｅｎｃｉｌｓ，Ｐｒｏｃ．Ｐｉｔｅ Ｈａｖｓｂａｄ，Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ９７３，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，ＮＹ，１９８２，ｐｐ。５８−７３）を参照せよ）。

最後に、ＸとＹを

である非特異行列とする。このとき、行列束

は、行列束Ｐ（λ）と「等価」となり、行列Ｘ及びＹは、「等価変換（ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ）」と呼ばれる。行列束

外２８

は、Ｐ（λ）と同一の固有値を有し、

外２９

と記されるそれの右固有ベクトルは、変換

により束Ｐ（λ）の右固有ベクトルに関するものとなる。

特異行列束の性質及びスペクトル理論
行列束は、矩形または正方であり、

が成り立つ場合、特異である。正方束が特異となるためには、行列ＡとＢの何れもが特異であり、かつ共通の零空間を有する必要がある。すなわち、束Ｐ（λ）が特異となるための必要十分条件は、

が成り立つことである。何れの場合も実際的に生じるものであり、正則束を扱う場合と比較してはるかに困難なものとなる。定義により、空間４次キュムラント行列は正方であるため、正方特異束のみが考察される。

Ｎ×Ｎの特異な行列束の特性多項式は、ラムダのすべての関数に対してゼロとなる。従って、特異束の固有値は行列Ａ及びＢの不連続関数であり、特異束の固有値を定義するのに考慮がなされねばならない。明らかに、固有値は、特性多項式の根を求めることによっては、もはや求めることができない。代わりに、縮小部分空間の概念を用いて、特異束の固有値及び固有ベクトルが定義される。

ＸとＹにより記される束Ｐ（λ）の右及び左縮小部分空間のペアは、それぞれ

及び

を満たしている。ここで、右縮小部分空間Ｘの次元は、λのすべての有理関数の体上の束の右零空間の次元だけ、左縮小部分空間Ｙの次元より大きなものである。すなわち、

である。縮小部分空間は、正則束に対して収縮部分空間と同様の役割を担う。行列束のランクは、一般に、λの大部分の値に対して定数Ｍとなる。

しかしながら、ある値の集合に対しては、束のランクは縮小され、これにより、縮小部分空間の概念が動機付けされる。λ（Ａ，Ｂ）により記される、特異束のランクを縮小させるλの値を有する値の集合は、この特異束の固有値またはスペクトルである。

束のランクの減少量は、当該固有値の幾何重複度η^ｇｅｏｍとなる。

ここで、特異行列束の固有値は、有限、無限または不定とすることができるということに注意せよ。

各有限固有値に対して、当該固有値において評価される行列束の右零空間に存在する任意のゼロでないベクトルは、当該固有値に対応する「右」固有ベクトルとして定義される。

すなわち、

に対して、

を満たす任意のベクトルｅは、当該固有値に対応する固有ベクトルである。不定性の固有値に対して、行列Ｂの右零空間、従って、行列Ａの右零空間に存在する任意のゼロでないベクトルは、不定的な固有値に対応する固有ベクトルである。言い換えると、Ａ（またはＢ）の右零空間に存在する任意のゼロでないベクトルは、不定的な固有値に対応する固有ベクトルである。式（１７１）を書き換え、λに対し解くことにより、

が得られる。明らかに、ベクトルｅが行列Ａ及びＢの共通の右零空間に存在する場合、λ＝０/０となり、固有値は不定となる。

正則束に関して、「厳密な」等価の概念が定義される。ＸとＹをλに依存せず、

となる非特異行列とする。このとき、行列束

は、行列束Ｐ（λ）に「厳密に等価」であり、Ｘ及びＹは「厳密な等価変換」と呼ばれる。行列束

外３０

は、Ｐ（λ）と同一の固有値を有する。また、行列束

外３１

の右及び左縮小行列

外３２

は、

だけ、束Ｐ（λ）の右及び左縮小部分空間に関する。縮小部分空間に関する等価変換の効果の結果は、

外３３

と記される

外３４

の右固有ベクトルが、変換

によるＰ（λ）の右固有ベクトルに関するものとなるということである。

行列束の広い意味での等価
「厳密な」等価という用語は、「広い意味での」等価として定義されたものと区別するために強調されたものである。

を満たすλから独立なＭ×Ｎのフルの行ランクを有する行列ＸとＹが与えられると、Ｎ×Ｎの特異束

外３５

は、

となるＭ×Ｍの非特異束Ｐ（λ）に広い意味で等価であると言われる。矩形行列ＸまたはＹを有することは、

外３６

が特異であることを保証するための十分条件である。

広い意味での等価変換がＰ（λ）のスペクトルを保持し、

外３７

の固有ベクトルがある等価変換により非特異束Ｐ（λ）の固有ベクトルに関するものであるか判断される。これが真であるということを証明するため、

及び

外３８

を特異束

外３９

の有限または無限一般化固有値及び関連する固有ベクトルとする。Ｍ×Ｎの行列Ｘはフルの行ランクを有するため、Ｘは「右」逆行列を有する。すなわち、

を満たすＮ×Ｍの行列Ｘ^−１ｒが存在する。また、行列Ｙはフルの行ランクを有するため、行列Ｙ^Ｈはフルの列ランクを有し、それゆえ、行列Ｙ^Ｈは「左」逆行列を有する。すなわち、

を満たすＭ×Ｎの行列

外４０

が存在する。明らかに、

が成り立つ。一般化固有値問題は、

として定式化される。Ｎ×１のベクトルｙを

として定義する。ここで、ベクトルｅは、行列束Ｐ（λ）の固有ベクトルである。

外４１

との積はスカラーとなり、これにより、

となる。同様に、非特異束Ｐ（λ）の固有値は、

である。式（１７７）を式（１８４）に代入することにより、

が得られる。このとき、式（１８３）と（１８６）を利用することにより、

が得られる。明らかに、すべての有限または無限

は、対応する固有ベクトル

を有する束Ｐ（λ）の固有値である。

従って、

外４２

の有限及び無限固有値の集合は、非特異束の固有値の集合に等しくなることが結論付けされる。すなわち、

であり、

外４３

の固有ベクトル

外４４

は、等価変換

によりＰ（λ）の固有ベクトルに関連付けされる。

空間４次キュムラント行列束：定義及び性質
空間４次キュムラント行列束は、遅延ラグ（０，０，０）及び（τ_１，τ_２，τ_３）における空間４次キュムラント行列のペア上で、

