JP2004178189A - 量子化誤差の推定方法、プラントの同定方法、制御方法、量子化誤差の推定装置およびプログラム - Google Patents
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Abstract
【課題】プラントからの出力値のサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を精度よく推定するとともにプラントを同定する。
【解決手段】プラントの出力値がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含む場合に、量子化誤差を固定した入出力差分方程式を設定し（ステップＳ１３）、線形最小二乗法によりプラントの係数パラメータを求める（ステップＳ１４）。次に、係数パラメータを固定した入出力差分方程式を設定し（ステップＳ１５）、制約付き線形最小二乗法により量子化誤差を求める（ステップＳ１６）。ステップＳ１３〜Ｓ１６を目的関数が収束するまで繰り返すことにより、量子化誤差とともに係数パラメータを求める。これにより、量子化誤差を精度よく推定するとともにプラントを同定することができる。
【選択図】 図４
【解決手段】プラントの出力値がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含む場合に、量子化誤差を固定した入出力差分方程式を設定し（ステップＳ１３）、線形最小二乗法によりプラントの係数パラメータを求める（ステップＳ１４）。次に、係数パラメータを固定した入出力差分方程式を設定し（ステップＳ１５）、制約付き線形最小二乗法により量子化誤差を求める（ステップＳ１６）。ステップＳ１３〜Ｓ１６を目的関数が収束するまで繰り返すことにより、量子化誤差とともに係数パラメータを求める。これにより、量子化誤差を精度よく推定するとともにプラントを同定することができる。
【選択図】 図４
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、プラントの入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含む場合の量子化誤差を推定する技術、プラントの同定技術、および、プラントにおける制御技術に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、多くの制御がディジタル化されており、ディジタル化された信号を用いて高精度な制御を行う際には、有限語長であることから生じる量子化誤差が問題となる。特に、最近盛んに研究が行われているナノオーダーの技術において精密な制御を行うためには、制御対象への入力値や出力値の量子化誤差が問題となる。
【０００３】
量子化誤差を考慮してプラントの状態を推定する一つの手法としては非特許文献１に示されるウィリアムソン（Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ）の研究が挙げられる。非特許文献１では、量子化誤差を白色雑音と仮定してＬＱ（ｌｉｎｅａｒ ｑｕａｄｒａｔｉｃ）問題として扱っている。
【０００４】
【非特許文献１】
Ｄ．ウィリアムソン（Ｄ． Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ）著、「ディジタル・コントロール・アンド・インプリメンテーション：フィニット・ワードレングス・コンシダレーションズ（Ｄｉｇｉｔａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ：Ｆｉｎｉｔｅ Ｗｏｒｄｌｅｎｇｔｈ Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ）」、プレンティス・ホール（Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ）、１９９１年
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
ところで、非特許文献１では量子化誤差を白色雑音として仮定しているが、量子化誤差はプラントやその周辺構成等のダイナミクスに依存し、決して白色雑音ではない。そのため、好ましくはダイナミクスや誤差の値自体を考慮してプラントの同定（いわゆるシステム同定であり、プラントのパラメータの算出に相当する。）、出力の推定、制御等を行う必要がある。
【０００６】
一方、量子化誤差の問題を克服するためには、分解能の高いセンサを利用する解決策も考えられる。しかしながら、このようなセンサは高価であり、また、低分解能のセンサを電気的に分周して高分解能にした場合、高分解能にするにしたがってセンサの出力の信頼性が低くなる。
【０００７】
エンコーダやリニアスケールで位置を検出する時にＰＬＬと呼ばれる装置により位置の検出精度を擬似的に高める方法も提案されているが、対象物体が速度変動を持って移動する場合には効果がない。
【０００８】
さらに、ナノ領域やナノ領域以下の非常に微小な領域を考慮してプラントの同定、出力検出、制御等を行う場合、精度要求を満たすセンサが存在しないか、使えない場合が多くある。
【０００９】
この発明は、上記の課題を解決するためになされたものであり、プラントの入出力データを利用して、入力信号および／または出力信号がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を推定し、その結果、入出力データの分解能（入出力のディジタル化の単位）を超える精度の入力および／または出力を得ることを目的としている。また、量子化誤差の推定時にプラントに対する正確な同定を行うことも目的としている。さらに、量子化誤差を推定しつつ制御を行うことも目的としている。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける量子化誤差の推定方法であって、ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程とを有する。
【００１１】
請求項２に記載の発明は、請求項１に記載の量子化誤差の推定方法であって、前記ｂ）工程において、前記複数の量子化誤差とともに入出力差分方程式の係数が求められる。
【００１２】
請求項３に記載の発明は、請求項２に記載の量子化誤差の推定方法であって、前記ｂ）工程が、ｂ１） 前記入出力差分方程式の係数を固定して前記目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を求める工程と、ｂ２） 前記複数の量子化誤差を固定して前記目的関数を最小とする前記入出力差分方程式の係数を求める工程と、ｂ３） 前記ｂ１）工程に戻る工程とを有する。
【００１３】
請求項４に記載の発明は、請求項２または３に記載の量子化誤差の推定方法であって、ｃ） 前記入出力差分方程式の係数を、前記伝達関数の相対次数に合わせて補正する工程をさらに有する。
【００１４】
請求項５に記載の発明は、伝達関数の次数が予め設定されたプラントの同定方法であって、ａ） 複数の入力値および複数の出力値に基づいて係数を未知数とした複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記係数を求める工程と、ｃ） 前記係数を、前記伝達関数の相対次数に合わせて補正する工程とを有する。
【００１５】
請求項６に記載の発明は、入力値および出力値の少なくとも一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける制御方法であって、ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程と、ｃ） 前記複数の量子化誤差の少なくとも一部に基づいて前記複数の入力値および前記複数の出力値の少なくとも一部を補正する工程と、ｄ） 前記ａ）工程に戻る工程とを有する。
【００１６】
請求項７に記載の発明は、請求項６に記載の制御方法であって、前記ｂ）工程において、前記複数の量子化誤差とともに入出力差分方程式の係数が求められる。
【００１７】
請求項８に記載の発明は、請求項６または７に記載の制御方法であって、前記ｃ）工程において補正された前記複数の入力値および前記複数の出力値の少なくとも一部を利用してフィードバック制御が行われる。
【００１８】
請求項９に記載の発明は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含むプラントに対する量子化誤差の推定装置であって、プラントの伝達関数の次数を設定する手段と、サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定し、前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める演算部とを備える。
【００１９】
請求項１０に記載の発明は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける量子化誤差の推定をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記プログラムのコンピュータによる実行は、前記コンピュータに、ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程とを実行させる。
【００２０】
【発明の実施の形態】
＜１． 第１の実施の形態＞
＜１．１ プラントの同定および量子化誤差推定＞
図１はプラント１に接続されたコンピュータ２を示すブロック図である。プラント１には、入力値が信号入力部１１からホールダ１２を介して入力され、プラント１からの出力信号はサンプラ１３ａを介してサンプリングされ、量子化器１３ｂにより量子化された出力値とされる。なお、プラント１は、処理、演算、動作等を行う機械的、電気的あるいは化学的機構を有するものであればどのようなものであってもよく、規模の大小を問わない。例えば、位置センサが設けられた位置決め機構、濃度センサが設けられた化学プラント等がプラント１に相当する。
【００２１】
本実施の形態では、一例として、白色雑音（標準偏差９．９４、サンプリング周波数１ｋＨｚ）の入力値がプラント１に順次入力される。出力信号は、サンプリングされて０．５の単位で切り捨てられて量子化され、一連の出力値として取得されるものとする。
【００２２】
プラント１はコンピュータ２により同定（いわゆる、システム同定）が行われ、プラント１の伝達関数は実際には数１に示すものであると仮定する。第１の実施の形態では、出力値にのみ量子化誤差が存在するものとして説明する。
【００２３】
【数１】
【００２４】
図２はコンピュータ２の構造を示すブロック図である。コンピュータ２は、サンプリング後の複数の入力値および複数の出力値に基づいて、出力値の量子化誤差を推定するとともにプラント１の同定を行う。図２に示すように、コンピュータ２は、各種演算処理を行うＣＰＵ２０１、基本プログラムを記憶するＲＯＭ２０２および各種情報を記憶するＲＡＭ２０３をバスラインに接続した一般的なコンピュータシステムの構成となっている。バスラインにはさらに、情報記憶を行う固定ディスク２０４、各種情報の表示を行うディスプレイ２０５、操作者からの入力を受け付けるキーボード２０６ａおよびマウス２０６ｂ、光ディスク、磁気ディスク、光磁気ディスク等のコンピュータ読み取り可能な記録媒体９１から情報の読み取りを行う読取装置２０７、並びに、通信網を介して入力値および出力値を受け取る通信部２０８が、適宜、インターフェイス（Ｉ／Ｆ）を介する等して接続される。
【００２５】
コンピュータ２には、事前に読取装置２０７を介して記録媒体９１からプログラムが読み出され、固定ディスク２０４に記憶される。そして、プログラムがＲＡＭ２０３にコピーされるとともにＣＰＵ２０１がＲＡＭ２０３内のプログラム２３１に従って演算処理を実行することにより（すなわち、コンピュータがプログラムを実行することにより）、コンピュータ２が量子化誤差の推定およびプラント１の同定を行う装置として機能する。
【００２６】
次に、コンピュータ２により量子化誤差の推定およびプラント１の同定が実現される原理について説明する。
【００２７】
まず、プラント１の伝達関数の次数は事前情報により判っている、あるいは、事前情報から所定の次数であるとみなすことができ、入出力差分方程式が数２にて表わされるものとする。
【００２８】
【数２】
【００２９】
数２において、ｙ（ｉ−ｎ），・・・，ｙ（ｉ）は出力値、ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ）は入力値であり、これらの添え字はサンプリング点（時刻）を示す。係数パラメータａ（１），・・・，ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）は定数であり、ｎは伝達関数の次数である。ここで、量子化誤差のある出力値を用いて、プラント１の同定とともに量子化誤差も推定する最小二乗問題を考える。量子化誤差がない場合の同定における最小二乗推定とは異なり、出力値に量子化誤差がある場合は係数パラメータと量子化誤差の積が数２に含まれるため、非線形最小二乗問題となる。
【００３０】
プラント１の入出力差分方程式を（ｐ＋１）本まとめると数３となる。
【００３１】
【数３】
【００３２】
