JP2020060469A - 収差推定方法、収差推定装置、プログラムおよび記憶媒体 - Google Patents

Abstract

【課題】高精度に被検光学系の収差を推定可能な、収差推定方法、収差推定装置、プログラムおよび記憶媒体を提供すること。【解決手段】収差推定方法は、被検光学系を介して形成された被写体の光学像の光強度分布を取得する取得ステップと、光強度分布に基づいて被検光学系の近似収差を取得する取得ステップと、近似収差に基づいて初期値を決定する決定ステップと、初期値を用いて被検光学系の収差を推定する推定ステップと、を備える。【選択図】図３

Description

本発明は、光強度分布を用いて光学系の収差を推定する、収差推定方法、収差推定装置、プログラムおよび記憶媒体に関する。

カメラや望遠鏡などの光学機器では、機器の性能を評価および保証するためにレンズなどの光学系の収差が計測される。収差の計測では光の位相を計測する必要があるため、従来、干渉計やＳｈａｃｋ Ｈａｒｔｍａｎｎセンサなどが用いられている。しかしながら、これらの測定装置は専用の光学モジュールを必要とするため、コストがかかり、装置も大がかりになってしまう。

特許文献１および非特許文献１には、光強度分布に基づいて後処理を実行することで収差を推定する方法が開示されている。特許文献１の方法では、複数の強度計測結果に対し、最適化演算を行うことで収差を推定している。また、非特許文献１の方法では、２つの強度計測値から強度輸送方程式を解くことによって収差を算出している。

特許４４１１３９５号公報 特開２０００−２９４４８８号公報

Ｓｉｍｏｎ Ｃ． Ｗｏｏｄｓ， Ａｌａｎ Ｈ． Ｇｒｅｅｎａｗａｙ， "Ｗａｖｅ−ｆｒｏｎｔ ｓｅｎｓｉｎｇ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ ａ Ｇｒｅｅｎ‘ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ"， Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｏｐｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ Ａｍｅｒｉｃａ Ａ， ＵＳＡ， Ｍａｒｃｈ ２００３， Ｖｏｌ．２０， ｐｐ．５０８

しかしながら、特許文献１の方法では、最適化を開始する初期値によって推定される結果が大きく変わってしまうという課題がある。また、非特許文献１の方法では繰り返し演算を用いないため、上記課題は生じないが、方程式を解く際の近似誤差により精度の高い計測ができないという課題がある。更に、両方法とも装置誤差や計測誤差等によって精度が低下してしまうという課題がある。

上記課題に鑑みて、本発明は、高精度に被検光学系の収差を推定可能な、収差推定方法、収差推定装置、プログラムおよび記憶媒体を提供することを目的とする。

本発明の一側面としての収差推定方法は、被検光学系を介して形成された被写体の光学像の光強度分布を取得する取得ステップと、光強度分布に基づいて被検光学系の近似収差を取得する取得ステップと、近似収差に基づいて初期値を決定する決定ステップと、初期値を用いて被検光学系の収差を推定する推定ステップと、を備えることを特徴とする。

強度計測結果のみから精度よく被検光学系の収差を推定可能な、収差推定方法、収差推定装置、プログラムおよび記憶媒体を提供することができる。

本発明の実施形態に係る収差測定装置の概略図である。 後処理を示すフローチャートである。 初期値の決定方法を示すフローチャートである。 強度輸送方程式を利用する近似収差の取得方法を説明する図である。 実施例１の後処理に用いられる光強度分布を示す図である。 実施例１の近似収差の取得に用いられる光強度分布を示す図である。 実施例１の取得された近似収差を示す図である。 実施例１の推定された収差を示す図である。

以下、本発明の好ましい実施の形態を、添付の図面に基づいて詳細に説明する。各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。

