JP2023181978A - 建物の応答推定方法及び被災度判定システム - Google Patents

Abstract

【課題】建物の限られた階層に設けられたセンサによる地震情報から、階層の地震情報を推定する。【解決手段】建物の応答推定方法は、複数の階層の各々をｉ、複数の階層の各々の高さを最上階の階層の高さで除算して基準化した基準化高さをｈｉとし、第１関数Ａ（ｈｉ）、第２関数Ｂ（ｈｉ）をそれぞれ、基準化高さｈｉの関数としたときに、これらによって、建物の次数がｊ次である振動モードの形状を立式して表現し、当該振動モード形状式により、複数の次数ｊの各々に対し、複数の階層ｉの各々の揺れ幅を取得することで、振動モード形状を決定し、揺れ幅を基に、複数の階層ｉの各々に対応する係数を算出し、複数の階層ｉの中の、複数の観測階層に設けられたセンサの各々により、地震情報を観測して取得し、地震情報を基にしたデータに対し、係数を適用して、複数の階層ｉの中の、複数の観測階層とは異なる非観測階層における、地震情報を推定する。【選択図】図８

Description

本発明は、複数の階層を有する建物において、地震発生時の応答を推定する建物の応答推定方法及び被災度判定システムに関する。

地震時に、建物の被災度を判定することが行われている。建物の被災度を正確に判定するには、建物の全ての階層に地震計等のセンサを設置し、これら全てのセンサから地震情報を取得して、階層ごとに個別に被災度を判定するのが、本来であれば望ましい。しかし、全ての階層にセンサを設置するのは、コストが嵩み、また全ての階層にセンサの設置場所を確保する必要もあるため、実施が容易ではない。
このため、次に説明する特許文献１～３のように、一部の階層のみにセンサを設け、当該センサにより得られた一部の階層のみにおける地震情報を基に、センサが設けられていない他の階層の地震情報を推定することが考えられる。

特許文献１には、外力が作用した際の建物の応答を推定する方法であって、建物の設計モデルと限られた階のセンサ情報から得られた地震波形を与条件とし、質点系モデルによる時刻歴応答解析を行って建物の最大変形時の等価剛性を算定し、得られた等価剛性を基にして建物のモード系を再計算して更新し、更新した建物のモード系で、モードの重ね合わせによる全層応答推定法を用いた解析を行って建物の全層の最大層間変形角を推定する方法が、開示されている。
特許文献２には、多層構造の建物の健全性を確認するための方法が開示されている。当該方法においては、任意に設定した建物の観測層にセンサを設置し、地震時にセンサで取得した観測層の応答情報に基づき、ベイズの定理を用いて、事前情報である建物の設計モデルを学習的に更新するようにし、後に発生した地震時に取得した観測層の応答情報と、学習的に更新した建物の設計モデルの情報に基づいて、建物の各層の応答を推定する。
特許文献３には、建物に印加する常時微振動または加振動を測定した上下の限られた高さ方向のモード情報と水平方向のねじれモード情報に基づいて、建物の任意箇所の地震応答を推定する方法が開示されている。

特許文献１に記載された方法においては、質点系モデルによる時刻歴応答解析を行う構成であるため、対象となる建物の設計モデルが必要である。特許文献２においても、特許文献１と同様に、建物の設計モデルが必要である。したがって、例えば既存の建物で設計モデルが存在しないような場合においては、容易に適用することができない。
また、特許文献３に記載された方法においては、特許文献１、２とは異なり、設計モデルなどの構造情報が不要ではあるが、常時微振動または加振動を測定する必要がある。したがって、依然として、容易に適用することができない。
構造情報がないような建物であっても、建物の限られた階層に設けられたセンサによる地震情報から、センサが設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが望まれている。

特開２０１７－９４１７号公報 特開２０１３－１９５３５４号公報 特許第６９１６６８２号

本発明が解決しようとする課題は、構造情報がないような建物であっても、建物の限られた階層に設けられたセンサによる地震情報から、センサが設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能な、建物の応答推定方法、及び当該建物の応答推定方法を用いた被災度判定システムを提供することである。

本発明は、上記課題を解決するため、以下の手段を採用する。すなわち、本発明の建物の応答推定方法は、複数の階層を有する建物の、地震発生時における応答を推定する、建物の応答推定方法であって、複数の前記階層の各々をｉ、複数の前記階層の各々の高さを最上階の前記階層の高さで除算して基準化した基準化高さをｈ_ｉとし、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）をそれぞれ、前記基準化高さｈ_ｉの関数としたときに、前記建物の次数がｊである振動モードの形状を、次の振動モード形状式（１）

により、前記基準化高さｈ_ｉの関数として表現し、当該振動モード形状式により、複数の前記次数ｊの各々に対し、複数の前記階層ｉの各々の揺れ幅を取得し、前記揺れ幅を基に、複数の前記階層ｉの各々に対応する係数を算出し、複数の前記階層ｉの中の、複数の観測階層に設けられたセンサの各々により、複数の前記観測階層の各々における地震情報を観測して取得し、前記地震情報を基にしたデータに対し、前記係数を適用して、複数の前記階層ｉの中の、複数の前記観測階層とは異なる非観測階層における、前記地震情報を推定することを特徴とする。
上記のような構成によれば、建物の階層の中の、複数の観測階層のみに、センサを設け、センサにより取得された観測階層の地震情報を基にしたデータに対し、係数を適用して、非観測階層の地震情報が推定されるため、建物の全ての階層に、センサを設ける必要がない。
また、建物の振動モード形状は、従来であれば、例えば建物の各階層の重量や剛性等の構造情報を基に固有値解析を行うことで得るのが通常である。これに対し、上記のような構成において適用される係数は、上式（１）として表現された振動モード形状式により取得された揺れ幅を基に算出されるものであるが、この式（１）は、建物の各階層の高さのみが判明すれば、立式可能である。このように、建物の重量や剛性等の構造情報がなくとも、振動モード形状及び係数を、容易に得ることができる。
ここで、上記の式（１）においては、建物の振動モード形状が、複数の階層の各々の高さを最上階の階層の高さで除算して基準化した基準化高さｈ_ｉの関数として表現されている。すなわち、各階層ｉにおいて、当該階層ｉに対応する基準化高さｈ_ｉを式（１）に代入して得られる値が、当該階層ｉにおける揺れ幅となる。そして、建物の振動モード形状が、全体として正弦関数により表現されている。この正弦関数の出力に乗ぜられる第１関数Ａ（ｈ_ｉ）は、基準化高さｈ_ｉによって値が変わる関数であるため、建物が階層ごとに異なる特性を示す場合に、その特性を、振動モード形状の振幅すなわち揺れ幅に、適切に反映させることができる。同時に、正弦関数への入力を構成する第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）と同様に、基準化高さｈ_ｉによって値が変わる関数であるため、建物が階層ごとに異なる特性を示す場合に、その特性を、振動モード形状の波長に、適切に反映させることができる。このようにして、建物の特性を振動モード形状に適切に反映することができるため、これを基にして推定される、非観測階層における地震情報の精度が高まる。
このようにして、構造情報がないような建物であっても、建物の限られた階層に設けられたセンサによる地震情報から、センサが設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能な、建物の応答推定方法を提供することができる。

本発明の一態様においては、前記第１関数Ａ（ｈ_ｉ）及び前記第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、正の値を有するパラメータａ、パラメータｂにより、次式（２）

として、前記基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されている。
実際の建物においては、通常、上階となるほど剛性が低くなる。このため、上記式（１）のように正弦関数を用いて振動モード形状を表現する場合においては、上階となるほど正弦関数の振幅が大きく、波長が短くなるようにすれば、振動モード形状が実際の建物に近い特性を表現するものとなる。
ここで、上記のような構成によれば、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）は、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されているため、式（１）においては、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど正弦関数の振幅が大きくなる。したがって、実際の建物の、高さに依存する特性を、式（１）に反映させることができる。
特に、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）を、上記の式（２）のように設定することで、より効果的に、高さに依存する特性を、式（１）に反映させることができる。
また、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されているため、式（１）においては、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど正弦関数の波長が短くなる。したがって、実際の建物の、高さに依存する特性を、式（１）に反映させることができる。
特に、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を、上記の式（２）のように設定することで、より効果的に、高さに依存する特性を、式（１）に反映させることができる。
このようにして、高さに依存する特性を、式（１）に、より適切に反映させることができるので、センサが設けられていない階層の地震情報を、より正確に、推定することができる。