として定義される。ただし、ゼロでない遅延ラグの集合は、ベクトル形式により

として記される。空間４次キュムラント行列に関して、各自が対となる空間４次キュムラント行列で利用される定義に対応する３つの定義による空間４次キュムラント行列が存在する。第１空間４次キュムラント行列束は、第１空間４次キュムラント行列束のペアを利用し、上記の式（１９１）により与えられる。第２空間４次キュムラント行列束は、定義２を用いた空間４次キュムラント行列のペア上で、

として定義される。最後に、第３空間４次キュムラント行列は、定義３を用いた空間４次キュムラント行列のペア上で、

として定義される。アダマール積がランクを保持する場合、これら３つすべての定義が同様の行列性質を有するということが第４章において示されたため、第１空間４次キュムラント行列束の性質が導出され、第２及び第３空間４次キュムラント行列束に対する相違が述べられる。

空間４次キュムラント行列束の第１性質
第１空間４次キュムラント行列束は、エルミート形式により、

として因数分解することができる。ただし、行列Ｖは混合行列であり、

外４５

は、対角信号キュムラント行列のペア上のＭ×Ｍの行列束である。

第２及び第３空間４次キュムラント行列束は、双一次形式

及び

に、それぞれ因数分解することができる。

空間４次キュムラント行列束の第２性質
第１空間４次キュムラント行列束のランクは、行列Ｖがフルの列ランクを有する場合、λの「大部分の」値に対して、信号数Ｍに等しくなる。すなわち、

とρ（Ｖ）＝Ｍに対して、

となる。第２及び第３空間４次キュムラント行列束は、アダマール積（１９６）がランクを保持する場合、同様の性質を有する。

空間４次キュムラント行列束の第３性質
空間４次キュムラント行列束は、一般には、エルミートではない。Ｍ＝Ｎかつ行列Ｖがフルの列ランクを有する場合、それは正則束となる。そうでない場合には、Ｍ＜Ｎのとき、あるいは行列Ｖがフルの列ランクを持たない場合、それは特異束となる。第２及び第３空間４次キュムラント行列束は、さらに、式（４．６５）で与えられたアダマール積が、当該束を正則にする行列Ｖのランクを保持することを要求する。

空間４次キュムラント行列束の第４性質
空間４次キュムラント行列束

外４６

は、

外４７

が正則束である場合、正則束

外４８

に厳密に等価となる。そうでない場合、空間４次キュムラント行列束

外４９

は、混合行列がフルの列ランクを有する場合、正則束

外５０

に広い意味で等価となる。空間４次キュムラント行列束

外５１

は、さらに、式（４．６５）で与えられるアダマール積がランクを保持することを求める。

空間４次キュムラント行列束のスペクトル分析
空間４次キュムラント行列束のスペクトル理論が、２つの方法により利用される。第１に、厳密あるいは広い意味での等価を利用して、束

外５２

の有限スペクトルが信号４次キュムラントの集合に対する１対１写像を有し、これにより、各一般化固有値が１つの音源とそれに関連する信号のステアリングベクトルを有する固有ベクトルに関連付けすることができるということが示される。その後、固有値問題の外積展開とステアリングベクトルの線形独立を利用することにより、同様の関係が示される。どちらの場合においても、行列Ｖはフルの列ランクを有すると仮定され、関心があるのは信号部分空間のみであるため、有限一般化固有値とそれに関連する固有ベクトルが着目される。上述のように、第１空間４次キュムラント行列束に対するスペクトル理論が与えられ、第２及び第３空間４次キュムラント行列束に対して生じる相違点が説明される。

空間４次キュムラント行列束の第４性質から、

外５３

は、Ｍ×Ｍの正則束

外５４

に厳密または広い意味で等価である。等価の定義より、

外５５

の有限及び無限スペクトル固有値の集合は、束

外５６

のスペクトルに等しい。

明らかに、

外５７

が正則である場合、

となる。

束

外５８

が正則であるため、そのスペクトルは、ゼロに等しいしそれの行列式の集合の根を求めることにより決定することができる。

外５９

は定義により対角形であるため、行列式はそれの対角成分の積になるであろう。すなわち、

となる。式（２０１）を考察することにより、

外６０

のスペクトルは、集合

となる。仮定Ａ２により、信号キュムラントは厳密にゼロではなく、スペクトルは、各自が零及び非零のラグの集合における特定の信号のキュムラントの比に対応するＭの有限、非零個誘致及びカウントした重複度を有するであろう。固有値は複素数であるため、それらを順序付けする固定した方法はない。しかしながら、便宜上、それらはλ_ｊ、すなわち、

としての第ｊ信号との関連により順序付けされるであろう。Ｍ個の固有値のうち、η_ｋの重複度を有するμ_ｋとして記される相異なるＫ個の値しか存在しないかもしれない。従って、固有値は、μ_ｋに等しい固有値を含む

外６１

と記されるＫの集合にグループ化することができる。

ここで、対角正則束に対して、

が成り立つことに着目せよ。明らかに、

となる。各μ_ｋに対して、ゼロラグでのキュムラントの非ゼロラグでのキュムラントに対する同一の比を有するη_ｋ個の信号が存在する。この比は、以降の章において正規化４次自己キュムラントとして定義されるものの逆数である。

正則束に対する特定の固有値に対応する「右」固有ベクトルは、当該固有値において評価された束の右零空間に存在するゼロでないベクトルとなるであろう。

固有ベクトルｅ_ｊは、相異なる固有値λ＝λ_ｊ＝μ_ｋにおいて評価されるとき、ゼロでない成分を含む対角束の列に対応するインデックスを有する位置にＭ−η_ｋを有するＭ×１のベクトルである。これを例により示す。

例えば、Ｍ×Ｍ（Ｍ＞３）の対角束は、

の形式を有する。

が成り立つ場合、

となり、相異なる固有値μ_１は重複度２を有する。固有値λ_１とλ_３に対応する固有ベクトルは、

の形式を有する。ただし、ｅ_１ｊとｅ_３ｊは、ともにゼロではない任意のスカラーである。明らかに、これらの固有ベクトルは一意的なものではないが、ゼロでない成分の位置と固有ベクトルは、信号に一意的に関連付けされる。