図１は、本発明の実施形態に係る収差推定装置１００の概略図である。被検光学系１０２は、ピンホール１０１から発せられた光を結像して、撮像素子１０３の撮像面に光学像を形成する。撮像素子１０３は、駆動装置１０４上に設置されている。駆動装置１０４は、コンピュータ（制御部）１０５によって制御されており、撮像素子１０３を指定のデフォーカス量だけ光軸に沿って移動させる。撮像素子１０３は、移動した各位置において、光学像の光強度分布を取得し、取得した光強度分布をコンピュータ１０５または不図示のデータ保持装置に保存する。コンピュータ１０５は、複数の光強度分布に対して後処理を実行することで被検光学系１０２の収差を推定する。後処理は、コンピュータ１０５が実行してもよいし、別の演算装置が実行してもよい。また、ネットワークを通じてクラウド上に存在する演算装置が後処理を実行してもよい。

以下、取得される収差は被検光学系１０２の波面収差として説明を行うが、本発明によって計測可能な収差はこれに限るものではない。波面収差が得られれば、簡単な演算によって横収差量や縦収差量を取得可能である。また、複数の波長で計測を行うことで、色収差を計測可能である。更に、波面収差をＺｅｒｎｉｋｅ多項式で展開することで、ザイデル収差を計測可能である。

コンピュータ１０５が実行する後処理の方法として、例えば、最適化がある。最適化では、評価値が最も小さくなるように収差を逐次的に変更していくことで収差を推定する。演算負荷を減らすために収差を適当な関数で展開し、その係数を最適化変数として最適化を実行することも可能である。収差を展開する関数として、例えば、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式がある。Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式は、収差の種類と基底関数が対応しているため、収差を展開する関数として適している。

最適化を実行する方法は種々存在し、例えば、最急降下法、共役勾配法、または準ニュートン法等がある。これらの方法は勾配法と呼ばれ、図２のフローチャートに沿って実行される。図２は、後処理を示すフローチャートである。本実施形態では、コンピュータ１０５が後処理を実行する場合について説明する。

ステップＳ１では、コンピュータ１０５は、最適化変数の初期値を決定する。Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式で収差を展開した場合、展開係数の初期値を決定すればよい。

ステップＳ２では、コンピュータ１０５は、評価値を算出する。評価値として、取得された光強度分布と推定された収差から演算によって求まる光強度分布の差分二乗和を算出すればよい。

ステップＳ３では、コンピュータ１０５は、ステップＳ２で算出された評価値が閾値より小さいかどうかを判定する。評価値が閾値より小さい場合、処理を終了し、評価値が閾値より大きい場合、ステップＳ１０４に進む。評価値が閾値と等しい場合、どちらのステップに進むかは任意に設定可能である。

ステップＳ４では、コンピュータ１０５は、ステップＳ２で算出された評価値の微分値を算出する。

ステップＳ５では、コンピュータ１０５は、ステップＳ４で算出された微分値に基づいて最適化変数を更新する。

ステップＳ５の処理後、新たに得られた最適化変数を用いてステップＳ２で評価値を再度算出する。以上の処理（ステップＳ２からステップＳ５までの処理）がステップＳ３で評価値が閾値より小さくなるまで繰り返される。

上記方法により、光強度分布から被検光学系１０２の収差を推定することができる。しかしながら、最適化による収差の推定では、初期値によって推定結果が大きく変化してしまうという課題がある。

そこで、本発明では、最適化が好適に動作する初期値を決定する。図３は、初期値の決定方法を示すフローチャートである。

ステップＳ１０１では、コンピュータ１０５は、光強度分布を取得する。本ステップで取得される光強度分布は、既に取得された光強度分布の一部でもよいし、新たなデフォーカス位置で計測された結果であってもよい。

ステップＳ１０２では、コンピュータ１０５は、近似収差を取得する。近似収差とは、光強度分布から繰り返し演算等の負荷の大きい計算を実行することなく取得され、被検光学系の収差の概形をおよそ再現する収差のことである。近似収差の取得方法として、例えば、強度輸送方程式を解く方法や機械学習の結果を用いる方法がある。

