JP2003194686A - 応力−ひずみ関係シミュレート方法および除荷過程における降伏点を求める方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 応力−ひずみ曲線において、除荷過程におけ
る降伏点から塑性ひずみが増大する領域も含め、実験結
果と高い精度で整合するシミュレーション方法を提供す
ることである。 【解決手段】 Ｓ１は、除荷過程降伏点算出工程で、応
力σ−ひずみε曲線から、各応力値に付き接線勾配δσ
／δεを算出し、応力σの変化に対する接線勾配δσ／
δεの変化が線形性から外れる点を除荷過程における降
伏点として算出する。Ｓ３は、降伏点以外の実験値取得
工程で、応力−ひずみ関係を、実験により複数の離散値
として取得する。Ｓ５は、係数関数同定工程で、複数の
離散値から係数関数を同定する。同定された係数関数を
用いて、塑性構成式である降伏関数を定め、応力−塑性
ひずみ関係を算出する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、弾塑性材料の応力
−ひずみ関係シミュレート方法および除荷過程における
降伏点を求める方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】材料を金型内でプレス加工により外力を
加えて塑性領域まで変形させ、その後金型から取出し製
品を得る場合、塑性加工後外力が取り除かれる除荷の
際、材料の変形量がいくらか元に戻る、いわゆるスプリ
ングバック現象が起こる。この除荷過程に起こるスプリ
ングバック量は、製品の外形寸法に影響を与えるので、
予めスプリングバック量を予測し金型形状、加工条件に
盛り込む必要がある。

【０００３】一般的な弾塑性材料の応力−ひずみ曲線
を、横軸にひずみ、縦軸に応力を取って示した図６を用
いて、スプリングバック現象の様子を示す。材料に引っ
張りの外力を与えると、弾性変形領域を経て、降伏点Ａ
を境に塑性変形が起こる。この降伏点Ａは、材料の塑性
変形がはじめて開始されるときの降伏点であるから、特
に初期降伏点と名づけ、そのときの応力を初期降伏応力
Ｙ₀ということとする。初期降伏点Ａを越えてさらに外
力を与え続け、材料を塑性変形させ、所望の形状に対応
する所定ひずみに至る点Ｂで加工をやめ、そこで外力を
除荷し取り除く。塑性変形した材料から外力を取り除く
と、材料内の残留応力がバランスするバランス点Ｄの状
態までいくらかひずみが元へもどり、このようにしてス
プリングバック現象が起こる。

【０００４】スプリングバック量は、除荷点Ｂのときの
ひずみ量と、バランス点Ｄにおけるひずみ量との差で与
えられる。除荷点Ｂの後、材料は、まず弾性特性に従っ
て逆方向に戻る。等方硬化モデルと呼ばれるモデルで
は、応力ゼロの点Ｃに対し、除荷点Ｂと対象の点Ｅまで
弾性領域と考えるので、バランス点Ｄに対応する弾性特
性曲線上の図示したひずみｄ１から、スプリングバック
量を予測することになる。

【０００５】しかし、実際上ほとんどの材料は、点Ｅよ
り少ない応力下の点Ｆで降伏が起こり、弾性特性から外
れる。この降伏を、初期降伏点と区別し、除荷過程にお
ける降伏点Ｆということにする。除荷過程の降伏点Ｆ以
後の材料の応力―ひずみ曲線は、最初の引張り塑性変形
のときの初期降伏点Ａと除荷点Ｂの間の応力―ひずみ曲
線より、より傾きが大きくなる。このように、除荷後に
おいて、降伏点が低下し、応力―ひずみ曲線の傾きがよ
り大きくなる現象は、バウシンガ効果と呼ばれる。バウ
シンガ効果を考慮してもその評価いかんにより、バラン
ス点Ｄにおけるひずみ量が図示したｄ２かｄ３により、
スプリングバック量の予測に差が生ずる。

【０００６】したがって、スプリングバック量の正確な
予測のためには、バウシンガ効果を表現できる応力―ひ
ずみ関係の精度良いシミュレートが必要である。特開２
０００―２７５１５４は、弾塑性材料の応力−ひずみ関
係を、等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組合せた複
合硬化モデルで近似し、応力−ひずみ関係を与える塑性
構成式としての降伏関数を、等方硬化量と背応力とを変
数とする関数として定義し、その材料のバウシンガ効果
を表現する応力−ひずみ関係をシミュレートする方法を
開示している。ここにおいて、背応力は、線形移動硬化
の成分と非線形移動硬化の成分とからなり、材料の相当
塑性ひずみを変数とする係数関数を有する背応力関数で
定義する。