Ｍ個の固有ベクトルの集合が必要とされる。しかしながら、Ｋ個しか相異なる固有値が存在しないとき、繰り返される固有値と関連付けされる信号を分離する以降の分離工程が利用可能となるように、繰り返される固有値に対応する固有ベクトルの選択において考慮される必要がある。繰り返される固有値に対応する固有ベクトルを求めるための制約条件が、以下の章において説明される。

空間４次キュムラント行列束

外６２

を考える。混合行列Ｖがフルの列ランクを有すると仮定されている場合、空間４次キュムラント行列束の第４性質により、

外６３

は、厳密または広い意味において、束

外６４

に等価である。このとき、束

外６５

は、

外６６

と同一の有限及び無限固有値を有し、有限固有値に対応する

外６７

と記された

外６８

の固有ベクトルは、

により

外６９

の固有ベクトルと関連付けされる。行列Ｖ^Ｈの行は、定義により、共役信号ステアリングベクトルであるため、

に対して、

外７０

の列は、それ自身の列インデックスに対応するインデックスを有する列のものを除いて、すべてのステアリングベクトルに直交となる必要がある。従って、

外７１

の列は、信号のステアリングベクトルに一意的に関連付けされる。これにより、

となることがわかる。

従って、

外７２

は、信号をブラインド分離するのに利用することができる。前述のように、繰り返される固有値に対応する固有ベクトルの選択に注目されねばならない。明らかに、

外７３

の出力は、混合行列の列の線形結合となり、固有ベクトルに関連する信号のステアリングベクトルの列、すなわち、ｅ_ｊのゼロでない成分に対応する行列Ｖの列の線形結合であるベクトルが生成されるであろう。第２及び第３空間４次キュムラント行列束に対して、アダマール積がＶのランクを保持する場合、束

外７４

の「左」固有ベクトル間の対応する等価変換を利用することにより、同様の結果が求められる。ここで、固有値において評価される束の左零空間に存在する左固有ベクトル、すなわち、１×Ｎのベクトル

外７５

により、同様の結果が達成されるということに注意せよ。

空間４次キュムラント行列束の前述のスペクトル分析は、束を外積の和に展開し、ステアリングベクトルの線形独立を利用することによる他の方法により実行することができる。行列束

外７６

に対する一般化（右）固有値問題は、

として定義される。空間４次キュムラント行列に対し、式（８７）を式（２１０）に代入し、項を並び替えることにより、

を生成することができる。混合行列がフルの列ランクを有すると仮定される場合、それの列は線形独立であり、これにより、式（２１１）の等号が成り立つように、すべてのｊに対して、

となる。これにより、

であるとき、任意のｊに対して、

が導かれる。第５の性質により、Ｖ^ＨとＣ_ｘ ^４（τ_１，τ_２，τ_３）は共通の右零空間を有するため、Ｖ^Ｈの右零空間に存在する任意の固有ベクトルは、束が特異である場合には、

外７７

がＶ^Ｈの零空間に存在するだけであるため、対応する不定値の固有値を有する。これにより、前に与えられた等価アプローチに関して、固有値とそれに関連する固有ベクトルとは、判別手段として機能する比

により音源信号と一意的に関連付けされる。修正混合行列

外７８

がフルの列ランクを有する場合、第２及び第３空間４次キュムラント行列束に対しても同様の結果が成り立つ。

本発明によるブラインド音源分離技術が、空間４次キュムラント行列の３つすべての定義を用いて説明され、識別可能性の条件が説明される。分離アルゴリズムによる分離パワー効率（ＳＰＥ）の最大化を可能にする正規化方法がまた構築される。正規化された４次自己キュムラントの概念が与えられ、カスケード処理を容易にする繰り返し固有値の固有ベクトルの選択方法が構築される。

図５は、本発明の一実施例によるブラインド音源技術とプロセッサの機能ブロック図である。狭帯域の仮定の下、Ｍ個の統計的に独立した音源信号のブラインド分離は、混合行列Ｖを対角化するＮ×Ｍの分離行列Ｗを求めることを要する。すなわち、式（３９）から、

となるような分離行列が求められる。この分離行列の計算は、ブラインド音源分離技術の一機能である。

前に、空間４次キュムラント行列束の一般化固有ベクトルが、異なる２つのタイムラグにおけるキュムラントの比に基づき、信号を分離するということが説明された。これらの結果は、分離計算技術の定式化において利用される。この技術は、適切な正規化により、分離パワー効率（ＳＰＥ）を最大化するため、残留ＩＳＲ（Ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ−ｔｏ−Ｓｉｇｎａｌ Ｒａｔｉｏ）を理論的に最小化するであろう。

前述のように、空間４次キュムラント行列束の固有ベクトルを求めるときの係数は、正規化４次自己キュムラントと呼ばれたものである。これは、各信号の正規化４次自己キュムラントの逆数に等しい空間４次キュムラント行列束の有限固有値から生じたものであり、ゼロに等しい分子のキュムラントにおけるタイムラグを有する異なる２つのタイムラグにおけるキュムラントの上記比である。具体的には、信号が一意的な正規化４次自己キュムラントを有する場合、関連する固有ベクトルがその他の信号のステアリングベクトルのすべてに対し直交するということが示されているため、正規化４次自己キュムラントは、信号判別機能として作用するものと考えることができる。この章では、正規化４次自己キュムラントが定義され、判別機能としてそれを利用することに関するいくつかのコメントがなされる。

複数の信号が使用されている遅延ラグにおいて、同一の正規化４次自己キュムラントを有するとき、繰り返しの固有値が発生する。理想的には、信号がもはや等しい正規化４次自己キュムラントを有する新たなタイムラグにおいて分離技術の繰り返しを容易にするため、結果として得られるステアリングベクトルが線形独立を維持することを保証するため、繰り返しの固有値の固有ベクトルの選択において考慮がなされる必要がある。繰り返しの固有値に関連する固有ベクトルを選択するための基準が以下で与えられる。新たなステアリングベクトルの結果として得られる集合は線形独立を維持することが示されるであろう。