ステップＳ１０３では、コンピュータ１０５は、ステップＳ１０２で取得された近似収差から計測誤差や演算誤差に起因する収差成分を除去する。

ステップＳ１０４では、コンピュータ１０５は、誤差に起因する収差成分が除去された収差を用いて初期値を決定する。

ここで、ステップＳ１０２における近似収差の取得方法について詳細に説明する。取得方法の一例として、強度輸送方程式を解く方法を示す。図４は、強度輸送方程式を利用する近似収差の取得方法を説明する図である。強度輸送方程式を解く方法では、まず、図４に示されるように、焦点位置から正負対称に比較的大きく離れた２つの位置で計測された光強度分布を演算に用いる。デフォーカス量を大きくする理由は、デフォーカス量を大きくするほど光学像の光強度分布が瞳空間での光強度分布に近くなるため、像空間での光強度分布の計測を近似的に行うことができるからである。続いて、計測された結果に基づいて、強度輸送方程式を解く。強度輸送方程式は、以下の式（１）で表される。

ここで、

はｘ，ｙ方向の微分演算子、ｘおよびｙは光軸に垂直な平面での直交座標、ｚは光軸方向の座標、ｚ_０は計測位置、Ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）とφ（ｘ，ｙ，ｚ）はそれぞれ位置ｚにおける光軸に垂直な平面内での光算出の強度分布と位相分布、λは波長である。この方程式を解くことで、瞳空間での位相を算出することができる。特に、デフォーカス位置を正負対称に取っていれば、瞳空間で瞳面に対して対称な位置で計測したことに相当するため、演算結果は瞳面での位相分布、すなわち収差となる。このとき、ｚ_０は瞳位置に相当する。右辺のｚの微分は２つの強度計測値の差分値で近似することができ、左辺の強度分布は２つの強度計測値の平均値で近似することができる。差分化された方程式に対しては種々の解法があり、例えば、直交関数系で位相分布および光強度分布を展開することで解くことができる。このとき、直交関数系としてフーリエ基底等の取扱いが容易な関数を選択することで、演算負荷を低減できる。

以上のようにして、繰り返し計算を行うことなく、被検光学系の近似収差を取得できるが、得られた結果を最適化の初期値として利用するためには課題がある。それは、近似収差は計測や演算処理に起因する誤差を有するという点である。例えば、ステップＳ１０１で読み込まれる光強度分布は、デフォーカス量に誤差が含まれる可能性がある。デフォーカス量の誤差は、駆動ステージの原点が焦点位置に一致していないことや、コンピュータ１０５が指示したデフォーカス量と焦点位置からの物理的距離とが一致しないこと等によって発生する。その場合、近似収差は、デフォーカス成分に誤差を含むことになる。近似収差のデフォーカス成分は、収差の量が瞳中心からの距離の２乗に略比例して増加する収差であり、Ｆｒｉｎｇｅ Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第４項に相当する。

また、演算に用いる光強度分布の中心が光軸からずれることによって誤差が生じる。このずれを像ずれと称し、そのずれ量を像ずれ量と称す。デフォーカス量が大きいと像の広がりが大きいため、光軸の位置を定めるのは容易ではなく、位置決定の際に誤差が発生する。駆動装置１０４が光軸に平行に置かれていないために駆動に伴って光学像が横に移動してしまうことも容易に起こり得る。これらの要因により発生した像ずれによって、取得される近似収差は像ずれ成分に誤差を有することになる。

更に、レンズの汚れやごみ等に起因する誤差も生じる。強度輸送方程式以外の方法で近似収差を取得したとしても、フォーカスずれや像ずれは計測やデータ処理に起因するものであるため、誤差の発生は避けられない。

仮に、装置や計測で誤差が生じなかったとしても、近似収差を取得する際に課した種々の近似による誤差も発生する。特に、近似収差の取得では繰り返し計算を用いない方法が好ましいため、必然的に近似を多く含む方法を選択せざるをえない。強度輸送方程式を解く方法では、光軸方向の微分を差分に近似したことや、像空間での強度分布を瞳空間での強度分布とみなしたこと等によって誤差が発生する。