本発明の別の態様においては、前記パラメータｂは、前記建物の高さ方向における重心の高さを前記最上階の階層の高さで除算して基準化した、重心基準化高さｈ_ｇを用いて、次式（３）

として立式されている。
上記において、建物の高さ方向における重心は、建物を横向きにしたときの重心であり、重心基準化高さｈ_ｇは、建物の高さ方向における重心の高さを、最上階の階層の高さで除算して基準化した値である。
建物においては、各階の重量が概ね一定ではなく、例えば上側に位置する各階層の面積が、下側に位置する各階層よりも小さく実現されているために、下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量よりも大きいことがある。このような場合においては、建物を横向きにしたときの重心の位置が、中心よりも、下側の階層の側に、偏心している。
これに対し、上記のような構成においては、上式（２）において第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を表す際に用いられるパラメータｂが、建物の重心基準化高さｈ_ｇを用いて立式されている。このように、建物の重心基準化高さｈ_ｇを変数としてパラメータｂ及び第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を表現することで、上記のような、建物を横向きにしたときの重心の位置が偏心している場合においても、センサが設けられていない階層の地震情報を高い精度で推定することが可能となる。

本発明の別の態様においては、上記のような建物の応答推定方法によって、複数の前記観測階層の各々における前記地震情報を観測して取得し、これを基に複数の前記非観測階層における前記地震情報を推定する、建物応答推定部と、複数の前記観測階層と複数の前記非観測階層の各々の前記地震情報を用いて、前記建物の被災度を判定する、被災度判定部と、を備えることを特徴とする被災度判定システムを提供する。
上記のような建物の応答推定方法においては、既に説明したように、構造情報がないような建物であっても、建物の限られた階層に設けられたセンサによる地震情報から、センサが設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能である。したがって、これを用いた上記のような被災度判定システムにおいては、容易かつ高い精度で、建物の被災度を判定することができる。

本発明によれば、構造情報がないような建物であっても、建物の限られた階層に設けられたセンサによる地震情報から、センサが設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能である。

本発明の実施形態における被災度判定システムのブロック図である。 上記実施形態において被災度を判定する対象となる建物の概略構成を示す図である。 図２に示される建物に対して決定された振動モード形状の例である。 上記振動モード形状に用いられるパラメータの設定例である。 中低層の建物において、実際の建物の質点系モデルによる振動モード形状と、上記実施形態において決定された振動モード形状とを比較した図である。 超高層の建物において、実際の建物の質点系モデルによる振動モード形状と、上記実施形態において決定された振動モード形状とを比較した図である。 Ａｉ分布を想定したモデルによる振動モード形状と、上記実施形態において決定された振動モード形状とを比較した図である。 上記実施形態の被災度判定システムにおける、建物の応答推定方法及び建物の被災度判定方法のフローチャートである。 実在の、５階建ての建物の質点系モデルを用いて地震応答解析を行った結果を示す図である。 実在の、９階建ての建物の質点系モデルを用いて地震応答解析を行った結果を示す図である。 実在の、１５階建ての建物の質点系モデルを用いて地震応答解析を行った結果を示す図である。 図１０～図１２の各ケースにおいて、最大推定誤差を示した図である。 上記実施形態の変形例における被災度判定システムにおける、観測波形のフーリエスペクトルを説明する図である。 上記実施形態の第２変形例に係る被災度判定システムにおいて対象となる、下側に位置する各階層の重量が上側に位置する各階層の重量よりも大きく、高さ方向において重心が偏心した建物の一例である。 各階層の重量が同一である場合と、下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍である４つの場合の、計５つのモデルにおける、３次の振動モード形状を示す振動モード図である。 建物の高さ方向における重心の位置と、パラメータｂとの関係を示す図である。 下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍である場合の第１モデルにおいて、第１モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び上記第２変形例により表現された振動モード形状の、各々を示す振動モード図である。 下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍である場合の第２モデルにおいて、第２モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び上記第２変形例により表現された振動モード形状の、各々を示す振動モード図である。 下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍である場合の第３モデルにおいて、第３モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び上記第２変形例により表現された振動モード形状の、各々を示す振動モード図である。 下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍である場合の第４モデルにおいて、第４モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び上記第２変形例により表現された振動モード形状の、各々を示す振動モード図である。 上記第２変形例の検証に用いた建物モデルを示す図である。 上記建物モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び上記第２変形例により表現された振動モード形状の各々に対し、告示波を作用させた際の、各階層の最大加速度応答値を示す最大加速度応答図である。 上記建物モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び上記第２変形例により表現された振動モード形状の各々に対し、エルセントロ波を作用させた際の、各階層の最大加速度応答値を示す最大加速度応答図である。

本発明は、地震発生時の建物応答を、建物で観測された加速度波形に、規準化高さによる高さ方向の振動モード形を基に設定される係数を掛け合わせることで推定する、建物の応答推定方法である。振動モード形は、応答推定点ｉの高さを建物高さで除した規準化高さｈ_ｉを用いて、振動モード形の振幅に関わる第１関数Ａ（ｈ_ｉ）、及び波長に関わる第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を建物高さの関数として定義し、建物応答を推定している。
以下、本発明の実施形態について図面を参照して詳細に説明する。
図１は、本発明の実施形態における被災度判定システムのブロック図である。図２は、本実施形態において被災度を判定する対象となる建物の概略構成を示す図である。
本実施形態の被災度判定システム１は、複数のセンサ２と、被災度判定装置４を備えている。被災度判定システム１は、地震時に、建物２０に設けられたセンサ２により取得された地震情報を基に、被災度判定装置４により、被災度を判定する。
建物２０は、地盤Ｇ上に構築され、上下方向に複数の階層を有している。本実施形態においては、建物２０は、１階から１０階までの、１０階建てである場合について説明するが、階層の数はこれに限られず、建物２０の階層の数は、複数であれば、１０以外であっても構わない。

センサ２は、例えば無線式加速度計等の地震計１２である。センサ２は、複数の階層の中から選択された、複数の観測階層ＯＦの各々に、設けられている。図２の例においては、センサ２は、１階、４階、及び１０階の、３つの階層に設けられている。複数のセンサ２の各々は、どの階層に設けられても構わないが、上下方向に分散して設けられるのが望ましい。複数のセンサ２の各々は、各観測階層ＯＦの、例えば床スラブ上に設けられている。複数のセンサ２の各々は、地震発生時に、当該センサ２が設けられた観測階層ＯＦに生じた加速度を、地震情報として検出（取得）する。本実施形態における地震情報は、加速度の時刻歴情報である。センサ２で検出された地震情報は、後に説明する被災度判定装置４に、無線または有線により、外部のネットワーク等を介して送信される。
本実施形態においては、センサ２の１つは、最も下の階層である１階に設けられている。この、最も下の階層に設けられたセンサ２は、地震時に建物２０に直接到達する地震波の地震情報、すなわち地動の情報を示すものである。この観点から、複数の観測階層ＯＦのうち、最も下の階層を、特に地動観測階層ＢＦと呼称する。
また、複数の観測階層ＯＦのうち、地動観測階層ＢＦ以外の他の階層を、応答観測階層ＲＦと呼称する。本実施形態においては、４階と１０階が応答観測階層ＲＦに相当し、これらの階層の各々にセンサ２が設けられている。
このように、複数の観測階層ＯＦは、１つの地動観測階層ＢＦと、少なくとも１つの応答観測階層ＲＦを備えている。
上記のように、本実施形態の建物２０は、地上１０階建ての建物であるため、１階が地動観測階層ＢＦとなっているが、建物２０が地下階を備える場合は、地下の最下階層を地動観測階層ＢＦとしてもよい。