数３において、ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）は量子化された（すなわち、量子化誤差を有する）出力値、ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ＋ｐ）は入力値、δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）は出力値の量子化誤差、ｅ（ｉ），・・・，ｅ（ｉ＋ｐ）は最小二乗問題にて設定される式誤差である。ここで、δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）のそれぞれには、量子化誤差の上限δｕｐ以下かつ下限δｌｗ以上であるという制約条件が与えられる。
【００３３】
数３に基づき、数４にて示される式誤差の二乗和を複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数として設定し、目的関数を最小にすることによって、係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）と量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を同時に推定することができる。
【００３４】
【数４】
【００３５】
上記の非線形最小二乗推定問題の解法はいくつか考えられる。コンピュータ２では、１つの解法として、係数パラメータと量子化誤差の一方を固定して２つの線形最小二乗問題の形とし、この２つの線形最小二乗問題を交互に解くことにより最適解を求める方法が採用される。
【００３６】
図３は、ＣＰＵ２０１がプログラム２３１に従って動作することにより、ＣＰＵ２０１、ＲＯＭ２０２、ＲＡＭ２０３、固定ディスク２０４等が実現する機能構成を示す図である。図４はコンピュータ２の動作の流れを示す図である。以下、図３および図４を参照しながらコンピュータ２の動作について説明する。なお、予めキーボード２０６ａやマウス２０６ｂ等によりプラント１の伝達関数の次数が設定されているものとする。
【００３７】
まず、図３中の方程式設定部２１が複数の入力値ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ＋ｐ）および複数の出力値ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）を取得し、さらに、出力値に含まれる量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を初期値０に設定する（ステップＳ１１，Ｓ１２）。次に、量子化誤差を固定して係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）を未知数として含めた複数の入出力差分方程式である数３を設定する（ステップＳ１３）。設定された複数の入出力差分方程式は係数パラメータ算出部２３へと送られ、線形最小二乗法を用いて目的関数が最小となる係数パラメータが数３から算出される（ステップＳ１４）。
【００３８】
求められた係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）は方程式設定部２１へと戻され、方程式設定部２１では係数パラメータを固定して数３が数５へと変形され、量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を未知数として含めた複数の入出力差分方程式が設定される（ステップＳ１５）。設定された入出力差分方程式は量子化誤差算出部２２へと送られ、量子化誤差の制約条件を考慮しつつ制約付き最小二乗法により目的関数が最小となる量子化誤差が求められる（ステップＳ１６）。
【００３９】
【数５】
【００４０】
求められた量子化誤差および目的関数の値は方程式設定部２１に戻され、目的関数の値が記憶された上でステップＳ１３〜Ｓ１６が繰り返される（ステップＳ１７）。
【００４１】
２回目以降のステップＳ１７では、前回の演算で求められた目的関数の値と今回求められた目的関数の値とが比較され、目的関数が収束したか否かが確認される。ステップＳ１３〜Ｓ１６が繰り返されている間に目的関数が所定の条件を満たすように収束した場合には、最後に求められた量子化誤差および係数パラメータが保存されて演算が終了する。
【００４２】
なお、図４ではステップＳ１８として伝達関数の相対次数に合わせて係数パラメータを補正する工程を示しているが、この補正工程については後述する。
【００４３】
また、係数パラメータはプラント１を同定する前にある程度推測できる場合が多い。その場合、事前情報として係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）の初期値を与え、ステップＳ１５から繰り返し演算が行われてもよい。
【００４４】
以上の演算により、コンピュータ２では量子化誤差が求められると同時に係数パラメータの値が求められ、プラント１の高精度な同定（システム同定）が実現される。
【００４５】
＜１．２ 出力値の推定＞
次に、図４に示す動作のうち量子化誤差を求める部分を利用することにより、制御対象の真の出力値を推定する手法について説明する。図５は制御対象であるプラント１の出力推定がコンピュータ２により行われる場合のプラント１とコンピュータ２との接続関係を示すブロック図である。図５に示す構成は基本的には図１と同様であり、コンピュータ２から推定後の出力値が出力されるという点で相違する。なお、コンピュータ２ではプラント１の同定は行われないため、コンピュータ２の機能は主として図３中の方程式設定部２１および量子化誤差算出部２２のみとなる。プラント１は既知である、または、図４に示す方法もしくは他の方法により予め同定されているものとする。
【００４６】
図６は出力推定が行われる際のコンピュータ２の動作の流れを示す図である。図３中の方程式設定部２１が複数の入力値ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ＋ｐ）および複数の出力値ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）を取得すると（ステップＳ２１）、方程式設定部２１では量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）が未知数とされた数５に示す方程式が設定される（ステップＳ２２）。そして、設定された入出力差分方程式は量子化誤差算出部２２へと送られ、量子化誤差の制約条件を考慮しつつ制約付き最小二乗法により目的関数が最小となる量子化誤差が求められる（ステップＳ２３）。各出力値ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）には対応する量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）が加えられ、（ｙｑ＋δ）が推定出力値としてコンピュータ２から出力される（ステップＳ２４）。
【００４７】
ステップＳ２１〜Ｓ２４が高速に繰り返されることにより、リアルタイムにて推定後の出力値が得られる。なお、演算の際に準備される複数の入力値と複数の出力値とは先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっていてもよい。サンプリングの速度に対して演算が十分に速い場合には、１回のサンプリングごとにステップＳ２１〜Ｓ２４が実行されてもよい。さらに、複数の入力値と複数の出力値とが先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっている場合には、１つの出力値に対して複数回の推定が行われることから、得られた複数個の推定出力値の平均や重み付け平均により最終的な出力値が決定されてもよい。既述のプラント１の同定における推定された量子化誤差についても、複数個の量子化誤差から最終的なものが求められてよい。
【００４８】
以上のように、既知のプラント１または予め同定されたプラント１からの出力値を推定することにより、出力のサンプリングおよび量子化による分解能を超えた分解能にて出力値を取得することが実現される。
【００４９】
＜１．３ フィードバック制御＞
次に、出力検出器のサンプリングおよび量子化による分解能を超えて出力を推定することにより、制御性能を向上させる方法について説明を行う。一般に、フィードバック制御の精度は出力の検出精度に依存し、量子化された出力値をそのまま用いたのでは出力検出器の分解能を超えて制御を行うことはできない。
【００５０】
図７は量子化誤差の推定を伴う制御が行われるシステムの構成を示すブロック図である。図７では、図５に示す構成に位相進み補償回路や積分器等のコントローラ１４が組み込まれ、コンピュータ２からの推定後の出力値がコントローラ１４の前にフィードバックされる。コンピュータ２の動作は図６の通りであるが、典型的な動作例では、サンプリングごとに繰り返し演算が行われ、最も新しい時点での推定出力値（数３におけるｙｑ（ｉ＋ｐ）とδ（ｉ＋ｐ）の和）（または、最も新しい時点以前の複数の推定出力値から導かれる値）がフィードバックされる。
【００５１】
なお、量子化誤差の推定をリアルタイムに行うためにコンピュータ２よりも高速に演算を行う必要がある場合には、図３中の方程式設定部２１および量子化誤差算出部２２の機能を有する専用の電気的回路がコンピュータ２に代えて設けられる。
【００５２】
推定出力値を利用したフィードバック制御により、出力値のサンプリングおよび量子化による分解能よりも精度の高い出力値をフィードバック制御に利用することができ、制御性能を向上することが実現される。
【００５３】
なお、出力値の推定において述べたように、複数の入力値と複数の出力値とが先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっている場合には、フィードバック時点の出力値よりも過去の出力値に対して複数回の推定が行われることとなる。フィードバックの際に最新の時点での推定出力値よりも過去の出力値も利用される場合は、得られた複数個の推定出力値の平均や重み付け平均により最終的な過去の出力値が決定された上で利用されてもよい。
【００５４】
＜１．４ プラントの同定および量子化誤差推定のシミュレーション例＞
次に、上述のプラントの同定のシミュレーション例について説明する。プラント１の伝達関数は数１に示されるものとし、出力値に量子化誤差があるデータを用いて同定と量子化誤差の推定のシミュレーションを行う。入力値には量子化誤差はないものとし、定数５０に白色雑音（標準偏差９．９４、サンプリング周波数１ｋＨｚ）を加えたものが入力値として用いられる。出力値は０．５の単位で切り捨てた値が使用される。
【００５５】
入出力信号のサンプリング周波数が１ｋＨｚである場合、プラント１の離散時間伝達関数（パルス伝達関数）は数６にて表される。
【００５６】
【数６】
【００５７】
なお、事前情報として離散時間伝達関数の分子が１次、分母が２次であることが判っている（あるいは、設定されている。）ものとし、同定に用いる入出力差分方程式の数（ｐ＋１）を１００、サンプリング点の数を１０２とする。
【００５８】
図８に、あるサンプリング区間の１０２点のデータに基づくプラント１の同定結果の周波数応答を比較対象（設定した伝達関数の周波数応答）とともに示す。図８では、実線は数６のモデルの離散時間伝達関数から得た理想的な周波数応答を示し、ドットは量子化誤差がない場合（すなわち、出力の真値を用いることができる場合）に最小二乗推定を行って得られる周波数応答を示している。一点鎖線は量子化誤差のあるデータを用いて最小二乗推定により通常の同定を行った場合を示しており、この場合には正しく同定されないことが判る。
【００５９】
一方、図８では図４に示す手法によりプラント１を同定した場合の周波数応答を破線にて示しているが、位相に関するグラフの高周波領域を除いて理想的な周波数応答と重なっている。求められた係数パラメータと真の係数パラメータとを表１に示す。図８および表１により、十分な精度で同定できていることが判る。
【００６０】
【表１】
【００６１】
図９は、同定に用いられた区間における量子化誤差の推定結果を示す図である。図９では推定された量子化誤差を実線にて示し、実際の量子化誤差を破線にて示しているが、これらはほぼ重なっており、精度よく量子化誤差が求められているといえる。
【００６２】
図１０は、推定出力値が精度良く得られることを確認するために、同定に用いたものとは異なる入力値および出力値（以下、適宜、単に「データ」と呼ぶ。）による量子化誤差の推定を行った結果を示す図である。図１０では、予め既知である係数パラメータを用いて数５により、シミュレーション開始後４秒から６秒までのデータについて量子化誤差の推定を行った結果として量子化誤差の推定誤差（実際の量子化誤差と推定された量子化誤差との差）を示している。量子化誤差の推定誤差の平均値は０．００２、絶対値平均は０．０１２、標準偏差は０．０１５であり、量子化される際の切り捨ての単位０．５に対して十分な精度で推定できているといえる。
【００６３】
＜１．５ 制御のシミュレーション例＞
次に、図７に示す制御システムのシミュレーション例について説明する。第１のシミュレーションでは、指令入力を定数５０に正弦波指令入力（振幅０．４、周波数１５Ｈｚ）を加えたものとする。コントローラ１４は位相進み補償回路と積分器とを並列に接続したものである。量子化誤差の推定に用いる係数パラメータは上述のプラント１の同定方法にて求められたものを使用する。
【００６４】
図１１は、追従制御の結果を破線にて示す図であり、０．４秒までは量子化誤差の推定による出力値の推定は行っていない。その結果、０．４秒までは実線にて示す指令入力にほとんど追従できていない。これに対して、０．４〜１秒の間は出力推定が行われており、これにより、十分に指令入力に追従することが実現されている。
【００６５】