【０００７】すなわち、降伏関数（ｆ）を、式（１）で
表す２次降伏関数を用いる。

【数４】 ｆ＝（１／２）＊［（Ｓ_x−α´_x）²＋（Ｓ_y−α´_y）²＋（Ｓ_z−α´_z）²＋２ （Ｓ_xy−α´_xy）²＋２（Ｓ_yz−α´_yz）²＋２（Ｓ_zx−α´_zx）²］−（１／３ ）＊（Ｙ₀＋Ｒ）² （１） ここで、Ｓ_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）は、指標ｉに対応する
座標系に垂直な面に作用する垂直応力σ_iに関する偏差
応力、Ｓ_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）は、指標ｉに対応す
る座標系に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向
に作用するせん断応力σ_ijに関する偏差応力、α´
_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）は、指標ｉに対応する座標系に垂
直な面に作用する背応力に関する偏差成分、α´
_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）は、指標ｉに対応する座標系
に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用す
る背応力に関する偏差成分、Ｙ₀は、材料の塑性変形が
はじめて開始されるときの降伏応力である初期降伏応
力、Ｒは等方硬化量である。

【０００８】また、背応力の偏差成分（α´_i，α
´_ij）をあらわすテンソル[α´]につき、数式（２）で
表せる背応力関数とする。ここで、多次テンソルである
塑性ひずみをスカラー量で表現する相当塑性ひずみ（ε
^p _eq）を用いている。

【数５】 [α´]＝[α´１]＋[α´２] [ｄα´１]＝Ｃ［２／３（ａ＊[ｄε^p]）−ｄε^p _eq＊[α´１]］ [ｄα´２]＝２／３（Ｈ＊[ｄε^p]） Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2 （２） ここで、[α´１]は、背応力のうち移動硬化の非線形性
に依存する成分である第一背応力偏差成分を表すテンソ
ル、[α´２]は、背応力のうち移動硬化の線形性に依存
する成分である第二背応力偏差成分を表すテンソル、
[ｄε^p]は、塑性ひずみ増分を表すテンソル、ｄε
^p _eqは、相当塑性ひずみ増分、ε₀は、相当塑性ひずみε
^p _eqが０である場合に、Ｃが無限大となることを防止す
るための変数、Ｃは、非線形移動硬化の収束の速さを表
す係数、Ｃ´は、定数、（２／３）ａは、非線形移動硬
化の収束値、Ｈは、線形移動硬化の大きさを表す係数で
ある。

【０００９】また、上記線形移動硬化の大きさを表す係
数Ｈは、相当塑性ひずみ（ε^p _eq）の大きさにより、式
（３）で示す関数とした。

【数６】 ε^p _eq＜ε１のとき Ｈ＝Ｈ１ ε１＜ε^p _eq＜ε２のとき Ｈ＝ｐ＊ｌｎ（ε^p _eq）＋ｑ ε２＜ε^p _eqのとき Ｈ＝Ｈ２ （３）

【００１０】さらに、等方硬化量（Ｒ）は、式（４）の
関数とした。

【数７】ｄＲ＝ｂ＊（ｄε^p _eq） （４）

【００１１】このように、特開２０００―２７５１５４
に開示される応力−ひずみ関係をシミュレートする方法
においては、応力−ひずみ関係を与える塑性構成式とし
ての降伏関数に含まれる係数を、相当塑性ひずみ（ε^p
_eq）の関数である係数関数とした。そして、応力−ひず
み関係の実験値を複数の離散値として取得し、取得され
た複数の実験値に基き、係数関数を同定し、同定により
定まった塑性構成式を用いて、応力−ひずみ関係をシミ
ュレートする。

【００１２】

【発明が解決しようとする課題】上記従来技術を用いる
ことで、対象加工に用いる材料と材質が実質的に同一な
標準試験片により、試験片について応力−ひずみ関係の
実験を行い、複数の離散的な実験値から係数関数を同定
し、試験片についての塑性構成式を得ることができる。
そして、求まった塑性構成式と有限要素法を用いて、実
際の被加工材料の複雑な三次元形状の加工の各段階をシ
ミュレートし、スプリングバック量を予測することがで
きる。

【００１３】上記従来技術を用いるに当たり、除荷過程
における降伏点を求める必要がある。この除荷過程にお
ける降伏点以後の相当塑性ひずみ（ε^p _eq）の関数とし
て、各係数関数が定められているからである。材料の降
伏点を定める方法で代表的な例を図７、図８に示す。第
一の方法は、図７に示すように、応力−ひずみ曲線で、
顕著な一次降伏Ｘ、二次降伏Ｙが観察されるときにこれ
らを降伏点とする方法である。しかし、除荷過程におけ
る降伏は、このような顕著な一次降伏Ｘ、二次降伏Ｙが
観察されないので用いることができない。第二の方法
は、顕著な一次降伏Ｘ、二次降伏Ｙが観察されない材料
につき、図８に示すように、除荷後に残る塑性ひずみが
０．２％となる印加応力点Ｚを降伏点とする方法であ
る。しかし、バウシンガ効果の現われる除荷過程におい
て、塑性ひずみ０．２％という値は、かなり塑性領域に
入った後であり、このときを降伏点としてシミュレート
するときは、スプリングバック量を正確に予測できず、
不適当である。