そこで、本発明では、取得された近似収差から計測誤差や演算誤差に起因する収差成分を除去した収差を用いて初期値を決定する。特に、収差の中でも低次の収差である像ずれ成分やデフォーカス成分は、装置、計測または演算時の誤差によって誤差を有し易いだけでなく、評価値への寄与も大きい。そのため、近似収差から像ずれ成分とデフォーカス成分を除去した収差を初期値とすることで、最適化の精度を上げることができる。

以上説明したように、本実施形態では、近似収差から光学系の収差以外に起因する収差成分が除去された収差、またはその一部から初期値を決定することで精度の高い推定が可能となる。

本実施形態は、数学的にモデル化することができるため、コンピュータ・システムのソフトウェア機能として実装可能である。ここで、コンピュータ・システムのソフトウェア機能は、実行可能なコードを含んだプログラミング（プログラム）を含む。ソフトウェア・コードは、汎用コンピュータで実行可能である。ソフトウェア・コード動作中に、コード、または関連データ記録は、汎用コンピュータ・プラットフォーム内に格納される。しかしながら、その他の場合、ソフトウェアは他の場所に格納される、または適切な汎用コンピュータ・システムにロードされる。したがって、ソフトウェア・コードは、１つまたは複数のモジュールとして、少なくとも１つの機械可読媒体（記憶媒体）で保持可能である。

以下、本発明の好ましい実施例を詳細に説明する。

以下、実施例１の収差の推定方法をシミュレーションによって説明する。本実施例は、図１の収差推定装置１００によって実現される。撮像素子１０３は、駆動装置１０４上に設置され、コンピュータ１０５によって指示された位置に移動する。本実施例では、被検光学系１０２の焦点位置を原点とし、デフォーカス量が−７０μｍ、−６０μｍ、−５０μｍ、５０μｍ、６０μｍ、７０μｍとなる各位置で光強度分布が取得される。ピンホール１０１は十分遠い距離にあると仮定し、被検光学系１０２に入射する光は略平行光であるとする。被検光学系１０２は、Ｆ値が１．４であるとし、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項の係数が−２λ、第７項の係数が４λ、第９項の係数が２λである収差を有するとする。Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式は定義が種々存在するが、本実施例ではＦｒｉｎｇｅ Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式を指すこととする。計測波長は６３２．８ｎｍ、撮像素子１０３のピクセルサイズは５．５μｍであるとする。図５は、以上の条件で取得された、本実施例の後処理に用いられる光強度分布を示す図である。コンピュータ１０５は、これらを用いて図２のフローチャートに従って収差を推定する。

ステップＳ１で初期値を決定するために、本実施例では、デフォーカス量が−１０１０μｍと９９０μｍの各位置での光強度分布が取得される。図６は、本実施例の近似収差の取得に用いられる光強度分布を示す図である。本実施例では、強度輸送方程式を利用して近似収差を取得するため、像が瞳形状をおよそ再現する程大きなデフォーカス量を与えている。取得した光強度分布から演算を行うためにデータの切り出しを行う必要があるが、このように広がった像から光軸の位置を決めるのは容易ではなく、切り出しを行うことで像ずれが発生してしまう。特に収差の影響によって、光強度分布が光軸からｘ軸の負の方向へずれてしまっているため、データの切り出し中心は光軸からｘの負の方向にずれてしまうことが容易に想定される。本実施例では、データの切り出しを像のおよそ中心である（ｘ、ｙ）＝（−３３μｍ，−５．５μｍ）の点を中心に行う。

図７は、切り出されたデータに基づいて強度輸送方程式により取得された近似収差を示す図である。強度輸送方程式はフーリエ基底を使った直交関数展開によって解かれ、得られた結果に対してＺｅｒｎｉｋｅフィッティングが行われる。取得された近似収差は、第２項および第３項に大きな誤差を生じている。これらの誤差は，データの中心位置の決定誤差、すなわち像ずれに起因する収差成分である。また、第４項の誤差は、フォーカスの原点ずれに起因する収差成分である。そこで、本実施例では、第１項から第４項の係数を０として、第５項以降を最適化変数の初期値として用いる。得られた初期値に基づいてステップＳ２以降の演算が実行される。