このように、センサ２は、建物２０の全ての階層に設けられてはおらず、限られた観測階層ＯＦのみに設けられている。このような状態においても、本実施形態の被災度判定システム１は、全ての階層における被災度を、階層ごとに判定する。このために、本実施形態の被災度判定システム１は、地震が生じた際に、センサ２から各観測階層ＯＦの地震情報を取得し、これを基に、センサ２が設けられていない、観測階層ＯＦではない非観測階層ＮＦの各々における地震情報を推定する。
被災度判定装置４は、建物応答推定部５と被災度判定部９を備えている。建物応答推定部５は、高さ情報入力部６、モード形状決定部７、及び被災度判定部９を備えている。本実施形態の被災度判定システム１においては、地震が生じる前、例えば被災度判定システム１の設置時等に、モード形状決定部７により、非観測階層ＮＦの地震情報を推定する際に用いられる係数を算出しておく。被災度判定システム１は、このように予め算出された係数を用いて、地震時に、非観測階層ＮＦの地震情報を推定する。
以下においてはまず、地震に先立って行われる処理を説明し、その後に地震時の処理を説明する。

まず、被災度判定システム１の設置時に、高さ情報入力部６に、建物２０の各階層の高さ情報を入力する。各階層の高さ情報は、具体的には、地動観測階層ＢＦからの当該階層の高さである。実際には、各階層の高さ情報は、例えば、地動観測階層ＢＦの床スラブからの、当該階層の床スラブの高さ等である。
高さ情報入力部６は、各階層の高さ情報が入力されると、各階層の基準化高さを計算する。基準化高さとは、複数の階層の各々の高さを、最上階の階層の高さで除算して、基準化した値である。例えば、上記のように高さ情報を入力した場合においては、地動観測階層ＢＦの基準化高さは０となり、最上階の階層の基準化高さは１となり、地動観測階層ＢＦと最上階の階層の間の階層の基準化高さは０より大きく１より小さい値となる。

モード形状決定部７は、高さ情報入力部６によって計算された基準化高さを基に、複数の次数の固有モードにおける振動モード形状を、数式により立式する。本実施形態においては、振動モード形状を、正弦関数を用いて立式する。より具体的には、複数の階層の各々をｉ、基準化高さをｈ_ｉとしたときに、建物２０の次数がｊである振動モードの形状を、次の振動モード形状式（１１）

により、基準化高さｈ_ｉの関数として表現する。
ここで、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）はそれぞれ、基準化高さｈ_ｉの関数である。具体的には、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）及び第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、正の値を有するパラメータａ、ｂにより、次式（１２）

として、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されている。

上記の式（１１）においては、建物２０の振動モード形状が、基準化高さｈ_ｉの関数として表現されている。すなわち、各階層ｉにおいて、当該階層ｉに対応する基準化高さｈ_ｉを式（１１）に代入して得られる値が、当該階層ｉにおける揺れ幅となる。
モード形状決定部７は、上記のような振動モード形状式により、複数の次数ｊの各々に対し、複数の階層ｉの各々の揺れ幅を、上式（１１）のｍｏｄｅ_ｊ（ｈ_ｉ）の値として取得する。
図３は、図２に示される建物に対して決定された振動モード形状の例である。図３の各図においては、縦軸が建物の基準化高さｈ_ｉに対応する階数ｉであり、横軸が上式（１１）のｍｏｄｅ_ｊ（ｈ_ｉ）を表す刺激関数の値である。図３の縦軸は、単位が基準化高さｈ_ｉから「階」に変換されて表示されている。
後に説明するように、応答観測階層ＲＦにおいて得られた地震情報の各々から、地動観測階層ＢＦにおいて得られた地震情報を引いて、応答観測階層ＲＦの相対地震情報を計算し、応答観測階層ＲＦの相対地震情報を基にして、非観測階層ＮＦの各々の、地動観測階層ＢＦに対する相対地震情報を推定し、非観測階層ＮＦの相対地震情報に対して地動観測階層ＢＦの地震情報を加算することで、非観測階層ＮＦの各々の地震情報を推定する。すなわち、応答観測階層ＲＦの数が、質点系モデルにおける質点の数に相当するため、上式（１１）において表現できる振動モード形状式の次数の上限は、応答観測階層ＲＦの数となる。図２に示された建物２０においては、応答観測階層ＲＦは４階と１０階の２つであるため、上式（１１）からは、図３に示された、次数が１の、１次の振動モード形状と、次数が２の、２次の振動モード形状の、２つの振動モード形状が算出される。

実際の建物においては、通常、上階となるほど剛性が低くなる。このため、正弦関数を用いて振動モード形状を表現すると、上階となるほど正弦関数の振幅が大きく、波長が短くなるようにすれば、振動モード形状が実際の建物に近い特性を表現するものとなる。
ここで、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）は、パラメータａは正の値を有しているので、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されている。このため、式（１１）においては、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど正弦関数の振幅が大きくなる。したがって、実際の建物の、高さに依存する特性が、式（１１）に、適切に反映される。
また、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、パラメータｂは正の値を有しているので、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど、分母が小さくなり、全体の値が大きくなるように立式されている。このため、式（１１）においては、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど正弦関数の波長が短くなる。したがって、実際の建物の、高さに依存する特性が、式（１１）に、適切に反映される。

式（１２）におけるパラメータａ、ｂは、例えば、対象となる建物の質点系モデルの振動モード形状と合うように、最小二乗法で同定することで、設定され得る。図４は、このようにして設定された、振動モード形状に用いられるパラメータａ、ｂの設定例である。図４においては、実在する建物モデルを基に構築された質点系モデルと、一般的な建物モデルの各々に対して、パラメータａ、ｂを同定した例が示されている。一般的な建物モデルにおいては、各階の重量が一定で、剛性分布をＡｉ分布の逆数としたものと、最下層に対する最上層の剛性がそれぞれ０．７、０．３とされた台形分布としたものと、が示されている。
被災度判定システム１が適用される実際の建物２０の構造にも依存して、パラメータａ、ｂの適切な値は異なったものとなる。パラメータａは、０より大きく０．３以下の値とし、パラメータｂは、０．３以上０．７以下の値とすると、より多くの建物に対して適用可能となる。特に、パラメータａ、ｂが、それぞれ、上記の値の範囲の中間値となるように、パラメータａを０．１５とし、パラメータｂを０．５とするのが望ましい。パラメータａ、ｂは、対象となる建物２０の階層の数に応じて、適宜変更するようにしてもよい。

図５は、中低層の建物において、実際の建物の質点系モデルによる振動モード形状と、式（１１）を用いて決定された振動モード形状とを比較した図である。図６は、超高層の建物において、実際の建物の質点系モデルによる振動モード形状と、式（１１）を用いて決定された振動モード形状とを比較した図である。図７は、Ａｉ分布を想定したモデルによる振動モード形状と、式（１１）を用いて決定された振動モード形状とを比較した図である。上記の図５～図７の縦軸は基準化高さｈ_ｉであり、横軸は（１１）式のｍｏｄｅ_ｊ（ｈ_ｉ）を表す刺激関数の値である。Ａｉ分布を想定したモデルを用いた場合においては、各階の重量を一定とし、剛性分布をＡｉ分布の逆数として設定した質点系モデルを使用している。各図において、式（１１）を用いて決定された振動モード形状には、符号Ｌ１が付されている。式（１１）を用いて決定された振動モード形状においては、パラメータａは０．１５、及びパラメータｂは０．５と、それぞれ設定した。
本来であれば、実際の被災度判定システム１の適用対象となる建物２０の各階層の重量と剛性等に関する詳細な情報があれば、これを基に固有値解析を実施すると、建物２０に合った正確な振動モード形状が求められる。しかし、例えば既存の建物等、重量や剛性に関する情報がない場合もある。このような場合においても、上記の式（１１）を用いれば、固有値解析を実施した場合に近い振動モード形状を得ることができる。
また、仮に重量や剛性に関する情報がある場合であっても、上記の式（１１）を用いれば、固有値解析を実施することなく、固有値解析を実施した場合に近い振動モード形状を得ることができる。