ブラインド音源分離アルゴリズムの評価に利用されるパフォーマンスの１つの尺度は、分離パワー効率（ＳＰＥ）である。ＳＰＥを１にするため、分離ベクトルと関連するステアリングベクトルとの内積は１にならなければならない。これを実現するため、分離ベクトルの基底を構成する固有ベクトルは、それがステアリングベクトルと共線的（ｃｏ−ｌｉｎｅａｒ）であるが、ＳＰＥが１となることを保証するための正確な量を必ずしも持たないため、正規化される必要がある。従って、ＳＰＥが最大化されることを保証するため、正規化アルゴリズムが構築される。空間４次キュムラント行列には３つの定義が存在するため、各々に対して異なる正規化技術が必要とされる。

瞬間的な線形混合された信号の分離を可能にする識別可能性の条件が、以下において与えられる。これらの条件には、ステアリングベクトルの線形独立、音源信号の統計的独立と非ガウス性、及び各信号が相異なる正規化４次自己キュムラントを有するタイムラグの存在などが含まれる。

最後に、空間４次キュムラント行列束に基づくアルゴリズムが、フロー図においてステップごとに与えられる。各ステップが説明され、重要な問題があれば、それが提示される。当該アルゴリズムにおける異なる空間４次キュムラント行列の定義を使用したときに生じる相違が強調されるであろう。

信号判別手段としての正規化４次自己キュムラント
空間４次キュムラント行列束の一般化固有値は、

であるということが以前に示された。分離を行うため、各信号に対して相異なる固有値λ_ｊが必要とされる。このため、λ_ｊは「信号識別手段」として機能する。この識別手段とそれの性質を考察するため、第ｊ信号の正規化４次自己キュムラントが、

として定義される。明らかに、この信号に関連する一般化固有値は、それの正規化４次自己キュムラントの逆数となる。

仮定Ａ１により、信号ｒ_ｊ（ｔ）は、定常非ガウスランダム過程である。さらに、仮定Ａ２により、当該信号は、出力Ｐ_ｊとゼロでない４次モーメントにより零平均を有すると仮定される。これらの仮定は、信号４次キュムラントが存在し、ゼロでないことを保証する。上記仮定の必要な拡張は、４次自己キュムラントもまた存在し、ゼロとならないように、タイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）が選ばれることということである。これにより、正規化４次自己キュムラントが存在し、有限となることが仮定されてもよい。

信号が定常ランダム過程であると仮定されているため、そのモーメントは時間差あるいはタイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）にのみ依存することとなる。従って、正規化４次キュムラントは、３次元関数となる。これにより、信号分離のため、１つのみの独立な変数を有する２次技術と比較して、信号が一意的な正規化４次自己キュムラントを有することを保証するのに共同する３つの独立な変数が存在することになる。これは、２次空間相関に基づくアプローチに対する４次キュムラントアプローチの他の利点となる。

正規化４次自己キュムラントは、一般には、複素数である。タイムラグ（０，０，０）における信号のキュムラントは実数値をとるが、タイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）におけるキュムラントは複素値となるであろう。従って、正規化４次自己キュムラントは、（τ_１，τ_２，τ_３）の関数である位相情報を含む。位相雑音、搬送波周波数、送信フィルタ反応、アンプ反応、送信クロックジター、伝搬チャネル送信機能などの音源信号エミッタの属性が、音源信号の正規化４次自己キュムラントに寄与する。受信した音源信号の定義から、

であり、キュムラントの第１性質を利用して、正規化４次自己キュムラントが信号パワーの関数とならないことは明らかである。

従って、異なる信号パワーを有することによってではなく、一意的な正規化４次自己キュムラントを有する基礎となる波形を有することにより、信号は識別される。

上述のように、第ｊエミッタからのユニットパワー変調信号は、送信機の一意的な性質により影響を受ける。実際、２つの受信機はほとんど同一の信号を生成することはないため、音源信号は高い確率で一意的な４次自己キュムラント関数を有し、これにより、一意的な正規化４次自己キュムラント関数を有する。従って、信号グループが一意的な正規化４次自己キュムラントを有するタイムラグが存在し、これにより、分離が可能となることが予想される。

繰り返し固有値に対する固有ベクトルの選択
複数の信号の正規化４次自己キュムラント関数が、選択されたタイムラグにおいて同じ値を偶然にも有するとき、繰り返し固有値の問題が発生する。この状況では、これらの固有ベクトルから生成された分離ベクトルの集合が混合行列をフルの列ランクを有する新たに縮小された次元の混合行列に変換することを保証するため、関連する固有ベクトルの選択が考慮される必要がある。これにより、この新たな次元が減らされた混合行列により混合される繰り返し固有値に関する信号を分離するため、分離アルゴリズムが繰り返し実行されることが保証される。

図６は、単一の繰り返し固有値に対し分離アルゴリズムを繰り返す処理を示す。図６において、第１分離段階のＭ×１のベクトルの出力ｙ（ｔ）が、ｙ_Ｓ（ｔ）により記される一意的な固有値に対応するｙ（ｔ）のＭ−η_Ｋの成分を有するものと、ｘ_ＲＫ（ｔ）により記される重複度η_Ｋを有する繰り返し固有値μ_Ｋに対応するｙ（ｔ）のη_Ｋの成分を有するものからなる２つのベクトルに分割される。第１分離段階と同様に、繰り返し固有値に関連する信号を分離する新たなη_Ｋ×η_Ｋの分離行列Ｗ_ＲＫが求められる。この新たな分離行列は、異なるタイムラグにおいて空間４次行列束アルゴリズムを繰り返すことにより求められる。しかしながら、このアルゴリズムを２回目に利用するためには、以下のセクションで説明される識別可能性に対する条件が成り立つ必要がある。１つの条件は、混合行列がフルの列ランクを有し、これにより、新しい次元が減らされたη_Ｋ×η_Ｋの混合行列Ｖ_ＲＫがフルの列ランクを有する必要があるということである。繰り返しの各固有値は、同様の新しい混合行列を有し、分離アルゴリズムを繰り返し実行する。

新たな混合行列Ｖ_ＲＫがフルの列ランクを有することを保証するため、繰り返しの固有値に関連する固有ベクトルを選択するための要件が、以下において導かれる。特定の固有値に関連する信号を表す整数の集合は、