図１２は、指令入力を定数５０．１とする位置決め制御を第２のシミュレーションとして行った結果を示す図である。０．４秒までは出力推定を行わずにフィードバック制御を行い、０．４秒以降は出力推定を行っている。
【００６６】
位置決め制御ではコントローラ１４をハイゲイン化することが多いが、そのとき、出力推定を行わないと量子化誤差の影響により０．４秒までのように出力値はおよそ量子化の単位（０．５）の幅で振動する。これに対して、出力推定を行いつつフィードバック制御を行うと、０．４秒から１秒までのように若干振動的ではあるが、量子化の分解能以上の精度で位置決め制御が実現される。
【００６７】
＜２． 第２の実施の形態＞
第１の実施の形態では出力値にのみ量子化誤差がある場合を考えてきたが、次に、入力値と出力値の両方に量子化誤差がある場合について説明する。また、プラント１の同定および量子化誤差の推定を行うための数学的手法についても第１の実施の形態と異なる方法について説明する。
【００６８】
図１３は、プラント１の同定が行われる際の互いに接続されたプラント１およびコンピュータ２を示すブロック図である。なお、コンピュータ２の構成は図２に示すものと同様であり、機能構成は図３に示す方程式設定部２１に方程式を解く機能が接続され、量子化誤差算出部２２と係数パラメータ算出部２３の量子化誤差の算出と係数パラメータの算出が同時に行われる構成となる。プラント１に対する入出力はアナログ信号である。入力信号は同定を行うためにサンプラ１５ａによりサンプリングされて量子化器１５ｂにより量子化され、ディジタルデータ（入力値の集合）の形式でコンピュータ２に順次入力される。出力信号もサンプラ１３ａによりサンプリングされて量子化器１３ｂにより量子化され、ディジタルデータ（出力値の集合）の形式でコンピュータ２に入力される。そのため、入力値および出力値は量子化誤差を含んでいる。
【００６９】
次に、コンピュータ２がプラント１の同定を行う原理について説明する。ただし、プラント１の伝達関数の次数は予め判っている、または、設定されているものとする。図１３に示すプラント１においても、入出力差分方程式は数２に準じて示すことができる。ここで、離散時間モデルの同定のために、ある時間区間における式誤差の二乗和を最小にすることを考え、量子化誤差も推定する。
【００７０】
量子化された出力値をｙｑ（ｉ）、量子化された入力値をｕｑ（ｉ）とし、出力値の量子化誤差δ（ｉ）、入力値の量子化誤差γ（ｉ）を数７のように表す。
【００７１】
【数７】
【００７２】
これにより、時刻ｉから（ｉ＋ｐ）までの式誤差ｅ（ｉ），・・・，ｅ（ｉ＋ｐ）は数８として示される。
【００７３】
【数８】
【００７４】
ここで、数９にて示される式誤差の二乗和を最小化することにより係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）と量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ），γ（ｉ−ｎ），・・・，γ（ｉ＋ｐ）とを同時に算出する最適化問題を非線形最小二乗問題として扱う。
【００７５】
【数９】
【００７６】
式誤差の二乗和を最小化するとき、量子化誤差の制約条件は数１０のように表される。
【００７７】
【数１０】
【００７８】
数１０において、δｕｐおよびδｌｗはそれぞれ、出力値の量子化誤差の上限および下限であり、γｕｐおよびγｌｗはそれぞれ、入力値の量子化誤差の上限および下限である。
【００７９】
この制約条件を考慮するために数１１に示されるようにペナルティ関数が導入された目的関数Ｊを設定する。
【００８０】
【数１１】
【００８１】
数１１において、ρ（ｉ＋ｋ），ξ（ｉ＋ｋ）は定数重み、ｇ（ｉ＋ｋ），ｈ（ｉ＋ｋ）は量子化誤差δ（ｉ），γ（ｉ）に対するペナルティ関数である。ペナルティ関数については、例えば、数１２に示すものを用いることができる。
【００８２】
【数１２】
【００８３】
ここで、量子化誤差の扱い方について補足する。Ａ／Ｄ変換器、エンコーダ、リニアスケール等では信号の量子化は量子化単位により切り捨てられて算出される。この場合、δｌｗは０、δｕｐは出力値の量子化単位、γｌｗは０、γｕｐは入力の量子化単位となる。
【００８４】
しかしながら、上記のサンプリングされて量子化された後のディジタルデータを制御や同定にそのまま使用するよりも、得られた入出力値に量子化単位の半分の値を加えた修正値を用いた方が簡単に量子化誤差の悪影響を低減することができる。なぜならば、修正値の方が量子化誤差の大きさの最大値を半分の大きさとすることができるからである。この場合、上記の目的関数Ｊにおける量子化誤差による制約条件は数１３のように変更される。
【００８５】
【数１３】
【００８６】
目的関数Ｊで表されている非線形最小二乗問題を解く手法としては、例えば、ニュートン法が利用される。その場合の初期値は量子化誤差のある入力値および出力値から線形最小二乗法によって求めた係数パラメータが使用される。
【００８７】
なお、複数の入力値と複数の出力値とが先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっている場合には、１つの入力値または出力値に対して複数回の推定が行われることから、得られた複数個の推定入力値や推定出力値の平均や重み付け平均により最終的な入力値や出力値が決定されてもよい。
【００８８】
次に、係数パラメータと量子化誤差とを同時推定するシミュレーション例について説明する。
【００８９】
シミュレーションでは、数１にて示した連続時間伝達関数を想定する。また、連続時間伝達関数の次数は２次で相対次数は２であると仮定する。入力信号は、制御対象の位置決め指令となる定数指令３に白色雑音（分散０．４、４０Ｈｚ）を加えた信号とし、同定のためのサンプリング周波数は４０Ｈｚとする。このとき、入出力差分方程式は、数１４に示すものとなる。
【００９０】
【数１４】
【００９１】
また、シミュレーションでは、１００個の式誤差を使用する。このとき数８におけるｐは９９となり、１０１点の入力値および１０２点の出力値を使用する。
【００９２】
アナログの入出力信号はサンプリングされて量子化により単位１で切捨てられて量子化される。これにより、例えば、−１，２，１，０，３のような値が得られる。プラント１の同定では、これらの値に０．５を加えた値が使用される。したがって、既述のように、量子化誤差の制約条件は数１３にて示す条件となる。ただし、出力値の量子化誤差の添え字ｋは（−２）〜９９の整数であり、入力値の量子化誤差の添え字ｋは（−２）〜９８の整数である。
【００９３】
図１４は、サンプリングされて量子化された後の入力値とアナログの入力信号とを示す図であり、図１５はサンプリングされて量子化された後の出力値とアナログの出力信号とを示す図である。これらの図において、丸印が入力値または出力値を示し、実線がアナログ信号を示している。なお、量子化誤差の問題を的確に検証できるように、アナログ信号の大きさに比べて比較的大きな量子化単位が設定されている。
【００９４】
図１６は、プラント１の周波数応答と同定されたモデル（すなわち、求められた係数パラメータを有する離散時間伝達関数）の周波数応答を示している。実線は真のプラント１の周波数応答を示し、破線は量子化誤差の存在を無視して最小二乗推定により得られたモデルの周波数応答を示している。量子化誤差を無視して求められたモデルの係数パラメータは、非線形最小二乗問題をニュートン法で解く際の初期値として利用される。
【００９５】
図１６において、クロス印は目的関数Ｊの非線形最小二乗問題をニュートン法によって解くことにより得られたモデルの周波数応答を示している。このモデルは高周波数領域を除いては真のプラント１によく一致している。
【００９６】
ここで、元の連続時間伝達関数の相対次数が２であることを使うと高周波領域の特性を改善できる。具体的には、まず、求めた入出力差分方程式を連続時間系の伝達関数に変換する。これにより、分子が１次の多項式となる。そして、分子の１次の係数を０に変更して相対次数を２に強制的に補正し、連続時間系の伝達関数を離散時間の入出力差分方程式に戻す。
【００９７】
第１の実施の形態に関する図４のステップＳ１８はこのような係数パラメータの補正が実行される場合を示しており、第１の実施の形態の場合では線形最小二乗法の繰り返し演算の終了後に相対次数に合わせて係数パラメータの補正が行われることとなる。さらに、相対次数を用いた係数パラメータの補正は、量子化誤差の推定が行われずにプラントの同定のみが行われる場合にも適用することができる。なお、線形最小二乗法の繰り返し演算が行われるごとに相対次数に合わせて係数パラメータの補正が行われてもよい。
【００９８】
図１６中のドットにて示す曲線は、相対次数に合わせて補正されたモデルの周波数応答を示している。この周波数応答は、真のプラント１の周波数応答に十分一致している。最終的に推定された係数パラメータと実際のプラント１の係数とを表２に対比して示す。表２からも推定された係数パラメータは真の値に十分近いといえる。
【００９９】
【表２】
【０１００】
図１７および図１８は、ある０．５秒間の区間での入力値および出力値の真の量子化誤差と推定した量子化誤差とをそれぞれ示している。これらの図において、黒く塗りつぶした四角印は推定値を示しており、丸印は実際の量子化誤差を示している。
【０１０１】
図１９および図２０は１０１点の入力値と１０２点の出力値の真の量子化誤差と推定された量子化誤差との差（推定誤差）の分布を示している。図中の推定誤差の数量（縦軸）は、推定誤差の大きさを区間（０．１ｗ〜（０．１ｗ＋０．１））（ｗ＝−５，−４，・・・，４）の間で小計し、（０．１ｗ＋０．０５）の位置に示している。図１９および図２０において、上述の手法による推定結果の推定誤差は黒く塗りつぶした丸印で示され、初期の段階での量子化誤差を白い四角印にて示している。
【０１０２】
図１７および図１８では、量子化誤差の推定が適切に行われているか否か不明瞭であるが、図１９および図２０により、推定が適切に行われていると結論付けることができる。なお、量子化誤差の推定値の平均二乗誤差は、入力に関するものが０．０６０、出力に関するものが０．０２２となっている。これに対して初期の段階での量子化誤差は、入力に関するものが０．０７９、出力に関するものが０．０９７となっている。このことからも量子化誤差の推定が進行しているといえる。
【０１０３】
上記説明では、非線形最小二乗問題をニュートン法により解くことによりプラント１の同定および量子化誤差の推定が行われるが、入力値および出力値に量子化誤差が含まれる場合であっても図４の処理と同様に係数パラメータと量子化誤差とを交互に未知数としつつ線形最小二乗法により同定および量子化誤差の推定を行うことができる。この場合、数３に相当する式は数１５となり、数５に相当する式は数１６となる。
【０１０４】
【数１５】
【０１０５】
【数１６】
【０１０６】
また、入力値のみに量子化誤差が存在する場合も図４に示す手法や非線形最小二乗問題をニュートン法により解くことで同定および量子化誤差推定を行うことが可能であり、例えば、図４に示す手法が利用される場合、数３に相当する式は数１７となり、数５に相当する式は数１８となる。数１７および数１８は数１５および数１６から出力値の量子化誤差を抜いたものである。数１５および数１７を利用する演算では、量子化誤差の上限および下限が必要に応じて制約条件となる。
【０１０７】
【数１７】
【０１０８】
【数１８】
【０１０９】
以上に例示したように、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされ量子化された時の量子化誤差を含む場合に、量子化誤差の推定、プラントの同定あるいは制御を行うとが可能である。これにより、プラント１からの入出力の分解能（例えば、プラント１が位置決め機構である場合には入力信号をサンプリングして検出するときの検出器の分解能や位置決め機構の位置検出器の分解能）が低い場合であっても分解能を超えて入力値や出力値を推定することができ、さらには、精度よく同定や制御を行うことができる。
【０１１０】
なお、上記説明において連続時間伝達関数の相対次数を利用して同定の精度を高める手法に言及したが、離散時間伝達関数の相対次数を利用して同定の精度を高めるという手法もある。例えば、離散時間伝達関数の相対次数が０次であると仮定して入出力差分方程式を設定して演算を行い、その後、離散時間伝達関数の相対次数が所定の次数となるように入出力差分方程式の係数の一部を強制的に０にすることにより同定の精度を高めることができる。
【０１１１】
＜３． 第３の実施の形態＞
第１および第２の実施の形態にて説明したプラント１の同定および量子化誤差の推定は、プラント１への信号の入力および出力に同期してコンピュータ２によりリアルタイム（以下、「オンライン」という。）にて行われてもよい。以下に、出力値のみに量子化誤差が存在する場合のオンラインでプラント１の同定および量子化誤差推定の方法、並びに、制御の方法について説明し、シミュレーション結果を示す。オンラインでの同定および量子化誤推定が行われる際のプラント１およびその周辺構成は図１と同様である。また、量子化誤差推定により出力値の推定（補正）が行われる場合の構成は図５と同様である。コンピュータ２の機能構成も図３と同様である。
【０１１２】
図２１は、オンラインでの同定および量子化誤差推定が行われる際のコンピュータ２の動作の流れを示す図である。なお、図２１におけるステップＳ３７は出力値の推定が行われる際の追加動作であり、ステップＳ３８はプラントの同定の精度を向上する際の追加動作である。
【０１１３】