【００１４】これらの従来の各方法に対し、本発明者等
は、図９に示す第三の方法を考案した。すなわち、第三
の方法は、応力−ひずみ曲線において、特性曲線の勾配
が変化する点を降伏点とする方法である。この方法によ
れば、上記第一、第二の方法のもつ欠点は解決できる。
すなわち、図示するように、除荷過程における応力−ひ
ずみ曲線は、除荷点から初期のうちは直線的な特性をも
つので、この直線から特性曲線の勾配が外れる点を、除
荷過程における降伏点Ｘ０として用いる。

【００１５】上記第三の方法で求めた除荷過程における
降伏点を用い、従来技術による塑性構成式に基き、応力
−ひずみ関係をシミュレートし、実験値と比較した結果
が図１０である。このように、この方法によって、実際
のバウシンガ効果のデータ１と、シミュレーション結果
３との間で、除荷過程において塑性ひずみの大きい領域
では、良い近似が得られた。

【００１６】しかし、この第三の方法では、除荷過程に
おける応力−ひずみ曲線の勾配が変化する点を除荷過程
における降伏点とするとき、求めた降伏点にばらつきが
生ずることが本発明者等の解析により判明した。また、
応力−ひずみ曲線において、除荷過程における降伏点か
ら塑性ひずみが増大する領域では、実際のバウシンガ効
果のデータ１と、シミュレーション結果３との間にかな
りの差異があり、スプリングバック量の予測に大きな狂
いが出ることも明らかになった。

【００１７】本発明は、かかる従来技術の課題を解決
し、除荷過程における降伏点をばらつき少なく求め、ま
た応力−ひずみ曲線において、除荷過程における降伏点
から塑性ひずみが増大する領域も含め、実験結果と高い
精度で整合する、弾塑性材料の応力−ひずみ関係シミュ
レート方法および除荷過程における降伏点を求める方法
を提供することである。

【００１８】

【課題を解決するための手段】本発明は、従来技術の課
題につき、除荷過程、特に弾性領域から塑性領域へ遷移
する領域を注意深く解析することで二つの新しい知見を
得たことに基く。その一は、この遷移領域において、応
力−ひずみ曲線の接線勾配の変化が特徴的であり、この
ことから除荷過程における降伏点をばらつき少なく求め
られることを見出したことである。その二は、このよう
にして求めた、ばらつきが少なく精度の高い除荷過程に
おける降伏点を用いたとき、従来技術の係数関数は、実
際のバウシンガ効果を表現するには十分でないことが明
らかになり、これに代わる係数関数を見出したことであ
る。最初にこれらの内容を説明する。

【００１９】１．除荷過程における降伏点について図１
は、除荷過程における応力σ−ひずみε曲線において、
接線勾配δσ／δεを各応力値に付き算出し、横軸に応
力、縦軸に接線勾配δσ／δεをとって示した図であ
る。この図から明らかなように、接線勾配δσ／δεの
挙動は、四つの領域に分けることができる。第一の領域
（１）は、除荷点近傍の応力状態における領域で、接線
勾配δσ／δεは高い値であるが、応力の変化につれ、
小さな変化率で直線的に変化する。第二の領域（２）で
は、除荷点からの応力の差が大きくなるにつれ、接線勾
配δσ／δεの値は非線形的に小さくなる。第三の領域
（３）では、応力の変化に対し接線勾配δσ／δεは大
きな変化率でほぼ直線的に減少する。第四の領域（４）
では、応力の変化に対し、接線勾配δσ／δεはゼロに
むけて非線形的に小さくなる。

【００２０】除荷過程における応力−ひずみ曲線の勾配
が変化する点を除荷過程における降伏点とする従来の方
法では、接線勾配δσ／δεが一定の領域を前提として
いたが、実験結果からは、そのような領域はみられな
い。したがって、応力−ひずみ曲線の勾配が変化する点
を求めようとしてもばらつく結果になる。

【００２１】そこで、図１における接線勾配δσ／δε
と応力σとの関係を注意深く解析すると、接線勾配δσ
／δεは応力の変化につれ低下してゆくが、初期の段階
ではその変化は小さく、直線的に変化し、次いで直線的
変化が非線形的になって、接線勾配δσ／δεの低下も
急に大きく起こる。したがって、接線勾配δσ／δεと
応力σとの関係が線形性から外れる点を、応力−ひずみ
関係が実質的に変化する点と考え、これを除荷過程にお
ける降伏点と考えることができる。すなわち、図１にお
ける第一の領域と第二の領域の境界点を除荷過程におけ
る降伏点と定める。