として定義される。固有値λ_ｊが第ｊ信号の正規化自己キュムラントの逆数に等しいことを思い起こしてほしい。

Ｍ個の信号が存在するため、Ｋのみが相異なる繰り返しを含むＭ個の固有値が存在することになるであろう。この相異なる固有値は、

として定義される。スケーリングまたは正規化されたＭに関するＮ×１の固有ベクトルは、分離行列Ｗの列になる。

式（２１５）から、分離行列がすべての信号を分離する場合、結果として得られる混合行列Ｗ^ＨＶは対角行列となるということがわかる。これは、相異なる固有値がＭだけ存在する場合にのみ起こる。前述のように、繰り返しの固有値に対して、固有ベクトルは、特定の固有値に関する信号をそれに関係しない信号から分離する。しかしながら、結果として得られるスカラーは、関連する信号の線形結合となっていた。従って、行列の積Ｗ^ＨＶは、各自が集合ｇ_ｋ（ｋ＝１，２，・・・，Ｋ）により番号付けされた列のη_ｋ個の非ゼロ成分を有する集合ｇ_ｋにより番号付けされたη_ｋ個の行を有するであろう。このことは、相異なるＭ個の固有値の場合に対し成り立ち、その場合、

であり、かつ各ｇ_ｋ（ｋ＝ｊ）は１つの成分のみを有し、このため、行列Ｗ^ＨＶは対角行列となる。

新しい混合行列Ｖ_ＲＫは、除去された集合ｇ_ｋに含まれない整数により番号付けされた列、すなわち、すべてがゼロである列を有する集合ｇ_ｋにより番号付けされたＷ^ＨＶのη_ｋ個の列から構成される。従って、Ｖ_ＲＫは、ベクトルｘ_ＲＫ（ｔ）のη_ｋの成分を形成する繰り返し固有値に関連するη_ｋの信号を線形混合するη_ｋ×η_ｋの行列である。Ｖが初期分離過程に対するのと同様に、Ｖ_ＲＫは第２段階の分離過程に対するものであるため、それはＶと同様の性質を有する必要があり、主として、フルの列ランクを有する必要がある。

Ｖ_ＲＫがフルの列ランクを有することを保証する

を選択するための条件が決定される。

ベクトルｗ_ｊは、固有ベクトル

外７９

のスケーリングされたものであるため、ｗ_ｊに関する制約条件は、実際には

外８０

の選択に関する制約条件となる。

に対して、固有ベクトル

外８１

が線形独立であることを求めることは、Ｖがフルの列ランクを有する場合、行列Ｖ_ＲＫがフルの列ランクを有することを保証するのに十分であるということが示される。

分離ベクトルの形成：固有ベクトルの正規化
固有ベクトルは、関連する固有値に等しい正規化自己キュムラントを有するものを除くすべての信号に直交しているが、その内積

は、ＳＰＥが最大値１を有することを保証するものではない。このため、分離ベクトルは、各固有ベクトルをＳＰＥの最大値１を保証する実数の正規化係数γ_ｊによりスケーリングすることにより形成される。

繰り返しの固有値に対して、正規化係数は異なる効果を有し、第１分離段階において繰り返し固有値に関する固有ベクトルを正規化する明快な効果はない。さらに、達成可能なＳＰＥに関する分離アルゴリズムの繰り返しの効果の研究が必要とされる。

式（３９）から、内積

が、一般には複素数である「損失」項ρ_ｊをもたらすということがわかる。式（６３）から、ＳＰＥは、

となるということがわかる。式（２２７）を式（２２８）に代入することにより、

が得られる。ＳＰＥを１とするためには、

が必要とされ、これにより、

となる正規化係数γ_ｊが必要とされ、これにより、

となる。

一意的な固有値に関する固有ベクトルに対するこのスケーリング係数の計算は、利用可能な変数が異なるため、用いられる空間４次キュムラント行列の定義に依存することになる。第１空間４次キュムラント行列に対しては、ＳＰＥが最大値１を達成することを保証する正規化係数を求めることができ、以下のセクションにおいてそれが導出される。しかしながら、第２及び第３空間４次キュムラント行列に対しては、双一次形式による修正された混合行列

外８２

の存在により、正規化係数を解くのに利用可能な方程式群が特定され、これにより、定義２及び３を用いることは分離が１のＳＰＥの達成を妨げるパワー損失を生じさせる。

第１空間４次キュムラント行列の正規化
固有ベクトルの正規化において利用可能なデータは、空間４次キュムラント行列と、固有値と、関連する固有ベクトルのみである。式（２２５）から、

が成り立ち、前述のように、

外８３

が相異なる固有値と関連すると仮定すると、第ｊ位置に非ゼロ成分を有する

が成り立つことが知られている。従って、第１空間４次キュムラント行列が、

（ただし、Ｃ_ｒ ^４（０，０，０）はＭ×Ｍの対角行列）のようにエルミート形式に因数分解することが可能であるため、積は、

となる。このとき、式（２３６）のユークリッドまたはｌ_２ノルムは、

となる。しかしながら、

であるため、このとき、

となる。さらに、式（２３６）の積に第ｊ固有ベクトルのエルミート転置を前から乗算することにより、スカラー

が得られる。式（２３９）に対する（２４０）の絶対値の比をとると、スカラー

が得られる。これにより、式（２３２）の未知の分母が求められ、これにより、第１空間４次キュムラント行列を利用したとき、正規化係数は、

となる。

第２及び第３空間４次キュムラント行列の正規化
第２及び第３空間４次キュムラント行列は、エルミート形式には変形できないが、その代わりに、それぞれ

及び

として示されるような双一次形式に変形することができる。第５章における結果から、第２及び第３空間４次キュムラント行列を用いて形成された束は、第２空間４次キュムラント行列束の固有ベクトルの共約に等しい第３空間４次キュムラント行列束の関連する固有値を有する同一の固有値を有するであろう。従って、正規化係数が実数であるため、存在するとすれば、それは両方の定義に対して同じものとなるであろう。

第２及び第３空間４次キュムラント行列はエルミート形式に変形できないため、修正された混合行列は、式（２３２）において与えられる正規化係数を推定するのに処理される必要がある。しかしながら、一般には、