モード形状決定部７は、上式（１１）のｍｏｄｅ_ｊ（ｈ_ｉ）の値として取得された揺れ幅を基に、複数の次数ｊの各々について、複数の階層ｉの各々に対応する係数を算出する。
これにはまず、モード形状決定部７は、建物の階層の数をＮ、応答観測階層ＲＦの数をＳとしたときに、Ｎ行Ｓ列の行列である第１行列Φを構築する。第１行列Φは、次式（１３）により表現される。

第１行列Φの要素各Φ_ｉ、ｊは、複数の次数ｊ（１≦ｊ≦Ｓ）の各々における、複数の階層ｉ（１≦ｉ≦Ｎ）の各々の揺れ幅、すなわち式（１１）のｍｏｄｅ_ｊ（ｈ_ｉ）の値である。このように、第１行列Φは、全ての次数における、全ての階層の固有モードを表現するものである。

次に、モード形状決定部７は、応答観測階層ＲＦに関する、Ｓ行Ｓ列の行列である第２行列Φ_ｏｂｓを構築する。第２行列Φ_ｏｂｓは、次式（１４）により表現される。

第２行列Φ_ｏｂｓは、第１行列Φから、応答観測階層ＲＦに対応する行のみを抜き出して構築した行列であり、応答観測階層ＲＦにおける固有モードを示すものである。
このように、第２行列Φ_ｏｂｓは、複数の次数ｊ（１≦ｊ≦Ｓ）の各々における、複数の応答観測階層ｋ（１≦ｋ≦Ｓ）の各々の揺れ幅を要素Φ_{ｏｂｓｋ、ｊ}とする。

ここで、地動観測階層ＢＦにおいて得られた地震情報に対する、応答観測階層ＲＦにおいて得られた地震情報の相対地震情報（相対時刻歴波形）Ｙ_ｏｂｓを、次式（１５）により表す。

また、上記の相対地震情報に対する、１～Ｓ次のモード応答波形ηを、次式（１６）により表す。

すると、式（１５）、（１６）から、次式（１７）が成立する。

式（１７）を変形することで、次式（１８）のように、モード応答波形ηが求められる。

そして、全ての階層における応答の推定値Ｙを、次式（１９）のように定義する。

全ての階層における応答の推定値Ｙは、式（１８）のモード応答波形ηと、全ての階層の固有モードを表現する第１行列Φを用いて、次式（２０）のように立式することができる。

式（２０）に式（１８）を代入すると、次式（２１）が成立する。

上式（２１）は、応答観測階層ＲＦにおいて得られた地震情報の相対地震情報（相対時刻歴波形）Ｙ_ｏｂｓが得られれば、これに対して、第１行列Φに第２行列Φ_ｏｂｓの逆行列を乗算した行列との行列積を計算することで、非観測階層ＮＦを含む全ての階層における、地動観測階層ＢＦに対する相対地震情報を推定することができることを意味している。
これに基づき、モード形状決定部７は、第１行列Φと第２行列Φ_ｏｂｓを算出した後、第１行列Φに第２行列Φ_ｏｂｓの逆行列を乗算して、係数行列Φ_ｐを計算する。係数行列Φ_ｐは、次式（２２）により表現される。

例えば、図２として例示した建物２０に対し、図３に示されるような振動モード形状が式（１１）によって得られた場合において、第１行列Φは、例えば、全ての次数に対し、全ての階層の各々における式（１１）の値を取得することによって、次のように表される。

上式（２３）においては、最も上の行が１階に相当し、行が下になるに従って階層が上のものとなり、最も下の行が１０階に相当する。左の列は次数が１の振動モード形状に相当し、右の列は次数が２の振動モード形状に相当する。
式（２３）から、応答観測階層ＲＦに相当する、４階と１０階の値を抜き出して、次式（２４）のように、第２行列Φ_ｏｂｓを表現する。

その結果、係数行列Φ_ｐは、次のように計算される。

上記のようにして計算される係数行列Φ_ｐにおいては、各行が複数の階層ｉ（１≦ｉ≦Ｎ）の各々に相当し、各列ｋが複数の応答観測階層ｋ（１≦ｋ≦Ｓ）の各々に相当する。例えば上式（２５）においては、最も上の行が１階に相当し、行が下になるに従って階層が上のものとなり、最も下の行が１０階に相当する。左の列は４階に相当し、右の列は１０階に相当する。
そして、各要素Φ_ｐｉ、ｋは、各階層ｉにおいて、各応答観測階層ｋの観測結果が他の応答観測階層ＲＦの観測結果に比べてどれくらい当該階層ｉに近いか、その程度を示すものとなる。このため、係数行列Φ_ｐは、各階層ｉに対する、各応答観測階層ｋの地震情報の影響度を示すものとなる。
このようにして、モード形状決定部７は、第１行列Φと第２行列Φ_ｏｂｓから、複数の階層ｉの各々における、複数の応答観測階層ｋの各々の地震情報の影響度を要素Φ_ｐｉ、ｋとする係数行列Φ_ｐを計算する。
この係数行列Φ_ｐは、地震時に非観測階層ＮＦにおける地震情報を推定するに際し、複数の階層ｉの各々に対応する係数として使用される。

実際に地震が生じた際には、複数の階層の中の、複数の観測階層ＯＦに設けられたセンサ２の各々が、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報を観測する。
非観測階層地震情報推定部８は、各センサ２から、地震情報を取得する。
非観測階層地震情報推定部８は、各応答観測階層ＲＦにおいて観測された地震情報の各々から、それぞれ、地動観測階層ＢＦにおける地震情報との相対地震情報を計算する。本実施形態においては、地震情報は加速度の時刻歴情報であるから、各応答観測階層ＲＦにおいて観測された地震情報の各々から、それぞれ、地動観測階層ＢＦにおける地震情報を引くことで、相対地震情報を計算する。これが、上式（２１）における、応答観測階層ＲＦにおいて得られた地震情報の相対地震情報（相対時刻歴波形）Ｙ_ｏｂｓに相当する。

非観測階層地震情報推定部８は、このようにして得られた相対地震情報Ｙ_ｏｂｓに対し、式（２１）に示されるように係数行列Φ_ｐ（第１行列Φに第２行列Φ_ｏｂｓの逆行列を乗算した行列）を乗算して、全ての非観測階層ＮＦにおける、地動観測階層ＢＦに対する相対地震情報Ｙを計算する。
これは、実際には、次式（２６）のような演算を行うことに相当する。次式において、Ｙ_ｉは、階層ｉにおける相対地震情報である。

例えば、図２として例示した建物２０においては、次のようにして、非観測階層ＮＦの各階層ｉにおける相対地震情報Ｙ_ｉを計算する。
Ｙ_ｉ＝Φ_ｐｉ、１（４階における相対地震情報の階層ｉに対する影響度）×Ｙ_ｏｂｓ１（４階における相対地震情報）
＋Φ_ｐｉ、２（１０階における相対地震情報の階層ｉに対する影響度）×Ｙ_ｏｂｓ２（１０階における相対地震情報）
このように、各階層ｉにおける相対地震情報Ｙ_ｉは、応答観測階層ＲＦにおける相対地震情報を、応答観測階層ＲＦにおける相対地震情報の階層ｉに対する影響度すなわち係数Φ_ｐｉ、ｋによって重み付けした総和として、計算される。

そして、非観測階層地震情報推定部８は、上記のようにして計算された、各階層ｉにおける相対地震情報Ｙ_ｉに対し、地動観測階層ＢＦにおける地震情報を適用して、各階層ｉの地震情報を推定する。本実施形態においては、地震情報は加速度の時刻歴情報であるから、各階層ｉにおいて推定された相対地震情報に対し、地動観測階層ＢＦにおける地震情報を足すことで、各階層ｉの地震情報を推定する。
このようにして、非観測階層地震情報推定部８は、地震情報を基にしたデータ、すなわち相対地震情報に対し、係数を適用して、複数の階層の中の、複数の観測階層ＯＦとは異なる非観測階層ＮＦにおける、地震情報を推定する。より詳細には、複数の階層ｉの中の、複数の観測階層ＯＦとは異なる非観測階層ＮＦの各々に対し、係数行列Φ_ｐから、当該非観測階層ＮＦにおける、複数の応答観測階層ＲＦの各々の地震情報の影響度を、係数Φ_ｐｉ、ｋとして取得し、複数の応答観測階層ＲＦの各々の地震情報を基にしたデータ、すなわち相対地震情報と、当該応答観測階層ＲＦに対応する係数Φ_ｐｉ、ｋの積の総和を計算することで、非観測階層ＮＦにおける地震情報を推定する。
建物応答推定部５は、このようにして、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報を観測して取得し、これを基に複数の非観測階層ＮＦにおける地震情報を推定することで、複数の階層を有する建物２０の、地震発生時における応答を推定する。