【００２２】材料の除荷過程における応力σ−ひずみε
曲線が与えられれば、接線勾配δσ／δεと応力σとの
関係が線形性から外れる点は一意に定めることができる
ので、この方法により、除荷過程における降伏点をばら
つき少なく求めることができる。

【００２３】２．係数関数について 図２は、このようにして求めた、ばらつきが少なく精度
の高い除荷過程における降伏点を用い、塑性構成式は、
実験値により同定した係数関数を有する塑性構成式に基
いて、応力−ひずみ関係をシミュレートした結果を示
す。実際のバウシンガ効果のデータ５と、シミュレーシ
ョン結果７との間に差異がある。このように、除荷過程
における降伏点を一意に定めたときに、従来の係数関数
を用いたのでは、実際のバウシンガ効果を十分表現でき
ない。

【００２４】そこで、係数関数を注意深く解析し、以下
の係数関数を用いることで、実際のバウシンガ効果を十
分表現できることを見出した。すなわち、等方硬化量
（Ｒ）と背応力関数の係数とを、相当塑性ひずみ（ε^p
_eq）と除荷開始時の相当塑性ひずみ（ε^p _T）を変数とす
る係数関数とする。

【００２５】そして、等方硬化量（Ｒ）は、従来技術で
は式（４）で示すように相当塑性ひずみ（ε^p _eq）の線
形関数であったものを、式（５）で示される非線形関数
とする。

【数８】Ｒ＝Ｋ＊（ε^p _eq）ⁿ （５） ここで、Ｋ、ｎは材料で定まる定数である。

【００２６】また、線形移動硬化の大きさを表す係数
（Ｈ）は、従来技術では式（３）で示すように、相当塑
性ひずみ（ε^p _eq）の大きさにより三つの場合に分け、
相当塑性ひずみ（ε^p _eq）の小さい第一の場合等は定数
であったものを、全領域にわたり相当塑性ひずみ（ε^p
_eq）の関数とする。関数として、例えば式（６）を用い
ることができる。

【数９】Ｈ＝ｐ＊（ε^p _eq）＋ｑ （６）

【００２７】また、非線形移動硬化の収束の速さを表す
係数Ｃを式（７）で表すとき、ε₀は、従来技術では定
数であったものを、除荷時の相当塑性ひずみ（ε^p _T）の
関数とする。

【数１０】 Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2 （７）

【００２８】図３は、等方硬化量（Ｒ）、線形移動硬化
の大きさを表す係数（Ｈ）および非線形移動硬化の収束
の速さを表す係数Ｃを表す式の中のε₀につき、上記見
出した関数を適用し、応力−ひずみ関係をシミュレート
した結果を示す。実際のバウシンガ効果のデータ９と、
シミュレーション結果１１とは良い一致を示す。このよ
うに、適切な関数の係数関数とすることで、実際のバウ
シンガ効果を十分に表現できる。

【００２９】３．課題解決手段 本発明の目的を達成するため、本発明に係る応力−ひず
み関係シミュレート方法は、弾塑性材料の応力−ひずみ
関係を、等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組合せた
複合硬化モデルで近似し、応力−ひずみ関係を与える塑
性構成式としての降伏関数を、等方硬化量と背応力を変
数とする関数で定義し、ここで背応力は、線形移動硬化
の成分と非線形移動硬化の成分とからなり、材料の相当
塑性ひずみを変数とする係数関数を有する背応力関数で
定義して、弾塑性材料のバウシンガー効果を表現する応
力−ひずみ関係をシミュレートする方法であって、前記
等方硬化量Ｒと、背応力関数の係数とを、相当塑性ひず
み（ε^p _eq）と除荷開始時の相当塑性ひずみ（ε^p _T）を
変数とする係数関数とし、等方硬化量Ｒは、Ｒ＝Ｋ＊
（ε^p _eq）ⁿ、線形移動硬化の大きさを表す係数Ｈは、相
当塑性ひずみε^p _eqの関数、非線形移動硬化の収束の速
さを表す係数Ｃを、Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2
と表すときのε₀は、ε^p _Tの関数、とし、応力−ひずみ
関係の実験値を複数の離散値として取得する実験値取得
工程と、材料で定まるＫ、ｎ、Ｃ´を含め前記係数関数
を、前記複数の実験値に基き同定する係数関数同定工程
と、を含み、前記同定された係数関数を用い、応力−ひ
ずみ関係をシミュレートすることを特徴とする。

【００３０】また、本発明に係る応力−ひずみ関係シミ
ュレート方法において、前記実験値取得工程において、
さらに、引張り応力を加え、塑性ひずみを生じさせた
後、引張り応力を除荷する除荷過程において、応力−ひ
ずみ曲線における接線勾配δσ／δεを各応力値に付き
算出し、前記接線勾配δσ／δεと応力σとの関係が線
形性から外れる点を除荷過程における降伏点として算出
する降伏点算出工程を備え、この算出された降伏点以降
のひずみから相当塑性ひずみε^p _eqを求めることを特徴
とする。