まず、最初の動作としてコンピュータ２が演算に必要な複数の入力値および出力値を取得し（ステップＳ３１）、事前情報として与えられた係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）の初期値が設定される（ステップＳ３２）。なお、初期値が設定不能の場合には、量子化誤差を初期値０に設定してステップＳ３５へと移行する。
【０１１４】
次に、係数パラメータを固定して量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ ｐ）を未知数とする複数の入出力差分方程式を設定し、これらの入出力差分方程式をまとめた式を数５に示す式へと変形する（ステップＳ３３）。そして、数５を制約付き線形最小二乗推定問題として解いて量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を求める（ステップＳ３４）。
【０１１５】
量子化誤差が求められると、量子化誤差を固定して数３に示す入出力差分方程式を設定し（ステップＳ３５）、数３を線形最小二乗推定により解いて係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）を求める（ステップＳ３６）。
【０１１６】
量子化誤差の算出および係数パラメータの算出が１回行われると、時刻ｉが時刻（ｉ＋１）に更新され、新たな入力値および出力値がコンピュータ２に入力される。コンピュータ２では、既に取得されている入力値および出力値を利用しつつ演算に利用される入力値および出力値の集合が更新される（ステップＳ３９）。
【０１１７】
図２１に示す動作により量子化誤差が推定され推定出力値が求められる場合は、プラント１からの出力値に、求められた量子化誤差が加えられて推定出力値が求められる（ステップＳ３７）。例えば、現在の推定出力値を（ｙｑ（ｉ）＋δ（ｉ））として算出し、サンプリング時刻ごとにその時点で現在の推定出力値を算出する。
【０１１８】
上記のオンラインでの同定は図７に示す構成においてフィードバック制御を行う場合にも利用することができる。フィードバック制御では、現在までの推定出力値を用いて次のサンプリング時刻のフィードバック制御のフィードバック値が決められる。これにより制御性能を向上させることが実現される。また、オンラインにて同定が行われる場合には、プラント１が時不変でない場合であっても（すなわち、時間とともに係数パラメータが変化する場合であっても）、プラント１の同定および量子化誤差の推定をプラント１の変化に対してある程度追従させることができる。
【０１１９】
なお、ステップＳ３３〜Ｓ３７はサンプリングが行われるごとに行われなくてもよい。数回のサンプリングが行われるごとに同定および出力推定が行われてもよい。さらに、演算に利用する入出力差分方程式は数１５〜数１８に置き換えることが可能である。すなわち、上述のオンラインでの同定および量子化誤差の推定は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされ量子化された時の量子化誤差を含む場合に行うことが可能であり、フィードバック制御が行われる場合には入力および／または出力の量子化誤差の少なくとも一部に基づいて複数の入力値および複数の出力値の少なくとも一部が補正されてフィードバックに利用される。
【０１２０】
これにより、プラント１に対する入出力の分解能（例えば、プラント１が位置決め機構である場合には入力信号をサンプリングして検出するときの検出器の分解能や位置決め機構の位置検出器の分解能）が低い場合であっても分解能を超えて入力値や出力値をオンラインにて推定することができ、さらには、精度よくオンラインでの同定や制御を行うことができる。
【０１２１】
次に、オンラインでの同定および制御のシミュレーション結果について説明する。入力値には量子化誤差はないとし、同定対象はこれまでの例で用いたのと同じ数１の伝達関数で表されるものとする。したがって、サンプリング周波数を１ｋＨｚとすると、離散時間伝達関数は数６に示したものとなる。
【０１２２】
指令入力は数１９に示すように、２種類の周波数の正弦波の組み合わせとし、出力値は０．５の単位で切り捨てた値とされる。数１９におけるＴはサンプリング周期であり、ｋはサンプリングのタイミングに対応する整数である。
【０１２３】
【数１９】
【０１２４】
また、事前情報として離散時間伝達関数の分子は１次，分母は２次と判っているものとする。オンラインでの同定時に用いる入出力差分方程式の数（ｐ＋１）は１００、サンプリング点は１０２である。さらに、事前情報として求める連続時間系の伝達関数の相対次数が２であると判っているものとし、相対次数を利用して図２１に示す繰り返し演算が実行されるごとに伝達関数（の係数）が強制的に補正され、精度の向上が図られる（図２１のステップＳ３８）。
【０１２５】
図２２は、オンラインにて同定されたプラント１のモデルの周波数応答を示す図である。図２２において、実線はプラント１の実際の伝達関数により導かれる周波数応答を示し、ドットは求められた伝達関数の周波数応答を示す。図２２により、オンラインでの同定が十分な精度で行われていることが判る。
【０１２６】
図２３は、オンラインでの同定を行いつつフィードバック制御を行った結果を示す図である。実線は指令入力を示し、破線は制御結果である出力を示す。図２３では、０．４秒まで量子化誤差を無視して制御を行い、０．４秒以降は同定を行いつつ制御が行われている。図２３から０．４秒以降は十分な精度で指令入力に追従できることが明らかであり、フィードバック制御の性能を大幅に向上できることが判る。
【０１２７】
＜４． 他の演算手法＞
プラントの同定、量子化誤差の推定、オンラインでの同定や量子化誤差の推定等において、入出力差分方程式に対する以上に示した数学的手法は一例にすぎず、様々な他の手法が採用可能である。
【０１２８】
例えば、遺伝アルゴリズムを使用して目的関数を最小化することにより、プラントの同定と量子化誤差の推定とが同時に行われてもよい。
【０１２９】
また、オンラインでの同定において、線形最小二乗推定に代えて、次のような演算（繰り返し形最小二乗法）が行われてもよい。なお、出力値に量子化誤差がある場合の例について説明するが、入力に量子化誤差がある場合にも拡張可能である。以下の演算例は、求める離散時間伝達関数の分子が１次、分母が２次であるものとする。
【０１３０】
まず、初期設定された、あるいは、前回の繰り返し演算にて求められた係数パラメータを要素として有する１列の行列ｘ（ｉ＋ｐ）（１行目から順に、−ａ（１），−ａ（２），ｂ（１），ｂ（２）が要素となる。）を固定して数５により、量子化誤差の推定を行う。
【０１３１】
次に、推定した量子化誤差を使用して数２０を設定する。数２０における各変数は数２１に示す通りである。
【０１３２】
【数２０】
【０１３３】
【数２１】
【０１３４】
そして、数２２により新たな係数パラメータｘ（ｉ＋ｐ＋１）が求められる。数２２における各変数は数２３に示す通りである。行列の右上のｔは転置を示す。
【０１３５】
【数２２】
【０１３６】
【数２３】
【０１３７】
これらの数式内で用いるｙ（ｉ＋ｐ−１），ｙ（ｉ＋ｐ−２）に対していつのサンプリング時刻での推定値を用いるかについてはさまざま考えられる。Ｐ（ｉ＋ｐ）行列自体を最新の推定値により更新してもよい。
【０１３８】
一方、以上の説明におけるオンラインでの同定では、量子化誤差を推定するステップが必要とされている。量子化誤差の推定は制約条件を考慮しつつ線形最小二乗法を用いる方法以外の方法により行われてもよい。
【０１３９】
例えば、入力値および出力値に量子化誤差がある場合に、制約条件を外して数１６に示す行列式を数２４のように簡潔に示し（数２４のＹ，Ｃ，Ｘ，Ｅは数２０と無関係であり、数１６の左からの各行列に対応する。）、数２５に示す疑似逆行列である線形フィルタＦを用いて、数２６を導く。ただし、Ｆは２（ｐ＋ｎ＋１）×（ｐ＋１）行列である。
【０１４０】
【数２４】
【０１４１】
【数２５】
【０１４２】
【数２６】
【０１４３】
これにより、δ（ｉ＋ｐ），γ（ｉ＋ｐ）は数２７に示す演算により求められることとなる。なお、数２７においてＦ（ｐ＋ｎ＋１，：），Ｆ（２（ｐ＋ｎ＋１），：）は、それぞれ線形フィルタＦの（ｐ＋ｎ＋１）行目の要素ベクトル、２（ｐ＋ｎ＋１）行目の要素ベクトルである。
【０１４４】
【数２７】
【０１４５】
以上の演算により、量子化誤差の算出をベクトルの掛け算として迅速に行うことが実現される。なお、量子化誤差δ（ｉ＋ｐ），γ（ｉ＋ｐ）を算出する式の係数に当たるベクトルＦ（ｐ＋ｎ＋１，：），Ｆ（２（ｐ＋ｎ＋１），：）は他の方法で算出されてもよい。
【０１４６】
量子化誤差を求める場合に線形フィルタを使用する場合、数２８に示す線形フィルタＦ２が用いられてもよい。
【０１４７】
【数２８】
【０１４８】
線形フィルタＦ２を求める方法はさまざま考えられるが、プラント１の同定を行うときに求めた量子化誤差を用いて最適な線形フィルタＦ２が適宜求められてよい。ニューラルネットワーク（バックプロパゲーション法、最急降下法等）、その他の学習法を利用した学習により算出されてもよい。さらに、数２４〜数２７に至る演算や数２８の演算と同等の処理がニューラルネットワーク等による学習を利用して実現されてもよい。なお、学習の際の教師信号は既述の線形最小二乗法や非線形最小二乗法により求められて準備されてよい。
【０１４９】
線形フィルタや学習を利用する演算は、出力値のみ、または、入力値のみに量子化誤差が含まれる場合にももちろん利用可能である。例えば、出力値のみに量子化誤差が含まれる場合、数５から数２４を導き、数２５により（ｐ＋ｎ＋１）×（ｐ＋１）の行列である線形フィルタＦを求めて数２９により量子化誤差δ（ｉ＋ｐ）が求められる。
【０１５０】
【数２９】
【０１５１】
入力値のみに量子化誤差が含まれる場合、数１８から数２４を導き、数２５により（ｐ＋ｎ＋１）×（ｐ＋１）の行列である線形フィルタＦを求めて数３０により量子化誤差γ（ｉ＋ｐ）が求められる。
【０１５２】
【数３０】
【０１５３】
【発明の効果】
請求項１ないし４、並びに、請求項９および１０の発明では、精度よく入力値および／または出力値の量子化誤差を推定することができる。
【０１５４】
また、請求項２および３の発明では、量子化誤差の推定とともにプラントの同定を行うことができる。
【０１５５】
また、請求項４の発明では、さらに精度よくプラントの同定を行うことができる。
【０１５６】
請求項５の発明では、精度よくプラントの同定を行うことができる。
【０１５７】
請求項６ないし８の発明では、制御時に精度よく量子化誤差を推定することができる。
【０１５８】
また、請求項７の発明では、制御時にプラントを同定することができ、請求項８の発明では精度よく制御を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】量子化誤差の推定およびプラントの同定が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図２】コンピュータの構造を示すブロック図である。
【図３】コンピュータの機能構成を示すブロック図である。
【図４】量子化誤差の推定およびプラントの同定の流れを示す図である。
【図５】出力値の推定が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図６】出力値の推定の流れを示す図である。
【図７】量子化誤差の推定および制御が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図８】プラントの同定結果を示すボード線図である。
【図９】量子化誤差の推定結果を示す図である。
【図１０】量子化誤差の推定誤差を示す図である。
【図１１】制御結果を示す図である。
【図１２】制御結果を示す図である。
【図１３】量子化誤差の推定およびプラントの同定が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図１４】サンプリングされて量子化された後の入力値とアナログの入力信号とを示す図である。
【図１５】サンプリングされて量子化された後の出力値とアナログの出力信号とを示す図である。
【図１６】プラントの同定結果を示すボード線図である。
【図１７】入力の量子化誤差の推定結果を示す図である。
【図１８】出力の量子化誤差の推定結果を示す図である。
【図１９】入力の量子化誤差の推定誤差の分布を示す図である。
【図２０】出力の量子化誤差の推定誤差の分布を示す図である。
【図２１】オンラインでの量子化誤差の推定およびプラントの同定の流れを示す図である。
【図２２】プラントの同定結果を示すボード線図である。
【図２３】制御結果を示す図である。
【符号の説明】
１ プラント
２ コンピュータ
２１ 方程式設定部
２２ 量子化誤差算出部
２３ 係数パラメータ算出部
２０１ ＣＰＵ
２０６ａ キーボード
２０６ｂ マウス
２３１ プログラム
Ｓ１３〜Ｓ１８，Ｓ２２〜Ｓ２４，Ｓ３３〜Ｓ３８ ステップ
【発明の属する技術分野】
本発明は、プラントの入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含む場合の量子化誤差を推定する技術、プラントの同定技術、および、プラントにおける制御技術に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、多くの制御がディジタル化されており、ディジタル化された信号を用いて高精度な制御を行う際には、有限語長であることから生じる量子化誤差が問題となる。特に、最近盛んに研究が行われているナノオーダーの技術において精密な制御を行うためには、制御対象への入力値や出力値の量子化誤差が問題となる。