被災度判定部９は、センサ２により観測された、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報と、建物応答推定部５により推定された、複数の非観測階層ＮＦの各々における地震情報と、を用いて、建物２０の被災度を判定する。
被災度判定部９は、例えば、上記のようにして観測、推定された各階層の地震情報から、各階の層間変形角を計算し、階層ごとに、これを閾値と比較する。そして、被災度判定部９は、その比較結果に応じ、建物２０の地震後の被災度合いを示す構造性能指標として、例えば、建物の被災度を、階層ごとに、「安全」、「要点検」、「危険」といった複数段階の判定結果として、図示されない表示装置に出力する。

次に、図１～図７、及び図８を用いて、上記の被災度判定システム１を用いた、建物の応答推定方法、及び建物の被災度判定方法を説明する。図８は、本実施形態の被災度判定システムにおける、建物の応答推定方法（図８におけるステップＳ１～Ｓ１３）及び建物の被災度判定方法（図８におけるステップＳ１～Ｓ１５）のフローチャートである。
まず、事前準備として、高さ情報入力部６に、建物２０の各階層の高さ情報を入力する（ステップＳ１）。高さ情報入力部６は、各階層の高さ情報が入力されると、各階層の基準化高さを計算する。
モード形状決定部７は、高さ情報入力部６によって計算された基準化高さを基に、複数の次数の固有モードにおける振動モード形状を、式（１１）として示された数式により立式し、決定する（ステップＳ３）。
そして、モード形状決定部７は、式（１３）、（１４）として示したように、第１行列Φ及び第２行列Φ_ｏｂｓを立式し、これを基に、式（２２）により、係数行列Φ_ｐを計算することで、係数を算出する（ステップＳ５）。

実際に地震が生じた際には、複数の階層の中の、複数の観測階層ＯＦに設けられたセンサ２の各々が、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報を観測する。
非観測階層地震情報推定部８は、各センサ２から、地震情報を取得する（ステップＳ１１）。
非観測階層地震情報推定部８は、観測階層ＯＦの地震情報を基に、式（２６）により、非観測階層ＮＦの地震情報を推定する（ステップＳ１３）。
被災度判定部９は、センサ２により観測された、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報と、建物応答推定部５により推定された、複数の非観測階層ＮＦの各々における地震情報と、を用いて、建物２０の被災度を判定する（ステップＳ１５）。

次に、本実施形態における被災度判定システム１の、応答精度の検証結果について説明する。５階建て、９階建て、１５階建ての、実在の建物を基にした、質点系モデルを用いて、エルセントロ波、告示波レベル１に対する地震応答解析を行った。各階層の解析時刻歴データを観測値として、応答を推定した。５階建ての場合には、１階、４階、５階を、観測階層とした。９階建ての場合には、１階、５階、９階を、観測階層とした。１５階建ての場合には、１階、６階、１２階、１５階を、観測階層とした。
図９は、実在の、５階建ての建物の質点系モデルを用いて地震応答解析を行った結果を示す図である。図１０は、実在の、９階建ての建物の質点系モデルを用いて地震応答解析を行った結果を示す図である。図１１は、実在の、１５階建ての建物の質点系モデルを用いて地震応答解析を行った結果を示す図である。図１２は、図１０～図１２の各ケースにおいて、最大推定誤差を示した図である。
図９～図１１には、各階層の最大加速度が示されている。これら各図において、符号Ｃ１は観測値であり、符号Ｃ２は地震応答解析を行った質点系モデルの固有値解析による振動モード形状を用いた場合である。また、符号Ｒ１は、本実施形態において、パラメータａを０．１５とし、パラメータｂを０．５とした場合の振動モード形状を用いた場合である。
これらの図に示されるように、最大加速度は、観測値、及び地震応答解析を行った場合に近く、本実施形態の被災度判定システム１は高い精度を有することが確認された。

次に、上記の建物の応答推定方法、及び当該建物の応答推定方法を用いた被災度判定システムの効果について説明する。
上記の建物２０の応答推定方法は、複数の階層を有する建物２０の、地震発生時における応答を推定する、建物２０の応答推定方法であって、複数の階層の各々をｉ、複数の階層の各々の高さを最上階の階層の高さで除算して基準化した基準化高さをｈ_ｉとし、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）をそれぞれ、基準化高さｈ_ｉの関数としたときに、建物の次数がｊである振動モードの形状を、上記の振動モード形状式（１１）により、基準化高さｈ_ｉの関数として表現し、当該振動モード形状式により、複数の次数ｊの各々に対し、複数の階層ｉの各々の揺れ幅を取得し、揺れ幅を基に、複数の階層ｉの各々に対応する係数を算出し、複数の階層ｉの中の、複数の観測階層ＯＦに設けられたセンサ２の各々により、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報を観測して取得し、地震情報を基にしたデータ（本実施形態においては相対地震情報）に対し、係数を適用して、複数の階層ｉの中の、複数の観測階層ＯＦとは異なる非観測階層ＮＦにおける、地震情報を推定する。
上記のような構成によれば、建物２０の階層の中の、複数の観測階層ＯＦのみに、センサ２を設け、センサ２により取得された観測階層ＯＦの地震情報を基にしたデータに対し、係数を適用して、非観測階層ＮＦの地震情報が推定されるため、建物２０の全ての階層に、センサ２を設ける必要がない。
また、建物２の振動モード形状は、従来であれば、例えば建物２０の各階層の重量や剛性等の構造情報を基に固有値解析を行うことで得るのが通常である。これに対し、上記のような構成において適用される係数は、上式（１１）として表現された振動モード形状式により取得された揺れ幅を基に算出されるものであるが、この式（１１）は、建物２０の各階層の高さのみが判明すれば、立式可能である。このように、建物２０の重量や剛性等の構造情報がなくとも、振動モード形状及び係数を、容易に得ることができる。
ここで、上記の式（１１）においては、建物２０の振動モード形状が、複数の階層の各々の高さを最上階の階層の高さで除算して基準化した基準化高さｈ_ｉの関数として表現されている。すなわち、各階層ｉにおいて、当該階層ｉに対応する基準化高さｈ_ｉを式（１１）に代入して得られる値が、当該階層ｉにおける揺れ幅となる。そして、建物２０の振動モード形状が、全体として正弦関数により表現されている。この正弦関数に乗ぜられる第１関数Ａ（ｈ_ｉ）は、基準化高さｈ_ｉによって値が変わる関数であるため、建物２０が階層ごとに異なる特性を示す場合に、その特性を、振動モード形状の振幅すなわち揺れ幅に、適切に反映させることができる。同時に、正弦関数への入力を構成する第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）と同様に、基準化高さｈ_ｉによって値が変わる関数であるため、建物２０が階層ごとに異なる特性を示す場合に、その特性を、振動モード形状の波長に、適切に反映させることができる。このようにして、建物２０の特性を振動モード形状に適切に反映することができるため、これを基にして推定される、非観測階層ＮＦにおける地震情報の精度が高まる。
このようにして、構造情報がないような建物２０であっても、建物２０の限られた階層に設けられたセンサ２による地震情報から、センサ２が設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能な、建物２０の応答推定方法を提供することができる。