【００３１】また、本発明に係る応力−ひずみ関係シミ
ュレート方法において、Ｓ_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指
標ｉに対応する座標系に垂直な面に作用する垂直応力σ
_iに関する偏差応力、Ｓ_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、
指標ｉに対応する座標系に垂直な面に、指標ｊに対応す
る座標軸の方向に作用するせん断応力σ_ijに関する偏差
応力、α´_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指標ｉに対応する
座標系に垂直な面に作用する背応力に関する偏差成分、
α´_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指標ｉに対応する座
標系に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作
用する背応力に関する偏差成分、Ｙ₀を、材料の塑性変
形がはじめて開始されるときの降伏応力である初期降伏
応力、としたとき、前記降伏関数（ｆ）は、

【数１１】ｆ＝（１／２）＊［（Ｓ_x−α´_x）²＋（Ｓ_y
−α´_y）²＋（Ｓ_z−α´_z）²＋２（Ｓ_xy−α´_xy）²＋
２（Ｓ_yz−α´_yz）²＋２（Ｓ_zx−α´_zx）²］−（１／
３）＊（Ｙ₀＋Ｒ）² であることを特徴とする。

【００３２】また、本発明に係る応力−ひずみ関係シミ
ュレート方法において、Ｓ_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指
標ｉに対応する座標系に垂直な面に作用する垂直応力σ
_iに関する拡張偏差応力、Ｓ_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）
を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に、指標ｊに対
応する座標軸の方向に作用するせん断応力σ_ijに関する
拡張偏差応力、α´_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指標ｉに
対応する座標系に垂直な面に作用する背応力に関する偏
差成分、α´_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指標ｉに対
応する座標系に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の
方向に作用する背応力に関する偏差成分、Ｙ₀を、材料
の塑性変形がはじめて開始されるときの降伏応力である
初期降伏応力、としたとき、 前記降伏関数（ｆ）は、

【数１２】ｆ＝（１／４）＊［（Ｓ_x−α´_x）⁴＋（Ｓ_y
−α´_y）⁴＋（Ｓ_z−α´_z）⁴＋２（Ｓ_xy−α´_xy）⁴＋
２（Ｓ_yz−α´_yz）⁴＋２（Ｓ_zx−α´_zx）⁴］−（１／
９）＊（Ｙ₀＋Ｒ）⁴ であることを特徴とする。

【００３３】また、本発明に係る応力−ひずみ関係シミ
ュレート方法において、[α´１]を、背応力のうち移動
硬化の非線形性に依存する成分である第一背応力偏差成
分を表すテンソル、[α´２]を、背応力のうち移動硬化
の線形性に依存する成分である第二背応力偏差成分を表
すテンソル、[ｄε^p]を、塑性ひずみ増分を表すテンソ
ル、ｄε^p _eqを、相当塑性ひずみ増分、Ｃを、非線形移
動硬化の収束の速さを表す係数、Ｃ´を、定数、（２／
３）ａを、非線形移動硬化の収束値、ε₀を、相当塑性
ひずみε^p _eqが０である場合に、Ｃが無限大となること
を防止するための変数、Ｈを、線形移動硬化の大きさを
表す係数、としたとき、前記背応力の偏差成分（α´）
をあらわすテンソル[α´]は、

【数１３】[α´]＝[α´１]＋[α´２] [ｄα´１]＝Ｃ［２／３（ａ＊[ｄε^p]）−ｄε^p _eq＊
[α´１]］ [ｄα´２]＝２／３（Ｈ＊[ｄε^p]） Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2 であることを特徴とする。

【００３４】また、本発明に係る除荷過程における降伏
点を求める方法は、材料の応力−ひずみ関係において、
引張り応力を加え、塑性ひずみを生じさせた後、引張り
応力を除荷する除荷過程における降伏点を求める方法で
あって、応力−ひずみ曲線における接線勾配δσ／δε
を各応力値に付き算出する接線勾配算出工程と、前記接
線勾配δσ／δεと応力σとの関係が線形性から外れる
点を除荷過程における降伏点として算出する降伏点算出
工程と、を備えることを特徴とする。

【００３５】本発明に係る応力−ひずみ関係シミュレー
ト方法は、応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値と
して取得する実験値取得工程と、材料で定まるＫ、ｎ、
Ｃ´を含め前記係数関数を、前記複数の実験値に基き同
定する係数関数同定工程と、を含み、前記同定された係
数関数を用い、応力−ひずみ関係をシミュレートする。
そして、等方硬化量と背応力関数の係数とを、相当塑性
ひずみ（ε^p _eq）と除荷開始時の相当塑性ひずみ
（ε^p _T）を変数とする係数関数とし、等方硬化量Ｒは、
Ｒ＝Ｋ＊（ε^p _eq）ⁿと、線形移動硬化の大きさを表す係
数Ｈは、相当塑性ひずみ（ε^p _eq）の関数と、非線形移
動硬化の収束の速さを表す係数Ｃを、Ｃ＝Ｃ´／２＊
（ε^p _eq＋ε₀）^1/2と表すとき、ε₀はε^p _Tの関数とす
る。このことにより、応力−ひずみ曲線において、除荷
過程における降伏点から塑性ひずみが増大する領域も含
め、実験結果と高い精度で整合させることができる。