【０００３】
量子化誤差を考慮してプラントの状態を推定する一つの手法としては非特許文献１に示されるウィリアムソン（Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ）の研究が挙げられる。非特許文献１では、量子化誤差を白色雑音と仮定してＬＱ（ｌｉｎｅａｒ ｑｕａｄｒａｔｉｃ）問題として扱っている。
【０００４】
【非特許文献１】
Ｄ．ウィリアムソン（Ｄ． Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ）著、「ディジタル・コントロール・アンド・インプリメンテーション：フィニット・ワードレングス・コンシダレーションズ（Ｄｉｇｉｔａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ：Ｆｉｎｉｔｅ Ｗｏｒｄｌｅｎｇｔｈ Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ）」、プレンティス・ホール（Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ）、１９９１年
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
ところで、非特許文献１では量子化誤差を白色雑音として仮定しているが、量子化誤差はプラントやその周辺構成等のダイナミクスに依存し、決して白色雑音ではない。そのため、好ましくはダイナミクスや誤差の値自体を考慮してプラントの同定（いわゆるシステム同定であり、プラントのパラメータの算出に相当する。）、出力の推定、制御等を行う必要がある。
【０００６】
一方、量子化誤差の問題を克服するためには、分解能の高いセンサを利用する解決策も考えられる。しかしながら、このようなセンサは高価であり、また、低分解能のセンサを電気的に分周して高分解能にした場合、高分解能にするにしたがってセンサの出力の信頼性が低くなる。
【０００７】
エンコーダやリニアスケールで位置を検出する時にＰＬＬと呼ばれる装置により位置の検出精度を擬似的に高める方法も提案されているが、対象物体が速度変動を持って移動する場合には効果がない。
【０００８】
さらに、ナノ領域やナノ領域以下の非常に微小な領域を考慮してプラントの同定、出力検出、制御等を行う場合、精度要求を満たすセンサが存在しないか、使えない場合が多くある。
【０００９】
この発明は、上記の課題を解決するためになされたものであり、プラントの入出力データを利用して、入力信号および／または出力信号がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を推定し、その結果、入出力データの分解能（入出力のディジタル化の単位）を超える精度の入力および／または出力を得ることを目的としている。また、量子化誤差の推定時にプラントに対する正確な同定を行うことも目的としている。さらに、量子化誤差を推定しつつ制御を行うことも目的としている。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける量子化誤差の推定方法であって、ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程とを有する。
【００１１】
請求項２に記載の発明は、請求項１に記載の量子化誤差の推定方法であって、前記ｂ）工程において、前記複数の量子化誤差とともに入出力差分方程式の係数が求められる。
【００１２】
請求項３に記載の発明は、請求項２に記載の量子化誤差の推定方法であって、前記ｂ）工程が、ｂ１） 前記入出力差分方程式の係数を固定して前記目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を求める工程と、ｂ２） 前記複数の量子化誤差を固定して前記目的関数を最小とする前記入出力差分方程式の係数を求める工程と、ｂ３） 前記ｂ１）工程に戻る工程とを有する。
【００１３】
請求項４に記載の発明は、請求項２または３に記載の量子化誤差の推定方法であって、ｃ） 前記入出力差分方程式の係数を、前記伝達関数の相対次数に合わせて補正する工程をさらに有する。
【００１４】
請求項５に記載の発明は、伝達関数の次数が予め設定されたプラントの同定方法であって、ａ） 複数の入力値および複数の出力値に基づいて係数を未知数とした複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記係数を求める工程と、ｃ） 前記係数を、前記伝達関数の相対次数に合わせて補正する工程とを有する。
【００１５】
請求項６に記載の発明は、入力値および出力値の少なくとも一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける制御方法であって、ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程と、ｃ） 前記複数の量子化誤差の少なくとも一部に基づいて前記複数の入力値および前記複数の出力値の少なくとも一部を補正する工程と、ｄ） 前記ａ）工程に戻る工程とを有する。
【００１６】
請求項７に記載の発明は、請求項６に記載の制御方法であって、前記ｂ）工程において、前記複数の量子化誤差とともに入出力差分方程式の係数が求められる。
【００１７】
請求項８に記載の発明は、請求項６または７に記載の制御方法であって、前記ｃ）工程において補正された前記複数の入力値および前記複数の出力値の少なくとも一部を利用してフィードバック制御が行われる。
【００１８】
請求項９に記載の発明は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含むプラントに対する量子化誤差の推定装置であって、プラントの伝達関数の次数を設定する手段と、サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定し、前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める演算部とを備える。
【００１９】
請求項１０に記載の発明は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける量子化誤差の推定をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記プログラムのコンピュータによる実行は、前記コンピュータに、ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程とを実行させる。
【００２０】
【発明の実施の形態】
＜１． 第１の実施の形態＞
＜１．１ プラントの同定および量子化誤差推定＞
図１はプラント１に接続されたコンピュータ２を示すブロック図である。プラント１には、入力値が信号入力部１１からホールダ１２を介して入力され、プラント１からの出力信号はサンプラ１３ａを介してサンプリングされ、量子化器１３ｂにより量子化された出力値とされる。なお、プラント１は、処理、演算、動作等を行う機械的、電気的あるいは化学的機構を有するものであればどのようなものであってもよく、規模の大小を問わない。例えば、位置センサが設けられた位置決め機構、濃度センサが設けられた化学プラント等がプラント１に相当する。
【００２１】
本実施の形態では、一例として、白色雑音（標準偏差９．９４、サンプリング周波数１ｋＨｚ）の入力値がプラント１に順次入力される。出力信号は、サンプリングされて０．５の単位で切り捨てられて量子化され、一連の出力値として取得されるものとする。
【００２２】
プラント１はコンピュータ２により同定（いわゆる、システム同定）が行われ、プラント１の伝達関数は実際には数１に示すものであると仮定する。第１の実施の形態では、出力値にのみ量子化誤差が存在するものとして説明する。
【００２３】
【数１】
図２はコンピュータ２の構造を示すブロック図である。コンピュータ２は、サンプリング後の複数の入力値および複数の出力値に基づいて、出力値の量子化誤差を推定するとともにプラント１の同定を行う。図２に示すように、コンピュータ２は、各種演算処理を行うＣＰＵ２０１、基本プログラムを記憶するＲＯＭ２０２および各種情報を記憶するＲＡＭ２０３をバスラインに接続した一般的なコンピュータシステムの構成となっている。バスラインにはさらに、情報記憶を行う固定ディスク２０４、各種情報の表示を行うディスプレイ２０５、操作者からの入力を受け付けるキーボード２０６ａおよびマウス２０６ｂ、光ディスク、磁気ディスク、光磁気ディスク等のコンピュータ読み取り可能な記録媒体９１から情報の読み取りを行う読取装置２０７、並びに、通信網を介して入力値および出力値を受け取る通信部２０８が、適宜、インターフェイス（Ｉ／Ｆ）を介する等して接続される。
【００２５】
コンピュータ２には、事前に読取装置２０７を介して記録媒体９１からプログラムが読み出され、固定ディスク２０４に記憶される。そして、プログラムがＲＡＭ２０３にコピーされるとともにＣＰＵ２０１がＲＡＭ２０３内のプログラム２３１に従って演算処理を実行することにより（すなわち、コンピュータがプログラムを実行することにより）、コンピュータ２が量子化誤差の推定およびプラント１の同定を行う装置として機能する。
【００２６】
次に、コンピュータ２により量子化誤差の推定およびプラント１の同定が実現される原理について説明する。
【００２７】
まず、プラント１の伝達関数の次数は事前情報により判っている、あるいは、事前情報から所定の次数であるとみなすことができ、入出力差分方程式が数２にて表わされるものとする。
【００２８】
【数２】
数２において、ｙ（ｉ−ｎ），・・・，ｙ（ｉ）は出力値、ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ）は入力値であり、これらの添え字はサンプリング点（時刻）を示す。係数パラメータａ（１），・・・，ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）は定数であり、ｎは伝達関数の次数である。ここで、量子化誤差のある出力値を用いて、プラント１の同定とともに量子化誤差も推定する最小二乗問題を考える。量子化誤差がない場合の同定における最小二乗推定とは異なり、出力値に量子化誤差がある場合は係数パラメータと量子化誤差の積が数２に含まれるため、非線形最小二乗問題となる。
【００３０】
プラント１の入出力差分方程式を（ｐ＋１）本まとめると数３となる。
【００３１】
【数３】
数３において、ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）は量子化された（すなわち、量子化誤差を有する）出力値、ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ＋ｐ）は入力値、δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）は出力値の量子化誤差、ｅ（ｉ），・・・，ｅ（ｉ＋ｐ）は最小二乗問題にて設定される式誤差である。ここで、δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）のそれぞれには、量子化誤差の上限δｕｐ以下かつ下限δｌｗ以上であるという制約条件が与えられる。
【００３３】
数３に基づき、数４にて示される式誤差の二乗和を複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数として設定し、目的関数を最小にすることによって、係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）と量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を同時に推定することができる。
【００３４】
【数４】
上記の非線形最小二乗推定問題の解法はいくつか考えられる。コンピュータ２では、１つの解法として、係数パラメータと量子化誤差の一方を固定して２つの線形最小二乗問題の形とし、この２つの線形最小二乗問題を交互に解くことにより最適解を求める方法が採用される。
【００３６】
図３は、ＣＰＵ２０１がプログラム２３１に従って動作することにより、ＣＰＵ２０１、ＲＯＭ２０２、ＲＡＭ２０３、固定ディスク２０４等が実現する機能構成を示す図である。図４はコンピュータ２の動作の流れを示す図である。以下、図３および図４を参照しながらコンピュータ２の動作について説明する。なお、予めキーボード２０６ａやマウス２０６ｂ等によりプラント１の伝達関数の次数が設定されているものとする。
【００３７】
まず、図３中の方程式設定部２１が複数の入力値ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ＋ｐ）および複数の出力値ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）を取得し、さらに、出力値に含まれる量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を初期値０に設定する（ステップＳ１１，Ｓ１２）。次に、量子化誤差を固定して係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）を未知数として含めた複数の入出力差分方程式である数３を設定する（ステップＳ１３）。設定された複数の入出力差分方程式は係数パラメータ算出部２３へと送られ、線形最小二乗法を用いて目的関数が最小となる係数パラメータが数３から算出される（ステップＳ１４）。
【００３８】