また、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）及び第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、正の値を有するパラメータａ、パラメータｂにより、上式（１２）として、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されている。
実際の建物２０においては、通常、上階となるほど剛性が低くなる。このため、上記式（１１）のように正弦関数を用いて振動モード形状を表現する場合においては、上階となるほど正弦関数の振幅が大きく、波長が短くなるようにすれば、振動モード形状が実際の建物に近い特性を表現するものとなる。
ここで、上記のような構成によれば、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）は、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されているため、式（１１）においては、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど正弦関数の振幅が大きくなる。したがって、実際の建物２０の、高さに依存する特性を、式（１１）に反映させることができる。
特に、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）を、上記の式（１２）のように設定することで、より効果的に、高さに依存する特性を、式（１１）に反映させることができる。
また、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されているため、式（１１）においては、基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど正弦関数の波長が短くなる。したがって、実際の建物２０の、高さに依存する特性を、式（１）に反映させることができる。
特に、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を、上記の式（１２）のように設定することで、より効果的に、高さに依存する特性を、式（１１）に反映させることができる。
このようにして、高さに依存する特性を、式（１１）に、より適切に反映させることができるので、センサ２が設けられていない階層の地震情報を、より正確に、推定することができる。

また、複数の観測階層ＯＦは、最も下の階層である地動観測階層ＢＦと、地動観測階層ＢＦより上に位置する複数の応答観測階層ＲＦを含み、複数の次数ｊの各々における、複数の階層ｉの各々の揺れ幅を要素とする第１行列Φを構築し、複数の次数ｊの各々における、複数の応答観測階層ＲＦの各々の揺れ幅を要素とする第２行列Φ_ｏｂｓを構築し、第１行列Φに第２行列Φ_ｏｂｓの逆行列を乗算して、複数の階層ｉの各々における、複数の応答観測階層ＲＦの各々の地震情報の影響度を要素とする係数行列Φ_ｐを、複数の階層ｉの各々に対応する係数として計算し、複数の階層ｉの中の、複数の観測階層ＯＦとは異なる非観測階層ＮＦの各々に対し、係数行列Φ_ｐから、当該非観測階層ＮＦにおける、複数の応答観測階層ＲＦの各々の地震情報の影響度を、係数として取得し、複数の応答観測階層ＲＦの各々の地震情報を基にしたデータと当該応答観測階層ＲＦに対応する係数の積の総和を計算することで、非観測階層ＮＦにおける地震情報を推定する。
また、地震情報は、加速度の時刻歴情報であり、地震情報を基にしたデータは、複数の応答観測階層ＲＦの各々の地震情報から、地動観測階層ＢＦの地震情報を引いて得られる、応答観測階層ＲＦの各々の相対地震情報である。
このような構成によれば、建物の応答推定方法、及び当該建物の応答推定方法を用いた被災度判定システムを、適切に実現することができる。

また、被災度判定システム１は、上記のような建物２０の応答推定方法によって、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報を観測して取得し、これを基に複数の非観測階層ＮＦにおける地震情報を推定する、建物応答推定部５と、複数の観測階層ＯＦと複数の非観測階層ＮＦの各々の地震情報を用いて、建物２０の被災度を判定する、被災度判定部９と、を備える。
上記のような建物２０の応答推定方法においては、既に説明したように、構造情報がないような建物であっても、建物２０の限られた階層に設けられたセンサ２による地震情報から、センサ２が設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能である。したがって、これを用いた上記のような被災度判定システム１においては、容易かつ高い精度で、建物２０の被災度を判定することができる。

（実施形態の第１変形例）
なお、本発明の建物の応答推定方法、及び当該建物の応答推定方法を用いた被災度判定システムは、図面を参照して説明した上述の実施形態に限定されるものではなく、その技術的範囲において他の様々な変形例が考えられる。
例えば、上記実施形態においては、複数の観測階層ＯＦとして、最も下の階層である地動観測階層ＢＦと、４階と１０階の２つの応答観測階層ＲＦの、計３つの観測階層ＯＦにセンサ２を設置したが、これに替えて、応答観測階層ＲＦを１つのみとし、地動観測階層ＢＦとあわせて２つの観測階層ＯＦにセンサ２を設置してもよい。
ここでは、図２に示されるような建物２０において、１階と９階を、それぞれ地動観測階層ＢＦと応答観測階層ＲＦとしてセンサ２を設置する場合について説明する。
まず事前に、次数の上限を適切に設定する。本変形例においては次数の上限を３とする。そして、これを上限とした次数の値の各々に対し、上記実施形態と同様に、式（１１）、（１２）により、建物２０の振動モード形状を表現し、式（１３）を用いて第１行列Φを構築する。本変形例においては、この第１行列Φそのものが、揺れ幅を基に算出された、複数の階層の各々に対応する係数となる。

地震が生じると、複数の観測階層ＯＦに設けられたセンサ２の各々が、複数の観測階層ＯＦの各々における地震情報を観測する。本変形例においては、１階における地震情報（時刻歴波形）Ｙ_１（ｔ）と、９階における地震情報（時刻歴波形）Ｙ_９（ｔ）が取得される。
非観測階層地震情報推定部８は、各センサ２から取得された地震情報の各々から、フーリエスペクトルを計算する。図１３は、計算されたフーリエスペクトルを示す説明図である。本変形例においては、観測階層ＯＦは１階と９階であるから、図１３には、これらの各々に対応するフーリエスペクトルが示されている。
非観測階層地震情報推定部８は、各次数に対し、当該次数に対応する周波数帯域内の波形を抽出するバンドパスフィルターを、各地震情報に適用して、地震情報を次数ごとに分離する。本変形例においては、１階の地震情報Ｙ_１（ｔ）から、１次の波形ｙ_１、１（ｔ）、２次の波形ｙ_１、２（ｔ）、及び３次の波形ｙ_１、３（ｔ）が分離され、切り出される。また、９階の地震情報Ｙ_９（ｔ）から、１次の波形ｙ_９、１（ｔ）、２次の波形ｙ_９、２（ｔ）、及び３次の波形ｙ_９、３（ｔ）が分離され、切り出される。

次に、非観測階層地震情報推定部８は、各次数に対し、第１行列Φ内の、当該次数の応答観測階層ＲＦに対応する要素の値によって、応答観測階層ＲＦにおいて切り出された波形と地動観測階層ＢＦにおいて切り出された波形の差分を除算して、当該次数のモード応答波形η_ｊ（ｔ）を計算する。
本変形例においては、例えば次のようにして、１次、２次、３次の各々の次数ｊにおける、モード応答波形η_ｊ（ｔ）が計算される。
１次モード応答波形：η_１（ｔ）＝（ｙ_９、１（ｔ）－ｙ_１、１（ｔ））／Φ_９、１
２次モード応答波形：η_２（ｔ）＝（ｙ_９、２（ｔ）－ｙ_１、２（ｔ））／Φ_９、２
３次モード応答波形：η_３（ｔ）＝（ｙ_９、３（ｔ）－ｙ_１、３（ｔ））／Φ_９、３

そして、非観測階層地震情報推定部８は、非観測階層ＮＦの各々ｉに対し、全ての次数ｊにおいて、当該階層ｉの当該次数ｊに対応する第１行列Φの値Φ_ｉ、ｊと、当該次数ｊのモード応答波形η_ｊ（ｔ）との積の総和を計算し、当該総和と、地動観測階層ＢＦにおける観測波形、すなわち地震情報Ｙ_１（ｔ）の和を計算することで、非観測階層ＮＦの各々ｉの各々における地震情報としての加速度の時刻歴情報Ｙ_ｉ（ｔ）を推定する。
本変形例においては、例えば次のようにして、非観測階層ＮＦの地震情報Ｙ_２（ｔ）～Ｙ_８（ｔ）、Ｙ_１０（ｔ）が推定される。
Ｙ_１０（ｔ）＝Φ_１０、１×η_１（ｔ）＋Φ_１０、２×η_２（ｔ）＋Φ_１０、３×η_３（ｔ）＋Ｙ_１（ｔ）
Ｙ_８（ｔ）＝Φ_８、１×η_１（ｔ）＋Φ_８、２×η_２（ｔ）＋Φ_８、３×η_３（ｔ）＋Ｙ_１（ｔ）
Ｙ_７（ｔ）＝Φ_７、１×η_１（ｔ）＋Φ_７、２×η_２（ｔ）＋Φ_７、３×η_３（ｔ）＋Ｙ_１（ｔ）
・・・
Ｙ_２（ｔ）＝Φ_２、１×η_１（ｔ）＋Φ_２、２×η_２（ｔ）＋Φ_２、３×η_３（ｔ）＋Ｙ_１（ｔ）