【００３６】また、本発明に係る応力−ひずみ関係シミ
ュレート方法は、応力−ひずみ曲線における接線勾配δ
σ／δεを各応力値に付き算出し、前記接線勾配δσ／
δεと応力σとの関係が線形性から外れる点を除荷過程
における降伏点として算出する。したがって、除荷過程
における降伏点をばらつき少なく求め、また応力−ひず
み曲線において、除荷過程における降伏点から塑性ひず
みが増大する領域も含め、実験結果と高い精度で整合さ
せることができる。

【００３７】また、本発明に係る応力−ひずみ関係シミ
ュレート方法において、塑性構成式としての降伏関数を
偏差応力と背応力の偏差成分の２次関数とする。また、
塑性構成式としての降伏関数を偏差応力と背応力の偏差
成分の４次関数とする。このことにより、降伏関数の関
数が２次の場合、４次の場合につき、除荷過程における
降伏点をばらつき少なく求め、また応力−ひずみ曲線に
おいて、除荷過程における降伏点から塑性ひずみが増大
する領域も含め、実験結果と高い精度で整合させること
ができる。

【００３８】

【発明の実施の形態】図４、図５は、本発明の実施の形
態に係るフローチャートである。図４は、応力−ひずみ
関係シミュレート方法のフローチャート、図５に除荷過
程における降伏点を求める方法のフローチャートを示
す。

【００３９】図４のＳ１は、除荷過程降伏点算出工程
で、シミュレーション対象の加工材料と実質同一の材質
の試験片を用い、最初引張り応力を印加し、所定の塑性
ひずみに達したとき除荷し、除荷過程の応力−ひずみ曲
線を取得し、除荷過程の降伏点を求める工程である。こ
の工程の詳細な内容については、後に図５を用いて説明
する。

【００４０】Ｓ３は、降伏点以外の実験値取得工程で、
Ｓ１の除荷過程降伏点算出工程と同じ材質の試験片を用
い、除荷過程の降伏点以外の、応力−ひずみ関係を、実
験により複数の離散値として取得する工程である。例え
ば、等方硬化量Ｒと相当塑性ひずみ（ε^p _eq）との関
係、線形移動硬化の大きさを表す係数Ｈと相当塑性ひず
み（ε^p _eq）との関係、非線形移動硬化の収束の速さを
表す係数Ｃを、Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2と表
すとき、ε₀と除荷時の相当塑性ひずみε^p _Tの関係等に
つき、複数の離散値を取得する。

【００４１】Ｓ５は、係数関数同定工程で、Ｓ３の降伏
点以外の実験値取得工程で取得した応力−ひずみ関係の
複数の離散値から、材料で定まるＫ，ｎ，Ｃ´を含め、
係数関数の関数を同定する工程である。例えば等方硬化
量Ｒについて、複数の相当塑性ひずみ（ε^p _eq）に対す
る実験値からＫ，ｎを定め、Ｒ＝Ｋ＊（ε^p _eq）ⁿの関数
が具体的に同定される。線形移動硬化の大きさを表す係
数Ｈは、相当塑性ひずみ（ε^p _eq）に対する実験値か
ら、関数そのものを同定し、ε₀は、除荷時の相当塑性
ひずみε^p _Tに対する実験値から、関数そのものを同定す
る。

【００４２】Ｓ７は、応力−ひずみ関係算出工程で、Ｓ
５で同定された係数関数を用いて、塑性構成式である降
伏関数を定め、応力−塑性ひずみ関係を算出する。弾性
領域の応力−ひずみ関係の算出式は、塑性領域に比べ容
易であるので、弾性領域と塑性領域を接続し、弾塑性領
域全体の応力−ひずみ関係を算出することもできる。

【００４３】Ｓ９は、スプリングバック量算出工程で、
Ｓ７の応力−ひずみ関係算出工程の結果求まった塑性構
成式と、有限要素法を用いて、実際の被加工材料の複雑
な三次元形状の加工の各段階をシミュレートし、スプリ
ングバック量を算出する工程である。

【００４４】図５に、図４のＳ１における除荷過程の降
伏点算出工程の詳細なフローチャートを示す。Ｓ２１は
応力―ひずみ関係取得工程で、シミュレーション対象の
加工材料と実質同一の材質の試験片を用い、最初引張り
応力を印加し、所定の塑性ひずみに達したとき除荷し、
除荷過程の応力−ひずみ曲線を取得する工程である。