求められた係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）は方程式設定部２１へと戻され、方程式設定部２１では係数パラメータを固定して数３が数５へと変形され、量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を未知数として含めた複数の入出力差分方程式が設定される（ステップＳ１５）。設定された入出力差分方程式は量子化誤差算出部２２へと送られ、量子化誤差の制約条件を考慮しつつ制約付き最小二乗法により目的関数が最小となる量子化誤差が求められる（ステップＳ１６）。
【００３９】
【数５】
求められた量子化誤差および目的関数の値は方程式設定部２１に戻され、目的関数の値が記憶された上でステップＳ１３〜Ｓ１６が繰り返される（ステップＳ１７）。
【００４１】
２回目以降のステップＳ１７では、前回の演算で求められた目的関数の値と今回求められた目的関数の値とが比較され、目的関数が収束したか否かが確認される。ステップＳ１３〜Ｓ１６が繰り返されている間に目的関数が所定の条件を満たすように収束した場合には、最後に求められた量子化誤差および係数パラメータが保存されて演算が終了する。
【００４２】
なお、図４ではステップＳ１８として伝達関数の相対次数に合わせて係数パラメータを補正する工程を示しているが、この補正工程については後述する。
【００４３】
また、係数パラメータはプラント１を同定する前にある程度推測できる場合が多い。その場合、事前情報として係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）の初期値を与え、ステップＳ１５から繰り返し演算が行われてもよい。
【００４４】
以上の演算により、コンピュータ２では量子化誤差が求められると同時に係数パラメータの値が求められ、プラント１の高精度な同定（システム同定）が実現される。
【００４５】
＜１．２ 出力値の推定＞
次に、図４に示す動作のうち量子化誤差を求める部分を利用することにより、制御対象の真の出力値を推定する手法について説明する。図５は制御対象であるプラント１の出力推定がコンピュータ２により行われる場合のプラント１とコンピュータ２との接続関係を示すブロック図である。図５に示す構成は基本的には図１と同様であり、コンピュータ２から推定後の出力値が出力されるという点で相違する。なお、コンピュータ２ではプラント１の同定は行われないため、コンピュータ２の機能は主として図３中の方程式設定部２１および量子化誤差算出部２２のみとなる。プラント１は既知である、または、図４に示す方法もしくは他の方法により予め同定されているものとする。
【００４６】
図６は出力推定が行われる際のコンピュータ２の動作の流れを示す図である。図３中の方程式設定部２１が複数の入力値ｕ（ｉ−ｎ），・・・，ｕ（ｉ＋ｐ）および複数の出力値ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）を取得すると（ステップＳ２１）、方程式設定部２１では量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）が未知数とされた数５に示す方程式が設定される（ステップＳ２２）。そして、設定された入出力差分方程式は量子化誤差算出部２２へと送られ、量子化誤差の制約条件を考慮しつつ制約付き最小二乗法により目的関数が最小となる量子化誤差が求められる（ステップＳ２３）。各出力値ｙｑ（ｉ−ｎ），・・・，ｙｑ（ｉ＋ｐ）には対応する量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）が加えられ、（ｙｑ＋δ）が推定出力値としてコンピュータ２から出力される（ステップＳ２４）。
【００４７】
ステップＳ２１〜Ｓ２４が高速に繰り返されることにより、リアルタイムにて推定後の出力値が得られる。なお、演算の際に準備される複数の入力値と複数の出力値とは先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっていてもよい。サンプリングの速度に対して演算が十分に速い場合には、１回のサンプリングごとにステップＳ２１〜Ｓ２４が実行されてもよい。さらに、複数の入力値と複数の出力値とが先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっている場合には、１つの出力値に対して複数回の推定が行われることから、得られた複数個の推定出力値の平均や重み付け平均により最終的な出力値が決定されてもよい。既述のプラント１の同定における推定された量子化誤差についても、複数個の量子化誤差から最終的なものが求められてよい。
【００４８】
以上のように、既知のプラント１または予め同定されたプラント１からの出力値を推定することにより、出力のサンプリングおよび量子化による分解能を超えた分解能にて出力値を取得することが実現される。
【００４９】
＜１．３ フィードバック制御＞
次に、出力検出器のサンプリングおよび量子化による分解能を超えて出力を推定することにより、制御性能を向上させる方法について説明を行う。一般に、フィードバック制御の精度は出力の検出精度に依存し、量子化された出力値をそのまま用いたのでは出力検出器の分解能を超えて制御を行うことはできない。
【００５０】
図７は量子化誤差の推定を伴う制御が行われるシステムの構成を示すブロック図である。図７では、図５に示す構成に位相進み補償回路や積分器等のコントローラ１４が組み込まれ、コンピュータ２からの推定後の出力値がコントローラ１４の前にフィードバックされる。コンピュータ２の動作は図６の通りであるが、典型的な動作例では、サンプリングごとに繰り返し演算が行われ、最も新しい時点での推定出力値（数３におけるｙｑ（ｉ＋ｐ）とδ（ｉ＋ｐ）の和）（または、最も新しい時点以前の複数の推定出力値から導かれる値）がフィードバックされる。
【００５１】
なお、量子化誤差の推定をリアルタイムに行うためにコンピュータ２よりも高速に演算を行う必要がある場合には、図３中の方程式設定部２１および量子化誤差算出部２２の機能を有する専用の電気的回路がコンピュータ２に代えて設けられる。
【００５２】
推定出力値を利用したフィードバック制御により、出力値のサンプリングおよび量子化による分解能よりも精度の高い出力値をフィードバック制御に利用することができ、制御性能を向上することが実現される。
【００５３】
なお、出力値の推定において述べたように、複数の入力値と複数の出力値とが先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっている場合には、フィードバック時点の出力値よりも過去の出力値に対して複数回の推定が行われることとなる。フィードバックの際に最新の時点での推定出力値よりも過去の出力値も利用される場合は、得られた複数個の推定出力値の平均や重み付け平均により最終的な過去の出力値が決定された上で利用されてもよい。
【００５４】
＜１．４ プラントの同定および量子化誤差推定のシミュレーション例＞
次に、上述のプラントの同定のシミュレーション例について説明する。プラント１の伝達関数は数１に示されるものとし、出力値に量子化誤差があるデータを用いて同定と量子化誤差の推定のシミュレーションを行う。入力値には量子化誤差はないものとし、定数５０に白色雑音（標準偏差９．９４、サンプリング周波数１ｋＨｚ）を加えたものが入力値として用いられる。出力値は０．５の単位で切り捨てた値が使用される。
【００５５】
入出力信号のサンプリング周波数が１ｋＨｚである場合、プラント１の離散時間伝達関数（パルス伝達関数）は数６にて表される。
【００５６】
【数６】
なお、事前情報として離散時間伝達関数の分子が１次、分母が２次であることが判っている（あるいは、設定されている。）ものとし、同定に用いる入出力差分方程式の数（ｐ＋１）を１００、サンプリング点の数を１０２とする。
【００５８】
図８に、あるサンプリング区間の１０２点のデータに基づくプラント１の同定結果の周波数応答を比較対象（設定した伝達関数の周波数応答）とともに示す。図８では、実線は数６のモデルの離散時間伝達関数から得た理想的な周波数応答を示し、ドットは量子化誤差がない場合（すなわち、出力の真値を用いることができる場合）に最小二乗推定を行って得られる周波数応答を示している。一点鎖線は量子化誤差のあるデータを用いて最小二乗推定により通常の同定を行った場合を示しており、この場合には正しく同定されないことが判る。
【００５９】
一方、図８では図４に示す手法によりプラント１を同定した場合の周波数応答を破線にて示しているが、位相に関するグラフの高周波領域を除いて理想的な周波数応答と重なっている。求められた係数パラメータと真の係数パラメータとを表１に示す。図８および表１により、十分な精度で同定できていることが判る。
【００６０】
【表１】
図９は、同定に用いられた区間における量子化誤差の推定結果を示す図である。図９では推定された量子化誤差を実線にて示し、実際の量子化誤差を破線にて示しているが、これらはほぼ重なっており、精度よく量子化誤差が求められているといえる。
【００６２】
図１０は、推定出力値が精度良く得られることを確認するために、同定に用いたものとは異なる入力値および出力値（以下、適宜、単に「データ」と呼ぶ。）による量子化誤差の推定を行った結果を示す図である。図１０では、予め既知である係数パラメータを用いて数５により、シミュレーション開始後４秒から６秒までのデータについて量子化誤差の推定を行った結果として量子化誤差の推定誤差（実際の量子化誤差と推定された量子化誤差との差）を示している。量子化誤差の推定誤差の平均値は０．００２、絶対値平均は０．０１２、標準偏差は０．０１５であり、量子化される際の切り捨ての単位０．５に対して十分な精度で推定できているといえる。
【００６３】
＜１．５ 制御のシミュレーション例＞
次に、図７に示す制御システムのシミュレーション例について説明する。第１のシミュレーションでは、指令入力を定数５０に正弦波指令入力（振幅０．４、周波数１５Ｈｚ）を加えたものとする。コントローラ１４は位相進み補償回路と積分器とを並列に接続したものである。量子化誤差の推定に用いる係数パラメータは上述のプラント１の同定方法にて求められたものを使用する。
【００６４】
図１１は、追従制御の結果を破線にて示す図であり、０．４秒までは量子化誤差の推定による出力値の推定は行っていない。その結果、０．４秒までは実線にて示す指令入力にほとんど追従できていない。これに対して、０．４〜１秒の間は出力推定が行われており、これにより、十分に指令入力に追従することが実現されている。
【００６５】
図１２は、指令入力を定数５０．１とする位置決め制御を第２のシミュレーションとして行った結果を示す図である。０．４秒までは出力推定を行わずにフィードバック制御を行い、０．４秒以降は出力推定を行っている。
【００６６】
位置決め制御ではコントローラ１４をハイゲイン化することが多いが、そのとき、出力推定を行わないと量子化誤差の影響により０．４秒までのように出力値はおよそ量子化の単位（０．５）の幅で振動する。これに対して、出力推定を行いつつフィードバック制御を行うと、０．４秒から１秒までのように若干振動的ではあるが、量子化の分解能以上の精度で位置決め制御が実現される。
【００６７】
＜２． 第２の実施の形態＞
第１の実施の形態では出力値にのみ量子化誤差がある場合を考えてきたが、次に、入力値と出力値の両方に量子化誤差がある場合について説明する。また、プラント１の同定および量子化誤差の推定を行うための数学的手法についても第１の実施の形態と異なる方法について説明する。
【００６８】
図１３は、プラント１の同定が行われる際の互いに接続されたプラント１およびコンピュータ２を示すブロック図である。なお、コンピュータ２の構成は図２に示すものと同様であり、機能構成は図３に示す方程式設定部２１に方程式を解く機能が接続され、量子化誤差算出部２２と係数パラメータ算出部２３の量子化誤差の算出と係数パラメータの算出が同時に行われる構成となる。プラント１に対する入出力はアナログ信号である。入力信号は同定を行うためにサンプラ１５ａによりサンプリングされて量子化器１５ｂにより量子化され、ディジタルデータ（入力値の集合）の形式でコンピュータ２に順次入力される。出力信号もサンプラ１３ａによりサンプリングされて量子化器１３ｂにより量子化され、ディジタルデータ（出力値の集合）の形式でコンピュータ２に入力される。そのため、入力値および出力値は量子化誤差を含んでいる。
【００６９】
次に、コンピュータ２がプラント１の同定を行う原理について説明する。ただし、プラント１の伝達関数の次数は予め判っている、または、設定されているものとする。図１３に示すプラント１においても、入出力差分方程式は数２に準じて示すことができる。ここで、離散時間モデルの同定のために、ある時間区間における式誤差の二乗和を最小にすることを考え、量子化誤差も推定する。
【００７０】
量子化された出力値をｙｑ（ｉ）、量子化された入力値をｕｑ（ｉ）とし、出力値の量子化誤差δ（ｉ）、入力値の量子化誤差γ（ｉ）を数７のように表す。
【００７１】
【数７】
これにより、時刻ｉから（ｉ＋ｐ）までの式誤差ｅ（ｉ），・・・，ｅ（ｉ＋ｐ）は数８として示される。
【００７３】
【数８】
ここで、数９にて示される式誤差の二乗和を最小化することにより係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）と量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ），γ（ｉ−ｎ），・・・，γ（ｉ＋ｐ）とを同時に算出する最適化問題を非線形最小二乗問題として扱う。