本変形例においては、地震情報は、加速度の時刻歴情報であり、地震情報を基にしたデータは、各々の次数ｊの、モード応答波形η_ｊ（ｔ）である。
このようにした場合においても、上記実施形態と同様に、構造情報がないような建物２０であっても、建物２０の限られた階層に設けられたセンサ２による地震情報から、センサ２が設けられていない階層の地震情報を容易かつ高い精度で推定することが可能な、建物２０の応答推定方法を提供することができる。

（実施形態の第２変形例）
次に、上記実施形態の第２変形例を説明する。上記実施形態においては、式（１２）で表される第１関数Ａ（ｈ_ｉ）及び第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を表現する、正の値を有するパラメータａ、ｂを、例えばパラメータａを０．１５、及びパラメータｂを０．５と、定数として設定した。本変形例においては、パラメータｂを、ある値を変数とした式として表現し、対象となる建物に応じて当該変数に適切な値を代入して得られる値を、パラメータｂの値として使用する。
図１４は、本変形例に係る被災度判定システムにおいて対象となる、下側に位置する各階層の重量が上側に位置する各階層の重量よりも大きく、高さ方向において重心が偏心した建物の一例である。
一部の建物においては、各階の重量が概ね一定ではなく、例えば上側に位置する各階層の面積が、下側に位置する各階層よりも小さく実現されているために、下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量よりも大きいことがある。例えば図１４の１０階建ての建物２０Ａでは、１階から３階までの、下側に位置する各階層においては、その重量が、４階から１０階までの、上側に位置する階層の、各々の重量よりも、大きい状態となっている。
図２に示したような、各階層の面積が等しく、各階層の重量がほぼ等しい建物２０においては、建物の高さ方向における重心、すなわち、建物を横向きにしたときの重心の、高さ、すなわち地動観測階層ＢＦからの距離は、建物２０の高さの概ね１／２の値となる。しかし、上記のような、階層ごとに重量が異なる場合においては、重量分布が下側に偏るために、建物の高さ方向における重心Ｗの位置が、中心よりも、下側の階層の側に、偏心する。
本変形例においては、建物の高さ方向における重心の位置が上下方向に偏心した場合においても、センサが設けられていない階層の地震情報を高い精度で推定するために、建物の高さ方向における重心の位置を変数として、上記実施形態における式（１２）のパラメータｂを立式することで、パラメータｂに、建物の高さ方向における重心の位置を反映させる。

まず、本変形例における重心の高さを立式する。上記実施形態においては、各階層の高さとしては、当該階層の実際の高さを、最上階の階層の高さで除算して、基準化した基準化高さを用いた。このため、本変形例において、パラメータｂを立式するに際して変数となる重心の高さとしても、建物の高さ方向における重心の高さを、最上階の階層の高さで除算して基準化した値である、重心基準化高さｈ_ｇを用いる。
重心基準化高さｈ_ｇは、次式（２７）によって表される。

上式において、ｈ_Ｅｉは、例えば階層ｉの天井の高さ（階層ｉ＋１の床の高さ）を建物高さで除算した値であり、Ｗ_ｉは、当該階層ｉの上部１／２の重量と、階層ｉ＋１の下部１／２の重量の和である。
重心基準化高さｈ_ｇは、地動観測階層ＢＦの基準化高さを０とし、最上階の階層の基準化高さを１としたときに、実際の重心の高さに相当する０以上１以下の値に設定されるのであれば、上式に限らず、どのような式、計算によって算出されてもよいのは、言うまでもない。

以下、パラメータｂの立式に関して説明する。本変形例においては、ある架空の建物を想定し、この建物を固有値解析した結果の振動モード形状と、上式（１１）による振動モード形状を比較して、これらの振動モード形状が近いものとなるように、パラメータｂを立式した。
具体的には、本変形例においては、３０階建ての、下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量よりも大きい建物を想定した。建物としては、次の１２種類の重量分布を想定した。
ｃａｓｅ２＿１０：下側に位置する１０％の各階層（３階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の２倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．４８）
ｃａｓｅ２＿２０：下側に位置する２０％の各階層（６階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の２倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．４５）
ｃａｓｅ２＿３０：下側に位置する３０％の各階層（９階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の２倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．４４）
ｃａｓｅ２＿４０：下側に位置する４０％の各階層（１２階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の２倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．４１）
ｃａｓｅ３＿１０：下側に位置する１０％の各階層（３階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の３倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．４３）
ｃａｓｅ３＿２０：下側に位置する２０％の各階層（６階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の３倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．３９）
ｃａｓｅ３＿３０：下側に位置する３０％の各階層（９階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の３倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．３７）
ｃａｓｅ３＿４０：下側に位置する４０％の各階層（１２階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の３倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．３７）
ｃａｓｅ４＿１０：下側に位置する１０％の各階層（３階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．４０）
ｃａｓｅ４＿２０：下側に位置する２０％の各階層（６階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．３５）
ｃａｓｅ４＿３０：下側に位置する３０％の各階層（９階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．３４）
ｃａｓｅ４＿４０：下側に位置する４０％の各階層（１２階層）の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍（重心基準化高さｈ_ｇ：０．３４）
上記の全ての場合において、剛性分布は、Ａｉ分布の逆数に比例するように設定した。

また、上記の１２種類のデータと比較する対象となるデータ（ｃａｓｅ１）として、重量分布が全ての階層で一定となり、かつ剛性分布がＡｉ分布の逆数に比例するように設定されたものを用意した。

上記のような１３種類のデータに対し、まず、固有値解析を行い、１次から５次までの振動モード形状を算出した。
図１５は、各階層の重量が同一である場合（ｃａｓｅ１）と、下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量の４倍である４つの場合（ｃａｓｅ４＿１０～ｃａｓｅ４＿４０）の、計５つのモデルにおける、３次の振動モード形状を示す振動モード図である。図１５においては、ｃａｓｅ１の振動モード形状には符号Ｌ１が、ｃａｓｅ４＿１０～ｃａｓｅ４＿４０にはそれぞれ符号Ｌ４＿１０～Ｌ４～４０が、付されている。
図１５から、重心基準化高さｈ_ｇが変わると、振動モード形状の腹の位置が異なっていることがわかる。

次に、上記の各データに対し、ｊ次（１～５次）の振動モード形状について、次式（２８）により、固有値解析により算出された振動モード形状と、上記実施形態の式（１１）による振動モード形状との、残差ｅ_ｊを定義する。

上式において、ｍｏｄｅ_Ｒｊ（ｈ_ｉ）は固有値解析により算出された振動モード形状であり、ｍｏｄｅ_ｊ（ｈ_ｉ）は上記実施形態の式（１１）による振動モード形状である。式（１１）において、パラメータａの値は、上記実施形態において適切な値として説明した、値０．１５に設定した。
この条件の下、各データの、ｊ次（１～５次）の各振動モード形状に対し、残差ｅ_ｊが０に近くなるような値ｂを計算した。

図１６は、建物の高さ方向における重心の位置と、パラメータｂとの関係を示す図である。図１６においては、各データに対し、当該データに相当する重心基準化高さｈ_ｇと、当該データの各振動モード形状に対して上記のようにして計算されたパラメータｂとの関係が、プロットされている。
図１６に示されるように、重心基準化高さｈ_ｇとパラメータｂとの間には、正の相関がみられる。したがって、この関係を線形回帰すれば、パラメータｂを立式することができる。
本変形例においては、図１６を基に線形回帰した結果、パラメータｂを、次式（２９）として立式した。

この式（２９）を用いて式（１２）の第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を表現することで得られる、式（１１）の振動モード形状を、図１７～図２０に示す。図１７～図２０は、それぞれ、ｃａｓｅ４＿１０～ｃａｓｅ４＿４０の各々において、当該モデルを固有値解析した結果の振動モード形状（符号Ｌ２）と、上記実施形態により表現された振動モード形状（符号Ｌ３）、及び本変形例により表現された振動モード形状（符号Ｌ４）の、各々を示す振動モード図である。符号Ｌ３が付された、上記実施形態により表現された振動モード形状は、パラメータａ、ｂをそれぞれ、０．１５、０．５として設定した場合に、式（１１）によって表される振動モード形状である。符号Ｌ４が付された、本変形例により表現された振動モード形状は、パラメータａを０．１５、とし、パラメータｂを、各データに対応する重心基準化高さｈ_ｇを上式（２９）に代入することによって得られた値として設定した場合に、式（１１）によって表される振動モード形状である。
図１７～図２０の各々においては、Ｌ４が付された線は、Ｌ３が付された線よりも、Ｌ２が付された線に近い形状となっており、建物の高さ方向における重心が偏心している場合に、パラメータｂを、上式（２９）を用いて設定すると、単に０．５とした場合よりも実際に近い振動モード形状が得られることがわかる。