である。さらに、相異なる固有値に対してさえ、固有ベクトル、具体的には右固有ベクトル

外８４

は、一般には、

外８５

を除くすべての修正されたステアリングベクトルに対してもはや直交せず、修正されたステアリングベクトルが１のユークリッドノルムを有する、すなわち一般には、

となることを保証しない。従って、第１空間４次キュムラント行列が｜ε_ｊ｜の推定に対して許容されたものを有するという性質は、第２及び第３空間４次キュムラント行列によっては共有されない。

第２または第３空間４次キュムラント行列のみが与えられたとき、｜ε_ｊ｜を解くには、関連する束の一般化固有ベクトル、それの関連する左固有ベクトル

外８６

及び右固有ベクトル

外８７

が特定される。第１空間４次キュムラント行列はエルミート形式に変形することが可能であるため、第１空間４次キュムラント行列束の左及び右固有ベクトルはエルミート変換により関連付けされる。すなわち、

外８８

が第１空間４次キュムラント行列束の右固有ベクトルである場合、

外８９

は左固有ベクトルである。従って、積

は、１つが｜ε_ｊ｜である２つのみの未知数を有することになる。同様に、

は、

であるため、同一の２つの未知数を有し、これにより、｜ε_ｊ｜を解くことができる。しかしながら、第２空間４次キュムラント行列、及び同様に第３空間４次キュムラント行列に対して、

となり、

とすることができる。ただし、

外９０

は、第ｊ信号に関する１×Ｎの左固有ベクトルであり、

となる。

これにより、２つの方程式に４つの未知数が存在することになる。遅延ラグ（τ_１，τ_２，τ_３）において第２空間４次キュムラント行列を利用することにより、４つの方程式を構成することにより、４つの方程式と５つの未知数を有するものとすることができる。従って、第２空間４次キュムラント行列と、同様に第３空間４次キュムラント行列に対して、正規化係数を解くことは、解くことができない指定のない問題にする。これにより、ＳＰＥの最大値１を保証する正規化係数を解くことができるという理由から、定義１はさらなる利点を有している。

識別可能性の条件
識別可能性は、分離ベクトルと到来する音源信号と一意的に関連付けするブラインド音源分離アルゴリズムによる機能を扱うものであり、その他の信号を抑制することにより、線形混合から当該信号を分離する。提案されているブラインド音源分離アルゴリズムが分離を実行するためには、ある条件が満たされねばならない。それらの一部は、信号及び雑音の仮定としてすでに与えられており、ここでは、空間４次キュムラント行列束に基づくブラインド音源分離アルゴリズムが音源信号の分離を実現するのに課される条件として再び説明される。必要とされる識別可能性に対する条件が少ないほど、より広範な音源分離問題を扱うことができるという意味で、当該アルゴリズムはより強力なものとなるであろう。ＣＩ１〜ＣＩ５の識別可能性に対する５つの条件が以下に与えられる。
・ＣＩ１：混合行列Ｖはフルの列ランクを有する。これは、センサ数以下の音源数を要し、すなわち、Ｍ≦Ｎを要し、信号ステアリングベクトルが線形独立となることを必要とする。
・ＣＩ２：正規化４次自己キュムラント

外９１

は、各信号に対して異なる。当該アルゴリズムは、同一の正規化４次自己キュムラントを有する第１分離段階における信号に対してのみ処理を行う第２分離段階において、異なるタイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）において繰り返されるようにしてもよい。
・ＣＩ３：アレーを照射するＭ個の音源信号は、統計的に独立な非ガウス定常ランダム過程であり、空間４次キュムラント行列の推定期間においてオーダ４に対して定常的である。
・ＣＩ４：雑音過程は、定常ガウスランダム過程である。雑音過程は、空間的または時間的に白色である必要はない。空間４次キュムラント行列の推定期間においてのみ定常性が要求される。
・ＣＩ５：第２及び第３空間４次キュムラント行列に対し、アダマール積

は、混合行列Ｖのランクを保持する。すなわち、修正された混合行列はフルの列ランクを有する。第１空間４次キュムラント行列を用いるときには、この条件は必要とされない。

分離行列生成アルゴリズム
図７及び図８は、本発明の一実施例による空間４次キュムラント行列束を利用したブラインド音源分離を実行するためのプロセスのフロー図である。本アルゴリズムは、タイムラグ（τ_１，τ_２，τ_３）を入力として必要とする（ただし、（τ_１，τ_２，τ_３）≠（０，０，０）である）。ステップ６１において、遅延ラグの各値τ_１，τ_２，τ_３が与えられ、ステップ６３において、センサデータ値ｘ（ｔ）が与えられる。位相情報を保持するため、τ_１≠τ_２またはτ_３≠０であることが推奨される。これにより、繰り返し固有値の出現を低減することができ、この結果、分離処理が要する繰り返し回数を減らすことができる。

ステップ６０において、タイムラグ（０，０，０）と（τ_１，τ_２，τ_３）での空間４次キュムラント行列の推定が、行列成分ごとに行われる。キュムラントはデータからは直接的には推定することができないため、オーダ４までのすべてのモーメントが推定される必要がある。この推定は、アレーが伝搬波動場をサンプリングし、センサ出力データｘ（ｔ）を生成するに従いリアルタイムで行うことが可能であり、あるいはキュムラントの推定に要するデータ集合の全体が取得された後に行うことも可能である。

空間４次キュムラント行列Ｃ_ｘ ^４（０，０，０）とＣ_ｘ ^４（τ_１，τ_２，τ_３）の推定後、ステップ６２において、行列束

外９２

の一般化固有分析が行われ、それの有限スペクトル

外９３

が決定される。ステップ６４において、相異なる有限の固有値の個数Ｋと、各固有値の重複度が決定される。スペクトルは、各自が信号の正規化４次自己キュムラントに対応する重複度をカウントするＭ個の有限値を有するであろう。これらＭ個の固有値の中には、各自が重複度η_ｋを有する相異なるＫ個の固有値μ_ｋ（ｋ∈１，２，・・・，Ｋ）が存在する。相異なる各固有値η_ｋに対して、線形独立な固有ベクトルが計算される。ステップ６６において、インデックスｋがゼロに設定される。インデックスｋは、各固有値がアドレス指定されることを保証するのに利用される。ステップ６８において、相異なる固有値インデックスｋが、相異なる有限固有値数Ｋと比較される。少なくとも１つの相異なる固有値が存在する場合、Ｋはゼロにはならない。従って、第１の繰り返しにおいて、ｋはＫより小さいものであり、本プロセスは、図７及び図８の丸印の記号「Ａ」により示されるステップ７２に移行する。ステップ７２において、重複度η_ｋが１より大きいか判断される。重複度η_ｋが１より大きくない場合、本プロセスはステップ７４に移行する。ステップ７４において、固有ベクトル