【００７５】
【数９】
式誤差の二乗和を最小化するとき、量子化誤差の制約条件は数１０のように表される。
【００７７】
【数１０】
数１０において、δｕｐおよびδｌｗはそれぞれ、出力値の量子化誤差の上限および下限であり、γｕｐおよびγｌｗはそれぞれ、入力値の量子化誤差の上限および下限である。
【００７９】
この制約条件を考慮するために数１１に示されるようにペナルティ関数が導入された目的関数Ｊを設定する。
【００８０】
【数１１】
数１１において、ρ（ｉ＋ｋ），ξ（ｉ＋ｋ）は定数重み、ｇ（ｉ＋ｋ），ｈ（ｉ＋ｋ）は量子化誤差δ（ｉ），γ（ｉ）に対するペナルティ関数である。ペナルティ関数については、例えば、数１２に示すものを用いることができる。
【００８２】
【数１２】
ここで、量子化誤差の扱い方について補足する。Ａ／Ｄ変換器、エンコーダ、リニアスケール等では信号の量子化は量子化単位により切り捨てられて算出される。この場合、δｌｗは０、δｕｐは出力値の量子化単位、γｌｗは０、γｕｐは入力の量子化単位となる。
【００８４】
しかしながら、上記のサンプリングされて量子化された後のディジタルデータを制御や同定にそのまま使用するよりも、得られた入出力値に量子化単位の半分の値を加えた修正値を用いた方が簡単に量子化誤差の悪影響を低減することができる。なぜならば、修正値の方が量子化誤差の大きさの最大値を半分の大きさとすることができるからである。この場合、上記の目的関数Ｊにおける量子化誤差による制約条件は数１３のように変更される。
【００８５】
【数１３】
目的関数Ｊで表されている非線形最小二乗問題を解く手法としては、例えば、ニュートン法が利用される。その場合の初期値は量子化誤差のある入力値および出力値から線形最小二乗法によって求めた係数パラメータが使用される。
【００８７】
なお、複数の入力値と複数の出力値とが先行する演算と後続の演算とにおいて部分的に重なっている場合には、１つの入力値または出力値に対して複数回の推定が行われることから、得られた複数個の推定入力値や推定出力値の平均や重み付け平均により最終的な入力値や出力値が決定されてもよい。
【００８８】
次に、係数パラメータと量子化誤差とを同時推定するシミュレーション例について説明する。
【００８９】
シミュレーションでは、数１にて示した連続時間伝達関数を想定する。また、連続時間伝達関数の次数は２次で相対次数は２であると仮定する。入力信号は、制御対象の位置決め指令となる定数指令３に白色雑音（分散０．４、４０Ｈｚ）を加えた信号とし、同定のためのサンプリング周波数は４０Ｈｚとする。このとき、入出力差分方程式は、数１４に示すものとなる。
【００９０】
【数１４】
また、シミュレーションでは、１００個の式誤差を使用する。このとき数８におけるｐは９９となり、１０１点の入力値および１０２点の出力値を使用する。
【００９２】
アナログの入出力信号はサンプリングされて量子化により単位１で切捨てられて量子化される。これにより、例えば、−１，２，１，０，３のような値が得られる。プラント１の同定では、これらの値に０．５を加えた値が使用される。したがって、既述のように、量子化誤差の制約条件は数１３にて示す条件となる。ただし、出力値の量子化誤差の添え字ｋは（−２）〜９９の整数であり、入力値の量子化誤差の添え字ｋは（−２）〜９８の整数である。
【００９３】
図１４は、サンプリングされて量子化された後の入力値とアナログの入力信号とを示す図であり、図１５はサンプリングされて量子化された後の出力値とアナログの出力信号とを示す図である。これらの図において、丸印が入力値または出力値を示し、実線がアナログ信号を示している。なお、量子化誤差の問題を的確に検証できるように、アナログ信号の大きさに比べて比較的大きな量子化単位が設定されている。
【００９４】
図１６は、プラント１の周波数応答と同定されたモデル（すなわち、求められた係数パラメータを有する離散時間伝達関数）の周波数応答を示している。実線は真のプラント１の周波数応答を示し、破線は量子化誤差の存在を無視して最小二乗推定により得られたモデルの周波数応答を示している。量子化誤差を無視して求められたモデルの係数パラメータは、非線形最小二乗問題をニュートン法で解く際の初期値として利用される。
【００９５】
図１６において、クロス印は目的関数Ｊの非線形最小二乗問題をニュートン法によって解くことにより得られたモデルの周波数応答を示している。このモデルは高周波数領域を除いては真のプラント１によく一致している。
【００９６】
ここで、元の連続時間伝達関数の相対次数が２であることを使うと高周波領域の特性を改善できる。具体的には、まず、求めた入出力差分方程式を連続時間系の伝達関数に変換する。これにより、分子が１次の多項式となる。そして、分子の１次の係数を０に変更して相対次数を２に強制的に補正し、連続時間系の伝達関数を離散時間の入出力差分方程式に戻す。
【００９７】
第１の実施の形態に関する図４のステップＳ１８はこのような係数パラメータの補正が実行される場合を示しており、第１の実施の形態の場合では線形最小二乗法の繰り返し演算の終了後に相対次数に合わせて係数パラメータの補正が行われることとなる。さらに、相対次数を用いた係数パラメータの補正は、量子化誤差の推定が行われずにプラントの同定のみが行われる場合にも適用することができる。なお、線形最小二乗法の繰り返し演算が行われるごとに相対次数に合わせて係数パラメータの補正が行われてもよい。
【００９８】
図１６中のドットにて示す曲線は、相対次数に合わせて補正されたモデルの周波数応答を示している。この周波数応答は、真のプラント１の周波数応答に十分一致している。最終的に推定された係数パラメータと実際のプラント１の係数とを表２に対比して示す。表２からも推定された係数パラメータは真の値に十分近いといえる。
【００９９】
【表２】
図１７および図１８は、ある０．５秒間の区間での入力値および出力値の真の量子化誤差と推定した量子化誤差とをそれぞれ示している。これらの図において、黒く塗りつぶした四角印は推定値を示しており、丸印は実際の量子化誤差を示している。
【０１０１】
図１９および図２０は１０１点の入力値と１０２点の出力値の真の量子化誤差と推定された量子化誤差との差（推定誤差）の分布を示している。図中の推定誤差の数量（縦軸）は、推定誤差の大きさを区間（０．１ｗ〜（０．１ｗ＋０．１））（ｗ＝−５，−４，・・・，４）の間で小計し、（０．１ｗ＋０．０５）の位置に示している。図１９および図２０において、上述の手法による推定結果の推定誤差は黒く塗りつぶした丸印で示され、初期の段階での量子化誤差を白い四角印にて示している。
【０１０２】
図１７および図１８では、量子化誤差の推定が適切に行われているか否か不明瞭であるが、図１９および図２０により、推定が適切に行われていると結論付けることができる。なお、量子化誤差の推定値の平均二乗誤差は、入力に関するものが０．０６０、出力に関するものが０．０２２となっている。これに対して初期の段階での量子化誤差は、入力に関するものが０．０７９、出力に関するものが０．０９７となっている。このことからも量子化誤差の推定が進行しているといえる。
【０１０３】
上記説明では、非線形最小二乗問題をニュートン法により解くことによりプラント１の同定および量子化誤差の推定が行われるが、入力値および出力値に量子化誤差が含まれる場合であっても図４の処理と同様に係数パラメータと量子化誤差とを交互に未知数としつつ線形最小二乗法により同定および量子化誤差の推定を行うことができる。この場合、数３に相当する式は数１５となり、数５に相当する式は数１６となる。
【０１０４】
【数１５】
【数１６】
また、入力値のみに量子化誤差が存在する場合も図４に示す手法や非線形最小二乗問題をニュートン法により解くことで同定および量子化誤差推定を行うことが可能であり、例えば、図４に示す手法が利用される場合、数３に相当する式は数１７となり、数５に相当する式は数１８となる。数１７および数１８は数１５および数１６から出力値の量子化誤差を抜いたものである。数１５および数１７を利用する演算では、量子化誤差の上限および下限が必要に応じて制約条件となる。
【０１０７】
【数１７】
【数１８】
以上に例示したように、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされ量子化された時の量子化誤差を含む場合に、量子化誤差の推定、プラントの同定あるいは制御を行うとが可能である。これにより、プラント１からの入出力の分解能（例えば、プラント１が位置決め機構である場合には入力信号をサンプリングして検出するときの検出器の分解能や位置決め機構の位置検出器の分解能）が低い場合であっても分解能を超えて入力値や出力値を推定することができ、さらには、精度よく同定や制御を行うことができる。
【０１１０】
なお、上記説明において連続時間伝達関数の相対次数を利用して同定の精度を高める手法に言及したが、離散時間伝達関数の相対次数を利用して同定の精度を高めるという手法もある。例えば、離散時間伝達関数の相対次数が０次であると仮定して入出力差分方程式を設定して演算を行い、その後、離散時間伝達関数の相対次数が所定の次数となるように入出力差分方程式の係数の一部を強制的に０にすることにより同定の精度を高めることができる。
【０１１１】
＜３． 第３の実施の形態＞
第１および第２の実施の形態にて説明したプラント１の同定および量子化誤差の推定は、プラント１への信号の入力および出力に同期してコンピュータ２によりリアルタイム（以下、「オンライン」という。）にて行われてもよい。以下に、出力値のみに量子化誤差が存在する場合のオンラインでプラント１の同定および量子化誤差推定の方法、並びに、制御の方法について説明し、シミュレーション結果を示す。オンラインでの同定および量子化誤推定が行われる際のプラント１およびその周辺構成は図１と同様である。また、量子化誤差推定により出力値の推定（補正）が行われる場合の構成は図５と同様である。コンピュータ２の機能構成も図３と同様である。
【０１１２】
図２１は、オンラインでの同定および量子化誤差推定が行われる際のコンピュータ２の動作の流れを示す図である。なお、図２１におけるステップＳ３７は出力値の推定が行われる際の追加動作であり、ステップＳ３８はプラントの同定の精度を向上する際の追加動作である。
【０１１３】
まず、最初の動作としてコンピュータ２が演算に必要な複数の入力値および出力値を取得し（ステップＳ３１）、事前情報として与えられた係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）の初期値が設定される（ステップＳ３２）。なお、初期値が設定不能の場合には、量子化誤差を初期値０に設定してステップＳ３５へと移行する。
【０１１４】
次に、係数パラメータを固定して量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ ｐ）を未知数とする複数の入出力差分方程式を設定し、これらの入出力差分方程式をまとめた式を数５に示す式へと変形する（ステップＳ３３）。そして、数５を制約付き線形最小二乗推定問題として解いて量子化誤差δ（ｉ−ｎ），・・・，δ（ｉ＋ｐ）を求める（ステップＳ３４）。
【０１１５】
量子化誤差が求められると、量子化誤差を固定して数３に示す入出力差分方程式を設定し（ステップＳ３５）、数３を線形最小二乗推定により解いて係数パラメータａ（１），・・・ａ（ｎ），ｂ（０），ｂ（１），・・・，ｂ（ｎ）を求める（ステップＳ３６）。
【０１１６】
量子化誤差の算出および係数パラメータの算出が１回行われると、時刻ｉが時刻（ｉ＋１）に更新され、新たな入力値および出力値がコンピュータ２に入力される。コンピュータ２では、既に取得されている入力値および出力値を利用しつつ演算に利用される入力値および出力値の集合が更新される（ステップＳ３９）。
【０１１７】
図２１に示す動作により量子化誤差が推定され推定出力値が求められる場合は、プラント１からの出力値に、求められた量子化誤差が加えられて推定出力値が求められる（ステップＳ３７）。例えば、現在の推定出力値を（ｙｑ（ｉ）＋δ（ｉ））として算出し、サンプリング時刻ごとにその時点で現在の推定出力値を算出する。
【０１１８】
上記のオンラインでの同定は図７に示す構成においてフィードバック制御を行う場合にも利用することができる。フィードバック制御では、現在までの推定出力値を用いて次のサンプリング時刻のフィードバック制御のフィードバック値が決められる。これにより制御性能を向上させることが実現される。また、オンラインにて同定が行われる場合には、プラント１が時不変でない場合であっても（すなわち、時間とともに係数パラメータが変化する場合であっても）、プラント１の同定および量子化誤差の推定をプラント１の変化に対してある程度追従させることができる。
【０１１９】
なお、ステップＳ３３〜Ｓ３７はサンプリングが行われるごとに行われなくてもよい。数回のサンプリングが行われるごとに同定および出力推定が行われてもよい。さらに、演算に利用する入出力差分方程式は数１５〜数１８に置き換えることが可能である。すなわち、上述のオンラインでの同定および量子化誤差の推定は、入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされ量子化された時の量子化誤差を含む場合に行うことが可能であり、フィードバック制御が行われる場合には入力および／または出力の量子化誤差の少なくとも一部に基づいて複数の入力値および複数の出力値の少なくとも一部が補正されてフィードバックに利用される。
【０１２０】