ステップＳ２で算出される評価値として、計測された光強度分布と各繰り返しにおいて推定された収差から演算によって求まる光強度分布との差分二乗和が用いられる。ステップＳ５の最適化変数の更新は、Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ−Ｍａｒｑｕａｒｄｔ法を用いて行われる。２０回の繰り返しが終わった時点で演算が終了される。

図８は、推定された収差を示す図である。点線で示されている推定された収差は実線で示されている真値をほぼ再現しており、収差の推定が高い精度で行われたことを示している。一方、破線で示される無収差を初期値として最適化を行う従来の方法を用いて推定された収差は真値を全く再現しておらず、推定に失敗していることがわかる。以上の結果から本発明を用いることで高い精度での収差推定が可能であることがわかる。

本実施例では、強度輸送方程式で得られた近似収差から像ずれおよびフォーカスずれに起因する収差を除去する。像ずれおよびフォーカスずれに起因する収差以外にも、例えば、被検光学系や撮像素子面に付着したごみや傷によっても誤差は発生するため、これらの収差を除去することも重要となる。例えば、近似収差から特定のパターンを除算したり、特定の領域を除去したりすることで誤差を低減可能である。また、センサ起因のノイズもあるため、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の高次成分を小さくする関数を乗ずることで誤差の低減が可能である。いずれの方法においても近似収差の一部から初期値を決定することが本発明の主旨であり、その方法は限定されるものではない。ただし、像ずれおよびフォーカスずれは計測において高い確率で発生し、更に評価値への影響度も高いことから、これらに起因する収差を除去することは本発明における好適な形態である。

本実施形態では、複数のデフォーカス像から強度輸送方程式を解くことによって近似収差を取得する。デフォーカス像から近似収差を取得する方法として、機械学習を用いて近似収差を取得する方法もある。いずれの方法を用いたとしても、本発明の主旨はデフォーカス像から得られた近似収差に対し、誤差成分が除かれた一部の収差から初期値を決定することであり、近似収差の取得方法は限定されるものではない。ただし、強度輸送方程式を解く方法は、直交関数展開や高速フーリエ変換を利用できるため、高性能な計算環境でなくても高速に処理できるというメリットがある。そのため、近似収差の取得方法として好ましい方法である。

本実施形態では、後処理の方法の一例として勾配法を使用する最適化について説明した。他の後処理の方法として、特許文献２に記載されているフーリエ変換を繰り返す方法もある。フーリエ変換を繰り返す方法においても、初期値は必要であり、本実施形態で示した方法は効果がある。ただし、最適化を使えば、推定する変数をユーザーが任意に選択することができるため、推定する変数を減らす等の工夫により高速化が可能であるというメリットがある。また、どのような評価量を評価値として最適化を行うかユーザーが適宜選択できるため、被写体に広がりがある場合など、それに適した関数を選定することで推定精度を向上させることもできる。このようなメリットから後処理の方法としては最適化を用いることが好ましい。

本実施例では、後処理に用いる光強度分布に加えて、初期値を決定するために新たに取得された２つの光強度分布を使用するが、既に取得済みの光強度分布を使用してもよい。例えば、後処理に用いる複数の光強度分布のうち２つを使って、強度輸送方程式を解いてもよい。また、１つを取得済みの光強度分布から選択し、もう１つを新たに取得してもよい。どの光強度分布を、初期値を決定するために用いるか、後処理に用いるかは特に限定されない。

また、近似収差の取得に用いる光強度分布は２つに限定する必要はない。本実施例では、強度輸送方程式のｚの微分値を２つの光強度分布で近似したが、差分による近似は３つ以上の光強度分布を用いても実行可能である。この場合、近似の精度が向上するため、より真の収差に近い近似収差を得ることができる。いずれの方法においても少なくとも１つ以上の光強度分布から近似収差を得ることが本発明の主旨であり、その数は限定されるものではない。