外９４

が、相異なる第ｋ固有値の固有値に対し計算される（λ_ｊ＝μ_ｋ）。重複度が１である各λ_ｊ＝μ_ｋに対して、ステップ７６において、正規化係数γ_ｊが計算される。ステップ７８において、分離ベクトルは、

として形成される。ステップ８０において、分離ベクトルＷ_ｊを利用（付加）して、分離ベクトルが（定義により）分離行列Ｗの列となる分離行列Ｗが生成される。分離ベクトルＷ_ｊが分離行列Ｗに付加された後、ステップ８２において、インデックスｋがインクリメントされる。その後、本プロセスは、図７及び図８において丸印の記号「Ｂ」により示されるステップ６８に移行する。ステップ６８において、ｋがＫと比較される。ｋがＫより多きいい場合、ステップ７０において、分離行列Ｗが与えられ、以降の処理に利用可能となる。ｋがＫより大きくない場合（ステップ６８）、本プロセスは、図７及び図８の丸印の記号「Ａ」により示されるステップ７２に移行する。ステップ７２において、重複度η_ｋが１より大きいか判断される。重複度η_ｋが１より大きい場合、本プロセスはステップ８４に移行する。ステップ８４において、η_ｋの線形独立な固有ベクトルの固有ベクトル

外９５

が、相異なる固有値（λ_ｊ＝μ_ｋ）に対し計算される。ステップ８６において、繰り返し固有値のそれぞれに対し、η_ｋの分離ベクトルは、

のように、それに関連する固有ベクトルに等しくなるよう設定される。ステップ８０において、分離ベクトルＷ_ｊを付加することにより、分離行列Ｗが生成される。ステップ８２において、インデックスｋがインクリメントされ、相異なるすべての固有値がアドレス指定されるまで（ステップ６８において、ｋ＞Ｋ）、本プロセスは繰り返される。ステップ６８において、ｋがＫより大きい場合、ステップ７０において、分離行列Ｗが与えられ、以降の処理において利用可能となる。ステップ７１において、分離を実行するため、分離行列Ｗが入力信号ｘ（ｔ）と乗算される。より具体的には、以下の式

に従って、入力信号ｘ（ｔ）の行列表現が分離行列Ｗ^Ｈのエルミート転置と乗算される。

ここで説明されるようなＢＳＳ技術は、コンピュータにより実現されるプロセス及び当該プロセスを実現するシステムの形態により実現されてもよい。ここで説明されるようなＢＳＳ技術はまた、フロッピー（登録商標）ディスケット、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＣＤ−ＲＯＭ、ハードドライブ、高密度ディスク、あるいは他の任意のコンピュータ読み出し可能な記憶媒体などの有形の媒体に実現されるコンピュータプログラムコードの形式により実現されてもよく、このコンピュータプログラムコードがコンピュータにロード及び実行されるとき、当該コンピュータは本発明を実現するシステムになる。ここで説明されるようなＢＳＳ技術はまた、例えば、記憶媒体に格納され、コンピュータへのロード及び/または実行、あるいは電気配線またはケーブル、光ファイバ、電磁放射などの送信媒体を介し送信されるコンピュータプログラムコードの形式により実現されてもよく、このコンピュータプログラムコードがコンピュータにロード及び実行されるとき、当該コンピュータは本発明を実現するシステムになる。汎用プロセッサ上で実現されると、コンピュータプログラムコードセグメントは、特定の論理回路を生成するようプロセッサを構成する。

本発明によるブラインド音源分離（ＢＳＳ）技術は、時間的及び空間的に相関する雑音が存在する場合において良好な実行可能性を有する低信号対雑音比において良好に実行するロウバストな高次キュムラントに基づく主要な要素のブラインド音源分離技術を提供する。さらに、一様でないゲインの方向センサによるブラインド音源分離に適した空間４次キュムラント行列の新たな定義が与えられ、時間情報を利用した空間４次キュムラント行列束の定義が与えられ、アルゴリズムのパフォーマンスの尺度としての分離パワー効率の概念が与えられ、行列束間の広い意味での等価の概念が与えられた。

本発明によるＢＳＳ技術の用途には、信号知能に対するスペクトルモニタリングや、電波天文学などの、ガウスランダム雑音過程がアレーからの受信信号を凌駕する他の用途が含まれる。本発明による４次アレー信号処理ＢＳＳ技術は、検出、分類及び識別のため、同一チャネルのエミッタを分離するため、空間情報を利用することができる。これは、環境背景電磁照射と隠匿手段としての既知の同一チャネルエミッタを利用しうるＬＰＤ（Ｌｏｗ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ）あるいはＬＰＩ（Ｌｏｗ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ）のため設計された信号の検出に、特に適用可能である。本発明による空間４次キュムラント行列束に基づくブラインド音源分離技術は、個々のセンサの雑音下限近傍またはそれ以下の未知の同一チャネルエミッタをブラインド分離することができる。

ここでは、特定の実施例を参照して例示及び説明がなされたが、ここで説明されるようなＢＳＳ技術は、示された詳細に限定されることを意図するものではない。むしろ、クレームの均等物の範囲内に属し、本発明の趣旨を逸脱しない詳細さにより様々な変更が可能であるかもしれない。