次に、上式（２９）を用いて設定されたパラメータｂにより、式（１１）によって表現された振動モード形状を用いて、地震時の応答推定値を比較検証した。
図２１は、検証に用いた建物モデルを示す図である。
本検証においては、１５階建ての実在する建物を基に、これに対応する元となる建物モデルを作成し、これを基に、下側に位置する各階層の重量を大きくすることで、検証対象となる建物モデルを作成した。検証対象となる建物モデルは、元となる建物モデルにおいて、下側に位置する各階層の重量を実際の５倍とすることで作成した。結果として、検証対象となる建物モデルにおける重心基準化高さｈ_ｇは、０．３８となった。剛性分布は、各階層のせん断力係数が、元となる建物モデルから変わらないように設定した。検証対象となる建物モデルにおいて、地動観測階層ＢＦを１階とし、応答観測階層ＲＦを４階と１５階とした。
このようにして作成した、検証対象となる建物モデルに対し、固有値解析を行って振動モード形状を計算した。また、検証対象となる建物モデルに対し、パラメータａ、ｂをそれぞれ、０．１５、０．５として設定し、式（１１）により振動モード形状を表現した。更に、検証対象となる建物モデルに対し、パラメータａを０．１５、とし、パラメータｂを、各データに対応する重心基準化高さｈ_ｇを上式（２９）に代入することによって得られた値として設定し、式（１１）により振動モード形状を表現した。
これらの振動モード形状に対し、告示波とエルセントロ波を作用させ、各階層の最大加速度応答値を計算した。

図２２と図２３は、検証対象となる建物モデルを固有値解析した結果の振動モード形状と、上記実施形態により表現された振動モード形状、及び本変形例により表現された振動モード形状の各々に対し、告示波とエルセントロ波をそれぞれ作用させた際の、各階層の最大加速度応答値を示す最大加速度応答図である。図２２、２３においては、観測値に符号Ｌ５が、固有値解析により計算された振動モード形状の結果に符号Ｌ６が、パラメータａ、ｂをそれぞれ、０．１５、０．５として設定して式（１１）により表される振動モード形状の結果に符号Ｌ７（本実施形態の基本形、各階層の重量が粗同一の建物対象）が、及び、パラメータａを０．１５、とし、パラメータｂを、各データに対応する重心基準化高さｈ_ｇを上式（２９）に代入することによって得られた値として設定して式（１１）により表される振動モード形状の結果に符号Ｌ８（実施形態の第２変形例、各階層の重量が異なる１５階建てまでの建物対象）が、それぞれ付されている。
図２２、図２３のいずれにおいても、Ｌ８が付された線は、Ｌ７が付された線よりも、Ｌ５、Ｌ６が付された線に近い形状となっており、建物の高さ方向における重心が偏心している場合に、上式（２９）を用いてパラメータｂを設定すると、パラメータｂを単に０．５とした場合よりも、各階層の最大加速度をより正確に計算できることがわかる。

なお、上記実施形態において、パラメータｂは、０．３以上０．７以下の値とすると、より多くの建物に対して適用可能となるため好ましいと説明した。ここで、各階層の重量を一定として、偏心していない場合の建物に関し、上式（２９）によって係数ｂの値を計算すると、例えば５階建ての建物においては、重心基準化高さｈ_ｇは０．６となり、パラメータｂは０．６となる。また、１０階建ての建物においては、重心基準化高さｈ_ｇは０．５５となり、パラメータｂは０．４５となる。更に、１５階建ての建物においては、重心基準化高さｈ_ｇは０．５３となり、パラメータｂは０．４となる。これらのパラメータｂの値は、上記の０．３以上０．７以下との範囲に収まる。したがって、上式（２９）は、各階層の重量が一定の、偏心していない場合の建物に対しても、適用することが可能である。

このように、本変形例においては、パラメータｂは、建物の高さ方向における重心の高さを最上階の階層の高さで除算して基準化した、重心基準化高さｈ_ｇを用いて、上式（２９）として立式されている。
上記において、建物の高さ方向における重心は、建物を横向きにしたときの重心であり、重心基準化高さｈ_ｇは、建物の高さ方向における重心の高さを、最上階の階層の高さで除算して基準化した値である。
建物においては、各階の重量が概ね一定ではなく、例えば上側に位置する各階層の面積が、下側に位置する各階層よりも小さく実現されているために、下側に位置する各階層の重量が、上側に位置する各階層の重量よりも大きいことがある。このような場合においては、建物を横向きにしたときの重心の位置が、中心よりも、下側の階層の側に、偏心している。
これに対し、上記のような構成においては、上式（１２）において第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を表す際に用いられるパラメータｂが、建物の重心基準化高さｈ_ｇを用いて立式されている。このように、重心基準化高さｈ_ｇを変数としてパラメータｂ及び第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）を表現することで、上記のような、建物を横向きにしたときの重心の位置が偏心している場合においても、センサが設けられていない階層の地震情報を高い精度で推定することが可能となる。

これ以外にも、本発明の主旨を逸脱しない限り、上記実施形態で挙げた構成を取捨選択したり、他の構成に適宜変更したりすることが可能である。

１ 被災度判定システム ２０、２０Ａ 建物
５ 建物応答推定部 ＯＦ 観測階層
９ 被災度判定部 ＮＦ 非観測階層

Claims (4)

1. 複数の階層を有する建物の、地震発生時における応答を推定する、建物の応答推定方法であって、
   複数の前記階層の各々をｉ、複数の前記階層の各々の高さを最上階の前記階層の高さで除算して基準化した基準化高さをｈ_ｉとし、第１関数Ａ（ｈ_ｉ）、第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）をそれぞれ、前記基準化高さｈ_ｉの関数としたときに、前記建物の次数がｊである振動モードの形状を、次の振動モード形状式（１）
   

   

   により、前記基準化高さｈ_ｉの関数として表現し、当該振動モード形状式により、複数の前記次数ｊの各々に対し、複数の前記階層ｉの各々の揺れ幅を取得し、
   前記揺れ幅を基に、複数の前記階層ｉの各々に対応する係数を算出し、
   複数の前記階層ｉの中の、複数の観測階層に設けられたセンサの各々により、複数の前記観測階層の各々における地震情報を観測して取得し、
   前記地震情報を基にしたデータに対し、前記係数を適用して、複数の前記階層ｉの中の、複数の前記観測階層とは異なる非観測階層における、前記地震情報を推定する
   ことを特徴とする建物の応答推定方法。
2. 前記第１関数Ａ（ｈ_ｉ）及び前記第２関数Ｂ（ｈ_ｉ）は、正の値を有するパラメータａ、パラメータｂにより、次式（２）
   

   

   として、前記基準化高さｈ_ｉが大きくなればなるほど値が大きくなるように立式されている
   ことを特徴とする請求項１に記載の建物の応答推定方法。
3. 前記パラメータｂは、前記建物の高さ方向における重心の高さを前記最上階の階層の高さで除算して基準化した、重心基準化高さｈ_ｇを用いて、次式（３）
   

   

   として立式されていることを特徴とする請求項２に記載の建物の応答推定方法。
4. 請求項１から３のいずれか一項に記載の建物の応答推定方法によって、複数の前記観測階層の各々における前記地震情報を観測して取得し、これを基に複数の前記非観測階層における前記地震情報を推定する、建物応答推定部と、
   複数の前記観測階層と複数の前記非観測階層の各々の前記地震情報を用いて、前記建物の被災度を判定する、被災度判定部と、
   を備えることを特徴とする被災度判定システム。

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