本実施形態では、収差を展開する関数としてＺｅｒｎｉｋｅ多項式を使用したが、本発明はこれに限定されない。像ずれに起因する収差成分は線形成分であり、収差を線形フィットすることでも除去できる。また、デフォーカス成分は２次関数に対応するため、同様にフィッティングによって除去することも可能である。誤差に起因する収差の除去は収差を展開する関数に依らず実行することが可能である。

また、最適化変数は、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の係数に限らない。光学系のケラレ等によって瞳形状が楕円に近い場合、楕円Ｚｅｒｎｉｋｅ関数を用いることもできる。瞳形状や想定される収差の形状に合わせて、収差を展開する関数系とそれに対応した最適化変数は適宜決定すればよい。また、瞳の各点における収差量を最適化変数とすることも可能である。

また、駆動装置１０４が駆動する対象は、撮像素子１０３に限られることはない。光学系のフォーカス配置を変えることで、デフォーカスが与えられた光学像の強度分布が取得できれば同等の効果が得られる。例えば、被検光学系１０２を移動させてもよいし、ピンホール１０１を移動させてもよい。また、フォーカスを変えるための光学系を用いてもよいし、空間光変調器を用いてフォーカスを変えることに相当する位相変調を与えてもよい。

本実施形態では、ピンホール１０１を被写体として光学像を形成したが、本発明はこれに限定されない。被検光学系１０２によって像面の微小な領域に光強度分布が集中する被写体を用いれば同等の効果を得ることができる。例えば、遠方にある一般的な照明光源や、望遠鏡等で観測される天体等を光源として用いても同等の効果が得られる。更に、レーザーなどから発せられる平行平面波は被写体を無限遠に配置した場合に相当し、この光を被検光学系１０２に入射させてもよい。また、ピンホール１０１を用いた場合でも、その開口の大きさは有限であって構わない。
［その他の実施例］
本発明は、上述の実施例の１以上の機能を実現するプログラムを、ネットワーク又は記憶媒体を介してシステム又は装置に供給し、そのシステム又は装置のコンピュータにおける１つ以上のプロセッサがプログラムを読出し実行する処理でも実現可能である。また、１以上の機能を実現する回路（例えば、ＡＳＩＣ）によっても実現可能である。

以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されず、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。

１０２ 被検光学系

Claims (7)

1. 被検光学系を介して形成された被写体の光学像の光強度分布を取得する取得ステップと、
   前記光強度分布に基づいて前記被検光学系の近似収差を取得する取得ステップと、
   前記近似収差に基づいて初期値を決定する決定ステップと、
   前記初期値を用いて前記被検光学系の収差を推定する推定ステップと、を備えることを特徴とする収差推定方法。
2. 前記初期値は、前記近似収差から像ずれ成分およびデフォーカス成分が除去された収差に基づいて決定されることを特徴とする請求項１に記載の収差推定方法。
3. 前記近似収差は、強度輸送方程式を用いて算出されることを特徴とする請求項１または２に記載の収差推定方法。
4. 前記推定ステップでは、最適化演算を用いて前記被検光学系の収差が推定されることを特徴とする請求項１から３のいずれか１項に記載の収差推定方法。
5. 被検光学系を介して形成された被写体の光学像の光強度分布を取得する撮像素子と、
   前記光強度分布に基づいて前記被検光学系の収差を推定する制御部と、を有し、
   前記制御部は、前記光強度分布に基づいて前記被検光学系の近似収差を取得するとともに、前記近似収差に基づいて前記被検光学系の収差を推定する際に使用する初期値を決定することを特徴とする収差推定装置。
6. 請求項１から４のいずれか１項に記載の収差推定方法をコンピュータに実行させるプログラム。
7. 請求項６に記載のプログラムを記憶した記憶媒体。