図１は、本発明の一実施例による空間４次キュムラント行列束を利用したブラインド音源分離を実行するシステムの機能ブロック図である。 図２は、本発明の一実施例によるアレー信号処理及びＢＳＳ処理を実行するための信号源、アレー素子及びプロセッサを示す。 図３は、相異なる放射パターンを有する５つの未知の音源と、相異なる受信パターンを有する５つのセンサを示すＭＩＭＯブラインドチャネル推定シナリオを示す。 図４は、センサと音源との間の時間遅延を図示する。 図５は、分離過程に与えられる雑音と混合される入力信号を示すブラインド音源分離（ＢＳＳ）を示す図である。 図６は、１つの繰り返し固有値に対する分離過程の繰り返し処理を示す図である。 図７は、本発明の一実施例による空間４次キュムラント行列束を利用したブラインド音源分離を実行するプロセスのフロー図である。 図８は、図７のフロー図の続きである。

Claims (11)

1. 複数の音源により与えられ、複数の素子からなるアレーにより受信される複数の信号を分離する方法であって、
   前記複数の素子による前記複数の信号の受信間の時間差と、空間４次キュムラント行列束との関数として分離行列を生成するステップと、
   前記分離行列と前記複数の信号の時系列行列表現とを乗算するステップと、
   から構成される方法。
2. 請求項１記載の方法であって、
   前記空間４次キュムラント行列束は、空間４次キュムラント行列の関数であることを特徴とする方法。
3. 請求項２記載の方法であって、
   前記空間４次キュムラント行列は、
   

   

   に従い、ここで、
   Ｃ_ｘ ^４（τ_１，τ_２，τ_３）は、各自が前記複数の音源の１つから前記複数の素子の１つまでの時間遅延を示す第１タイムラグτ_１、第２タイムラグτ_２及び第３タイムラグτ_３を有する空間４次キュムラント行列であり、
   Ｎは、前記アレーの素子数を示し、
   

   

   は、引数
   

   

   に対するキュムラント演算子であり、
   ｔは、時間を表す変数であり、
   ｘ_ｉ ^＊（ｔ−τ_１）は、時間ｔ−τ_１における第ｉ音源からの前記複数の信号の１つの複素共役を表し、
   ｘ_ｉ（ｔ−τ_２）は、時間ｔ−τ_２における第ｉ音源からの前記複数の信号の１つを表し、
   ベクトルｘ（ｔ）は、前記複数の信号のベクトル表記であり、及び
   ベクトルｘ^Ｈ（ｔ−τ_３）は、ベクトルｘ（ｔ−τ_３）のエルミート転置を表す、
   ことを特徴とする方法。
4. 請求項１記載の方法であって、
   前記複数の素子の少なくとも２つは、同一でないビームパターンを有することを特徴とする方法。
5. 請求項１記載の方法であって、さらに、
   前記複数の信号から信号を分離する効率性を計算するステップを有し、
   前記効率性は、分離された信号のパワーと各自の音源からの信号のパワーとの比の関数であることを特徴とする方法。
6. 複数の音源により与えられる複数の信号を分離するシステムであって、
   前記複数の信号を受信し、受信した信号を提供する受信機と、
   前記受信信号を受信し、分離行列を生成し、前記分離行列と前記受信信号の時系列行列表現とを乗算する信号プロセッサとを有し、
   前記分離行列は、前記受信機による前記複数の信号の受信間の時間差と空間４次キュムラント行列束との関数であることを特徴とするシステム。
7. 請求項６記載のシステムであって、
   前記受信機は、アレーを形成するよう構成される複数の素子から構成されることを特徴とするシステム。
8. 請求項７記載のシステムであって、
   前記空間４次キュムラント行列束は、個々の音源信号の４次キュムラントによりスケーリングされたステアリングベクトルの外積の和である空間４次キュムラント行列の関数であり、
   前記ステアリングベクトルは、前記複数の素子の各素子間の位相遅延を示す、
   ことを特徴とするシステム。
9. 請求項８記載のシステムであって、
   前記空間４次キュムラント行列は、
   

   

   に従い、ここで、
   Ｃ_ｘ ^４（τ_１，τ_２，τ_３）は、各自が前記複数の音源の１つから前記複数の素子の１つまでの時間遅延を示す第１タイムラグτ_１、第２タイムラグτ_２及び第３タイムラグτ_３を有する空間４次キュムラント行列であり、
   Ｎは、前記アレーの素子数を示し、
   

   

   は、引数
   

   

   に対するキュムラント演算子であり、
   ｔは、時間を表す変数であり、
   ｘ_ｉ ^＊（ｔ−τ_１）は、時間ｔ−τ_１における第ｉ音源からの前記複数の信号の１つの複素共役を表し、
   ｘ_ｉ（ｔ−τ_２）は、時間ｔ−τ_２における第ｉ音源からの前記複数の信号の１つを表し、
   ベクトルｘ（ｔ）は、前記複数の信号のベクトル表記であり、及び
   ベクトルｘ^Ｈ（ｔ−τ_３）は、ベクトルｘ（ｔ−τ_３）のエルミート転置を表す、
   ことを特徴とするシステム。
10. 請求項６記載のシステムであって、
    前記信号プロセッサは、
    前記時間差の選択されたものの関数として前記空間４次キュムラント行列束を推定する行列束推定部と、
    前記空間４次キュムラント行列束に対し、非ゼロの有限固有値を決定する非零有限固有値決定部と、
    相異なる前記有限固有値の個数を決定する相異なる固有値数決定部と、
    前記相異なる有限固有値の重複度を決定する重複度決定部と、
    前記相異なる有限固有値のそれぞれに対し、線形独立固有ベクトルを計算する線形独立固有ベクトル計算部と、
    １に等しい重複度を有する各固有値に対して、正規化係数を計算し、前記正規化係数と前記１に等しい重複度を有する固有ベクトルの関数として各自の分離ベクトルを生成する正規化係数部と、
    各繰り返しの固有値に対して、該繰り返しの固有値に属する固有ベクトルの重複度を利用して、分離ベクトルの線形独立集合を生成する分離ベクトル生成部と、
    前記分離ベクトルの関数として前記分離行列を生成する分離行列生成部と、
    を有することを特徴とするシステム。
11. 請求項６記載のシステムであって、
    前記効率性は、
    

    

    に従うものであり、ただし、
    ζ_ｊは、前記複数の音源の第ｊ音源に対する前記分離パワー効率を示し、
    Ｓ_ｊは、前記第ｊ音源からの分離信号のパワーを示し、
    Ｐ_ｊは、前記第ｊ音源からの信号の正規化パワーを示す、
    ことを特徴とするシステム。

Images