【００４５】Ｓ２３は、接線勾配算出工程で、Ｓ２１の
応力―ひずみ関係取得工程で取得した応力σ−ひずみε
曲線から、各応力値に付き接線勾配δσ／δεを算出す
る工程である。

【００４６】Ｓ２５は、降伏点算出工程で、Ｓ２３の接
線勾配算出工程で求められた接線勾配δσ／δεと応力
σとの関係につき、応力の変化に対する接線勾配δσ／
δεの変化が線形性から外れる点を、除荷過程における
降伏点として算出する工程である。具体的には、図１に
おける第一の領域と第二の領域の境界点を除荷過程にお
ける降伏点として算出する。

【００４７】

【発明の効果】本発明に係る応力−ひずみ関係シミュレ
ート方法は、除荷過程における降伏点をばらつき少なく
求め、また応力−ひずみ曲線において、除荷過程におけ
る降伏点から塑性ひずみが増大する領域も含め、実験結
果と高い精度で整合する。また、本発明に係る除荷過程
における降伏点を求める方法は、除荷過程における降伏
点をばらつき少なく求めることができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明に係る実施の形態において、除荷過程
における応力σ−ひずみε曲線の接線勾配δσ／δεを
各応力値に付き算出し、横軸に応力、縦軸に接線勾配δ
σ／δεをとって示した図である。

【図２】 本発明に係る実施の形態の、除荷過程におけ
る降伏点を用い、塑性構成式は、従来技術に基いて、応
力−ひずみ関係をシミュレートした結果を示す図であ
る。

【図３】 本発明の実施の形態に係る、応力−ひずみ関
係をシミュレートした結果を示す図である。

【図４】 本発明の実施の形態に係る、応力−ひずみ関
係シミュレート方法のフローチャートである。

【図５】 本発明の実施の形態に係る、除荷過程におけ
る降伏点を求める方法のフローチャートである。

【図６】 横軸にひずみ、縦軸に応力を取って、スプリ
ングバック現象の様子を示す図である。

【図７】 材料の降伏点を定める第一の方法を示す図で
ある。

【図８】 材料の降伏点を定める第二の方法を示す図で
ある。

【図９】 材料の降伏点を定める第三の方法を示す図で
ある。

【図１０】 第三の方法で求めた除荷過程における降伏
点を用い、従来技術の塑性構成式に基き、応力−ひずみ
関係をシミュレートし、実験で求められた結果と比較し
た結果を示す図である。

【符号の説明】

１，５，９ 実際のバウシンガ効果のデータ、３，７，
１１ シミュレーション結果。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 岩田 徳利 愛知県愛知郡長久手町大字長湫字横道41番 地の１ 株式会社豊田中央研究所内 Ｆターム(参考） 2G061 AA01 DA11 EA03 EA04 4E063 BA20 JA01 5B056 BB72 BB74