これにより、プラント１に対する入出力の分解能（例えば、プラント１が位置決め機構である場合には入力信号をサンプリングして検出するときの検出器の分解能や位置決め機構の位置検出器の分解能）が低い場合であっても分解能を超えて入力値や出力値をオンラインにて推定することができ、さらには、精度よくオンラインでの同定や制御を行うことができる。
【０１２１】
次に、オンラインでの同定および制御のシミュレーション結果について説明する。入力値には量子化誤差はないとし、同定対象はこれまでの例で用いたのと同じ数１の伝達関数で表されるものとする。したがって、サンプリング周波数を１ｋＨｚとすると、離散時間伝達関数は数６に示したものとなる。
【０１２２】
指令入力は数１９に示すように、２種類の周波数の正弦波の組み合わせとし、出力値は０．５の単位で切り捨てた値とされる。数１９におけるＴはサンプリング周期であり、ｋはサンプリングのタイミングに対応する整数である。
【０１２３】
【数１９】
また、事前情報として離散時間伝達関数の分子は１次，分母は２次と判っているものとする。オンラインでの同定時に用いる入出力差分方程式の数（ｐ＋１）は１００、サンプリング点は１０２である。さらに、事前情報として求める連続時間系の伝達関数の相対次数が２であると判っているものとし、相対次数を利用して図２１に示す繰り返し演算が実行されるごとに伝達関数（の係数）が強制的に補正され、精度の向上が図られる（図２１のステップＳ３８）。
【０１２５】
図２２は、オンラインにて同定されたプラント１のモデルの周波数応答を示す図である。図２２において、実線はプラント１の実際の伝達関数により導かれる周波数応答を示し、ドットは求められた伝達関数の周波数応答を示す。図２２により、オンラインでの同定が十分な精度で行われていることが判る。
【０１２６】
図２３は、オンラインでの同定を行いつつフィードバック制御を行った結果を示す図である。実線は指令入力を示し、破線は制御結果である出力を示す。図２３では、０．４秒まで量子化誤差を無視して制御を行い、０．４秒以降は同定を行いつつ制御が行われている。図２３から０．４秒以降は十分な精度で指令入力に追従できることが明らかであり、フィードバック制御の性能を大幅に向上できることが判る。
【０１２７】
＜４． 他の演算手法＞
プラントの同定、量子化誤差の推定、オンラインでの同定や量子化誤差の推定等において、入出力差分方程式に対する以上に示した数学的手法は一例にすぎず、様々な他の手法が採用可能である。
【０１２８】
例えば、遺伝アルゴリズムを使用して目的関数を最小化することにより、プラントの同定と量子化誤差の推定とが同時に行われてもよい。
【０１２９】
また、オンラインでの同定において、線形最小二乗推定に代えて、次のような演算（繰り返し形最小二乗法）が行われてもよい。なお、出力値に量子化誤差がある場合の例について説明するが、入力に量子化誤差がある場合にも拡張可能である。以下の演算例は、求める離散時間伝達関数の分子が１次、分母が２次であるものとする。
【０１３０】
まず、初期設定された、あるいは、前回の繰り返し演算にて求められた係数パラメータを要素として有する１列の行列ｘ（ｉ＋ｐ）（１行目から順に、−ａ（１），−ａ（２），ｂ（１），ｂ（２）が要素となる。）を固定して数５により、量子化誤差の推定を行う。
【０１３１】
次に、推定した量子化誤差を使用して数２０を設定する。数２０における各変数は数２１に示す通りである。
【０１３２】
【数２０】
【数２１】
そして、数２２により新たな係数パラメータｘ（ｉ＋ｐ＋１）が求められる。数２２における各変数は数２３に示す通りである。行列の右上のｔは転置を示す。
【０１３５】
【数２２】
【数２３】
これらの数式内で用いるｙ（ｉ＋ｐ−１），ｙ（ｉ＋ｐ−２）に対していつのサンプリング時刻での推定値を用いるかについてはさまざま考えられる。Ｐ（ｉ＋ｐ）行列自体を最新の推定値により更新してもよい。
【０１３８】
一方、以上の説明におけるオンラインでの同定では、量子化誤差を推定するステップが必要とされている。量子化誤差の推定は制約条件を考慮しつつ線形最小二乗法を用いる方法以外の方法により行われてもよい。
【０１３９】
例えば、入力値および出力値に量子化誤差がある場合に、制約条件を外して数１６に示す行列式を数２４のように簡潔に示し（数２４のＹ，Ｃ，Ｘ，Ｅは数２０と無関係であり、数１６の左からの各行列に対応する。）、数２５に示す疑似逆行列である線形フィルタＦを用いて、数２６を導く。ただし、Ｆは２（ｐ＋ｎ＋１）×（ｐ＋１）行列である。
【０１４０】
【数２４】
【数２５】
【数２６】
これにより、δ（ｉ＋ｐ），γ（ｉ＋ｐ）は数２７に示す演算により求められることとなる。なお、数２７においてＦ（ｐ＋ｎ＋１，：），Ｆ（２（ｐ＋ｎ＋１），：）は、それぞれ線形フィルタＦの（ｐ＋ｎ＋１）行目の要素ベクトル、２（ｐ＋ｎ＋１）行目の要素ベクトルである。
【０１４４】
【数２７】
以上の演算により、量子化誤差の算出をベクトルの掛け算として迅速に行うことが実現される。なお、量子化誤差δ（ｉ＋ｐ），γ（ｉ＋ｐ）を算出する式の係数に当たるベクトルＦ（ｐ＋ｎ＋１，：），Ｆ（２（ｐ＋ｎ＋１），：）は他の方法で算出されてもよい。
【０１４６】
量子化誤差を求める場合に線形フィルタを使用する場合、数２８に示す線形フィルタＦ２が用いられてもよい。
【０１４７】
【数２８】
線形フィルタＦ２を求める方法はさまざま考えられるが、プラント１の同定を行うときに求めた量子化誤差を用いて最適な線形フィルタＦ２が適宜求められてよい。ニューラルネットワーク（バックプロパゲーション法、最急降下法等）、その他の学習法を利用した学習により算出されてもよい。さらに、数２４〜数２７に至る演算や数２８の演算と同等の処理がニューラルネットワーク等による学習を利用して実現されてもよい。なお、学習の際の教師信号は既述の線形最小二乗法や非線形最小二乗法により求められて準備されてよい。
【０１４９】
線形フィルタや学習を利用する演算は、出力値のみ、または、入力値のみに量子化誤差が含まれる場合にももちろん利用可能である。例えば、出力値のみに量子化誤差が含まれる場合、数５から数２４を導き、数２５により（ｐ＋ｎ＋１）×（ｐ＋１）の行列である線形フィルタＦを求めて数２９により量子化誤差δ（ｉ＋ｐ）が求められる。
【０１５０】
【数２９】
入力値のみに量子化誤差が含まれる場合、数１８から数２４を導き、数２５により（ｐ＋ｎ＋１）×（ｐ＋１）の行列である線形フィルタＦを求めて数３０により量子化誤差γ（ｉ＋ｐ）が求められる。
【０１５２】
【数３０】
【発明の効果】
請求項１ないし４、並びに、請求項９および１０の発明では、精度よく入力値および／または出力値の量子化誤差を推定することができる。
【０１５４】
また、請求項２および３の発明では、量子化誤差の推定とともにプラントの同定を行うことができる。
【０１５５】
また、請求項４の発明では、さらに精度よくプラントの同定を行うことができる。
【０１５６】
請求項５の発明では、精度よくプラントの同定を行うことができる。
【０１５７】
請求項６ないし８の発明では、制御時に精度よく量子化誤差を推定することができる。
【０１５８】
また、請求項７の発明では、制御時にプラントを同定することができ、請求項８の発明では精度よく制御を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】量子化誤差の推定およびプラントの同定が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図２】コンピュータの構造を示すブロック図である。
【図３】コンピュータの機能構成を示すブロック図である。
【図４】量子化誤差の推定およびプラントの同定の流れを示す図である。
【図５】出力値の推定が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図６】出力値の推定の流れを示す図である。
【図７】量子化誤差の推定および制御が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図８】プラントの同定結果を示すボード線図である。
【図９】量子化誤差の推定結果を示す図である。
【図１０】量子化誤差の推定誤差を示す図である。
【図１１】制御結果を示す図である。
【図１２】制御結果を示す図である。
【図１３】量子化誤差の推定およびプラントの同定が行われる際のプラントとコンピュータとの接続関係を示すブロック図である。
【図１４】サンプリングされて量子化された後の入力値とアナログの入力信号とを示す図である。
【図１５】サンプリングされて量子化された後の出力値とアナログの出力信号とを示す図である。
【図１６】プラントの同定結果を示すボード線図である。
【図１７】入力の量子化誤差の推定結果を示す図である。
【図１８】出力の量子化誤差の推定結果を示す図である。
【図１９】入力の量子化誤差の推定誤差の分布を示す図である。
【図２０】出力の量子化誤差の推定誤差の分布を示す図である。
【図２１】オンラインでの量子化誤差の推定およびプラントの同定の流れを示す図である。
【図２２】プラントの同定結果を示すボード線図である。
【図２３】制御結果を示す図である。
【符号の説明】
１ プラント
２ コンピュータ
２１ 方程式設定部
２２ 量子化誤差算出部
２３ 係数パラメータ算出部
２０１ ＣＰＵ
２０６ａ キーボード
２０６ｂ マウス
２３１ プログラム
Ｓ１３〜Ｓ１８，Ｓ２２〜Ｓ２４，Ｓ３３〜Ｓ３８ ステップ
Claims (10)
- 入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける量子化誤差の推定方法であって、
ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、
ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程と、
を有することを特徴とする量子化誤差の推定方法。 - 請求項１に記載の量子化誤差の推定方法であって、
前記ｂ）工程において、前記複数の量子化誤差とともに入出力差分方程式の係数が求められることを特徴とする量子化誤差の推定方法。 - 請求項２に記載の量子化誤差の推定方法であって、
前記ｂ）工程が、
ｂ１） 前記入出力差分方程式の係数を固定して前記目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を求める工程と、
ｂ２） 前記複数の量子化誤差を固定して前記目的関数を最小とする前記入出力差分方程式の係数を求める工程と、
ｂ３） 前記ｂ１）工程に戻る工程と、
を有することを特徴とする量子化誤差の推定方法。 - 請求項２または３に記載の量子化誤差の推定方法であって、
ｃ） 前記入出力差分方程式の係数を、前記伝達関数の相対次数に合わせて補正する工程をさらに有することを特徴とする量子化誤差の推定方法。 - 伝達関数の次数が予め設定されたプラントの同定方法であって、
ａ） 複数の入力値および複数の出力値に基づいて係数を未知数とした複数の入出力差分方程式を設定する工程と、
ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記係数を求める工程と、
ｃ） 前記係数を、前記伝達関数の相対次数に合わせて補正する工程と、
を有することを特徴とするプラントの同定方法。 - 入力値および出力値の少なくとも一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける制御方法であって、
ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、
ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程と、
ｃ） 前記複数の量子化誤差の少なくとも一部に基づいて前記複数の入力値および前記複数の出力値の少なくとも一部を補正する工程と、
ｄ） 前記ａ）工程に戻る工程と、
を有することを特徴とする制御方法。 - 請求項６に記載の制御方法であって、
前記ｂ）工程において、前記複数の量子化誤差とともに入出力差分方程式の係数が求められることを特徴とする制御方法。 - 請求項６または７に記載の制御方法であって、
前記ｃ）工程において補正された前記複数の入力値および前記複数の出力値の少なくとも一部を利用してフィードバック制御が行われることを特徴とする制御方法。 - 入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含むプラントに対する量子化誤差の推定装置であって、
プラントの伝達関数の次数を設定する手段と、
サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定し、前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める演算部と、
を備えることを特徴とする量子化誤差の推定装置。 - 入力値および出力値の少なくともいずれか一方がサンプリングされて量子化された時の量子化誤差を含み、伝達関数の次数が予め設定されたプラントにおける量子化誤差の推定をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記プログラムのコンピュータによる実行は、前記コンピュータに、
ａ） サンプリングされて量子化された複数の入力値および複数の出力値に基づいて複数の量子化誤差を未知数として含めた複数の入出力差分方程式を設定する工程と、
ｂ） 前記複数の入出力差分方程式の誤差の程度を示す目的関数を最小とする前記複数の量子化誤差を前記複数の入出力差分方程式から求める工程と、
を実行させることを特徴とするプログラム。
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