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 弾塑性材料の応力−ひずみ関係を、等方
   硬化モデルと移動硬化モデルとを組合せた複合硬化モデ
   ルで近似し、 応力−ひずみ関係を与える塑性構成式としての降伏関数
   を、等方硬化量と背応力を変数とする関数で定義し、 ここで背応力は、 線形移動硬化の成分と非線形移動硬化の成分とからな
   り、材料の相当塑性ひずみを変数とする係数関数を有す
   る背応力関数で定義して、 弾塑性材料のバウシンガー効果を表現する応力−ひずみ
   関係をシミュレートする方法であって、 前記等方硬化量Ｒと、背応力関数の係数とを、相当塑性
   ひずみ（ε^p _eq）と除荷開始時の相当塑性ひずみ
   （ε^p _T）を変数とする係数関数とし、 等方硬化量Ｒは、Ｒ＝Ｋ＊（ε^p _eq）ⁿ、 線形移動硬化の大きさを表す係数Ｈは、相当塑性ひずみ
   ε^p _eqの関数、 非線形移動硬化の収束の速さを表す係数Ｃを、 Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2と表すときのε₀は、
   ε^p _Tの関数、とし、 応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得す
   る実験値取得工程と、 材料で定まるＫ、ｎ、Ｃ´を含め前記係数関数を、前記
   複数の実験値に基き同定する係数関数同定工程と、を含
   み、前記同定された係数関数を用い、応力−ひずみ関係
   をシミュレートすることを特徴とする応力−ひずみ関係
   シミュレート方法。
2. 【請求項２】 請求項１に記載の応力−ひずみ関係シミ
   ュレート方法において、 前記実験値取得工程において、さらに、 引張り応力を加え、塑性ひずみを生じさせた後、引張り
   応力を除荷する除荷過程において、応力−ひずみ曲線に
   おける接線勾配δσ／δεを各応力値に付き算出し、前
   記接線勾配δσ／δεと応力σとの関係が線形性から外
   れる点を除荷過程における降伏点として算出する降伏点
   算出工程を備え、この算出された降伏点以降のひずみか
   ら相当塑性ひずみε^p _eqを求めることを特徴とする応力
   −ひずみ関係シミュレート方法。
3. 【請求項３】 請求項１または請求項２に記載の応力−
   ひずみ関係シミュレート方法において、Ｓ_i（ｉ＝ｘ，
   ｙ，ｚ）を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に作用
   する垂直応力σ_iに関する偏差応力、Ｓ_ij（ｉ，ｊ＝
   ｘ，ｙ，ｚ）を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面
   に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用するせん断応
   力σ_ijに関する偏差応力、α´_i（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）
   を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に作用する背応
   力に関する偏差成分、α´_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）
   を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に、指標ｊに対
   応する座標軸の方向に作用する背応力に関する偏差成
   分、Ｙ₀を、材料の塑性変形がはじめて開始されるとき
   の降伏応力である初期降伏応力、としたとき、 前記降伏関数（ｆ）は、 【数１】ｆ＝（１／２）＊［（Ｓ_x−α´_x）²＋（Ｓ_y−
   α´_y）²＋（Ｓ_z−α´_z）²＋２（Ｓ_xy−α´_xy）²＋２
   （Ｓ_yz−α´_yz）²＋２（Ｓ_zx−α´_zx）²］−（１／
   ３）＊（Ｙ₀＋Ｒ）² であることを特徴とする応力−ひずみ関係シミュレート
   方法。
4. 【請求項４】 請求項１または請求項２に記載の応力−
   ひずみ関係シミュレート方法において、Ｓ_i（ｉ＝ｘ，
   ｙ，ｚ）を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に作用
   する垂直応力σ_iに関する拡張偏差応力、Ｓ_ij（ｉ，ｊ
   ＝ｘ，ｙ，ｚ）を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面
   に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用するせん断応
   力σ_ijに関する拡張偏差応力、α´_i（ｉ＝ｘ，ｙ，
   ｚ）を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に作用する
   背応力に関する偏差成分、α´_ij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，
   ｚ）を、指標ｉに対応する座標系に垂直な面に、指標ｊ
   に対応する座標軸の方向に作用する背応力に関する偏差
   成分、Ｙ₀を、材料の塑性変形がはじめて開始されると
   きの降伏応力である初期降伏応力、としたとき、 前記降伏関数（ｆ）は、 【数２】ｆ＝（１／４）＊［（Ｓ_x−α´_x）⁴＋（Ｓ_y−
   α´_y）⁴＋（Ｓ_z−α´_z）⁴＋２（Ｓ_xy−α´_xy）⁴＋２
   （Ｓ_yz−α´_yz）⁴＋２（Ｓ_zx−α´_zx）⁴］−（１／
   ９）＊（Ｙ₀＋Ｒ）⁴ であることを特徴とする応力−ひずみ関係シミュレート
   方法。
5. 【請求項５】 請求項３または請求項４に記載の応力−
   ひずみ関係シミュレート方法において、[α´１]を、背
   応力のうち移動硬化の非線形性に依存する成分である第
   一背応力偏差成分を表すテンソル、[α´２]を、背応力
   のうち移動硬化の線形性に依存する成分である第二背応
   力偏差成分を表すテンソル、[ｄε^p]を、塑性ひずみ増
   分を表すテンソル、ｄε^p _eqを、相当塑性ひずみ増分、
   Ｃを、非線形移動硬化の収束の速さを表す係数、Ｃ´
   を、定数、（２／３）ａを、非線形移動硬化の収束値、
   ε₀を、相当塑性ひずみε^p _eqが０である場合に、Ｃが無
   限大となることを防止するための変数、Ｈを、線形移動
   硬化の大きさを表す係数、としたとき、 前記背応力の偏差成分（α´）をあらわすテンソル[α
   ´]は、 【数３】[α´]＝[α´１]＋[α´２] [ｄα´１]＝Ｃ［２／３（ａ＊[ｄε^p]）−ｄε^p _eq＊
   [α´１]］ [ｄα´２]＝２／３（Ｈ＊[ｄε^p]） Ｃ＝Ｃ´／２＊（ε^p _eq＋ε₀）^1/2 であることを特徴とする応力−ひずみ関係シミュレート
   方法。
6. 【請求項６】 材料の応力−ひずみ関係において、引張
   り応力を加え、塑性ひずみを生じさせた後、引張り応力
   を除荷する除荷過程における降伏点を求める方法であっ
   て、 応力−ひずみ曲線における接線勾配δσ／δεを各応力
   値に付き算出する接線勾配算出工程と、 前記接線勾配δσ／δεと応力σとの関係が線形性から
   外れる点を除荷過程における降伏点として算出する降伏
   点算出工程と、を備えることを特徴とする除荷過程にお
   ける降伏点を求める方法。